Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
អ ាំងតេក្រាលមិនកាំណេ់<br />
1. ព្រីមីទីវ និង អាំងតេព្ាលមិនកាំណេ់<br />
1.1 . និយមន័យ<br />
F( x)<br />
ជាព្រីមីទីវនៃ<br />
f( x)<br />
កាលណា<br />
F '( x) f ( x)<br />
ចំរ ោះព្រប់តនមៃ x<br />
ក្ន ុងដែៃក្ំណត់ នៃអៃុរមៃ៍<br />
f<br />
។<br />
ឧទាហរណ៍ ១ :<br />
2<br />
ក្. អៃុរមៃ៍ F x x ជាព្រីមីទីវរលើ នៃអៃុរមៃ៍ 2<br />
ខ. អៃុរមៃ៍<br />
<br />
F x<br />
រ. អៃុរមៃ៍ F x<br />
1<br />
<br />
x<br />
ឧទាហរណ៍ ២ : ររមាៃអៃុរមៃ៍<br />
ជាព្រីមីទីវរលើ<br />
<br />
,0<br />
<br />
0, <br />
ឬ <br />
x ជាព្រីមីទីវរលើ 0, នៃអៃុរមៃ៍<br />
f x x x<br />
2<br />
: 3 5 2<br />
f x x ។<br />
នៃអៃុរមៃ៍<br />
f<br />
ក្ំណត់រលើ<br />
<br />
x<br />
f<br />
1<br />
<br />
x<br />
<br />
2<br />
x<br />
1<br />
<br />
2 x<br />
។<br />
។<br />
។ ចូ ក្ព្រីមីទីវនៃ<br />
f( x)<br />
។<br />
ចម្ល ើយ : f ជាអៃុរមៃ៍រហុធា ។ រែើមបី ក្ព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍ f លុោះព្ាដត ររ ក្ព្រីមីទីវនៃឯក្ធា<br />
ៃីមួយៗ ។ ររមាៃអៃុរមៃ៍<br />
x<br />
5x<br />
រឺ<br />
x<br />
<br />
5<br />
2<br />
ែូរចនោះ ព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍<br />
ឧទាហរណ៍ ៣ : ររមាៃអៃុរមៃ៍<br />
x<br />
2<br />
f x x x<br />
2<br />
: 3 5 2<br />
ៃិង ព្រីមីទីវនៃ<br />
f<br />
x<br />
2<br />
រឺ ជាអៃុរមៃ៍ F<br />
រ<br />
រឺ<br />
x<br />
sin cos<br />
F x x x x<br />
ោះ ព្រីមីទីវនៃ<br />
2x<br />
។<br />
x<br />
ដែលក្ំណត់រោយ<br />
ៃិង<br />
3x<br />
2<br />
f ( x) x cos x<br />
រឺ<br />
x<br />
x<br />
3<br />
, ព្រីមីទីវនៃ<br />
3 5 2<br />
F x x x 2x<br />
2<br />
ក្ំណត់រលើ<br />
។<br />
។<br />
ចូ បង្ហា ញថា<br />
F( x)<br />
ជាព្រីមីទីវនៃ<br />
f( x)<br />
។<br />
ចម្ល<br />
ើយ រយើងព្តូវបង្ហា ញថា F x f x<br />
។ ររមាៃអៃុរមៃ៍<br />
sin cos<br />
F x x x x<br />
ម<br />
ោះមេរីមេនៃ<br />
អៃុគ្ៃ៍ F គឺ<br />
<br />
F '( x) xsin x cos<br />
x <br />
<br />
sin x x cos x sin x<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 1
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រោយ<br />
xcos<br />
x<br />
F '( x) f ( x)<br />
ំឲ្យ<br />
F( x)<br />
ជាព្រីមីទីវនៃ<br />
f( x)<br />
ែូចរៃោះ<br />
F( x)<br />
ជាព្រីមីទីវនៃ<br />
f( x)<br />
1.2 ព្ទឹស្ត ីបទ<br />
របើ<br />
F( x)<br />
ជាព្រីមីទីវមួយនៃ<br />
f( x)<br />
រ<br />
ោះព្រីមីទីវទំងអស់នៃ<br />
f<br />
មាៃទព្មង់ទូរៅ<br />
F( x)<br />
c<br />
ដែល c<br />
ជា<br />
ចំៃួៃរេ ណាមួយ ។<br />
ឧទាហរណ៍ ១ :<br />
ក្. អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍<br />
ចំៃួៃរេ ណាមួយ ។<br />
<br />
2<br />
f x 2x x 1<br />
រលើ<br />
រឺ<br />
2 3 1 2<br />
F x x x x c<br />
3 2<br />
ដែល c<br />
ជា<br />
ខ. អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍<br />
2 cos<br />
f x<br />
<br />
<br />
x<br />
រលើ<br />
រឺ<br />
F x 2x sin x c<br />
ដែល c<br />
ជាចំៃួៃរេ<br />
ណាមួយ ។<br />
ឧទាហរណ៍ ២ : ក្ព្រីមីទីវ<br />
ចម្ល ើយ<br />
ររមាៃអៃុរមៃ៍<br />
F( x)<br />
រោយ F(0) 2 ម ោះររបាៃ<br />
ែូចរៃោះ<br />
2. អាំងតេព្ាលមិនកាំណេ់<br />
1<br />
F x x x<br />
3<br />
នៃអៃុរមៃ៍<br />
2<br />
f ( x) x sin<br />
x<br />
3<br />
( ) cos 2<br />
1 0 3<br />
<br />
3<br />
sin 0 c 2<br />
រ<br />
ជាព្រីមីទីវនៃ<br />
2<br />
f ( x) x sin<br />
x<br />
ោះព្រីមីទីវនៃ<br />
ំឲ្យ<br />
f( x)<br />
f<br />
c 2<br />
។<br />
រលើ<br />
រឺ<br />
ដែល<br />
1<br />
3<br />
F(0) 2<br />
។<br />
3<br />
F( x) x cos x c<br />
។<br />
2.1 . និមយន័យ<br />
របើ F( x ) ជាព្រីមីទីវមួយនៃ f( x ) រ ោះ អំងរតព្កាលមិៃក្ំណត់នៃ f( x ) ក្ំណត់រោយ<br />
2.2. លកខណៈននអាំងតេព្ាលមិនកាំនេ់<br />
<br />
f ( x) dx F( x)<br />
c<br />
ដែល c<br />
ជាចំៃួៃរិតរេ ។<br />
<br />
<br />
1. f x dx f x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2. d F x F x c<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 2
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
<br />
<br />
<br />
3. kf x dx k f x dx<br />
2.3 រូបមនតព្្ឹៈននអាំងតេព្ាលមិនកាំណេ់<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4. f x g x dx f x dx g x dx<br />
<br />
1. adx ax c<br />
dx<br />
3. ln x c<br />
x <br />
dx 1 1<br />
x<br />
5. ln<br />
2<br />
1x<br />
2 1x<br />
dx<br />
7. arctan x<br />
1<br />
2<br />
x <br />
dx<br />
9. 2 x c<br />
x <br />
dx<br />
11. ln<br />
<br />
c<br />
2 2<br />
x x a c<br />
2 2<br />
x a <br />
dx<br />
13. arcsin x<br />
1<br />
c<br />
2<br />
x <br />
c<br />
2.<br />
4.<br />
<br />
<br />
p1<br />
p x<br />
x dx c<br />
p 1<br />
dx 1<br />
<br />
p<br />
p<br />
x p 1<br />
x <br />
<br />
1<br />
c<br />
dx 1 a x<br />
6. ln<br />
<br />
2 2<br />
a x 2a a x<br />
2 2<br />
a x a a<br />
c<br />
dx 1 x<br />
8. arctan c<br />
10.<br />
<br />
<br />
dx 2<br />
ax b c<br />
ax b a<br />
<br />
dx<br />
12. ln<br />
<br />
2 2<br />
x x a c<br />
2 2<br />
x a <br />
dx x<br />
14. arcsin<br />
<br />
2 2<br />
a x a<br />
<br />
15. sin xdx cos x c<br />
16. cos xdx sin<br />
x c<br />
2 dx<br />
2<br />
17. 1 tan x dx sec<br />
2<br />
xdx tan x c<br />
cos<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
2 dx<br />
2<br />
18. 1 cot x dx csc<br />
2<br />
xdx cot x c<br />
sin<br />
<br />
<br />
19. tan xdx ln cos x c<br />
x<br />
dx<br />
x<br />
21. csc xdx ln tan c<br />
sin x 2<br />
<br />
<br />
23. sinh xdx cosh<br />
x c<br />
<br />
25. tanh xdx ln cosh x c<br />
27.<br />
<br />
<br />
x x<br />
e dx e c<br />
29. ln xdx x ln x x c<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
20. cot xdx ln sin x c<br />
dx<br />
x<br />
<br />
22. sec xdx ln tan c<br />
cos x<br />
<br />
2 4 <br />
<br />
24. cosh xdx sinh<br />
x c<br />
<br />
26. coth xdx ln sinh x c<br />
28.<br />
<br />
x<br />
x a<br />
a dx <br />
ln a<br />
<br />
c<br />
<br />
c<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 3
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
3. ្ណនាអាំងតេព្ាលមិនកាំណេ់<br />
3.1 ារ្ណនាអាំងតេព្ាលតោយតព្បើអតេរជាំនួយ<br />
ឧទាហរណ៏ ១ : គណ<br />
ចាំម<br />
ម<br />
អាំងមេក្រាល<br />
ោះអាំងមេក្រាខាងមលើមគតាង<br />
ោះអាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
មយើងជាំៃួស<br />
u 14x<br />
ឧទាហរណ៍ ២ : គណ<br />
<br />
u 14x<br />
<br />
dx<br />
1<br />
4x<br />
ម<br />
dx<br />
<br />
1<br />
4x<br />
<br />
ោះ<br />
du<br />
<br />
4<br />
u<br />
1<br />
<br />
4<br />
du 4dx<br />
<br />
du<br />
u<br />
1<br />
2 u c<br />
មៅក្ន ុងអាំងមេក្រាល មគបាៃ<br />
អាំងមេក្រាល<br />
<br />
<br />
<br />
cos 3x dx<br />
ចាំម ោះអាំងមេក្រាខាងមលើមគតាង u 3x<br />
ម ោះ du 3dx<br />
ឬ<br />
ម<br />
ោះអាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
មយើងជាំៃួស<br />
u 3x<br />
ឧទាហរណ៍ ៣ : គណ<br />
<br />
<br />
<br />
cos 3x dx <br />
មៅក្ន ុងអាំងមេក្រាល មគបាៃ<br />
អាំងមេក្រាល<br />
<br />
e<br />
2x<br />
dx<br />
<br />
<br />
du<br />
cosu<br />
<br />
3<br />
1<br />
cos udu<br />
3<br />
<br />
1 sin<br />
3<br />
<br />
ឬ<br />
du<br />
dx <br />
4<br />
dx 1 1 4 x c<br />
1<br />
4x 2<br />
<br />
uc<br />
ចាំម ោះអាំងមេក្រាខាងមលើមគតាង u 2x<br />
ម ោះ du 2dx<br />
ឬ<br />
ម<br />
ោះអាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
<br />
e dx e<br />
<br />
<br />
<br />
2 <br />
2x u du<br />
1 u<br />
<br />
2<br />
e du<br />
1<br />
e<br />
2<br />
du<br />
dx <br />
3<br />
1<br />
cos 3x dx sin 3x c<br />
3<br />
u<br />
c<br />
<br />
du<br />
dx <br />
2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 4
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
មយើងជាំៃួស<br />
u 2x<br />
ឧទាហរណ៍ ៤ : គណ<br />
មៅក្ន ុងអាំងមេក្រាល មគបាៃ<br />
អាំងមេក្រាល<br />
dx<br />
<br />
5x 1<br />
ចាំម ោះអាំងមេក្រាខាងមលើមគតាង u 5x 1 ម ោះ<br />
du<br />
ម ោះអាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
dx 5<br />
<br />
5x1<br />
<br />
u<br />
មយើងជាំៃួស<br />
u 5x1<br />
ឧទាហរណ៍ ៥ : គណ<br />
ចាំម<br />
ម<br />
1<br />
<br />
5<br />
<br />
<br />
1 ln<br />
5<br />
<br />
1<br />
2<br />
2x<br />
2x<br />
e dx e c<br />
du 5dx<br />
du<br />
u<br />
មៅក្ន ុងអាំងមេក្រាល មគបាៃ<br />
អាំងមេក្រាល<br />
ោះអាំងមេក្រាខាងមលើមគតាង<br />
ោះអាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
មយើងជាំៃួស<br />
u<br />
2<br />
3x<br />
4<br />
u<br />
<br />
3<br />
u c<br />
<br />
2<br />
x 3x 4 dx<br />
2<br />
3x<br />
4 ម ោះ<br />
<br />
3<br />
ឬ<br />
du<br />
dx <br />
5<br />
dx 1<br />
ln 5 x 1 c<br />
5x<br />
1 5<br />
du 6xdx<br />
2 3 du<br />
x 3x 4 dx u<br />
<br />
6<br />
មៅក្ន ុងអាំងមេក្រាល មគបាៃ<br />
តា្រយៈឧទាហរណ៍ ខាងមលើមគអចទាញថាមេើ្បីគណ<br />
ជាំៃួសមយើងក្រេូេ ៖<br />
+ តាង u f x<br />
រួចទាញរក្<br />
+ ជាំៃួស f x មោយ u<br />
+ រក្ចម្ល ើយអាំងមេក្រាល<br />
ៃិង<br />
<br />
1<br />
<br />
3<br />
6 u du<br />
ឬ<br />
31<br />
1 u<br />
c<br />
6 31<br />
4<br />
u<br />
c<br />
24<br />
<br />
du f x dx<br />
<br />
f x dx<br />
du<br />
xdx <br />
6<br />
2<br />
3 1 2<br />
3<br />
x 3x 4 dx 3x 4 c<br />
24<br />
<br />
អាំងមេក្រាល<br />
មោយ du<br />
+ ជាំៃួស u មោយ f x ម ោះមគៃឹងបាៃចម្ល ើយលេលក្រេូេរក្<br />
I f x<br />
dx<br />
<br />
មោយមក្ររើអមេរ<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 5
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
3.2 ារ្ណនាអាំងតេព្ាលតោយផ្នែក<br />
កា រណ<br />
<br />
<br />
f x g x dx f x g x g x f x dx<br />
អំងរតព្កាលរោយដ នក្មាៃរាងរព្ចើៃែូចបង្ហា ញខាងរព្កាម<br />
+រាងទី១: អាំងមេក្រាលមាៃរាង<br />
ក្ន<br />
<br />
sin<br />
<br />
P x ax b dx<br />
ៃិង<br />
<br />
<br />
cos <br />
P x ax b dx<br />
ax <br />
P x e<br />
b<br />
axb<br />
dx ៃិង P xm<br />
dx<br />
ុងក្រណី ខាងមលើមគតាង f x Px<br />
មហើយមសេងពីមៃោះតាង g x<br />
រួចទាញរក្ fx<br />
ៃិង g x <br />
+រាងទី២: អាំងមេក្រាលមាៃរាង<br />
ក្ន ុងក្រណី ខាងមលើមគតាង<br />
<br />
+រាងទី៣: អាំងមេក្រាលមាៃរាង<br />
ក្ន ុងក្រណី ខាងមលើមគតាង<br />
<br />
<br />
<br />
P x arcsin ax b dx<br />
ln<br />
<br />
P x ax b dx<br />
<br />
g<br />
x P x<br />
<br />
<br />
ៃិង<br />
ៃិង<br />
មហើយមសេងពីមៃោះតាង<br />
<br />
k<br />
x sin ln x dx<br />
<br />
x<br />
g<br />
x x<br />
+រាងទី៤: អាំងមេក្រាលមាៃរាង<br />
ក្ន ុងក្រណី ខាងមលើមគតាង<br />
ារគណ<br />
<br />
<br />
<br />
g<br />
x x<br />
k<br />
k<br />
<br />
sin log<br />
a<br />
<br />
x dx<br />
ៃិង<br />
<br />
x<br />
ៃិង<br />
រហើយរនេងរីរៃោះាង<br />
axb<br />
e x dx<br />
sin <br />
<br />
axb<br />
m x dx<br />
k<br />
sin <br />
<br />
k<br />
<br />
<br />
arccos <br />
P x ax b dx<br />
<br />
P x log m<br />
ax b dx<br />
<br />
f<br />
x<br />
<br />
cos ln x dx<br />
<br />
ៃិង<br />
ៃិង<br />
មហើយមសេងពីមៃោះតាង<br />
x<br />
<br />
k<br />
f<br />
<br />
cos log<br />
x<br />
រួចទាញរក្<br />
a<br />
,<br />
<br />
x dx<br />
រួចទាញរក្<br />
,<br />
f<br />
axb<br />
e cosx dx<br />
<br />
<br />
f<br />
x<br />
x<br />
axb<br />
m cosx <br />
dx<br />
f<br />
x<br />
រួចទាញរក្<br />
អាំងមេក្រាលមោយលសនក្អចមាៃមសេងពីក្រណី ខាងមលើមៃោះមទៀេ ។ ក្ន ុងក្រណី មសេងពីខាងមលើ<br />
រង្ហា ញេូចក្ន ុងឧទាហរណ៏ ខាងមក្រា្ ។<br />
ឧទាហរណ៍ ១ : គណ<br />
គណ<br />
អាំងមេក្រាល<br />
2x<br />
xe dx<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមោយមក្ររើអាំងមេក្រាលមោយលសនក្<br />
តាង<br />
<br />
f x<br />
g<br />
x e<br />
2x<br />
x<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
ម<br />
ោះ<br />
f<br />
x 1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
ម ោះ g x e<br />
<br />
x<br />
1 1<br />
2<br />
2<br />
2x 2x 2x<br />
xe dx xe e dx<br />
1 2x<br />
1 2x<br />
xe e dx<br />
2 2<br />
1 2x<br />
1 2x<br />
xe e c<br />
2 4<br />
f<br />
,<br />
x<br />
,<br />
ៃិង<br />
ៃិង<br />
ៃិង<br />
<br />
g x<br />
<br />
g x<br />
<br />
g x<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 6
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
េូមចនោះ<br />
2x<br />
xe dx<br />
ឧទាហរណ៍ ២ : គណ<br />
គណ<br />
1 1<br />
<br />
2 4<br />
2x<br />
2x<br />
xe e c<br />
អាំងមេក្រាល<br />
<br />
<br />
<br />
xsin 2x dx<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមោយមក្ររើអាំងមេក្រាលមោយលសនក្<br />
តាង<br />
<br />
f x<br />
x<br />
ម<br />
sin 2<br />
<br />
g<br />
x x<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
េូមចនោះ<br />
ឧទាហរណ៍ ៣ : គណ<br />
គណ<br />
ម<br />
ោះ<br />
f<br />
x<br />
ោះ<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
cos 2 x<br />
2<br />
<br />
g x<br />
1 1<br />
xsin 2xdx x cos2x cos2xdx<br />
2 2<br />
1 1 1<br />
x cos 2x sin 2x c<br />
2 2 2<br />
<br />
1 1<br />
x cos2x sin 2x<br />
c<br />
2 4<br />
1 1<br />
x cos 2x sin 2x c<br />
2 4<br />
x sin 2x<br />
dx <br />
អាំងមេក្រាល<br />
<br />
x<br />
2<br />
1dx<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមោយមក្ររើអាំងមេក្រាលមោយលសនក្<br />
តាង<br />
g<br />
<br />
2<br />
f x x<br />
x 1<br />
ម<br />
ោះ<br />
1<br />
g x<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
េូមចនោះ<br />
ឧទាហរណ៍ ៤ : គណ<br />
<br />
ម<br />
ឬ<br />
ម<br />
x<br />
<br />
<br />
ោះមគទាញបាៃ<br />
ោះ<br />
f<br />
x<br />
x<br />
<br />
2<br />
<br />
x<br />
1<br />
2<br />
2 2<br />
x 1dx x x 1<br />
dx<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
x<br />
1<br />
2<br />
x 2<br />
x 1<br />
<br />
2<br />
dx<br />
x<br />
<br />
1 1<br />
x<br />
1<br />
2 2<br />
x x 1 x 1dx<br />
<br />
2 2 2<br />
2 x 1dx x x 1 ln x x 1<br />
<br />
x 1<br />
2 2<br />
<br />
x 1<br />
2 2<br />
<br />
x<br />
dx<br />
2<br />
1<br />
2 2 2<br />
x 1dx x 2 ln x x 1<br />
c<br />
2 2 2<br />
x 1dx x 2 ln x x 1<br />
c<br />
អាំងមេក្រាល<br />
<br />
x<br />
3 cos xdx<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 7
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
គណ<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមោយមក្ររើអាំងមេក្រាលមោយលសនក្<br />
តាង<br />
<br />
3<br />
f x x<br />
g<br />
x cos x<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
ម<br />
ម<br />
ោះ<br />
ោះ<br />
2<br />
3<br />
f x x<br />
<br />
g x<br />
<br />
<br />
sin x<br />
<br />
3 3 2<br />
x cos x dx x sin x 3 x sin xdx<br />
មយើងគណ អាំងមេក្រាល x<br />
2 sin xdx មោយលសនក្មទៀេ<br />
តាង<br />
<br />
2<br />
f x x<br />
g<br />
x sin x<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
មយើងគណ<br />
តាង<br />
<br />
ម<br />
ម<br />
ោះ<br />
អាំងមេក្រាល<br />
f x<br />
g<br />
x cos x<br />
ោះ<br />
2<br />
f x x<br />
<br />
g x<br />
<br />
<br />
cos<br />
x<br />
2 2<br />
x sin xdx x cos x 2 x cos xdx<br />
x cos xdx<br />
x ម ោះ fx 1<br />
ម<br />
ោះ<br />
<br />
g x<br />
<br />
sin x<br />
មោយលសនក្មទៀេ<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា x cos xdx xsin x sin xdx<br />
ម ោះអាំងមេក្រាល x<br />
2 sin xdx<br />
សរុរ្ក្អាំងមេក្រាល<br />
េូមចនោះ<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
xsin<br />
x cos<br />
x<br />
មៅជា x 2 sin xdx x 2 cos x 2 xsin x cos x<br />
<br />
x<br />
3 cos x<br />
dx<br />
<br />
មៅជា<br />
3 3 2<br />
x cos x dx x sin x 3 x sin xdx<br />
x<br />
3 cos x<br />
dx<br />
3.3. ្ន្ ឹឹះ្ណនាអាំងតេព្ាលមិនកាំនេ់<br />
<br />
<br />
x 2 cos x 2xsin x 2cos x<br />
<br />
3 2<br />
x sin x 3 x cos x 2xsin x 2sin x c<br />
<br />
3 2<br />
x sin x 3x sin x 6xsin x 6sin x c<br />
<br />
3 2<br />
x sin x 3x sin x 6xsin x 6sin x c<br />
១.្ណនាអាំងតេព្ាលតោយតព្បើលកខណៈព្្ឹឹះននអាំងតេព្ាល<br />
<br />
ឧទហ ណ៍ រណ<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ចរមៃ<br />
dx<br />
ខ.<br />
ក្. x 1 2016<br />
<br />
ើយ ក្. x 1 2016<br />
dx<br />
<br />
2 5<br />
x x 3 2dx<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 8
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
<br />
x 1 2016 dx x 1 2016<br />
d x 1<br />
x 1 2016<br />
2 5<br />
x x 3 2dx<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2016 <br />
x 1<br />
1<br />
2016 1<br />
2017<br />
x 1<br />
2017<br />
2017<br />
x 1<br />
2017<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
1<br />
3<br />
c<br />
c<br />
c<br />
2 5 3 3 5 3<br />
x x 2dx x 2 d x<br />
2<br />
2 5<br />
x x 3 2dx<br />
1<br />
1 1<br />
3<br />
<br />
5<br />
1 x 2<br />
c<br />
3 1<br />
1<br />
5<br />
5<br />
2 <br />
6<br />
3 5<br />
18 x c<br />
5<br />
2 <br />
២.្ណនាតោយតព្បើលកខណៈននអាំងតេព្ាល<br />
6<br />
3 5<br />
18 x c<br />
ឧទហ ណ៍ រណ<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
1 2x1<br />
<br />
<br />
e dx<br />
x <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 2x1<br />
e<br />
x<br />
<br />
dx<br />
<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
ខ.<br />
<br />
tan<br />
2cot 2<br />
x x dx<br />
<br />
<br />
<br />
1 2x1 dx 2x1<br />
<br />
e dx e dx<br />
x x<br />
1<br />
2 <br />
2<br />
2x1<br />
x e c<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 9
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ែូរចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
1 2x1<br />
<br />
<br />
e dx<br />
x <br />
tan<br />
2cot 2<br />
x x dx<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
1<br />
2 <br />
2<br />
2x1<br />
x e c<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
tan x 2cos x dx tan x 4 tan xcot x 4cot x dx<br />
<br />
tan x 4 4cot<br />
2 2<br />
<br />
x dx<br />
2 2<br />
<br />
<br />
1 tan x 4 1 cot x 1<br />
<br />
dx<br />
<br />
<br />
2 2<br />
1 tan 4 1 cot <br />
x dx x dx dx<br />
ែូរចនោះ<br />
tan<br />
2cot 2<br />
៣. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
tan x 4cot x x c<br />
x x dx tan 4cot<br />
ចាំម ោះារគណ មគលចក្ពហុធា<br />
ឧទហ ណ៍ រណ<br />
ក្.<br />
ចម្ល ើយ ក្.<br />
<br />
<br />
x x<br />
2 dx<br />
x<br />
x x<br />
2 dx<br />
x<br />
x x x c<br />
<br />
P x<br />
I k<br />
x<br />
<br />
P x<br />
dx<br />
នឹង x ម<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />
ខ.<br />
<br />
ោះអាំងមេក្រាលមៅជា<br />
3<br />
x x x 1 2<br />
x<br />
4<br />
dx<br />
<br />
I Qx, dx<br />
k <br />
x <br />
េូមចនោះ<br />
<br />
<br />
x x x x<br />
dx dx<br />
2 2<br />
x<br />
<br />
x<br />
1 1<br />
2 4<br />
x x<br />
2 dx<br />
x<br />
1 1<br />
<br />
2 4 3 5 1<br />
2<br />
<br />
4 4 4<br />
4<br />
2<br />
x<br />
dx x dx x dx x c<br />
x<br />
<br />
1<br />
x x <br />
4<br />
4<br />
2 dx x c<br />
x<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 10
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ខ.<br />
<br />
3<br />
x x x 1 2<br />
x<br />
4<br />
dx<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />
េូមចនោះ<br />
<br />
2<br />
<br />
3<br />
x x x 1 6 3 4 3<br />
x x 1 2x x 2x 2x x<br />
x<br />
dx <br />
<br />
4 4<br />
3<br />
x x x 1 2<br />
៤. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
x<br />
4<br />
I <br />
dx<br />
<br />
x<br />
dx<br />
1 5<br />
<br />
2 3<br />
<br />
4 <br />
2 2<br />
x x 2x 2x dx<br />
x<br />
<br />
3 3<br />
1 3 1 3 4 4 <br />
2 2<br />
x 3ln x x x x c<br />
3 3 3 3<br />
3 3<br />
1 3 1 3 4 4 <br />
2 2<br />
x 3ln x x x x c<br />
3 3 3 3<br />
<br />
P x<br />
dx<br />
ax b<br />
ចាំម ោះារគណ មគរល្លង ឬ លចក្ពហុធា P x<br />
ៃឹង ax b<br />
ឧទាហរណ៍ គណ<br />
ក្.<br />
ចម្ល ើយ ក្.<br />
<br />
I <br />
Q x<br />
dx<br />
ax b<br />
<br />
អាំងមេក្រាល្ិៃក្ាំណេ់ខាងមក្រា្<br />
2<br />
x 3x5<br />
dx<br />
ខ.<br />
x 1<br />
<br />
x<br />
2<br />
3x5<br />
dx<br />
x 1<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />
េូមចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
x x <br />
x<br />
2 3x5<br />
1 <br />
dx<br />
2 <br />
<br />
3 dx<br />
x1 <br />
x1<br />
<br />
x<br />
2<br />
4<br />
x 5<br />
dx<br />
x 1<br />
3x5<br />
dx<br />
x 1<br />
<br />
<br />
4<br />
x 5<br />
dx<br />
x 1<br />
3 <br />
x<br />
2 dx<br />
x 1<br />
<br />
d<br />
x1<br />
<br />
x 2dx<br />
3<br />
x 1<br />
2<br />
x<br />
2x 3ln x 1<br />
c<br />
2<br />
2<br />
x<br />
2x 3ln x 1<br />
c<br />
2<br />
<br />
ម<br />
ោះអាំងមេក្រាលមៅជា<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 11
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />
េូមចនោះ<br />
<br />
<br />
4<br />
x 5<br />
dx<br />
x 1<br />
៥. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
កា រណ<br />
<br />
<br />
x 5 x <br />
dx <br />
x1 x1<br />
4 4<br />
1 6<br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
<br />
x x x <br />
2<br />
1 1 1 6<br />
x 1<br />
<br />
2 6<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
x 1 x 1<br />
dx<br />
x 1<br />
<br />
<br />
x x x 1 dx 6<br />
<br />
3 2<br />
1<br />
<br />
<br />
d x<br />
x 1<br />
1 1 1<br />
<br />
4 3 2<br />
1 4 1 3 1 2<br />
x x x x 6ln x 1<br />
c<br />
4 3 2<br />
I <br />
<br />
<br />
4 3 2<br />
x x x x 6ln x 1 c<br />
<br />
P x<br />
ax b<br />
k<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចរោោះស្រាយាមវិធីរី ែូចខាងរព្កាម<br />
វិធីាស្តសរទី១ ររព្តូវបំដលងរហុធា<br />
វិធីាស្តសរទី២ -ាង t ax b<br />
<br />
<br />
<br />
P x<br />
dx<br />
រៅជា<br />
<br />
<br />
Q ax b<br />
<br />
ax b<br />
<br />
I Q ax b, dx<br />
k<br />
ax b <br />
<br />
<br />
ម<br />
ោះមគបាៃ<br />
-ជំៃួសចូលក្ន ុងអំងរតព្កាលខាងរលើ<br />
-មគបាៃ<br />
ឧទហ ណ៍ រណ<br />
ក្.<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
<br />
<br />
<br />
t<br />
b<br />
x <br />
a <br />
dt<br />
dx <br />
a<br />
Qt<br />
I dt ួចរោោះស្រាយាមវិធីខាងរលើ<br />
k<br />
t<br />
អំងរតព្កាលមិៃក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />
2<br />
2x<br />
3x9<br />
dx<br />
ខ.<br />
2<br />
<br />
<br />
x 1<br />
2<br />
2x<br />
3x9<br />
<br />
<br />
x 1<br />
2<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
,<br />
k<br />
<br />
<br />
<br />
រ<br />
<br />
<br />
3 2<br />
2x 5x 11x<br />
4<br />
x 1<br />
3<br />
dx<br />
ោះអំងរតព្កាលរៅជា<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 12
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើាមវិធីទីរី ររបាៃ<br />
ាង<br />
t x1<br />
រ<br />
ោះ<br />
dt dx<br />
រហើយ<br />
xt1<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
2<br />
2x<br />
3x9<br />
<br />
<br />
x 1<br />
2<br />
2x<br />
3x9<br />
dx <br />
<br />
2<br />
t<br />
t<br />
<br />
2 1 3 1 9<br />
dt<br />
t<br />
2 2<br />
<br />
2<br />
2t<br />
t8<br />
t<br />
2<br />
dt<br />
1 8 <br />
2 dt<br />
<br />
2 t t <br />
8<br />
2t ln t c<br />
t<br />
dx<br />
2<br />
<br />
x 1<br />
3 2<br />
2x 5x 11x<br />
4<br />
<br />
<br />
x 1<br />
3<br />
8<br />
2<br />
x 1<br />
ln x 1<br />
c<br />
x 1<br />
8<br />
2 x 1 ln x 1<br />
c<br />
x 1<br />
dx<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
3 2<br />
2x 5x 11x<br />
4<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
<br />
x 1<br />
3<br />
dx<br />
dx<br />
3<br />
<br />
x 1<br />
<br />
<br />
3 2<br />
2x 5x 11x<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
3 2 2<br />
2 x 3x 3x 1 x 2x 1 15 x 1 18<br />
<br />
<br />
x 1<br />
x 3 2<br />
x x <br />
3<br />
x 1<br />
2 1 1 15 1 18<br />
dx<br />
<br />
1 15 18 <br />
2 d<br />
2 3<br />
x1<br />
<br />
x 1 x1 x1<br />
<br />
15 9<br />
2x 1<br />
ln x 1 c<br />
x 1 1<br />
<br />
dx<br />
៦. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់ I 2<br />
ax bx c<br />
ភារដបង<br />
2<br />
ax bx c<br />
3<br />
x<br />
2<br />
15 9<br />
2 x 1 ln x 1 c<br />
x 1 1<br />
<br />
អចស ស រៅជា<br />
x<br />
2<br />
<br />
dx<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 13
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
2<br />
<br />
b <br />
<br />
<br />
<br />
2a<br />
4a<br />
2<br />
ax bx c a x<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
ដែល<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូអរេ ាង<br />
<br />
ាង k រ ោះអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
2<br />
4a<br />
ក្.<br />
ខ.<br />
ឧទហ ណ៍ រណ<br />
ក្.<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
<br />
<br />
dx<br />
1 dt<br />
<br />
a<br />
<br />
t k<br />
2<br />
2<br />
ax bx c<br />
dx<br />
1 dt<br />
<br />
a<br />
t<br />
2<br />
2<br />
ax bx c<br />
dx<br />
រ.<br />
2<br />
ax bx c<br />
<br />
2<br />
dx<br />
7 10x4x<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
2<br />
dx<br />
7 10x4x<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
រយើងបរ ូ អរេ ាង<br />
2<br />
t x<br />
5<br />
4<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
<br />
dx<br />
រ<br />
<br />
របើ<br />
របើ<br />
0<br />
0<br />
1 dt<br />
a<br />
របើ 0<br />
t k<br />
dx<br />
ខ.<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
7 10x4x<br />
4<br />
ោះ<br />
1<br />
<br />
2<br />
7 10x4x<br />
4<br />
dt dx<br />
<br />
t<br />
2<br />
dt<br />
53<br />
<br />
16<br />
1<br />
<br />
dx<br />
b<br />
2<br />
t x<br />
2<br />
2x<br />
3x4<br />
<br />
<br />
x<br />
2<br />
dx<br />
5 7<br />
x<br />
2 4<br />
dx<br />
4ac<br />
b<br />
2a<br />
2<br />
4 5 53<br />
53<br />
t <br />
1 4<br />
ln 4 c<br />
4 2 53 53<br />
t <br />
4<br />
<br />
x<br />
<br />
4 16<br />
រ ោះ dx dt<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 14
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
dx<br />
ែូរចនោះ <br />
2<br />
7 10x4x<br />
ខ.<br />
<br />
dx<br />
2<br />
2x<br />
3x4<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
dx<br />
រយើងបរ ូ អរេ រោយាង<br />
រហើយ<br />
u arctan<br />
2<br />
2x<br />
3x4 2<br />
<br />
5 53<br />
x <br />
1<br />
ln 4 4<br />
2 53 5 53<br />
x <br />
4 4<br />
1 4x<br />
5 53<br />
ln<br />
2 53 4x<br />
5 53<br />
1 4x<br />
5 53<br />
ln<br />
2 53 4x<br />
5 53<br />
1<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
2<br />
dx<br />
3<br />
x2<br />
2<br />
dx<br />
2<br />
2 3 23<br />
3 23<br />
x<br />
tan u<br />
4 4<br />
4x<br />
3<br />
23<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
dx<br />
ែូរចនោះ 2<br />
2x<br />
3x4<br />
៧. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
<br />
<br />
<br />
I <br />
<br />
x<br />
<br />
4 16<br />
រ<br />
ោះ<br />
dx <br />
c<br />
c<br />
c<br />
23 1 tan<br />
2<br />
u du<br />
4<br />
23 2<br />
1 tan u<br />
1 du<br />
dx<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
tan u<br />
<br />
4 16<br />
2<br />
2<br />
2x<br />
3x<br />
4 2 23 23<br />
<br />
1 4<br />
2 <br />
23 du<br />
2<br />
23 u<br />
c<br />
2 4x<br />
3<br />
arctan<br />
23 23<br />
2 4x<br />
3<br />
arctan c<br />
23 23<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
mx n dx<br />
2<br />
ax bx c<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
c<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 15
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រយើងក្រៃោមអំងរតព្កាល<br />
ដែល<br />
mx n<br />
2<br />
ax bx c<br />
mx n<br />
2 2<br />
ax bx c ax bx c<br />
mx n<br />
<br />
<br />
2ax b<br />
<br />
2ax b<br />
<br />
ខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
ax bx c ax bx c ax bx c<br />
ៃិង ជាចំៃួៃដែលព្តូវក្ំណត់<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
<br />
<br />
mx n dx<br />
<br />
2<br />
2 2<br />
ax bx c<br />
រោោះស្រាយអំងរតព្កាល<br />
រហើយ<br />
<br />
ឧទហ ណ៍ រណ<br />
ក្.<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
<br />
<br />
dx<br />
2<br />
ax bx c<br />
x 1<br />
2<br />
4x<br />
4x1<br />
x 1<br />
2<br />
4x<br />
4x1<br />
<br />
<br />
2ax b dx<br />
<br />
dx <br />
ax bx c<br />
ax bx c<br />
<br />
2ax b<br />
2<br />
ax bx c<br />
ាមវិធីខាងរលើ<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
dx<br />
dx<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
ខ.<br />
dx<br />
1 3<br />
2x<br />
1<br />
<br />
x 1 dx 2 2<br />
2 2<br />
<br />
<br />
4x 4x 1 2x<br />
1<br />
x 1<br />
2<br />
4x<br />
4x1<br />
2x<br />
9<br />
dx<br />
2<br />
x 3x2<br />
dx<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
រោយបរ ូ អរេ ាង<br />
2x<br />
9<br />
dx<br />
2<br />
x 3x2<br />
dx<br />
1 dx 3 dx<br />
<br />
2<br />
<br />
2x<br />
1 2<br />
<br />
2x<br />
1<br />
2<br />
1 1 3 1<br />
ln 2x1<br />
c<br />
2 2 2 2 2x<br />
1<br />
1 3<br />
ln 2x1<br />
c<br />
4 4 2x<br />
1<br />
1 3<br />
ln 2x1<br />
c<br />
4 4 2x<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
u ax bx c<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 16
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ចំរ<br />
ោះអំងរតព្កាល<br />
2x<br />
9 2x<br />
3 6<br />
dx <br />
dx<br />
3 2 3 2<br />
<br />
2 2<br />
x x x x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2x<br />
3<br />
dx<br />
2<br />
x 3x2<br />
រយើងបរ ូ អរេ រោយាង<br />
<br />
2x<br />
3<br />
dx<br />
dx 6<br />
3 2<br />
<br />
3 2<br />
2 2<br />
x x x x<br />
3 2រ ោះ du 2x 3dx<br />
2<br />
u x x<br />
2x<br />
3 du<br />
អំងរតព្កាលរៅជា 2<br />
dx <br />
x 3x 2<br />
<br />
u<br />
ចំរ<br />
ោះអំងរតព្កាល<br />
<br />
x<br />
រយើងបរ ូ អរេ ាង<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
2<br />
dx<br />
3x2<br />
2<br />
ln ln 3 2 <br />
u c x x c<br />
អចស រស រៅជា<br />
dx<br />
3x2<br />
2<br />
2<br />
x<br />
3<br />
t x<br />
2<br />
2x<br />
9<br />
ែូរចនោះ dx<br />
2<br />
x 3x2<br />
៨. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
រយើងរោោះស្រាយរោយដចក្<br />
<br />
<br />
x<br />
I <br />
2<br />
រ<br />
ោះ<br />
dx<br />
<br />
3x2<br />
<br />
dx<br />
3 1<br />
x<br />
<br />
2<br />
4<br />
dt dx<br />
<br />
t<br />
2<br />
ln x 3x<br />
2<br />
<br />
<br />
P x<br />
<br />
P x<br />
2<br />
ax bx c<br />
ៃឹង<br />
dt<br />
<br />
4<br />
2 1<br />
1 2t<br />
1<br />
ln c<br />
2 1<br />
2t<br />
1 x 1<br />
ln<br />
2 2<br />
x<br />
c<br />
x 1<br />
3ln 2 x<br />
dx<br />
2<br />
ax bx c<br />
<br />
រ<br />
c<br />
ោះអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
P x mx n p <br />
dx Q x dx<br />
, ,<br />
2 2 2 <br />
ax bx c<br />
ax bx c ax bx c <br />
ួចរោោះស្រាយាងវិធីខាងរលើ<br />
សមាា ល់ : រៅររលរណ<br />
ឧទហ ណ៍ រណ<br />
ររបដមៃង<br />
P x<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
<br />
<br />
<br />
mx n p <br />
<br />
ax bx c ax bx c ដតមរង<br />
រៅជា Qx, ,<br />
2 2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 17
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ក្.<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
<br />
<br />
x<br />
x<br />
2<br />
x x<br />
2 dx<br />
x1<br />
2<br />
x x<br />
2 dx<br />
x1<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចបដមៃងរៅជា<br />
រយើងរណ<br />
ាង<br />
<br />
<br />
<br />
ខ.<br />
2<br />
2<br />
x x x x 1 2x<br />
1<br />
2 dx <br />
2 dx<br />
<br />
x x 1 x x 1<br />
<br />
<br />
x <br />
dx <br />
<br />
<br />
<br />
2x<br />
1<br />
dx<br />
2<br />
x x1<br />
2x<br />
1<br />
dx<br />
2<br />
x x1<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
2<br />
u x x<br />
1<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
x<br />
ខ.<br />
2<br />
x x<br />
2 dx<br />
<br />
x1<br />
រយើងដចក្រហុធា<br />
3 2<br />
x x<br />
2<br />
dx<br />
2<br />
x 2<br />
x<br />
រ<br />
<br />
ោះ<br />
<br />
<br />
du 2x 1<br />
dx<br />
2x<br />
1<br />
dx <br />
<br />
du<br />
2<br />
x x 1<br />
u<br />
<br />
x<br />
3 2<br />
2<br />
x ln x x 1 c<br />
2<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
3 2<br />
x x<br />
2<br />
dx<br />
2<br />
x 2<br />
ៃឹង<br />
2<br />
x 2<br />
3 2<br />
x x<br />
2<br />
dx<br />
2<br />
x 2<br />
2<br />
ln ln 1<br />
<br />
ររបាៃ<br />
x 3 x 2<br />
2 2 x<br />
<br />
1<br />
2 x <br />
2<br />
x 2 x 2<br />
u c x x c<br />
3 2<br />
2 2<br />
x x <br />
1<br />
x<br />
2 <br />
<br />
2 <br />
x 2 x 2<br />
<br />
1<br />
<br />
dx x dx<br />
2 2<br />
ln 2<br />
2 x x x c<br />
n<br />
៩. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់ , , <br />
<br />
I f ax b x C dx<br />
1<br />
ln 2 <br />
2 2<br />
2 x x x c<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 18
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរោោះស្រាយរោយាង<br />
n<br />
u ax b<br />
ជាំៃួសចូលក្ន ុងអាំងមេក្រាលខាងមលើរួចមោោះសា្រយតា្េិធីខាងមលើ<br />
មៅមពលគណ មគអចសរមសរេួលេលគ្មា ៃ n ax b<br />
ឧទាហរណ៍ គណ<br />
ចម្ល ើយ ក្.<br />
2 5<br />
ក្. 2<br />
អាំងមេក្រាល្ិៃក្ាំណេ់ខាងមក្រា្<br />
3x 2 x 1<br />
dx<br />
ខ.<br />
<br />
2<br />
2 5<br />
3 2 1<br />
x x dx<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />
មយើងគណ<br />
តាង<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមោយរត ូរអមេរ<br />
u<br />
5<br />
x1<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
ម<br />
ោះ<br />
5<br />
xu<br />
<br />
<br />
<br />
5<br />
4<br />
u du<br />
1<br />
<br />
dx<br />
n<br />
u ax b<br />
<br />
ន ោះ n1<br />
nu<br />
dx<br />
du<br />
a<br />
មក្រា្ទក្រ្ង់ ax<br />
b m<br />
<br />
2 5<br />
3 2 1 2<br />
5<br />
<br />
5<br />
2<br />
2x<br />
1<br />
<br />
<br />
3x<br />
1<br />
x x dx<br />
2<br />
2 5<br />
2<br />
2 4<br />
3x 2 x 1 dx 3 u 1 2<br />
<br />
<br />
<br />
u 5u du<br />
<br />
5<br />
3 6 1<br />
2 5<br />
េូមចនោះ 3 2 1 2<br />
ខ.<br />
<br />
5<br />
2<br />
2x<br />
1<br />
<br />
x x dx<br />
<br />
3x<br />
1<br />
4<br />
dx<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />
<br />
5<br />
2<br />
2x<br />
1<br />
<br />
<br />
3x<br />
1<br />
4<br />
dx<br />
10 5 6<br />
u u u du<br />
<br />
15 30 5<br />
4<br />
dx<br />
16 11 6<br />
u du u du u du<br />
17 12 7<br />
u u u<br />
15 30 5 c<br />
17 12 7<br />
<br />
15 17 12 7<br />
5 5 5 5 5<br />
x 1 x 1 x 1<br />
c<br />
17 2 7<br />
5 5 5<br />
1 1 1<br />
15 17 5 12 5<br />
7<br />
x x x c<br />
17 2 7<br />
6 1 4<br />
2 4 7<br />
<br />
3x 1 5 3x 15 3x 1<br />
5<br />
<br />
dx<br />
9 9 9<br />
<br />
11 6 1<br />
1 5 5<br />
<br />
2 3x 1 5 4 3x 1 5 7 53x 15<br />
c<br />
27 <br />
<br />
11 6<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 19
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
11 6 1<br />
1 10 10<br />
<br />
3x 1 5 3x 1 5 353x 15<br />
c<br />
27 <br />
<br />
11 3<br />
<br />
<br />
11 6 1<br />
1 10 10<br />
<br />
3x 1 5 3x 1 5 35 3x 1 5 c<br />
27 <br />
<br />
11 3<br />
<br />
<br />
2<br />
2x<br />
1<br />
dx <br />
5<br />
4<br />
<br />
3x<br />
1<br />
១០. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
ក្រៃោម<br />
ាង<br />
<br />
2<br />
ax bx c a<br />
<br />
k <br />
4a<br />
0<br />
2<br />
រ<br />
<br />
I <br />
<br />
2<br />
ax bx c a x<br />
<br />
dx<br />
2<br />
ax bx c<br />
អចស ស រៅជា<br />
2<br />
<br />
b <br />
<br />
<br />
<br />
2a<br />
4a<br />
ោះអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
dx<br />
2<br />
ax bx c<br />
<br />
<br />
<br />
a t<br />
dt<br />
2<br />
k<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
ដែល<br />
ដែល<br />
2<br />
b <br />
t x<br />
ួចរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើាម ូបមៃរព្រឹោះ<br />
ឧទហ ណ៍ រណ<br />
ក្.<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
<br />
<br />
dx<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
2<br />
2x<br />
5x6<br />
dx<br />
2<br />
2x<br />
5x6<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
2<br />
2x<br />
5x<br />
6<br />
ខ.<br />
dx<br />
dx<br />
<br />
2 5 <br />
2x<br />
x3<br />
2 <br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
dx<br />
<br />
2 2 5<br />
x x3<br />
2<br />
រោោះស្រាយអំងរតព្កាលរោយបរ ូ អរេ ាង<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
1<br />
<br />
dx<br />
2<br />
2 5 23<br />
<br />
x<br />
<br />
4 16<br />
u x<br />
dx<br />
b<br />
2a<br />
4 6x3x<br />
5<br />
4<br />
2<br />
4ac<br />
រ ោះ du dx<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 20
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
<br />
dx<br />
2<br />
2x<br />
5x6<br />
<br />
1<br />
<br />
du<br />
2 2 23<br />
u <br />
16<br />
1 23<br />
ln <br />
2<br />
16<br />
2<br />
u u c<br />
ែូរចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
dx<br />
2<br />
2x<br />
5x6<br />
dx<br />
4 6x3x<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
2<br />
1 5 5 23<br />
ln x x c<br />
2 4 4 16<br />
1 5<br />
x x x c<br />
2 4<br />
2<br />
ln 2 5 6 <br />
<br />
dx<br />
4 6x3x<br />
រោោះស្រាយអំងរតព្កាលរោយបរ ូ អរេ ាង<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
<br />
1 5 2<br />
ln x 2x 5x 6 c<br />
2 4<br />
2<br />
dx<br />
<br />
1<br />
4 6x3x<br />
<br />
3 7<br />
<br />
9<br />
រោោះស្រាយអំងរតព្កាលរោយបរ ូ អរេ មរងរទៀត<br />
ាង<br />
u <br />
7 sin<br />
3<br />
t<br />
រ<br />
ោះ<br />
du <br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
7 cos<br />
3<br />
tdt<br />
2<br />
dx<br />
<br />
u x1<br />
<br />
រហើយ<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
x 1<br />
រ<br />
du<br />
2<br />
ោះ<br />
3 7<br />
u<br />
9<br />
2<br />
du dx<br />
3 x 1<br />
t arcsin<br />
7<br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
4 6x3x<br />
2<br />
7 cos tdt<br />
1<br />
3<br />
3<br />
<br />
7 7 sin<br />
2<br />
t<br />
9 9<br />
1<br />
3 t<br />
c<br />
<br />
1 3 x 1<br />
arcsin c<br />
3 7<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 21
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
dx<br />
4 6x3x<br />
១១. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
2<br />
<br />
I <br />
1 3 x 1<br />
arcsin<br />
<br />
<br />
3 7<br />
<br />
<br />
mx n dx<br />
2<br />
ax bx c<br />
ក្រៃោមអំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
រ<br />
ចំរ<br />
mx n<br />
2 2<br />
ax bx c ax bx c<br />
ោះអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ោះអំងរតព្កាល<br />
រហើយអំងរតព្កាល<br />
ឧទហ ណ៍ រណ<br />
ក្.<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
<br />
<br />
<br />
2ax b<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
c<br />
ដែល<br />
<br />
,<br />
<br />
mx n 2ax b dx dx<br />
dx <br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
ax bx c ax bx c ax bx c<br />
<br />
<br />
<br />
2ax b<br />
<br />
2<br />
ax bx c<br />
dx<br />
2<br />
ax bx c<br />
dx<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
x 2<br />
dx<br />
2<br />
x 2x2<br />
x 2<br />
dx<br />
2<br />
x 2x2<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
+ចំរ<br />
ោះអំងរតព្កាល<br />
2<br />
u x x<br />
2 2<br />
អំងរតព្កាលខាងរៅជា<br />
រោោះស្រាយរោយាង<br />
រោោះស្រាយាមវិធីខាងរលើ<br />
ខ.<br />
<br />
2<br />
x<br />
x<br />
ជាចំៃួៃដែលព្តូវក្ំណត់<br />
x 1<br />
dx<br />
4 5<br />
2 2 2<br />
x x x x x x<br />
2<br />
u ax bx c<br />
x 2 1 2x 2<br />
dx<br />
dx <br />
dx <br />
2 2 2 2 2 2 2<br />
<br />
<br />
រ<br />
2x<br />
2<br />
dx<br />
2<br />
x 2x2<br />
<br />
ោះ<br />
<br />
រោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ<br />
<br />
du 2x 2<br />
dx<br />
2x<br />
2<br />
dx <br />
2<br />
x 2x2<br />
<br />
du<br />
u<br />
+ចំរ<br />
ោះអំងរតព្កាល<br />
<br />
<br />
x<br />
2<br />
dx<br />
2x2<br />
<br />
<br />
2<br />
2 u 2 x 2x<br />
2<br />
អចស រស រៅជា<br />
dx<br />
dx<br />
<br />
x 2 2x2 x 1 2<br />
1<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 22
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រោោះស្រាយអំងរតព្កាលរោយបរ ូ អរេ មរងរទៀត ាង u x 1 រ ោះ du dx<br />
អំងរតព្កាលខាងរៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
<br />
x 2<br />
dx<br />
2<br />
x 2x2<br />
x 1<br />
dx<br />
4 5<br />
2<br />
x<br />
x<br />
dx du<br />
<br />
2 2<br />
x 2x 2 u 1<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
+ចំរ<br />
ោះអំងរតព្កាល<br />
2<br />
u x x<br />
arctan uc<br />
<br />
arctan x1<br />
c<br />
2<br />
x 2x 2 <br />
<br />
arctan x1<br />
c<br />
x 1 1 2x 4<br />
dx<br />
dx <br />
dx 3<br />
4 5 2 4 5 4 5<br />
<br />
2 2 2<br />
x x x x x x <br />
<br />
4 5<br />
អំងរតព្កាលខាងរៅជា<br />
2x<br />
4<br />
dx<br />
4 5<br />
2<br />
x<br />
x<br />
រ ោះ 2 4<br />
<br />
du x dx<br />
2x<br />
4<br />
dx <br />
4 5<br />
2<br />
x<br />
x<br />
រោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ<br />
<br />
du<br />
u<br />
+ចំរ<br />
ោះអំងរតព្កាល<br />
<br />
<br />
dx<br />
2<br />
x<br />
x<br />
4 5<br />
<br />
2<br />
2 u 2 x 4x<br />
5<br />
អចស រស រៅជា<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dx d x<br />
2<br />
<br />
x 4x 5 9 x 2<br />
2 2<br />
x 2<br />
arcsin c<br />
3<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
x 1<br />
dx <br />
4 5<br />
2<br />
x<br />
x<br />
១២. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
I <br />
<br />
2 x 2<br />
x 4x 5 3arcsin c 3<br />
<br />
P x<br />
2<br />
ax bx c<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជាទព្មង់<br />
<br />
ដែល<br />
<br />
P x<br />
<br />
2<br />
2 2<br />
ax bx c ax bx c<br />
<br />
dx<br />
dx Q x ax bx c <br />
<br />
deg Q x deg P x 1<br />
<br />
dx<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 23
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រធវ ើរែ ីរវរលើអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />
<br />
P x<br />
<br />
<br />
2<br />
Q x ax bx c <br />
2 2<br />
ax bx c ax bx c<br />
ួចរោោះស្រាយ ក្រហុធា<br />
Q x ៃិង <br />
<br />
<br />
<br />
ឧទហ ណ៍ រណ<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
2<br />
ក្. 2x<br />
x1<br />
dx<br />
2<br />
22xx<br />
ខ.<br />
<br />
2<br />
2x<br />
x1<br />
22xx<br />
2<br />
dx<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3 2<br />
3x 2x 3x<br />
4<br />
x<br />
2<br />
4x5<br />
2<br />
2x x 1<br />
2 dx<br />
dx ax b 2 2x x <br />
2 2<br />
2 2x x 2 2x x<br />
រធវ ើរែ ីរវរលើអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />
2<br />
2 1 2<br />
1<br />
x x x <br />
a 2 2x x ax b<br />
<br />
2 2x x 2 2x x 2 2x x<br />
2 2 2<br />
2 2<br />
2 2 <br />
a x x ax ax bx b <br />
<br />
2<br />
22xx<br />
<br />
<br />
2<br />
2ax 3a b x 2a b <br />
<br />
22xx<br />
រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររទញបាៃ<br />
2a<br />
2<br />
<br />
3a<br />
b 1<br />
<br />
2a b<br />
1<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
អំងរតព្កាល<br />
<br />
រ<br />
ោះ<br />
2<br />
a<br />
1<br />
<br />
b<br />
2<br />
<br />
<br />
5<br />
2<br />
2x x 1<br />
2 dx<br />
dx x 2<br />
2 2x x 5<br />
2 2<br />
<br />
2 2x x 2 2x x<br />
dx<br />
22xx<br />
2<br />
អចស រស រៅជា<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dx d x1<br />
<br />
22xx 3 1x<br />
<br />
2 2<br />
dx<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 24
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ែូរចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
arcsin<br />
<br />
<br />
x 1<br />
