kongrüans 1

MATE 409
SAYILAR TEORİSİ
BÖLÜM: 8
LİNEER KONGRÜANSLAR
Muazzez Sofuoğlu 067787
Nebil Tamcoşar

8.1. Bir Değişkenli Lineer Kongrüanslar
a,b ve m/a olmak üzere;
∈Z
≡
ax b(modm)
şeklindeki bir kongrüansa, birinci dereceden bir
bilinmeyenli kongrüans veya m modülüne göre
lineer kongrüans denir. (m>0)
Şayet x 1 , ax ≡ b(modm) lineer kongrüansını
sağlayan bir tam sayı ise bu takdirde k ∈Zolmak
üzere x 1
+km de lineer kongrüansı sağlar. Buradan
başka +km (modm) yani denklik sınıfındaki
x1
≡x
1
X 1

her eleman bu lineer kongrüansları sağlar. Bu
sebeple böyle kongrüanslar için sadece
0,1,2,...,m-1 sayıları arasındaki çözümleri
aramak ve onların denklik sınıfındaki her bir tam
sayının çözüm olacağını düşünmek gerekir.
Mesela 5x ≡ 2(mod6)nin çözümleri için sadece
0,1,2,3,4 , , , ve 5’i düşünerek ş x 1 =4 ün bir çözüm
olduğunu buluruz. Yani 5.4 ≡ 2(mod6) ve böylece
4 ={x:x ≡ 4(mod6)} kalan sınıfındaki her
elemanın bir çözümü ü olacağı ğ anlaşılır.
l

Her lineer kongrüansın çözümü olmayacağı gibi
çözümlerinde sadece bir kalan sınıfında
bulunmaları gerekmez. Mesela
≡
≡
3 ≡ ≡ 7 ≡ ≡
2x 3(mod4)ün hiçbir çözümü yokken
2x 6(mod8) lineer kongrüansının çözümleri
{x:x 3(mod8) ve {x:x 7(mod8)}
kalan sınıfındaki elemanlardır. 8.1 lineer
kongrüansını sağlayan tam sayılara, m
modülünün farklı kalan sınıflarına ait iseler “denk
olmayan çözümler”, aynı denklik sınıfına ait
iseler “denk çözümler” denir.

≡
• ax b(modm) şelindeki bir lineer kongrüansın
çözümlerini ararken problemi iki grupta toplamak
mümkündür. Bunlar;
1) (a,m)=1
2) (a,m)=d >1
durumlarıdır.
TEOREM 8.1.(a,m)=1 ise ax ≡b(modm)
kongrüansının çözüm cümlesi tek elemandan
ibarettir.
İSPAT: T, m modülünün herhangi bir tam kalan
sistemi olsun. Teorem 7.8 den dolayı {ax: x T}
cümlesi de bir kalan sistemdir.
∈

Dolayısıyla bir b ∈Z tamı verildiğinde a x0
≡ b (modm)
olacak şekilde bir tek x 0
∈
T vardır. / / /
ÖRNEK 8.1. (a,m)=1 olmak üzere Euler Teoremini
kullanarak ax ≡
b(modm) lineer kongrüansının
çözümünün
( m) 1
≡ a
φ −
olduğunu gösteriniz.
x b(modm)
(a,m)=1 ise Euler Teoremine göre
( m)
a φ
1(modm)
dir. Bu takdirde teorem 7.4 den dolayı
( m)
a φ
≡
≡
b b(modm)
yazılabilir. Simetri ve geçişme özelliklerinden
x 0

a φ ( m) − 1
ax
( m)
≡ a φ b(modm) ≡ a b(modm)
elde edilir. Diğer taraftan (a,m)=1 olduğundan teorem
7.4 c’den
x ( m
≡ a φ ) −1
b(modm)
bulunur.///
Örnek 8.2: 3x ≡ 5(mod8) in çözüm cümlesini
bulunuz.
(3,8)=1 olduğundan
(8) 1 x ≡ 3 φ −
5(mod8)
≡ 3 4−1
5(mod8)
≡
135(mod8)
Bulunur. Ayrıca 135 ∈Zolduğu için çözüm cümlesi
Ç={7} dir.

