Apostila ajustamento1

Introdução ao Ajustamento de observações
Prof. Me. Sidney Ribeiro

Ementa
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Introdução ao ajustamento pelo Método dos Mínimos
Quadrados
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Método paramétrico
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Métodos das observações correlatas
Classificação dos erros
Variância e covariância
Elipse dos erros
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Distribuição normal
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Descritores paramétricos

Encontros
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Presencial: Sextas feiras 8:00 às 12:15 horas
À distância: Diariamente, 19:00 às 21:00 horas

Avaliação
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Avaliações presenciais e trabalhos
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Três trabalhos somando 50 pontos, sendo o
primeiro trabalho 10 pontos e dois valendo 20
pontos
Avaliação presencial valendo 50 pontos
Para aprovação deve-se atingir 60 pontos de
média.

Introdução
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O ajustamento de observações:
Segundo Mendonça (2010): O ajustamento das
observações é uma das etapas fundamentais
na análise dos resultados a fim de verificar a
normalidade das observações.

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Ainda segundo Mendonça (2010): O ajustamento de
observações pelo método dos mínimos quadrados
surgiu independentemente com Gauss em 1795 e
Legendre em 1805, apud Gemael (1974).
Embora o método tenha sido difundido na Europa e
nos Estados Unidos, no Brasil, essa difusão só foi
iniciada a partir de meados do século passado com
Publicações de professores do Instituto Militar de
Engenharia (IME).

Incerteza
Parâmetro não negativo que caracteriza a
dispersão dos valores atribuídos a um
mensurando, com base nas informações
utilizadas (INMETRO, 2012).

Assim, pode-se dizer que ajustar informações
de leituras de medições é a tentativa de atribuir
o valor, ou melhor aproximar o valor medido ao
valor real do mensurando.
Mensurando: Objeto ao qual atribui-se uma
medida.

Medição
Podemos definir medição como a atribuição de
dimensão a um mensurando de acordo com
um padrão, que pode ser por exemplo:
Distância, massa, ângulo, altitude, latitude,
longitude, Etc.

No exemplo anterior definimos como
mensurando o diâmetro externo da peça, e a
medida como a distância entre dois pontos
localizados nas extremidades da peça
passando pelo seu centro.

Conhecendo um sistema de
medição
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Para realizamos medidas usando um sistema
de medição é necessário entender algumas
características do equipamento a ser utilizado
Equipamentos de medição podem ser:
Analógicos ou digitais.

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Equipamentos analógicos nos possibilitam
realizar infinitas leituras de medidas em um
intervalo de medição.
Equipamentos digitais nos permitem realizar
apenas uma leitura de medida em um intervalo
de medição.

Analógico
Digital

Outros parâmetros de um instrumento de
medição são: Faixa de medição e resolução.
Que são fatores importantes a serem
observados

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Faixa de medição é a maior medida que o
instrumento oferece.
●
Resolução é a menor medida que o
instrumento pode oferecer.

●
Por exemplo, na figura abaixo
A Faixa de medição é de 20cm, já a resolução
é 0,1cm.

Erros de medição
O objetivo de se estudar Ajustamento de
observações se dá pelo fato de que quando
medimos algo cometemos erros de medição,
assim, ao realizar o ajustamento esperamos
aproximar ao máximo os valores encontrados
ao valor real do mensurando.

Podemos classificar os erros de medição
como:
●
Sistemáticos
●
Aleatórios

●
Erros de medição sistemáticos Permanecem
constantes ou variam de acordo com uma lei definida.
Podem ser corrigidos. A Correção não é perfeita
deixando uma dúvida.
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Erros de medição aleatórios Não repetitivos,
imprevisíveis, diferem a cada leitura, só podem ser
avaliados estatisticamente, apenas podem ser
conhecidos seus limites, sempre estão presentes.
Também haverá uma dúvida

Exemplos
Erros sistemáticos: Equipamento não calibrado,
resolução, problemas de fabricação do
instrumento. Etc.
Erros aleatórios: Leitura incorreta, erro de
paralaxe, manuseio incorreto do equipamento,
condições inadequadas durante a medição.

Erro de paralaxe
Erro comum quando se realiza a leitura da
medida informada no instrumento de medição.
Consiste em leituras errôneas devido ao mal
posicionamento durante o processo de
medição.

12
10
8
6
Coluna 1
Coluna 2
Coluna 3
4
2
0
Linha 1 Linha 2 Linha 3 Linha 4

Dessa forma, a maneira correta de se realizar
uma leitura em um instrumento de medição é
fazê-lo a altura dos olhos.

Para pensar!
●
Indique: O instrumento de medição, faixa de
medição, resolução, mensurando, e possíveis
erros de medição envolvidos neste processo. E
o valor medido.

O instrumento de medição usado é uma régua, com faixa
de medição de 5cm e resolução de 0,1cm. O mensurando
é uma fita vermelha.
Os possíveis erros de medição envolvidos são:
●
Sistemáticos por falta de calibração do instrumento, erros
devido a resolução inadequada do instrumento de medição
●
Aleatórios provenientes de leitura incorreta, erro de
paralaxe, manuseio incorreto do equipamento, condições
inadequadas durante a medição.

Acurácia e Precisão
●
●
Fatores que devem ser observados ao escolher
um instrumento de medição:
segundo o dicionário:
Acurácia: s.f. Física. Relação de proximidade
entre o resultado alcançado, e o real valor de
uma grandeza física. (Etm. do inglês: accuracy)
Precisão: s.f. Exatidão; rigor no registro e na
definição do valor, do peso ou da medida de algo.