3<br />
c<br />
2<br />
2x<br />
x1<br />
2<br />
dx x 2<br />
2 2x x 5arcsin c<br />
2<br />
22xx<br />
3 2<br />
3x 2x 3x<br />
4<br />
x<br />
2<br />
4x5<br />
dx<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
3 2<br />
3 2 3 4<br />
2 2<br />
dx ax bx c<br />
x 4x<br />
5<br />
2 2<br />
<br />
<br />
x 1<br />
x x x dx<br />
x 4x 5 x 4x<br />
5<br />
រធវ ើរែ ីរវរលើអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />
3 2<br />
3x 2x 3x 4 x 2<br />
2 2<br />
<br />
2ax b x 4x 5<br />
ax bx c<br />
<br />
4 5 4 5 4 5<br />
2 2 2<br />
x x x x x x<br />
<br />
<br />
2ax b x 2 4x 5 ax 2 bx cx<br />
2<br />
រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររទញបាៃ<br />
3a<br />
3<br />
<br />
10a<br />
2b<br />
2<br />
<br />
10a 4b c 3<br />
<br />
<br />
2c<br />
4<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
<br />
អំងរតព្កាល<br />
<br />
x<br />
2<br />
4x5<br />
<br />
3 2<br />
3 10 2 10 4 <br />
2<br />
ax a b x a b c x c<br />
រ<br />
ោះ<br />
a<br />
1<br />
b<br />
6<br />
<br />
c<br />
37<br />
<br />
<br />
76<br />
22xx<br />
3 2<br />
3 2 3 4<br />
2 2<br />
dx x 6x 37<br />
x 4x<br />
5 76<br />
2 2<br />
x x x dx<br />
x 4x 5 x 4x<br />
5<br />
<br />
x<br />
2<br />
dx<br />
4x5<br />
<br />
អចស រស រៅជា<br />
dx d x<br />
2<br />
<br />
2 <br />
2<br />
x 4x5 x 2 9<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
ln x 2 x 2 9 c<br />
2<br />
ln 2 4 5<br />
<br />
x x x c<br />
2<br />
<br />
<br />
3<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 25
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
3 2<br />
3x 2x 3x<br />
4<br />
ែូរចនោះ <br />
<br />
2<br />
x<br />
4x5<br />
១៣. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
2 2 2<br />
dx x 6x 37 x 4x 5 76ln x 2 x 4x 5<br />
c<br />
I <br />
<br />
dx<br />
<br />
2<br />
mx n ax bx c<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
ឧទហ ណ៍ រណ<br />
ក្.<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
<br />
<br />
1<br />
mx n<br />
រ ោះ<br />
t<br />
dx<br />
2<br />
x x x<br />
dx<br />
2<br />
x x x<br />
dt<br />
dx <br />
mt<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
1<br />
1<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
1<br />
x <br />
t<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
<br />
រ<br />
ោះ<br />
dx<br />
<br />
2<br />
x x x<br />
1<br />
2<br />
dt<br />
dx <br />
2<br />
t<br />
<br />
<br />
<br />
dt<br />
<br />
2<br />
t<br />
1 1 1<br />
1<br />
2<br />
t t t<br />
<br />
<br />
t<br />
2<br />
dt<br />
t1<br />
dt<br />
2<br />
ខ.<br />
<br />
1<br />
3<br />
t<br />
<br />
2<br />
4<br />
dx<br />
<br />
2<br />
x 1 x 2x<br />
2<br />
1 1 3<br />
ln<br />
t t c<br />
2 2 4<br />
1<br />
t t t c<br />
2<br />
2<br />
ln 1<br />
<br />
1 1 1 1<br />
ln 1<br />
c<br />
2<br />
x 2 x x<br />
2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 26
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ែូរចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
dx<br />
1 1 1 1<br />
ln 1<br />
c<br />
x 2 x x<br />
2<br />
x x x<br />
1<br />
2<br />
dx<br />
<br />
2<br />
x 1 x 2x<br />
2<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
dx<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
x x x x x <br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
1<br />
x 1<br />
<br />
t<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
dx<br />
<br />
2<br />
រ<br />
<br />
ោះ<br />
x 1 x 2x<br />
2<br />
១៤. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
I <br />
1 2 2 2 1 1 2<br />
1<br />
dt<br />
dx <br />
2<br />
t<br />
dx<br />
<br />
2<br />
x 1 x 2x<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dt<br />
<br />
2<br />
t<br />
1 1<br />
1<br />
2<br />
t t<br />
<br />
t<br />
dt<br />
2<br />
1<br />
arctan t<br />
c<br />
1<br />
arctan<br />
<br />
x 1 c<br />
1<br />
arctan<br />
<br />
x 1 c<br />
px <br />
<br />
2<br />
q dx<br />
mx n ax bx c<br />
ក្រៃោមអំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
រ<br />
<br />
px q<br />
mx n<br />
<br />
<br />
ដែល<br />
<br />
mx n ax 2 bx c mx n ax 2 bx c<br />
ោះអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
,<br />
<br />
px q dx dx<br />
dx <br />
<br />
<br />
<br />
ជាចំៃួៃដែលព្តូវក្ំណត់<br />
2 2 2<br />
mx n ax bx c ax bx c mx n ax bx c<br />
ួចរោោះស្រាយអំងរតព្កាលទំងរី ាមវិធីខាងរលើ<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 27
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ឧទហ ណ៍ រណ អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
<br />
<br />
xdx<br />
<br />
2<br />
x 1 x 2x<br />
3<br />
xdx<br />
<br />
2<br />
x 1 x 2x<br />
3<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ខ.<br />
xdx<br />
x 1 1<br />
<br />
x x x x x x <br />
+ចំរ ោះអំងរតព្កាល<br />
1 2 2 3 1 2 2 3<br />
<br />
<br />
x<br />
2<br />
<br />
<br />
dx<br />
2x3<br />
<br />
(2x<br />
3) dx<br />
2<br />
( x 1) x 2x<br />
2<br />
<br />
dx<br />
dx<br />
dx<br />
<br />
2 3 1 2 3<br />
x 2 x x x 2 x<br />
<br />
អចស រស រៅជា<br />
dx d x1<br />
<br />
x 2 2x3 x 1 2<br />
2<br />
<br />
<br />
u<br />
2<br />
<br />
du<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
ln u u 2<br />
<br />
+ចំរ<br />
ោះអំងរតព្កាល<br />
ាង<br />
1<br />
x 1<br />
<br />
t<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
<br />
2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 28<br />
<br />
រ<br />
<br />
2<br />
ln x 1 x 2x<br />
3<br />
dx<br />
x 1 x 2x<br />
3<br />
ោះ<br />
dt<br />
dx <br />
2<br />
t<br />
រោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ<br />
dx<br />
dx<br />
<br />
1 2 3 1 1 4 1 1<br />
<br />
x x 2 x x x 2<br />
x <br />
<br />
<br />
<br />
dt<br />
<br />
2<br />
t<br />
1 1 4<br />
1<br />
2<br />
t t t<br />
<br />
dt<br />
14tt<br />
2
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
xdx<br />
<br />
2<br />
ខ.<br />
x 1 x 2x<br />
3<br />
<br />
(2x<br />
3) dx<br />
2<br />
( x 1) x 2x<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
t<br />
2<br />
d t<br />
arcsin<br />
5<br />
2<br />
<br />
t 2<br />
<br />
5<br />
<br />
<br />
c<br />
<br />
<br />
2x<br />
1<br />
arcsin 5 x 1<br />
c<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2x<br />
1<br />
ln x 1 x 2x 3 arcsin c<br />
5 x 1<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
(2x<br />
3) dx<br />
<br />
( x 1) x 2 2x 2 x 1 x 2 2x<br />
2<br />
+ចំរ ោះអំងរតព្កាល<br />
<br />
<br />
x<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
dx<br />
2x2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 x 1 1<br />
<br />
dx<br />
dx<br />
dx<br />
<br />
2 2 1 2 2<br />
2 2<br />
x x x x x<br />
អចស រស រៅជា<br />
dx d x1<br />
<br />
x 2 2x2 x 1 2<br />
1<br />
<br />
<br />
u<br />
2<br />
<br />
du<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
2<br />
ln u u 1<br />
<br />
+ចំរ<br />
ោះអំងរតព្កាល<br />
ាង<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
ln x 1 x 2x<br />
2<br />
dx<br />
x 1 x 2x<br />
2<br />
1<br />
dt<br />
x 1<br />
រ ោះ dx <br />
2<br />
t<br />
t<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
<br />
<br />
រោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ<br />
d<br />
x1<br />
<br />
dx<br />
<br />
x x x x x <br />
2 2<br />
1 2 2 1 1 1<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 29
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
<br />
<br />
<br />
dt<br />
<br />
2<br />
t<br />
1 1<br />
1<br />
2<br />
t t<br />
<br />
t<br />
dt<br />
2<br />
1<br />
2<br />
ln 1<br />
<br />
t t c<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
xdx<br />
<br />
2<br />
x 1 x 2x<br />
3<br />
១៥. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
1 1 2<br />
ln 2 c<br />
x1 x1<br />
<br />
x 1 2<br />
2<br />
1 1 2<br />
ln x 1 x 2 x 2 ln 2<br />
2<br />
x1 x 1<br />
x1<br />
c<br />
I <br />
<br />
dx<br />
p 2<br />
<br />
mx n ax bx c<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយាង<br />
ក្ន ុងអំងរតព្កាល ួចរោោះស្រាយាមវិធីខាងរលើ<br />
ឧទហ ណ៍ រណ<br />
ក្.<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
<br />
<br />
3 2<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
dx<br />
2x 1 4x 4x<br />
5<br />
dx<br />
3 2<br />
2x 1 4x 4x<br />
5<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
ខ.<br />
<br />
1<br />
mx n<br />
<br />
t<br />
រ<br />
dx<br />
ោះ<br />
4 2<br />
x 1 5 2x x<br />
dx<br />
dx<br />
<br />
2 1 3 4 2 4 5 2 1 3 2 1 2<br />
4<br />
<br />
x x x x x <br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ ាង<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
<br />
dx<br />
<br />
3 2<br />
2x 1 4x 4x<br />
5<br />
<br />
<br />
dt<br />
<br />
2<br />
2t<br />
1 1<br />
4<br />
3 2<br />
t t<br />
<br />
1<br />
2x<br />
1<br />
t<br />
<br />
dt<br />
dx <br />
mt<br />
រ<br />
ោះ<br />
2<br />
ួចជំៃួសចូល<br />
dt<br />
dx <br />
2<br />
2t<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 30
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាល<br />
ាង<br />
g<br />
t<br />
<br />
<br />
f t<br />
<br />
t<br />
2<br />
1<br />
4t<br />
2<br />
1 t<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
4t<br />
2<br />
dt<br />
<br />
f t g t dt f t g t f t g t dt<br />
t<br />
t<br />
រ<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
4t<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
រ<br />
ោះ<br />
f<br />
ោះ<br />
t 1<br />
<br />
1 1 4<br />
4<br />
2<br />
t<br />
g t<br />
2<br />
dt<br />
ាមអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />
រ<br />
ោះ<br />
ឬ<br />
<br />
t<br />
2<br />
1<br />
4t<br />
1 1<br />
4 4<br />
2 2<br />
dt t 1 4t 1<br />
4t dt<br />
2<br />
1 1 1<br />
4t<br />
<br />
4 4<br />
1<br />
4t<br />
2<br />
t 2<br />
1 4t 2<br />
dt<br />
<br />
1 1 dt t<br />
<br />
4 4<br />
<br />
14t<br />
14t<br />
2<br />
t 2<br />
1 4t 2 2<br />
dt<br />
2<br />
t 1 1 dt<br />
2<br />
1 4<br />
1 4 4 4<br />
t<br />
14t<br />
<br />
2<br />
dt t t <br />
2 2<br />
2<br />
t 1 1 dt<br />
1 4 8 8<br />
t<br />
14t<br />
2<br />
dt t 1 4t<br />
<br />
2 2<br />
1 1 d 2t<br />
8 16<br />
<br />
1<br />
4t<br />
2<br />
t 1 4t<br />
<br />
1 1<br />
<br />
8 16<br />
2 2<br />
t 1 4t ln 2t 1 4t c<br />
<br />
<br />
2<br />
1 4 1 2 4<br />
1 ln 1<br />
c<br />
2 2<br />
8 2x1 2x1 16 2x1<br />
2x1<br />
<br />
<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
dx<br />
3 2<br />
ខ.<br />
2x 1 4x 4x<br />
5<br />
<br />
dx<br />
4 2<br />
x 1 5 2x x<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
1 4 1 2 4<br />
1 ln 1<br />
c<br />
2 2<br />
8 2x1 2x1 16 2x1<br />
2x1<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 31
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
<br />
dx<br />
<br />
dx<br />
x 1 5 2x x x1 6 1<br />
x<br />
<br />
4 2 4 2<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ ាង<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
4 2<br />
x 1 5 2x x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dt<br />
<br />
2<br />
t<br />
1 6 <br />
1<br />
4 2<br />
t t<br />
<br />
<br />
t<br />
3<br />
2<br />
6t<br />
1<br />
<br />
dt<br />
1 1<br />
6 6<br />
<br />
2<br />
t 6t 1<br />
t<br />
2<br />
6t<br />
1<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
u <br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
<br />
2<br />
6t<br />
1<br />
dx<br />
4 2<br />
x 1 5 2x x<br />
dx<br />
4 2<br />
x 1 5 2x x<br />
រ<br />
ោះ<br />
1<br />
x 1<br />
<br />
t<br />
dt<br />
1 1 t<br />
<br />
6<br />
<br />
6<br />
6t<br />
1<br />
du<br />
tdt<br />
12<br />
2<br />
t 6t 1dt dt<br />
2<br />
1 du 1 1 du<br />
<br />
6<br />
u <br />
12 6<br />
<br />
u 12<br />
1 1 du<br />
udu<br />
72<br />
<br />
36<br />
2<br />
u<br />
3<br />
1 2 1<br />
2<br />
u u c<br />
72 3 36<br />
1<br />
3 1<br />
t 2 t c<br />
108 36<br />
2 2<br />
6 1 6 1<br />
<br />
3<br />
2<br />
រ<br />
ោះ<br />
dt<br />
dx <br />
2<br />
t<br />
1 6 1 6<br />
1 1<br />
2<br />
c<br />
2<br />
108 x1 <br />
36 x1<br />
3<br />
2<br />
1 6 1 6<br />
1 1<br />
2<br />
c<br />
2<br />
108 x1 <br />
36 x1<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 32
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
១៦. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
<br />
2<br />
I ax bx cdx<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើែូចក្ ណី ខាងរព្កាម<br />
ក្.របើ<br />
ខ.របើ<br />
a 0<br />
c 0<br />
ៃិង<br />
ៃិង<br />
0<br />
0<br />
រ. របើ ៃិង ជាឬសនៃ<br />
ឧទហ ណ៍ រណ<br />
ក្.<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
រិៃិតយរមើល<br />
<br />
<br />
ររបរ ូ អរេ រោយាង<br />
ររបរ ូ អរេ រោយាង<br />
2<br />
ax bx c<br />
2<br />
ax bx c x a t<br />
2<br />
ax bx c xt c<br />
0 ររបរ ូ អរេ រោយាង<br />
2<br />
ឬ <br />
2<br />
ax bx c x t<br />
dx<br />
2<br />
x x x<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
1<br />
dx<br />
2<br />
x x x<br />
1<br />
3<br />
0<br />
ៃិង<br />
2<br />
x x 1<br />
x t<br />
រហើយ<br />
dx <br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
<br />
2<br />
x x x<br />
a 10<br />
ឬ<br />
<br />
<br />
ax bx c x t<br />
ខ.<br />
<br />
dx<br />
2<br />
1 x 4x<br />
3<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយាង<br />
x x 1 x 2xt t<br />
2 2 2<br />
2<br />
2 t t1<br />
<br />
2t<br />
1<br />
dx<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
dt<br />
2<br />
2 t t1<br />
t<br />
<br />
2t1<br />
ក្រៃោមអំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
2<br />
2 1<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
dt<br />
t t A B C<br />
<br />
2 2<br />
t 2t 1 t 2t<br />
1<br />
2t1<br />
ក្រៃោមខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
2<br />
2t<br />
2t<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
2 1 2 1<br />
<br />
A t Bt Ct t<br />
2 <br />
2<br />
t 2t 1 t 2t<br />
1<br />
2<br />
2t<br />
2t<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
4 2 4<br />
<br />
<br />
A C t A B C t A<br />
2 <br />
2<br />
t 2t 1 t 2t<br />
1<br />
រព្បៀបរធៀបអងាទំងរី នៃក្រៃោមខាងរលើររទញបាៃ<br />
រ<br />
ោះ<br />
2<br />
t 1<br />
x <br />
2t<br />
1<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 33
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
A<br />
2<br />
<br />
4A2C<br />
2<br />
<br />
4A B C 2<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
2<br />
x x x<br />
រ ោះ<br />
A<br />
2<br />
<br />
C<br />
3<br />
<br />
B<br />
3<br />
dx 2 3 3 <br />
<br />
dt<br />
1<br />
<br />
t 2t<br />
1 2<br />
2t1<br />
<br />
dt dt dt<br />
2 3 3<br />
t<br />
2 t<br />
1<br />
2t<br />
1 2<br />
3 3<br />
2ln t ln 2t 1<br />
c<br />
2 2 2t<br />
1<br />
3<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2ln x x x 1 ln 2 x x x 1 1<br />
<br />
3<br />
2<br />
4 x x x 1 2<br />
<br />
c<br />
<br />
dx<br />
<br />
2<br />
x x x 1<br />
ខ.<br />
<br />
រិៃិតយរមើលសមីកា<br />
dx<br />
2<br />
1 x 4x<br />
3<br />
x<br />
2<br />
3 <br />
2<br />
2 2<br />
2ln x x x 1 ln 2 x x x 1 1<br />
<br />
<br />
4x 3 0<br />
3<br />
2<br />
4 x x x 1 2<br />
មាៃឫស<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយាង<br />
2<br />
x 4x 3 x 1<br />
t<br />
2<br />
3<br />
t<br />
ឬ x រហើយ dx <br />
2<br />
1 t<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
dx<br />
<br />
2 <br />
1 x 4x<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
x 1 ៃិង<br />
c<br />
<br />
<br />
x 3<br />
ឬ 2 2<br />
<br />
x 1 x 3 x 1<br />
t<br />
<br />
4tdt<br />
2<br />
t<br />
1 2<br />
4dt<br />
2<br />
<br />
2 3<br />
t <br />
t 1<br />
1 t<br />
1<br />
2 <br />
1<br />
t <br />
4tdt<br />
2<br />
t 2t1<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 34
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ចំរ ោះអំងរតព្កាល<br />
<br />
2t<br />
2<br />
dt<br />
2<br />
t 2t1<br />
2t<br />
2<br />
អំងរតព្កាល<br />
2<br />
dt រៅជា<br />
t 2t1<br />
<br />
2t<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4t<br />
4 4<br />
dt<br />
2<br />
t 2t1<br />
2t<br />
2<br />
dt<br />
2<br />
dt 4<br />
2 2<br />
t 2t 1 t 2t<br />
1<br />
រោោះស្រាយរោយាង<br />
រហើយ 2 2<br />
dt <br />
2<br />
t 2t 1<br />
u<br />
du t dt<br />
<br />
du<br />
ln u c<br />
2<br />
ln 2 1<br />
<br />
t t c<br />
2<br />
u t t<br />
2 1<br />
ចំរ ោះអំងរតព្កាល<br />
ស ុបមក្<br />
<br />
dx<br />
<br />
2<br />
1 x 4x<br />
3<br />
t<br />
2<br />
dt<br />
2t1<br />
១៧. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
x3 x3<br />
ln 2 1<br />
x1 x1<br />
អចស រស រៅជា<br />
dt<br />
<br />
2<br />
dt<br />
1<br />
<br />
2<br />
t 2t1 t 1 2<br />
<br />
1 t 1<br />
2<br />
ln<br />
2 t 1<br />
2<br />
<br />
<br />
x3 x3<br />
2ln 2 1<br />
x1 x1<br />
<br />
<br />
2<br />
x 3 1<br />
2<br />
1<br />
ln<br />
x 1<br />
2 x 3 1<br />
2<br />
x 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 ln<br />
x 3 1 2 x1<br />
2 x 3 1 2 x1<br />
<br />
2 ln<br />
I mx n ax bx cdx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x 3 1 2 x1<br />
x 3 1 2 x1<br />
c<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 35
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
+ចំរ<br />
+ចំរ<br />
2<br />
<br />
<br />
2 2<br />
mx n ax bx cdx ax b ax bx cdx<br />
ដែល ៃិង ជាចំៃួៃដែលព្តូវក្ំណត់<br />
ោះអំងរតព្កាល<br />
ោះអំងរតព្កាល<br />
ឧទហ ណ៍ រណ<br />
ក្.<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2ax b ax bx cdx ax bx cdx<br />
2ax b ax bx cdx<br />
2<br />
ax bx cdx<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
2x 1 x x 3dx<br />
<br />
2<br />
2x 1 x x 3dx<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
+ចំរ<br />
អំងរតព្កាល<br />
+ចំរ<br />
ោះអំងរតព្កាល<br />
រោោះស្រាយរោយាង<br />
រោោះស្រាយាមវិធីខាងរលើ<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
1 3x x 4x 2dx<br />
2 2<br />
2x 1 x x 3dx 2x 1 2<br />
x x 3dx<br />
<br />
ោះអំងរតព្កាល<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
2x 1 x x 3dx<br />
2x 1 x x 3dx<br />
រោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ ាង<br />
អំងរតព្កាលរៅជា<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
<br />
2<br />
u ax bx c<br />
2x 1 x x 3dx 2 x x 3dx<br />
រ ោះ 2 1<br />
<br />
2<br />
x x 3dx<br />
រោយាង<br />
du x dx<br />
រៅជា<br />
<br />
2<br />
2<br />
u x x<br />
2x 1 x x 3dx udu<br />
<br />
2<br />
3 u<br />
អចស រស រៅជា<br />
<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
3 x x<br />
3<br />
2 3<br />
2<br />
2 1 11<br />
x x 3dx <br />
x dx<br />
2<br />
4<br />
1<br />
u x រ ោះ dx du<br />
2<br />
<br />
<br />
x x 3dx u du<br />
4<br />
2 2 11<br />
2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 36
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រយើងរោោះស្រាយ<br />
តាង<br />
g<br />
u<br />
<br />
<br />
<br />
f u<br />
<br />
2<br />
u<br />
du<br />
2 11<br />
u <br />
4<br />
<br />
<br />
2<br />
u 11 du<br />
du <br />
2 11 4<br />
2 11<br />
u <br />
u <br />
4 4<br />
<br />
<br />
2<br />
u 11 2u<br />
du arctan<br />
2 11 2 11<br />
u <br />
4<br />
រោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />
<br />
f u g u du f u g u f u g u du<br />
u<br />
u<br />
ម<br />
2 11<br />
u <br />
4<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
<br />
ែូរចនោះ <br />
2<br />
<br />
ោះ<br />
2x 1 x x 3dx<br />
<br />
ខ. <br />
2<br />
ម<br />
f<br />
ោះ<br />
u 1<br />
<br />
g u<br />
<br />
u<br />
2<br />
1<br />
<br />
<br />
11<br />
4<br />
2<br />
u du u dt<br />
<br />
2 11 2 11 2 11<br />
u u u <br />
4 4 4<br />
<br />
<br />
u<br />
2<br />
2<br />
x x 3dx<br />
1 3x x 4x 2dx<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
u<br />
<br />
<br />
2 2u<br />
arctan<br />
11 11 11<br />
4<br />
u 7 2u<br />
arctan c<br />
2 11 2 11 11<br />
u <br />
4<br />
2x<br />
1 7 2x<br />
1<br />
arctan c<br />
2 11 2 11<br />
2<br />
2 x x3<br />
3<br />
2 2 2x<br />
1 7 2x<br />
1<br />
x x 3<br />
2<br />
arctan c<br />
3<br />
2<br />
2 x x3<br />
2 11 2 11<br />
<br />
<br />
3 <br />
x x x dx<br />
<br />
x x x dx<br />
2 <br />
<br />
<br />
2 2<br />
1 3 4 2 2 4 7 4 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 37
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
+ចំរ ោះអំងរតព្កាល <br />
2<br />
ាង<br />
3<br />
2 2<br />
2x 4 x 4x 2dx 7 x 4x 2dx<br />
2<br />
<br />
<br />
2 x 4 x 4 x 2 dx រោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ<br />
2<br />
u x x<br />
4 2 រ ោះ<br />
អំងរតព្កាលអចស រស រៅជា<br />
<br />
<br />
du 2x 4<br />
dx<br />
+ចំរ<br />
ចំរ<br />
<br />
ោះអំងរតព្កាល<br />
<br />
2<br />
2x 4 x 4x 2dx udu<br />
<br />
2<br />
x 4x 2dx<br />
<br />
<br />
2 2<br />
u x 4x<br />
2<br />
3 3<br />
3 3<br />
2 2<br />
2<br />
អចស រស រៅជា<br />
<br />
2<br />
2<br />
x 4x 2dx x 2 2dx<br />
ោះអំងរតព្កាលខាងរលើរោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
u x2<br />
រ ោះ du dx<br />
<br />
អំងរតព្កាលអចស រស រៅជា<br />
រោោះស្រាយ<br />
<br />
តាង<br />
g<br />
<br />
2 2<br />
x 4x 2dx u 2du<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
u 2<br />
du<br />
2<br />
u 2<br />
2<br />
u<br />
du<br />
du 2<br />
2 2<br />
u 2 u 2<br />
2<br />
u<br />
du u u <br />
2<br />
u 2<br />
2<br />
2ln 2<br />
2<br />
u<br />
du x x x <br />
2<br />
u 2<br />
2<br />
u<br />
du ាមអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />
2<br />
u 2<br />
<br />
f u g u du f u g u f u g u du<br />
f u<br />
u<br />
u<br />
ម<br />
ោះ<br />
f<br />
u 1<br />
u <br />
2<br />
u 2<br />
ម ោះ g u <br />
2<br />
u<br />
<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2ln 2 4 2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 38
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
2<br />
u du u dt<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
u 2 u 2 u 2<br />
<br />
u<br />
2<br />
ln 2 <br />
2<br />
u<br />
2<br />
x 2<br />
u u c<br />
2<br />
ln 2 4 2 <br />
2<br />
x<br />
2<br />
x 4x 2dx<br />
4x2<br />
x 2<br />
2<br />
x 4x 2dx<br />
3<br />
១៨. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
x x x c<br />
2<br />
3ln 2 4 2 <br />
2<br />
x<br />
4x2<br />
x x x c<br />
2 2 x 2<br />
2<br />
2<br />
x 4x 2 3ln x 2 x 4x 2 c<br />
3<br />
2<br />
x 4x2<br />
<br />
n<br />
<br />
2<br />
I P x ax bx cdx<br />
<br />
2<br />
P<br />
2<br />
n<br />
x ax bx c<br />
Pn<br />
x<br />
ax bx cdx <br />
dx<br />
2<br />
រោោះស្រាយអំងរតព្កាលរៃោះាមវិធីខាងរលើ<br />
ឧទហ ណ៍ រណ<br />
ក្.<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
x 1 x x 1dx<br />
<br />
2<br />
x 1 x x 1dx<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
អំងរតព្កាល<br />
<br />
<br />
P<br />
ax bx c<br />
n2<br />
x<br />
2<br />
ax bx c<br />
ខ.<br />
x 1 x 2 x 1<br />
2<br />
<br />
<br />
1<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
<br />
2 2<br />
2 1<br />
x x x dx dx<br />
x x1<br />
3 2<br />
x x x<br />
2 2 1<br />
dx<br />
2<br />
x x1<br />
<br />
<br />
3 2<br />
x x x<br />
2 2 1<br />
dx<br />
2<br />
x x1<br />
អចស រស ជាទព្មង់<br />
<br />
x x x x dx<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 39
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
<br />
3 2<br />
x 2x 2x 1<br />
2 2<br />
dx<br />
រធវ ើរែ ីរវរលើអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />
ឬ<br />
<br />
2 2<br />
x x x x<br />
<br />
dx ax bx c x x 1<br />
<br />
1 1<br />
3 2<br />
x x x x<br />
2 2 1 2 2<br />
2 1<br />
<br />
2ax b x x 1 ax bx c<br />
<br />
2 2 2<br />
x x 1 2 x x 1 x x 1<br />
3 2<br />
2x 4x 4x<br />
2<br />
x<br />
2<br />
x1<br />
2 2<br />
ax b x x ax bx c x <br />
2 2 1 2 1 2<br />
<br />
<br />
2<br />
2 x x1<br />
<br />
3 2<br />
6 5 4 4 3 2<br />
រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររទញបាៃ<br />
6a<br />
2<br />
5a4b4<br />
<br />
4a 3b 2c<br />
2<br />
<br />
c<br />
2<br />
4<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
<br />
<br />
អំងរតព្កាល<br />
ស ុបមក្<br />
ax a b x a b c x c <br />
រ<br />
ោះ<br />
x<br />
2<br />
x1<br />
1 7<br />
a , b <br />
3 12<br />
<br />
11 37<br />
c , <br />
24 48<br />
3 2<br />
2<br />
x 2x 2x<br />
1<br />
x 1<br />
x x 1dx <br />
dx<br />
2<br />
<br />
<br />
x<br />
2<br />
dx<br />
x1<br />
<br />
x<br />
x1<br />
1 7 11 <br />
37<br />
2 2<br />
x x x x 1<br />
<br />
3 12 24 48<br />
2<br />
x x1<br />
អចស រស រៅជា<br />
1 <br />
d x<br />
dx<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2 <br />
2<br />
x x1 1<br />
3<br />
x<br />
<br />
2<br />
4<br />
<br />
<br />
u<br />
du<br />
<br />
4<br />
2 3<br />
ln u u c<br />
4<br />
2 3<br />
1<br />
x x x c<br />
2<br />
2<br />
ln 1<br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 40
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
<br />
ខ.<br />
1 7 11 37 1<br />
x 1 x x 1dx <br />
<br />
x x x x 1 ln x x x 1<br />
c<br />
3 12 24 <br />
48 2<br />
<br />
2 2 2 2<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2 1<br />
x x x x dx<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
អំងរតព្កាល<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
2 2<br />
2 1<br />
2x 2 x x 2 x 1<br />
<br />
2<br />
x x x x dx <br />
dx<br />
x x1<br />
4 3 2<br />
x x x x dx<br />
2<br />
x<br />
2<br />
x1<br />
រធវ ើរែ ីរវរលើអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />
<br />
<br />
2<br />
4 3 2<br />
x x x x dx<br />
x<br />
2<br />
x1<br />
អចស រស ជាទព្មង់<br />
4 3 2<br />
x x x x 3 2 2<br />
dx<br />
<br />
dx ax bx cx d x x 1<br />
<br />
1 1<br />
2 2<br />
x x x x<br />
4 3 2<br />
2x x x x 2x<br />
1<br />
ឬ<br />
2 2 3 2<br />
<br />
3ax 2bx c x x 1<br />
ax bx cx d <br />
<br />
1 2 1 1<br />
2 2 2<br />
x x x x x x<br />
4 2<br />
<br />
4 3 2<br />
x x x x<br />
x<br />
2<br />
x1<br />
<br />
2 2 3 2<br />
2 3ax 2bx c x x 1 ax bx cx d 2x<br />
1 2<br />
<br />
<br />
2<br />
2 x x1<br />
<br />
4 3 2<br />
8 7 6 6 5 2 4 2 2<br />
ax a b x a b c x b c d x d<br />
រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររទញបាៃ<br />
8a<br />
4<br />
<br />
7a<br />
6b<br />
2<br />
6a 5b 2c<br />
2<br />
4b c 2d<br />
2<br />
<br />
2<br />
d<br />
0<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
<br />
<br />
អំងរតព្កាល<br />
<br />
2 2<br />
2 1<br />
រ<br />
ោះ<br />
x<br />
2<br />
x1<br />
1 1<br />
a , b <br />
2 4 9<br />
, <br />
1 9 32<br />
c , d <br />
8 16<br />
4 3 2<br />
2x x x x<br />
x x x x dx <br />
dx<br />
2<br />
x x1<br />
<br />
x<br />
2<br />
dx<br />
x<br />
1<br />
1 1 1 9 <br />
9<br />
3 2 2<br />
x x x x x 1<br />
<br />
2 4 8 16 32<br />
2<br />
x x1<br />
អចស រស រៅជា<br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 41
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ស ុបមក្<br />
<br />
1 <br />
d x<br />
dx<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2 2<br />
x x1 1<br />
3<br />
x<br />
<br />
2<br />
4<br />
<br />
<br />
4<br />
2 3<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 42<br />
<br />
<br />
<br />
u<br />
du<br />
ln u u c<br />
4<br />
2 3<br />
1<br />
x x x c<br />
2<br />
2<br />
ln 1<br />
<br />
1 1 1 9 <br />
<br />
<br />
2 4 8 16 <br />
2 2 3 2 2<br />
2x x x x 1dx x x x x x 1<br />
១៩. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
<br />
<br />
2<br />
I f x,<br />
ax bx c dx<br />
ក្រៃោមអំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
ក្.<br />
ខ.<br />
ឧទាហរណ៍គណ<br />
ក្.<br />
ចម្ល ើយ ក្.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
f x,<br />
m kx l dx<br />
<br />
2<br />
2<br />
f x,<br />
m kx l dx<br />
<br />
រ. , <br />
<br />
<br />
9 1<br />
x x x c<br />
32 2<br />
2<br />
ln 1<br />
<br />
តាង<br />
តាង<br />
2 2<br />
f x kx l m dx តាង<br />
2<br />
5<br />
3x dx<br />
2<br />
5<br />
3x dx<br />
អាំងមេក្រាល្ិៃក្ាំណេ់ខាងមក្រា្<br />
មយើងមោោះសា្រយអាំងមេក្រាលខាងមលើមោយរត ូរអមេរ<br />
តាង<br />
5<br />
x sin u ម ោះ<br />
3<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />
<br />
2<br />
5<br />
3x dx<br />
<br />
<br />
dx <br />
ខ.<br />
<br />
5 cos<br />
3<br />
2 5<br />
<br />
kx l m tan t<br />
kx l msin<br />
t<br />
kx l<br />
<br />
x<br />
2<br />
udu<br />
1dx<br />
5 1sin u cos udu<br />
3<br />
5 5<br />
<br />
<br />
3 2 3<br />
m<br />
cos<br />
2<br />
cos udu 1 cos 2<br />
t<br />
<br />
u du
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
េូមចនោះ<br />
<br />
ខ.<br />
2<br />
5<br />
3x dx<br />
<br />
x<br />
2<br />
1dx<br />
5 sin 2u<br />
<br />
u <br />
c<br />
2 3<br />
2 <br />
2<br />
5 3 3x 5 3x<br />
<br />
arcsin x <br />
c<br />
2 3 <br />
5 5 <br />
2<br />
5 3 3x 5 3x<br />
<br />
arcsin x <br />
c<br />
2 3 <br />
5 5 <br />
មយើងមោោះសា្រយអាំងមេក្រាលខាងមលើមោយរត ូរអមេរ<br />
តាង<br />
x tan u<br />
ម<br />
ោះ<br />
dx <br />
<br />
1tan<br />
2<br />
<br />
u du<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />
មហើយ<br />
sin u <br />
2<br />
x 1dx<br />
<br />
<br />
tan u 1 1<br />
tan<br />
du<br />
3<br />
cos u<br />
cosudu<br />
4<br />
cos u<br />
2 2<br />
u du<br />
x<br />
1<br />
x<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ មរងរទៀត<br />
តាង<br />
t sin u<br />
ម<br />
ោះ<br />
dt cosudu<br />
2<br />
ៃិង<br />
cosu<br />
<br />
1<br />
1<br />
x<br />
2<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 43<br />
<br />
x<br />
2<br />
1dx<br />
<br />
រោោះស្រាយអំងរតព្កាល <br />
2<br />
1 t <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dt<br />
1<br />
t<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
t dt<br />
t<br />
2<br />
<br />
1<br />
t<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
2 2<br />
2<br />
t<br />
<br />
<br />
dt<br />
2<br />
dt t dt<br />
<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
t 1<br />
t<br />
1 1<br />
t<br />
ln <br />
2 1<br />
t 1<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
t dt<br />
t<br />
2<br />
<br />
រោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />
<br />
f t g t dt f t g t f t g t dt<br />
<br />
2
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
តាង<br />
g<br />
t<br />
f t<br />
t ម ោះ ft 1<br />
2<br />
1<br />
t<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 44<br />
<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
t<br />
2<br />
ម<br />
ោះ<br />
<br />
g t<br />
1<br />
<br />
21<br />
t<br />
2<br />
t dt t 1 dt<br />
<br />
2<br />
2<br />
t<br />
1 21 t <br />
<br />
2 2<br />
t<br />
<br />
21<br />
t<br />
ស ុបរៅអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
x<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
2 1<br />
t<br />
1 1<br />
t<br />
ln<br />
4 1<br />
t<br />
1 1t t 1 1t<br />
2 1t<br />
21<br />
t 4 1t<br />
2<br />
x 1dx ln ln c<br />
2<br />
1dx<br />
២០. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
ចំរ<br />
ោះ<br />
p<br />
q<br />
ឧទហ ណ៍ រណ<br />
ក្.<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
t 1 1<br />
t<br />
ln c<br />
2<br />
21<br />
t 4 1<br />
t<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
sin u 1 1<br />
sin u<br />
ln c<br />
2<br />
2 1<br />
sin u 4 1<br />
sin u<br />
tan u 1 1<br />
sin u<br />
ln c<br />
2cosu<br />
2 1<br />
sin u<br />
x 2<br />
2 1 1<br />
1 ln<br />
x <br />
x<br />
x<br />
2 4<br />
2<br />
x 1<br />
x<br />
c<br />
x 1<br />
<br />
2 2<br />
2 2<br />
x 1 ln x x 1 c<br />
x 1<br />
<br />
2 2<br />
2 2<br />
x 1 ln x x 1 c<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
p<br />
ax b<br />
I dx , p, q , p q<br />
q<br />
cx d<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ ាង<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
<br />
<br />
7<br />
4x<br />
2x<br />
3<br />
<br />
<br />
3<br />
50<br />
<br />
<br />
7<br />
4x<br />
2x<br />
3<br />
3<br />
50<br />
dx<br />
dx<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
10x<br />
3<br />
2<br />
5x<br />
4<br />
2016<br />
dx<br />
<br />
u cx d<br />
q
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
u 2x3<br />
ឬ<br />
u 3<br />
x <br />
2<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
េូមចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
រ<br />
ោះ<br />
du<br />
dx <br />
2<br />
u 3 <br />
3 74<br />
7 4x<br />
<br />
2<br />
dx <br />
<br />
50 <br />
50<br />
2x<br />
3<br />
u<br />
<br />
<br />
7<br />
4x<br />
2x<br />
3<br />
<br />
<br />
3<br />
50<br />
dx<br />
<br />
<br />
10x<br />
3<br />
2<br />
5x<br />
4<br />
2016<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
2u 3<br />
u<br />
50<br />
3<br />
du<br />
du<br />
2<br />
1 1 6 12 8<br />
<br />
2<br />
<br />
u<br />
2 3<br />
u u u<br />
50 du<br />
1 1 6 12 8<br />
<br />
2<br />
<br />
50 49 48 47 <br />
u u u u <br />
<br />
du<br />
1 1 6 12 4 <br />
<br />
49 48 47 46<br />
2 <br />
c<br />
49u 48u 47u 23u<br />
<br />
<br />
1 1 6 12<br />
<br />
2 49 2 3 48 2 3 47 2 3<br />
x x x <br />
46<br />
49 48 47<br />
4<br />
<br />
23 2x<br />
3<br />
<br />
c<br />
<br />
1 1 6 12 4 <br />
<br />
49 48 47 46<br />
<br />
c<br />
2 <br />
492x 3 482x 3 472x 3 232x<br />
3<br />
<br />
dx<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
u 25x<br />
ឬ<br />
u 2<br />
x <br />
5<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
រ<br />
ោះ<br />
du<br />
dx <br />
5<br />
<br />
u 2 <br />
4 10<br />
3<br />
10x<br />
3 <br />
5<br />
dx <br />
<br />
2016 <br />
2016<br />
2<br />
5x<br />
u<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
5<br />
<br />
2u<br />
1 4<br />
u<br />
2016<br />
du<br />
4<br />
du<br />
5<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 45
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
េូមចនោះ<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
10x<br />
3<br />
2<br />
5x<br />
4<br />
2016<br />
4 3 2<br />
1 16u 32u 24u 8u<br />
1<br />
<br />
5<br />
<br />
u<br />
2016<br />
du<br />
1 16 32 24 8 1<br />
<br />
5<br />
<br />
2012 2013 2014 2015 2016 <br />
u u u u u <br />
<br />
du<br />
1 16 8 24 4 1 <br />
<br />
2011 2012 2013 2014 2016<br />
5 <br />
c<br />
2011u 503u 2013u 1007u 2015u<br />
<br />
<br />
1 16 8 24<br />
<br />
5 2011 2 5x 503 2 5x 2013 2 5x<br />
dx<br />
២១. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
ក្មៃោ្នៃភាគលរងពហុធា<br />
m<br />
<br />
2011 2012 2013<br />
<br />
<br />
4 1 <br />
<br />
2014 2016<br />
c<br />
1007 2 5x<br />
2015 2 5x<br />
<br />
1 16 8 24<br />
<br />
5 2011 2 5x 503 2 5x 2013 2 5x<br />
<br />
<br />
<br />
2011 2012 2013<br />
4 1 <br />
<br />
2014 2016<br />
c<br />
1007 2 5x<br />
2015 2 5x<br />
<br />
Q<br />
<br />
<br />
Pn<br />
x<br />
I <br />
dx , deg Pn<br />
x degQm x<br />
Q x<br />
m x<br />
m<br />
អចសរមសរជា<br />
m<br />
m<br />
1 2 n<br />
1<br />
2 n<br />
2 <br />
Q x x a x a x a x x x x x x<br />
ក្មៃោ្អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
<br />
P x A A A B x C<br />
B x C<br />
<br />
Q x x a x a x a x x x x<br />
<br />
n 1 2 m 1 1<br />
n<br />
m m 1 n<br />
2<br />
m<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
លេល<br />
A , A , , A , B , C , , B , C<br />
1 2 m 1 1 n n<br />
ជាចាំៃួៃមេរលេលក្រេូេរក្<br />
ឧទហ ណ៍ រណ<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
2<br />
2x<br />
5x3<br />
3 2<br />
x x 2x<br />
dx<br />
ខ.<br />
<br />
2<br />
2x<br />
5x3<br />
3 2<br />
x x 2x<br />
dx<br />
<br />
<br />
dx<br />
3<br />
x x <br />
ោក្់ក្មៃោ្ភាគលរងជាសលគុណក្តាត មគបាៃ Qx x 3 x 2 2x xx 1 x 2<br />
ក្រៃោមអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
1<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 46
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ឬ<br />
ឬ<br />
<br />
<br />
2<br />
P x 2x 5x 3<br />
A B C<br />
<br />
3 2<br />
Q x x x x x x x <br />
2 1 2<br />
<br />
2<br />
2x 5x 3 A x 1 x 2 Bx x 2 Cx x 1<br />
<br />
2 2<br />
2 5 3 2 2<br />
x x A B C x A B C x A<br />
ររទញបាៃ<br />
2A<br />
3<br />
<br />
A 2B C 5<br />
<br />
A B C 2<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />
ែូចរៃោះ<br />
ឬ<br />
3<br />
<br />
A <br />
2 <br />
13<br />
2B C <br />
2<br />
1<br />
B<br />
C <br />
2<br />
2<br />
2 5 3 3 5<br />
dx 2 <br />
3 2<br />
x x x x x x<br />
x x dx dx dx<br />
2 2 1 2 2<br />
<br />
<br />
ខ.<br />
2<br />
2x<br />
5x3<br />
3 2<br />
x x 2x<br />
<br />
<br />
dx<br />
3<br />
x x <br />
1<br />
<br />
dx<br />
ឬ<br />
3<br />
<br />
A <br />
2 <br />
B<br />
2<br />
5<br />
C <br />
2<br />
3 5<br />
ln x 2ln x 1 ln x 2 c<br />
2 2<br />
3 5<br />
ln x 2ln x 1 ln x 2 c<br />
2 2<br />
ភារដបងនៃក្រៃោមអំងរតព្កាលអចស រស<br />
ក្រៃោមអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
+មរើ<br />
ឬ<br />
x 0<br />
3 2<br />
1 1 1<br />
Q x x x x x x x<br />
<br />
P x 1 A B Cx D<br />
<br />
Q x x x x x <br />
3<br />
x x 1<br />
2<br />
1 1<br />
3 2<br />
<br />
1 A x 1 Bx x x 1 Cx D x 1<br />
x<br />
ម<br />
ោះ<br />
A 1<br />
+មរើ x 1<br />
ម ោះ 13B<br />
មក្ររៀរមធៀរម្គុណ x 3 ៃិង x 2 មគបាៃ<br />
ឬ<br />
1<br />
B <br />
3<br />
A B C 0<br />
<br />
B C D 0<br />
ឬ<br />
<br />
C A B <br />
<br />
1<br />
D B C <br />
<br />
3<br />
2<br />
3<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 47
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />
េូមចនោះ<br />
<br />
<br />
dx<br />
3<br />
x x <br />
២២. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
dx dx 1 dx 1 2x<br />
1<br />
x x x x<br />
<br />
3<br />
xx<br />
1<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
3 1 3 1<br />
dx<br />
1 1<br />
x x x x c<br />
3 3<br />
2<br />
ln ln 1 ln 1<br />
<br />
1 1<br />
x x x x c<br />
3 3<br />
2<br />
ln ln 1 ln 1<br />
<br />
<br />
p<br />
q<br />
, , ,<br />
I ax b cx d dx p q p q<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយាង u ax b<br />
ឧទហ ណ៍ រណ<br />
ក្.<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
<br />
2 3 3 1<br />
<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
2 2016<br />
x x dx<br />
2 3 3 1<br />
2 2016<br />
x x dx<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយាង<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
រ<br />
ោះ<br />
2 3 1<br />
<br />
u 3x1<br />
du<br />
dx <br />
a<br />
3 4<br />
x x dx<br />
ឬ<br />
u 1<br />
x <br />
3<br />
រ<br />
ោះ<br />
du<br />
dx <br />
3<br />
<br />
2<br />
2 2016 u 1<br />
2016<br />
du<br />
2 3x 3x 1 dx 2<br />
u<br />
<br />
3 3<br />
<br />
<br />
2 2016<br />
ែូរចនោះ 2 3 3 1<br />
<br />
x x dx<br />
3 4<br />
ខ. 2 3 1<br />
<br />
x x dx<br />
1<br />
49 14<br />
<br />
27<br />
<br />
<br />
<br />
2 2016<br />
u u u du<br />
1<br />
49 14<br />
<br />
27<br />
<br />
2016 2017 2018<br />
u u u du<br />
2017 2018 2019<br />
1 49u 7u u <br />
<br />
c<br />
27 2017 1009 2019 <br />
x x x <br />
1 49 3 1 2017 7 3 1 2018 3 1<br />
2019 <br />
<br />
<br />
c<br />
27 <br />
2017 1009 2019 <br />
x x x <br />
1 49 3 1 2017 7 3 1 2018 3 1<br />
2019 <br />
<br />
<br />
c<br />
27 <br />
2017 1009 2019 <br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយាង u 1 x រ ោះ dx du<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 48
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
<br />
3 4 3 4<br />
2x 3 1 x dx 5 2u u du<br />
<br />
<br />
<br />
125 150 60 8<br />
4 5 6 7<br />
u u u u du<br />
60<br />
25 25 <br />
7<br />
5 6 7 8<br />
u u u u c<br />
5 6 60 7 8<br />
251 x 251 x 1 x 1 x<br />
c<br />
7<br />
5 6 60 7 8<br />
25 1 x 25 1 x 1 x 1 x c<br />
7<br />
3 4<br />
2x 3 1x<br />
dx <br />
២៣. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
រយើងរោោះស្រាយាមវិធីខាងរព្កាម<br />
+របើ<br />
+របើ<br />
+របើ<br />
p <br />
m 1<br />
<br />
n<br />
ឧទហ ណ៍ រណ<br />
ក្.<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
<br />
<br />
តាង<br />
m 1<br />
p <br />
n<br />
xdx<br />
1<br />
xdx<br />
1<br />
x<br />
3 2<br />
x<br />
3 2<br />
x<br />
តាង<br />
t<br />
អាំងមេក្រាលអចសរមសរជា<br />
ពិៃិេយម្ើលមោយ<br />
k<br />
<br />
n<br />
p<br />
, , ,<br />
m<br />
I x a bx dx m n p<br />
<br />
លេល k<br />
n k<br />
a bx t<br />
តាង<br />
a bx<br />
m<br />
x<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
<br />
xdx<br />
1<br />
x<br />
n<br />
3 2<br />
2 1<br />
m 1, n , p <br />
3 2<br />
ជាភាគលរងរួ្នៃ<br />
លេល k<br />
k<br />
t លេល k<br />
<br />
<br />
មហើយ<br />
ខ.<br />
<br />
mn ,<br />
ជាភាគលរងរួ្នៃ<br />
x<br />
p<br />
ជាភាគលរងរួ្នៃ p<br />
dx<br />
2 x<br />
3 3 3<br />
1<br />
2<br />
<br />
2<br />
3<br />
<br />
x1x dx<br />
<br />
m 1 3<br />
n<br />
មយើងមោោះសា្រយអាំងមេក្រាលខាងមលើមោយរត ូរអមេរ<br />
តាង<br />
t <br />
1<br />
x<br />
3 2<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
ឬ<br />
t<br />
1<br />
x<br />
2 3 2<br />
2<br />
ឬ 3 2<br />
2<br />
t 1<br />
x ម ោះ 2 6 1 2<br />
<br />
xdx t t dt<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 49
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
េូមចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
x<br />
xdx<br />
1<br />
3 2<br />
2<br />
2<br />
3t t 1<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 50<br />
<br />
x<br />
<br />
<br />
t<br />
2<br />
t<br />
2<br />
3 1<br />
<br />
<br />
dt<br />
dt<br />
4 2<br />
3 t 2t 1<br />
dt<br />
3<br />
2 3 <br />
5 3<br />
5 t t t c<br />
<br />
5 3<br />
<br />
3 2 2 3 2 2<br />
3 2<br />
3<br />
1 x 2 1 x 3 1 x c<br />
5<br />
5 3<br />
3 2 2 3 2 2<br />
3 2<br />
xdx<br />
<br />
3 2<br />
1<br />
x<br />
dx<br />
2 x<br />
3 3 3<br />
អាំងមេក្រាលអចសរមសរជា<br />
ពិៃិេយម្ើលមោយ<br />
3<br />
1 x 2 1 x 3 1 x c<br />
5<br />
<br />
<br />
2<br />
1<br />
3 3 3<br />
x x dx<br />
1<br />
m 3, n 3, p <br />
3<br />
មហើយ<br />
មយើងមោោះសា្រយអាំងមេក្រាលខាងមលើមោយរត ូរអមេរ<br />
តាង<br />
t <br />
2 x<br />
x<br />
3 3<br />
ឬ<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
េូមចនោះ<br />
<br />
x<br />
<br />
t<br />
3<br />
2 x<br />
<br />
3<br />
x<br />
3<br />
ឬ<br />
x<br />
3<br />
<br />
<br />
x<br />
6<br />
<br />
2<br />