TEOREM 8.2. d=(a,m) olmak üzere
ax ≡ b(modm) lineer kongrüansının çözümünün olması için
gerek ve yeter şart d nin b yi bölmesidir. Bu takdirde tam d
tane çözümü vardır. Şayet d, b yi bölmüyorsa lineer
kongrüansının çözümü yoktur.
≡
Örnek 8.3. 6x 3(mod21) in çözüm cümlesini bulunuz.
(6,21)=3 ve 3/3 olduğundan tam 3 tane çözümü vardır.
6x ≡ 3(mod21) ise
2x ≡1(mod7) (8.6)
dir. 7 modülünün kalanlarının {0,1,2,3,4,5,6} cümlesindeki
4(86)k 4,(8.6) kongrüansını sağladığı ğ ii için çözüm öü cümlesi
Ç={4+7t: t=0,1,2} = {4,11,18} dir.
≡
≡
Yani x 4(mod21), x 11(mod21), x 18(mod21)dir.
≡

8.2. Lineer Kongrüanslar ve Lineer
Diophantine Denklemleri
l ax+by=c D-lineer denkleminin şayet çözümü varsa
bunların bulunuşunda lineer kongrüanslar
kullanılabilir. Aslında
ax+by=c (8.7)
D-lineer denkelminin çözümlerinin tespit edilmesi
≡
ax c(modb) (8.8) 8)
Lineer kongrüansının çözümlerinin tespit edilmesine
denktir. Teorem 8.2 den dolayı
d=(a,b) olmak üzere d/c ise (8.8) lineer kongrüansının
bir çözümü vardır.

, bir özel çözüm ve t ∈Z olmak üzere (8.8) lineer
kongrüansının her bir çözümü
x 0
x 0
+
b t
d
şeklindedir. Bu değer (8.7) de x yerine konulursa
(8.7)yi sağlayan y değerleri elde edilir. Gerçekten
x
b t
d
a( + )+by=c
0
yazarak buradan
c− a ( x b o
+ t
)
d
c−
ax0
a a
y= = − t = y0
− t
b b d d
elde edilir. ( y
için a +b y
=c olduğuna dikkat ediniz)
x 0
y0
0

x y0
O halde ve , ax+by=c D-lineer denklemini
0
sağlıyorsa ğ bu takdirde bu denklemin her bir x ve y
çözümü d=(a,b) ve
t ∈Z
olmak üzere
x 0
b t
d
x= + ve y=
eşitlikleri i ile verilebilir.
Örnek 8.5. Lineer kongrüansları kullanarak
48x+7y=17 D-lineer denkleminin i özel çözümünü
ü ü
bulunuz.
Çözüm: Her şeyden önce (48,7)=1 olduğundan
çözüm vardır. Verilen denklemin özel çözümünü
bulmak için önce buna tekabül eden lineer
kongrüansın bir çözümünü ü ü bulalım.
l
y
0
−
a
d
t

≡
≡
≡
≡
≡
48x 17(mod7)
-x 17(mod7)
-x 3(mod7)
x -3(mod7)
x 4(mod7)
olduğundan verilen denklemde x yerine 4 alarak
48.(4)+7y=17
eşitliğinden y=-25 bulunur. Böylece 4 ve -25,
48x+7y=17 nin özel bir çözümüdür./ / /

8.3. İki veya fazla değişkenli kongrüanslar
Bir lineer kongrüansta değişkenlerin sayısı iki veya daha fazla
olabilir. Önce iki değişkenli
ax+by ≡ c(modm) (8.9)
Lineer kongrüansını düşünelim. Şayet x1 ve
y1
(8.9) u sağlayan
tam sayılar ise çözüm genellikle ( x in bir çözüm olması
) 1,
y1
halinde k ve t tam sayılar olmak üzere açıkça
( x de bir çözüm yani,
1+ km, y1+
tm)
xy
ve denk çözüm olur.
1, 1
( x + km, y +
tm
)
1 1
≡
TEOREM 8.3. ax+by c(modm) lineer kongrüansının
çözümünün olması için gerek ve yeter şart d=(a,b,m) olmak
üzere d nin c yi bölmesidir.