Para pensar
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Pense e responda: Imagine que dois
experimentadores tenham obtido, na medição de
uma da grandeza física, as seguintes séries de
valores:
● 1o experimentador – 1,34; 1,32; 1,35; 1,32; 1,33.
● 2o experimentador - 1,37; 1,29; 1,32; 1,25; 1,36.
Qual das séries de medidas lhe parece a mais
precisa?

Teoria dos erros
Segundo Amorim (2004)Na medição de uma
determinada grandeza, a limitação humana,
imperfeição instrumental e instabilidade da natureza
são fatores que impedem a exatidão absoluta das
medidas. Os resultados de uma mesma medida,
repetida várias vezes por um mesmo operador,
provavelmente não serão idênticos, por maior que
seja o cuidado empregado nas observações. Assim,
podemos afirmar que, de uma forma ou de outra,
todas as medidas contêm erros.

Tipos de Erros
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Definiremos alguns tipos de erros
Erro absoluto: Diferença absoluta entre o
valor “real” e o valor medido. Por exemplo:
Foi medido uma altura de 1,34m, sendo que a
altura real é 1,30m. Assim, o erro absoluto é:
Erro=|Valor real−valor medido|
E absol =|1,34−1,30|=0,04 m

●
Erro relativo: Usado quando queremos
exprimir a diferença em relação ao valor “real”.
Por exemplo: Usando as informações do
exemplo anterior, vimos que o erro absoluto foi
0,04m assim:
E rel
=
E absol
Valor real
E rel
= 0,04
1,30 =0,03

Para pensar
●
O comprimento de um bloco padrão de 1cm foi
feito por um instrumento de medição, e foi feito
leitura de 1,2cm. Calcule os erros absoluto e
relativo.

●
Erro relativo percentual: É dado quando se
exprime o erro relativo em percentual, como
parte de um todo. Basta multiplicar o erro
relativo por 100%.
No caso do exemplo anterior, o erro relativo é
de 3%.
E perc
= 0,04
1,30 ⋅100=3

●
Resíduo (v): Denomina-se de resíduo ao valor
simétrico do erro aparente, ou seja, é a
grandeza com o mesmo valor do erro aparente,
porém com sinal contrário (correção do erros).
É um dos elementos mais importantes na
aplicação do ajustamento de observações, pois
o método dos mínimos quadrados e as
análises pós-ajustamento fundamenta-se na
qualidade desse resíduos.

Medidas de Dispersão
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Média: Chamamos de média o valor que
retrata a média dos valores de uma amostra.
●
Desvio padrão: Medida que apresenta o
quanto os valores da amostra se distanciam da
média (simetricamente)

Calculando
Considerando uma amostra de tamanho “n”.
●
Média:
● Desvio padrão:
¯X =
n
∑
i=1
n
s=√ 1
n
n−1 ∑ i =1
x i
(x i
−¯x)²

Para pensar
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A série de leituras de comprimento foi obtida
por um operador usando uma trena, calcule a
média e o desvio padrão desta amostra.
Medidas: 12,50; 12,49; 12,51; 12,50; 12,52m

●
Um conjunto de dados aleatórios que obedeça
a uma distribuição normal, ao calcularmos sua
média e desvio padrão, são representados
como na curva abaixo, que é chamada curva
de distribuição normal. Ao centro temos a
média e simetricamente o afastamento de
desvio padrão.

●
Note que com 1 desvio padrão o intervalo de
confiança é de 68,26%, já para 2 desvios
padrão 95,44% e 3 desvios padrão 99,74%

Expressando uma medida
●
Exprimimos uma medida de forma simples,
fazendo:
Medida = média (mais ou menos) desvio
padrão.

Introdução ao Método dos Mínimos
quadrados
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Modelos matemáticos
Funcional
Estocástico

Modelo Funcional
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Chamamos de modelo funcional, o objeto matemático
(função) que é fruto de observações de propriedades de
algum elemento ou fenômeno que se deseje analisar.
Um modelo é baseado em características: Físicas,
químicas, mecânica, etc.
Modelos levam em consideração as propriedades de
operação e abstração em matemática. Logo nota-se
sua exatidão e confiabilidade
Não é trivial criar um modelo.

● Exemplo 1
Para a determinação da área de um terreno
retangular com lados a e b o modelo funcional
é A = ab.
● Exemplo 2
Para a determinação da forma de um triângulo
com ângulos α β e γ o modelo funcional será
α +β +γ =180

Modelo Estocástico
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●
O modelo estocástico é composto pelo conjunto de
relações que descrevem as propriedades estatísticas
dos elementos envolvidos no modelo funcional.
O modelo estocástico indica por exemplo a qualidade
das observações feitas (as suas precisões, relativas
ou absolutas).
●
Indica se as observações estão correlacionadas ou
não, indica ainda as variáveis que são consideradas
constantes durante o ajustamento e as que se
pretendem determinar.

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Exemplo:
Cálculos de dispersão: Média, desvio padrão,
variância de uma amostra de dados.

O método dos Mínimos Quadrados
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Em poucas palavras o método dos mínimos
quadrados visa, em um conjunto de dados,
refinar os dados para que apresentem menor
resido.
Isto é: minimiza-se uma função objetivo que
descreve os dados, e então são dados os
valores ajustados.

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Exemplo: Suponhamos que ao medirmos os
ângulos internos de um triângulo, obtenhamos
medidas que ao somadas ultrapassam 180° em 3''.
Isto devido aos erros de medição.
Podemos então ajustar estas medidas para que
cada lado possua uma medida mais aproximada da
real, por exemplo podemos adicionar 1'' a cada
ângulo. E então teremos um conjunto de dados
melhor aproximado do real.
Esta técnica usada foi inventada para este
exemplo. Usaremos formalmente a técnica
(conjunto de regas) dos mínimos quadrados.