x dx<br />
2 x<br />
3<br />
x<br />
3 3<br />
m 1<br />
p 1 <br />
n<br />
2<br />
<br />
3<br />
t 1<br />
dx<br />
1 2<br />
<br />
<br />
x 2 x 2 <br />
t<br />
t 1<br />
<br />
3 <br />
t<br />
1<br />
<br />
2<br />
t dt<br />
3 3 3 2<br />
3<br />
2<br />
dx<br />
2 x<br />
3 3 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
2<br />
tdt<br />
2<br />
t<br />
c<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 x<br />
2x<br />
3 3<br />
2 x<br />
2x<br />
3 3<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
c<br />
c<br />
<br />
ម<br />
ោះ<br />
2<br />
x dx<br />
<br />
<br />
2t<br />
t<br />
3<br />
2<br />
<br />
1<br />
2<br />
dt
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
p<br />
<br />
m<br />
<br />
n q<br />
២៤. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់ I f x, x , x , <br />
dx<br />
<br />
<br />
f<br />
ជាព្បភារសៃិទៃ រយើងរោោះស្រាយរោយាង<br />
x<br />
t<br />
k<br />
ដែល<br />
k PPCM n, q,<br />
<br />
<br />
<br />
ឧទហ ណ៍ រណ<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
<br />
<br />
x 1<br />
dx<br />
3 2<br />
x<br />
x<br />
x 1<br />
dx<br />
3 2<br />
x<br />
x<br />
មោោះសា្រយអាំងមេក្រាលខាងមលើមោយរត ូរអមេរ<br />
តាង<br />
t <br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
េូមចនោះ<br />
<br />
<br />
x 1<br />
dx<br />
3 2<br />
x<br />
x<br />
ខ.<br />
<br />
4<br />
<br />
x <br />
x 1<br />
6<br />
x<br />
ម<br />
x 1<br />
dx<br />
3 2<br />
x<br />
x<br />
8<br />
4<br />
<br />
ោះ<br />
<br />
6<br />
<br />
x<br />
t<br />
6<br />
3<br />
t 1 6 4 6<br />
t t<br />
<br />
t<br />
t<br />
<br />
4<br />
2<br />
ខ.<br />
មហើយ<br />
5<br />
t dt<br />
t dt<br />
1<br />
<br />
2<br />
6t<br />
1<br />
2 <br />
t 1<br />
<br />
4<br />
<br />
x <br />
x 1<br />
dx 6<br />
t 1<br />
<br />
dt<br />
2<br />
6 t 1 <br />
2 2<br />
8<br />
4<br />
5<br />
t dt<br />
t 1 <br />
<br />
dt<br />
t 1 t 1<br />
<br />
x dx<br />
x<br />
3 2<br />
2 6 3ln 1 6arctan <br />
t t t t c<br />
2 6 3ln 1 6arctan <br />
6 6 6<br />
x x x x c<br />
2 6 3ln 1 6arctan <br />
x dx<br />
x<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />
មោយភាគលរងរួ្គឺ k PPCM <br />
តាង<br />
t<br />
8<br />
x ម ោះ<br />
x<br />
<br />
6 6 6<br />
x x x x c<br />
<br />
4<br />
<br />
x <br />
x 1<br />
8<br />
4<br />
x dx<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
4<br />
x x<br />
<br />
x1<br />
x<br />
<br />
1<br />
8<br />
1<br />
4<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
4,8 8<br />
មយើងមោោះសា្រយអាំងមេក្រាលមោយរត ូរអមេរ<br />
t<br />
8<br />
មហើយ<br />
dx 8<br />
7<br />
t dt<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 51
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
4 8<br />
4<br />
x 1<br />
x <br />
4<br />
<br />
<br />
x <br />
x <br />
x 1<br />
8<br />
4<br />
x dx<br />
<br />
<br />
x dx<br />
x<br />
២៥. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
f<br />
<br />
<br />
8<br />
8<br />
2<br />
t t<br />
dt<br />
8 2<br />
t t 1<br />
<br />
t 1<br />
dt<br />
2<br />
t 1<br />
<br />
t<br />
1<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
t 1 t 1<br />
<br />
<br />
dt<br />
4ln 1 <br />
2<br />
t 8arctan t c<br />
4ln 1 <br />
4<br />
8<br />
x 8arctan x c<br />
4ln 1 <br />
4<br />
8<br />
x 8arctan x c<br />
ជាព្បភារសៃិទៃ រយើងរោោះស្រាយរោយាង<br />
ឧទហ ណ៍ រណ អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
m<br />
p<br />
<br />
<br />
ax b n ax b<br />
q<br />
I f x, , , <br />
<br />
dx<br />
<br />
<br />
cx d cx d<br />
<br />
<br />
<br />
ax b t<br />
cx d<br />
k<br />
ដែល<br />
k PPCM n, q,<br />
<br />
<br />
<br />
ក្.<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
<br />
<br />
1<br />
x dx<br />
1<br />
x<br />
1<br />
x dx<br />
1<br />
x<br />
រោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
t <br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
1<br />
x<br />
1<br />
x<br />
រ<br />
ោះ<br />
t<br />
2 1<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />
ាង<br />
<br />
<br />
ខ.<br />
x<br />
<br />
1 x<br />
<br />
<br />
ឬ<br />
<br />
1<br />
x 4<br />
dx <br />
1<br />
x 1<br />
t<br />
1<br />
x dx<br />
1<br />
x x<br />
1<br />
t<br />
x <br />
1 t<br />
2<br />
t dt<br />
<br />
f t g t dt f t g t f t g t dt<br />
<br />
f t<br />
t<br />
រ ោះ f t 1<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
2<br />
2<br />
រ<br />
ោះ<br />
dx <br />
4tdt<br />
2<br />
1<br />
t 2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 52
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
g<br />
t<br />
<br />
2t<br />
2<br />
1<br />
t 2<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
រ<br />
ោះ<br />
g t<br />
1<br />
<br />
1 t<br />
<br />
2<br />
ខ.<br />
<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
1<br />
x dx<br />
1<br />
x x<br />
1<br />
x dx<br />
1<br />
x<br />
1<br />
x 2<br />
dx <br />
t 2<br />
dt<br />
1 x 1 t 1<br />
t<br />
<br />
រោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
t <br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
1<br />
x<br />
1<br />
x<br />
រ<br />
2 2<br />
2t<br />
2arctan t<br />
c<br />
2<br />
1<br />
t<br />
2 1<br />
x<br />
1 x 2arctan 1<br />
c<br />
x<br />
2 1<br />
x<br />
1 x 2arctan c 1 x<br />
ោះ<br />
t<br />
x<br />
<br />
1 x<br />
2 1<br />
ឬ<br />
1<br />
t<br />
x <br />
1 t<br />
2<br />
2<br />
រ<br />
ោះ<br />
dx <br />
4tdt<br />
2<br />
1<br />
t 2<br />
<br />
2 2<br />
1x 1t 4t dt<br />
dx t<br />
<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1x 1t 1<br />
t<br />
<br />
<br />
<br />
4t<br />
<br />
2 2<br />
1t<br />
1t<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
dt<br />
2 2<br />
t t <br />
2 2<br />
1t<br />
1t<br />
<br />
2 1 2 1<br />
<br />
2 2<br />
<br />
<br />
2 2 <br />
1t<br />
1t<br />
<br />
<br />
dt<br />
dt dt<br />
2<br />
2<br />
1t<br />
1t<br />
2 2<br />
dt<br />
1<br />
t<br />
ln<br />
2arctan t<br />
c<br />
1<br />
t<br />
1 x 1 x 1<br />
x<br />
ln 2arctan c<br />
1 x 1 x<br />
1 x<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 53
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
1<br />
x dx<br />
1<br />
x x<br />
1 x 1 x 1<br />
x<br />
ln 2arctan c<br />
1 x 1 x<br />
1 x<br />
២៦. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
<br />
I sin px cos qx dx<br />
cos <br />
I cos px qx dx<br />
ៃិង<br />
ៃិង<br />
sin<br />
<br />
I sin px qx dx<br />
sin<br />
<br />
I sin px qx dx<br />
រយើងរោោះស្រាយរោយរព្បើ ូបមៃរបដមៃងនលរុណជានលបូក្នៃអៃុរមៃ៍ព្តីរកាណមាព្ត<br />
1<br />
sin sin cos sin <br />
2<br />
<br />
<br />
1<br />
cos cos cos cos <br />
2<br />
<br />
<br />
1<br />
sin cos sin sin <br />
2<br />
<br />
<br />
ឧទហ ណ៍ រណ អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
<br />
<br />
<br />
sin 3x<br />
cos 2x dx<br />
<br />
sin 3x<br />
cos 2x dx<br />
អំងរតព្កាលអចស រស រៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
1<br />
sin 2x cos2x cos4xdx<br />
2<br />
1 1<br />
sin 2 cos2 sin 2 cos4<br />
<br />
2 x x dx <br />
2<br />
x x dx<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 54<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
sin xsin 2x sin 3x dx<br />
1<br />
sin 3xcos2x dx sin 3x 2x sin 3x 2xdx<br />
2<br />
<br />
<br />
sin 3 x cos 2xdx<br />
<br />
<br />
sin xsin 2x sin 3x dx<br />
អំងរតព្កាលអចស រស រៅជា<br />
<br />
<br />
1 sin 5xdx<br />
1<br />
2<br />
<br />
2<br />
1 1<br />
cos 5x cos x c<br />
10 2<br />
<br />
sin xdx<br />
1 cos5x<br />
1 cos x c<br />
10 2<br />
<br />
<br />
<br />
sin xsin 2x sin 3x dx sin 2x sin xsin 3x dx
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
1 1<br />
sin 4x dx sin 6x sin 2x dx<br />
4 <br />
4 <br />
<br />
1 1 1<br />
cos 4x cos 2x cos 6x c<br />
16 8 24<br />
<br />
1 1 1<br />
cos 4x cos 2x cos 6x c<br />
16 8 24<br />
sin xsin 2x sin 3x dx <br />
២៧. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
<br />
I f sin x,cos<br />
x dx<br />
រយើងរោោះស្រាយរោយរិៃិតយាមក្ ណី ខាងរព្កាម<br />
+ក្ ណី ទី១ : មរើ<br />
+ក្ ណី ទី២ : មរើ<br />
+ក្ ណី ទី៣ : មរើ<br />
ួចរព្បើ ូបមៃរ<br />
sin<br />
2<br />
<br />
f x f x<br />
<br />
f x f x<br />
<br />
f x f x<br />
x<br />
2<br />
t<br />
<br />
1 t<br />
2<br />
ៃិង<br />
cos<br />
ក្ ណី រនេងរីរៃោះរយើងរោោះស្រាយរោយាង<br />
t tan 2<br />
x<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
<br />
ឧទហ ណ៍ រណ<br />
ក្.<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
<br />
<br />
រ<br />
ោះ<br />
1<br />
t<br />
cos x <br />
1 t<br />
2dt<br />
dx <br />
1 t<br />
2<br />
2<br />
ៃិង<br />
2<br />
ាង<br />
ាង<br />
ាង<br />
2<br />
<br />
x<br />
រហើយ<br />
t<br />
cos x<br />
t sin x<br />
t tan x<br />
1<br />
<br />
1 t<br />
2t<br />
sin x <br />
1 t<br />
2<br />
x<br />
2arctan t<br />
2<br />
2t<br />
1<br />
t <br />
f sin x,cos xdx f , dt<br />
2 2 <br />
1t<br />
1t<br />
<br />
dx<br />
sin xcos x2<br />
dx<br />
sin xcos x2<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
x<br />
t tan រ ោះ 2<br />
2dt<br />
dt <br />
1 t<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
2<br />
ខ.<br />
<br />
2<br />
cos xdx<br />
2<br />
cos x4sin x6<br />
2t<br />
រហើយ sin x ៃិង<br />
2<br />
1 t<br />
1<br />
t<br />
cos x <br />
1 t<br />
2<br />
2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 55
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
<br />
dx<br />
<br />
sin xcos x2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2dt<br />
2<br />
1<br />
t<br />
2t<br />
1<br />
t<br />
<br />
1t<br />
1t<br />
2<br />
2 2<br />
2dt<br />
2<br />
2t 1t 2 1<br />
t<br />
t<br />
<br />
2<br />
2dt<br />
2t3<br />
dt<br />
t<br />
2<br />
<br />
2 2<br />
1 2<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ ាង<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
dx<br />
sin xcos x2<br />
cos xdx<br />
2<br />
cos x4sin x6<br />
រិៃិតយអំងរតព្កាលខាងរលើ<br />
រោយ<br />
រ<br />
<br />
<br />
f<br />
<br />
t<br />
2<br />
dt<br />
<br />
1 2<br />
<br />
du<br />
2<br />
2<br />
u <br />
<br />
u t1<br />
1 u<br />
arctan c<br />
2 2<br />
រ ោះ du dt<br />
1 1 x <br />
arctan tan 1<br />
c<br />
2 2 2<br />
<br />
<br />
1 x <br />
2 arctan tan 1<br />
c<br />
2 2<br />
<br />
<br />
cos x<br />
<br />
cos x4sin x6<br />
<br />
2<br />
x<br />
cos <br />
x<br />
<br />
x <br />
x<br />
2<br />
cos 4sin 6<br />
<br />
f x f x<br />
ោះរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយាង<br />
<br />
t sin x<br />
រ<br />
ោះ<br />
dt cos xdx<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
<br />
cos x<br />
dx <br />
dt<br />
2 2<br />
cos x 4sin x 6 1 t 4t<br />
6<br />
<br />
<br />
<br />
t<br />
2<br />
dt<br />
4t5<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 56
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រយើងរោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ ាង<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
cos xdx<br />
2<br />
cos x4sin x6<br />
២៨. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
u t2<br />
<br />
<br />
dt<br />
<br />
<br />
dt<br />
t<br />
2<br />
2 1<br />
រ ោះ du dt<br />
du<br />
t<br />
2 2 1<br />
u<br />
2 1<br />
<br />
arctan uc<br />
<br />
arctan t 2 c<br />
<br />
arctan 2 sin x c<br />
<br />
<br />
n<br />
m<br />
I sin x cos x dx<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយដចក្ជាបួៃក្ ណី ខាងរព្កាម<br />
<br />
<br />
+ក្ ណី ទី១ : របើ n<br />
ជាចំៃួៃរសស ៃិង m<br />
ជាចំៃួៃរសស ាង<br />
<br />
u<br />
cos 2x<br />
<br />
+ក្ ណី ទី២ : របើ n<br />
ជាចំៃួៃរសស ៃិង m ជាចំៃួៃរូ ាង<br />
u sin x<br />
+ក្ ណី ទី៣ : របើ n<br />
ជាចំៃួៃរូ ៃិង m<br />
ជាចំៃួៃរសស ាង<br />
u<br />
cos x<br />
+ក្ ណី ទី៤ : របើ n<br />
ជាចំៃួៃរូ ៃិង m<br />
ជាចំៃួៃរូ<br />
រយើងអចស រស ក្រៃោម<br />
នៃ sin 2x<br />
ឧទហ ណ៍<br />
រោយរព្បើ ូបមៃរ<br />
ក្.រណ<br />
2<br />
cos x<br />
អំងរតព្កាល<br />
អំងរតព្កាលអចស រស រៅជា<br />
<br />
ៃិង<br />
2<br />
sin x<br />
2 1<br />
cos 2x<br />
sin x <br />
2<br />
cos<br />
x<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 57<br />
<br />
<br />
sin<br />
3 5<br />
ជាអៃុរមៃ៍នៃ cos 2x ៃិង sin cos<br />
,<br />
2 1<br />
cos 2x<br />
cos x <br />
2<br />
<br />
x dx<br />
1<br />
x x<br />
dx x x xdx<br />
2<br />
<br />
cos 3 sin 5 cos 2 sin 4 sin 2<br />
1 1cos 2x1cos 2x<br />
sin 2xdx<br />
2<br />
<br />
2 2 <br />
2<br />
x<br />
x<br />
ជាអៃុរមៃ៍<br />
ៃិង sin 2 2sin cos<br />
រោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយាង u cos 2x<br />
រ ោះ sin 2<br />
<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
du<br />
2<br />
x x x<br />
x dx
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
<br />
2<br />
cos x sin x dx 1 u 1<br />
u du<br />
16<br />
3 5 1<br />
<br />
1<br />
1 <br />
16<br />
<br />
<br />
<br />
2 3<br />
u u u du<br />
2 3 4<br />
1 u u u <br />
u <br />
c<br />
16 2 3 4 <br />
<br />
2 3 4<br />
1 cos 2x cos 2x cos 2x<br />
<br />
cos 2 x <br />
c<br />
16 <br />
2 3 4 <br />
x x x<br />
2 3 4<br />
3 5 1 cos 2 cos 2 cos 2<br />
cos xsin xdx <br />
<br />
cos 2x <br />
c<br />
16 <br />
2 3 4 <br />
ខ.រណ អំងរតព្កាល cos<br />
2 xsin<br />
3<br />
<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
<br />
x dx<br />
<br />
<br />
2 3 2 2<br />
cos sin cos 1cos sin<br />
x x dx x x xdx<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ ាង<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
រ.រណ<br />
<br />
cos<br />
<br />
2 3 2 2<br />
cos x sin x dx 1 u u du<br />
x<br />
sin<br />
2 3<br />
<br />
អំងរតព្កាល<br />
x dx<br />
<br />
3 5<br />
u u<br />
c<br />
3 5<br />
x<br />
x<br />
cos<br />
3 cos<br />
5<br />
c<br />
3 5<br />
cos<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
xsin<br />
2 4<br />
xdx<br />
2<br />
<br />
<br />
2 4 2<br />
cos x sin x dx cos xsin x sin x dx<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
1 sin<br />
2 2 1 cos 2<br />
<br />
u<br />
cos x<br />
<br />
<br />
x x dx<br />
8<br />
1<br />
1 cos4x1<br />
cos2xdx<br />
16<br />
<br />
<br />
<br />
cos x sin x dx 2 cos 2x 2cos 4x cos 6x dx<br />
32<br />
2 4 1<br />
<br />
រ<br />
ោះ<br />
du sin<br />
xdx<br />
x 1 1 1<br />
sin 2x sin 4x sin 6x<br />
c<br />
16 64 64 192<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 58
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
<br />
ែូរចនោះ cos<br />
2 xsin<br />
4<br />
<br />
២៩. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
x dx<br />
I sin n<br />
x 1 1 1<br />
sin 2x sin 4x sin 6x c<br />
16 64 64 192<br />
<br />
x dx<br />
ៃិង<br />
<br />
J cos n<br />
<br />
x dx<br />
+មរើ n<br />
ជាចាំៃួៃគូ ម ោះ n 2 k , k <br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />
មក្ររើរូរ្ៃត<br />
+មរើ n<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
sin<br />
n n<br />
k nk k<br />
n<br />
k0<br />
a b C a b<br />
ជាចាំៃួៃមសសម<br />
ោះ<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
k<br />
x dx sin x dx<br />
មហើយ<br />
n 2k 1,<br />
k <br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />
មោោះសា្រយអាំងមេក្រាខាងមលើមោយតាង<br />
+ចាំម<br />
ោះ<br />
J cos n<br />
ឧទាហរណ៍ គណ<br />
ក្.<br />
ចម្ល ើយ ក្.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x dx<br />
<br />
1<br />
k<br />
1cos 2x dx<br />
k<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a <br />
2 a <br />
2<br />
a<br />
cos 2 2cos 1 1 sin<br />
<br />
<br />
n<br />
2k<br />
sin sin sin<br />
មោោះសា្រយេូច<br />
x dx x x dx<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
k<br />
1cos x sin<br />
<br />
xdx<br />
u cos x du sin<br />
xdx<br />
I sin n<br />
<br />
x dx<br />
អាំងមេក្រាល្ិៃក្ាំណេ់ខាងមក្រា្<br />
<br />
2<br />
cos 3x dx<br />
<br />
<br />
2<br />
cos 3x dx<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
2<br />
1<br />
cos 6x<br />
cos 3xdx<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ខ.<br />
dx<br />
1cos 6x<br />
<br />
<br />
<br />
លេរ<br />
<br />
3<br />
sin 5x dx<br />
dx<br />
1 1<br />
x sin 6 x<br />
c<br />
2 12<br />
េូមចនោះ cos 3 sin 6<br />
<br />
2 1 1<br />
x dx x x c<br />
2 12<br />
<br />
<br />
3 2<br />
sin 5 sin 5 sin 5<br />
x dx x x dx<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 59
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
មោោះសា្រយមោយរត ូរអមេរតាង<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
េូមចនោះ<br />
<br />
<br />
3 2<br />
sin 5 sin 5 sin 5<br />
x dx x x dx<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 60<br />
<br />
៣០. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
1cos 5xsin 5<br />
<br />
<br />
u<br />
cos 5x<br />
3 1 2<br />
sin 5x dx 1<br />
u du<br />
5<br />
<br />
<br />
ម<br />
1 1<br />
<br />
5 15<br />
ោះ<br />
3<br />
u u c<br />
x dx<br />
1<br />
du sin 5 x<br />
dx<br />
5<br />
1 1<br />
x x c<br />
5 15<br />
<br />
3<br />
cos 5 cos 5 <br />
1 1<br />
x dx x x c<br />
5 15<br />
<br />
3 3<br />
sin 5 cos 5 cos 5<br />
I tan n<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />
+ចាំម<br />
ោះ<br />
<br />
<br />
x dx<br />
n2 2<br />
<br />
<br />
ៃិង<br />
n<br />
tan x dx tan x tan x dx<br />
មោោះសា្រយមោយតាង<br />
J cot n<br />
ឧទាហរណ៍ គណ<br />
ក្.<br />
ចម្ល ើយ ក្.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x dx<br />
4<br />
tan x dx<br />
<br />
4<br />
tan x dx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
J cot n<br />
n2 2<br />
tan x 1 tan x 1<br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
x dx<br />
n<br />
<br />
n<br />
tan 2 x tan 2 x 1 dx tan<br />
2 x dx<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
u tan x du tan x 1<br />
dx<br />
មោោះសា្រយេូចគ្មន លេរ<br />
អាំងមេក្រាល្ិៃក្ាំណេ់ខាងមក្រា្<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />
<br />
tan<br />
4<br />
<br />
x dx<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
cot 4x dx<br />
<br />
<br />
tan 2 1 tan 2 1 tan 2 1<br />
<br />
x x x dx<br />
<br />
<br />
tan 2 1 tan 2 1 tan<br />
2 <br />
<br />
x x dx x dx dx<br />
<br />
tan 2 1 tan 2 1 tan<br />
2 <br />
<br />
x x dx x dx x<br />
<br />
2 2<br />
tan 1 tan tan <br />
x x dx x x c
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
មោោះសា្រយ<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
tan x 1<br />
tan x dx<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
េូមចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
មោយ តាង<br />
<br />
<br />
u tan x ម ោះ<br />
tan 2 x 1tan<br />
2 x dx u 2 du<br />
<br />
x<br />
<br />
du <br />
<br />
1tan<br />
1 1<br />
tan <br />
3 3<br />
3<br />
4<br />
tan<br />
tan xdx tan x x c<br />
3<br />
x<br />
3<br />
4<br />
tan<br />
tan xdx tan x x c<br />
3<br />
<br />
<br />
3<br />
cot 4x dx<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />
+ចាំម<br />
<br />
ោះអាំងមេក្រាល<br />
មោោះសា្រយមោយតាង<br />
អាំងមេក្រាលមៅជា<br />
+ចាំម<br />
ោះអាំងមេក្រាល<br />
មោោះសា្រយមោយតាង<br />
អាំងមេក្រាលមៅជា<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
េូមចនោះ<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3 2<br />
cot 4 cot 4 cot 4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x dx x x dx<br />
<br />
<br />
3 3<br />
u c x c<br />
2<br />
1 cot 4 cot 4 cot 4<br />
<br />
x x dx x dx<br />
2<br />
1cot 4xcot 4<br />
<br />
<br />
u<br />
cot 4x<br />
<br />
<br />
<br />
ម<br />
ោះ<br />
<br />
2<br />
1cot 4x<br />
cot 4<br />
<br />
<br />
x dx<br />
1 1 cot<br />
2<br />
4<br />
<br />
du <br />
x dx<br />
4<br />
x dx<br />
1<br />
4<br />
udu<br />
cot 4x dx អចសរមសរមៅជា<br />
<br />
<br />
u<br />
sin 4x<br />
<br />
<br />
cot 4x dx <br />
<br />
ម<br />
ោះ<br />
du<br />
4<br />
<br />
<br />
1 1 2 cot 2<br />
u 4<br />
<br />
8 8<br />
<br />
<br />
cos 4x<br />
sin 4x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
cos 4x dx<br />
1 du 1 1<br />
cot 4x dx ln ln sin 4<br />
<br />
4<br />
u c x c<br />
u 4 4<br />
<br />
3<br />
cot 4x dx<br />
៣១. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
1 1<br />
x x c<br />
8 4<br />
<br />
2<br />
cot 4 ln sin 4 <br />
1 1<br />
x dx x x c<br />
8 4<br />
<br />
3 2<br />
cot 4 cot 4 ln sin 4<br />
dx<br />
I <br />
sin n<br />
x<br />
ៃិង<br />
dx<br />
J <br />
cos n<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
<br />
2<br />
<br />
x dx<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 61
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
+មរើ n<br />
ជាចាំៃួៃគូ ម ោះ n 2 k,<br />
k :<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />
មោោះសា្រយមោយតាង<br />
+មរើ n<br />
<br />
ជាចាំៃួៃមសស ម<br />
dx 1 dx<br />
<br />
2k<br />
2k<br />
2 2<br />
sin x<br />
<br />
sin x sin x<br />
<br />
1 <br />
<br />
<br />
sin x <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1cot<br />
k 1<br />
dx<br />
sin x<br />
2 2<br />
2<br />
x<br />
<br />
k1<br />
<br />
dx<br />
2<br />
sin<br />
dx<br />
u cot x du <br />
2<br />
sin<br />
ោះ<br />
n 2k 1,<br />
k <br />
:<br />
x<br />
x<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />
មោោះសា្រយមោយតាង<br />
+ចាំម<br />
ោះ<br />
dx<br />
J <br />
cos n<br />
ឧទាហរណ៍ គណ<br />
ក្.<br />
ចម្ល ើយ ក្.<br />
<br />
<br />
dx<br />
3<br />
sin x<br />
dx<br />
3<br />
sin<br />
x<br />
<br />
x<br />
dx<br />
<br />
sin<br />
<br />
x<br />
sin x<br />
sin<br />
2 k<br />
1 2 k<br />
2<br />
<br />
<br />
x<br />
sin x<br />
dx<br />
1<br />
1<br />
cos<br />
2<br />
x<br />
k <br />
u cos x du sin<br />
xdx<br />
រោោះស្រាយែូចគ្នន ដែ<br />
dx<br />
អាំងមេក្រាល្ិៃក្ាំណេ់ខាងមក្រា្<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
dx sin x<br />
<br />
3 4 dx<br />
sin x<br />
sin<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
sin xdx<br />
<br />
2<br />
1<br />
cos x 2<br />
រោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយាង<br />
ខ.<br />
<br />
dx<br />
4<br />
cos<br />
x<br />
t cos x ម ោះ<br />
dt sin<br />
xdx<br />
អំងរតព្កាលអចស រស រៅជា<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 62
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រោោះស្រាយអំងរតព្កាល<br />
តាង<br />
g<br />
t<br />
<br />
<br />
f t<br />
<br />
<br />
dx dt<br />
<br />
sin x<br />
<br />
1<br />
t<br />
2<br />
3 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
t dt<br />
1 t<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1t<br />
1<br />
t<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2<br />
t<br />
2<br />
<br />
dt<br />
2<br />
dt t dt<br />
<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1<br />
t<br />
<br />
1<br />
t<br />
1 1<br />
t<br />
ln <br />
2 1<br />
t 1<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
t dt<br />
t<br />
រោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />
<br />
f t g t dt f t g t f t g t dt<br />
t<br />
ម<br />
2<br />
1<br />
t 2<br />
ោះ<br />
f<br />
t<br />
ម ោះ<br />
<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
t 1<br />
<br />
g t<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
21<br />
t<br />
2<br />
t dt t 1 dt<br />
<br />
2<br />
2<br />
t<br />
1 21 t <br />
2 2<br />
t<br />
<br />
21<br />
t<br />
ស ុបមក្អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
េូមចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
dx<br />
4<br />
cos<br />
<br />
dx<br />
3<br />
sin x<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
2 1<br />
t<br />
1 1<br />
t<br />
ln<br />
4 1<br />
t<br />
1 1t t 1 1t<br />
ln ln c<br />
2<br />
2 1t<br />
21<br />
t 4 1t<br />
1 1<br />
t t<br />
ln c<br />
2<br />
2 1<br />
t 21<br />
t<br />
cos x 1 1<br />
cos x<br />
ln c<br />
2<br />
2sin x 2 1<br />
cos x<br />
dx cos x 1 1<br />
cos<br />
ln<br />
x c<br />
3 2<br />
sin x 2sin x 2 1<br />
cos x<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 63
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
dx 1 dx<br />
<br />
4 2 2<br />
cos<br />
cos cos<br />
រយើងរោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ ាង<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
េូមចនោះ<br />
<br />
dx<br />
4<br />
cos<br />
<br />
x<br />
x x x<br />
dx<br />
cos<br />
៣២. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
+មរើ m<br />
ជាចំៃួៃរសស រ<br />
x<br />
<br />
t tan x<br />
<br />
2<br />
1t dt<br />
4<br />
<br />
1<br />
3<br />
<br />
3<br />
t t c<br />
1<br />
tan <br />
3<br />
1 3<br />
tan x tan x<br />
c<br />
3<br />
ោះ<br />
I <br />
sin<br />
ម<br />
ោះ<br />
dt <br />
3<br />
x tan x c<br />
n<br />
x<br />
m 2k 1,<br />
k <br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
dx<br />
cos<br />
dx<br />
cos xdx<br />
<br />
n k n k<br />
sin cos<br />
sin cos<br />
:<br />
m<br />
x<br />
2 1 2 2<br />
x x x x<br />
រោោះស្រាយរោយាង<br />
<br />
sin<br />
<br />
<br />
n<br />
cos xdx<br />
2<br />
k <br />
xcos<br />
x 1<br />
x<br />
cos xdx<br />
n<br />
sin 1<br />
sin<br />
1<br />
2<br />
x<br />
k <br />
u sin x du cos xdx<br />
dx<br />
2<br />
cos<br />
x<br />
+មរើ n<br />
ជាចំៃួៃរូ រ<br />
ោះ<br />
n 2 k, m 2 k, k,<br />
k<br />
:<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
k1<br />
dx 1 1 dx<br />
<br />
2k<br />
2 2 2 2<br />
sin cos<br />
<br />
sin cos sin<br />
k<br />
x x x x x<br />
<br />
k<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1 cot x 1 tan x<br />
<br />
<br />
k k<br />
dx<br />
<br />
sin<br />
2<br />
x<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 64
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រោោះស្រាយរោយាង<br />
ឧទាហរណ៍ រណ<br />
ក្.<br />
ចម្ល ើយ ក្.<br />
<br />
<br />
dx<br />
sin xcos<br />
dx<br />
sin xcos<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 65<br />
k<br />
2<br />
k 1<br />
1 <br />
1 cot x<br />
<br />
1 cot<br />
2 sin<br />
2<br />
<br />
<br />
dx<br />
u cot x du <br />
2<br />
sin x<br />
អំងរតព្កាលមិៃក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
រយើងរោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ ាង<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
ខ.<br />
<br />
sin<br />
េូមចនោះ<br />
2<br />
2<br />
dx<br />
xcos<br />
<br />
3 3<br />
x<br />
x<br />
<br />
dx<br />
sin xcos<br />
ខ.<br />
<br />
sin<br />
<br />
dx<br />
xcos<br />
3 3<br />
dx sin xdx<br />
<br />
sin cos<br />
sin cos<br />
2 2 2<br />
x x x x<br />
t<br />
cos x<br />
dx<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
x<br />
2<br />
sin xcos<br />
x <br />
<br />
2<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
រ<br />
<br />
<br />
t<br />
ោះ<br />
2 2<br />
t<br />
<br />
x<br />
x<br />
<br />
dt cos<br />
xdx<br />
dt<br />
t<br />
<br />
t<br />
1<br />
t<br />
2 2<br />
t<br />
<br />
2 2<br />
<br />
1<br />
1<br />
<br />
dt<br />
1 1 <br />
dt<br />
<br />
<br />
2 2 t 1<br />
t <br />
1 t 1 1<br />
ln c<br />
2 t1<br />
t<br />
dx<br />
1 1<br />
cos x 1<br />
ln c<br />
2 1<br />
cos x cos x<br />
1 1<br />
cos x 1<br />
ln c<br />
2 1<br />
cos x cos x<br />
dx<br />
dx<br />
<br />
3<br />
x x<br />
x <br />
cos<br />
cos<br />
x <br />
3 3<br />
sin cos sin<br />
1 1 dx<br />
2 2 2<br />
tan x cos x cos x<br />
8<br />
x<br />
3<br />
x
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រយើងរោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ ាង<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
sin<br />
<br />
dx<br />
xcos<br />
3 3<br />
sin<br />
៣៣. អាំងតេព្ាលផ្ែលមានទព្មង់<br />
x<br />
dx<br />
xcos<br />
3 3<br />
x<br />
t tan x<br />
<br />
ម<br />
2<br />
1<br />
t 2<br />
t<br />
3<br />
ោះ<br />
dt<br />
dt <br />
13t 3t t<br />
<br />
3<br />
t<br />
2 4 6<br />
dx<br />
2<br />
cos<br />
dt<br />
1 3 3 <br />
3 3t t dt<br />
<br />
<br />
<br />
t t <br />
1 3 1<br />
3ln <br />
2t<br />
2 4<br />
<br />
x<br />
2 4<br />
t t t c<br />
1 3 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 4<br />
3ln tan x tan x tan x c<br />
2<br />
2 tan x<br />
2 4<br />
1 3 1<br />
<br />
<br />
<br />
2 4<br />
3ln tan x tan x tan x c<br />
2<br />
2 tan x<br />
2 4<br />
<br />
<br />
2 2 2 2 2 2<br />
I f x, a x , a x , x a dx<br />
<br />
រយើងរិៃិតយរមើលក្ន ុងក្ ណី ខាងរព្កាម<br />
+ក្ ណី<br />
+ក្ ណី<br />
+ក្ ណី<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
f x,<br />
a x dx<br />
<br />
2 2<br />
f x,<br />
a x dx<br />
<br />
2 2<br />
f x,<br />
x a dx<br />
<br />
<br />
<br />
ាង<br />
ាង<br />
ាង<br />
x asin<br />
t<br />
x a tan t<br />
x <br />
a<br />
cos<br />
t<br />
រ<br />
រ<br />
រ<br />
ោះ<br />
ោះ<br />
ោះ<br />
t arcsin x<br />
a<br />
t arctan x<br />
a<br />
t arccos a<br />
x<br />
ចំរ<br />
ចំរ<br />
ចំរ<br />
ោះ<br />
ោះ<br />
ោះ<br />
<br />
t <br />
,<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
t <br />
<br />
0, 2 <br />
3<br />
t <br />
<br />
0, ,<br />
<br />
<br />
2 <br />
2 <br />
ឧទាហរណ៍ រណ<br />
អំងរតព្កាលមិៃក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
<br />
4x<br />
4x<br />
2 2<br />
dx<br />
<br />
4x<br />
4x<br />
2 2<br />
រយើងរោោះស្រាយសមីកា ខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ខ.<br />
<br />
2<br />
x 16<br />
dx<br />
x<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 66
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ាង<br />
x<br />
2sin t<br />
ចំរ<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ោះ<br />
<br />
t <br />
,<br />
2 2 <br />
<br />
<br />
រ<br />
ោះ<br />
dx 2costdt<br />
dx<br />
2costdt<br />
<br />
4 4 4 4sin 4 4sin<br />
2 2 2 2<br />
x x t t<br />
dx<br />
<br />
4x<br />
4x<br />
2<br />
x 16<br />
dx<br />
x<br />
2 2<br />
1 costdt<br />
<br />
4<br />
2 2<br />
cos t cos t<br />
1 dt<br />
<br />
2<br />
4<br />
<br />
cos t<br />
1<br />
tan tc<br />
4<br />
1 x <br />
tan arcsin c<br />
4 2<br />
1 x <br />
tan arcsin c<br />
4 2<br />
រយើងរោោះស្រាយសមីកា ខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
4<br />
x <br />
cost<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
<br />
រ<br />
ោះ<br />
4sin tdt<br />
dx <br />
2<br />
cos t<br />
រហើយ<br />
4<br />
t arccos x<br />
16 4sin tdt<br />
16<br />
<br />
2<br />
x 16 2 2<br />
cos t cos t<br />
x<br />
dx <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
cost<br />
2<br />
16 tan tsin<br />
cos t<br />
2<br />
4 tan tdt<br />
<br />
<br />
t dt<br />
2<br />
4 1 tan t 1<br />
<br />
dt<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
4 1 tan t dt 4<br />
<br />
4 tan t 4t c<br />
<br />
dt<br />
រហើយ<br />
x<br />
t arcsin 2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 67
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
4<br />
4<br />
4 tan arccos 4arccos c<br />
x<br />
x<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
2<br />
x 16<br />
dx<br />
x<br />
4<br />
4<br />
4 tan arccos 4arccos c<br />
x<br />
x<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 68
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
អ ាំងតេក្រាលកាំណេ់<br />
1. និយមន័យ<br />
អាំងមេក្រាលក្ាំណេ់ពី a<br />
មៅ b<br />
នៃអៃុគ្ៃ៍<br />
y <br />
<br />
f x<br />
គឺជាក្ាំមណើ ៃនៃអៃុគ្ៃ៍ក្រពី្ីទីេ<br />
<br />
F x<br />
លេលក្រេូេ<br />
ៃឹងក្ាំមណើ ៃនៃ x ពី a មៅ b<br />
។<br />
មគក្ាំៃេ់សរមសរមោយ<br />
ឬ<br />
b<br />
<br />
a<br />
b<br />
<br />
<br />
f x dx F x F b F a<br />
b<br />
<br />
a<br />
f<br />
<br />
x dx<br />
មោយ<br />
a<br />
f<br />
ab ,<br />
<br />
<br />
ឧទហ ណ៍ គណ<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
4<br />
<br />
1<br />
ក្.<br />
4<br />
<br />
1<br />
2<br />
1<br />
x<br />
x<br />
3<br />
អាំងមេក្រាលក្ាំណេ់ខាងមក្រា្<br />
1<br />
x 2<br />
x<br />
3<br />
dx<br />
dx<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />
2<br />
1 x 12<br />
x x<br />
dx <br />
dx<br />
x<br />
<br />
x<br />
4 4<br />
<br />
3 3<br />
1 1<br />
<br />
<br />
<br />
4 5<br />
1 1<br />
2<br />
2x<br />
3 2<br />
x x<br />
1<br />
<br />
dx<br />
<br />
3<br />
1 4 1<br />
2<br />
2<br />
2x<br />
3 x<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
4<br />
1<br />
ខ.<br />
1<br />
<br />
0<br />
2<br />
1<br />
x<br />
1 1 1 1 4 <br />
1 <br />
32 6 4 2 2 <br />
<br />
293<br />
96<br />
x<br />
3<br />
dx<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 69
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
េូមចនោះ<br />
ខ.<br />
1<br />
<br />
0<br />
4<br />
<br />
1<br />
2<br />
1<br />
x<br />
x<br />
2<br />
1<br />
x<br />
x<br />
3<br />
3<br />
dx<br />
dx<br />
<br />
293<br />
96<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />
េូមចនោះ<br />
1<br />
<br />
0<br />
2<br />
1<br />
x<br />
x<br />
3<br />
3<br />
2<br />
<br />
1 x 13x x<br />
dx <br />
x<br />
x<br />
1 1 3 6<br />
0 0<br />
dx<br />
<br />
274<br />
91<br />
2. លកខណៈអាំងតេព្ាលកាំណេ់<br />
dx<br />
1 5 11<br />
1<br />
<br />
2 2<br />
3x x dx<br />
0 x <br />
7 13<br />
1<br />
2 2<br />
6 2<br />
2 x x x<br />
7 13<br />
0<br />
7 13<br />
1<br />
2 2<br />
6 2<br />
2 x x x<br />
7 13<br />
<br />
274<br />
91<br />
0<br />
ក្. មរើអៃុគ្ៃ៍<br />
ខ.<br />
a<br />
<br />
a<br />
f<br />
f<br />
xdx 0<br />
គ. មរើអៃុគ្ៃ៍<br />
f<br />
ក្ាំណេ់ ៃិង ជារ់មលើចម ល ោះ <br />
ក្ាំណេ់ ៃិង ជារ់មលើចម ល ោះ <br />
b<br />
ab , ម ោះ <br />
<br />
ab ,<br />
a<br />
ៃិង a b c<br />
<br />
f x dx f x dx<br />
<br />
a<br />
b<br />
ម ោះ មគបាៃ<br />
b<br />
ឃ. <br />
a<br />
b<br />
a<br />
c b b<br />
<br />
<br />
f x dx f x dx f x dx<br />
a c a<br />
kf x dx k f x dx លេល k ជាចាំៃួៃពិេ<br />
b<br />
ង. មរើ f xdx<br />
ៃិង g xdx<br />
មាៃ ម ោះ មគបាៃ <br />
<br />
<br />
<br />
a<br />
b<br />
a<br />
b b b<br />
f x g x dx f x dx g x dx<br />
a a a<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 70
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ច. មរើ<br />
លេល<br />
b<br />
<br />
a<br />
f<br />
,<br />
<br />
<br />
x dx<br />
ឧទហ ណ៍ គណ<br />
ក្.<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
<br />
1<br />
2<br />
េូមចនោះ<br />
ខ.<br />
េូមចនោះ<br />
ៃិង<br />
b<br />
a<br />
ជាចាំៃួៃពិេ<br />
<br />
g x dx<br />
មាៃ ម<br />
ោះ មគបាៃ<br />
អាំងមេក្រាលក្ាំណេ់ខាងមក្រា្<br />
2 x<br />
<br />
x e dx<br />
x <br />
ខ.<br />
2 2 2 2<br />
x<br />
1 1 1 1<br />
<br />
1<br />
4<br />
b b b<br />
<br />
<br />
<br />
f x g x dx f x dx g x dx<br />
a a a<br />
<br />
3<br />
<br />
2 <br />
2<br />
x<br />
x e dx xdx dx e dx<br />
x <br />
x<br />
<br />
<br />
1<br />
2<br />
2 x<br />
<br />
x e dx<br />
x <br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
x 2ln x e<br />
2<br />
1<br />
1 1<br />
2 2<br />
x<br />
2<br />
1 1<br />
2 2<br />
2 2ln 2 e <br />
3<br />
2 e e<br />
2<br />
<br />
3<br />
2 e e<br />
2ln 2<br />
2<br />
<br />
4 4 4<br />
<br />
2ln 2<br />
1 1<br />
3 x <br />
3<br />
2x<br />
dx xdx <br />
<br />
2x<br />
dx<br />
<br />
1 2 1 1 2<br />
<br />
1<br />
4<br />
<br />
3<br />
<br />
x <br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
4 4<br />
2<br />
x dx <br />
1 1<br />
<br />
dx<br />
2<br />
x<br />
3<br />
4 4<br />
2<br />
2 1 1<br />
3 x 3 2 x<br />
1<br />
3<br />
2 4 1 1 109<br />
2<br />
2 2 4 2 8<br />
1 109<br />
dx<br />
<br />
<br />
2<br />
2x<br />
8<br />
3. ្ណនាអាំងតេព្ាលកាំណេ់តោយបត ូរអតេរ<br />
មរើ<br />
u<br />
ab ,<br />
1<br />
1<br />
x <br />
2x<br />
e<br />
<br />
2<br />
<br />
dx<br />
<br />
g x<br />
ជារ់ ៃិង មាៃមេរីមេមលើ ម ោះ <br />
<br />
ឧទហ ណ៍ គណ<br />
ក្.<br />
<br />
<br />
អាំងមេក្រាលក្ាំណេ់ខាងមក្រា្<br />
<br />
2<br />
2<br />
3<br />
0<br />
x x<br />
1<br />
dx<br />
ខ.<br />
<br />
b<br />
a<br />
gb <br />
<br />
2<br />
f g x g x dx f u du<br />
<br />
1 3<br />
3x<br />
2<br />
<br />
x 1<br />
2<br />
dx<br />
<br />
g a<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 71
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
3<br />
0<br />
x x<br />
1<br />
dx<br />
មោោះសា្រយអាំងមេក្រាលខាងមលើមោយរត ូរអមេរ<br />
តាង<br />
u<br />
x<br />
2<br />
1<br />
ម<br />
ោះ<br />
du 2xdx<br />
មរើ x 0 ម ោះ u 1<br />
មរើ<br />
x 2<br />
ម<br />
ោះ<br />
u 5<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
េូមចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ឬ<br />
2 2 5 3<br />
0 1<br />
<br />
2 2<br />
3<br />
0<br />
1 3<br />
x x<br />
3x<br />
2<br />
<br />
x 1<br />
2<br />
1<br />
du xdx<br />
2 <br />
1<br />
x<br />
x 1<br />
dx <br />
u du<br />
2<br />
1 dx 78<br />
dx<br />
<br />
1<br />
2<br />
5<br />
3<br />
u du<br />
1<br />
<br />
4<br />
5<br />
u 625 1<br />
78<br />
8 8 8<br />
មោោះសា្រយអាំងមេក្រាលខាងមលើមោយរត ូរអមេរ<br />
តាង<br />
u<br />
3<br />
x 1 ម ោះ<br />
du 3<br />
មរើ x 1 ម ោះ u 2<br />
មរើ<br />
x 2<br />
ម<br />
ោះ<br />
u 9<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
េូមចនោះ<br />
<br />
2<br />
<br />
x<br />
1 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
x dx<br />
3x<br />
1<br />
dx du<br />
x 1<br />
u<br />
2<br />
2 9<br />
1 3<br />
2 2 2<br />
2<br />
3x<br />
7<br />
1<br />
2<br />
dx <br />
18<br />
4. រូបមនតអាំងតេព្ាលតោយផ្នែក<br />
1<br />
9<br />
1 1 1 7<br />
<br />
u 9 2 18<br />
2<br />
មរើអៃុគ្ៃ៍<br />
f<br />
ៃិង g<br />
ជារ់មលើចម ល ោះ ab , ៃិង មាៃមេរីមេមលើចម ល ោះ ab , ម<br />
ោះ<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 72
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
b<br />
<br />
ឧទហ ណ៍ គណ<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
a<br />
ក្.<br />
b<br />
<br />
f x g x dx f x g x g x f x dx<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
x cos xdx<br />
អាំងមេក្រាលក្ាំណេ់ខាងមក្រា្<br />
x cos xdx<br />
a<br />
ខ.<br />
b<br />
<br />
a<br />
1<br />
x<br />
xe dx<br />
មោោះសា្រយអាំងមេក្រាលខាងមលើមោយមក្ររើអាំងមេក្រាលមោយលសនក្<br />
តាង<br />
<br />
<br />
f x<br />
x<br />
g<br />
x cos x<br />
ម<br />
ោះ<br />
f<br />
x<br />
1<br />
<br />
ម ោះ g x sin<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
េូមចនោះ<br />
ខ.<br />
0<br />
<br />
2<br />
x cos xdx 1<br />
0<br />
1<br />
x<br />
xe dx<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2<br />
<br />
0 <br />
0 0<br />
x<br />
xcos xdx xsin x sin xdx<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
sin cos<br />
2 2<br />
<br />
1<br />
2<br />
0<br />
x <br />
2<br />
0<br />
មោោះសា្រយអាំងមេក្រាលខាងមលើមោយមក្ររើអាំងមេក្រាលមោយលសនក្<br />
តាង<br />
f x<br />
x<br />
ម<br />
ោះ<br />
f<br />
x<br />
x<br />
ម ោះ g x e<br />
g x e<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
x 1<br />
1 1<br />
x x<br />
1<br />
x<br />
<br />
xe dx xe e dx<br />
0<br />
0 0<br />
x<br />
1<br />
e e e e 11<br />
0<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 73
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
េូមចនោះ<br />
1<br />
<br />
0<br />
x<br />
xe dx 1<br />
5. អាំងតេព្ាល Improper<br />
អៃុគ្ៃ៍<br />
<br />
y f x<br />
មគពិៃិេយអាំងមេក្រាល<br />
ក្រណី ទី ១ : មរើ<br />
b<br />
<br />
a<br />
b<br />
ab ,<br />
ជារ់មលើ <br />
<br />
b<br />
a<br />
<br />
គឺ<br />
I<br />
f x dx<br />
<br />
0<br />
b<br />
<br />
f<br />
<br />
x<br />
f x dx lim f x dx <br />
ក្រណី ទី ២ : មរើ lim<br />
<br />
ជាពិមសស<br />
a<br />
<br />
0<br />
a<br />
b<br />
a<br />
ab , , <br />
ជារ់មលើ <br />
ម ោះ មគថា អាំងមេក្រាល<br />
f x dx f x dx A ម ោះ មគថា អាំងមេក្រាល<br />
លេល 0 b a<br />
I <br />
<br />
I <br />
ពក្រងីក្<br />
រក្រងួ្<br />
។<br />
<br />
<br />
<br />
y f x<br />
<br />
y f x<br />
ឧទហ ណ៏ គណ<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
1<br />
ក្.<br />
dx<br />
<br />
xln<br />
x<br />
0<br />
ជារ់មលើ ab , មគបាៃ<br />
ab ,<br />
ជារ់មលើ <br />
1<br />
មគបាៃ<br />
អាំងមេក្រាលខាងមក្រា្<br />
dx<br />
<br />
xln<br />
x<br />
0<br />
b<br />
<br />
a<br />
b<br />
<br />
a<br />
<br />
<br />
0<br />
a <br />
<br />
f x dx lim f x dx<br />
<br />
មោោះសា្រយអាំងមេក្រាលខាងមលើមោយរត ូរអមេរ<br />
តាង<br />
u ln x<br />
មរើ<br />
ម<br />
x 0<br />
ោះ<br />
<br />
មរើ x 1 ម<br />
dx<br />
du <br />
x<br />
ម ោះ u <br />
ោះ<br />
u 0<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
1<br />
b<br />
<br />
b<br />
0<br />
a <br />
<br />
f x dx lim f x dx<br />
dx 0 du<br />
<br />
x ln x<br />
<br />
u<br />
0<br />
<br />
<br />
lim<br />
<br />
<br />
<br />
ខ.<br />
0<br />
1<br />
e<br />
du<br />
u<br />
lim ln u<br />
<br />
<br />
dx<br />
2<br />
xln<br />
x<br />
0<br />
0<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 74
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ម<br />
ខ.<br />
ោះអាំងមេក្រាលខាងមលើ<br />
1<br />
e<br />
dx<br />
2<br />
xln<br />
x<br />
0<br />
េូមចនោះ<br />
1<br />
1<br />
dx<br />
<br />
xln<br />
x<br />
0<br />
dx<br />
<br />
xln<br />
x<br />
0<br />
រីក្<br />
រីក្<br />
មោោះសា្រយអាំងមេក្រាលខាងមលើមោយរត ូរអមេរ<br />
តាង<br />
u ln x<br />
មរើ<br />
មរើ<br />
ម<br />
x 0<br />
1<br />
x <br />
e<br />
<br />
ម<br />
ោះ<br />
dx<br />
du <br />
x<br />
ម ោះ u <br />
ោះ<br />
u 1<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើមៅជា<br />
ម<br />
ោះអាំងមេក្រាលខាងមលើ<br />
េូមចនោះ<br />
1<br />
e<br />
1<br />
e<br />
1<br />
e<br />
dx<br />
2<br />
xln<br />
x<br />
0<br />
dx 1<br />
du<br />
<br />
2 2<br />
xln<br />
x<br />
<br />
u<br />
0<br />
dx<br />
2<br />
xln<br />
x<br />
0<br />
រួ្<br />
រួ្<br />
<br />
lim<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
du<br />
2<br />
u<br />
1<br />
1 1<br />
lim lim 1 <br />
1<br />
<br />
u <br />
<br />
6. អាំងតេព្ាលននអនុ្មន៍មានន័យតលើ Voisinage នន <br />
អៃុគ្ៃ៍<br />
<br />
<br />
a<br />
b<br />
<br />
<br />
y f x<br />
a,<br />
<br />
ជារ់មលើ <br />
មគបាៃ<br />
b<br />
A<br />
f xdx lim f xdx<br />
b<br />
<br />
a <br />
b<br />
A<br />
f xdx lim f xdx<br />
<br />
a<br />
<br />
a <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
f x dx lim f x dx<br />
c<br />
<br />
c<br />
c<br />
A<br />
<br />
<br />
រួ្<br />
រីក្<br />
រួ្<br />
រីក្<br />
រួ្<br />
រីក្<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 75
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ឧទហ ណ៍ គណ<br />
ក្.<br />
ចរមៃ ើយ ក្.<br />