İspat: Verilen lineer kongrüans by ≡ c-ax(modm)
olarak yazılabilir. Teorem 8.2. den dolayı (8.10)
nun çözümünün olması için gerek ve yeter şart
(b,m)/(c-ax) ( )yani
ax ≡ c(mod(b,m)) (8.11)
olmasıdır. Aynı şekilde (8.11) in bir çözümünün
olması için gerek ve yeter şart (a,(b,m))/c olmasıdır.
Teorem 4.8. ye göre (a,(b,m)) = (a,b,m)
yazılabileceğinden
ax+by ≡c(modm) nin çözümünün olması için gerek
ve yeter şart d nin c yi bölmesidir. / / /

≡
Örnek 8.6 3x-7y 11(mod13) lineer kongrüansının
çözüm cümlesini bulalım.
(3,7,13)=1 olduğundan çözümü vardır. Verilen lineer
kongrüans 3x ≡11+7y(mod13)
3x ≡ 24-6y(mod13)
x ≡
8-2y(mod13)
olarak yazılabilir. y nin 13 modülüne göre denk
olmayan her bir değerine ğ x in 13 modülüne göre
denk olmayan tam bir değeri takabül eder. Böylece
çözüm cümlesi sıralı çiftlerin
Ç={(8,0),(6,1),(4,2),(2,3),(0,4),(11,5),(9,6),(7,7),(5,8),
(3,9),(1,10),(12,11),(10,12)} cümlesidir. / / /

TEOREM 8.4. Şayet (a,m)=1 veya (b,m)=1 ise
≡
ax+by c(modm) lineer kongrüansının tam m tane
çözümü vardır.
İSPAT: Genelliği bozmadan (a,m)=1 olduğunu kabul
edebiliriz. ax+by
≡
c(modm) olduğundan
ax c-by(modm) (8.12)
≡
yazılabilir. Teorem 8.1 den dolayı (8.12) lineer
kongrüansı, y nin denk olmayan her bir değeri için
tam m tane x çözümüne sahiptir. m modülüne göre y
nin denk olmayan tam m tane değeri olduğu için
verilen lineer kongrüansın tam m tane (x,y)
çözümü vardır. ///

≡
Örnek 8.7. 7x+8y 6(mod10) lineer kongrüansının
çözüm cümlesini bulalım.
Her şeyden önce çözüm vardır. Verilen lineer
kongrüans
≡
≡
≡
≡
7x 6-8y(mod10)
-3x 6-18y(mod10)
x -2+6y(mod10)
x 8+6y(mod10)
olarak yazılabilir. Böylece y=0,1,2,…,9 olarak
Ç={(80)(41)(02)(63)(24)(85)(46)(07)(68)(29)}
{(8,0),(4,1),(0,2),(6,3),(2,4),(8,5),(4,6),(0,7),(6,8),(2,9)}
cümlesi bulunur.

8.4. KONGRÜANS SİSTEMLER: Bu bölümde
lineer kongrüansların farklı iki sistemini ele
alacağız. Birinci sistem, aynı modüle sahip iki
veya daha fazla değişkene bağlı ve iki veya
daha fazla lineer kongrüanstan meydana
gelmiştir. İkinci sistem ise farklı modüle sahip
tek değişkenli iki veya daha fazla lineer
kongrüanslardan ibarettir. Birinci sistemin
çözüm metodu iki veya daha fazla değişkenli
lineer denklemlerin çözüm metoduna
benzerdir.