<br />
x<br />
e <br />
dx<br />
0<br />
<br />
<br />
x<br />
e <br />
dx<br />
0<br />
<br />
អាំងមេក្រាលImproperខាងមក្រា្<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 76<br />
ខ.<br />
0<br />
<br />
dx<br />
2<br />
x<br />
អាំងមេក្រាលខាងលអចសរមសរមៅជា<br />
ម<br />
ខ.<br />
ោះអាំងមេក្រាលខាងមលើ<br />
0<br />
<br />
េូមចនោះ<br />
dx<br />
2<br />
x<br />
<br />
x<br />
e <br />
dx<br />
0<br />
<br />
<br />
t<br />
x<br />
x<br />
e dx lim e dx<br />
t<br />
0 0<br />
រួ្<br />
<br />
x<br />
e dx<br />
<br />
0<br />
គ.<br />
x<br />
t<br />
t<br />
e e <br />
0 t<br />
dx<br />
1<br />
<br />
2<br />
x <br />
lim lim 1 1<br />
t<br />
រួ្<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />
ម<br />
គ.<br />
ោះអាំងមេក្រាលខាងមលើ<br />
េូមចនោះ<br />
dx<br />
1<br />
<br />
2<br />
x <br />
0<br />
<br />
<br />
dx<br />
2<br />
x<br />
រីក្<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
dx<br />
2<br />
x<br />
<br />
dx<br />
lim<br />
x<br />
រីក្<br />
អាំងមេក្រាលខាងមលើអចសរមសរមៅជា<br />
<br />
<br />
2 2<br />
t0 1<br />
t<br />
<br />
t<br />
dx<br />
x<br />
t <br />
1 1 <br />
lim lim t <br />
<br />
<br />
t0 x 1 <br />
<br />
t0<br />
t <br />
t <br />
dx<br />
dx<br />
lim<br />
2 2<br />
x 1 <br />
x 1<br />
<br />
dx<br />
ម ោះអាំងមេក្រាលខាងមលើ រួ្<br />
p<br />
x<br />
lim arctan x <br />
<br />
lim 2arctan 2 <br />
<br />
<br />
2
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
េូមចនោះ<br />
dx<br />
1<br />
<br />
2<br />
x <br />
រួ្<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 77
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
អនុវេតន៍អ ាំងតេក្រាល<br />
1. ននៃព្កឡាកាំណេ់តោយផ្សែតាងតាងអនុ្មន៍ និង អ័កែអប់ស្ុីស្<br />
1.1 ននៃព្កឡាតាមអាំងតេព្ាលកាំណេ់<br />
f<br />
ជាអៃុរមៃ៍ជាប់ ៃិង វិជជមាៃ ឬ 0 រលើចរ ៃ ោះ ab , ។<br />
ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយដខេរកាងC ាង<br />
f<br />
អ័ក្េអប់សុីស<br />
ប ៃ ត់ឈ<br />
x<br />
a<br />
<br />
ៃិង x b<br />
ក្ំណត់រោយ<br />
b<br />
<br />
a<br />
<br />
S f x dx F x <br />
F b F a<br />
b<br />
a<br />
ឧទហ ណ៍ : ក្ននៃព្ក្ឡានៃដ នក្បៃង់ខណឌ រោយដខេរកាង<br />
អ័ក្េអប់សុីស ប ៃ ត់ឈ<br />
។<br />
x 1 ៃិង x e<br />
1<br />
ចរមៃ ើយ ននៃព្ក្ឡានៃដ នក្បៃង់ខណឌ រោយដខេរកាង C : y <br />
x<br />
អ័ក្េអប់សុីស ប ៃ ត់ឈ<br />
<br />
x 1 ៃិង x e<br />
ក្ំណត់រោយ<br />
C :<br />
1<br />
y <br />
x<br />
e<br />
1<br />
S dx<br />
1<br />
x<br />
1<br />
e<br />
ln x ln e ln 1 1<br />
ឯក្ាននៃព្ក្ឡា<br />
1.2 ននៃព្កឡាសណឌ ព្ាប និងអ័កែអប់ស្ុីស្<br />
របើអៃុរមៃ៍<br />
y<br />
f x<br />
ជាប់រលើចរ ៃ ោះ <br />
អប់សុីស ប ៃ ត់ឈ x a ៃិង x b<br />
<br />
ab ,<br />
រ<br />
ក្ំណត់រោយ<br />
ោះ ននៃព្ក្ឡានៃដ នក្បៃង់ដែលក្ំៃត់រោយដខេរកាង អ័ក្េ<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 78
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
+ក្ ណី :<br />
b<br />
f x 0<br />
f x 0<br />
a<br />
<br />
S f x dx<br />
+ក្ ណី :<br />
b<br />
S f xdx<br />
a<br />
ឧទហ ណ៍ ១ រណ ននៃព្ក្ឡាដ នក្បៃង់ខណឌ រោយព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />
1,1<br />
សុីសរៅចរ ៃ ោះ <br />
។<br />
2<br />
1<br />
y f x x<br />
ៃិង អ័ក្េអប់<br />
ចរមៃ ើយ<br />
ចំរ<br />
ោះព្រប់<br />
<br />
x 1,1<br />
<br />
រ<br />
ោះ<br />
2<br />
x<br />
f x<br />
1 0<br />
ននៃព្ក្ឡាដ នក្បៃង់ខណឌ រោយព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />
ៃិង អ័ក្េអប់សុីសក្ំណត់រោយ<br />
ឧទហ ណ៍ ២ រណ<br />
អប់សុីសរៅចរ ៃ ោះ <br />
ចរមៃ ើយ<br />
1 1<br />
2<br />
S f x dx 1<br />
x dx<br />
<br />
<br />
<br />
1 1<br />
x<br />
1<br />
3<br />
x<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1 1 1 1 1<br />
3 3<br />
4<br />
<br />
3<br />
3<br />
ឯក្ាននៃ<br />
ននៃព្ក្ឡាដ នក្បៃង់ខណឌ រោយព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />
2,2<br />
ចំៃុចព្បសរវ វាងព្កាបៃិងអ័ក្េអប់សុីស<br />
x<br />
3<br />
។<br />
4x 0 ឬ xx<br />
2x<br />
2<br />
0<br />
<br />
3<br />
y f x x 4x<br />
ៃិង អ័ក្េ<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 79
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រ<br />
ោះ<br />
x 2<br />
,<br />
x 0<br />
ៃិង<br />
x 2<br />
រ ោះ A 2,0<br />
, O 0,0<br />
ៃិង B 2,0<br />
ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញែូច ូបខាងលរព្កាម<br />
ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាដ នក្បៃង់ខណឌ រោយព្កាប<br />
ាងអៃុរមៃ៍ក្ំណត់រោយ<br />
2<br />
2<br />
<br />
S f x dx<br />
0 2<br />
3 3<br />
4 4 <br />
x x dx x x dx<br />
2 0<br />
0 2<br />
4 4<br />
2 x 2<br />
x <br />
2x<br />
2x<br />
<br />
4 4 <br />
8 ឯក្ាននៃ<br />
2 0<br />
ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាដ នក្បៃង់ខណឌ រោយព្កាបាងអៃុរមៃ៍រឺ<br />
S 8 ឯក្ាននៃ<br />
1.3 ននៃព្កឡាសណឌ តោយព្ាបរីរ<br />
ដែល<br />
របើ<br />
<br />
f x<br />
f<br />
ៃិង g<br />
<br />
g x<br />
ab ,<br />
ជាអៃុរមៃ៍ជាប់រលើចរ ៃ ោះ <br />
រ ោះ ររបាៃននៃព្ក្ឡារៅចរ ៃ ោះ<br />
ដខេរកាងាងអៃុរមៃ៍ទំងរី ក្ំណត់រោយ<br />
b<br />
a<br />
<br />
<br />
S f x g x dx<br />
របើព្កាបាង<br />
f<br />
ៃិង g<br />
ព្បសរវគ្នន ព្តង់ x<br />
a ៃិង<br />
x b ដែល g x f x<br />
រ ោះ ររបាៃននៃព្ក្ឡាដែល<br />
រៅចរ ៃ ោះដខេរកាងទំងរី ក្ំណត់រោយ<br />
b<br />
<br />
a<br />
<br />
<br />
S g x f x dx<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 80
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ក្ ណី ព្កាបាង<br />
<br />
គ្នន ព្តង់ចំណុ ច x c<br />
ឧបមាថារៅចរ ៃ ោះ <br />
រកាង<br />
<br />
y f x<br />
រលើដខេរកាង<br />
<br />
y f x<br />
ៃិង<br />
ab ,<br />
រលើចរ ៃ ោះ <br />
ac ,<br />
ដខេរកាង<br />
cb ,<br />
ៃិង ចរ ៃ ោះ <br />
<br />
y g x<br />
<br />
y g x<br />
ព្បសរវ<br />
a c b<br />
ដែល ។<br />
<br />
y g x<br />
ដខេរកាង<br />
(ែូច ូបខាងារ ំ) ។<br />
រៅរលើដខេ<br />
<br />
y f x<br />
ព្ក្ឡាននៃដែលខណឌ រោយដខេរកាងក្ំណត់រោយ<br />
<br />
c<br />
b<br />
<br />
S g x f x dx f x g x <br />
dx<br />
a<br />
<br />
c<br />
រៅ<br />
ឧទហ ណ៍ ១ រណ<br />
ននៃព្ក្ឡានៃដ នក្បៃង់ដែលខណឌ<br />
រោយបា៉ា រា៉ា បូល<br />
2<br />
P : y x 2x<br />
ៃិង ប ៃ ត់<br />
d : y x 2<br />
។<br />
ចរមៃ ើយ សមីកា អប់សុីស វាង P<br />
ៃិង d<br />
រឺ<br />
2<br />
x x x<br />
2 2<br />
ឬ<br />
x<br />
2<br />
x 2<br />
0<br />
រ<br />
ោះ<br />
x1, x 2<br />
P<br />
ៃិង d ព្បសរវគ្នន ព្តង់ចំៃុច<br />
x 2 ៃិង<br />
x 1<br />
រហើយប ៃ ត់ d<br />
សថ ិតរៅរលើបា៉ា រា៉ា បូល P<br />
ចំរ ោះព្រប់ x2,1<br />
ននៃព្ក្ឡាដែលក្ំណត់រោយ<br />
។<br />
P<br />
ៃិង d<br />
រឺ<br />
1<br />
<br />
2<br />
2<br />
2 2 <br />
S x x x <br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2 x x dx<br />
2 3<br />
x x 9<br />
2x<br />
<br />
2 3<br />
ឯក្ាននៃ<br />
<br />
2<br />
1<br />
2<br />
f x x 3x<br />
ៃិង<br />
ឧទហ ណ៍ ២ រណ ននៃព្ក្ឡានៃដ នក្បៃង់ដែលខណឌ រោយព្កាប C ាងអៃុរមៃ៍ <br />
3 2<br />
ប ៃ ត់<br />
d : y x<br />
3<br />
។<br />
ចរមៃ ើយ<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 81
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
សមីកា អប់សុីស វាងព្កាប C<br />
ៃិងប ៃ ត់ d<br />
រឺ<br />
ឬ<br />
ឬ<br />
3 2<br />
x x x<br />
<br />
3 3<br />
3 2<br />
x x x <br />
3 3 0<br />
2<br />
x x <br />
3 1 0<br />
រ<br />
ោះ<br />
x 1, x 1, x 3<br />
ចំៃុចព្បរសរវ វាងព្កាប C ៃិងប ៃ ត់ d រឺ<br />
<br />
A 1,4<br />
<br />
,<br />
B<br />
<br />
1,2<br />
<br />
ៃិង<br />
C<br />
<br />
3,0<br />
ចំរ ោះ x 1,1<br />
រ ោះប ៃ ត់ d<br />
ចំរ<br />
ោះ<br />
<br />
x 1,3<br />
<br />
រ ោះប ៃ ត់ d<br />
<br />
រៅរលើព្កាប C<br />
រៅរព្កាមព្កាប C<br />
ររបាៃននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយព្កាប C<br />
ៃិងប ៃ ត់ d<br />
រឺ<br />
1 3<br />
<br />
<br />
<br />
S y f x dx f x y dx<br />
1 1<br />
1 3<br />
<br />
3 2 3 2<br />
3 3 3 3<br />
x x x dx x x x <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
1 1<br />
1 3<br />
3 2 3 2<br />
3 3 3 3<br />
x x x dx x x x dx<br />
1 1<br />
1 3<br />
4 3 2 4 3 2<br />
x x x 3x x x x 3x<br />
1 1 1 1 <br />
<br />
4 2 3 2 <br />
ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយព្កាប C<br />
<br />
1 1<br />
ៃិងប ៃ ត់ d<br />
រឺ<br />
4 4 8<br />
S 8 ឯក្ាននៃ<br />
ឯក្ាននៃ<br />
2. មាឌននស្ូលីេ<br />
2.1.មាឌននស្ូលីេបរិវេតផ្ែលបានរីរងវ ិលជុាំវិញអ័កែអប់ស្ុីស្ននននៃសណឌ តោយផ្សែតាង និងអ័កែអប់ស្ុីស្<br />
អៃុរមៃ៍<br />
<br />
y f x<br />
ab ,<br />
ជាប់ ៃិង វិជជមាៃរលើចរ ៃ ោះ <br />
មាឌនៃសូលីតប ិវតរដែលបាៃរី ងវ ិលជុំវិញអ័ក្េអប់<br />
សុីសនៃននៃខណឌ រោយដខេរកាងាងអៃុរមៃ៍ y f x<br />
ៃិង អ័ក្េអប់សុីស ប ៃ ត់ឈ x a ៃិង x b<br />
<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 82
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ក្ំណត់រោយ<br />
b<br />
a<br />
2<br />
V f x <br />
dx<br />
មាឌនៃសូលីតប ិវតរក្ំណត់បាៃរី ងវ ិលជុំវិញ<br />
អ័ក្េអប់សុីសនៃននៃដែលខណឌ រោយដខេរកាងាង<br />
អៃុរមៃ៍<br />
ដែល<br />
<br />
y f x<br />
<br />
f x<br />
b<br />
<br />
a<br />
<br />
g x<br />
<br />
ៃិង<br />
<br />
y g x<br />
ក្ំណត់រោយ<br />
b<br />
2 2<br />
a<br />
<br />
V f x dx <br />
g x <br />
dx<br />
<br />
ab ,<br />
រលើចរ ៃ ោះ <br />
ឧទហ ណ៍ ១ រណ<br />
មាឌនៃសូលីតប ិវតរក្ំណត់បាៃរី ងវ ិលជុំវិញ<br />
អ័ក្េ x Ox នៃននៃដែលខណឌ រោយព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />
0,1<br />
អ័ក្េអប់សុីសរហើយព្តូវៃឹងចរ ៃ ោះ <br />
។<br />
y<br />
x<br />
2<br />
ៃិង<br />
ចម្ល ើយ មាឌនៃសូលីតប ិវតរក្ំណត់បាៃរី ងវ ិលននៃដែល<br />
ខណឌ រោយព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />
0,1<br />
ៃឹងចរ ៃ ោះ <br />
ក្ំណត់រោយ<br />
y<br />
x<br />
2<br />
ៃិង អ័ក្េ x Ox ព្តូវ<br />
1 1<br />
<br />
2 2<br />
<br />
<br />
V <br />
f x dx x dx<br />
0 0<br />
ឧទហ ណ៍ ២ រណ<br />
2<br />
1<br />
1 5<br />
<br />
5 x <br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
5<br />
ឯក្ាមាឌ<br />
មាឌនៃសូលីតប ិវតរក្ំណត់បាៃរី ងវ ិល<br />
ជុំវិញនៃននៃដែលខណឌ រោយព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />
ប ៃ ត់សមីកា y<br />
ចរមៃ ើយ<br />
y<br />
x រហើយព្តូវៃឹងចរ ៃ ោះ 0,1 ។<br />
x<br />
ៃិង<br />
មាឌនៃសូលីតប ិវតរក្ំណត់បាៃរី ងវ ិលជុំវិញនៃននៃដែល<br />
ខណឌ រោយព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />
f x<br />
x<br />
ៃិង ប ៃ ត់សមីកា<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 83
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
y x<br />
0,1<br />
រៅចរ ៃ ោះ <br />
ក្ំណត់រោយ<br />
1 1<br />
2 2<br />
<br />
<br />
V f x <br />
dx <br />
y dx<br />
<br />
<br />
0 0<br />
<br />
<br />
1 1<br />
2<br />
2<br />
x dx <br />
x dx<br />
<br />
<br />
0 0<br />
1 3<br />
1<br />
x x<br />
<br />
<br />
2 3<br />
<br />
<br />
6<br />
0 0<br />
ឯក្ាមាឌ<br />
ែូរចនោះ មាឌនៃសូលីតប ិវតរក្ំណត់រោយព្កាបទំងរី រឺ<br />
V <br />
<br />
6<br />
2.2.មាឌននស្ូលីេបរិវេតផ្ែលបានរីររងវ ិលជុាំវិញអ័កែអរតោតន<br />
ងវ ិលជុំវិញអ័ក្េ<br />
ព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />
y c<br />
ៃិង<br />
y d<br />
yOy<br />
នៃននៃដែលក្ំណត់រោយ<br />
<br />
x g y<br />
ដែលមាៃមាឌក្ំណត់រោយ<br />
ឧទហ ណ៍ រណ<br />
អ័ក្េ y Oy ប ៃ ត់រែក្<br />
បរងក ើតបាៃជាមាឌនៃសូលីតប ិវតរ<br />
d<br />
c<br />
2<br />
V g y <br />
dy<br />
មាឌនៃសូលីតប ិវតរប ិតរក្ំណត់<br />
ឯក្ាមាឌ<br />
បាៃរី ងវ ិលអៃុរមៃ៍<br />
y<br />
3x<br />
ព្តូវៃឹង 0 3<br />
y <br />
។<br />
ចម្ល ើយ<br />
ររមាៃ<br />
y<br />
3x<br />
រ<br />
ោះ<br />
x3<br />
y<br />
2<br />
ែូរចនោះ មាឌនៃសូលីតប ិវតរព្តូវៃឹង 0 3<br />
y <br />
រឺ<br />
3<br />
2<br />
2<br />
V <br />
3<br />
y dy<br />
<br />
0<br />
3<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
2 4<br />
9 6y y dy<br />
3<br />
9y 2y<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 84<br />
<br />
5<br />
y <br />
5<br />
<br />
<br />
0<br />
3<br />
24<br />
3<br />
ឯក្ាមាឌ<br />
5
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ែូរចនោះ មាឌនៃសូលីតប ិវតរព្តូវៃឹង 0 y 3 រឺ<br />
V<br />
24<br />
3<br />
<br />
5<br />
ឯក្ាមាឌ<br />
2.3.មាឌស្ូលីេបរិវេតបានរីព្កឡាននៃមុសាេ់<br />
O, i, j,<br />
k<br />
ក្ន ុងតព្មុយអ តូណ មា៉ា ល់ មាៃទិសរៅវិជជមាៃ<br />
ររមាៃ<br />
Z0,<br />
Z1<br />
ជាចំៃួៃរិតដែល<br />
ប្លង់រី មាៃសមីកា<br />
B<br />
ដែល<br />
ក្ំណាត់ខ័ណឌ រោយ<br />
Z z Z<br />
Z z Z<br />
(<br />
0 1<br />
<br />
S z<br />
0 1<br />
មាឌនៃ E B<br />
។<br />
Z Z 0<br />
P 0<br />
ៃិង<br />
Z<br />
ៃិង<br />
P 1<br />
មុខកាត់នៃសូលីត E<br />
Z<br />
0 1<br />
Z Z 1<br />
។<br />
P 0<br />
ៃិង<br />
របើសំណុំ នៃចំៃុច<br />
ព្រប់បៃង់ P នៃសមីកា<br />
ៃិងអៃុរមៃ៍<br />
P 1<br />
ជា<br />
រ ៀងគ្នន ។ ររថា<br />
Z , Z<br />
z Z<br />
ជាននៃមុខកាត់) ជាអៃុរមៃ៍ជាប់រលើ <br />
<br />
រឺ<br />
V<br />
Z<br />
Z<br />
1<br />
0<br />
<br />
S z dz<br />
ឧទហ ណ៍ ាងដសវ ៊ែ នច ិត O<br />
ដែលមាៃកាំ<br />
r R z<br />
2 2<br />
<br />
S z r R z<br />
ែូរចនោះ មាឌV<br />
2 2 2<br />
។<br />
កាំ R<br />
<br />
M x, y,<br />
z<br />
ដែល<br />
<br />
z S z<br />
0 1<br />
រ<br />
ោះ<br />
<br />
រោយ ។ មុខកាត់រោយបៃង់ដែលមាៃអ័ក្េក្ូត<br />
រហើយព្ក្ឡាននៃមុខកាត់ រឺ<br />
នៃអងកត់ដសវ ៊ែ ដែលរៅចរ ៃ ោះបៃង់រែក្រី ដែល<br />
z<br />
ជា ងវង់<br />
មាៃអ័ក្េក្ូត<br />
z 1<br />
ៃិង<br />
z 2<br />
រឺ<br />
z2<br />
2 2<br />
V R z dz<br />
<br />
z1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
Rz<br />
<br />
3<br />
z<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
z2<br />
z1<br />
2 3 3<br />
R z2 z1 z2 z1<br />
<br />
3<br />
<br />
6 2 3<br />
2 2<br />
6 z z R z <br />
<br />
z z z<br />
2<br />
2 1 2 1 2 1<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 85
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
របើរយើង យក្<br />
z z h<br />
2 1<br />
រហើយាងកាំទំងរី រោយ<br />
r R z<br />
2 2<br />
1 1<br />
រយើងបាៃ<br />
និង<br />
2.4.ព្បផ្វងធ្ែូននព្ាប<br />
r R z<br />
2 2<br />
2 2<br />
ព្បដវងធន ូនៃព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />
ដែលរៅចរ ៃ ោះប ៃ ត់ឈ x a<br />
ក្ំៃត់រោយ<br />
+របើ<br />
រ<br />
b<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
V h 3<br />
r r h h r r h<br />
6 <br />
<br />
<br />
<br />
2 6<br />
2<br />
L 1 f x <br />
dx<br />
x<br />
a<br />
ៃិង<br />
y<br />
<br />
<br />
x f t<br />
y g t<br />
<br />
<br />
2 2 2 2 2 3<br />
1 2 1 2<br />
f<br />
<br />
ៃិង x b<br />
ជាអៃុរមៃ៍បា៉ា រា៉ា ដមព្តនៃ t<br />
ដែល t<br />
<br />
ោះព្បដវងនៃដខេរកាងក្ំណត់រោយ<br />
ឧទហ ណ៍ ១ រណ<br />
x 2<br />
។<br />
ចម្ល ើយ<br />
ររមាៃ<br />
រហើយ<br />
f<br />
x<br />
4<br />
x 1<br />
<br />
8 4x<br />
2 x<br />
1<br />
f<br />
x<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
L f t g<br />
t dt<br />
ព្បដវងធន ូនៃព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />
2<br />
រ<br />
ោះ<br />
រ ោះ f x<br />
<br />
1 3 1 1<br />
f x x <br />
3<br />
2 2 x<br />
6<br />
1<br />
x 1<br />
3 <br />
2 x <br />
6<br />
2 1<br />
x 1<br />
<br />
<br />
3 <br />
4 x <br />
2x<br />
1<br />
6<br />
4x<br />
12 6<br />
x<br />
<br />
12 6<br />
2<br />
2x<br />
1<br />
6<br />
4x<br />
4<br />
x 1<br />
y f x<br />
<br />
8 4x<br />
2<br />
រៅចរ ៃ ោះប ៃ ត់ឈ<br />
x 1 ៃិង<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 86
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
x 2x 1<br />
4x<br />
<br />
6<br />
4x<br />
12 6 6<br />
6<br />
x 1<br />
3 <br />
2x<br />
<br />
ព្បដវងធន ូនៃព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />
2<br />
f<br />
x<br />
4<br />
x 1<br />
<br />
8 4x<br />
2 2 6<br />
2<br />
x 1<br />
L 1 f x<br />
dx dx<br />
3<br />
2x<br />
1 1<br />
<br />
1<br />
2<br />
2<br />
<br />
ែូរចនោះ ព្បដវងធន ូនៃព្កាបាងអៃុរមៃ៍ រឺ<br />
ឧទហ ណ៍ ២ រណ<br />
ររមាៃ<br />
រ<br />
x<br />
3t<br />
2<br />
រ<br />
ោះ<br />
ព្បដវងនៃដខេរកាង<br />
dx 6tdt<br />
ោះព្បដវងដខេងរកាងរៅចរ ៃ ោះ<br />
3<br />
<br />
2 2<br />
ៃិង<br />
L 6t 3<br />
3t dt<br />
<br />
<br />
3<br />
3<br />
3 4 1 2 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
2 2 4<br />
t t t dt<br />
3<br />
2<br />
2<br />
3 1t dt<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
3<br />
2<br />
3 1t dt<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
3<br />
3<br />
3t<br />
t 12 3<br />
3<br />
<br />
<br />
2<br />
ឯក្ាព្បដវង<br />
1<br />
2<br />
រៅចរ ៃ ោះប ៃ ត់ឈ<br />
<br />
3 3<br />
x x dx<br />
2<br />
4<br />
1 x 1 2 33<br />
x <br />
<br />
2 4 2 16<br />
x<br />
y 3t t<br />
33<br />
L <br />
16<br />
2<br />
3t<br />
ៃិង<br />
3<br />
3 t 3<br />
រ<br />
ោះ<br />
1<br />
ឯក្ាព្បដវង<br />
y 3t t<br />
<br />
3<br />
ឯក្ាព្បដវង<br />
រៅចរ ៃ ោះ<br />
<br />
2<br />
dy 33t dt<br />
ក្ំណត់រោយ<br />
ែូរចនោះ ព្បដវងដខេងរកាងាងអៃុរមៃ៍ រឺ L 12 3 ឯក្ាព្បដវង<br />
2.5.អនុវេតន៍កែុងជីវភារព្បចាំនេៃ<br />
x 1 ៃិង<br />
<br />
x 2<br />
រឺ<br />
3 t 3<br />
។<br />
ឧទហ ណ៍ ១ ាថ ៃីយវិទយ ុ មួយក្ំរុងដតចាប់រនរ ើមបរងក ើៃកា នេរវនោយ<br />
ណិ ជជក្មម រែើមបីបរងក ើៃចំៃួៃអនក្<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 87
ើ<br />
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ារ ប់ព្បចាំនេៃ ។ បចច ុបបៃនរៃោះ អនក្ារ ប់វិទយ ុ រៃោះជាព្បចាំមាៃចំៃួៃ 27000<br />
ចំៃួៃអនក្ារ ប់<br />
St<br />
ៃឹងរក្ើៃរ<br />
ើងាមអព្ា<br />
60<br />
S<br />
t t<br />
ដែល t<br />
ក្់ រហើយររសងឃឹមថាក្ន ុងមួយនេៃ<br />
ជាចំៃួៃនេៃរិតរីនេៃចាប់រនរ ើមបរងក ើៃកា នេ-<br />
រវនោយ ។ រតើររព្តូវរព្បើ យៈររលប៉ាុ ម ៃ ព្បសិៃរបើាថ ៃីយវិទយ ុ រៃោះ ចង់ឲ្យចំៃួៃអនក្ារ ប់ព្បចាំនេៃ រក្ើៃរ ើង<br />
ហូតែល់ 41000 ក្់ ?<br />
ររព្តូវរោោះស្រាយសមីកា<br />
ររមាៃ<br />
60<br />
S<br />
t t<br />
ៃិង<br />
St 41000<br />
S<br />
<br />
0 27000<br />
រែើមបី ក្ t<br />
របើ<br />
រោយ<br />
ររបាៃ<br />
60<br />
S<br />
t t<br />
S<br />
<br />
រ ោះ<br />
0 27000<br />
<br />
S t<br />
ាមសមីកា<br />
3<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
3<br />
60t<br />
2 2<br />
S t 60 tdt 60 t dt c 40t c<br />
1<br />
1<br />
2<br />
រ ោះ ររបាៃ<br />
40t<br />
27000<br />
41000<br />
S t <br />
3<br />
2<br />
400 c 27000<br />
ររបាៃ<br />
3<br />
2<br />
ឬ<br />
40t 27000 41000<br />
ឬ<br />
3<br />
2<br />
40t<br />
14000<br />
c 27000<br />
ដែល c<br />
ជាចំៃួៃរិត<br />
ឬ<br />
3<br />
t<br />
2 350<br />
រ<br />
ោះ<br />
t 49.66 50<br />
នេៃ<br />
ែូរចនោះ ររព្តូវរព្បើររល 50 នេៃ ។<br />
ឧទហ ណ៍ ២ ាមកា សិក្ោស្រាវព្ជាវបាៃបង្ហា ញឲ្យរ<br />
ងជារ ៀងរាល់ឆ្ន ំរោយអព្ានៃ<br />
រៅមុខរទៀត ។<br />
ាង<br />
ររបាៃ<br />
Tx<br />
53<br />
t x<br />
ជាក្ំរណើ ៃព្បជាជៃ ររបាៃ<br />
x<br />
ើញថា ចំៃួៃព្បជាជៃរៅក្ន ុងសហរមៃ៍មួយរក្ើៃរ<br />
ដែល x ជាចំៃួៃឆ្ន ំ ។ ក្ក្ំរណើ ៃព្បជាជៃរៅ យោះររល8 ឆ្ន ំ<br />
T x<br />
3 2<br />
T x t xdx 5 3xdx 5x x c<br />
2<br />
ព្បជាជៃក្ន ុងររលបចច<br />
ព្បជាជៃក្ន<br />
ុបបៃន <br />
2<br />
ជាអំងរតព្កាលនៃ<br />
ុង យៈររល 8 ឆ្ន ំរៅមុខរទៀត <br />
2<br />
ែូរចនោះ ក្ំរណើ ៃព្បជាជៃ យៈររល 8 ឆ្ន ំរៅមុខរទៀត រឺ<br />
<br />
t x<br />
3<br />
T 0 50 0<br />
c c<br />
2<br />
3<br />
T 8 58 8 c 136<br />
c<br />
2<br />
<br />
<br />
T 8 T 0 136 c c 136<br />
ឧទហ ណ៍ ៣ ព្ក្ុមហ៊ែុៃលក្់មួយទទួលព្បាក្់ចំរៃញាមបដព្មបព្មួលនៃចំៃួៃ េ យៃរដែលបាៃលក្់ ។ អព្ា<br />
ក្់<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 88
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ព្បាក្់ចំរៃញបដៃថមក្ំៃត់រោយអៃុរមៃ៍<br />
30 0.28<br />
P x<br />
x<br />
ដែល x ជាចំៃួៃ េយៃរ ៃិង<br />
រ ៀល ។ ក្បដព្មបព្មួលនៃព្បាក្់ចំរៃញរីកា លក្់ េយៃរចាប់រីចំៃួៃ 10 រៅ30 រព្រឿង ។<br />
P x<br />
រិតជាដសៃ<br />
ររបាៃ បដព្មបព្មួលនៃព្បាក្់ចំរៃញរីកា លក្់ េយៃរចាប់រីចំៃួៃ 10 រៅ 30 រព្រឿង អចរណ ាម<br />
អំងរតព្កាលក្ំណត់រោយអៃុរមៃ៍ព្បាក្់ចំរៃញបដៃថម<br />
30 30<br />
<br />
30 0.28<br />
P x<br />
<br />
P x dx <br />
<br />
10 10<br />
30 0.28x dx<br />
0.28x<br />
30x<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
30<br />
10<br />
x<br />
រីចំៃួៃ 10 រៅ 30 រឺ<br />
2 2<br />
<br />
0.2830 0.2810<br />
3030 3010<br />
<br />
2 2 <br />
488 ដសៃរ ៀល<br />
ែូរចនោះ បដព្មបព្មួលនៃព្បាក្់ចំរៃញរីកា លក្់ េយៃរចាប់រីចំៃួៃ 10 រៅ30 រព្រឿងរឺ 488 (រិតជាដសៃរ ៀល)<br />
ឬ 48800000 រ ៀល ។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 89
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ព្បធានលាំហាេ់<br />
១. ក្អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវ បស់អៃុរមៃ៏ f ដែលក្ំណត់រោយ<br />
1 11 1 3 15<br />
5<br />
13 22 16<br />
6 3 x x 4x<br />
1 8 1 8 9<br />
f x x x x 3<br />
11 14 10<br />
5 13 x x x<br />
5 7 4<br />
ក្. f x x x x<br />
ខ. <br />
3 5 7<br />
២.បង្ហា ញអៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវដែលមាៃតនមៃ ចំរ ោះ x នៃអៃុរមៃ៍<br />
ក្.<br />
ខ.<br />
1<br />
f x x 2x<br />
<br />
2<br />
x<br />
<br />
3 2<br />
៣. ក្សំណុំ ដែៃក្ំណត់ D<br />
ៃីមួយៗឬរទ ?<br />
1 2 4 3 7<br />
f x x x <br />
2 5<br />
3 5 x x<br />
នៃអៃុរមៃ៍<br />
f<br />
,<br />
,<br />
2 ៃិង<br />
3 ៃិង<br />
។ រតើអៃុរមៃ៏ F<br />
f<br />
1<br />
<br />
3<br />
1<br />
ដែលក្ំណត់រោយ<br />
ជាអៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវនៃ<br />
f<br />
រលើចរ ៃ ោះដែៃក្ំណត់<br />
ក្. f<br />
ខ.<br />
៤. ក្ចំៃួៃរិត<br />
f<br />
x<br />
<br />
x<br />
ab ,<br />
<br />
<br />
2<br />
x 3x1<br />
2<br />
4x<br />
10x<br />
11<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3x<br />
1<br />
63<br />
5 x 4<br />
8<br />
10<br />
ៃិង c ដែលចំរ ោះ F<br />
<br />
2<br />
,<br />
,<br />
<br />
F x<br />
<br />
F x<br />
ជាព្រីមីទីវនៃ<br />
<br />
2<br />
x<br />
x<br />
x<br />
2<br />
4<br />
3x1<br />
3x<br />
1<br />
<br />
4<br />
5x<br />
<br />
f<br />
9<br />
រលើចរ ៃ ោះសំណុំ ដែៃក្ំណត់ៃីមួយៗនៃ<br />
f<br />
រហើយ<br />
ព្រីមីទីវ F មាៃតនមៃ <br />
<br />
ចំរ ោះ x <br />
ក្.<br />
f<br />
<br />
x<br />
ខ. f x<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
x 4<br />
<br />
<br />
2<br />
12x<br />
16x<br />
48<br />
<br />
<br />
2<br />
8x<br />
50x19<br />
2<br />
3x<br />
x4<br />
៥. ក្អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវ បស់អៃុរមៃ៍<br />
ក្.<br />
3 4<br />
1 2<br />
f x x x<br />
៦. ក្អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវ បស់អៃុរមៃ៍<br />
<br />
2<br />
f<br />
f<br />
,<br />
,<br />
<br />
F x<br />
<br />
F x<br />
<br />
<br />
ដែលក្ំណត់រោយ<br />
ដែលក្ំណត់រោយ<br />
2<br />
ax bx c<br />
x<br />
2<br />
4<br />
2<br />
ax bx c<br />
2<br />
3x<br />
x4<br />
ខ. f x<br />
<br />
,<br />
,<br />
0<br />
ៃិង<br />
1 ៃិង<br />
2x<br />
1<br />
2<br />
x x3 3<br />
0<br />
5<br />
<br />
2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 90
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ក្.<br />
<br />
f x x <br />
4 <br />
sin 8<br />
៧. ក្អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវនៃ f ដែលរសម ើសូៃយចំរ<br />
ក្.<br />
x 3x<br />
f x<br />
2cos<br />
3sin<br />
2 2<br />
៨. ក្អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវ បស់អៃុរមៃ៍<br />
ក្.<br />
៩.ររឲ្យអៃុរមៃ៍<br />
រណ<br />
១០.ររឲ្យអៃុរមៃ៍<br />
ក្.បង្ហា ញថា<br />
2<br />
<br />
f x cos xsin 2x<br />
f<br />
ោះ<br />
<br />
x <br />
2<br />
ដែលក្ំណត់រោយ<br />
2 2<br />
1 ln 1 ln <br />
F x x x x x<br />
រែ ីរវ បស់អៃុរមៃ៍<br />
<br />
ខ.ទញឲ្យបាៃព្រីមីទីវ<br />
x<br />
f x x ln 4<br />
<br />
F x<br />
ៃិង<br />
1 1<br />
f x<br />
g x<br />
x<br />
2 2<br />
<br />
F x<br />
ៃិង<br />
ខ.<br />
រោយ<br />
ខ.<br />
ខ.<br />
<br />
f x 2cos3x 3sin 2x<br />
4 3 <br />
<br />
f x 5sin 2x 3cos 5x<br />
4 3 <br />
f<br />
<br />
2x<br />
<br />
x x 1<br />
<br />
2<br />
x<br />
1<br />
x <br />
f x xln<br />
<br />
x <br />
។ ួចទញ ក្ព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍<br />
x<br />
g x x x<br />
4<br />
នៃអៃុរមៃ៍<br />
<br />
2 ln 0<br />
f<br />
x<br />
។<br />
។<br />
f<br />
2<br />
x<br />
ចំរ<br />
។<br />
ោះ<br />
x 0<br />
។<br />
១១.រណ<br />
១២.រណ<br />
១៣.រណ<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
<br />
3<br />
1 x<br />
3 dx<br />
x<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
<br />
<br />
ខ.<br />
2<br />
x dx<br />
ខ.<br />
2<br />
2<br />
1 x<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
<br />
<br />
x<br />
<br />
1<br />
x<br />
<br />
<br />
2<br />
1<br />
x<br />
2 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
x dx<br />
x<br />
x 1<br />
xe<br />
<br />
dx<br />
១៤.រណ<br />
ក្.<br />
<br />
2x<br />
e dx<br />
x<br />
e 1<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ខ.<br />
<br />
1<br />
e<br />
2x<br />
dx<br />
ក្.<br />
<br />
<br />
3<br />
x dx<br />
9<br />
2<br />
5x<br />
4<br />
<br />
7<br />
ខ.<br />
<br />
x<br />
x<br />
2<br />
4<br />
1<br />
dx<br />
1<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 91
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
១៥.រណ<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
១៦.រណ<br />
ក្.<br />
<br />
x<br />
xdx<br />
x<br />
1<br />
4 2<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ខ.<br />
<br />
x<br />
dx<br />
4x<br />
3<br />
4 2<br />
១៧.រណ<br />
១៨.រណ<br />
១៩.រណ<br />
២០.រណ<br />
ក្.<br />
ក្.<br />
<br />
x<br />
dx<br />
1<br />
x<br />
3<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
<br />
<br />
dx<br />
x 1<br />
x<br />
<br />
ខ.<br />
ខ.<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
2<br />
ក្. x x xdx<br />
ខ.<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
<br />
sin<br />
x cos<br />
5 3<br />
xdx<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
2 x dx<br />
2 x 2 x<br />
<br />
dx<br />
<br />
1 x x1<br />
x<br />
dx<br />
1<br />
x<br />
2<br />
1<br />
cos x dx<br />
sin x 1<br />
2<br />
២១.រណ<br />
ក្.<br />
<br />
dx<br />
2 2 2<br />
a cos x b sin x<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ខ.<br />
<br />
sin<br />
cos<br />
3<br />
8<br />
x dx<br />
x<br />
២២.រណ<br />
ក្.<br />
<br />
dx<br />
sin xcos<br />
6<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
x<br />
ខ.<br />
3<br />
4sin x dx<br />
1<br />
cos x<br />
<br />
ក្.<br />
<br />
3<br />
ln x<br />
4 ln x 2<br />
dx<br />
ខ.<br />
<br />
xln<br />
x dx<br />
2<br />
1 x<br />
2<br />
២៣.រណ<br />
អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />
<br />
4<br />
2<br />
x x dx (ឆមាសទី២,២០០៤) ខ.<br />
<br />
6<br />
ក្. tan<br />
cot <br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
cos xsin<br />
4<br />
xdx<br />
(ឆមាសទី២,២០០៣)<br />
២៤.រណ<br />
អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 92
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ក្.<br />
<br />
<br />
0<br />
sin x<br />
dx<br />
2 cos x<br />
(ឆមាសទី២,២០០៩) ខ.<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
<br />
2<br />
cos sin sin<br />
x x xdx<br />
<br />
(ឆមាសទី២,២០០៦)<br />
២៥.រណ<br />
អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
1<br />
<br />
0<br />
xe<br />
2<br />
x 1<br />
dx<br />
ខ.<br />
2<br />
e<br />
<br />
e<br />
dx<br />
xln<br />
x<br />
២៦.រណ<br />
អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
1<br />
<br />
0<br />
x<br />
1<br />
x dx<br />
2 2<br />
ខ.<br />
1<br />
<br />
0 1<br />
<br />
dx<br />
x<br />
២៧.រណ<br />
អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
<br />
2<br />
dx<br />
<br />
2 sin x<br />
0<br />
ខ.<br />
<br />
2<br />
dx<br />
<br />
2 cos x<br />
0<br />
២៨.រណ<br />
អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
R<br />
<br />
R<br />
R<br />
x dx<br />
2 2<br />
ខ.<br />
<br />
4<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
ln 1<br />
tan x dx<br />
២៩.រណ<br />
អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
4<br />
x<br />
dx<br />
2<br />
sin x<br />
ខ.<br />
<br />
4<br />
x<br />
<br />
cos 0<br />
2<br />
dx<br />
x<br />
៣០.រណ<br />
អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
<br />
e 3<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
sin ln x dx<br />
ខ.<br />
<br />
e 3<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
cos ln x dx<br />
៣១.រណ<br />
អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />
b<br />
x<br />
ក្. dx , a b<br />
ខ.<br />
x<br />
a<br />
2<br />
<br />
0<br />
2<br />
x 2x 3dx<br />
៣២.រណ<br />
អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />
2<br />
2<br />
ក្. max x , x<br />
2 2<br />
dx<br />
ខ. min 2 , 4 <br />
0<br />
3<br />
0<br />
x x x x dx<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 93
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
៣៣.បង្ហា ញថា<br />
3 2<br />
x x x x x<br />
2<br />
2 2 1 2<br />
៣៤.រោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្ ចូ រណ<br />
k<br />
ខិតជិត ។<br />
៣៥.ក្.បង្ហា ញតនមៃរិតនៃ c<br />
ខ.សំៃួ ែដែលចំរ<br />
៣៦.ក្.ក្ំណត់តនមៃ<br />
ររបាៃ<br />
ខ.រណ<br />
<br />
0,1<br />
រៅចរ ៃ ោះ <br />
ោះសមភារ<br />
x<br />
1 e<br />
<br />
<br />
x<br />
1e<br />
1e<br />
អ តូណ រម <br />
ៃិង ដែលចំរ<br />
x<br />
។<br />
1<br />
0<br />
ដែល<br />
ួចទញរណ<br />
អំងរតព្កាល<br />
1<br />
0<br />
អំងរតព្កាល<br />
Ik<br />
<br />
1<br />
1<br />
x dx c <br />
2 2<br />
2 2<br />
1 1<br />
x dx c<br />
<br />
2 2 <br />
ោះព្រប់ចំៃួៃរិត<br />
ព្ក្ឡាននៃដននក្បៃង់ដែលរូសឆូតរៅក្ន ុងតព្មុយ<br />
xOy<br />
។ (BaccII, 2002)<br />
៣៧. ររឲ្យអៃុរមៃ៏ក្ំណត់រោយ<br />
ក្. ស រស<br />
f<br />
x<br />
ជារាង<br />
ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />
f<br />
I <br />
f<br />
x<br />
<br />
x<br />
៣៨.ក្.បង្ហា ញថា ចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត x<br />
ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />
៣៩. ររឲ្យអៃុរមៃ៍<br />
ក្.ក្ំណត់ចំៃួៃរិត<br />
ខ.រណ<br />
៤០. ររឲ្យអៃុរមៃ៍<br />
3<br />
f<br />
ក្ំណត់រោយ<br />
abc , ,<br />
<br />
<br />
2<br />
5x<br />
20x6<br />
3 2<br />
x 2x x<br />
A B C<br />
<br />
x x1 x 1<br />
2<br />
5x<br />
20x6<br />
3 2<br />
x 2x x<br />
1 2x<br />
e<br />
1 x<br />
e<br />
0<br />
ររមាៃ<br />
J dx ។<br />
f<br />
x<br />
រែើមបីឲ្យបាៃ<br />
I f x dx ។ (BaccII, 2004)<br />
2<br />
f<br />
ក្ំណត់រោយ<br />
f<br />
x<br />
<br />
2<br />
dx<br />
x<br />
។<br />
។<br />
ដែល<br />
AB ,<br />
។ (BaccII, 2003)<br />
2x<br />
x<br />
e x e<br />
e<br />
<br />
x<br />
1e<br />
1e<br />
2<br />
3x<br />
5x2<br />
f<br />
e<br />
<br />
<br />
<br />
x x1<br />
x<br />
2x<br />
<br />
2<br />
ចំរ<br />
x<br />
ោះព្រប់<br />
a b c<br />
<br />
x x1 x 1<br />
e<br />
1<br />
e<br />
x<br />
x<br />
1<br />
។<br />
<br />
2<br />
k<br />
2 x<br />
x e dx<br />
0<br />
។<br />
ៃិង C<br />
។<br />
2<br />
I <br />
2 3 2<br />
<br />
x0, x1<br />
ចំរ<br />
0<br />
x 2x x 2<br />
dx<br />
3<br />
x 1<br />
<br />
<br />
។<br />
ួចសិក្ោលីមីតកាលណា<br />
ជាចំៃួៃដែលព្តូវក្ំណត់។<br />
ោះព្រប់<br />
។<br />
x0, x1<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 94
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ក្.ក្ំណត់ចំៃួៃរិត A ៃិង B<br />
ខ.រណ<br />
៤១.ររក្ំណត់អៃុរមៃ៍<br />
អំងរតព្កាលក្ំណត់<br />
f<br />
រលើ<br />
រែើមបីឲ្យបាៃ<br />
1<br />
0<br />
<br />
J f x dx<br />
3 <br />
, <br />
2 <br />
រោយ<br />
ក្. បង្ហា ញថា មាៃចំៃួៃរិត a ៃិង b ដែល<br />
ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />
៤២.ររក្ំណត់អៃុរមៃ៍<br />
ក្. ក្សំណុំ ដែៃក្ំណត់ D<br />
f<br />
I <br />
រោយ<br />
1<br />
<br />
0<br />
<br />
f<br />
x 2<br />
2x<br />
3<br />
<br />
x<br />
<br />
នៃអៃុរមៃ៍<br />
ខ.បង្ហា ញថា មាៃចំៃួៃរិត a , b ៃិង c<br />
រ. ក្អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៏<br />
៤៣.ក្. បង្ហា ញថា មាៃចំៃួៃរិត a , b ៃិង c<br />
ខ.រណ<br />
អំងរតព្កាល<br />
I <br />
2<br />
<br />
1<br />
<br />
f<br />
<br />
2<br />
dx<br />
<br />
f x A <br />
<br />
f<br />
f<br />
Be<br />
x<br />
x<br />
1<br />
e 2<br />
ចំរ<br />
។ (ឆមាសទី២, 2005)<br />
x<br />
x<br />
។<br />
<br />
x 2<br />
2x<br />
3 2<br />
3 2<br />
18x 3x 4x<br />
6<br />
f<br />
។<br />
ដែល<br />
។<br />
a b<br />
<br />
2x<br />
3 2 3<br />
<br />
3x<br />
1<br />
<br />
2<br />
f x ax b <br />
រលើដែៃក្ំណត់ D<br />
2x<br />
1<br />
dx<br />
2<br />
x x1<br />
៤៤.ក្. បង្ហា ញថា មាៃចំៃួៃរិត a , b ៃិង c<br />
ព្រប់ x<br />
ដែល<br />
x 2 , x<br />
1<br />
ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />
៤៥.ររក្ំណត់អៃុរមៃ៍រោយ<br />
ក្. ក្ចំៃួៃរិត A<br />
ៃិង B<br />
ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />
I <br />
។<br />
0 2<br />
<br />
1<br />
<br />
g x<br />
ដែល<br />
<br />
F x<br />
x<br />
<br />
រែើមបីឲ្យ<br />
<br />
។<br />
<br />
x 2<br />
c<br />
2<br />
3x<br />
1<br />
2x 1<br />
a b c<br />
<br />
1 1<br />
x 2 x x x 2 x<br />
។ (BaccII, 2006)<br />
រែើមបីឲ្យបាៃ<br />
2x2<br />
2<br />
x1 x2<br />
<br />
2x<br />
3<br />
2<br />
x 3<br />
<br />
g x<br />
។<br />
dx<br />
A B<br />
<br />
x 3 3<br />
<br />
g x dx<br />
ោះព្រប់ ចំៃួៃរិត x ។<br />
2<br />
x 2x 2<br />
a b c<br />
<br />
1 x2<br />
x 1 x 2 x<br />
x 1<br />
។ (BaccII, 2007)<br />
x 2<br />
រោយែឹងថា<br />
2 2<br />
F 4<br />
0 ។ (BaccII, 2011)<br />
ចំរ<br />
ោះ<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 95
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
<br />
៤៦.ក្.ររឲ្យ g x<br />
<br />
2<br />
3x<br />
10x5<br />
2<br />
x1 x2<br />
ចំរ ោះ x 2 ៃិង x 1 ។<br />
ខ. រណ I x <br />
៤៧.ររឲ្យ<br />
<br />
A x<br />
<br />
g x dx រោយែឹងថា<br />
x 1<br />
2<br />
x 1<br />
ក្.ក្ំណត់ចំៃួៃរិត a<br />
ខ.រណ<br />
<br />
I x<br />
៤៨. ក្. ក្ចំៃួៃរិត<br />
ចំរ<br />
ោះ<br />
ខ.រណ<br />
x 0<br />
ៃិង<br />
<br />
k x<br />
ចំរ ោះ x 1 ។<br />
ៃិង b<br />
<br />
A x dx<br />
ab ,<br />
(ឆមាសទី១, 2012)<br />
៤៩.ក្.ក្ំណត់ចំៃួៃរិត<br />
៥០.ក្.<br />
៥១.ចំរ<br />
ខ.រណ<br />
f<br />
ៃិង c<br />
x 1 ។<br />
<br />
h x dx<br />
mn ,<br />
អំងរតព្កាល<br />
ៃិង<br />
I <br />
ជាអៃុរមៃ៍ក្ំណត់រោយ<br />
ខ.រោយរព្បើសំៃួ ក្.រណ<br />
ោះអំងរតព្កាល<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 96<br />
<br />
2<br />
J cos<br />
ក្. បង្ហា ញតនមៃនៃចំៃួៃរិត<br />
ខ.រណ<br />
អំងរតព្កាល<br />
៥២.ររក្ំណត់អំងរតព្កាល<br />
0<br />
<br />
។ ក្ចំៃួៃរិត a ៃិង b រែើមបីឲ្យអៃុរមៃ៍ g x<br />
រែើមបីឲ្យបាៃ<br />
I<br />
<br />
0 4<br />
<br />
A x<br />
។ (ឆមាសទី២, 2012)<br />
រែើមបីឲ្យអៃុរមៃ៍<br />
a b<br />
<br />
x 1 1<br />
<br />
h x<br />
រោយែឹងថាព្កាបាង<br />
p<br />
រែើមបីឲ្យ<br />
1 2<br />
x<br />
<br />
2<br />
0 x 2 x x 1<br />
។ (ឆមាសទី១, 2011)<br />
x<br />
2<br />
ចំរ<br />
ោះ<br />
x 1 ។<br />
2<br />
4x 7x 5<br />
a b c<br />
<br />
2 3<br />
x 2x x x x 1 1<br />
x<br />
<br />
y k x<br />
2<br />
x 2 x x 1<br />
6x5<br />
កាត់ាមចំៃុច<br />
2<br />
x 6x 5 m nx p<br />
<br />
2<br />
x 2 x x 1<br />
dx<br />
<br />
f x ax bx c 1<br />
x<br />
អំងរតព្កាល<br />
4<br />
a , b<br />
<br />
2<br />
<br />
J cos<br />
x dx<br />
ៃិង c<br />
2 2<br />
I <br />
<br />
0<br />
3 3 2<br />
។ (BaccII, 2013)<br />
។ រណ<br />
3x 4x 3x<br />
2<br />
dx<br />
2<br />
1<br />
x<br />
ដែលចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត x<br />
<br />
4<br />
cos cos 4 cos 2<br />
0<br />
<br />
2<br />
4<br />
x a x b x c<br />
<br />
x dx<br />
។<br />
cos x<br />
I dx ៃិង<br />
sin x<br />
cos x<br />
0<br />
J <br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
sin<br />
cos x<br />
x<br />
sin<br />
<br />
a b<br />
<br />
x 2 1<br />
M<br />
រែ ីរវនៃ<br />
។<br />
ររមាៃ<br />
dx<br />
x<br />
<br />
ចំរ<br />
f<br />
<br />
2<br />
2,2<br />
ោះ<br />
<br />
រលើ<br />
x 2<br />
។<br />
x 2<br />
។<br />
។
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រណ I J ៃិង I J ួចទញ ក្អំងរតព្កាល I ៃិង J ។<br />
៥៣. ក្. ក្ចំៃួៃរិត a<br />
ខ.ទញរណ<br />
៥៤.ក្. ក្ចំៃួៃរិត<br />
ៃិង b<br />
ដែលចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត u<br />
1 a b<br />
<br />
4 2 2<br />
2<br />
u u u<br />
អំងរតព្កាល<br />
I <br />
1<br />
<br />
0<br />
1<br />
dx<br />
2<br />
x 4<br />
ៃិង<br />
J <br />
ខុសរី 2 ៃិង 2 ររមាៃ<br />
<br />
2<br />
<br />
cos x<br />
<br />
2<br />
sin x 4<br />
0<br />
a , b ៃិង c ដែលចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត u ខុសរី 1 2 ររមាៃ<br />
ខ. ទញរណ អំងរតព្កាល<br />
៥៥.ក្. ក្ចំៃួៃរិត a<br />
ៃិង b<br />
2<br />
u 1<br />
c<br />
au b <br />
2u1 2u1<br />
ដែលចំរ<br />
<br />
<br />
I <br />
0 2<br />
<br />
1<br />
x 1<br />
dx<br />
2x<br />
1<br />
1 a b<br />
<br />
x x 1 x x 1<br />
ៃិង<br />
ោះព្រប់ចំៃួៃរិត<br />
ខ.រោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្ចូ រណ<br />
៥៦.ក្. ក្ចំៃួៃរិត<br />
a , b<br />
ៃិង c ដែលចំរ<br />
<br />
x x<br />
1<br />
2<br />
<br />
1<br />
a bx c<br />
<br />
2<br />
x x 1<br />
ខ. របើ ជាចំៃួៃរិតវិជជមាៃោច់ខាត ររក្ំៃត់<br />
រោយដ នក្ ចូ រណ<br />
៥៧.ក្. ក្ចំៃួៃរិត<br />
a , b<br />
<br />
F <br />
ៃិង c<br />
<br />
I <br />
J <br />
x<br />
3<br />
<br />
1<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
ខុសរី 0<br />
<br />
ln x<br />
x<br />
dx<br />
3<br />
cos<br />
dx<br />
1<br />
2sin x<br />
<br />
x 1<br />
2<br />
dx<br />
ៃិង<br />
។<br />
ោះព្រប់ចំៃួៃរិតមិៃសូៃយ ររមាៃ<br />
F<br />
<br />
<br />
<br />
ួចទញ ក្តនមៃលីមីតនៃ<br />
ដែលចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត x<br />
3 2<br />
x 3x x 2 d<br />
ax bx c <br />
1x<br />
1x<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
xln<br />
x<br />
x<br />
2<br />
F <br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
dx<br />
។<br />
។<br />
1 ររមាៃ<br />
។ រោយរព្បើអំងរតព្កាល<br />
កាលណា ខិតរៅជិត 0<br />
ខុសរី 1 ររមាៃ<br />
2<br />
ខ. រោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្ ចូ រណ <br />
៥៨.ក្. ក្ចំៃួៃរិត A<br />
ៃិង B<br />
<br />
ដែលចំរ<br />
1 A B<br />
<br />
t t 1 t t 1<br />
<br />
1<br />
2<br />
I 3x 6x 1 ln xdx ។<br />
0<br />
ោះព្រប់ចំៃួៃរិតវិជជមាៃ t ោច់ខាត ររមាៃ<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 97
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />
៥៩.ររមាៃអំងរតព្កាល<br />
៦០.<br />
ក្. ក្ចំៃួៃរិត a<br />
ៃិង b<br />
J <br />
2<br />
<br />
dt<br />
t t<br />
<br />
1<br />
1<br />
<br />
I sin<br />
2 x cos<br />
2 x dx<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
ួចទញរណ<br />
<br />
ដែលចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត x<br />
2 2<br />
ខ. រណ អំងរតព្កាល sin cos<br />
<br />
f<br />
ជាអៃុរមៃ៍យក្តនមៃរិតក្ំៃត់រលើ<br />
ក្.រនៃៀងផ្ទៃ ត់ថា ចំរ ោះព្រប់ x<br />
<br />
A x x dx<br />
0<br />
D <br />
ធាតុនៃ D ររមាៃ<br />
ខ. រោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្ ចូ រណ<br />
៦១.ររក្ំណត់អំងរតព្កាល<br />
ក្. រណ I<br />
2<br />
I<br />
1<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
cos x<br />
dx<br />
1<br />
2sin x<br />
ខ. រណ<br />
{ 1,1}<br />
,<br />
I <br />
f<br />
x<br />
អំងរតព្កាល<br />
1<br />
<br />
2<br />
ln t 1<br />
I dt ។<br />
2<br />
t<br />
ររមាៃ sin 2 xcos 2<br />
x a bcos 4x<br />
រោយ<br />
៦២.ក្. រនៃៀងផ្ទៃ ត់ថា ចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរត់ធ មជាតិមិៃសូៃយ m<br />
ខ. សៃមតអំងរតព្កាល<br />
ចូ រណ<br />
A<br />
B<br />
<br />
cos 2 cos 4<br />
<br />
f<br />
x<br />
2<br />
2x<br />
<br />
2<br />
x 1<br />
1 1<br />
2 <br />
x1 x1<br />
3<br />
2<br />
ln 1<br />
<br />
2<br />
<br />
I x dx<br />
<br />
2<br />
A x x dx<br />
<br />
ៃិង A B<br />
<br />
ួចទញ ក្ A<br />
<br />
0<br />
sin x<br />
dx<br />
1<br />
2sin x<br />
<br />
ៃិង<br />
។<br />
I I I<br />
1 2<br />
I 1 រ. ទញ ក្<br />
ៃិង<br />
ៃិង B<br />
។<br />
1<br />
ររបាៃ sin mx <br />
<br />
m<br />
sin 2 sin 4<br />
<br />
B x x dx<br />
<br />
I<br />
។<br />
។<br />
<br />
ជាព្រីមីទីវនៃ<br />
<br />
cos mx<br />
<br />
រ. ឥ ូវសៃមតរទៀតថា<br />
<br />
cos<br />
<br />
C cos px qx dx<br />
<br />
ចំៃួៃរត់ធ មជាតិមិៃសូៃយ ។ រណ<br />
C<br />
ៃិង D ។<br />
ៃិង<br />
<br />
sin<br />
<br />
D sin px qx dx<br />
<br />
ដែល<br />
p ៃិង q ជា<br />
៦៣.រណ<br />
៦៤.រណ<br />
ក្.<br />
ននៃព្ក្ឡានៃ ូបខណឌ រោយដខេរកាងខាងរព្កាម<br />
<br />
<br />
<br />
l : 4x 3y<br />
27 0<br />
<br />
1<br />
<br />
l2<br />
x y <br />
: 3 4 11 0<br />
<br />
l3<br />
: x 7y<br />
13 0<br />
ននៃព្ក្ឡានៃ ូបខណឌ រោយដខេរកាងខាងរព្កាម<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
C y x x <br />
<br />
l : x y 5<br />
2<br />
: 2 3<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 98
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
៦៥.រណ<br />
៦៦.រណ<br />
៦៧.រណ<br />
៦៨.រណ<br />
ក្.<br />
<br />
l1<br />
<br />
<br />
2<br />
C : y 1x<br />
<br />
: x<br />
0<br />
<br />
l2<br />
: y 2x<br />
1<br />
ននៃព្ក្ឡានៃ ូបខណឌ រោយដខេរកាងខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
<br />
<br />
<br />
C1<br />
: y x<br />
C2<br />
: y 4 3x<br />
<br />
l : y 0<br />
<br />
ននៃព្ក្ឡានៃ ូបខណឌ រោយដខេរកាងខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
3 x 1<br />
C1<br />
: y <br />
<br />
x 2<br />
2 y 1<br />
C2<br />
: x<br />
y 1<br />
l1 : x 3 , l2<br />
: x 5<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ននៃព្ក្ឡានៃ ូបខណឌ រោយដខេរកាងខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
<br />
4<br />
C1<br />
:3<br />
y <br />
<br />
x 2<br />
<br />
3<br />
C2<br />
y x x <br />
<br />
2<br />
2<br />
: 1<br />
ននៃព្ក្ឡានៃ ូបខណឌ រោយដខេរកាងខាងរព្កាម<br />
ខ.<br />
ខ.<br />
ខ.<br />
ខ.<br />
<br />
:<br />
C : y x<br />
<br />
2<br />
l x y<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
C1<br />
: y 4x<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
C2<br />
: y x 2x<br />
<br />
C1<br />
y x x <br />
<br />
<br />
4<br />
C2<br />
: y1<br />
<br />
x 1<br />
1<br />
2 <br />
l<br />
2<br />
2<br />
: 2 5 3<br />
C : y x 1<br />
<br />
x<br />
C : y e<br />
<br />
<br />
<br />
: x 1<br />
2<br />
ក្.<br />
<br />
C : y cos 2 x , y 0<br />
<br />
1<br />
<br />
l1 : x , l2<br />
: x <br />
៦៩. ក្. រោោះស្រាយសមីកា<br />
<br />
ខ. ក្តនមៃនៃចំៃួៃវិជជមាៃ a<br />
<br />
6 8<br />
ខ.<br />
x<br />
2 28 1.5x<br />
1<br />
8t t 4dt<br />
<br />
3<br />
1<br />
log<br />
x1<br />
x 1<br />
។<br />
a<br />
<br />
3<br />
C1<br />
: y cos x, y , y 0<br />
2<br />
l<br />
: x 1, x 0<br />
2 3<br />
ដែលរនៃៀងផ្ទៃ ត់ 3x 4x 5dx a 2<br />
៧០.ក្. ក្តនមៃទំងអស់នៃ រៅចរ ៃ ោះ 0,2 រហើយរនៃៀងផ្ទៃ ត់សមភារ<br />
ខ. ក្តនមៃទំងអស់នៃ a ដែលរនៃៀងផ្ទៃ ត់វិសមភារ<br />
<br />
0<br />
a<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
1 3 1 <br />
x 1 dx 4<br />
a<br />
<br />
2<br />
<br />
x <br />
sin xdx sin 2<br />
។<br />
<br />
<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 99
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
៧១. របើ<br />
f<br />
ជាអៃុរមៃ៍ក្ំៃត់រោយ<br />
f<br />
x<br />
ក្.បង្ហា ញថា f អចស រស រព្កាមទព្មង់<br />
ព្តូវក្ំណត់ ។ ួចសិក្ោថា ព្កាប C<br />
ខ.រណ ននៃ Aa ដែលខណឌ រោយព្កាប<br />
<br />
3 2<br />
x x x<br />
8 8<br />
<br />
x 2<br />
<br />
<br />
f x ax b <br />
2<br />
c<br />
x<br />
2 2<br />
នៃអៃុរមៃ៍មាៃអសុីមតូតរព្ទត <br />
C , <br />
ដែល a,<br />
bៃិង c ជាចំៃួៃរិតដែល<br />
។<br />
អ័ក្េអ រោរៃ ៃិង ប ៃ ត់សមីកា<br />
3<br />
0a<br />
2 ។ រណ ននៃរ ោះ ចំរ ោះ a ។ រតើននៃជាចំៃួៃក្ំណត់ឬរទ កាលណា a ខិតជិត 2<br />
2<br />
រឆវង ?<br />
៧២.ក្.រណ<br />
y<br />
ខ.រណ<br />
3x<br />
មាឌសូលីតប ិវតរក្ំណត់បាៃរី ងវ ិលនៃននៃដែលខណឌ រោយព្កាបភិចាងអៃុរមៃ៍<br />
ៃិង អ័ក្េ x<br />
Ox<br />
<br />
, 1 x 2<br />
<br />
ជុំវិញអ័ក្េ x Ox ។<br />
មាឌសូលីតប ិវតរក្ំណត់បាៃរី ងវ ិលចំៃួៃ 360<br />
ព្កាបភិចាងអៃុរមៃ៍<br />
៧៣.ក្. រណ<br />
អៃុរមៃ៍<br />
ខ.រណ<br />
y1x<br />
2<br />
ៃិង អ័ក្េ x Ox<br />
<br />
,<br />
<br />
x 1,1<br />
មាឌសូលីតប ិវតរក្ំណត់បាៃរី ងវ ិលជុំវិញអ័ក្េ x Ox<br />
<br />
2<br />
f x 2<br />
x<br />
ៃិង<br />
g x<br />
x<br />
រលើចរ ៃ ោះ<br />
ននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />
x <br />
<br />
x<br />
a<br />
ចំរ<br />
ោះ<br />
ខាង<br />
ជុំវិញអ័ក្េអប់សុីសនៃននៃដែលខណឌ រោយ<br />
<br />
<br />
0,1<br />
<br />
។<br />
។<br />
<br />
<br />
y sin x<br />
2 <br />
៧៤.ក្.រណ ននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយព្កាប <br />
រ ៃ ោះ <br />
ខ.រណ<br />
<br />
x <br />
4<br />
0 x <br />
ៃិង<br />
៧៥.រិៃិតយព្កាប<br />
។<br />
ននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />
5<br />
x ។<br />
4<br />
<br />
y<br />
sin 2x<br />
<br />
ៃិង<br />
y cos x<br />
ក្. ក្ក្ូអ រោរៃចំៃុចព្បសរវនៃព្កាបទំងរី រៃោះ ។<br />
ខ. ក្ននៃព្ក្ឡា S<br />
ដែលខណឌ រោយព្កាបទំងរី ។<br />
៧៦. C ជាព្កាបាងអៃុរមៃ៍ f x ln x<br />
1<br />
ទិសរសម ើៃឹង<br />
1<br />
2<br />
។<br />
C1 : y sin x 0 x <br />
<br />
<br />
ដែល 0 x ។<br />
y<br />
sin<br />
3<br />
នៃននៃដែលខណឌ រោយព្កាបភិច ាង<br />
<br />
x<br />
ៃិង<br />
ៃិង<br />
y<br />
x<br />
4<br />
។<br />
ៃិង <br />
C2 : y sin 3x<br />
y<br />
cos<br />
3<br />
x<br />
រៅចរ ៃ ោះ<br />
រៅច<br />
ៃិង ប ៃ ត់ l ជាប ៃ ត់ប៉ាោះៃឹង C ដែលមាៃរមរុណព្បាប់<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 100
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ក្. ក្សមីកា ប ៃ ត់ប៉ាោះ l<br />
។<br />
ខ. រណ មាឌនៃសូលីតប ិវតរក្ំណត់បាៃរី ងវ ិលជុំវិញអ័ក្េ xOx<br />
នៃននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយព្កាប<br />
C<br />
, l<br />
ៃិង អ័ក្េអ រោរៃ ។<br />
៧៧.ាង C<br />
ជាព្កាប<br />
y<br />
2x<br />
1<br />
e <br />
ៃិង l<br />
ជាប ៃ ត់ប៉ាោះព្កាប C<br />
ព្តង់ចំៃុច<br />
P<br />
<br />
1,e<br />
<br />
។<br />
ក្. ក្សមីកា ប ៃ ត់ប៉ាោះ l ។<br />
ខ.រណ ននៃព្ក្ឡា S<br />
ដែលខណឌ រោយព្កាប C<br />
ប ៃ ត់ l<br />
ៃិងអ័ក្េអ រោរៃ ។<br />
៧៨.ាង C ជាព្កាប<br />
y xe<br />
ក្. ក្សមីកា ប ៃ ត់ប៉ាោះ<br />
x<br />
, l 1<br />
ៃិង<br />
l1,<br />
l2<br />
។<br />
l 2<br />
ជាប ៃ ត់ប៉ាោះ C ដែលរូសរចញរីចំៃុច<br />
<br />
<br />
<br />
1 ,0<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
ខ. ក្ននៃព្ក្ឡា S<br />
ដែលខណឌ រោយព្កាប C<br />
ៃិងប ៃ ត់ប៉ាោះទំងរី ។<br />
៧៩. ក្.រោយរព្បើអំងរតព្កាល បង្ហា ញថា មាឌរីរា៉ា មីតដែលមាៃបាត B<br />
V<br />
<br />
1<br />
3<br />
Bh<br />
។ ួចទញបង្ហា ញថា ក្ំណាត់មាឌនៃរីរា៉ា មីតរ<br />
ៃិង B ជាបាតតូច ។<br />
ោះរឺ<br />
រហើយមាៃក្ំរស់ h<br />
h<br />
<br />
3<br />
V B B BB<br />
ខ. សំៃួ ែូចគ្នន ដែ ចំរ ោះរកាៃ បង្ហា ញថាមាឌរកាៃដែលមាៃបាតជា ងវង់កាំ R<br />
ក្ំណត់រោយ<br />
1<br />
V <br />
3<br />
2<br />
R h<br />
ួចទញបង្ហា ញ ក្ំណាត់មាឌរកាៃរ<br />
៨០.ក្.រោយរព្បើអំងរតព្កាល ក្មាឌរីរា៉ា មីតមាៃបាតជាការ ដែលមាៃព្ជុង r<br />
ោះ ។<br />
ដែល B<br />
ក្ំណត់រោយ<br />
ជាបាតធំ<br />
រហើយមាៃក្ំរស់ h<br />
រហើយមាៃក្ំរស់ h<br />
។<br />
ខ. ក្មាឌរតព្ាដអតដែលមាៃព្ជុងទំងបីដក្ងគ្នន ព្បដវង a , b<br />
ៃិង c<br />
។<br />
រ. ក្មាឌនៃសូលីតដែលបាៃមក្រី ងវ ិលរអលីប<br />
x<br />
a<br />
y<br />
<br />
b<br />
2 2<br />
៨១.ក្.រោយរព្បើអំងរតព្កាល បង្ហា ញថាប ិមាព្ត ងវង់កាំ R<br />
<br />
2 2<br />
1<br />
រឺ<br />
វិលជុំវិញអ័ក្េអប់សុីស ។<br />
P<br />
2<br />
R<br />
។<br />
ខ. ក្ព្បដវងបា៉ា រា៉ា បូលដែលមាៃសមីកា<br />
៨២. ក្. ក្ព្បដវងនៃដខេរកាងាងអៃុរមៃ៍<br />
ខ. ក្ព្បដវងនៃដខេរកាងាងអៃុរមៃ៍<br />
y<br />
2<br />
2px<br />
1<br />
f x x x<br />
3<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
x a t sin<br />
t<br />
y a 1 cost<br />
រៅចរ ៃ ោះ 0, 0<br />
<br />
<br />
x a p <br />
រៅចរ ៃ ោះ 0 3<br />
x <br />
រៅចរ ៃ ោះ 0t<br />
2<br />
ដែល y 0 ។<br />
។<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 101
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
៨៣.របើ f ជាអៃុរមៃ៍មាៃរែ ីរវ ។<br />
ក្.សៃមតថា<br />
<br />
<br />
g x xf x<br />
ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />
៨៤.ររក្ំណត់អំងរតព្កាល<br />
ក្. បង្ហា ញថា<br />
ខ. ក្ចំៃួៃរិត<br />
រ.រណ<br />
៨៥.របើ a<br />
I <br />
1<br />
2<br />
<br />
a , b<br />
ចូ រណ<br />
4<br />
e<br />
g<br />
x<br />
។<br />
1 <br />
J ln x dx<br />
2 ln x <br />
។<br />
I <br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
3<br />
e<br />
du<br />
dx<br />
sin x<br />
sin 2x<br />
u u u<br />
0 1 1 1 2<br />
ៃិង c<br />
<br />
ៃិង b<br />
ab , <br />
៨៦.របើ <br />
2<br />
ដែលចំរ<br />
<br />
។<br />
ោះព្រប់<br />
<br />
1<br />
u <br />
0,<br />
2<br />
<br />
1<br />
a b <br />
c<br />
1 u 1 u 1 2u 1 u 1 u 1<br />
2u<br />
អំងរតព្កាល<br />
b<br />
<br />
a<br />
I <br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
3<br />
dx<br />
sin x<br />
sin 2x<br />
ជារី ចំៃួៃរិតដែល a b<br />
<br />
ដែល a b<br />
<br />
I x a b x dx<br />
ដណ ំ៖ + ចំរ ោះកា រណ<br />
<br />
ចូ រណ<br />
I<br />
ៃិង<br />
<br />
<br />
ចូ រណ<br />
។<br />
ររមាៃ<br />
អំងរតព្កាល<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
b<br />
<br />
a<br />
<br />
J x x a b x dx<br />
អចរព្បើវិធីធ ណី មាព្ត<br />
<br />
I a,<br />
b<br />
<br />
<br />
b<br />
<br />
a<br />
dx<br />
b x x a<br />
+ ចំរ ោះកា រណ<br />
៨៧.រោយរព្បើអំងរតព្កាល ចូ បង្ហា ញថា<br />
ក្.<br />
ខ.<br />
J<br />
អចរព្បើវិធីបរ ូ អរេ<br />
n 1<br />
1 1 1 2 1 2 <br />
n 1<br />
Cn Cn Cn<br />
1 <br />
2 3 n<br />
1 n<br />
1<br />
n 1<br />
1 0 1 1 1 2 1 2 <br />
n 1<br />
Cn Cn Cn Cn<br />
<br />
3 6 9 3n3 3 n1<br />
៨៨.សិក្ោភារ ីក្ ួមនៃអំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
<br />
<br />
x<br />
dx<br />
2x<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x a b t<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
e<br />
x<br />
dx<br />
ln<br />
x 3 2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 102
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
៨៩.សិក្ោភារ ីក្ ួមនៃអំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
b<br />
<br />
a<br />
dx<br />
x ab x<br />
៩០.រតើអំងរតព្កាលខាងរព្កាម ួម ឬ ីក្ ?<br />
<br />
dx<br />
ក្. ខ.<br />
0 x1 x2<br />
៩១.សិក្ោភារ ីក្ ួមនៃអំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ខ.<br />
b<br />
<br />
a<br />
<br />
<br />
xdx<br />
x ab x<br />
x<br />
4<br />
10<br />
x 1<br />
0<br />
dx<br />
ក្.<br />
1 2<br />
<br />
0 1<br />
x dx<br />
x<br />
2<br />
៩២.សិក្ោភារ ីក្ ួមនៃអំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
<br />
<br />
x x<br />
dx<br />
x<br />
<br />
2<br />
1 1<br />
៩៣.សិក្ោភារ ីក្ ួមនៃអំងរតព្កាល<br />
ួចទញ ក្អំងរតព្កាល<br />
np ,<br />
៩៤.ចំរ ោះព្រប់ <br />
2<br />
៩៥.ក្. ចំរ ោះព្រប់ n<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
0<br />
<br />
I ln sin x dx<br />
x<br />
K tan dx ៃិង<br />
x<br />
0<br />
ចូ រណ<br />
ចូ បង្ហា ញថា<br />
<br />
L <br />
អំងរតព្កាល<br />
ខ. រោយរព្បើសំៃួ ខាងរលើ ចូ រណ អំងរតព្កាល<br />
៩៦.បង្ហា ញថា<br />
ួចអៃុវតរៃ៏ចំរ<br />
៩៧.បង្ហា ញថា<br />
៩៨. អៃុរមៃ៍<br />
<br />
<br />
0<br />
ខ.<br />
ខ.<br />
ៃិង<br />
1<br />
2<br />
<br />
0<br />
<br />
ln 13 2<br />
1<br />
<br />
0<br />
1<br />
x<br />
<br />
<br />
2<br />
x x dx<br />
<br />
x 1<br />
x<br />
<br />
2<br />
0<br />
xsin<br />
x<br />
dx<br />
1<br />
cos x<br />
<br />
dx<br />
J ln cos x dx<br />
។<br />
<br />
។<br />
<br />
2<br />
2<br />
I<br />
,<br />
cos n<br />
np xcos 2<br />
px<br />
dx<br />
0<br />
n1<br />
k<br />
<br />
1 1<br />
2 cos 1<br />
k1<br />
n<br />
<br />
<br />
2n<br />
2 2<br />
x x x x<br />
dx x 2n 3 dx<br />
<br />
<br />
2 2<br />
<br />
2 1 2<br />
1 x 2 n 1 1 x n <br />
<br />
1<br />
x <br />
n n 1 n<br />
1<br />
ោះអំងរតព្កាល<br />
1 1<br />
m n<br />
f<br />
<br />
<br />
0 0<br />
dx<br />
I ។<br />
2<br />
1<br />
x 3<br />
n<br />
x 1 x dx x 1<br />
x dx<br />
<br />
ក្ំណត់រោយ cos sin<br />
<br />
m<br />
។<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
។<br />
<br />
2<br />
I ln 2cos t 1<br />
dt<br />
1<br />
f x x f t x t dt<br />
។<br />
<br />
0<br />
។<br />
។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 103
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ក្.យក្<br />
ខ.រណ<br />
<br />
1<br />
a f tcostdt<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
ៃិង<br />
<br />
2<br />
t tdt tdt<br />
cos sin , cos<br />
0 0<br />
រ. ក្អៃុរមៃ៍ f x ។<br />
<br />
<br />
1<br />
a f tsintdt<br />
<br />
ៃិង<br />
0<br />
<br />
2<br />
sin tdt<br />
<br />
0<br />
។<br />
ក្ំណត់<br />
f<br />
x<br />
រោយរព្បើ<br />
a, b, cos x<br />
ៃិង sin x ។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 104
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ែាំត<br />
ឹះព្ាយ<br />
១. ក្អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវ បស់អៃុរមៃ៍<br />
ក្.<br />
5 1 7 11 4 1 3 15<br />
f x x x x 5<br />
13 22 16<br />
6 3 x x 4x<br />
ររបាៃ ព្រីមីទីវ<br />
<br />
F x<br />
នៃអៃុរមៃ៍<br />
f<br />
f<br />
x<br />
រឺ<br />
51 71 41<br />
x 1 x 11 x 1 3 15 1<br />
F x<br />
5x c<br />
131 221 161<br />
5 1 6 7 1 3 4 1 13 1 x 22 1 x 4 16 1<br />
x<br />
ែូរចនោះ ព្រីមីទីវនៃ<br />
ខ.<br />
<br />
6 8 5<br />
x x 11x<br />
1 1 1<br />
5x c ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />
12 21 15<br />
6 48 15 12x 7x 4x<br />
<br />
F x<br />
នៃអៃុរមៃ៍<br />
f<br />
x<br />
3 1 5 8 7 1 8 9<br />
f x x x x 3<br />
11 14 10<br />
5 13 x x x<br />
ររបាៃ ព្រីមីទីវ<br />
<br />
F x<br />
នៃអៃុរមៃ៍<br />
f<br />
x<br />
រឺ<br />
រឺ<br />
6 8 5<br />
x x 11x<br />
1 1 1<br />
F x 5x<br />
c<br />
12 21 15<br />
6 48 15 12 x 7 x 4 x<br />
<br />
31 51 71<br />
x 1 x 8 x 1 8 9<br />
F x<br />
3x c<br />
111 141 101<br />
31 5 51 13 7 1 111 x 14 1 x 10 1<br />
x<br />
ែូរចនោះ ព្រីមីទីវនៃ<br />
4 6 8<br />
x x x 1 8 1<br />
3x<br />
c<br />
10 13 9<br />
4 30 13 10x 13x x<br />
<br />
F x<br />
នៃអៃុរមៃ៍<br />
f<br />
x<br />
រឺ<br />
<br />
ដែល c<br />
២.បង្ហា ញអៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវដែលមាៃតនមៃ ចំរ ោះ x នៃអៃុរមៃ៍<br />
ក្.<br />
3 2 1<br />
f x x 2x<br />
<br />
2<br />
x<br />
ររបាៃ ព្រីមីទីវ<br />
<br />
F x<br />
<br />
F x<br />
,<br />
នៃអៃុរមៃ៍<br />
2 ៃិង<br />
31 21<br />
x x 1<br />
2 c<br />
31 2 1<br />
x<br />
x 2 1<br />
4 3 x<br />
4<br />
3<br />
x <br />
c<br />
f<br />
<br />
x រឺ<br />
ដែល c<br />
រោយព្រីមីទីវមាៃតនមៃ ចំរ ោះ x <br />
<br />
ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />
4 6 8<br />
x x x 1 8 1<br />
F x<br />
3x<br />
c<br />
10 13 9<br />
4 30 13 10 x 13 x x<br />
<br />
1<br />
<br />
3<br />
ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />
f<br />
ដែលក្ំណត់រោយ<br />
1<br />
3<br />
4<br />
2 2 3 1 1<br />
ររបាៃ F 2<br />
ឬ 2<br />
<br />
c រ ោះ ររទញបាៃ<br />
4 3 2 3<br />
13<br />
c <br />
6<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 105
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ែូរចនោះ ព្រីមីទីវ<br />
ខ.<br />
<br />
F x<br />
នៃអៃុរមៃ៍<br />
1 2 4 3 7<br />
f x x x <br />
2 5<br />
3 5 x x<br />
<br />
ររបាៃ ព្រីមីទីវ F x នៃអៃុរមៃ៍<br />
<br />
F x<br />
f<br />
x<br />
f<br />
,<br />
<br />
រឺ<br />
<br />
F x<br />
3 ៃិង<br />
x រឺ<br />
31 2<br />
1 x 4 x 3 7<br />
c<br />
51<br />
3 31 5 2 x 5 1<br />
x<br />
x 2 3 7<br />
12 5 x 4x<br />
4<br />
2<br />
x 4<br />
រោយព្រីមីទីវមាៃតនមៃ ចំរ ោះ x <br />
ររបាៃ<br />
F<br />
<br />
ែូរចនោះ ព្រីមីទីវ<br />
3 1<br />
<br />
F x<br />
ឬ<br />
៣. ក្សំណុំ ដែៃក្ំណត់ D<br />
ៃីមួយៗឬរទ<br />
<br />
<br />
<br />
c<br />
<br />
ដែល c<br />
4<br />
3 2 2 3 7<br />
3 c 1<br />
4<br />
12 5 3 43<br />
នៃអៃុរមៃ៍<br />
f<br />
នៃអៃុរមៃ៍<br />
x<br />
f<br />
រឺ<br />
<br />
F x<br />
ួចក្ំណត់ថា F<br />
x 2 1 13<br />
4 3 x 6<br />
4<br />
3<br />
x <br />
1<br />
ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />
រ<br />
ោះ ររទញបាៃ<br />
4<br />
2<br />
x 4<br />
c <br />
x 2 3 7 2569<br />
12 5 x 4x<br />
810<br />
ជាអៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវនៃ<br />
f<br />
2569<br />
810<br />
រលើចរ ៃ ោះដែៃក្ំណត់<br />
ក្.<br />
f<br />
<br />
x<br />
ររបាៃ អៃុរមៃ៍<br />
<br />
<br />
2<br />
x 3x1<br />
f<br />
2<br />
4x<br />
10x<br />
11<br />
<br />
មាៃៃ័យកាលណា<br />
<br />
2<br />
x<br />
2<br />
,<br />
<br />
F x<br />
<br />
3x1 0<br />
2<br />
x<br />
x<br />
x<br />
2<br />
4<br />
3x1<br />
របើ<br />
x<br />
2<br />
3x1 0<br />
មាៃ<br />
13<br />
ែូរចនោះ សំណុំ ដែៃក្ំណត់នៃអៃុរមៃ៍រឺ<br />
រោយ<br />
<br />
F x<br />
<br />
F x<br />
<br />
ជាព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៏<br />
2<br />
x<br />
x<br />
x<br />
2<br />
4<br />
3x1<br />
F<br />
x<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 106<br />
រ<br />
ររបាៃ<br />
<br />
<br />
ោះ<br />
f<br />
x<br />
1<br />
<br />
3 13<br />
2<br />
,<br />
x<br />
2<br />
<br />
3 13<br />
2<br />
3 13 3 13 <br />
D \ , <br />
<br />
2 2 <br />
x<br />
កាលណា<br />
<br />
<br />
F<br />
x f x<br />
2 2 2 2<br />
x x 4<br />
<br />
x 3x 1 x 3x 1 <br />
x x 4<br />
2<br />
2<br />
x 3x1<br />
2 2<br />
2x 1 x 3x 1 2x 3x x 4<br />
2<br />
2<br />
x<br />
3x1
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រោយ<br />
រ<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2x<br />
4x11<br />
<br />
x<br />
2<br />
<br />
<br />
3x1<br />
2 2<br />
2x 4x 11 4x 10x<br />
11<br />
F x f x <br />
x 3x 1 x 3x<br />
1<br />
ោះររទញបាៃ<br />
ខ. f x<br />
ររបាៃ អៃុរមៃ៍<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<br />
F x<br />
<br />
<br />
មិៃដមៃជាព្រីមីទីវនៃ<br />
<br />
<br />
3x<br />
1<br />
63<br />
5 x 4<br />
f<br />
x<br />
ែូរចនោះ សំណុំ ដែៃក្ំណត់នៃអៃុរមៃ៍<br />
រោយ<br />
<br />
F x<br />
<br />
F x<br />
8<br />
10<br />
<br />
2<br />
,<br />
f<br />
x<br />
<br />
F x<br />
<br />
រទ<br />
មាៃៃ័យកាលណា 5x 4 0 ឬ<br />
ជាព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍<br />
3x<br />
1<br />
<br />
4<br />
5x<br />
<br />
9<br />
ររបាៃ<br />
f<br />
f<br />
រឺ<br />
<br />
D <br />
រោយ Fx f x<br />
រ ោះររទញបាៃ F x<br />
៤. ក្ចំៃួៃរិត<br />
ab ,<br />
ៃិង c ដែលចំរ ោះ F<br />
ព្រីមីទីវ F មាៃតនមៃ ចំរ ោះ x <br />
4<br />
\ <br />
5<br />
x កាលណា<br />
3x<br />
1<br />
<br />
4<br />
5x<br />
<br />
4<br />
x <br />
5<br />
<br />
9<br />
<br />
F<br />
x f x<br />
3x1 3x1<br />
F <br />
x<br />
9 <br />
4 5 x 4 5 x<br />
<br />
91<br />
<br />
<br />
8<br />
3x 1 4 5x 4 5x 3x 1 3x<br />
1<br />
9<br />
2<br />
<br />
4<br />
5x<br />
<br />
2<br />
4<br />
5x<br />
3 4 5x 5 3x1 3x<br />
1<br />
9<br />
<br />
4<br />
5x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
8<br />
<br />
<br />
8 8<br />
7 3x1 3x1<br />
9 63<br />
4 5x 4 5x 5x<br />
4<br />
ជាព្រីមីទីវនៃ<br />
2 8 10<br />
9<br />
3x<br />
1<br />
<br />
4<br />
5x<br />
ជាព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍<br />
f<br />
4<br />
5x<br />
<br />
f<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3x<br />
1<br />
63<br />
5 x 4<br />
រលើចរ ៃ ោះសំណុំ ដែៃក្ំណត់ៃីមួយៗនៃ<br />
f<br />
8<br />
10<br />
រហើយ<br />
ររបាៃ<br />
ក្.<br />
f<br />
<br />
F x<br />
<br />
x<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
x 4<br />
2<br />
12x<br />
16x<br />
48<br />
<br />
ជាព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍<br />
<br />
f<br />
<br />
,<br />
<br />
F x<br />
<br />
x កាលណា<br />
2<br />
ax bx c<br />
x<br />
2<br />
<br />
4<br />
<br />
F<br />
x f x<br />
, 0 ៃិង 0<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 107
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រោយ<br />
ដតរោយ<br />
ររបាៃ<br />
ររបាៃ<br />
រោយ<br />
<br />
F x<br />
f<br />
<br />
F x<br />
<br />
<br />
x<br />
<br />
2<br />
ax bx c<br />
x<br />
2<br />
4<br />
<br />
រ<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
x 4<br />
<br />
ោះ<br />
F<br />
2<br />
12x<br />
16x<br />
48<br />
2<br />
ax 12x c<br />
x<br />
2<br />
4<br />
មយ៉ា ងរទៀត ព្រីមីទីវ F មាៃតនមៃ<br />
F<br />
<br />
0 0<br />
ាម 1 ររបាៃ a 2<br />
រ<br />
ោះ ទញបាៃ<br />
<br />
x<br />
<br />
<br />
2 2 2 2<br />
ax bx c<br />
<br />
x 4 x 4<br />
<br />
ax bx c<br />
2<br />
2<br />
x 4<br />
2 2<br />
2ax bx 4 2xax bx c<br />
2<br />
2<br />
x<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
x 4<br />
ររទញបាៃ<br />
c 0<br />
2<br />
bx 8a 2c x 4b<br />
<br />
<br />
ចំរ ោះ x <br />
ែូរចនោះ តនមៃចំៃួៃរិត រឺ a 2 , b 12 , c 0<br />
ខ.<br />
ដតរោយ<br />
f<br />
x<br />
ររបាៃ<br />
<br />
F x<br />
f<br />
<br />
x<br />
<br />
2<br />
8x<br />
50x19<br />
<br />
2<br />
3x<br />
x4<br />
<br />
F x<br />
2<br />
ax bx c<br />
2<br />
3x<br />
x4<br />
<br />
<br />
2<br />
ជាព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍<br />
រ<br />
2<br />
8x<br />
50x19<br />
<br />
2<br />
3x<br />
x4<br />
<br />
2<br />
ោះ<br />
F<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
,<br />
f<br />
<br />
<br />
b<br />
12<br />
<br />
8a2c16<br />
<br />
4b<br />
48<br />
<br />
F x<br />
x<br />
<br />
រ<br />
2<br />
ax bx c<br />
2<br />
3x<br />
x4<br />
កាលណា<br />
ោះ<br />
<br />
,<br />
b 12<br />
<br />
4ac8 1<br />
1 ៃិង<br />
<br />
F<br />
x f x<br />
<br />
5<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 2 2<br />
ax bx c 3x x 4 3x x 4 ax bx c<br />
2<br />
3x<br />
x4<br />
<br />
2 3 4 6 1<br />
2 2<br />
ax b x x x ax bx c<br />
<br />
2<br />
3x<br />
x4<br />
2<br />
<br />
a 3b x 8a 6c x 4b c<br />
<br />
2<br />
3x<br />
x4<br />
a<br />
3b<br />
8<br />
<br />
ររទញបាៃ 8a<br />
6c<br />
50 រ<br />
<br />
4b<br />
c 19<br />
<br />
2<br />
ោះ<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
a 3b<br />
8 1<br />
c 4b<br />
19 2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 108
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ររបាៃ<br />
មយ៉ា ងរទៀត ព្រីមីទីវ F មាៃតនមៃ<br />
F<br />
1<br />
5<br />
<br />
2<br />
រ<br />
ោះ ទញបាៃ<br />
យក្ 1 ៃិង 2 ជំៃួសក្ន ុង <br />
យក្<br />
b 3 ជំៃួសក្ន<br />
1<br />
ុង <br />
<br />
<br />
ចំរ ោះ x <br />
abc<br />
5 <br />
2 2<br />
ឬ<br />
<br />
ab c<br />
5 3<br />
3 ររបាៃ 3b 8 b 4b<br />
19 5 ឬ b 3<br />
2<br />
ៃិង <br />
ែូរចនោះ តនមៃចំៃួៃរិត រឺ<br />
ររបាៃ<br />
a<br />
1<br />
<br />
c<br />
7<br />
a 1 , b 3, c 7<br />
៥. ក្អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវ បស់អៃុរមៃ៍<br />
f<br />
ដែលក្ំណត់រោយ<br />
ររមាៃ<br />
រ<br />
រោយ<br />
រ<br />
ក្.<br />
3 4<br />
1 2<br />
f x x x<br />
1<br />
f x x x 1 x 1 <br />
x 1<br />
4<br />
<br />
ោះររទញបាៃ ព្រីមីទីវ<br />
ែូរចនោះ ព្រីមីទីវ<br />
ខ.<br />
f<br />
f<br />
x<br />
<br />
x<br />
<br />
<br />
3 4<br />
2<br />
4 4<br />
2<br />
<br />
<br />
F x<br />
<br />
F x<br />
2x<br />
1<br />
2<br />
x x3 3<br />
ោះររទញបាៃ ព្រីមីទីវ<br />
<br />
នៃអៃុរមៃ៍<br />
<br />
F x<br />
នៃអៃុរមៃ៍<br />
<br />
<br />
f<br />
រឺ<br />
4<br />
2 <br />
x 1<br />
1<br />
1<br />
c<br />
4 2 1<br />
1 4<br />
1 3<br />
12 x c<br />
<br />
<br />
2<br />
2 1 x x 3<br />
<br />
x <br />
<br />
2<br />
3<br />
2<br />
3<br />
x x 3 x x 3<br />
<br />
<br />
F x<br />
f<br />
នៃអៃុរមៃ៍<br />
<br />
F x<br />
<br />
ែូរចនោះ ព្រីមីទីវ F x នៃអៃុរមៃ៍<br />
រឺ<br />
f<br />
ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />
1 4<br />
F x x 1 3<br />
c<br />
12<br />
រឺ<br />
1<br />
2<br />
3 <br />
31 x x<br />
3<br />
1<br />
1<br />
<br />
2 3<br />
f<br />
2<br />
x x<br />
2<br />
<br />
រឺ F x<br />
c<br />
ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />
c ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />
1<br />
<br />
2 3<br />
2<br />
x x<br />
2<br />
c ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 109
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
៦. ក្អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវ បស់អៃុរមៃ៍<br />
f<br />
ដែលក្ំណត់រោយ<br />
រោយ<br />
រ<br />
រ<br />
ក្.<br />
<br />
f x x <br />
4 <br />
<br />
sin 8<br />
1<br />
f x sin 8x <br />
8x <br />
<br />
<br />
sin 8x<br />
<br />
<br />
4 8 4 4 <br />
ោះររទញបាៃ ព្រីមីទីវ<br />
រោយ<br />
<br />
F x<br />
នៃអៃុរមៃ៍<br />
1 <br />
F x<br />
cos 8 x <br />
c<br />
8 4<br />
<br />
ែូរចនោះ ព្រីមីទីវ F x នៃអៃុរមៃ៍<br />
ខ.<br />
<br />
f x 2cos3x 3sin 2x<br />
4 3 <br />
<br />
f x 2cos3x 3sin 2x<br />
4 3 <br />
ោះររទញបាៃ ព្រីមីទីវ<br />
ែូរចនោះ ព្រីមីទីវ<br />
រេ ណាមួយ<br />
f<br />
រឺ<br />
f<br />
រឺ<br />
ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />
1 <br />
F x<br />
cos 8 x <br />
c<br />
8 4<br />
1 <br />
<br />
1 <br />
<br />
<br />
2 3x cos3x 3 2x sin 2x<br />
3 4 4 2 3 3 <br />
<br />
F x<br />
នៃអៃុរមៃ៍ f រឺ<br />
2 3<br />
F x<br />
sin 3x <br />
cos 2x<br />
c<br />
3 4 2 3 <br />
<br />
F x<br />
៧. ក្អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវនៃ<br />
ក្.ររមាៃ<br />
ររបាៃ<br />
f<br />
នៃអៃុរមៃ៍<br />
f<br />
f<br />
រឺ<br />
ដែលរសម ើសូៃយចំរ<br />
x 3x<br />
f x<br />
2cos<br />
3sin<br />
2 2<br />
<br />
x<br />
ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />
ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />
2 3<br />
F x<br />
sin 3x <br />
cos 2x<br />
c<br />
3 4 2 3 <br />
ោះ<br />
<br />
x <br />
2<br />
x <br />
x 2 3x <br />
3x<br />
22 cos 3<br />
sin<br />
2 2 3 2 2<br />
រ ោះររទញបាៃ ព្រីមីទីវ Fx នៃអៃុរមៃ៍ f រឺ<br />
<br />
F x<br />
x 3x<br />
4sin 2cos c<br />
2 2<br />
ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />
ដែល c ជាចំៃួៃ<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 110
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រោយ ព្រីមីទីវ<br />
ររបាៃ<br />
ខ.អៃុរមៃ៍<br />
ររបាៃ<br />
<br />
F x<br />
F <br />
<br />
<br />
0<br />
2 <br />
ឬ<br />
ែូរចនោះ ព្រីមីទីវ<br />
រសម ើសូៃយចំរ<br />
ោះ<br />
<br />
x <br />
2<br />
3<br />
4sin 2cos c 0<br />
4 4<br />
<br />
F x<br />
នៃអៃុរមៃ៍<br />
<br />
f x 5sin 2x 3cos 5x<br />
4 3 <br />
<br />
f x 5sin 2x 3cos 5x<br />
4 3 <br />
f<br />
រឺ<br />
រ<br />
ោះទញបាៃ<br />
c 3 2<br />
x 3x<br />
F x<br />
4sin 2cos 3 2<br />
2 2<br />
1 <br />
<br />
1 <br />
<br />
<br />
5 2x sin 2x 3 5x cos 5x<br />
2 4 4 5 3 3 <br />
រ ោះររទញបាៃ ព្រីមីទីវ Fx នៃអៃុរមៃ៍<br />
រោយ ព្រីមីទីវ<br />
ររបាៃ<br />
5 3<br />
F x cos 2x <br />
sin 5x<br />
c<br />
2 4 5 3 <br />
<br />
<br />
F x<br />
F <br />
<br />
<br />
0<br />
2 <br />
ឬ<br />
ឬ<br />
ែូរចនោះ ព្រីមីទីវ<br />
រសម ើសូៃយចំរ<br />
ោះ<br />
<br />
x <br />
2<br />
5 3 <br />
cos 2 sin 5 c 0<br />
2 2 4 5 3 2 <br />
5 3 <br />
cos<br />
sin c 0 រ<br />
2 4 5 3 2 <br />
<br />
F x<br />
៨. ក្អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវ បស់អៃុរមៃ៍<br />
ររមាៃ<br />
រ<br />
ក្.<br />
2<br />
<br />
f x cos xsin 2x<br />
នៃអៃុរមៃ៍<br />
f<br />
f<br />
រឺ<br />
f<br />
រឺ<br />
<br />
ដែលក្ំណត់រោយ<br />
<br />
2 3 3<br />
f x cos xsin 2x 2sin xcos x 2 cos x cos x<br />
ោះររទញបាៃ ព្រីមីទីវ<br />
<br />
F x<br />
នៃអៃុរមៃ៍ f រឺ<br />
1 31<br />
F x 2<br />
cos x c<br />
31<br />
ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />
ោះទញបាៃ<br />
6 25 2<br />
c <br />
20<br />
5 3 6 25 2<br />
F x cos 2x <br />
sin <br />
5x<br />
<br />
<br />
2 4 5 3 20<br />
<br />
<br />
1 cos<br />
4<br />
2<br />
x<br />
c<br />
ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 111
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ររមាៃ<br />
ែូរចនោះ ព្រីមីទីវ<br />
ខ.<br />
f<br />
f<br />
x<br />
<br />
F x<br />
2x<br />
<br />
x x 1<br />
<br />
2<br />
x<br />
នៃអៃុរមៃ៍ f រឺ<br />
1<br />
F x cos x c<br />
2<br />
<br />
4<br />
2<br />
2xx<br />
x 1<br />
<br />
2x<br />
<br />
2 2 2<br />
x x 1 x x 1 x x 1<br />
<br />
<br />
2<br />
2x x x 1<br />
<br />
ដែល c<br />
ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />
រ<br />
ោះររទញបាៃ ព្រីមីទីវ<br />
<br />
2 2<br />
2x<br />
2x x 1<br />
<br />
1<br />
2x x 1 x 1<br />
<br />
F x<br />
2 2 2 2<br />
នៃអៃុរមៃ៍<br />
f<br />
រឺ<br />
ែូរចនោះ ព្រីមីទីវ<br />
<br />
F x<br />
<br />
F x<br />
៩.រណ រែ ីរវ បស់អៃុរមៃ៍<br />
ររមាៃ<br />
ររបាៃ<br />
1<br />
2<br />
1<br />
x <br />
2<br />
x<br />
2 c<br />
21<br />
1<br />
1<br />
2<br />
21 1<br />
2 2<br />
3<br />
1<br />
<br />
3 3<br />
នៃអៃុរមៃ៍<br />
<br />
F x<br />
x 3 x 2 2 c<br />
2 2<br />
1 ln 1 ln <br />
F x x x x x<br />
f<br />
ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />
2 2<br />
F x x x c ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />
3 3<br />
រឺ 3<br />
3 2 1<br />
2<br />
ួចទញ ក្ព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍<br />
ៃិង<br />
1<br />
x <br />
f x<br />
xln<br />
<br />
x <br />
f<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
ចំរ<br />
<br />
2 2 2 2<br />
F x x 1 ln x 1 x 1 ln x 1 x ln x x ln x<br />
1 2 1<br />
2x ln x 1 x 1 x 1 2x ln x x <br />
x1<br />
x<br />
<br />
<br />
2xln x 1 2xln x 1<br />
x 1<br />
2x<br />
ln 1<br />
x <br />
x 1<br />
ែូរចនោះ F <br />
x<br />
2x<br />
ln 1<br />
x <br />
+ទញ ក្ព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍<br />
f<br />
x<br />
ោះ<br />
x 0<br />
<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 112
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ររមាៃ<br />
រោយ<br />
រ<br />
1<br />
x <br />
f x xln<br />
<br />
x <br />
<br />
x 1<br />
F <br />
x<br />
2x<br />
ln 1<br />
x <br />
ោះររទញបាៃ ព្រីមីទីវ<br />
<br />
ែូរចនោះ ព្រីមីទីវ<br />
១០.ររមាៃអៃុរមៃ៍<br />
ក្.បង្ហា ញថា<br />
ររបាៃ<br />
រ<br />
2<br />
G x<br />
<br />
G x F x x c<br />
<br />
x<br />
1<br />
xln 1<br />
x <br />
នៃអៃុរមៃ៍<br />
<br />
2<br />
f<br />
រឺ<br />
<br />
2 2<br />
x 1 ln x 1 x ln x x c<br />
G x នៃអៃុរមៃ៍<br />
x<br />
f x x ln 4<br />
ៃិង<br />
1 1<br />
f x<br />
g x<br />
x<br />
2 2<br />
2 x 2 x <br />
g <br />
x x<br />
<br />
ln x<br />
ln<br />
<br />
4 4<br />
ោះ ររបាៃ<br />
ែូរចនោះ<br />
x <br />
<br />
x<br />
<br />
2 4<br />
2xln x <br />
<br />
4 x<br />
4<br />
<br />
2 ln 4<br />
x<br />
x<br />
ខ.ទញឲ្យបាៃព្រីមីទីវ<br />
ាមទំ<br />
រ<br />
x<br />
f<br />
រឺ<br />
x<br />
g x x x<br />
4<br />
<br />
2 2<br />
G x x 1 ln x 1 x ln x x c<br />
<br />
2 ln 0<br />
1 1 x 1 1 x<br />
g x<br />
x x ln x x x ln f x<br />
2 2 4 2 2 4<br />
1 1<br />
f x<br />
g x<br />
x<br />
2 2<br />
ក្់ទំៃងខាងរលើ<br />
ោះររទញបាៃព្រីមីទីវ<br />
<br />
F x<br />
នៃអៃុរមៃ៍<br />
f<br />
x<br />
1 1<br />
f x<br />
g x<br />
x<br />
2 2<br />
<br />
F x<br />
<br />
នៃអៃុរមៃ៍ f រឺ<br />
1 x 1 x<br />
<br />
2 4 2 2<br />
2<br />
2<br />
F x <br />
x ln c<br />
2 2<br />
x ln<br />
x x c<br />
2 4 4<br />
<br />
ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 113
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ែូរចនោះ ព្រីមីទីវ<br />
<br />
F x<br />
នៃអៃុរមៃ៍<br />
១១.រណ អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
f<br />
រឺ<br />
<br />
F x<br />
2 2<br />
x ln<br />
x x c<br />
2 4 4<br />
ដែល c<br />
ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />
ក្.<br />
<br />
3<br />
1 x<br />
3 dx<br />
x<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
2 3<br />
1 1 2 7<br />
x x x <br />
<br />
3 6 3 6<br />
3 3<br />
3 dx x x x x dx<br />
1 3 3 <br />
ែូរចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
3<br />
1 x<br />
3 dx<br />
x<br />
1<br />
x<br />
<br />
2<br />
1<br />
x<br />
2 2<br />
<br />
dx<br />
<br />
<br />
2 7 1 13<br />
3 6 6<br />
3 6 3 6<br />
x 3 x 33x x c<br />
2 7 13<br />
2 7 1 13<br />
3 18 6<br />
3 6 3 6<br />
x x 9x x c<br />
2 7 13<br />
2 7 1 13<br />
3 18 6<br />
3 6 3 6<br />
x x 9x x c<br />
2 7 13<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
x 2x1<br />
1x<br />
2x<br />
dx <br />
dx<br />
2 2 2 2<br />
x 1x x x 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 2 <br />
<br />
2 2<br />
x<br />
x<br />
x 1<br />
<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
1 2 x 1 2x<br />
<br />
2 2<br />
x<br />
<br />
xx<br />
1<br />
1 2 2x<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2 2<br />
x x x 1<br />
<br />
<br />
dx<br />
<br />
dx<br />
<br />
<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
x<br />
<br />
1<br />
x<br />
<br />
1 2ln ln<br />
2 1<br />
x x c<br />
x<br />
<br />
2<br />
1<br />
x<br />
2 2<br />
<br />
dx<br />
1 2ln ln<br />
2 1<br />
x x c<br />
x<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 114
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
១២.រណ<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
រយើងរណ<br />
ាង<br />
g<br />
x<br />
<br />
f x<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
x dx<br />
1 x<br />
x<br />
xdx<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 115<br />
2<br />
<br />
2<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />
<br />
រ<br />
2<br />
x 1 2<br />
<br />
f x g x dx f x g x g x f x dx<br />
ោះ ររបាៃ<br />
f<br />
x<br />
1<br />
<br />
រ ោះររបាៃ gx<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
1<br />
x 2 x 1<br />
<br />
2<br />
x dx x 1 dx<br />
2<br />
x dx<br />
2 2<br />
<br />
<br />
2<br />
2 x 1<br />
<br />
<br />
<br />
2 x 1<br />
1<br />
<br />
<br />
2<br />
2 x 1<br />
x 1<br />
arctan x<br />
c<br />
2<br />
x 1<br />
arctan x<br />
c<br />
2<br />
<br />
2<br />
2 2<br />
1<br />
x 2 x 1<br />
<br />
1<br />
x dx<br />
x<br />
x 1<br />
xe<br />
<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
1x dx 1x e<br />
<br />
x 1xe <br />
xe 1xe<br />
<br />
<br />
x x x<br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
រោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
u 1xe<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
<br />
<br />
1<br />
x dx<br />
x<br />
រ<br />
ោះ<br />
<br />
x<br />
x1<br />
xe u1<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
du 1x e dx<br />
<br />
x<br />
xe u<br />
1<br />
du<br />
u<br />
1 1<br />
<br />
du<br />
u1<br />
u
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
១៣.រណ<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
1<br />
x dx<br />
ln<br />
x<br />
x 1<br />
xe 1<br />
<br />
<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
xe<br />
xe<br />
ln u 1 ln u c<br />
1<br />
ln u <br />
c<br />
u<br />
x<br />
xe<br />
ln 1 xe<br />
x<br />
c<br />
x<br />
c<br />
ក្.<br />
<br />
2x<br />
e dx<br />
x<br />
e 1<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
t <br />
e<br />
x<br />
1<br />
ឬ<br />
x<br />
e<br />
t<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
2<br />
1<br />
ឬ<br />
x<br />
<br />
2<br />
ln t 1<br />
<br />
រ<br />
ោះ<br />
2t<br />
dx dt<br />
2<br />
t 1<br />
ែូរចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
2x<br />
e dx<br />
x<br />
e 1<br />
2x<br />
2<br />
e dx t<br />
2<br />
<br />
x <br />
e<br />
<br />
1<br />
e<br />
2x<br />
dx<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2 t 1<br />
1 2t<br />
dt<br />
2<br />
t t 1<br />
<br />
dt<br />
3<br />
t<br />
<br />
2<br />
t<br />
c<br />
3 <br />
2<br />
3 <br />
2 x<br />
x<br />
e 2 e 1<br />
c<br />
3<br />
<br />
<br />
2<br />
3 t t c<br />
2 x<br />
x<br />
e 2<br />
e 1<br />
c<br />
3<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ ាង<br />
t<br />
x<br />
e រ ោះ<br />
dt <br />
x<br />
e dx<br />
ឬ<br />
dt<br />
dx <br />
t<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 116
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
<br />
1 dt<br />
<br />
2<br />
t t<br />
2x<br />
1 e dx 1<br />
<br />
2<br />
t 1<br />
dt<br />
2<br />
t<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ មរងរទៀត<br />
ាង<br />
1<br />
t cosu<br />
រ ោះ<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ចំរ<br />
<br />
ោះអំងរតព្កាល<br />
ាង<br />
1<br />
sin u 1<br />
2<br />
t<br />
1<br />
e<br />
<br />
2x<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
ឬ<br />
sin u <br />
2<br />
t 1<br />
dt<br />
2<br />
t<br />
2<br />
t 1<br />
t<br />
1<br />
1 2<br />
cos u sin u<br />
du<br />
2<br />
1 cos u<br />
2<br />
cos u<br />
2<br />
sin u<br />
du<br />
cosu<br />
2<br />
1<br />
cos u<br />
du<br />
cosu<br />
<br />
<br />
<br />
cosudu<br />
2<br />
1<br />
sin u<br />
v sin uរ ោះ<br />
<br />
<br />
<br />
du<br />
<br />
cosu<br />
<br />
cosudu<br />
cosudu<br />
sin<br />
u<br />
2<br />
1<br />
sin u<br />
cos udu 1<br />
t<br />
<br />
2<br />
1<br />
sin u t<br />
រោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ<br />
dv cosudu<br />
cosudu<br />
dv<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា <br />
2 2<br />
1sin u<br />
<br />
1v<br />
1 1<br />
v<br />
ln<br />
2 1<br />
v<br />
c<br />
1 1<br />
sin u<br />
ln<br />
2 1<br />
sin u<br />
c<br />
2<br />
sin u<br />
រហើយ dt du<br />
2<br />
cos u<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 117
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
<br />
2<br />
1 t<br />
t 1<br />
ln<br />
2<br />
2<br />
t<br />
t 1<br />
c<br />
ស ុបមក្ អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
2<br />
ln 1<br />
<br />
t t c<br />
<br />
1<br />
e<br />
2x<br />
dx<br />
2<br />
2 t 1<br />
ln t t 1<br />
c<br />
t<br />
2x<br />
x 2x<br />
e 1<br />
ln e e 1<br />
c<br />
x<br />
e<br />
<br />
2 2<br />
ln 1 1 x<br />
x<br />
x e 1 e c<br />
១៤.រណ<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
1<br />
e<br />
2x<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
dx<br />
<br />
2 2<br />
ln 1 1 x<br />
x<br />
x e 1 e c<br />
ក្.<br />
<br />
<br />
3<br />
x dx<br />
9<br />
2<br />
5x<br />
រយើងរណ<br />
ាង<br />
4<br />
<br />
u 25x<br />
7<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
4<br />
រ<br />
ោះររបាៃ<br />
du 20<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
3<br />
x dx<br />
ឬ<br />
du<br />
20<br />
<br />
3<br />
x dx<br />
ខ.<br />
<br />
x<br />
x<br />
2<br />
4<br />
ែូរចនោះ<br />
1<br />
dx<br />
1<br />
<br />
<br />
3<br />
x dx du<br />
<br />
9<br />
2<br />
5x<br />
20 u<br />
<br />
<br />
3<br />
x dx<br />
9<br />
2<br />
5x<br />
4<br />
<br />
4<br />
7 9 7<br />
<br />
7<br />
7<br />
1<br />
9<br />
20 u <br />
du<br />
2<br />
1 9<br />
9<br />
20 2 u c<br />
9<br />
2<br />
4<br />
2 5 x 9<br />
c<br />
40<br />
9<br />
2<br />
4<br />
2 5 x 9<br />
c<br />
40<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 118
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
រយើងរណ<br />
ាង<br />
1 1<br />
1<br />
1<br />
2 2<br />
x dx x<br />
1 <br />
x<br />
1 <br />
x <br />
x <br />
1<br />
u x<br />
x<br />
2<br />
2<br />
<br />
2 x <br />
2<br />
dx<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
រ<br />
ោះររបាៃ<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
1 <br />
du 1<br />
dx<br />
2 <br />
x <br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
x<br />
x<br />
2<br />
4<br />
<br />
1<br />
dx<br />
1<br />
x<br />
x<br />
<br />
2<br />
1<br />
du<br />
dx <br />
1 u<br />
2<br />
4 2<br />
1 u<br />
arctan c<br />
2 2<br />
<br />
<br />
2<br />
1 x 1<br />
arctan c<br />
2 x 2<br />
<br />
2<br />
1 x 1<br />
arctan c<br />
2 x 2<br />
<br />
<br />
១៥.រណ<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
<br />
xdx<br />
x<br />
1<br />
ក្.<br />
4 2<br />
x<br />
អំងរតព្កាលអចស រស រៅជា<br />
<br />
xdx<br />
2<br />
2 1<br />
3<br />
x<br />
<br />
2<br />
4<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើបរ ូ អរេ ាង<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
u x<br />
<br />
2<br />
2 1<br />
រ<br />
ោះ<br />
du<br />
2<br />
xdx<br />
xdx 1<br />
x<br />
1 2<br />
<br />
4 2 <br />
x<br />
du<br />
2 3<br />
u <br />
4<br />
1 1 2u<br />
arctan c<br />
2 3 3<br />
2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 119
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
១៦.រណ<br />
ខ.<br />
<br />
x<br />
ែូរចនោះ<br />
4 2<br />
<br />
dx<br />
4x<br />
3<br />
x<br />
xdx<br />
x<br />
1<br />
4 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2x<br />
1<br />
1 arctan<br />
3 3<br />
<br />
2<br />
2x<br />
1<br />
1 arctan<br />
3 3<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
x<br />
<br />
dx<br />
4x<br />
3<br />
4 2<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
<br />
x<br />
dx<br />
1<br />
x<br />
3<br />
dx<br />
dx<br />
<br />
4 2 2 2<br />
x 4x 3 x 3 x 1<br />
<br />
c<br />
2 2<br />
x 3 x 1<br />
2 2<br />
x x<br />
<br />
1<br />
<br />
2 3 1<br />
1 dx 1<br />
<br />
<br />
dx<br />
2 2<br />
2 x 1 2 x 3<br />
<br />
dx<br />
c<br />
1 1 x<br />
arctan x arctan c<br />
2 2 3 3<br />
1 1 x<br />
arctan x arctan c<br />
2 2 3 3<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
រយើងរណ<br />
ាង<br />
u<br />
1x<br />
<br />
2<br />
dx 3x dx<br />
<br />
x 1x 3x 1x<br />
3 3 3<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
3<br />
ឬ<br />
u<br />
1x<br />
2 3<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
រ<br />
ោះររបាៃ<br />
2<br />
dx 3x dx<br />
<br />
x 1x 3x 1x<br />
<br />
3 3 3<br />
<br />
<br />
<br />
2udu<br />
<br />
2<br />
3 u 1<br />
u<br />
2udu<br />
3<br />
2<br />
x dx<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 120
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
2<br />
<br />
<br />
du<br />
2<br />
3 u 1<br />
1 u 1<br />
ln c<br />
3 u 1<br />
<br />
3<br />
1 1x<br />
1<br />
ln<br />
3<br />
3<br />
1x<br />
1<br />
c<br />
ែូរចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
3<br />
<br />
x<br />
រយើងរណ<br />
ាង<br />
dx<br />
1<br />
x<br />
<br />
3<br />
<br />
2 x dx<br />
2 x 2 x<br />
2 x<br />
u 3<br />
2 x<br />
<br />
3<br />
1 1x<br />
1<br />
ln<br />
3<br />
3<br />
1x<br />
1<br />
2<br />
c<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
រ<br />
ោះររទញបាៃ<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
x <br />
1<br />
u<br />
<br />
<br />
3<br />
2<br />
3<br />
2<br />
2 x dx 1<br />
u 12udu<br />
3<br />
u<br />
2 <br />
6<br />
3<br />
2<br />
2 x 2 x 16u<br />
1<br />
u<br />
3<br />
<br />
4<br />
<br />
du<br />
3<br />
u<br />
3 1<br />
c<br />
3<br />
4 2u<br />
3<br />
<br />
8u<br />
2<br />
c<br />
3 2<br />
x <br />
3<br />
<br />
8 2<br />
x <br />
2<br />
c<br />
<br />
រហើយ<br />
dx <br />
12udu<br />
3<br />
1<br />
u 2<br />
១៧.រណ<br />
ែូរចនោះ<br />
ក្.<br />
<br />
3<br />
2 x dx<br />
2 x 2 x<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
<br />
<br />
dx<br />
x 1<br />
រយើងរណ<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
3 2<br />
x <br />
3<br />
<br />
8 2<br />
x <br />
2<br />
c<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 121
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ាង u x<br />
<br />
រ<br />
ោះររទញបាៃ<br />
x<br />
u<br />
2<br />
រហើយ<br />
dx 2udu<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
<br />
dx<br />
2udu<br />
u 1 u<br />
<br />
2<br />
x x <br />
1<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
du<br />
u 1<br />
u<br />
<br />
<br />
1 1 <br />
<br />
du<br />
u<br />
1<br />
u<br />
<br />
2 ln u ln 1 u <br />
c<br />
u<br />
2ln 1 u<br />
c<br />
x<br />
2ln<br />
c<br />
x 1<br />
ែូរចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
x 1<br />
dx<br />
x<br />
<br />
1 x x1<br />
រយើងរណ<br />
ាង<br />
u x x 1<br />
ររទញបាៃ<br />
2ln<br />
x<br />
c<br />
x 1<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
រ<br />
1<br />
2 x u<br />
u<br />
ោះ<br />
ឬ<br />
1<br />
u <br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
x 1 <br />
2<br />
u<br />
1<br />
x <br />
2u<br />
<br />
2<br />
x<br />
រហើយ<br />
4<br />
u 1<br />
dx du<br />
3<br />
2u<br />
dx<br />
<br />
1 x x1<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 122<br />
u<br />
4<br />
<br />
2<br />
2u<br />
1<br />
1<br />
u<br />
<br />
du<br />
3 2<br />
u u u 1<br />
<br />
du<br />
3<br />
2u<br />
1 1 1 1 <br />
1<br />
du<br />
2 3<br />
2<br />
<br />
u u u <br />
1 1 1<br />
ln<br />
2<br />
2 u u <br />
<br />
u 2u<br />
<br />
c
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
១៨.រណ<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
dx<br />
1 x x1<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
1 x 1<br />
<br />
2 2 2<br />
2<br />
x ln x x 1 x x c<br />
1 x 1<br />
<br />
2 2 2<br />
2<br />
x ln x x 1 x x c<br />
ក្.<br />
<br />
2<br />
x x xdx<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង t x<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 123<br />
<br />
ឬ<br />
t x<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
<br />
2<br />
ឬ<br />
dx 2tdt<br />
2 5 2<br />
x x xdx t t dt<br />
<br />
<br />
<br />
2 3<br />
2 1<br />
t t dt<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលរោយបរ ូ អរេ មរងរទៀត<br />
ាង<br />
u<br />
t<br />
3<br />
1<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
x<br />
<br />
dx<br />
1<br />
x<br />
<br />
2<br />
x x xdx<br />
2<br />
រ<br />
ោះ<br />
du 3<br />
2<br />
t dt<br />
2 2 3<br />
x x xdx 2 t t 1dt<br />
1<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
udu<br />
3<br />
1 2<br />
2<br />
3 3 u c<br />
3<br />
4 3 1<br />
2<br />
9 t c<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
4 <br />
1<br />
9 x c<br />
<br />
3<br />
3<br />
2<br />
2<br />
4 <br />
1<br />
9 x c<br />
<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
dx xdx<br />
<br />
x 1x x 1x<br />
<br />
2 2 2
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
t <br />
1x<br />
2<br />
ឬ<br />
x<br />
1t<br />
2 2<br />
រ ោះ tdt xdx<br />
<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
dx<br />
<br />
tdt<br />
x 1<br />
x t <br />
2 2<br />
1<br />
<br />
t<br />
1 1<br />
t<br />
ln<br />
2 1<br />
t<br />
c<br />
1 1<br />
1x<br />
ln<br />
2 1<br />
1x<br />
2<br />
2<br />
c<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
x<br />
dx<br />
1<br />
x<br />
2<br />
1 1<br />
1x<br />
ln<br />
2 1<br />
1x<br />
2<br />
2<br />
c<br />
១៩.រណ<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
<br />
sin<br />
x cos<br />
5 3<br />
xdx<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
រយើងរណ<br />
ាង<br />
x xdx x x x dx<br />
<br />
5 3 5 2<br />
sin cos sin cos sin<br />
u sin x រ ោះ<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
du cos xdx<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
<br />
sin<br />