Örnek 8.8. Lineer kongrüansların aşağıdaki sistemini çözelim.
≡
≡
x+y 8(mod13)
2x+3y 12(mod13)
x+y ≡8(mod13) kongrüansı netice 7.1 ve teorem 7.4 den
dolayı 2x+2y 16(mod13) kongrüansına denktir. Bu takdirde
≡
teorem 7.4 a) dan dolayı
⇒
≡
≡
(2+3y)-(2x+2y)(2x+2y)
12-16(mod13) 16(mod13)
≡
y -4(mod13)
y 9(mod13)
yazılabilir. x+y 8(mod13) kongrüansında y yerine 9 yazılırsa
x ≡12(mod13) elde edilir. Böylece (12,9) sıralı çifti verilen
sistemin bir çözümüdür. / / /

Örnek 8.9. (lineer kongrüansın 2. çeşidi)
≡
≡
x 9(mod6)
x 11(mod15)
sistemini çözünüz.
Çözüm: x ≡ 9(mod6) ise a ∈Z olmak üzere x=9+6a
yazılabilir. Şayet x ≡
11(mod15) ise x=11+15b
yazılabilir. b∈Z O halde verilen (8,13) sisteminin
çözümünün olması için bu a ve b nin
9+6a=11+15b ⇒6a-15b=2 (8.14)
Denklemini sağlaması gerekir. Halbuki (6,-15)=3
olduğundan (8.14) eşitliğini sağlayan a,b ∈Z
bulunamaz. Çünkü 6 ve -15 in lineer homojen
fonksiyonu olarak ifade edilebilen en küçük

Pozitif tam 3 tür. O halde (8.14)sisteminin çözümü yoktur.
Şimdi; ; x ≡ 3(mod 4)
x 5(mod 7) (8.15)
≡
≡
sistemini düşünelim. x ≡ 3(mod 4) ise x=3+4a olacak şekilde
vardır.(8.15) deki 2.lineer kongrüansda x in bu değeri
a ∈Z
yerine konulursa
3+4a ≡
5(mod 7)
4a 2(mod 7)
≡
≡
≡
≡
≡
4a 16(mod 7)
a 4(mod 7)
elde edilir.a ≡ 4(mod 7)ise b ∈Z olmak üzere a=4+7b
yazılabilir. Bu sebeple
x=3+4a
=3+4(4+7b)
yani x ≡19(mod
28) sistemin çözümüdür.///

Teorem 8.5:
x ≡ a(modm)
x ≡ b(modn)
Sisteminin bir çözümünün olması için gerek ve yeter
şart;
b ≡ a(mod(m,n))
Olmasıdır. Şayet çözüm varsa bu x ≡ x 0 (modIm,nI)
şeklindedir.

TEOREM 8.6 (Çin kalanlar teoremi):
≤ ≤ ( mm
i,
j
) =
1
Şayet y 1 i < j n için ise
≡ a 1
m1
≡ a 2 m
2
x (mod )
x (mod ) (8.17)
.
.
x a (mod m )
≡ n
Lineer kongrüans sisteminin m
= ∏
mj
modülüne göre bir tek
çözümü vardır.
i=
1
ÖRNEK 8.11 x ≡ 3(mod17)
x 4(mod11)
≡
x ≡ 5(mod6)
Sisteminin çözümünü bulunuz.
n
n

ÇÖZÜM:
(17,11)=(17,6)=(11,6)=1 ( , ) ( , ) olduğundan ğ çözüm vardır.
m1
=17 , m =11 ve m
2
3 =6 olduğuna göre m=17.11.6=1122dir.O
halde =17 için =66, 66 1(mod17)=> =8
m1
1
m2
2
m3
M
3
M
1
x ≡ x1
x ≡ x2
x ≡ 3
x3
=11 için M =102, 102
2
1(mod11)=> =4
=6 için =187, 187 1(mod6)=> =1
dir. Buna göre sistemin çözümü
3
≡ ∑ M ixa i i
m 1.
m2 m3
i= 1
x≡x
mod( . )
olarak bulunur.
≡ 66.8.3+102.4.4+187.1.5(mod1122)
4151mod(1122)
≡