sin 5 x cos 3 xdx u 5 1u 2 du<br />
x cos<br />
5 3<br />
1<br />
cos x dx<br />
sin x 1<br />
xdx<br />
<br />
<br />
<br />
6 8<br />
u u<br />
c<br />
6 8<br />
6 8<br />
sin x sin x<br />
c<br />
6 8<br />
6 8<br />
sin x sin x<br />
c<br />
6 8<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 124
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
+ចំរ<br />
+ចំរ<br />
ាង<br />
1<br />
cos x dx cos x<br />
dx dx<br />
sin x 1 sin x 1 sin x 1<br />
<br />
ោះអំងរតព្កាល<br />
<br />
<br />
dx<br />
sin x 1<br />
dx<br />
dx<br />
<br />
sin x 1<br />
<br />
<br />
cosx<br />
1<br />
2 <br />
ោះអំងរតព្កាល<br />
u sin x1<br />
អចស រស រៅជា<br />
dx<br />
x <br />
<br />
tan c<br />
2 x <br />
<br />
2 4<br />
cos<br />
<br />
<br />
2 4<br />
រ<br />
<br />
ោះ<br />
cos x dx<br />
sin x 1<br />
du cos xdx<br />
រយើងរណ<br />
រោយបរ ូ អរេ<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
២០.រណ<br />
ែូរចនោះ<br />
cos x<br />
dx <br />
sin x1<br />
<br />
du<br />
u<br />
ln u c ln sin x 1<br />
c<br />
1<br />
cos x<br />
dx tan<br />
sin x 1<br />
2 4<br />
<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
<br />
dx<br />
2 2 2 2<br />
a cos x b sin x<br />
x <br />
<br />
<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
ln sin x1<br />
c<br />
dx 1 1 dx<br />
<br />
<br />
2 2 2 2 2 2<br />
2<br />
a cos x b sin x b a 2 cos x<br />
tan x<br />
2<br />
b<br />
<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
dx<br />
t tan x រ ោះ dt <br />
2<br />
cos x<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
<br />
dx 1<br />
<br />
2 2 2 2 2<br />
a cos x b sin x b<br />
<br />
dt<br />
2<br />
a<br />
t<br />
2<br />
b<br />
2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 125
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ែូរចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
sin<br />
cos<br />
dx<br />
2 2 2 2<br />
a cos x b sin x<br />
3<br />
8<br />
x dx<br />
x<br />
អំងរតព្កាលខាងលអចស រស រៅជា<br />
<br />
1 1 bt<br />
<br />
2 arctan c<br />
b a a<br />
b<br />
1 btan<br />
x<br />
arctan<br />
ab a<br />
1 btan<br />
x<br />
arctan<br />
<br />
<br />
c<br />
ab a<br />
3 2<br />
sin x 1<br />
cos x<br />
dx sin xdx<br />
8 8<br />
cos x<br />
<br />
cos x<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
t<br />
cos x<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
រ<br />
ោះ<br />
dt sin<br />
xdx<br />
<br />
<br />
c<br />
២១.រណ<br />
ែូរចនោះ<br />
sin<br />
cos<br />
<br />
x dx<br />
x<br />
sin<br />
cos<br />
3<br />
8<br />
x dx<br />
x<br />
1<br />
t<br />
8<br />
t<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
dt<br />
<br />
8 6<br />
t t dt<br />
7 5<br />
t t<br />
c<br />
7 5<br />
3<br />
8<br />
7 5<br />
អំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
<br />
dx<br />
sin xcos<br />
6<br />
x<br />
1 1<br />
c<br />
7 5<br />
7cos x<br />
5cos x<br />
<br />
1 1<br />
c<br />
7cos x<br />
5cos x<br />
<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
dx sin x<br />
<br />
dx<br />
6 2 6<br />
sin x cos x sin x cos x<br />
sin x<br />
<br />
dx<br />
2 6<br />
1<br />
cos x cos x<br />
<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 126
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
u cos x រ ោះ du sin xdx<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
dx du<br />
<br />
sin xcos x u 1<br />
u<br />
dx<br />
sin xcos<br />
<br />
<br />
6 2 6<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
6 6<br />
u u 1<br />
du<br />
2 6<br />
u 1<br />
u<br />
<br />
<br />
u<br />
4 2<br />
1 u u<br />
1<br />
<br />
1<br />
u<br />
2 6<br />
<br />
du<br />
<br />
1 u 1 1 1 1<br />
ln c<br />
3 5<br />
2 u 1 u 3u 5u<br />
1 1<br />
cos x 1 1 1<br />
ln c<br />
3 5<br />
2 1<br />
cos x cos x 3cos x 5cos x<br />
6<br />
3 5<br />
3<br />
4sin x dx<br />
1<br />
cos x<br />
<br />
x<br />
1 1<br />
cos x 1 1 1<br />
ln c<br />
2 1<br />
cos x cos x 3cos x 5cos x<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
រយើងរណ<br />
ាង<br />
3 2<br />
4sin x sin x<br />
dx 4 sin xdx<br />
1cos x<br />
1cos<br />
x<br />
u<br />
cos x<br />
2<br />
1<br />
cos x<br />
4<br />
sin xdx<br />
1<br />
cos x<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
រ<br />
ោះ<br />
du sin<br />
xdx<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
<br />
3 2<br />
4sin x 1<br />
u<br />
dx 4<br />
du<br />
1cos x<br />
<br />
1u<br />
<br />
<br />
<br />
4 1<br />
u du<br />
4 2 <br />
2<br />
u u c<br />
4cos<br />
<br />
2<br />
x 2cos x c<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 127
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
២២.រណ<br />
ែូរចនោះ<br />
3<br />
4sin x dx<br />
1<br />
cos x<br />
<br />
4cos<br />
<br />
អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
<br />
3<br />
ln x<br />
2<br />
4 ln x<br />
dx<br />
2<br />
x 2cos x c<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
t ln x<br />
ឬ<br />
x<br />
e<br />
t<br />
រ<br />
ោះ<br />
dx <br />
t<br />
e dt<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
3ln x 3t<br />
dx <br />
t<br />
e dt<br />
2 2<br />
4 ln x 4<br />
t<br />
4 ln x 2<br />
<br />
<br />
<br />
t<br />
t<br />
4 t e<br />
<br />
4<br />
t e<br />
dt<br />
4 t<br />
<br />
t<br />
e <br />
<br />
dt<br />
4<br />
t <br />
t<br />
e<br />
c<br />
4 t<br />
x<br />
c<br />
4 ln x<br />
x<br />
c<br />
x<br />
3<br />
ln x<br />
dx<br />
4 ln<br />
xln<br />
x dx<br />
2<br />
1 x<br />
2<br />
2<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
x ln x 1 x ln x<br />
dx <br />
2 2<br />
1 2<br />
<br />
x<br />
1x<br />
<br />
2 2<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ ាង<br />
2<br />
dx<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
x ln x 1 ln y<br />
dx <br />
2<br />
1<br />
4<br />
<br />
x 1<br />
y<br />
2 2<br />
រយើងរោោះស្រាយរោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />
dy<br />
y<br />
x<br />
2<br />
រ ោះ dy 2xdx<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 128
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
២៣.រណ<br />
ាង<br />
g<br />
<br />
y<br />
<br />
<br />
<br />
f y g y dy f y g y f y g y dy<br />
f y ln y<br />
<br />
1<br />
2<br />
1<br />
y<br />
1<br />
<br />
y<br />
1<br />
g y <br />
1 y<br />
រ ោះ f y<br />
រ ោះ <br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
x ln x 1 ln y<br />
dx <br />
2<br />
1<br />
4<br />
<br />
x 1<br />
y<br />
xln<br />
x dx<br />
2<br />
2 2<br />
dy<br />
ln y 1 dy<br />
<br />
4 1 4<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
1 x <br />
អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />
y y y<br />
ln y 1 1 1 <br />
dy<br />
41<br />
y<br />
4<br />
<br />
y 1<br />
y <br />
ln y 1<br />
ln y ln 1 y c<br />
4 1<br />
y 4<br />
<br />
<br />
<br />
ln y 1 y ln c<br />
4 1<br />
y<br />
4 1<br />
y<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
ln x 1 x<br />
2 ln c<br />
2<br />
21<br />
x<br />
4 1<br />
x<br />
<br />
<br />
2<br />
ln x 1 x<br />
2 ln c<br />
2<br />
21<br />
x<br />
4 1<br />
x<br />
<br />
ក្.<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
6<br />
<br />
tan x cot x dx<br />
<br />
2<br />
(ឆមាសទី២,២០០៤)<br />
អំរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
<br />
4 4<br />
2 2 2<br />
<br />
<br />
tan x cot x dx tan x 2 tan x cot x cot x dx<br />
<br />
<br />
6 6<br />
<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
6<br />
<br />
tan x 2 cot<br />
2 2<br />
<br />
x dx<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 129
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ែូរចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
6<br />
<br />
tan x cot x dx<br />
cos xsin<br />
រយើងរណ<br />
ាង<br />
4<br />
u sin x<br />
xdx<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
6<br />
2 2<br />
1 tan 1 cot <br />
x x <br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
<br />
tan<br />
x cot x 4 6<br />
<br />
<br />
2 3<br />
3<br />
2 3<br />
3<br />
(ឆមាសទី២,២០០៣)<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
រ<br />
ោះ<br />
du cos xdx<br />
<br />
២៤.រណ<br />
+ររល<br />
+ររល<br />
x 0<br />
<br />
x <br />
2<br />
រ ោះ<br />
រ<br />
ោះ<br />
u 0<br />
u 1<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
cos xsin<br />
4<br />
1<br />
xdx <br />
5<br />
អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
4 4<br />
cos xsin<br />
xdx u du<br />
0 0<br />
<br />
5<br />
1<br />
u 1<br />
<br />
5 5<br />
0<br />
ក្.<br />
<br />
<br />
0<br />
sin x<br />
dx<br />
2 cos x<br />
រយើងរណ<br />
ាង<br />
u 2 cos<br />
x<br />
(ឆមាសទី២,២០០៩)<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
រ<br />
ោះ<br />
du sin<br />
xdx<br />
+ររល<br />
x 0<br />
រ<br />
ោះ<br />
u 3<br />
<br />
+ររល x រ<br />
ោះ<br />
u 1<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 130
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
sin x<br />
dx ln 3<br />
2 cos x<br />
2<br />
cos sin sin<br />
x x xdx<br />
<br />
<br />
<br />
0 3<br />
1<br />
sin x du<br />
1<br />
dx ln<br />
u ln3<br />
3<br />
2 cos x<br />
<br />
u<br />
(ឆមាសទី២,២០០៦)<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអខស សរស រៅជា<br />
<br />
រយើងរណ<br />
ាង<br />
2 2<br />
2 2<br />
<br />
cos x sin x sin xdx cos x 1 cos x sin xdx<br />
0 0<br />
u<br />
cos x<br />
+ររល<br />
+ររល<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
រ<br />
ោះ<br />
x 0<br />
<br />
x <br />
2<br />
<br />
du sin<br />
xdx<br />
រ<br />
រ<br />
ោះ<br />
ោះ<br />
u 1<br />
u 0<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
២៥.រណ<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
<br />
2<br />
2 2<br />
cos 1 cos sin 1<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
x x xdx u u du<br />
0 1<br />
7<br />
x x<br />
xdx <br />
6<br />
2<br />
cos sin sin<br />
អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />
0<br />
0<br />
3 2 <br />
u u u <br />
1 1 7<br />
<br />
<br />
3 2 6<br />
1<br />
ក្.<br />
1<br />
<br />
0<br />
xe<br />
2<br />
x 1<br />
រយើងរណ<br />
ាង<br />
dx<br />
u<br />
x<br />
2<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
1<br />
+ររល<br />
រ ោះ du 2xdx<br />
ឬ<br />
x 0<br />
រ ោះ u 1<br />
du<br />
2<br />
xdx<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 131
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
+ររល<br />
x 1 រ ោះ<br />
u 2<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
ខ.<br />
2<br />
e<br />
<br />
e<br />
1<br />
<br />
0<br />
2<br />
x 1 1 2<br />
xe dx e e<br />
2<br />
dx<br />
xln<br />
x<br />
<br />
1 2<br />
2<br />
2<br />
x 1 1 u 1 u 1 2<br />
<br />
<br />
xe dx e du e e e<br />
2 2 2<br />
0 1<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
u ln x<br />
រ<br />
ោះ<br />
<br />
+ររល x e<br />
dx<br />
du <br />
x<br />
រ<br />
ោះ<br />
u 1<br />
1<br />
<br />
<br />
+ររល<br />
x<br />
e<br />
2<br />
រ<br />
ោះ<br />
u 2<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
2<br />
e<br />
<br />
e<br />
dx<br />
ln 2<br />
xln<br />
x <br />
2<br />
e<br />
<br />
e<br />
2<br />
dx du 2<br />
ln u ln 2<br />
1<br />
x ln x<br />
<br />
u<br />
1<br />
២៦.រណ<br />
អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
1<br />
<br />
0<br />
x<br />
1<br />
x dx<br />
2 2<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
របើ<br />
របើ<br />
x<br />
sin t<br />
x 0<br />
រ<br />
ោះ<br />
x 1 រ ោះ<br />
រ<br />
ោះ<br />
t 0<br />
<br />
t <br />
2<br />
dx costdt<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
1 2<br />
2 2 2<br />
<br />
x 1x dx sin t costdt<br />
0 0<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ មរងរទៀត<br />
ាង<br />
u sin t រ ោះ<br />
du costdt<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 132
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
របើ t 0 រ ោះ u 0<br />
របើ<br />
<br />
t <br />
2<br />
រ<br />
ោះ<br />
u 1<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
ខ.<br />
1<br />
<br />
0 1<br />
<br />
ែូរចនោះ<br />
dx<br />
x<br />
1<br />
<br />
0<br />
<br />
1 2<br />
2 2 2<br />
<br />
x 1x dx sin t costdt<br />
0 0<br />
1<br />
x<br />
1<br />
1x dx <br />
3<br />
2 2<br />
<br />
0<br />
2<br />
u du<br />
1<br />
3<br />
1 1<br />
u <br />
3<br />
o<br />
3<br />
រោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
<br />
ាង t x<br />
ឬ<br />
x<br />
t<br />
2<br />
រ<br />
ោះ<br />
dx 2tdt<br />
របើ<br />
x 0<br />
រ<br />
ោះ<br />
t 0<br />
២៧.រណ<br />
របើ<br />
x 1 រ ោះ<br />
t 1<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
ក្.<br />
1<br />
<br />
0 1<br />
<br />
dx<br />
x<br />
1<br />
ln 2<br />
1<br />
<br />
0 1<br />
អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />
<br />
2<br />
dx<br />
2 sin x<br />
0<br />
<br />
<br />
dx<br />
x<br />
1<br />
<br />
<br />
tdtt 1 <br />
0<br />
1<br />
1 <br />
1<br />
dt<br />
1 t <br />
0<br />
t<br />
ln 1<br />
t<br />
1<br />
ln 2<br />
1<br />
0<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 133
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
t tan 2<br />
x<br />
រ<br />
ោះ<br />
x<br />
2arctan t<br />
<br />
2t<br />
sin<br />
x <br />
2<br />
1<br />
t<br />
+ររល x 0 រ ោះ t 0<br />
+ររល<br />
<br />
x <br />
2<br />
រ<br />
ោះ<br />
t 1<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ខ.<br />
<br />
2<br />
<br />
2 1<br />
2<br />
<br />
dx<br />
<br />
2 sin x<br />
<br />
0 0<br />
ែូរចនោះ<br />
dx<br />
<br />
2 cos x<br />
0<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
<br />
2t<br />
dt<br />
1<br />
t<br />
2t<br />
2 1<br />
2<br />
t<br />
1<br />
<br />
t<br />
dt<br />
t<br />
2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
រហើយ<br />
dt<br />
<br />
2<br />
0 1<br />
3<br />
t<br />
<br />
2 2 <br />
1<br />
0<br />
2<br />
2tdt<br />
dx <br />
2<br />
1 t<br />
2 2t 1 2 3<br />
arctan <br />
3 3 3 3 6 9<br />
dx 3<br />
<br />
2 sin x 9<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
t tan 2<br />
x<br />
x<br />
2arctan t<br />
<br />
រ ោះ 2<br />
1<br />
t រហើយ<br />
sin<br />
x <br />
2<br />
1<br />
t<br />
+ររល x 0 រ ោះ<br />
+ររល<br />
<br />
x រ ោះ<br />
2<br />
t 0<br />
t 1<br />
2tdt<br />
dx <br />
2<br />
1 t<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 134
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
២៨.រណ<br />
<br />
2 1<br />
2<br />
dx<br />
<br />
2 cos x<br />
<br />
0 0<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
<br />
1<br />
<br />
0<br />
2t<br />
dt<br />
1<br />
t<br />
2<br />
1<br />
t<br />
2 1<br />
2<br />
t<br />
t<br />
2<br />
2dt<br />
<br />
3<br />
2<br />
1<br />
2 t 2 3<br />
arctan 0<br />
3 3 3 6 9<br />
dx 3<br />
<br />
2 cos x 9<br />
អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />
0<br />
ក្.<br />
R<br />
<br />
R<br />
R<br />
x dx<br />
2 2<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
x Rsin<br />
t<br />
+ររល x<br />
រ<br />
ោះ<br />
+ររល x R<br />
dx R costdt<br />
R រ ោះ<br />
<br />
រ<br />
ោះ<br />
<br />
t <br />
2<br />
<br />
t <br />
2<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
R<br />
<br />
R<br />
R<br />
R<br />
<br />
R<br />
<br />
2<br />
2 2 2 2<br />
R x dx R cos tdt<br />
R<br />
x dx <br />
2<br />
2 2<br />
2<br />
R<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
1<br />
cos 2t<br />
dt<br />
2<br />
<br />
2 2<br />
2<br />
R sin 2t R<br />
t<br />
<br />
2 2 2<br />
<br />
<br />
2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 135
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ខ.<br />
<br />
4<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
ln 1<br />
tan x dx<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
<br />
x t<br />
4<br />
រ ោះ dx dt<br />
<br />
+ររល x 0 រ ោះ<br />
+ររល<br />
<br />
x <br />
4<br />
រ<br />
ោះ<br />
<br />
t <br />
4<br />
t 0<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
រ<br />
<br />
4<br />
<br />
ោះររទញបាៃ<br />
ឬ<br />
<br />
4<br />
<br />
0<br />
0<br />
<br />
<br />
ln 1 tan xdx ln 1 tan t dt 4<br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
<br />
0<br />
<br />
4<br />
<br />
0<br />
<br />
4<br />
0<br />
<br />
4<br />
<br />
tan tan t<br />
ln 1 4 <br />
<br />
dt<br />
<br />
<br />
1<br />
tan tan t <br />
4 <br />
1<br />
tan t <br />
ln 1<br />
dt<br />
1 tan t <br />
2 <br />
ln dt<br />
1 tan t <br />
<br />
<br />
4 4<br />
<br />
ln 2dt<br />
ln 1<br />
tan t dt<br />
0 0<br />
<br />
<br />
2<br />
ln 1 tan xdx<br />
0ln 2<br />
4 <br />
<br />
4<br />
ែូរចនោះ <br />
0<br />
<br />
0<br />
<br />
ln 1tan x dx ln 2<br />
8<br />
<br />
<br />
ln 1 tan x dx ln 2<br />
8<br />
<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 136
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
២៩.រណ<br />
អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
4<br />
x<br />
dx<br />
2<br />
sin x<br />
រយើងរណ<br />
ាង<br />
g<br />
<br />
f x<br />
x<br />
1<br />
sin x<br />
x <br />
2<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />
b<br />
<br />
a<br />
រ<br />
រ<br />
f x g x dx f x g x f x g x dx<br />
b<br />
<br />
ោះ ររបាៃ<br />
ោះ ររបាៃ<br />
f<br />
x<br />
1<br />
<br />
g x<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ខ.<br />
<br />
4<br />
x<br />
<br />
cos 0<br />
ែូរចនោះ<br />
2<br />
រយើងរណ<br />
dx<br />
x<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
4<br />
<br />
cot<br />
x<br />
<br />
<br />
2 2<br />
x<br />
2<br />
cot<br />
2<br />
<br />
sin x<br />
<br />
4 <br />
4 4<br />
<br />
2<br />
x<br />
dx<br />
2<br />
sin x<br />
dx x x cot xdx<br />
cos<br />
4 sin<br />
<br />
<br />
4<br />
x dx<br />
x<br />
<br />
<br />
2<br />
ln sin ln<br />
4 4 2<br />
2<br />
ln<br />
4 2<br />
x 2 4<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />
a<br />
b<br />
<br />
a<br />
ាង<br />
g<br />
f x<br />
x<br />
dx<br />
cos x<br />
x <br />
2<br />
b<br />
b<br />
a <br />
a<br />
a<br />
f x g x dx f x g x f x g x dx<br />
b<br />
<br />
រ ោះ ររបាៃ<br />
f<br />
x 1<br />
រ ោះ ររបាៃ g x tan<br />
x<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 137
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
៣០.រណ<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
4 4<br />
x<br />
tan 4<br />
<br />
2 0<br />
sin x<br />
<br />
0 0<br />
x<br />
<br />
cos 0<br />
2<br />
dx<br />
x<br />
dx x x tan xdx<br />
<br />
2<br />
sin x dx<br />
4 cos x<br />
<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
2<br />
ln cos x ln<br />
4 4 2<br />
2<br />
ln<br />
4 2<br />
អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />
4 0<br />
ក្.<br />
<br />
e 3<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
sin ln x dx<br />
រយើងរណ<br />
ាង<br />
g<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />
b<br />
<br />
sin ln<br />
x<br />
f x<br />
x 1<br />
រ<br />
a<br />
f x g x dx f x g x f x g x dx<br />
ោះ ររបាៃ<br />
b<br />
<br />
រ<br />
g x<br />
ោះ ររបាៃ<br />
x<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
a<br />
b<br />
<br />
cos ln x<br />
f x<br />
dx<br />
x<br />
<br />
<br />
e 3 e 3<br />
<br />
e 3<br />
<br />
sin ln x dx x cos ln x cos ln x dx<br />
1<br />
1 1<br />
<br />
e 3<br />
រយើងរណ អំងរតព្កាល cosln<br />
<br />
ាង<br />
g<br />
x<br />
cos ln<br />
<br />
f x x<br />
1<br />
<br />
រ<br />
ោះ ររបាៃ<br />
1<br />
<br />
e 3<br />
3 <br />
3<br />
e cosln<br />
xdx<br />
2<br />
<br />
1<br />
x dx រោយដ នក្មរងរទៀត<br />
រ ោះ ររបាៃ <br />
<br />
g x<br />
x<br />
a<br />
sin ln x<br />
f x dx<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 138
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
រ<br />
<br />
<br />
e 3 e 3<br />
e 3<br />
<br />
<br />
cos ln x dx x cos ln x sin ln x dx<br />
1<br />
1 1<br />
ោះអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
1<br />
e<br />
2<br />
<br />
3<br />
<br />
e 3<br />
1<br />
<br />
<br />
sin ln x dx<br />
<br />
<br />
e 3<br />
<br />
<br />
<br />
e 3 e 3<br />
<br />
រ ោះររទញបាៃ<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
e 3<br />
ខ. cosln<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
x dx<br />
3 <br />
3<br />
sin ln<br />
xdx e cosln<br />
xdx<br />
2<br />
<br />
1 1<br />
<br />
ឬ<br />
<br />
e 3<br />
<br />
1<br />
3<br />
<br />
1<br />
<br />
2 2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3 e <br />
3<br />
e e 3<br />
sin ln x dx<br />
31<br />
e<br />
2<br />
<br />
<br />
3<br />
2 sin ln x dx<br />
<br />
<br />
e 3<br />
<br />
1<br />
sin ln x dx<br />
<br />
<br />
sin ln x dx<br />
<br />
31<br />
4<br />
3<br />
e <br />
<br />
e 3<br />
1<br />
<br />
<br />
sin ln x dx<br />
<br />
<br />
31<br />
2<br />
31<br />
4<br />
1<br />
3<br />
e <br />
3<br />
e <br />
រយើងរណ អំងរតព្កាលខាងរលើរោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />
b<br />
<br />
a<br />
f x g x dx f x g x f x g x dx<br />
b<br />
<br />
ាង f x cos ln<br />
x<br />
រ ោះ ររបាៃ <br />
g<br />
x<br />
1<br />
<br />
រ ោះ ររបាៃ<br />
<br />
g x<br />
x<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
a<br />
b<br />
<br />
a<br />
sin ln x<br />
f x dx<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 139
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
៣១.រណ<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
<br />
e 3 e 3<br />
e 3<br />
<br />
<br />
e 3<br />
<br />
1<br />
<br />
cos ln x dx x cos ln x sin ln x dx<br />
1<br />
1 1<br />
<br />
<br />
cos ln x dx <br />
អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />
1<br />
e<br />
2<br />
<br />
3<br />
<br />
e 3<br />
1<br />
<br />
<br />
sin ln x dx<br />
1 3 1<br />
e e<br />
2 4<br />
<br />
<br />
<br />
3 3<br />
31<br />
4<br />
31<br />
e<br />
4<br />
3<br />
e <br />
<br />
3<br />
<br />
ក្.<br />
b<br />
<br />
a<br />
x dx , a b<br />
x<br />
រយើងរណ<br />
+ក្ ណី 0 a<br />
b<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរោយដបងដចក្ជាបីក្ ណី<br />
រ<br />
ោះអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
+ក្ ណី<br />
a<br />
b<br />
b<br />
<br />
a<br />
0<br />
x<br />
x<br />
b<br />
x b<br />
dx dx x b a<br />
a<br />
x<br />
a<br />
រ<br />
ោះអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
+ក្ ណី<br />
b<br />
<br />
a<br />
a0<br />
b<br />
x<br />
x<br />
b<br />
x<br />
b<br />
dx <br />
dx x a b<br />
a<br />
x<br />
a<br />
រ<br />
ោះអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
b<br />
0<br />
b<br />
x x x<br />
<br />
a<br />
dx dx dx<br />
x x x<br />
a<br />
<br />
0<br />
a<br />
0<br />
x<br />
dx <br />
x<br />
b<br />
<br />
0<br />
x<br />
dx<br />
x<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 140
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
a<br />
<br />
b<br />
<br />
dx dx a b<br />
0 0<br />
ស ុបទំងបីក្ ណី ខាងរលើររបាៃ<br />
ខ.<br />
2<br />
<br />
0<br />
ែូរចនោះ<br />
b<br />
<br />
a<br />
2<br />
x 2x 3dx<br />
x dx b a<br />
x<br />
រយើងសិក្ោសញ្ញា ព្តីធា<br />
របើ<br />
x<br />
2<br />
2x 3 0 រ ោះ<br />
ាងរាងសញ្ញា ព្តីធា<br />
f<br />
<br />
2<br />
b<br />
<br />
a<br />
x dx b a<br />
x<br />
f x x 2x<br />
3<br />
x <br />
x1 1<br />
ឬ x2<br />
0,2<br />
រលើចរ ៃ ោះ <br />
c 3<br />
3 រព្ ោះ<br />
a 1<br />
a b c1 2 3 0<br />
រយើងបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
៣២.រណ<br />
2 1 2<br />
2 2 2<br />
<br />
<br />
x 2x 3 dx x 2x 3 dx x 2x 3 dx<br />
0 0 1<br />
ែូរចនោះ<br />
2<br />
<br />
0<br />
2<br />
x x dx<br />
1 2<br />
3 3<br />
2 x 2<br />
x <br />
x 3x x 3x<br />
3 3 <br />
5 7<br />
4<br />
3 3<br />
2 3 4<br />
អំងរតព្កាលក្ំណត់ខាងរព្កាម<br />
0 1<br />
ក្.<br />
2<br />
<br />
0<br />
<br />
max x,<br />
x<br />
2<br />
<br />
dx<br />
រយើងសិក្ោសញ្ញា ព្តីធា<br />
<br />
2<br />
f x x x<br />
រលើចរ ៃ ោះ 0,2<br />
<br />
របើ<br />
xx<br />
2<br />
0<br />
រ<br />
ោះ<br />
ាងរាងសញ្ញា ព្តីធា<br />
x1 0<br />
f<br />
x <br />
ឬ<br />
x2 1<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 141
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ព្កាបាងអៃុរមៃ៏បង្ហា ញខាងារ ំ<br />
រយើងបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
3<br />
2 1 2<br />
2 2<br />
max , <br />
x x dx xdx x dx<br />
0 0 1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
3<br />
2<br />
x x<br />
<br />
2 3<br />
<br />
2<br />
ែូរចនោះ max x,<br />
x <br />
2 2<br />
ខ. min 2 , 4 <br />
0<br />
រយើងាង<br />
0<br />
55<br />
6<br />
x x x x dx<br />
<br />
2<br />
f x x 2x<br />
0 1<br />
55<br />
dx <br />
6<br />
ៃិង<br />
សិក្ោទីាំងព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />
របើ<br />
<br />
2<br />
g x x 4x<br />
f<br />
ៃិង g<br />
2 2<br />
2 4 <br />
f x g x x x x x<br />
g x 0<br />
f x<br />
សញ្ញា ព្តីធា<br />
<br />
f x<br />
ាងរាងសញ្ញា ព្តីធា<br />
<br />
2<br />
2x<br />
6<br />
<br />
x<br />
2x x3<br />
រ<br />
<br />
g x<br />
ោះ<br />
<br />
f x<br />
<br />
<br />
<br />
2x x3 0<br />
0,3<br />
រលើចរ ៃ ោះ <br />
<br />
g x<br />
ឬ x 0 ៃិង x 3<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 142
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />
ព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />
f<br />
f<br />
x<br />
<br />
សថ ិតរៅរលើព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />
<br />
g x<br />
x សថ ិតរៅរព្កាមព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />
ចំរ<br />
ោះ<br />
,0 3,<br />
<br />
x <br />
g x<br />
ចំរ ោះ x 0,3<br />
+ព្កាបាងអៃុរមៃ៏បង្ហា ញខាងារ ំ<br />
រយើងបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
3 3<br />
<br />
ែូរចនោះ<br />
៣៣.+បង្ហា ញថា<br />
2 2 2<br />
<br />
min x 2 x, x 4x dx x 4x dx<br />
0 0<br />
<br />
3<br />
x<br />
2x<br />
3<br />
9 18<br />
9<br />
3<br />
2 2<br />
min x 2 x, x 4x dx 9<br />
<br />
0<br />
3 2<br />
x x x x x<br />
<br />
2<br />
2 2 1 2<br />
2<br />
3<br />
0<br />
រយើងមាៃ<br />
3 2<br />
x x x<br />
2 2<br />
x x <br />
2<br />
( 2x<br />
1) 2<br />
xx <br />
2<br />
( 1) 2<br />
រិត<br />
+ទញរណ<br />
៣៤.រណ<br />
រយើងបាៃ<br />
ែូរចនោះ<br />
អំងរតព្កាល<br />
2 3 2<br />
<br />
0<br />
I <br />
2 3 2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 143<br />
<br />
x 2x x 2<br />
dx<br />
3<br />
( x 1)<br />
I <br />
0<br />
x 2x x 2<br />
dx<br />
3<br />
x 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
<br />
0<br />
2<br />
<br />
0<br />
xx ( 1) 2<br />
dx<br />
3<br />
x 1<br />
<br />
x 2<br />
<br />
x1 ( x1)<br />
3<br />
<br />
dx<br />
<br />
2<br />
1 2<br />
1<br />
<br />
x1 ( x1)<br />
0 <br />
6<br />
x ln x1<br />
<br />
( x 1)<br />
3<br />
<br />
dx<br />
<br />
2<br />
2<br />
0<br />
6 22<br />
2 ln 3 6 ln 3<br />
9 3<br />
x 2x x 2<br />
dx<br />
3<br />
x 1<br />
2 3 2<br />
<br />
0<br />
អំងរតព្កាល<br />
<br />
Ik<br />
<br />
<br />
k<br />
2 x<br />
x e dx<br />
0<br />
22<br />
ln 3<br />
3
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
2<br />
ាងu<br />
x រ ោះ du 2xdx<br />
រហើយ<br />
រយើងបាៃ<br />
+ ក្លីមីត<br />
I k<br />
k<br />
<br />
x<br />
x<br />
v e dx e<br />
k<br />
2 x 2 x k<br />
x<br />
I x e dx x e 2 xe dx<br />
k<br />
<br />
0<br />
0 0<br />
ររល k <br />
ាមសំណៃួ ខាងរលើររបាៃ<br />
៣៥.ក្.បង្ហា ញតនមៃរិតនៃ c<br />
រយើងមាៃ<br />
ខ.សំៃួ ែដែលចំរ<br />
1<br />
0<br />
រយើងមាៃ<br />
ឬ<br />
ឬ<br />
1<br />
6<br />
1<br />
0<br />
<br />
k<br />
2 x k<br />
x k<br />
x<br />
x e 2xe 2 e dx<br />
0 0<br />
0<br />
<br />
<br />
2 x x x<br />
( x e 2xe 2 e ) k<br />
0<br />
2 k k k<br />
k e ke e <br />
2 2 2<br />
<br />
2 <br />
lim lim k <br />
2 k <br />
I 2 k<br />
k<br />
k e ke e 2 2<br />
k<br />
k<br />
0;1<br />
រៅចរ ៃ ោះ <br />
1<br />
1<br />
x dx c <br />
2 2<br />
ែូរចនោះ តនមៃរិតនៃ c<br />
ោះសមភារ<br />
1<br />
0<br />
2<br />
1<br />
0<br />
ដែល<br />
សមមូល<br />
ឬ<br />
ឬ<br />
1<br />
1<br />
x dx ( c )<br />
2 2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
x dx c <br />
2 2<br />
0<br />
1 1<br />
x x c <br />
2 2<br />
1<br />
2<br />
1 2 2 1<br />
1 1 0 0<br />
c<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
1<br />
c 0<br />
2<br />
0;1<br />
រៅចរ ៃ ោះ <br />
រ<br />
រឺ<br />
ោះ<br />
2 2<br />
1 1<br />
x dx c<br />
<br />
2 2 <br />
2 1<br />
2 1<br />
x x dx c c <br />
4 <br />
4<br />
1<br />
3 2 2<br />
1 1 1 1<br />
x x x c c <br />
3 2 4 4<br />
2<br />
c c ឬ<br />
ែូរចនោះ តនមៃនៃ c<br />
៣៦.ក្.ក្ំណត់តនមៃ<br />
<br />
0<br />
2<br />
6c<br />
6c<br />
1 0<br />
2<br />
0<br />
1<br />
c <br />
2<br />
1<br />
c <br />
2<br />
3<br />
រ ោះ c 1 រព្ ោះ c 0,1<br />
3<br />
3<br />
រឺ c 1<br />
3<br />
0;1<br />
រៅចរ ៃ ោះ <br />
ៃិង ដែលចំរ<br />
ោះព្រប់ចំៃួៃរិត<br />
x<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 144
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ររមាៃ<br />
x<br />
1 e<br />
<br />
<br />
x<br />
1e<br />
1e<br />
ក្រៃោមខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
ររទញបាៃ<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
1<br />
ែូរចនោះ តនមៃ<br />
<br />
x<br />
រ<br />
ោះ<br />
1<br />
x<br />
1 e<br />
<br />
<br />
x<br />
1e<br />
1e<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
e <br />
x<br />
1<br />
e<br />
ៃិង ដែលចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត x<br />
x<br />
រឺ<br />
1 , 1<br />
ខ.រណ ព្ក្ឡាននៃដននក្បៃង់ដែលរូសឆូតរៅក្ន ុងតព្មុយ<br />
អ តូណ រម xOy<br />
<br />
ាមព្កាបររបាៃព្ក្ឡាននៃដ នក្បៃង់ដែលរូសឆូតជាអំងរតព្កាល<br />
នៃអៃុរមៃ៏<br />
1<br />
y <br />
1 e<br />
x<br />
0,1<br />
រៅចរ ៃ ោះ <br />
1<br />
dx<br />
1<br />
x 1<br />
ln 1 e ln<br />
x<br />
1<br />
e<br />
0 2<br />
0<br />
e<br />
S ឯក្ាននៃ<br />
៣៧. ក្. ស រស f x ជារាង f x<br />
ររមាៃ<br />
f<br />
ក្រៃោម<br />
រោយ<br />
x<br />
f<br />
f<br />
A B C<br />
<br />
x x1 x 1<br />
x<br />
f<br />
x<br />
ររទញបាៃ<br />
2<br />
អចស រស រៅជា<br />
x<br />
<br />
A B C<br />
<br />
x x1 x 1<br />
2 2<br />
2 1 <br />
<br />
<br />
2<br />
A x x B x x Cx<br />
<br />
2<br />
x x1<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
A B x A B C x A<br />
2<br />
5x<br />
20x6<br />
3 2<br />
x 2x x<br />
3 2<br />
x 2x x<br />
<br />
ដែល<br />
AB ,<br />
2<br />
2<br />
5x<br />
20x6<br />
A B x 2A B C x A<br />
3 2 <br />
3 2<br />
x 2x x x 2x x<br />
រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />
AB<br />
5<br />
<br />
2A B C 20 រ<br />
<br />
A<br />
6<br />
A<br />
6<br />
<br />
ោះ B<br />
1<br />
<br />
C<br />
9<br />
ៃិង C<br />
ជាចំៃួៃដែលព្តូវក្ំណត់<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 145
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ែូរចនោះ ចំៃួៃរេ A<br />
6 , B 1 ៃិង<br />
ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />
ររបាៃ<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
I <br />
<br />
2<br />
5x<br />
20x6<br />
3 2<br />
x 2x x<br />
C 9<br />
2<br />
5x<br />
20x6<br />
3 2<br />
x 2x x<br />
<br />
I <br />
dx f x dx<br />
<br />
2<br />
5x<br />
20x6<br />
3 2<br />
x 2x x<br />
៣៨.ក្.បង្ហា ញថា ចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត x ររមាៃ<br />
រយើងមាៃ<br />
dx<br />
e e e e<br />
<br />
x<br />
x<br />
1e<br />
1e<br />
2x 2x x x<br />
<br />
<br />
ដែល<br />
dx<br />
f<br />
x<br />
6 1 9<br />
<br />
<br />
x x1 x 1<br />
2<br />
6 1 9<br />
<br />
x x1 x 1<br />
<br />
dx<br />
<br />
9<br />
6ln x ln x 1<br />
c<br />
x 1<br />
9<br />
6ln x ln x 1<br />
c<br />
x 1<br />
x x<br />
e 1<br />
e<br />
x<br />
e<br />
<br />
x<br />
1e<br />
1e<br />
x<br />
x e<br />
e<br />
<br />
1 e<br />
ែូរចនោះ ចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត x ររមាៃ<br />
ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />
ររបាៃ<br />
ែូរចនោះ J <br />
I <br />
៣៩. ររឲ្យអៃុរមៃ៍<br />
1 2x<br />
e<br />
<br />
1 x<br />
e<br />
0<br />
1 2x<br />
e<br />
<br />
1 x<br />
e<br />
0<br />
f<br />
dx<br />
J <br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
x<br />
1 2x<br />
e<br />
<br />
1 x<br />
e<br />
0<br />
<br />
e<br />
<br />
x<br />
<br />
0<br />
1<br />
dx<br />
x<br />
e<br />
e<br />
x<br />
<br />
<br />
e ln 1<br />
e<br />
x<br />
2x<br />
x<br />
e x e<br />
e<br />
<br />
x<br />
1e<br />
1e<br />
2x<br />
x<br />
e x e<br />
e<br />
<br />
x<br />
1e<br />
1e<br />
x<br />
<br />
dx<br />
<br />
x<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
e ln 1 e 1<br />
ln 2<br />
2<br />
e 1<br />
ln 1 e<br />
2<br />
dx e 1<br />
ln 1 e<br />
ក្ំណត់រោយ<br />
f<br />
<br />
x<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
2<br />
3x<br />
5x2<br />
<br />
x x1<br />
2<br />
2<br />
ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />
ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />
x<br />
x<br />
ចំរ ោះព្រប់<br />
x0, x1<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 146
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ក្.ក្ំណត់ចំៃួៃរិត abc , , រែើមបីឲ្យបាៃ<br />
ររមាៃ<br />
ក្រៃោម<br />
f<br />
រោយ<br />
f<br />
ររបាៃ<br />
<br />
x<br />
<br />
f<br />
a b c<br />
<br />
x x1 x 1<br />
2<br />
x អចស រស រៅជា<br />
<br />
x<br />
<br />
f<br />
x<br />
<br />
ចំរ<br />
f<br />
<br />
x<br />
ោះព្រប់<br />
2 2<br />
2 1 <br />
<br />
<br />
a b c<br />
<br />
x x1 x 1<br />
x0, x1<br />
a x x b x x cx<br />
<br />
2<br />
x x1<br />
<br />
<br />
2<br />
3x<br />
5x<br />
2<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
2<br />
x<br />
x1<br />
2<br />
3x<br />
5x2<br />
a b x a b c x a<br />
<br />
x x1<br />
<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<br />
x<br />
x <br />
a b x a b c x a<br />
2 <br />
2<br />
x x 1 1<br />
រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />
ែូរចនោះ ចំៃួៃរេ<br />
ខ.រណ<br />
ររបាៃ<br />
ab3<br />
<br />
2a b c 5<br />
<br />
a<br />
2<br />
3<br />
2<br />
រ<br />
a 2, b<br />
5<br />
<br />
I f x dx<br />
ោះ<br />
ៃិង<br />
a<br />
2<br />
<br />
b<br />
5<br />
<br />
c<br />
4<br />
c 4<br />
ដែល<br />
3 3<br />
2 5 4 <br />
I f xdx dx<br />
2<br />
<br />
x x 1<br />
2 2<br />
x 1<br />
<br />
<br />
4 <br />
<br />
<br />
2ln x 5ln x1<br />
<br />
<br />
x 1<br />
<br />
f<br />
<br />
3<br />
2<br />
x<br />
2<br />
2 5 4<br />
<br />
x x1 x 1<br />
ចំរ ោះព្រប់ x0, x<br />
1<br />
2<br />
ែូរចនោះ<br />
3<br />
2<br />
<br />
I f x dx<br />
7ln 2 2ln 3 2<br />
7ln 2 2ln 3 2<br />
៤០. ក្.ក្ំណត់ចំៃួៃរិត A ៃិង B រែើមបីឲ្យបាៃ<br />
<br />
f x A <br />
Be<br />
x<br />
2<br />
1<br />
e<br />
x<br />
ចំរ ោះព្រប់ ចំៃួៃរិត x<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 147
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ររមាៃ<br />
ក្រៃោម<br />
រោយ<br />
<br />
f x A <br />
f<br />
ររបាៃ<br />
x<br />
f<br />
e<br />
Be<br />
x<br />
x<br />
1<br />
e 2<br />
ចំរ<br />
អចស រស រៅជា<br />
f<br />
x<br />
2x<br />
<br />
e<br />
1<br />
e<br />
x<br />
e<br />
<br />
x<br />
x<br />
<br />
2x<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
ោះព្រប់ចំៃួៃរិត x<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
x x x<br />
A 1 2e e Be<br />
<br />
x<br />
1<br />
e<br />
<br />
e<br />
1<br />
e<br />
1<br />
<br />
<br />
2x<br />
x<br />
Ae 2A B e A<br />
x<br />
x<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
e<br />
<br />
2x<br />
x<br />
Ae 2A B e A<br />
<br />
x<br />
1<br />
e<br />
រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />
ែូរចនោះ ចំៃួៃរេ<br />
ខ.រណ<br />
A<br />
1<br />
<br />
2AB1<br />
A 1 ៃិង<br />
អំងរតព្កាលក្ំណត់<br />
ាមសព្មាយខាងរលើររបាៃ<br />
1<br />
0<br />
រ<br />
ោះ<br />
x<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
A<br />
1<br />
<br />
B<br />
1<br />
B 1 ដែល<br />
1<br />
0<br />
<br />
J f x dx<br />
<br />
J f x dx<br />
<br />
1<br />
<br />
0<br />
1<br />
<br />
x<br />
<br />
e<br />
1<br />
<br />
<br />
1<br />
e<br />
1<br />
<br />
0 <br />
<br />
x<br />
x<br />
e dx<br />
1<br />
e<br />
x<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
f<br />
<br />
dx<br />
<br />
<br />
x<br />
1<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
u 1e<br />
x<br />
រ<br />
ោះររបាៃ<br />
du <br />
x<br />
e dx<br />
e<br />
x<br />
x<br />
1<br />
e 2<br />
+ចំរ<br />
ោះ<br />
x 0<br />
រ<br />
ោះ<br />
u 2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 148
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
+ចំរ ោះ x 1 រ ោះ u 1<br />
e<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ររបាៃ<br />
1<br />
0<br />
1 x 1e<br />
1 3<br />
1 e<br />
e<br />
J f x dx 2 1 2 1<br />
ែូរចនោះ<br />
1<br />
0<br />
1e<br />
e dx du 1 e 1<br />
<br />
x<br />
2 <br />
2<br />
0 1<br />
e u u<br />
2<br />
2<br />
21 e<br />
e e<br />
3<br />
e<br />
J <br />
f xdx<br />
<br />
21<br />
e<br />
៤១.ក្. បង្ហា ញថា មាៃចំៃួៃរិត a<br />
f<br />
<br />
ៃិង b<br />
a b<br />
<br />
2x3 (2x3)<br />
<br />
2<br />
x<br />
<br />
ដែល<br />
f<br />
<br />
x<br />
a b<br />
<br />
2x<br />
3 2x<br />
3<br />
2<br />
3 <br />
រយើងមាៃ<br />
ក្ំណត់រលើ , <br />
2 <br />
a2x 3<br />
b<br />
ររបាៃក្រៃោមខាងរលើអចស រស រៅជា f x<br />
<br />
2<br />
(2x<br />
3)<br />
ដតរោយ<br />
f<br />
x 2<br />
(2x<br />
3)<br />
x <br />
2<br />
x 2 2ax 3a b<br />
រយើងបាៃ <br />
2 2<br />
(2x3) (2x<br />
3)<br />
រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />
ែូចរៃោះ<br />
1<br />
a <br />
2<br />
ៃិង<br />
ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />
រយើងបាៃ<br />
ែូចរៃោះ<br />
1<br />
<br />
0<br />
1<br />
b <br />
2<br />
I <br />
1<br />
<br />
1 1<br />
<br />
0<br />
<br />
x 2<br />
2x<br />
3<br />
<br />
2<br />
dx<br />
x 2 1 1 1<br />
dx <br />
<br />
<br />
2x3 2 2x<br />
3 2x3<br />
2 2<br />
0 0<br />
<br />
<br />
2a<br />
1<br />
<br />
3a<br />
b 2<br />
<br />
<br />
dx<br />
<br />
<br />
1 1 1<br />
<br />
ln 2x<br />
3<br />
2 <br />
<br />
<br />
2 2 2x<br />
3<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
1 <br />
ln 1 1 (ln 3 )<br />
4<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
2<br />
ln 3<br />
<br />
4<br />
3<br />
x 2 1 2 <br />
dx ln 3<br />
2 <br />
2x<br />
3 4<br />
3<br />
0<br />
រ<br />
2ax 3a b<br />
<br />
2<br />
(2x<br />
3)<br />
ោះ<br />
1<br />
a <br />
2<br />
ៃិង<br />
1<br />
b <br />
2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 149
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
៤២.ររក្ំណត់អៃុរមៃ៍<br />
f<br />
រោយ<br />
f<br />
x<br />
ក្. ក្សំណុំ ដែៃក្ំណត់ D នៃអៃុរមៃ៍ f ។<br />
អៃុរមៃ៍ f មាៃៃ័យ កាលណា 3 1 0<br />
<br />
x <br />
ែូរចនោះ សំណុំ ដែៃក្ំណត់នៃអៃុរមៃ៍<br />
ខ.បង្ហា ញថា មាៃចំៃួៃរិត a , b ៃិង c ដែល<br />
ររមាៃ<br />
<br />
f x ax b <br />
c<br />
3x<br />
1 2<br />
អៃុរមៃ៍ខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
រោយ<br />
ររបាៃ<br />
f<br />
<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
f<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
3 2<br />
18x 3x 4x<br />
6<br />
3x<br />
1<br />
3 2<br />
18x 3x 4x<br />
6<br />
<br />
3x<br />
1<br />
2<br />
2<br />
<br />
3 2<br />
18x 3x 4x<br />
6<br />
f<br />
<br />
រឺ<br />
<br />
3x<br />
1<br />
ឬ<br />
2<br />
1<br />
x <br />
3<br />
D <br />
<br />
2<br />
9 6 1<br />
<br />
1<br />
<br />
3<br />
។<br />
f x ax b <br />
ax b x x c<br />
<br />
3x<br />
1<br />
2<br />
<br />
2<br />
3x<br />
1<br />
3 2<br />
9 6 9 6<br />
c<br />
3x<br />
1 2<br />
ax a b x a b x b c<br />
ចំរ ោះព្រប់ x<br />
D<br />
<br />
2<br />
3x<br />
1<br />
3 2<br />
9 6 9 6<br />
ax a b x a b x b<br />
9a<br />
18<br />
<br />
6a<br />
9b<br />
3<br />
រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររបាៃ រ<br />
a<br />
6b<br />
4<br />
<br />
bc6<br />
ែូរចនោះ មាៃចំៃួៃរិត<br />
a 2<br />
,<br />
b 8 ៃិង 2<br />
c ដែល<br />
រ. ក្អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍ f រលើដែៃក្ំណត់ D<br />
ាមសព្មាយខាងរលើររបាៃអៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវនៃ f រឺ<br />
<br />
<br />
<br />
ោះ<br />
f x 2x<br />
8<br />
a<br />
2<br />
<br />
b<br />
8<br />
<br />
c<br />
2<br />
2<br />
3x<br />
1 2<br />
F x f x dx c<br />
ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />
2 <br />
2x 8 dx c<br />
<br />
3x<br />
1 2<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 150
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ែូរចនោះ អៃុរមៃ៍ព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍<br />
៤៣.ក្. បង្ហា ញថា មាៃចំៃួៃរិត a , b ៃិង c<br />
ររមាៃ<br />
ចំរ<br />
ោះ<br />
2x 1<br />
a b c<br />
<br />
1 1<br />
<br />
<br />
x 2 x x x 2 x<br />
x 1<br />
ៃិង<br />
x 0<br />
f<br />
x 8x c<br />
3 3x<br />
1<br />
រឺ<br />
2 2<br />
<br />
<br />
F x x 8x c<br />
3 3x<br />
1<br />
រែើមបីឲ្យ<br />
<br />
2 2<br />
ក្រៃោមខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
2x 1<br />
a b c<br />
<br />
1 1<br />
<br />
<br />
x 2 x x x 2 x<br />
រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងរី ររបាៃ<br />
ែូរចនោះ មាៃចំៃួៃរិត<br />
ខ.រណ<br />
a 1<br />
អំងរតព្កាល<br />
,<br />
1<br />
a x x b x cx<br />
<br />
2<br />
x x1<br />
<br />
b 1ៃិង<br />
I <br />
ាមសព្មាយខាងរលើររបាៃ<br />
ែូរចនោះ<br />
2<br />
1<br />
<br />
I <br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
2<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2x 1<br />
a b c<br />
<br />
1 1<br />
x 2 x x x 2 x<br />
2 2<br />
2<br />
<br />
2<br />
x x1<br />
a c x a b x b<br />
<br />
ac<br />
0<br />
<br />
a<br />
b 2<br />
<br />
b<br />
1<br />
c 1 ដែល<br />
2x<br />
1<br />
dx<br />
2<br />
x x1<br />
<br />
<br />
<br />
2x<br />
1<br />
dx<br />
2<br />
x x1<br />
2<br />
1 1 1 <br />
<br />
2 <br />
x x x <br />
1 <br />
<br />
2x<br />
1 1 4<br />
I dx ln<br />
2<br />
x x1 2 3<br />
៤៤. ក្. បង្ហា ញថា មាៃចំៃួៃរិត a , b ៃិង c<br />
1 dx<br />
1 1 4<br />
ln x ln x1 ln<br />
x<br />
2 3<br />
2<br />
1<br />
<br />
រ<br />
ោះ<br />
<br />
<br />
a<br />
1<br />
<br />
b<br />
1<br />
<br />
c<br />
1<br />
2x<br />
1 1 1 1<br />
<br />
1 1<br />
x 2 x x x 2 x<br />
រែើមបីឲ្យបាៃ<br />
x 1 x 2 x<br />
x 1<br />
<br />
ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />
2<br />
x 2x 2<br />
a b c<br />
ចំរ<br />
1 x2<br />
2 2<br />
ោះ<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 151
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ព្រប់ x ដែល x 2 , x<br />
1<br />
2<br />
x 2x 2<br />
a b c<br />
ររមាៃ<br />
x 1 x 2 x<br />
x 1<br />
<br />
<br />
1 x2<br />
2 2<br />
ក្រៃោមខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
2<br />
x 2x 2<br />
a b c<br />
<br />
1 x2<br />
x 1 x 2 x<br />
x 1<br />
2 2<br />
រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងរី ររបាៃ<br />
ែូរចនោះ មាៃចំៃួៃរិត<br />
1<br />
a <br />
3<br />
ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />
,<br />
b 1ៃិង<br />
I <br />
ាងសព្មាយខាងរលើររបាៃ<br />
I <br />
0 2<br />
<br />
1<br />
0 2<br />
<br />
1<br />
x<br />
x<br />
1 2 2 1<br />
2<br />
x1 x2<br />
a x x b x c x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
a x x 2 bx 2b cx 2cx c<br />
2<br />
x1 x2<br />
<br />
<br />
2<br />
a c x a b 2c x 2a 2b c<br />
2<br />
c <br />
3<br />
2x2<br />
2<br />
x1 x2<br />
2x2<br />
2<br />
x1 x2<br />
dx<br />
2<br />
x1 x2<br />
ac1<br />
<br />
a b 2c<br />
2<br />
<br />
a 2b c 2<br />
ដែល<br />
dx<br />
0 1 1 2<br />
<br />
3 1 3 2<br />
1<br />
2<br />
x<br />
x 1 x<br />
<br />
1 1 2<br />
ln x1 ln x<br />
2<br />
3 x 1 3<br />
x<br />
2<br />
រ<br />
ោះ<br />
2<br />
1<br />
<br />
a <br />
3 <br />
b<br />
1<br />
2<br />
c <br />
3<br />
2x2 1 1 2<br />
<br />
2 2<br />
x 1 x 2 3 x1 x 1 3 x2<br />
0<br />
1<br />
<br />
dx<br />
<br />
2 1 1 1 1<br />
1 ln 2 ln 2 ln 2<br />
3 2 3 2 2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 152
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ែូរចនោះ<br />
I <br />
0 2<br />
<br />
1<br />
x<br />
2x2<br />
2<br />
x1 x2<br />
៤៥.ក្. ក្ចំៃួៃរិត A ៃិង B ដែល<br />
ររមាៃ<br />
<br />
g x<br />
A B<br />
<br />
x 3 3<br />
x 2<br />
dx<br />
ក្រៃោមខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
រោយ<br />
<br />
g x<br />
<br />
2x<br />
3<br />
x 3 2<br />
<br />
g x<br />
1 1<br />
ln 2<br />
2 2<br />
<br />
g x<br />
A B<br />
<br />
x 3 3<br />
x 3 2<br />
A B<br />
<br />
x 3 3<br />
x 2<br />
Ax 3A B<br />
<br />
ររទញបាៃ<br />
រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងរី ររបាៃ<br />
ែូរចនោះ ចំៃួៃរិត<br />
A 2 ៃិង 3<br />
ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />
ាមសព្មាយខាងរលើររបាៃ<br />
រោយ<br />
F<br />
<br />
4 0<br />
រ<br />
<br />
F x<br />
2x<br />
3<br />
2<br />
x<br />
3<br />
B ដែល g x<br />
<br />
F x<br />
ោះររបាៃ<br />
<br />
<br />
F x<br />
x 2<br />
Ax 3A B<br />
<br />
x 3<br />
2<br />
A<br />
2<br />
<br />
3A<br />
B 3<br />
<br />
g x dx<br />
<br />
g x dx<br />
<br />
g x dx<br />
<br />
2 3<br />
<br />
<br />
x 3 3<br />
រ<br />
2 3<br />
<br />
x 3 3<br />
x 2<br />
ោះ<br />
x 2<br />
រោយែឹងថា<br />
<br />
dx<br />
<br />
3<br />
2ln x 3 c<br />
x 3<br />
3<br />
2ln 4 3 0<br />
4<br />
3 c <br />
ដែល<br />
3<br />
ែូរចនោះ<br />
2ln x 3 3<br />
x 3<br />
a b<br />
៤៦.ក្. ក្ចំៃួៃរិត a ៃិង b រែើមបីឲ្យអៃុរមៃ៍ g x<br />
<br />
x 2 x 1<br />
ររមាៃ<br />
<br />
g x<br />
a b<br />
<br />
x 2 1<br />
x 2<br />
រ<br />
F<br />
A<br />
2<br />
<br />
B<br />
3<br />
<br />
4 0<br />
c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />
ោះទញបាៃ<br />
2<br />
c 3<br />
ចំរ ោះ x 2 ៃិង x 1<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 153
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ក្រៃោមខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
រោយ<br />
ររបាៃ<br />
<br />
g x<br />
<br />
<br />
g x<br />
2<br />
3x<br />
10x5<br />
a b<br />
<br />
x 2 1<br />
<br />
<br />
2<br />
x1 x2<br />
2<br />
3x<br />
10x5<br />
<br />
x 2<br />
<br />
2<br />
a x x b x<br />
2 1 2<br />
<br />
2<br />
x1 x2<br />
<br />
2<br />
x1 x2<br />
2<br />
ax 2a b x a 2b<br />
<br />
<br />
2<br />
ax 2a b x a 2b<br />
<br />
2 2<br />
x 1 x 2 x 1 x 2<br />
រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />
ែូរចនោះ ចំៃួៃរិត a ៃិង b រឺ<br />
ខ. រណ<br />
<br />
I x<br />
<br />
g x dx<br />
ាមសព្មាយខាងរលើររបាៃ<br />
រោយែឹងថា<br />
ែូរចនោះ<br />
I<br />
<br />
<br />
I x<br />
<br />
g x dx<br />
<br />
0 4<br />
<br />
I x<br />
<br />
a 3 ៃិង<br />
រោយែឹងថា<br />
3 4<br />
<br />
<br />
x 2 1<br />
x 2<br />
b 4<br />
I<br />
<br />
dx<br />
<br />
4<br />
3ln x 2 c<br />
x 1<br />
រ ោះ<br />
a<br />
3<br />
<br />
2a<br />
b 10<br />
<br />
a<br />
2b<br />
5<br />
<br />
ដែល<br />
0 4<br />
4<br />
3ln 0 2 4<br />
01 c <br />
4<br />
3ln x 2 3ln 2<br />
x 1<br />
<br />
៤៧.ក្.ក្ំណត់ចំៃួៃរិត a ៃិង b រែើមបីឲ្យបាៃ A x<br />
ររមាៃ<br />
<br />
A x<br />
a b<br />
<br />
x 1 1<br />
x<br />
2<br />
ចំរ<br />
ោះ<br />
x 1<br />
<br />
g x<br />
រ ោះ<br />
a b<br />
<br />
x 1 1<br />
រ ោះ<br />
a<br />
3<br />
<br />
b<br />
4<br />
3 4<br />
<br />
x 2 1<br />
x<br />
2<br />
c 3ln 2<br />
ចំរ ោះ<br />
x 2<br />
x 1<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 154
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ក្រៃោមខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
រោយ<br />
<br />
A x<br />
<br />
x 1<br />
x 1 2<br />
ររទញបាៃ<br />
<br />
A x<br />
a b<br />
<br />
x 1 1<br />
ax b a<br />
<br />
x 1<br />
2<br />
x 1<br />
ax b a<br />
ររបាៃ <br />
x1 x1<br />
<br />
a<br />
1<br />
រ<br />
b<br />
a 1<br />
ោះ<br />
2 2<br />
a<br />
1<br />
<br />
b<br />
2<br />
ែូរចនោះ ចំៃួៃរិត a ៃិង b រឺ a 1 ៃិង<br />
ខ.រណ<br />
ររបាៃ<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
I x<br />
<br />
៤៨. ក្. ក្ចំៃួៃរិត<br />
ចំរ<br />
ោះ<br />
ររមាៃ<br />
x 0<br />
<br />
A x dx<br />
<br />
b 2<br />
2<br />
x<br />
2<br />
ដែល<br />
1 2 <br />
I x A x dx <br />
dx<br />
<br />
x 1 x 1<br />
<br />
<br />
h x<br />
Ix<br />
ៃិង<br />
2<br />
ln x1<br />
c<br />
x 1<br />
2<br />
ln x1<br />
c<br />
x 1<br />
a , b ៃិង c<br />
x 1<br />
រែើមបីឲ្យអៃុរមៃ៍<br />
2<br />
4x 7x 5<br />
a b c<br />
<br />
2 3<br />
x 2x x x x 1 1<br />
x<br />
ក្រៃោមខាងលអចស រស រៅជា<br />
<br />
A x<br />
1 2<br />
<br />
x 1 1<br />
x<br />
2<br />
ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />
ដែល c ជាចំៃួៃរេ ណាមួយ<br />
<br />
<br />
<br />
h x<br />
2<br />
2<br />
4x 7x 5<br />
a b c<br />
<br />
2 3<br />
x 2x x x x 1 1<br />
x<br />
2 2<br />
1 2 <br />
2<br />
4x<br />
7x5<br />
2 3 <br />
2 1<br />
a x x b x x cx<br />
x x x x x<br />
រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />
ែូរចនោះ ចំៃួៃរិត<br />
a , b ៃិង c រឺ 5 , 1<br />
<br />
<br />
2<br />
2 <br />
2<br />
x1<br />
x<br />
a b x a b c x a<br />
ac4<br />
<br />
2a b c 7<br />
<br />
a<br />
5<br />
a b ៃិង 2<br />
<br />
2<br />
c ដែល hx<br />
រ<br />
a<br />
5<br />
<br />
ោះ b<br />
1<br />
c 2<br />
5 1 2<br />
x x1 <br />
1<br />
x<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 155
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ខ.រណ k x <br />
ាមសព្មាយខាងរលើររបាៃ<br />
រោយព្កាបាង<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
k x<br />
y<br />
៤៩.ក្.ក្ំណត់ចំៃួៃរិត<br />
ររមាៃ<br />
h x dx រោយែឹងថាព្កាបាង<br />
<br />
k x<br />
<br />
h x dx<br />
5 1 2<br />
<br />
<br />
x x1 1 x<br />
2<br />
<br />
y k x<br />
<br />
dx<br />
<br />
2<br />
5ln x ln 1 x c<br />
1<br />
x<br />
k x<br />
កាត់ាមចំៃុច M 2,2<br />
ររទញបាៃ <br />
<br />
ឬ<br />
h x dx<br />
mn ,<br />
2<br />
x 2 x x 1<br />
2<br />
5ln 2 ln 1 2 2<br />
1<br />
2 c <br />
2<br />
5ln x ln 1 x 4 5ln 2<br />
1<br />
x<br />
ៃិង<br />
p<br />
រែើមបីឲ្យ<br />
2<br />
x 6x 5 m nx p<br />
<br />
2<br />
x 2 x x 1<br />
ក្រៃោមខាងលអចស រស រៅជា<br />
<br />
រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />
ែូរចនោះ ចំៃួៃរិត<br />
ខ.រណ<br />
mn ,<br />
ៃិង<br />
អំងរតព្កាល<br />
2<br />
x 2 x x 1<br />
កាត់ាមចំៃុច<br />
k 2 2<br />
រ ោះ c 4 5ln 2<br />
2<br />
x 6x 5 m nx p<br />
<br />
2<br />
x 2 x x 1<br />
2<br />
1 2 <br />
<br />
2<br />
x 6x5<br />
m x x x nx p<br />
<br />
2 2<br />
x 2 x x 1 x 2 x x 1<br />
p រឺ<br />
I <br />
ាមសព្មាយខាងរលើររបាៃ<br />
I <br />
<br />
m<br />
3 , n 2<br />
1 2<br />
x<br />
6x5<br />
2<br />
<br />
m n x m 2n p x m 2p<br />
2<br />
x 2 x x 1<br />
mn1<br />
<br />
m 2n p 6<br />
<br />
m<br />
2p<br />
5<br />
ៃិង<br />
<br />
2<br />
0 x 2 x x 1<br />
1 2<br />
x<br />
6x5<br />
<br />
2<br />
0 x 2 x x 1<br />
dx<br />
dx<br />
p 1 ដែល<br />
រ<br />
ោះ<br />
m<br />
3<br />
<br />
n<br />
2<br />
<br />
p 1<br />
M<br />
<br />
ចំរ<br />
2<br />
x 2 x x 1<br />
2,2<br />
ោះ<br />
<br />
x 2<br />
2<br />
x 6x 5 3 2x<br />
1<br />
<br />
2<br />
x 2 x x 1<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 156
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
៥០.ក្.រណ<br />
ែូរចនោះ<br />
1 2<br />
0<br />
<br />
1<br />
3 2x<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
2 <br />
x 2 x x 1<br />
0 <br />
3ln x 2 <br />
1<br />
0<br />
1<br />
<br />
<br />
0<br />
dx<br />
<br />
2<br />
x x1<br />
<br />
dx<br />
2<br />
x x1<br />
3ln 2 ln 2<br />
x x 1<br />
1 3ln 2 ln3<br />
0<br />
<br />
x 6x5<br />
I dx 3ln 2 ln 3<br />
រែ ីរវនៃ<br />
ររមាៃ អៃុរមៃ៍<br />
2<br />
x 2 x x 1<br />
f<br />
រលើ<br />
ររបាៃ រែ ីរវនៃអៃុរមៃ៍<br />
ែូរចនោះ<br />
f<br />
x<br />
<br />
ខ.រោយរព្បើសំៃួ ក្.រណ<br />
កា រណ<br />
រ<br />
<br />
<br />
f x ax bx c 1<br />
x<br />
អំងរតព្កាល<br />
ោះររព្តូវក្ំណត់ចំៃួៃរេ<br />
f<br />
2 2<br />
រឺ<br />
<br />
ក្ំណត់រលើ<br />
f x ax bx c x x ax bx c<br />
2 2 2 2<br />
1 1 <br />
2x<br />
<br />
2<br />
2 1<br />
x<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2ax b 1 x ax bx c<br />
2 2<br />
2x b1 x x ax bx c<br />
3 2<br />
3 2 2<br />
1<br />
x<br />
<br />
ax bx a c x b<br />
<br />
3 2<br />
3 2<br />
1<br />
x<br />
2<br />
1<br />
x<br />
ax a b x a c x b<br />
អំងរតព្កាល<br />
I <br />
2<br />
<br />
0<br />
2<br />
<br />
3 3 2<br />
3x 4x 3x<br />
2<br />
dx<br />
2<br />
1<br />
x<br />
3 3 2<br />
3x 4x 3x<br />
2<br />
dx ររព្តូវ ក្ព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍<br />
2<br />
0 1<br />
x<br />
a , b<br />
<br />
g x<br />
ៃិង c<br />
<br />
3 2<br />
3x 4x 3x<br />
2<br />
1<br />
x<br />
ាមសំៃួ ខាងរលើរែើមបីឲ្យ<br />
ររបាៃ f ជាព្រីមីទីវនៃអៃុរមៃ៍ g កាលណា f x g x<br />
ចំរ ោះព្រប់ x <br />
ចំរ ោះព្រប់ x ររបាៃ<br />
<br />
<br />
3ax 3 2bx 2 2a c x b 3x 3 4x 2 3x<br />
2<br />
2<br />
<br />
1x<br />
1x<br />
2 2<br />
f<br />
ជាព្រីមីទីវនៃ g<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 157
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />
រហើយ <br />
f x x 2x 1 1<br />
x<br />
2 2<br />
3a<br />
3<br />
2b<br />
4<br />
<br />
2ac3<br />
<br />
b<br />
2<br />
រ<br />
ោះ<br />
a<br />
1<br />
<br />
b<br />
2<br />
<br />
c<br />
1<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
I <br />
៥១.ក្. បង្ហា ញតនមៃនៃចំៃួៃរិត<br />
3 3 2<br />
3<br />
<br />
3x 4x 3x<br />
2<br />
dx f x<br />
dx<br />
1<br />
x<br />
2<br />
0 0<br />
3 3 2<br />
3x 4x 3x<br />
2<br />
dx <br />
2<br />
0 1<br />
x<br />
a , b<br />
<br />
f<br />
<br />
2 4 2 3<br />
x 3<br />
0<br />
x 2x 1 1<br />
x<br />
<br />
2 2<br />
2 4 2 3<br />
ៃិង c ចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត x<br />
<br />
<br />
0<br />
3<br />
ររមាៃ<br />
4<br />
cos cos 4 cos 2<br />
x a x b x c<br />
ក្រៃោម<br />
4<br />
cos x<br />
អចស រស រៅជា<br />
4 1<br />
cos 2x<br />
<br />
cos x <br />
2 <br />
2<br />
1 1 2cos 2 cos 2<br />
x 2<br />
<br />
<br />
4<br />
1 1 cos 4x<br />
<br />
1 2cos 2x<br />
4 <br />
2 <br />
<br />
<br />
1 1 3<br />
cos 4x cos 2x<br />
8 2 8<br />
4 1 1 3<br />
រយើងបាៃ cos x cos 4x cos 2x<br />
<br />
8 2 8<br />
ំរអយ 1 cos 4x 1 cos 2x 3 a cos 4x bcos 2x c<br />
8 2 8<br />
រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងរី ររទញបាៃ<br />
ែូរចនោះ តនមៃនៃចំៃួៃរិត<br />
a , b<br />
ៃិង c រឺ<br />
1 1 3<br />
a , b , c <br />
8 2 8<br />
1 1 3<br />
a , b , c <br />
8 2 8<br />
x<br />
<br />
ដែល<br />
4 1 1 3<br />
cos x cos 4x cos 2x<br />
<br />
8 2 8<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 158
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />
ាមសព្មាយខាងរលើររបាៃ<br />
<br />
2<br />
J cos<br />
0<br />
4<br />
<br />
x dx<br />
៥២.រណ<br />
ែូរចនោះ<br />
I J<br />
J <br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
ៃិង<br />
cos<br />
<br />
<br />
2 2<br />
4<br />
1 1 3<br />
J cos xdx <br />
<br />
cos 4x cos 2x<br />
dx<br />
8 2 8<br />
4<br />
I J<br />
<br />
<br />
0 0<br />
3<br />
x dx <br />
16<br />
ួចទញ ក្អំងរតព្កាល<br />
1 1 3 <br />
sin 4x sin 2x x<br />
16 4 8 <br />
<br />
1 4 1 2 3 3<br />
sin <br />
sin <br />
.<br />
<br />
<br />
16 2 4 2 8 2 16<br />
I<br />
ៃិង J<br />
<br />
2<br />
0<br />
រយើងមាៃ<br />
រយើងបាៃ<br />
រ<br />
ោះ<br />
I <br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
cos x<br />
dx<br />
sin x<br />
cos x<br />
ៃិង<br />
J <br />
<br />
<br />
2 2<br />
0 0<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
sin<br />
cos x<br />
x<br />
sin<br />
cos x<br />
sin x<br />
I J dx <br />
dx<br />
sin x cos x<br />
sin x cos<br />
x<br />
<br />
I J<br />
<br />
2<br />
រហើយមយ៉ា ងរទៀត<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
sin x<br />
cos x dx<br />
sin x<br />
cos x<br />
1<br />
<br />
2<br />
dx<br />
2<br />
<br />
<br />
2 2<br />
0 0<br />
0<br />
<br />
<br />
dx<br />
x<br />
cos x<br />
sin x<br />
I J dx <br />
dx<br />
sin x cos x<br />
sin x cos<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
cos xsin<br />
x dx<br />
sin x<br />
cos x<br />
d(cos x sin x)<br />
sin x<br />
cos x<br />
ln sin xcos<br />
x<br />
<br />
2<br />
0<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 159
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ាម 1<br />
ៃិង <br />
ែូចរៃោះ<br />
៥៣. ក្. ក្ចំៃួៃរិត a<br />
ររមាៃ<br />
រ<br />
ោះ<br />
I<br />
<br />
ln sin cos ln sin 0 cos0<br />
2 2<br />
J<br />
<br />
0 2<br />
<br />
I<br />
J <br />
2 ររបាៃព្បរ័ៃធសមីកា 2<br />
I J<br />
0<br />
<br />
I J <br />
4<br />
ៃិង b<br />
1 a b<br />
<br />
4 2 2<br />
2<br />
u u u<br />
ក្រៃោមខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
រ<br />
ោះ<br />
ចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត u<br />
1<br />
2<br />
u 4<br />
a u<br />
<br />
រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររទញបាៃ<br />
ែូរចនោះ ចំៃួៃរិត a<br />
ខ. ទញរណ អំងរតព្កាល<br />
+ចំរ<br />
ោះ<br />
I <br />
1<br />
<br />
0<br />
1<br />
dx<br />
2<br />
x 4<br />
ៃិង b រឺ<br />
I <br />
ាមសព្មាយខាងរលើររបាៃ<br />
1<br />
a <br />
4<br />
ៃិង<br />
<br />
<br />
1<br />
1<br />
dx ៃិង<br />
2<br />
x 4<br />
0<br />
<br />
I J <br />
4<br />
ខុសរី<br />
2<br />
2 bu<br />
2<br />
u<br />
<br />
2<br />
2<br />
4<br />
a b u 2a 2b<br />
1<br />
b <br />
4<br />
1 1<br />
J <br />
2 2<br />
0 0<br />
u<br />
4<br />
ab0<br />
<br />
2a2b1<br />
ដែល<br />
<br />
2<br />
<br />
cos<br />
I 1 1<br />
<br />
x 4 dx <br />
<br />
u<br />
4<br />
du<br />
ៃិង 2<br />
រ<br />
ោះ<br />
1 1<br />
a , b <br />
4 4<br />
1 1 1<br />
<br />
4 4 2 4 2<br />
<br />
2<br />
u u u<br />
x<br />
x<br />
2<br />
sin 4<br />
0<br />
1 1<br />
0 0<br />
dx<br />
1 1 1 1<br />
<br />
4<br />
du du<br />
u2 4<br />
u2<br />
1 1<br />
ln u 2 ln u<br />
2<br />
4 4<br />
1 1<br />
0 0<br />
1 1<br />
<br />
4 4<br />
1<br />
ln 3<br />
4<br />
ln 1 ln 2 ln 3 ln 2 <br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 160
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
+ចំរ<br />
ោះ<br />
J <br />
<br />
2<br />
<br />
cos x<br />
<br />
2<br />
sin x 4<br />
0<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
u sin x<br />
រ<br />
ោះ<br />
<br />
+របើ x រ ោះ u 1<br />
2<br />
+របើ x 0 រ ោះ u 0<br />
រយើងបាៃ<br />
ែូរចនោះ<br />
៥៤.ក្. ក្ចំៃួៃរិត<br />
ររមាៃ<br />
J <br />
1<br />
<br />
0<br />
I J <br />
dx<br />
du cos xdx<br />
1<br />
du<br />
2<br />
u 4<br />
1 ln 3<br />
4<br />
a , b ៃិង c<br />
2<br />
u 1<br />
c<br />
au b <br />
2u1 2u1<br />
ក្រៃោមខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
1<br />
ln 3<br />
4<br />
ចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត u<br />
2<br />
u 1<br />
2u<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
ខុសរី<br />
2 1<br />
2u<br />
1<br />
1<br />
2<br />
au b u c<br />
2<br />
2 2<br />
au au bu b c<br />
2u<br />
1<br />
<br />
2<br />
2 2<br />
រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររទញបាៃ<br />
ែូរចនោះ ចំៃួៃរិត a ,<br />
ខ. ទញរណ អំងរតព្កាល<br />
+ចំរ<br />
ោះអំងរតព្កាល<br />
b ៃិង c រឺ<br />
I <br />
0 2<br />
1<br />
au b a u c b<br />
<br />
2u<br />
1<br />
1 1 5<br />
a , b , c<br />
2 4 4<br />
x 1<br />
I dx ៃិង<br />
2x<br />
1<br />
0 2<br />
<br />
1<br />
x 1<br />
dx<br />
2x<br />
1<br />
2a<br />
1<br />
<br />
2ba<br />
0<br />
<br />
c<br />
b 1<br />
J <br />
0<br />
<br />
<br />
2<br />
ដែល<br />
រ<br />
x<br />
ោះ<br />
3<br />
cos<br />
dx<br />
1<br />
2sin x<br />
<br />
<br />
a <br />
<br />
b<br />
<br />
<br />
c<br />
<br />
<br />
1<br />
2<br />
1<br />
4<br />
5<br />
4<br />
2<br />
u 1 1 1 5<br />
u <br />
2u1 2 4 4 2u1<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 161
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
+ចំរ<br />
អំងរតព្កាលអចស រស រៅជា<br />
រយើងរណ<br />
ាង<br />
ោះអំងរតព្កាល<br />
u<br />
sin x<br />
+របើ<br />
+របើ<br />
ររបាៃ<br />
ែូរចនោះ<br />
x 0<br />
J <br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
cos<br />
0 2<br />
0<br />
x 1 1 1 5 1 <br />
dx x dx<br />
2x1 2 4 4 2x1<br />
<br />
1 1<br />
0<br />
1 2 1 5<br />
x x ln 2 x 1<br />
<br />
4 4 8<br />
1<br />
1 1 5 5<br />
0 ln 3 ln 3<br />
4 4 8 8<br />
3<br />
1<br />
2sin<br />
x<br />
x<br />
dx<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
រ<br />
<br />
x <br />
2<br />
J <br />
រ<br />
ោះ<br />
រ<br />
ោះ<br />
du cos xdx<br />
u 0<br />
ោះ<br />
<br />
u 1<br />
0 3 0 2<br />
<br />
J <br />
៥៥.ក្. ក្ចំៃួៃរិត a<br />
ររមាៃ<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
<br />
<br />
cos x cos x cos xdx<br />
dx <br />
12sin x<br />
<br />
12sin<br />
x<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
1<br />
sin<br />
0 2<br />
<br />
1<br />
2<br />
x<br />
1<br />
2sin x<br />
3<br />
cos x 5<br />
dx ln 3<br />
1<br />
2sin x 8<br />
ៃិង b<br />
1 a b<br />
<br />
x x 1 x x 1<br />
អចស រស រៅជា<br />
<br />
cos xdx<br />
u 1 5<br />
du ln 3<br />
2u<br />
1 8<br />
<br />
ដែលចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត x<br />
1 a x 1<br />
bx<br />
<br />
x x 1 x x 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a b x a<br />
<br />
x x1<br />
រព្បៀរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររទញបាៃ<br />
<br />
ខុសរី 0<br />
a<br />
1<br />
រ<br />
a<br />
b 0<br />
ៃិង<br />
ោះ<br />
1<br />
a<br />
1<br />
<br />
b<br />
1<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 162
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ែូរចនោះ ចំៃួៃរិត a ៃិង b រឺ<br />
a 1ៃិង<br />
ខ.រោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្ចូ រណ<br />
b 1 ដែល<br />
I <br />
3<br />
<br />
1<br />
<br />
ln x<br />
1 <br />
1 <br />
1<br />
x x 1 x x 1<br />
<br />
x 1<br />
b<br />
ាមអំងរតព្កាលរោយដ នក្ <br />
ាង<br />
g<br />
x<br />
<br />
f x<br />
<br />
ln<br />
1<br />
x 1 2<br />
x<br />
រ<br />
រ<br />
ោះររបាៃ<br />
ោះររបាៃ<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលរៅជា<br />
៥៦.ក្. ក្ចំៃួៃរិត<br />
រយើងមាៃ<br />
<br />
x x<br />
ែូរចនោះ<br />
a , b<br />
1<br />
2<br />
<br />
1<br />
3<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
dx<br />
b<br />
b<br />
a <br />
a<br />
a<br />
f x g x dx f x g x f x g x dx<br />
f<br />
<br />
g x<br />
x<br />
1<br />
<br />
x<br />
1<br />
<br />
x 1<br />
3 3 3<br />
ln x ln x dx<br />
I dx <br />
<br />
2<br />
x 1 x 11<br />
x x 1<br />
1 1<br />
<br />
<br />
3<br />
1 1 1 <br />
ln 3 4<br />
<br />
<br />
x x1 dx<br />
<br />
1<br />
1<br />
ln 3 ln x ln x<br />
1<br />
4<br />
3<br />
ln 3 ln 2<br />
4<br />
ln x 3<br />
I dx <br />
2 ln 3 ln 2<br />
x 1<br />
4<br />
ៃិង c<br />
ដែលចំរ<br />
a bx c<br />
<br />
2<br />
x x 1<br />
ក្រៃោមខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
x x<br />
ោះព្រប់ចំៃួៃរិតមិៃសូៃយ<br />
1<br />
2<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
a x x bx c<br />
2<br />
( 1)<br />
<br />
1 ( )<br />
xx<br />
2 2<br />
ax a bx cx<br />
2<br />
xx ( 1)<br />
( )<br />
<br />
រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររទញបាៃ<br />
ែូចរៃោះ<br />
a1, b 1<br />
ៃិង<br />
c 0<br />
2<br />
a b x cx a<br />
2<br />
xx ( 1)<br />
ab0<br />
<br />
c<br />
0<br />
<br />
a<br />
1<br />
3<br />
1<br />
រ ោះ b 1<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 163
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ខ. រណ<br />
<br />
F <br />
ររមាៃ F <br />
<br />
<br />
1<br />
ួចទញ ក្តនមៃលីមីតនៃ<br />
<br />
<br />
xln<br />
x<br />
x<br />
2<br />
<br />
1<br />
ាមអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />
ាង f x ln<br />
g<br />
x<br />
<br />
រយើងបាៃ<br />
2<br />
dx<br />
x រ ោះររបាៃ<br />
x<br />
2<br />
x 1 2<br />
F<br />
<br />
រ ោះររបាៃ<br />
ែូរចនោះ F <br />
៥៧.ក្. ក្ចំៃួៃរិត<br />
រយើងមាៃ<br />
<br />
<br />
a , b<br />
b<br />
<br />
a<br />
<br />
F <br />
<br />
កាលណា ខិតរៅជិត 0<br />
b<br />
<br />
f x g x dx f x g x f x g x dx<br />
f<br />
x<br />
រ ោះររបាៃ gx<br />
1<br />
<br />
<br />
xln<br />
x<br />
2<br />
<br />
x<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
F<br />
dx<br />
<br />
0 0<br />
<br />
1<br />
<br />
x<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
2 x 1<br />
<br />
1<br />
ln x 1<br />
<br />
2<br />
<br />
2 2<br />
2 x 1 x x 1<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
a<br />
dx<br />
1<br />
1<br />
ln x<br />
1 1<br />
x<br />
2<br />
2<br />
x 2<br />
<br />
x x 1<br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
2 1<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
ln x 1<br />
1 2 <br />
ln x ln x 1<br />
2 <br />
2 x 1<br />
2 2 <br />
<br />
ln ln 2 1 <br />
2<br />
ln <br />
2<br />
1<br />
4 2 2<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2 1<br />
b<br />
<br />
a<br />
1<br />
<br />
2<br />
ln 1<br />
2 2<br />
ln ln 2 ln 1 ln<br />
<br />
<br />
4 4<br />
<br />
<br />
ln <br />
ln<br />
2<br />
2<br />
1<br />
4 4 2<br />
<br />
<br />
2<br />
1 1 1 1<br />
<br />
lim F limln <br />
ln<br />
2<br />
2<br />
1<br />
4 4 2<br />
<br />
<br />
<br />
ln <br />
ln<br />
2<br />
2<br />
1<br />
4 4 2<br />
<br />
2<br />
1 1 1 1<br />
2<br />
1 1 1 1<br />
ៃិង c ដែលចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត x ខុសរី 1<br />
3 2<br />
x 3x x 2 d<br />
ax bx c <br />
1x<br />
1x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
រហើយ lim F <br />
<br />
0<br />
ព្រប់ចំៃួៃរិត x ខុសរី 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 164
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ក្រៃោមខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
ែូចរៃោះ<br />
3 2<br />
x 3x x<br />
1<br />
x<br />
<br />
ax 2 1 x bx 1 x c 1 x d<br />
<br />
1<br />
x<br />
<br />
2 3 2<br />
ax ax bx bx c cx d<br />
<br />
1<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
x<br />
ax 3 a b x 2 ( b c)<br />
x c d<br />
រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររទញបាៃ<br />
a<br />
1<br />
a<br />
b 3<br />
<br />
b<br />
c 1<br />
<br />
cd<br />
0<br />
a 1 , b 2 , c 1<br />
ៃិង<br />
រ<br />
ោះ<br />
d 1ដែល<br />
ខ. រោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្ រណ<br />
a<br />
1<br />
b<br />
2<br />
<br />
c<br />
1<br />
<br />
d<br />
1<br />
3 2<br />
x x x<br />
<br />
2<br />
x 2x<br />
1 <br />
3 1<br />
1x<br />
1x<br />
1<br />
2<br />
2<br />
I 3x 6x 1 ln x dx<br />
<br />
0<br />
<br />
b<br />
b<br />
a <br />
a<br />
a<br />
b<br />
ាមអំងរតព្កាលរោយដ នក្ <br />
ាង f x ln 1<br />
x<br />
<br />
2<br />
g x 3x 6x<br />
1<br />
រយើងបាៃ<br />
រ ោះររបាៃ<br />
រ<br />
ោះររបាៃ<br />
<br />
f x g x dx f x g x f x g x dx<br />
1<br />
f x<br />
<br />
1 x<br />
3 2<br />
3<br />
g x x x x<br />
1<br />
2<br />
2<br />
3 6 1 ln 1<br />
<br />
0<br />
ែូចរៃោះ<br />
1<br />
2<br />
2<br />
3 6 1 ln 1<br />
<br />
0<br />
x x x dx<br />
1<br />
1 2 3 2<br />
3 2 2<br />
3<br />
x x x<br />
x 3x x ln(1 x)<br />
<br />
dx<br />
0<br />
<br />
1<br />
x<br />
1<br />
2<br />
ln 2 <br />
1 <br />
<br />
8<br />
<br />
1<br />
x <br />
0<br />
2<br />
x 2x 1 dx<br />
1<br />
3 2<br />
2<br />
<br />
ln 2 x<br />
x x ln 1<br />
x <br />
8 3<br />
<br />
ln 2 1 1 1 1 <br />
ln<br />
8<br />
<br />
24 4 2 2<br />
<br />
<br />
<br />
7ln 2 17<br />
<br />
8 24<br />
0<br />
0<br />
7ln 2 17<br />
<br />
8 24<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 165
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
៥៨.ក្. ក្ចំៃួៃរិត A ៃិង B ដែលចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិតវិជជមាៃ t ោច់ខាត<br />
រយើងមាៃ<br />
អចស រស រៅជា<br />
1 A B<br />
<br />
t 1t t 1t<br />
<br />
<br />
1 ( A B)<br />
t A<br />
<br />
t 1 t t(1 t)<br />
<br />
រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងរី ររទញបាៃ<br />
ែូចរៃោះ<br />
A 1<br />
ៃិង<br />
ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />
រយើងបាៃ<br />
+ទញ ក្<br />
2 2<br />
<br />
<br />
1 1<br />
<br />
B 1<br />
J <br />
2<br />
<br />
dt<br />
t t<br />
<br />
ដែល<br />
1<br />
1<br />
dt 1 1 <br />
dt<br />
t 1t t 1t<br />
<br />
1<br />
ln t ln 1<br />
t<br />
2ln 2 ln 3<br />
<br />
<br />
2<br />
ln 1<br />
t<br />
I dt<br />
2<br />
t<br />
2<br />
1<br />
<br />
<br />
AB0<br />
<br />
A<br />
1<br />
1 <br />
1 <br />
1<br />
t 1t t 1t<br />
<br />
រ ោះ<br />
B 1<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />
ាង<br />
g<br />
b<br />
<br />
a<br />
<br />
f t<br />
1<br />
t<br />
x <br />
2<br />
រយើងបាៃ<br />
b<br />
<br />
f t g t dt f t g t f t g t dt<br />
ln 1t<br />
រ<br />
ោះ ររបាៃ<br />
<br />
<br />
ln 1<br />
t dt<br />
រ ោះររបាៃ<br />
<br />
g t<br />
1<br />
<br />
t<br />
2<br />
2<br />
<br />
t<br />
1<br />
a<br />
b<br />
<br />
a<br />
1<br />
ft<br />
<br />
t 1<br />
2 2<br />
1 dt<br />
ln 1 t <br />
t<br />
<br />
t 1 t<br />
2 1<br />
1 1<br />
1<br />
ln 1 t J<br />
t<br />
1 <br />
<br />
<br />
.ln 3 ln 2 2ln 2 ln 3<br />
2 <br />
<br />
3ln 3<br />
ែូចរៃោះ I 3ln 2 <br />
2<br />
៥៩.ក្. ក្ចំៃួៃរិត a ៃិង b ចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរិត x<br />
<br />
<br />
3ln 3<br />
3ln 2 <br />
2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 166
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ររមាៃ<br />
ក្រៃោម<br />
<br />
<br />
2 2<br />
a bcos4x sin x cos x<br />
sin<br />
xcos<br />
2 2<br />
x<br />
អចស រស រៅជា<br />
sin<br />
x<br />
cos<br />
2 2<br />
x<br />
1cos 2x1cos 2x<br />
<br />
2 2 <br />
1 1 cos<br />
2<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
x<br />
1 1 cos 4x<br />
<br />
1<br />
2 <br />
2 <br />
<br />
1 1<br />
cos 4 x<br />
4 4<br />
រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងសងខាងររទញបាៃ<br />
ែូរចនោះ ចំៃួៃរិត a<br />
ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />
ៃិង b រឺ<br />
1<br />
a <br />
4<br />
<br />
ៃិង<br />
<br />
<br />
1<br />
b <br />
4<br />
<br />
A sin<br />
2 x cos<br />
2 x dx<br />
<br />
ាមសព្មាយខាងរលើររបាៃ<br />
0<br />
<br />
<br />
2<br />
2 2 1 1<br />
sin cos cos 4<br />
0 0<br />
1<br />
a <br />
4<br />
ដែល<br />
<br />
A x<br />
xdx xdx<br />
4 4<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
<br />
A sin<br />
2 x cos<br />
2 x dx<br />
<br />
0<br />
<br />
៦០.ក្.រនៃៀងផ្ទៃ ត់ថា ចំរ ោះព្រប់ x<br />
ររមាៃ<br />
f<br />
x<br />
2<br />
2x<br />
<br />
2<br />
x 1<br />
1 1 <br />
<br />
x<br />
sin 4 x<br />
4 16 <br />
<br />
2<br />
0<br />
ៃិង<br />
1<br />
b <br />
4<br />
1 4 1 1<br />
sin <br />
<br />
.0 sin 0<br />
<br />
8 16 2 4 16 8<br />
<br />
ធាតុនៃ D<br />
ក្ំៃត់រលើ<br />
D <br />
ក្រៃោមខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
f<br />
x<br />
2<br />
2x<br />
<br />
2<br />
x 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
8<br />
2<br />
2x<br />
2 2<br />
x<br />
2<br />
1<br />
ររមាៃ<br />
f<br />
{ 1,1}<br />
2<br />
2( x 1) 2<br />
x<br />
<br />
1 x 1<br />
2 2<br />
x<br />
x x x<br />
2 2 1 1<br />
sin cos cos 4<br />
4 4<br />
1 1<br />
2 <br />
x1 x1<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 167
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
x1<br />
x1<br />
2<br />
<br />
2<br />
x 1<br />
x1 x1<br />
2 <br />
2 2<br />
x 1 x 1<br />
1 1<br />
2 <br />
x1 x1<br />
ែូរចនោះ ចំរ ោះព្រប់ x ធាតុនៃ D ររបាៃ<br />
f<br />
x<br />
1 1<br />
2 <br />
x1 x1<br />
2<br />
ខ. រោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្ ចូ រណ <br />
ln 1<br />
ាមអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />
ាង<br />
g<br />
2<br />
ln 1<br />
f x x<br />
x 1<br />
ររបាៃ<br />
ែូចរៃោះ<br />
៦១.ក្. រណ<br />
រ<br />
ោះររបាៃ<br />
រ<br />
g x<br />
b<br />
<br />
a<br />
3<br />
I x dx<br />
2<br />
b<br />
<br />
f x g x dx f x g x f x g x dx<br />
ោះររបាៃ<br />
x<br />
f<br />
2x<br />
<br />
x 1<br />
<br />
2<br />
3 3<br />
3<br />
2<br />
<br />
2 2 2x<br />
ln x 1dx x ln x 1<br />
<br />
dx<br />
2<br />
x 1<br />
2<br />
2 2<br />
3<br />
2<br />
ln x 1<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
3<br />
3<br />
2 <br />
ln 1 2<br />
2<br />
2<br />
x x 1 1 <br />
<br />
x1 x1<br />
dx<br />
<br />
x x x 3 2<br />
9ln 2 2ln 3 2 ln 1 ln 1<br />
2 1 <br />
9ln 2 2ln 3 6 ln 4 ln<br />
4<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
10ln 2 3ln 3<br />
2<br />
dx 10ln 2 3ln 3 2<br />
I 2<br />
<br />
a<br />
b<br />
<br />
a<br />
ររមាៃ<br />
I<br />
1<br />
រយើងបាៃ<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
cos x<br />
dx<br />
1<br />
2sin x<br />
ៃិង<br />
<br />
<br />
2 2<br />
0 0<br />
I <br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
sin 2x<br />
dx<br />
1<br />
2sin x<br />
cos x sin 2x<br />
I2<br />
dx dx<br />
12sin x<br />
<br />
12sin<br />
x<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
cos x<br />
sin 2x dx<br />
1<br />
2sin x<br />
ៃិង<br />
I I I<br />
1 2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 168
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ខ. រណ<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
<br />
2<br />
0<br />
cos x(1 2sin x)<br />
dx<br />
1<br />
2sin x<br />
sin 1<br />
x <br />
cos xdx<br />
2<br />
0<br />
ែូរចនោះ<br />
I 1<br />
I2 1<br />
ររបាៃ<br />
I<br />
1<br />
ែូរចនោះ<br />
រ. ទញ ក្<br />
<br />
I<br />
I<br />
<br />
2<br />
<br />
រយើងទញបាៃ<br />
ែូរចនោះ<br />
1<br />
0<br />
I <br />
cos x<br />
1<br />
2sin<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
dx<br />
x<br />
<br />
2<br />
0<br />
<br />
1 d 1<br />
2sin x<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
2sin x<br />
1<br />
ln 1 2sin x<br />
2<br />
cos x 1<br />
dx ln 3<br />
1<br />
2sin x 2<br />
1<br />
I I2 I1<br />
1<br />
ln 3<br />
2<br />
sin 2x<br />
1<br />
dx 1<br />
ln3<br />
1<br />
2sin x 2<br />
<br />
<br />
2<br />
0<br />
1<br />
ln 3<br />
2<br />
៦២.ក្. រនៃៀងផ្ទៃ ត់ថា ចំរ ោះព្រប់ចំៃួៃរត់ធ មជាតិមិៃសូៃយ m<br />
1 sin<br />
m<br />
mx <br />
F x<br />
ជាព្រីមីទីវនៃ<br />
cos mx<br />
f x<br />
កាលណា Fx f x<br />
ររបាៃ<br />
1 sin mx m<br />
<br />
ជាព្រីមីទីវនៃ<br />
<br />
cos mx<br />
<br />
1<br />
m<br />
ររបាៃ F x mx cosmx<br />
cos mx<br />
1 sin<br />
m<br />
ែូរចនោះ F x mx <br />
<br />
f x<br />
ជាព្រីមីទីវនៃ<br />
<br />
f x<br />
ខ.រណ A B ៃិង A B ួចទញ ក្ A ៃិង B<br />
cos mx<br />
ររមាៃ<br />
<br />
cos 2 cos 4<br />
<br />
A x x dx<br />
<br />
<br />
ៃិង sin 2 sin 4<br />
<br />
B x x dx<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 169
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
<br />
រយើងបាៃ<br />
<br />
រ.រណ<br />
<br />
<br />
A B cos 2xcos 4xdx sin 2xsin 4xdx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
(cos 2xcos 4x sin 2xsin 4 x)<br />
dx<br />
<br />
<br />
cos 2x<br />
4x dx<br />
<br />
<br />
cos 2x dx<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
sin 2 x 0<br />
2<br />
<br />
រយើងបាៃ A B cos 2xcos 4xdx sin 2xsin 4xdx<br />
ទញ ក្ A ៃិង B<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
(cos 2xcos 4x sin 2xsin 4 x)<br />
dx<br />
<br />
<br />
cos 2x<br />
4x dx<br />
<br />
<br />
cos 6x dx<br />
<br />
ាមសព្មាយខាងរលើរយើងបាៃ<br />
C<br />
ៃិង D<br />
<br />
1<br />
sin 6 x 0<br />
6<br />
<br />
AB0<br />
<br />
A<br />
B 0<br />
ររបាៃ<br />
A<br />
B0<br />
ររមាៃ<br />
ក្ ណី<br />
<br />
cos<br />
<br />
C cos px qx dx<br />
<br />
p<br />
q<br />
ររបាៃ<br />
ៃិង<br />
<br />
sin<br />
<br />
D sin px qx dx<br />
<br />
<br />
C <br />
<br />
<br />
D <br />
<br />
2<br />
cos<br />
2<br />
sin<br />
<br />
pxdx<br />
1<br />
cos 2 px dx<br />
2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 170<br />
<br />
px dx<br />
<br />
<br />
<br />
ក្ ណី p<br />
qរយើងបាៃ<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
cos 2x dx<br />
2<br />
1 1<br />
x sin 2 px <br />
2 4p<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 1<br />
x sin 2 px <br />
2 4p<br />
C D cos( px)cos( qx) dx sin( px)sin( qx)<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
(cos( px)cos( qx) sin( px)sin( qx))<br />
dx
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ៃិង<br />
៦៣.រណ<br />
<br />
cos( px qx)<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 <br />
sin p q x 0<br />
p<br />
q<br />
<br />
<br />
<br />
C D cos( px)cos( qx) dx sin( px)sin( qx)<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
រយើងទញបាៃ<br />
ែូចរៃោះ<br />
ក្.<br />
<br />
<br />
<br />
(cos( px)cos( qx) sin( px)sin( qx))<br />
dx<br />
cos( px qx)<br />
dx<br />
CD0<br />
<br />
C<br />
D 0<br />
, p<br />
q<br />
C D<br />
0 , p<br />
q<br />
<br />
<br />
1 sin p q x 0<br />
p<br />
q<br />
រ ោះ C D<br />
0<br />
ននៃព្ក្ឡានៃ ូបខណឌ រោយដខេរកាងខាងរព្កាម<br />
1<br />
2 <br />
<br />
l : 4x 3y<br />
27 0<br />
<br />
l : 3x 4y<br />
11 0<br />
<br />
l3<br />
: x 7y<br />
13 0<br />
+ចំៃុចព្បសរវ វាងប ៃ ត់ <br />
<br />
l2 : 3x 4y<br />
11 0<br />
<br />
<br />
3x<br />
4y<br />
11 1<br />
4x3y<br />
27 2<br />
4y<br />
11<br />
1 : x <br />
3<br />
ររបាៃ<br />
A<br />
<br />
3,5<br />
<br />
ជំៃួសចូលក្ន ុង <br />
ជាចំៃុចព្បសរវ<br />
+ចំៃុចព្បសរវ វាងប ៃ ត់ <br />
<br />
ររបាៃ<br />
<br />
<br />
4x3y<br />
27 1<br />
x 7y<br />
13 2<br />
2 : x13 7y<br />
ជំៃួសចូលក្ន<br />
<br />
<br />
4 13 7y<br />
3y<br />
27<br />
ររបាៃ B 6,1<br />
ជាចំៃុចព្បសរវ<br />
+ចំៃុចព្បសរវ វាងប ៃ ត់ <br />
<br />
<br />
l2 : 3x 4y<br />
11 0<br />
2<br />
ររបាៃ<br />
l1 : 4x 3y<br />
27 0<br />
រ<br />
1<br />
ុង <br />
ោះ<br />
<br />
ៃិង <br />
<br />
l1 : 4x 3y<br />
27 0<br />
4y<br />
11<br />
4 3y<br />
27<br />
3<br />
ៃិង <br />
x <br />
y 1 រហើយ 6<br />
l3 : x 7y<br />
13 0 ៃិង<br />
ជារូចរមៃ ើយនៃព្បរ័ៃធសមីកា<br />
l3 : x 7y<br />
13 0<br />
រ<br />
ជារូចរមៃ ើយនៃព្បរ័ៃធសមីកា<br />
ោះ<br />
y 5 រហើយ<br />
x 3<br />
ជារូចរមៃ ើយនៃព្បរ័ៃធសមីកា<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 171
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ររបាៃ<br />
<br />
x7y<br />
13 1<br />
3x 4y<br />
11 2<br />
<br />
1 : x137<br />
y<br />
<br />
<br />
<br />
3 13 7y<br />
4y 11<br />
ជំៃួសចូលក្ន ុង <br />
+ព្កាបាងប ៃ ត់ទំងបីបង្ហា ញខាងារ ំ<br />
1<br />
រ ោះ y 2 រហើយ<br />
ររបាៃននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយប ៃ ត់ទំងបីរឺ<br />
x 1 រ ោះ<br />
<br />
C 1,2<br />
<br />
ជាចំៃុចព្បសរវ<br />
S S S<br />
3<br />
1<br />
1 2<br />
3x<br />
11 x 13 <br />
dx<br />
4 4 7 7<br />
<br />
<br />
3 6<br />
25 25 25 50 <br />
x dx x dx<br />
28 28<br />
<br />
21 7 <br />
1 3<br />
3<br />
2 2<br />
6<br />
25 x 25 x 50<br />
x<br />
x<br />
28 2 21 2 7<br />
1<br />
50 74 25<br />
<br />
7 14 2<br />
ឯក្ាននៃ<br />
ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយប ៃ ត់ទំងបីរឺ<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
C y x x <br />
<br />
l : x y 5<br />
2<br />
: 2 3<br />
C : y x 2x<br />
3<br />
+ចំៃុចព្បសរវ វាង 2<br />
3<br />
6<br />
4x<br />
x 13 <br />
<br />
9 dx<br />
3 7 7<br />
<br />
<br />
3<br />
S <br />
25<br />
2<br />
ឯក្ាននៃ<br />
l x y<br />
<br />
ៃិង : 5<br />
ឬ<br />
y x<br />
5<br />
រឺ<br />
2<br />
x x x<br />
2 3 5<br />
ឬ<br />
រ<br />
x<br />
2<br />
ោះ<br />
x 2<br />
0<br />
<br />
A 1,6<br />
<br />
រ ោះ<br />
ៃិង<br />
B<br />
<br />
x 1 ឬ<br />
2,3<br />
<br />
x 2<br />
ជាចំៃុចព្បសរវ<br />
+ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញខាងារ ំ<br />
ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />
2<br />
<br />
1<br />
2<br />
5 2 3<br />
S x x x <br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
2<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
x x 2 dx<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 172
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
៦៤.រណ<br />
2<br />
3 2<br />
x x 2x<br />
1 1 9<br />
<br />
3 2 2<br />
1<br />
ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />
ឯក្ាននៃ<br />
9<br />
S ឯក្ាននៃ<br />
2<br />
ននៃព្ក្ឡានៃ ូបខណឌ រោយដខេរកាងខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
ររបាៃ<br />
<br />
l1<br />
<br />
<br />
2<br />
C : y 1x<br />
<br />
: x<br />
0<br />
<br />
l2<br />
: y 2x<br />
1<br />
+ចំៃុចព្បសរវ វាង <br />
2<br />
<br />
<br />
A 0, 1<br />
ៃិង<br />
C : y 1x<br />
B <br />
<br />
<br />
3 1 ,<br />
4 2<br />
<br />
<br />
<br />
+ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញខាងារ ំ<br />
ៃិង <br />
ជាចំៃុចព្បសរវ<br />
l2 : y 2x<br />
1<br />
រឺ 2<br />
2x1 1<br />
x<br />
រ<br />
ោះ<br />
x 0<br />
ឬ<br />
3<br />
x <br />
4<br />
ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />
S S S<br />
3<br />
4<br />
<br />
0<br />
1 2<br />
<br />
<br />
2x 1 1 x <br />
<br />
<br />
<br />
dx 2 1<br />
xdx<br />
1<br />
<br />
3<br />
4<br />
3 1<br />
3 4<br />
3<br />
2 2 4<br />
2 2<br />
1 1<br />
<br />
x x x x<br />
3 3<br />
9<br />
<br />
16<br />
ឯក្ាននៃ<br />
ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />
ខ.<br />
<br />
:<br />
C : y x<br />
<br />
2<br />
l x y<br />
+ចំៃុចព្បសរវ វាង<br />
A 0,0<br />
ៃិង B 1,1<br />
<br />
2<br />
y<br />
x<br />
2<br />
0<br />
ៃិង<br />
9<br />
S <br />
16<br />
x<br />
y<br />
2<br />
រឺ<br />
3<br />
4<br />
ឯក្ាននៃ<br />
+ ព្កាបនៃអៃុរមៃ៍បង្ហា ញខាងារ ំ<br />
ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />
1<br />
0<br />
<br />
<br />
1<br />
3<br />
2 2 3<br />
2 1 1<br />
S x x dx x x <br />
3 3 3<br />
0<br />
ឯក្ាននៃ<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 173
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />
៦៥.រណ<br />
រឺ<br />
1<br />
S <br />
3<br />
ឯក្ាននៃ<br />
ននៃព្ក្ឡានៃ ូបខណឌ រោយដខេរកាងខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
1<br />
2 <br />
l<br />
C : y x<br />
C : y 4 3x<br />
<br />
: y 0<br />
<br />
+ចំៃុចព្បសរវ វាង<br />
+ចំៃុចព្បសរវ វាង <br />
+ចំៃុចព្បសរវ វាង <br />
43x x<br />
រ<br />
<br />
C1 : y x<br />
ៃិង<br />
C2 : y 4 3x<br />
C2 : y 4 3x<br />
ោះ<br />
x 1 រហើយ<br />
+ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញខាងារ ំ<br />
ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />
1 2<br />
4<br />
1 3<br />
<br />
0 1<br />
: 0<br />
l<br />
y 1<br />
y<br />
ៃិង : 0<br />
ៃិង <br />
S S S xdx 4<br />
3xdx<br />
<br />
<br />
<br />
1 4<br />
3 1 3<br />
2 2<br />
2<br />
4 3<br />
3 x x<br />
8<br />
<br />
9<br />
0<br />
ឯក្ាងននៃ<br />
ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
C : y 4x<br />
2<br />
1<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
C : y x 2x<br />
+ចំៃុចព្បសរវ វាង 2<br />
<br />
2<br />
C2 : y x 2x<br />
រឺ<br />
ឬ<br />
រ<br />
x<br />
2<br />
ោះ<br />
1<br />
C1 : y 4x<br />
2 2<br />
4 2<br />
x x x<br />
x 2 0 រ ោះ x 1 ឬ<br />
<br />
A 1,3<br />
<br />
ៃិង<br />
<br />
2,0<br />
+ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញខាងារ ំ<br />
ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />
B<br />
<br />
8<br />
S <br />
9<br />
ៃិង<br />
x 2<br />
ជាចំៃុចព្បសរវ<br />
រឺ <br />
0,0<br />
l y រឺ A 4 ,0<br />
C y x<br />
1<br />
:<br />
ឯក្ាននៃ<br />
3<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 174
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
2<br />
2 2<br />
2<br />
<br />
4 2 <br />
2 2 4<br />
S <br />
<br />
x x x<br />
<br />
dx<br />
1<br />
2<br />
1<br />
x x dx<br />
2<br />
2 3 2<br />
<br />
4 9<br />
3 x x x 1<br />
ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ S 9 ឯក្ាននៃ<br />
ឯក្ាងននៃ<br />
៦៦.រណ<br />
ននៃព្ក្ឡានៃ ូបខណឌ រោយដខេរកាងខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
3 x 1<br />
C1<br />
: y <br />
<br />
x 2<br />
2<br />
y 1<br />
C2<br />
: x<br />
y 1<br />
l1 : x 3 , l2<br />
: x 5<br />
<br />
<br />
+ចំៃុចព្បសរវ វាង <br />
<br />
ឬ<br />
រ<br />
C<br />
2<br />
<br />
<br />
2 y 1<br />
: x<br />
y 1<br />
x 2<br />
y រឺ<br />
x 2<br />
ោះ<br />
A <br />
<br />
<br />
5 ,9<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
C<br />
រឺ<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
3 x 1<br />
: y<br />
x 2<br />
3 x 1 x 2<br />
<br />
x2 x2<br />
ជាចំៃុចព្បសរវ<br />
ឬ<br />
+ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញខាងារ ំ<br />
<br />
ៃិង<br />
5<br />
x <br />
2<br />
ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />
<br />
<br />
5 3 x 1 x2<br />
5<br />
2x5<br />
S <br />
dx dx<br />
x 2 x 2<br />
<br />
x 2<br />
3<br />
3<br />
5<br />
1 <br />
2 2 ln 2<br />
x 2 dx x x <br />
<br />
3<br />
<br />
4 ln 3<br />
ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
C1<br />
y x x <br />