PROBLEMLER:
81 8.1. (d) 6x ≡
8(mod20) nin çözüm kümesini i bulunuz.
ÇÖZÜM 8.1. (d)
(6,20)=2 olduğundan dolayı 2/8 ise 2 tane çözüm vardır.
6x ≡ 8(mod20)
3x ≡ 4(mod 10)
10 modülünün kalanlarının {0,1,2,3,4....,9} kümesindeki 8
kongrüansı sağladığı için
ÇK={ 8+10t: t=0,1}={8,18}
x 8(mod20)
≡
x ≡ 18(mod 20) ///

8.3. Teorem 8.3 ü kullanarak 3x+4y ≡ 7(mod 12) lineer
kongrüansının çözüm kümesini bulunuz.
(3,4,12)= 1olduğu ğ için çözüm vardır.
4y ≡ 7-3x(mod 12) kongrüansının çözümünün olması için
(4,12)/ 7-3x olması gerekir. Yani
3x 7(mod (4,12))
3x ≡ ≡ 7(mod 4)
3x ≡
3(mod 4)
x 1(mod 4) 1 kongrüansı sağlar.
≡
≡
x in Ç={1+4t:t=0,1,2}={1,5,9}.
1 4y ≡ 4(mod 12)=>y ≡1(mod 3)
y için Ç={1+3t:t=0,1,2,3}={1,4,7,10}
, , { , , , }
ÇK={(1,1),(1,4),(1,7),(1,10),(5,1),(5,4),(5,7),(5,10),(9,1),(9,4),
(9,7),(9,10)}

8.5 Lineer kongrüansları kullanarak aşağıdaki D-lineer
denklemlerinin genel çözümlerini bulunuz.
(b)7x+6y =9
(7,9)=1 olduğundan çözüm vardır.
≡
x ≡ 3(mod 6)
7x 9(mod 6)
Verilen denklemde x yerine 3 alarak
7.3+6y=9
y= -2 bulunur. Böylece 3 ve -2, 7x+6y =9 un özel
çözümüdür.
a
Genel çözüm ise; x= x 0
+ y=
y 0
−
t
x=3+6t ve y= -2-7t
b t
d
0
d

2x+7y ≡ 29(mod 18) lineer kongrüans sistemlerinin
8.6. (b) 3x+5y 17 (mod 18)
y ( ) g
çözüm kümesini bulun.
ÇÖZÜM:
3x+5y ≡17(mod 18)*2
2x+7y ≡ 29(mod 18)*3
6x+10y ≡ 34(mod 18)
6x+21y 87(mod 18)
≡
≡
6x+21y-6x-10y 87-34(mod 18)
≡ ≡
11y 53(mod 18)
11y 17(mod 18) => 13 kongrüansı sağlar y yerine 13
yazıp x i buluruz
3x+5.13=17 => x=2
Ç=(2,13) ///

8.7. Çin kalanlar teoremini kullanarak lineer denklem
sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
x ≡ 5(mod12)
x 7(mod 19)
≡
ÇÖZÜM:
≡
x ≡7(mod 19)
x 5(mod 12)
(12,19)=1 olduğu için çözüm vardır.
12.19=228
m1=12 , m2=19.
m1=12 için M1=19, 19x1 1(mod12) x1=7
≡ ≡
m2=19 için M2=12, 12x2 1(mod 19) x2=8
≡
3
∑
i=
∑ M xa mod( m 1.
m 2. m
3)
Buna göre x
i i i
1
=19.7.5+12.8.7
=665+672=1337(mod 228) olarak bulunur.///