<br />
4<br />
C2<br />
: y1<br />
<br />
x 1<br />
2<br />
: 2 5 3<br />
ឯក្ាននៃ<br />
S 4 ln 3<br />
ឯក្ាននៃ<br />
C1 : y 2x 5x<br />
3 ៃិង<br />
+ចំៃុចព្បសរវ វាង <br />
2<br />
5<br />
3<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 175
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
៦៧.រណ<br />
<br />
រឺ<br />
រ<br />
រ<br />
C<br />
2<br />
<br />
4<br />
: y1<br />
x 1<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 176<br />
ឬ<br />
x<br />
<br />
2x<br />
5x 3 <br />
x 1<br />
ោះ<br />
ោះ<br />
2 3<br />
x 0<br />
A<br />
<br />
0,3<br />
ចំៃុចព្បសរវ<br />
<br />
ឬ<br />
,<br />
3<br />
x <br />
2<br />
x<br />
3<br />
y <br />
x 1<br />
ឬ<br />
ឬ<br />
3 9<br />
B <br />
<br />
, <br />
<br />
<br />
2 4<br />
<br />
x x x <br />
x 3<br />
ៃិង<br />
+ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញខាងារ ំ<br />
ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />
<br />
<br />
2<br />
2 3 9 0<br />
C<br />
<br />
3,0<br />
3<br />
2 x<br />
3 <br />
S 2x 5x 3<br />
dx<br />
<br />
<br />
x 1<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
3<br />
2 <br />
2 5 3 1<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
ជា<br />
4 <br />
x x dx<br />
x 1<br />
<br />
<br />
3<br />
2<br />
2 5 4 <br />
4 <br />
<br />
x x dx<br />
x 1<br />
<br />
0<br />
3<br />
2 3 5 2<br />
33<br />
x x 4x ln x 1 2ln 2 ឯក្ាននៃ<br />
3 2 2<br />
ែូចរៃោះ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាប រឺ<br />
0<br />
<br />
<br />
33<br />
S 2ln 2<br />
2<br />
ននៃព្ក្ឡានៃ ូបខណឌ រោយដខេរកាងខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
<br />
4<br />
C1<br />
:3<br />
y <br />
<br />
x 2<br />
<br />
3<br />
C2<br />
y x x <br />
<br />
2<br />
2<br />
: 1<br />
+ចំៃុចព្បសរវ វាង <br />
ៃិង 2<br />
C<br />
3<br />
C2<br />
: y x x 1<br />
2<br />
3x<br />
2 3<br />
x 2 2<br />
<br />
2<br />
x x <br />
1<br />
រ ោះ x 0 ឬ x 2 ឬ<br />
រហើយ A 0,1<br />
, 2,2<br />
1<br />
4<br />
:3 y <br />
x 2<br />
រឺ<br />
ឬ x x 2 x <br />
ឬ<br />
2 10 0<br />
5<br />
x <br />
2<br />
B ៃិង<br />
5<br />
C <br />
<br />
,11 <br />
2 <br />
3x<br />
2<br />
y <br />
x 2<br />
<br />
ឯក្ាននៃ
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ជាចំៃុចព្បសរវ<br />
+ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញខាងារ ំ<br />
ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />
2<br />
3x<br />
2 2 3 <br />
S x x 1<br />
dx<br />
<br />
0<br />
<br />
x 2 2<br />
<br />
<br />
ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />
ខ.<br />
+របើ<br />
+របើ<br />
1<br />
2 <br />
l<br />
C : y x 1<br />
<br />
x<br />
C : y e<br />
<br />
<br />
<br />
: x 1<br />
2<br />
4 2 3 <br />
<br />
3 1<br />
x 2 2 <br />
0 <br />
x x dx<br />
2<br />
3 2<br />
1 3<br />
2x 4ln x 2 x x<br />
3 4<br />
13<br />
4ln 2<br />
2<br />
<br />
13<br />
S 4ln 2<br />
2<br />
x 1 រ ោះ ព្កាបគ្នម ៃចំៃុចព្បសរវ(រមើល ូប)<br />
x 1 រ ោះ ព្កាបមាៃចំៃុចព្បសរវព្តង់<br />
+ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញខាងារ ំ<br />
ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />
A<br />
<br />
<br />
0,1<br />
ឯក្ាននៃ<br />
<br />
ឯក្ាននៃ<br />
0<br />
៦៨.រណ<br />
1<br />
<br />
0<br />
<br />
x<br />
S <br />
e x 1<br />
<br />
dx<br />
1<br />
<br />
0<br />
<br />
x<br />
e x 1<br />
dx<br />
<br />
<br />
1<br />
x 2<br />
e x x e<br />
1 3<br />
<br />
2 2<br />
0<br />
ឯក្ាននៃ<br />
3<br />
ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ S e ឯក្ាននៃ<br />
2<br />
ននៃព្ក្ឡានៃ ូបខណឌ រោយដខេរកាងខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
<br />
C : y cos 2 x , y 0<br />
<br />
1<br />
<br />
l1 : x , l2<br />
: x <br />
<br />
<br />
6 8<br />
+ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញខាងារ ំ<br />
ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 177
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
<br />
8<br />
S <br />
<br />
6<br />
<br />
<br />
cos 2x dx<br />
1<br />
sin 2 x<br />
2<br />
<br />
8 6<br />
<br />
<br />
3<br />
2<br />
4<br />
ឯក្ាននៃ<br />
ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />
S <br />
ខ.<br />
3<br />
2<br />
4<br />
ឯក្ាននៃ<br />
<br />
3<br />
C1<br />
: y cos x, y , y 0<br />
2<br />
l<br />
: x 1, x 0<br />
+ចំៃុចព្បសរវ វាង<br />
cos<br />
<br />
x <br />
3<br />
2<br />
រ<br />
ោះ<br />
y <br />
3<br />
2<br />
<br />
x <br />
6<br />
ៃិង<br />
+ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញខាងារ ំ<br />
y<br />
cos x<br />
រឺ<br />
ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />
<br />
6<br />
0<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
6<br />
<br />
S cos x dx cos x dx<br />
<br />
6<br />
x sin x 1<br />
sin <br />
0<br />
<br />
6<br />
ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបរឺ<br />
៦៩. ក្. រោោះស្រាយសមីកា<br />
+សមីកា មាៃៃ័យលុោះព្ាដត<br />
+សមីកា អចស រស រៅជា<br />
sin 1<br />
ឯក្ាននៃ<br />
S sin 1<br />
x<br />
2 <br />
8t t 4dt<br />
<br />
1 <br />
x1<br />
ឯក្ាននៃ<br />
28 1.5x<br />
1<br />
3 log x 1<br />
x<br />
10<br />
<br />
x<br />
1 1<br />
x<br />
2 x<br />
8t t 4dt<br />
<br />
1<br />
1 <br />
x1<br />
ឬ<br />
28 1.5 1<br />
3 log 2<br />
x 1<br />
x<br />
3 2 <br />
t t t x<br />
8 14<br />
<br />
4 21.5 1<br />
3 3 <br />
<br />
1<br />
3 2<br />
8x 14x 3x<br />
0<br />
<br />
x<br />
1<br />
<br />
x<br />
0<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 178
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ឬ<br />
រព្ ោះ x 0<br />
2<br />
8x<br />
14x<br />
3 0<br />
15<br />
រោយ<br />
ែូរចនោះ សមីកា មាៃឬស<br />
ខ. ក្តនមៃនៃចំៃួៃវិជជមាៃ a<br />
សមីកា អចស រស រៅជា<br />
x 1 រ ោះ<br />
x <br />
7 15<br />
8<br />
x <br />
ដែលរនៃៀងផ្ទៃ ត់<br />
ឬ<br />
ែូរចនោះ តនមៃនៃចំៃួៃវិជជមាៃ a<br />
រ<br />
7 15<br />
8<br />
a<br />
<br />
3 2<br />
a<br />
3<br />
x 2x 5x a 2<br />
0<br />
3 2 3<br />
a 2a 5a a 2<br />
ោះ<br />
2<br />
2a<br />
5a 2 0<br />
រឺ<br />
1<br />
a <br />
2<br />
1<br />
a <br />
2<br />
៧០.ក្. ក្តនមៃទំងអស់នៃ រៅចរ ៃ ោះ <br />
សមីកា អចស រស រៅជា<br />
ាម <br />
1<br />
0,2<br />
,<br />
,<br />
0<br />
2 3<br />
3x 4x 5 dx a 2<br />
a 2<br />
,<br />
a 2<br />
9<br />
រហើយរនៃៀងផ្ទៃ ត់សមភារ<br />
x <br />
cos sin 2<br />
<br />
<br />
cos cos <br />
sin 2<br />
2 <br />
<br />
<br />
<br />
2sin cos cos 0<br />
ទញបាៃ<br />
<br />
<br />
cos 2sin 1 0<br />
<br />
<br />
cos 0<br />
<br />
2sin 1 0<br />
2<br />
<br />
ឬ<br />
<br />
<br />
k<br />
, k<br />
2<br />
<br />
1<br />
sin 1<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
sin <br />
sin<br />
<br />
4 ឬ <br />
k<br />
4<br />
, k <br />
5<br />
2k 2k<br />
4 4<br />
5 3 7<br />
0, ររទញបាៃ <br />
, , ,<br />
<br />
2 4 2 4 <br />
5 3 7<br />
0, ររបាៃ <br />
, , ,<br />
<br />
2 4 2 4 <br />
រោយ <br />
ែូរចនោះ <br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
xdx<br />
<br />
sin sin 2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 179
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ខ. ក្តនមៃទំងអស់នៃ a ដែលរនៃៀងផ្ទៃ ត់វិសមភារ<br />
ចំរ ោះ<br />
a 0<br />
វិសមីកា អចស រស រៅជា<br />
a<br />
1 3 1 <br />
x 1 dx 4<br />
a<br />
<br />
2<br />
<br />
x <br />
0<br />
1 3 2 3 1<br />
2 2<br />
x x 2x<br />
4<br />
a<br />
<br />
<br />
2 3<br />
<br />
0<br />
1 3<br />
ឬ a 2<br />
a 2 a 4<br />
a<br />
ឬ<br />
a a 6<br />
0<br />
a<br />
<br />
ាង t a<br />
ដែល<br />
a 0<br />
ររបាៃ<br />
t<br />
2<br />
t<br />
6<br />
0<br />
រ<br />
ោះ<br />
0t<br />
2<br />
ឬ 0 4<br />
a<br />
<br />
៧១.ក្.បង្ហា ញថា<br />
ព្តូវក្ំណត់<br />
ររមាៃអៃុរមៃ៍<br />
ចំរ<br />
ោះ<br />
x 2<br />
មយ៉ា ងរទៀត<br />
ររបាៃ<br />
f<br />
<br />
ែូរចនោះ តនមៃនៃ a<br />
រឺ<br />
0a<br />
4<br />
f អចស រស រព្កាមទព្មង់<br />
<br />
f x ax b <br />
c<br />
x<br />
2 2<br />
<br />
f x ax b <br />
អៃុរមៃ៍ខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
x<br />
<br />
3 2<br />
x x x<br />
<br />
3 2<br />
x x x<br />
<br />
<br />
<br />
8 8<br />
x 2<br />
f x ax b <br />
2<br />
<br />
<br />
c<br />
x<br />
2 2<br />
2<br />
4 4<br />
<br />
x 2<br />
<br />
2<br />
c<br />
x<br />
2 2<br />
ax b x x c<br />
<br />
2<br />
x 2<br />
ដែល<br />
3 2<br />
ax 4a b x 4a 4b x 4b c<br />
<br />
<br />
3 2<br />
8 8 ax 4a b x 4a 4b x 4b c<br />
<br />
2<br />
2<br />
x 2<br />
x 2<br />
រព្បៀបរធៀបរមរុណនៃអងាទំងរី ររបាៃ<br />
a<br />
1<br />
<br />
4a<br />
b 1<br />
<br />
4a 4b 8<br />
<br />
4bc<br />
8<br />
រ<br />
a<br />
1<br />
<br />
ោះ b<br />
3<br />
<br />
c<br />
4<br />
a,<br />
b ៃិង c ជាចំៃួៃរិតដែល<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 180
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
f x x 3<br />
+សិក្ោថា ព្កាប C<br />
ាមស្រាយខាងរលើររមាៃ<br />
4<br />
2<br />
x 2<br />
ដែល a1 , b 3 ៃិង<br />
នៃអៃុរមៃ៍មាៃអសុីមតូតរព្ទត <br />
<br />
f x x 3<br />
ររអចស រស រៅជា f x x<br />
3<br />
ររបាៃ<br />
រោយ<br />
ខ.រណ<br />
<br />
<br />
lim f x x 3 lim<br />
x<br />
4<br />
lim 0<br />
x<br />
x 2 2<br />
y x<br />
ែូរចនោះ : 3<br />
ននៃ<br />
Aa <br />
x<br />
4<br />
2<br />
x 2<br />
4<br />
2<br />
x 2<br />
4<br />
x<br />
2 2<br />
រ ោះប ៃ ត់សមីកា : y x 3<br />
ជាអសុីមតូតរព្ទតនៃព្កាប C<br />
ដែលខណឌ រោយព្កាប<br />
c 4<br />
ជាអសុីមតូតរព្ទតនៃព្កាប C<br />
C , <br />
អ័ក្េក្ូអ រោរៃ ៃិង ប ៃ ត់សមីកា<br />
x<br />
a<br />
ចំរ<br />
ោះ<br />
0a<br />
2<br />
រិៃិតយរមើលទីាំងព្កាប C<br />
ររបាៃ<br />
f<br />
<br />
x<br />
<br />
រ ោះររបាៃ ទីាំងព្កាប C<br />
ររបាៃ ននៃព្ក្ឡា<br />
ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡា<br />
ៃិង អសុីមតូត<br />
4<br />
2<br />
x 2<br />
0<br />
ចំរ ោះ x 2 រព្ ោះ<br />
សិរតរៅខាងរព្កាមអសុីមតូត<br />
Aa ក្ំណត់រោយ<br />
<br />
a<br />
0<br />
<br />
A a y f x dx<br />
Aa រឺ<br />
+រណ ននៃរ ោះ ចំរ ោះ a <br />
ចំរ<br />
ោះ<br />
a <br />
3<br />
2<br />
រ<br />
<br />
a<br />
<br />
0<br />
4<br />
x 2 2<br />
a<br />
0<br />
dx<br />
4 4<br />
2 <br />
x2 a2<br />
<br />
Aa<br />
3<br />
2<br />
ោះររបាៃ<br />
4<br />
2 a 2<br />
ឯក្ាននៃ<br />
3 4<br />
A <br />
2 10<br />
2<br />
3<br />
2<br />
2<br />
ឯក្ាននៃ<br />
4<br />
2<br />
x 2<br />
ឯក្ាននៃ<br />
0<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 181
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
កាលណា a ខិតជិត 2 ខាងរឆវង<br />
រ ោះររបាៃ<br />
4 <br />
lim Aa lim 2<br />
<br />
a 2 <br />
<br />
<br />
x2 x2<br />
រព្ ោះ<br />
ែូរចនោះ ននៃមិៃដមៃជាចំៃួៃក្ំណត់រទ កាលណា a<br />
4<br />
lim <br />
a 2<br />
<br />
x2<br />
ខិតជិត 2 ខាងរឆវង<br />
៧២.ក្.រណ<br />
y<br />
3x<br />
មាឌសូលីតប ិវតរក្ំណត់បាៃរី ងវ ិលនៃននៃដែលខណឌ រោយព្កាបភិចាងអៃុរមៃ៍<br />
ៃិង អ័ក្េ x Ox<br />
ររបាៃ ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញខាងារ ំ<br />
ខ.រណ<br />
មាឌនៃសូលីតប ិវតរក្ំណត់រោយ<br />
<br />
3 3<br />
<br />
2 2<br />
2<br />
<br />
V x dx x dx<br />
1 1<br />
<br />
<br />
, 1 x 2 ជុំវិញអ័ក្េ x Ox<br />
<br />
2<br />
x <br />
<br />
3x<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
23<br />
2<br />
ែូរចនោះ មាឌនៃសូលីតប ិវតរ រឺ<br />
V<br />
2<br />
1<br />
ឯក្ាមាឌ<br />
<br />
23<br />
2<br />
ឯក្ាមាឌ<br />
មាឌសូលីតប ិវតរក្ំណត់បាៃរី ងវ ិលចំៃួៃ 360 ជុំវិញអ័ក្េអប់សុីសនៃននៃដែលខណឌ រោយ<br />
ព្កាបភិចាងអៃុរមៃ៍<br />
y1x<br />
2<br />
ៃិង អ័ក្េ x Ox ,<br />
ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញែូច ូបខាងារ ំ<br />
ររបាៃ មាឌនៃសូលីតក្ំៃត់រោយ<br />
V <br />
<br />
៧៣.ក្. រណ<br />
1<br />
<br />
1<br />
1<br />
<br />
1<br />
1<br />
2<br />
y dx<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
1x dx<br />
<br />
<br />
2 4<br />
1 2x x dx<br />
1<br />
1<br />
3 5<br />
x x x <br />
<br />
<br />
2 1 16<br />
3 5 ឯក្ាមាឌ<br />
15<br />
ែូរចនោះ មាឌនៃសូលីតរឺ<br />
1<br />
V<br />
<br />
16<br />
15<br />
ឯក្ាមាឌ<br />
<br />
<br />
x 1,1<br />
មាឌសូលីតប ិវតរក្ំណត់បាៃរី ងវ ិលជុំវិញអ័ក្េ x Ox<br />
<br />
<br />
នៃននៃដែលខណឌ រោយព្កាបភិច ាង<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 182
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
អៃុរមៃ៍<br />
2<br />
2<br />
<br />
f x x<br />
ៃិង<br />
g x<br />
+ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញខាងារ ំ<br />
ាមព្កាប<br />
ខ.រណ<br />
<br />
f x g x , x<br />
0,1<br />
x<br />
រលើចរ ៃ ោះ<br />
x <br />
ររបាៃ មាឌនៃសូលីតដែលខណឌ រោយព្កាបទំងរី រឺ<br />
1<br />
2 V f x 2<br />
g x dx<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
0 <br />
<br />
2 x x dx<br />
<br />
5<br />
1<br />
5 3 x 38<br />
<br />
<br />
4x x <br />
3 5<br />
<br />
<br />
15<br />
ែូរចនោះ មាឌនៃសូលីតរឺ<br />
V<br />
<br />
0<br />
38<br />
15<br />
ឯក្ាមាឌ<br />
ឯក្ាមាឌ<br />
ននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយព្កាបាងអៃុរមៃ៍<br />
ដខេរកាងនៃអៃុរមៃ៍<br />
ែូចបាៃបង្ហា ញ<br />
<br />
<br />
y sin x<br />
2 <br />
ៃិង<br />
y<br />
x<br />
ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយដខេរកាងទំងរី រឺ<br />
4<br />
<br />
0,1<br />
<br />
<br />
<br />
y sin x<br />
2 <br />
ៃិង<br />
កាត់គ្នន ព្តង់ចំៃុច <br />
0,0<br />
y<br />
x<br />
ៃិង<br />
<br />
4<br />
<br />
A 1,1<br />
1<br />
<br />
x 4 <br />
S sin x dx<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 <br />
1<br />
cos<br />
x<br />
x<br />
2 5<br />
1 2<br />
ឯក្ាននៃ<br />
5 <br />
ែូរចនោះ មាឌនៃសូលីតរឺ<br />
5<br />
1<br />
0<br />
1 2<br />
V <br />
5 <br />
ឯក្ាមាឌ<br />
៧៤.ក្.រណ ននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយព្កាប <br />
ចរ ៃ ោះ 0 x <br />
+ព្កាប<br />
C 1<br />
ៃិង C<br />
2<br />
ាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញែូច ូប<br />
C1 : y sin x 0 x <br />
ៃិង <br />
C2 : y sin 3x<br />
រៅ<br />
+ាង ជាអប់សុីសនៃចំៃុចព្បសរវ វាង<br />
ក្ន ុងចរ ៃ ោះ 0<br />
<br />
x <br />
2<br />
C 1<br />
ៃិង<br />
C 2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 183
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រយើងបាៃ<br />
រ<br />
ោះ<br />
<br />
sin sin 3<br />
3<br />
ឬ<br />
<br />
x <br />
4<br />
រោយ<br />
3<br />
0 3<br />
<br />
2<br />
រយើងសរងកតរ ើញថា ននៃដែល សែូចក្ន ុង ូប<br />
ឆៃ ុោះគ្នន រធៀបៃឹងប ៃ ត់<br />
<br />
x <br />
2<br />
ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយដខេរកាង រឺ<br />
។<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
S 2 sin 3x sin<br />
x dx<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 184<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
sin x sin 3x dx<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
sin 3x sin x<br />
dx sin 3x sin<br />
x dx<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 1<br />
<br />
2 cos 3x cos x cos 3x cos x<br />
3 <br />
<br />
<br />
0 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 1 <br />
22 cos 3<br />
cos 1<br />
<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 3<br />
2 <br />
8 2 4<br />
2 2 cos cos <br />
3 4 4 3<br />
<br />
<br />
3<br />
ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយដខេរកាង រឺ<br />
<br />
8 2 4<br />
S <br />
3<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
ឯក្ាងននៃ<br />
ឯក្ាងននៃ<br />
3<br />
ខ.រណ ននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយព្កាបាងអៃុរមៃ៍ y sin x<br />
<br />
x <br />
4<br />
ៃិង<br />
x <br />
5<br />
4<br />
+ព្កាបនៃអៃុរមៃ៍បង្ហា ញរៅខាងារ ំ<br />
+ាង<br />
ររបាៃ<br />
រហើយ<br />
sin<br />
3 cos<br />
3<br />
<br />
f x x x<br />
3 3<br />
1 1 <br />
f 0<br />
4<br />
<br />
2 2 <br />
3 3<br />
5 1 1 <br />
f 0<br />
4<br />
<br />
2 2 <br />
2 3<br />
3sin cos 3cos sin<br />
<br />
f x x x x x<br />
3 <br />
sin 2 x 2 sin x<br />
<br />
2 4<br />
ៃិង<br />
y<br />
cos<br />
3<br />
x<br />
រៅចរ ៃ ោះ
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ចំរ<br />
ដត<br />
ោះ<br />
5<br />
x <br />
4 4<br />
3 2 <br />
sin 2 x<br />
sin x<br />
<br />
2 4<br />
រយើងបាៃ<br />
3 3<br />
5 1 1 1<br />
f 0<br />
4<br />
<br />
2 2 2<br />
រ ោះចំរ ោះ<br />
x<br />
<br />
f<br />
x<br />
f<br />
x<br />
<br />
4<br />
0<br />
5<br />
x <br />
4 4<br />
ររបាៃ<br />
3<br />
2<br />
f x 0<br />
ររបាៃ ននៃព្ក្លាខណឌ រោយដខេរកាងទំងរី រឺ<br />
0<br />
<br />
4<br />
<br />
1<br />
0<br />
1<br />
2<br />
<br />
0<br />
1<br />
<br />
5<br />
4<br />
0<br />
5<br />
5<br />
4 4<br />
3 3 2 2<br />
<br />
<br />
<br />
S <br />
sin x cos x <br />
dx sin x sin x cos x cos x dx<br />
<br />
<br />
4 4<br />
<br />
<br />
5<br />
4<br />
2 2<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 cos x cos x 1 sin x sin x<br />
<br />
dx<br />
<br />
1 1<br />
<br />
<br />
cos cos sin sin<br />
3 3<br />
3 3<br />
x x x x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
5<br />
4<br />
<br />
4<br />
2 2 2 2 2 2 2 2 <br />
<br />
2 12 2 12 <br />
<br />
<br />
2 12 2 12 <br />
<br />
<br />
5 2<br />
3<br />
ឯក្ាននៃ<br />
ែូរចនោះ ននៃព្ក្លាខណឌ រោយដខេរកាងទំងរី រឺ<br />
៧៥.ក្. ក្ក្ូអ រោរៃចំៃុចព្បសរវនៃព្កាបទំងរី រៃោះ<br />
ររមាៃ y sin 2x<br />
ៃិង<br />
y<br />
cos x<br />
<br />
sin 2x<br />
cos<br />
x<br />
<br />
<br />
ដែល 0 x <br />
y<br />
cos x<br />
+សមីកា អប់សុីស វាង y sin 2x<br />
ៃិង<br />
ឬ <br />
<br />
រ<br />
ោះ<br />
cos x<br />
0<br />
5 2<br />
S ឯក្ាននៃ<br />
3<br />
រឺ<br />
cos x 2sin x 1 0<br />
ឬ<br />
<br />
2sin x<br />
10<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 185
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
-ចំរ<br />
-ចំរ<br />
-ចំរ<br />
ោះ<br />
ោះ<br />
ោះ<br />
រោយ 0 x រយើងទញបាៃ<br />
<br />
x <br />
6<br />
<br />
x <br />
2<br />
x <br />
5<br />
6<br />
រ<br />
រ<br />
<br />
រ<br />
ោះ<br />
ោះ<br />
<br />
ោះ<br />
y <br />
y 0<br />
3<br />
2<br />
y <br />
ែូរចនោះ ក្ូអ រោយរៃនៃចំៃុចព្បសរវរឺ<br />
ខ. ក្ននៃព្ក្ឡា S<br />
3<br />
2<br />
5<br />
x , ,<br />
6 2 6<br />
<br />
3 <br />
<br />
A<br />
<br />
, , B ,0<br />
6 2 <br />
2 <br />
ដែលខណឌ រោយព្កាបទំងរី<br />
+រោយព្កាបាងអៃុរមៃ៍ទំងរី ឆៃ ុោះគ្នន រធៀបៃឹងចំៃុច<br />
ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយព្កាបទំងរី រឺ<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
6<br />
<br />
S 2 sin 2x cos x dx<br />
1<br />
2 cos 2 sin<br />
2<br />
<br />
x x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
6<br />
1 1 1 <br />
1<br />
2 1 <br />
2 4 2 <br />
2<br />
ឯក្ាននៃ<br />
ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយព្កាបទំងរី រឺ<br />
1<br />
S <br />
2<br />
ឯក្ាននៃ<br />
៧៦.ក្. ក្សមីកា ប ៃ ត់ប៉ាោះ l<br />
ររមាៃ អៃុរមៃ៍<br />
+ាង<br />
1<br />
y x b<br />
2<br />
ln x<br />
1<br />
f x<br />
+ឧបមាថា ប ៃ ត់ <br />
ររបាៃ<br />
ប ៃ ត់<br />
l<br />
ៃិង<br />
ជាប ៃ ត់ប៉ាោះៃឹង C<br />
5 3<br />
C<br />
<br />
<br />
, <br />
6 2 <br />
<br />
B <br />
<br />
,0<br />
<br />
<br />
2 <br />
ជាសមីកា ប ៃ ត់ប៉ាោះដខេរកាងដែលមាៃរមរុណព្បាប់ទិសរសម ើៃឹង<br />
1<br />
l : y x b<br />
1<br />
2<br />
<br />
y f x x x f x<br />
0 0 0<br />
រោយ f x ln x<br />
1<br />
រ ោះ f x<br />
ប៉ាោះដខេរកាង C<br />
1<br />
<br />
x 1<br />
ដែលមាៃរមរុណព្បាប់ទិសរសម ើៃឹង<br />
1<br />
2<br />
ព្តង់ចំៃុចដែលមាៃអប់សុីស x<br />
0<br />
1<br />
2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 186
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រ<br />
រយើងបាៃ<br />
ាម <br />
1<br />
ឬ<br />
y<br />
ៃិង <br />
1<br />
y x x0 x0<br />
<br />
x 1<br />
x<br />
0<br />
ln 1<br />
x<br />
0<br />
0<br />
x0 1 x0<br />
1<br />
<br />
2<br />
ររទញបាៃ<br />
x <br />
ln 1 2<br />
1 1<br />
<br />
2 x 1<br />
ោះ សមីកា ប ៃ ត់ប៉ាោះដែលមាៃរមរុណរសម ើ<br />
ែូរចនោះ សមីកា ច ៃ ត់ប៉ាោះរឺ<br />
0<br />
<br />
x0<br />
b x0<br />
<br />
x0<br />
1<br />
<br />
<br />
1<br />
2<br />
ln 1<br />
<br />
ឬ<br />
ដែលព្តូវ ក្រឺ<br />
1 1<br />
l : y x ln 2<br />
2 2<br />
x0 1<br />
<br />
1<br />
b<br />
ln 2<br />
2<br />
1 1<br />
l : y x ln 2<br />
2 2<br />
ខ. រណ មាឌនៃសូលីតប ិវតរក្ំណត់បាៃរី ងវ ិលជុំវិញអ័ក្េ x Ox នៃននៃព្ក្ឡាដែលខណឌ រោយព្កាប<br />
<br />
<br />
C<br />
, l<br />
ៃិង អ័ក្េអ រោរៃ<br />
+ព្កាបនៃអៃុរមៃ៍ប៉ាោះគ្នន ព្តង់ចំៃុច<br />
x0 1<br />
+ព្កាបាងអៃុរមៃ៍បង្ហា ញែូច ូបខាងារ ំ<br />
ររបាៃ មាឌនៃសូលីតប ិវតរក្ំណត់រោយ<br />
+រណ<br />
1 2 1<br />
1 1 <br />
2<br />
V x ln 2 dx <br />
ln x 1 <br />
dx<br />
2 2<br />
<br />
<br />
<br />
0 0<br />
1 1<br />
<br />
2 2<br />
x 1 2ln 2 dx <br />
ln x 1<br />
dx<br />
4<br />
<br />
<br />
0 0<br />
<br />
<br />
4 I I<br />
1<br />
1 2<br />
1<br />
<br />
0<br />
<br />
I x 1<br />
2ln 2 dx<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង u x1 2ln 2 រ ោះររបាៃ du dx<br />
<br />
2<br />
<br />
+ររល<br />
x 0<br />
រ<br />
ោះ<br />
u 1<br />
2ln 2<br />
+ររល<br />
x 1 រ ោះ<br />
u 2ln 2<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា 1<br />
2ln 2<br />
1<br />
1<br />
<br />
I x dx<br />
0<br />
2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 187
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រហើយ<br />
2<br />
<br />
1<br />
ln 2<br />
1<br />
0<br />
<br />
I x dx<br />
<br />
2ln 2<br />
<br />
1 2ln 2<br />
2<br />
u du<br />
2ln 2<br />
3<br />
1<br />
<br />
3 u <br />
<br />
1 2ln 2<br />
1 12ln<br />
2 2 6ln 2 1<br />
<br />
3<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
+របើ<br />
<br />
t ln x1<br />
x 0<br />
រ<br />
<br />
រ<br />
ោះ<br />
ោះ<br />
t 0<br />
xe<br />
t<br />
1<br />
រហើយ<br />
dx <br />
t<br />
e dt<br />
<br />
+របើ<br />
x 1 រ ោះ<br />
t ln 2<br />
ររបាៃ<br />
I<br />
2<br />
ln 2<br />
2 t<br />
t e dt<br />
<br />
0<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើាមអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />
b<br />
<br />
a<br />
ាង<br />
<br />
g<br />
t<br />
b<br />
<br />
f t g t dt f t g t g t f t dt<br />
2<br />
t<br />
f t<br />
t<br />
e<br />
រ<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 188<br />
រ<br />
ោះររបាៃ<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ោះររបាៃ<br />
I<br />
2<br />
<br />
g t<br />
a<br />
b<br />
<br />
a<br />
2<br />
f t t<br />
e<br />
ln 2<br />
2 t<br />
t e dt<br />
<br />
0<br />
t<br />
ln 2<br />
2 t<br />
ln 2<br />
t<br />
t e 2<br />
te dt<br />
0 <br />
0<br />
ln 2<br />
2<br />
t<br />
2ln 2 2 te dt<br />
<br />
<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយដ នក្មរងរទៀត<br />
ាង<br />
f t<br />
t<br />
រ<br />
ោះររបាៃ<br />
f<br />
t<br />
t<br />
e រ ោះររបាៃ g t e<br />
g t<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
t 1<br />
ln 2 ln 2<br />
t t<br />
ln 2<br />
t<br />
<br />
te dt te e dt<br />
0<br />
0 0<br />
I<br />
2<br />
t<br />
ln 2<br />
2ln 2 e 2ln 2 1<br />
ln 2<br />
2 t<br />
t e dt<br />
<br />
0<br />
0<br />
0<br />
<br />
2<br />
2ln 2 2 2ln 2 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
2ln 2 4ln 2 2
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ររបាៃ<br />
1 2ln<br />
2 2 6ln 2 1 2ln<br />
2 2 4ln 2 2<br />
<br />
V <br />
<br />
4 3 <br />
7<br />
23<br />
<br />
ln 2 ln 2<br />
2 <br />
<br />
12 <br />
<br />
<br />
ែូរចនោះ មាឌនៃសូលីតប ិវតរឺ<br />
៧៧.ក្. ក្សមីកា ប ៃ ត់ប៉ាោះ l<br />
ររមាៃ C ជាព្កាប<br />
+ចំរ ោះ<br />
y<br />
2x<br />
1<br />
e <br />
y<br />
ររបាៃ<br />
2x<br />
1<br />
e <br />
y <br />
<br />
<br />
ឯក្ាមាឌ<br />
7<br />
23<br />
<br />
V ln 2 ln 2<br />
2 <br />
<br />
12 <br />
<br />
<br />
ៃិង l ជាប ៃ ត់ប៉ាោះព្កាប C ព្តង់ចំៃុច<br />
2 1<br />
2e x<br />
+សមីកា ប ៃ ត់ប៉ាោះៃឹង C ព្តង់ចំៃុច<br />
<br />
l : y e 2e x 1<br />
ែូរចនោះ សមីកា ប ៃ ត់ប៉ាោះ រឺ : 2<br />
P<br />
<br />
1,e<br />
ឬ<br />
<br />
l y ex e<br />
រឺ<br />
: 2<br />
l y ex e<br />
ឯក្ាមាឌ<br />
P<br />
<br />
1,e<br />
<br />
ខ.រណ ននៃព្ក្ឡា S<br />
ដែលខណឌ រោយព្កាប C<br />
+ព្កាបដខេរកាង C ៃិង ប ៃ ត់ l បង្ហា ញែូច ូបខាងារ ំ<br />
ប ៃ ត់ l<br />
ៃិងអ័ក្េអ រោរៃ<br />
ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាបទំងរី រឺ<br />
1<br />
2x1<br />
S e 2ex e dx<br />
0<br />
<br />
<br />
ែូរចនោះ មាឌនៃសូលីតប ិវតរឺ<br />
៧៨.ក្. ក្សមីកា ប ៃ ត់ប៉ាោះ<br />
ររមាៃ C<br />
+ចំរ<br />
ោះ<br />
ជាព្កាប<br />
y xe<br />
x<br />
<br />
y xe<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
l1,<br />
l2<br />
x<br />
2x1 2<br />
e ex ex<br />
1<br />
<br />
2 e e<br />
,<br />
<br />
1<br />
1<br />
V e e <br />
2<br />
l 1<br />
ៃិង<br />
l 2<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
ឯក្ាននៃ<br />
1<br />
<br />
ឯក្ាមាឌ<br />
ជាប ៃ ត់ប៉ាោះ C<br />
រយើងបាៃ 1<br />
<br />
y e xe x e<br />
x x x<br />
ដែលរូសរចញរីចំៃុច<br />
<br />
<br />
<br />
1 ,0<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
+ាង t<br />
ជាអប់សុីសនៃចំៃុចប៉ាោះ<br />
ររបាៃ សមីកា ប ៃ ត់ប៉ាោះៃឹង C<br />
រោយ ប ៃ ត់ប៉ាោះកាត់ាមចំៃុច<br />
<br />
<br />
<br />
t,<br />
te<br />
ព្តង់ <br />
1 ,0<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
t<br />
រឺ<br />
រយើងបាៃ<br />
<br />
t<br />
t<br />
y te 1t e x t<br />
ឬ<br />
t 2 t<br />
1 1<br />
y t e x t e<br />
1 <br />
t 2<br />
0 1 t e t e<br />
2<br />
t<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 189
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ាម 1 សមីកា ប ៃ ត់ប៉ាោះរឺ<br />
+ចំរ<br />
y ex e<br />
ឬ<br />
ៃិង<br />
ែូរចនោះ សមីកា ប ៃ ត់ប៉ាោះរឺ y ex e ៃិង<br />
ខ. ក្ននៃព្ក្ឡា S<br />
ោះ<br />
y xe<br />
x<br />
ដែលខណឌ រោយព្កាប C<br />
រយើងបាៃ<br />
រយើងបាៃ ារាងអរេ ភារ<br />
x<br />
y<br />
y <br />
<br />
<br />
1x e<br />
x<br />
2<br />
2t<br />
t1 0<br />
រ<br />
ោះ<br />
1 1<br />
y x<br />
2 e 4 e<br />
រហើយ<br />
2<br />
1<br />
1 1<br />
y x<br />
2 e 4 e<br />
ៃិងប ៃ ត់ប៉ាោះទំងរី<br />
<br />
0<br />
<br />
1<br />
t <br />
2<br />
<br />
ឬ<br />
y e xe 2 x e<br />
x x x<br />
<br />
t 1<br />
រយើងបាៃ<br />
x<br />
lim y lim xe 0<br />
x<br />
x<br />
lim y lim xe<br />
x <br />
x<br />
x<br />
ររបាៃ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាប ៃិង ប ៃ ត់ប៉ាោះក្ន ុងសំៃួ ក្. រឺ<br />
1<br />
2<br />
1<br />
<br />
x 1 1 <br />
x<br />
S xe x dx xe 2ex e<br />
dx<br />
2 e 4 e <br />
1 1<br />
2 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
x 1 1 <br />
xe dx x dx<br />
2 e 4 e <br />
1 1<br />
2 2<br />
1 1<br />
1 2 2<br />
1<br />
x 2 x 1 2 1 <br />
2 2<br />
xe e dx x x ex ex<br />
1 <br />
<br />
1<br />
2 1<br />
4 e 4 e 1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3 1 e 7 e<br />
ឯក្ាននៃ<br />
2 e 4 e 4 4 e 4<br />
ែូរចនោះ ននៃព្ក្ឡាខណឌ រោយព្កាប ៃិង ប ៃ ត់ប៉ាោះរឺ<br />
7 e<br />
S <br />
4 e 4<br />
៧៩. ក្.រោយរព្បើអំងរតព្កាល បង្ហា ញថា មាឌរីរា៉ា មីតដែលមាៃននៃបាត B<br />
រោយ<br />
V<br />
y<br />
y<br />
<br />
1<br />
3<br />
Bh<br />
<br />
2e 2<br />
1<br />
e <br />
ាងរីរា៉ា មីតក្ំរូល O មាៃននៃបាត B រៅក្ន ុងបៃង់រាប<br />
0<br />
ឯក្ាននៃ<br />
រហើយមាៃក្ំរស់ h<br />
ក្ំណត់<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 190
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
មាៃអ័ក្េក្ូត h ។ មុខកាត់រាបរែក្នៃរីរា៉ា មីតដែលមាៃ<br />
ក្ូត z ជាបដមៃងនៃបាតរោយបដមៃងចាំងក្ំរូល O<br />
នលរធៀប<br />
z<br />
h<br />
ជារហុរកាៃែូចគ្នន ។<br />
ែូរចនោះ នលរធៀបនៃព្ក្ឡាននៃ<br />
ព្ក្ឡាបាត B<br />
ររបាៃ<br />
ៃិង<br />
S z នៃមុខកាត់ ៃិង ននៃ<br />
រសម ើៃឹងការ នៃនលរធៀបបដមៃងចាំង<br />
<br />
S z<br />
B<br />
2<br />
z <br />
<br />
h រ ោះ<br />
B<br />
z<br />
2<br />
h<br />
<br />
2<br />
S z<br />
រ ោះមាឌនៃរីរា៉ា មីតដែលមាៃក្ំរូល O<br />
ៃិង ននៃបាត B<br />
ដែលក្ំណត់រី 0<br />
រៅ h<br />
ក្ំណត់រោយ រឺ<br />
h<br />
2 3<br />
h B B 1<br />
V S z dz z dz z Bh<br />
2 2<br />
h 3h<br />
3<br />
0 0<br />
ែូរចនោះ មាឌនៃរីរា៉ា មីត រឺ<br />
V<br />
<br />
1<br />
3<br />
Bh<br />
+ទញបង្ហា ញថា ក្ំណាត់មាឌនៃរីរា៉ា មីតរ<br />
B ជាបាតតូច<br />
h<br />
0<br />
ោះរឺ<br />
នលរធៀបនៃព្ក្ឡាននៃបាតតូច B ននៃព្ក្ឡាបាត B<br />
ៃឹងការ នៃនលរធៀបបដមៃងចាំង ។ ររបាៃ<br />
ែូរចនោះ នលរធៀបនៃព្ក្ឡាននៃ<br />
ព្ក្ឡាបាត B<br />
រ<br />
ររបាៃ<br />
ឯក្ាមាឌ<br />
h<br />
<br />
3<br />
V B B BB<br />
រសម ើ<br />
B a<br />
<br />
B b<br />
S z នៃមុខកាត់ ៃិង ននៃ<br />
រសម ើៃឹងការ នៃនលរធៀបបដមៃងចាំង<br />
<br />
S z<br />
B<br />
z<br />
<br />
<br />
b<br />
2<br />
B<br />
2<br />
b<br />
2<br />
រ ោះ S z z<br />
ោះក្ំណាត់មាឌរីរា៉ា មីតក្ំណត់រោយ<br />
2<br />
។<br />
ដែល B<br />
ជាបាតធំៃិង<br />
V<br />
b<br />
a<br />
<br />
S z dz<br />
<br />
b<br />
B 2<br />
2 z dz<br />
b<br />
a<br />
B<br />
<br />
2 z<br />
3b<br />
<br />
b<br />
3<br />
a<br />
<br />
B b a<br />
2<br />
3b<br />
3 3<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 191
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
B<br />
<br />
2 3b<br />
b a b ba a<br />
B<br />
<br />
2 3b<br />
b a b ba a<br />
<br />
2 2<br />
<br />
2 2<br />
<br />
2<br />
b a B a a <br />
1 <br />
2 <br />
3 b b <br />
<br />
<br />
b a B B B<br />
1<br />
3 <br />
<br />
B B <br />
<br />
<br />
ាម ូប b a h រ ោះក្ំណាត់មាឌខាងរលើរៅជា<br />
h<br />
<br />
3<br />
V B B BB<br />
ែូរចនោះ ក្ំណាត់មាឌនៃរីរា៉ា មីតរ<br />
ោះរឺ<br />
h<br />
<br />
3<br />
V B B BB<br />
ខ. សំៃួ ែូចគ្នន ដែ ចំរ ោះរកាៃ បង្ហា ញថាមាឌរកាៃដែលមាៃបាតជា ងវង់កាំ R<br />
ណត់រោយ<br />
ាង <br />
នច ិត កាំ R<br />
ននៃបាតរសម ើៃឹង<br />
1<br />
V <br />
3<br />
2<br />
R h<br />
ជារកាៃដែលមាៃក្ំរូល O<br />
ួចទញបង្ហា ញ ក្ំណាត់មាឌរកាៃរ<br />
រៅក្ន ុងបៃង់ដែលមាៃក្ូត h<br />
B<br />
R<br />
ព្ក្ឡាននៃបាតនៃមុខកាត់រាបមាៃ<br />
B R<br />
S z<br />
z z<br />
h h<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
<br />
2 2<br />
រ ោះមាឌនៃរកាៃដែលមាៃក្ំរូល O<br />
មាៃបាតជា ងវង់<br />
។ រហើយព្ក្ឡា<br />
។ ស្រសរែៀងខាងរលើដែ ររបាៃ<br />
ដែលក្ំណត់រី 0 រៅ h ក្ំណត់រោយ រឺ<br />
h<br />
h 2<br />
R 2<br />
V S zdz <br />
z dz<br />
2<br />
h<br />
0 0<br />
ែូរចនោះ មាឌនៃរកាៃ រឺ<br />
z<br />
រឺ<br />
2<br />
h<br />
R 3<br />
2 z <br />
2<br />
0<br />
<br />
<br />
h<br />
1<br />
V <br />
3<br />
+ទញបង្ហា ញ ក្ំណាត់មាឌរកាៃរ<br />
ាង <br />
2<br />
R h<br />
ៃិង ននៃបាត B<br />
R h<br />
ជាែងរកាៃដែលមាៃបាតជា ងវង់<br />
ោះ<br />
ោះ<br />
z<br />
រហើយមាៃក្ំរស់ h<br />
ក្ំ<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 192
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ស្រសបគ្នន មាៃកាំ R ៃិង R ែូច ូប រហើយមាៃ<br />
ក្ំរស់ h<br />
។ មុខកាត់ ងវង់រាបរែក្នៃរកាៃជាបដមៃង<br />
នៃបាតរោយបដមៃងចាំងក្ំរូល O<br />
នលរធៀប<br />
z<br />
h<br />
ជារហុរកាៃែូចគ្នន ។<br />
ៃិង<br />
ាម ូបខាងារ ំ ររបាៃមាឌក្ំណាត់រកាៃ<br />
ក្ំណត់រោយ<br />
1 1<br />
<br />
3 3<br />
2 2<br />
V R x R y<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
3 R x R y<br />
នលរធៀបនៃព្ក្ឡាននៃនៃមុខកាត់ ៃិង ននៃព្ក្ឡា<br />
បាត B រសម ើៃឹងការ នៃនលរធៀបបដមៃងចាំង<br />
ររបាៃ<br />
រ<br />
R<br />
R<br />
2<br />
x<br />
<br />
2<br />
y<br />
ោះររទញបាៃ<br />
2<br />
<br />
ឬ<br />
<br />
Rh<br />
x <br />
R<br />
R<br />
ររបាៃ មាឌក្ំណាត់រកាៃ V<br />
ែូរចនោះ មាឌក្ំណាតរកាៃ រឺ<br />
H <br />
S , y <br />
<br />
x <br />
x y x y h<br />
<br />
R R R R R R<br />
ៃិង<br />
Rh <br />
y <br />
R<br />
R<br />
3 3<br />
R h R<br />
h <br />
<br />
3 R R<br />
R R<br />
<br />
<br />
3 R<br />
R<br />
3<br />
3 3<br />
h R R h R<br />
2 R<br />
2<br />
RR<br />
h<br />
3<br />
<br />
2 2<br />
V R R RR<br />
៨០.ក្.រោយរព្បើអំងរតព្កាល ក្មាឌរីរា៉ា មីតមាៃបាតជាការ ដែលមាៃព្ជុង r<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
រហើយមាៃក្ំរស់ h<br />
។<br />
ាងមាឌរីរា៉ា មីតមាៃបាតជាការ ដែលមាៃព្ជុង r<br />
មាៃទិសរៅវិជជមាៃ ។ យក្ O<br />
រហើយមាៃក្ំរស់ h រ<br />
ោះក្ន ុងតព្មុយអ តូណមា៉ា ល់<br />
ជារល់តព្មុយែូចក្ន ុង ូបបង្ហា ញ ។ មុខកាត់រាបរែក្នៃរីរា៉ា មីតដែលមាៃ<br />
ក្ូត<br />
z<br />
ជាបដមៃងនៃបាតរោយបដមៃងចាំងក្ំរូល h<br />
ៃិង នលរធៀប d e ជារហុរកាៃែូចគ្នន ។<br />
ែូរចនោះ នលរធៀបនៃព្ក្ឡាននៃ<br />
ររបាៃ<br />
<br />
S x<br />
r<br />
2<br />
d<br />
<br />
<br />
e <br />
2<br />
រ<br />
S x នៃមុខកាត់ ៃិង ននៃព្ក្ឡាបាត<br />
ោះ<br />
<br />
S x<br />
2 d<br />
2<br />
<br />
r <br />
e <br />
2<br />
r<br />
រសម ើៃឹងការ នៃនលរធៀបបដមៃងចាំង<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 193
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
មយ៉ា ងរទៀត រោយបាតទំងរី ស្រសបគ្នន ាមព្ទឹសរ ីបទាដលស<br />
រ<br />
d h x<br />
<br />
e h<br />
ោះននៃព្ក្ឡាមុខកាត់ខាងរលើរៅជា<br />
រ<br />
<br />
S x<br />
2 h<br />
x<br />
r <br />
h <br />
ោះមាឌនៃរីរា៉ា មីតដែលមាៃននៃបាតជាការ<br />
2<br />
ដែលក្ំណត់រី 0<br />
h<br />
រៅ h<br />
2<br />
0 0<br />
ក្ំណត់រោយ<br />
2<br />
r<br />
2<br />
V S xdx h x<br />
dx<br />
h<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 194<br />
h<br />
2<br />
r 1<br />
<br />
2<br />
h<br />
x<br />
h <br />
<br />
3<br />
2<br />
r<br />
<br />
3h<br />
1<br />
2<br />
3 rh<br />
<br />
2<br />
0<br />
h<br />
ែូរចនោះ មាឌនៃរីរា៉ា មីតដែលមាៃននៃបាតជាការ រឺ<br />
3<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
h<br />
0<br />
1<br />
V <br />
3<br />
2<br />
r h<br />
ខ. ក្មាឌរតព្ាដអតដែលមាៃព្ជុងទំងបីដក្ងគ្នន ព្បដវង a , b ៃិង c<br />
a<br />
ាងមាឌរតព្ាដអតមាៃបាតជាព្តីរកាណដែលមាៃព្ជុង<br />
, b<br />
ៃិង c ដែលរៅក្ន ុងតព្មុយអ តូណមា៉ា ល់មាៃទិសរៅ<br />
វិជជមាៃ ។ យក្ O<br />
ជារល់តព្មុយែូចក្ន ុង ូបបង្ហា ញ ។<br />
រោយបាតទំងរី ស្រសបគ្នន ាមព្ទឹសរ ីបទាដលស<br />
ររទញបាៃ<br />
រ<br />
d c x<br />
<br />
a c<br />
<br />
a c x<br />
d <br />
c<br />
<br />
ៃិង<br />
ៃិង<br />
ោះននៃព្ក្ឡាមុខកាត់ព្តីរកាណរឺ<br />
e c x<br />
<br />
b c<br />
<br />
b c x<br />
e <br />
c<br />
<br />
1 1a c x b c x <br />
S ed <br />
2 2 c c <br />
<br />
ab c x 2<br />
2c<br />
2
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រ<br />
ោះររបាៃ មាឌរតព្ាដអតដែលមាៃព្ជុងទំងបីដក្ងគ្នន ក្ំណត់រោយ<br />
c<br />
ab<br />
V S xdx c x 2<br />
dx<br />
2c<br />
<br />
2<br />
0 0<br />
c<br />
ab 1<br />
c x<br />
2<br />
2c<br />
<br />
<br />
3<br />
ab<br />
<br />
6c<br />
abc<br />
<br />
6<br />
<br />
2<br />
0<br />
3<br />
c<br />
ែូរចនោះ មាឌរតព្ាដអតដែលមាៃព្ជុងទំងបីដក្ងគ្នន រឺ<br />
រ. ក្មាឌនៃសូលីតដែលបាៃមក្រី ងវ ិលរអលីប<br />
ររមាៃ រអលីប<br />
ររទញបាៃ<br />
y<br />
x<br />
a<br />
y<br />
<br />
b<br />
2 2<br />
<br />
2 2<br />
1<br />
b<br />
2 2<br />
2<br />
<br />
1 x <br />
<br />
2 <br />
a <br />
ររបាៃ មាឌនៃសូលីតដែលបាៃមក្<br />
រី ងវ ិលរអលីប<br />
x<br />
a<br />
y<br />
<br />
b<br />
2 2<br />
<br />
2 2<br />
1<br />
អ័ក្េអប់សុីសក្ំណត់រោយ<br />
វិលជុំវិញ<br />
a<br />
a<br />
2<br />
2 2<br />
x <br />
V 2<br />
y dx 2b 1<br />
dx<br />
2 <br />
a<br />
a<br />
a<br />
<br />
2<br />
b<br />
2<br />
3<br />
x <br />
x<br />
2 <br />
3a<br />
<br />
a<br />
a<br />
a 4<br />
2b a <br />
ab<br />
3<br />
3<br />
2 2<br />
ែូរចនោះ មាឌនៃរអលីបវិលជុំវិញអ័ក្េអប់សុីសរឺ<br />
3<br />
<br />
x<br />
a<br />
<br />
<br />
<br />
c<br />
0<br />
y<br />
<br />
b<br />
2 2<br />
abc<br />
V <br />
6<br />
<br />
2 2<br />
1<br />
4<br />
V ab<br />
3<br />
៨១.ក្.រោយរព្បើអំងរតព្កាល បង្ហា ញថាប ិមាព្ត ងវង់កាំ R រឺ<br />
2<br />
វិលជុំវិញអ័ក្េអប់សុីស<br />
P<br />
2<br />
R<br />
រែើមបី ក្ព្បដវងប ិមាព្តនៃ ងវង់ រយើងរព្បើ ូបមៃរព្បដវងនៃដខេរកាង ។<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 195
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ងវង់នច ិត O កាំ R មាៃសមីកា<br />
2 2 2<br />
x y R រ ោះររទញបាៃ<br />
រយើងរណ<br />
រែ ីរវ<br />
y <br />
2 2<br />
y R x ដែល<br />
R<br />
x<br />
x<br />
2 2<br />
x<br />
<br />
y<br />
ររបាៃ ប ិមាព្តនៃ ងវង់នច ិត O កាំ R ក្ំណត់រោយ<br />
R<br />
R<br />
2<br />
2 1 2 1<br />
R<br />
R<br />
R x R<br />
2<br />
x<br />
P y dx dx<br />
2<br />
y<br />
ែូរចនោះ ប ិមាព្ត ងវង់កាំ R<br />
រឺ<br />
2<br />
R<br />
<br />
R<br />
R<br />
R<br />
x<br />
2 2<br />
x<br />
2R<br />
arcsin<br />
R<br />
R R<br />
dx<br />
<br />
<br />
2R<br />
<br />
2<br />
R<br />
2 2<br />
P<br />
2<br />
R<br />
ខ. ក្ព្បដវងបា៉ា រា៉ា បូលដែលមាៃសមីកា<br />
y<br />
2<br />
2px<br />
រៅចរ ៃ ោះ 0 x a<br />
<br />
<br />
រហើយ<br />
p 0 ។<br />
រយើងសិក្ោព្បដវងនៃបា៉ា រា៉ា បូលដែលមាៃសមីកា<br />
y<br />
2<br />
2px<br />
រៅចរ ៃ ោះ 0 x a រៅរលើអ័ក្េអប់សុីស<br />
<br />
<br />
រយើងរណ<br />
រែ ីរវ<br />
y<br />
2<br />
2px<br />
p<br />
។ រយើងបាៃ y , p 0 ។<br />
2x<br />
រ ោះររបាៃព្បដវងនៃបា៉ា រា៉ា បូលរៅចរ ៃ ោះ 0 x a<br />
រយើងរណ<br />
a<br />
a<br />
2<br />
2<br />
1 2<br />
1<br />
0 0 2<br />
p<br />
L y dx dx<br />
x<br />
a<br />
<br />
0<br />
<br />
2 2x<br />
p<br />
<br />
dx<br />
2x<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង u 2x<br />
រ ោះ<br />
របើ<br />
x 0<br />
រ<br />
ោះ<br />
u 0<br />
du <br />
dx<br />
2x<br />
ឬ udu dx<br />
<br />
ក្ំណត់រោយ<br />
<br />
របើ x a<br />
រ ោះ u<br />
2a<br />
រ<br />
ោះអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
2a<br />
2<br />
L 2<br />
u pdu<br />
<br />
0<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 196
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រយើងរណ<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />
b<br />
<br />
a<br />
b<br />
<br />
f x g x dx f x g x g x f x dx<br />
2<br />
ាង f u u p រ ោះររបាៃ<br />
1<br />
g<br />
u<br />
រ<br />
ោះររបាៃ<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
រ<br />
ោះររទញបាៃ<br />
ឬ<br />
ែូរចនោះ ព្បដវងបា៉ា រា៉ា បូល រឺ<br />
g u<br />
u<br />
f<br />
a<br />
b<br />
<br />
a<br />
u<br />
u <br />
2<br />
u<br />
p<br />
2a<br />
2a<br />
2<br />
2<br />
u<br />
2 2<br />
0<br />
2<br />
0 u<br />
L u u p <br />
du<br />
p<br />
2 a 2<br />
p u p<br />
2 2a 2a p 2 <br />
du<br />
2<br />
u p<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
2a<br />
2a<br />
du<br />
2<br />
a a p 2 u pdu<br />
0 u p 0<br />
2 2 2 2 2 <br />
2a<br />
2<br />
a<br />
a p<br />
u u p L<br />
0<br />
2 2 2 2ln <br />
<br />
2L 2 2a 2a p 2ln<br />
<br />
L 2a 2a p ln<br />
៨២. ក្. ក្ព្បដវងនៃដខេរកាងាងអៃុរមៃ៍<br />
រ<br />
ររមាៃ អៃុរមៃ៍<br />
ោះររបាៃ<br />
<br />
L 2a 2a p ln<br />
1<br />
f x x 3x<br />
3<br />
<br />
x<br />
1 1<br />
f x<br />
x x<br />
2 2<br />
1<br />
x<br />
3<br />
1 3<br />
2 2<br />
1 1<br />
<br />
2 2<br />
1<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
x<br />
1<br />
x<br />
<br />
2 x<br />
<br />
x <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2a 2a p<br />
p<br />
2a 2a p<br />
p<br />
2a 2a p<br />
1<br />
f x x x<br />
3<br />
p<br />
3<br />
<br />
<br />
រៅចរ ៃ ោះ 0 3<br />
x <br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 197
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ររបាៃ<br />
<br />
<br />
f<br />
x<br />
<br />
2 12xx<br />
<br />
4x<br />
2<br />
ៃិង<br />
1<br />
<br />
<br />
f<br />
x<br />
2 4x 1<br />
2x x<br />
<br />
4x<br />
2<br />
x 2x 1 x 1<br />
<br />
<br />
4x<br />
<br />
2<br />
x <br />
រ ោះព្បដវងដខេរកាងាងអៃុរមៃ៍រៅចរ ៃ ោះ 0 x 3 ក្ំណត់រោយ<br />
2<br />
2<br />
3 3<br />
2 x 1<br />
L 1 f x<br />
dx dx<br />
2 x<br />
0 0<br />
<br />
1<br />
2<br />
3 1 1<br />
2 2<br />
<br />
0<br />
<br />
x x dx<br />
<br />
3 1<br />
13<br />
2 2<br />
2 2 3<br />
2 2 x x <br />
<br />
<br />
ែូរចនោះ ព្បដវងដខេរកាងាងអៃុរមៃ៍រៅចរ ៃ ោះ 0 3 រឺ<br />
ខ. ក្ព្បដវងនៃដខេរកាងាងអៃុរមៃ៍<br />
ររមាៃ<br />
<br />
<br />
x a t sin<br />
t<br />
y a 1 cost<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x <br />
x a t sin<br />
t<br />
y a 1 cost<br />
<br />
<br />
3<br />
0<br />
L 2 3<br />
ឯក្ាព្បដវង<br />
ឯក្ាព្បដវង<br />
រៅចរ ៃ ោះ 0 2<br />
t<br />
<br />
<br />
ដែល<br />
y 0<br />
ចំរ<br />
ោះ<br />
y 0 ររបាៃ<br />
<br />
<br />
x t a 1cost<br />
y t asin<br />
t<br />
ររបាៃព្បដវងដខេរកាងាងអៃុរមៃ៍<br />
រៅចរ ៃ ោះ 0 2<br />
ក្ំណត់រោយ<br />
t<br />
<br />
<br />
ដែល y 0<br />
2<br />
2<br />
2 2 2 2 2 2<br />
<br />
<br />
<br />
L x t y t dt a 1 cost a sin tdt<br />
0 0<br />
2<br />
<br />
t<br />
2a<br />
sin dt 2<br />
0<br />
2<br />
t<br />
4acos 8a<br />
2<br />
0<br />
ឯក្ាព្បដវង<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 198
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ែូរចនោះ ព្បដវងដខេរកាងាងអៃុរមៃ៍រៅចរ ៃ ោះ 0 2<br />
៨៣.ក្.សៃមតថា<br />
ររមាៃ<br />
ររបាៃ<br />
f<br />
<br />
<br />
g x xf x<br />
រណ<br />
ជាអៃុរមៃ៍មាៃរែ ីរវ<br />
<br />
g<br />
x f x xf x<br />
ខ. រណ អំងរតព្កាល<br />
រិៃិតយរមើលអៃុរមៃ៍<br />
រោយ<br />
<br />
4<br />
e<br />
<br />
g<br />
x<br />
t<br />
<br />
1 <br />
J ln x dx<br />
2 ln x <br />
f x ln x<br />
e<br />
រ<br />
ោះ<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ដែល<br />
y 0 រឺ<br />
ln x <br />
1<br />
f x <br />
2 ln x 2x ln x<br />
1 1<br />
f x<br />
xf x<br />
ln x x ln x <br />
2x ln x 2 ln x<br />
ររបាៃអំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
៨៤.ក្. បង្ហា ញថា<br />
រយើងមាៃ<br />
I <br />
4<br />
e<br />
4<br />
e<br />
1 <br />
J ln x dx<br />
2 ln x <br />
e<br />
4<br />
e<br />
g<br />
e<br />
g x<br />
<br />
x<br />
4<br />
xf x<br />
x dx<br />
e<br />
e<br />
4<br />
e<br />
ln 4<br />
e<br />
2 3<br />
1<br />
e<br />
x x e e <br />
1 <br />
J ln x dx<br />
2 ln x <br />
I <br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
e<br />
1<br />
2<br />
<br />
du<br />
u u u<br />
0 1 1 1 2<br />
dx<br />
sin x<br />
sin 2x<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
2e e 1<br />
sin x<br />
dx<br />
x x x<br />
2 2<br />
sin 2sin cos<br />
3<br />
<br />
2<br />
<br />
x<br />
sin x<br />
2<br />
sin (1 2cos x)<br />
3<br />
dx<br />
L<br />
8a<br />
ឯក្ាព្បដវង<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 199
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
<br />
<br />
x<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 200<br />
<br />
<br />
2<br />
3<br />
sin x<br />
<br />
2<br />
1cos (1 2cos x)<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
រយើងបាៃ<br />
ែូចរៃោះ<br />
u<br />
cos x<br />
+របើ<br />
+របើ<br />
I <br />
ខ. ក្ចំៃួៃរិត<br />
1<br />
2<br />
<br />
I <br />
រ<br />
<br />
x <br />
2<br />
<br />
x <br />
3<br />
រ<br />
ោះ<br />
រ<br />
du<br />
du sin<br />
xdx<br />
ោះ<br />
ោះ<br />
u 0<br />
2<br />
u<br />
u<br />
0<br />
1 1 2<br />
1<br />
2<br />
<br />
du<br />
1<br />
u <br />
2<br />
<br />
1<br />
2<br />
u u u<br />
<br />
0 1 1 1 2<br />
a , b<br />
ៃិង c<br />
1<br />
ររមាៃ<br />
<br />
ដែលចំរ<br />
du<br />
dx<br />
u u u<br />
0 1 1 1 2<br />
ោះព្រប់<br />
1<br />
u <br />
0,<br />
2<br />
<br />
a b <br />
c<br />
1 u 1 u 1 2u 1 u 1 u 1<br />
2u<br />
ររទញបាៃ<br />
<br />
2<br />
1 1 2 1 1 2 1 1<br />
<br />
a u u b u u c u u<br />
<br />
1 u 1 u 1<br />
2u<br />
<br />
2<br />
2a 2b cu 3a bu a b c<br />
1 u1 u1<br />
2u<br />
<br />
<br />
<br />
a b c1 1<br />
<br />
3ab0 2<br />
<br />
2a 2b c 0 3<br />
1 , 3<br />
<br />
<br />
2 1 4<br />
b3a<br />
ជំៃួស ររបាៃ<br />
a c <br />
<br />
8ac0 5<br />
1 1 4<br />
ាម 4<br />
ៃិង 5<br />
រយើងបាៃ a , b ៃិង c <br />
6 2 3<br />
4<br />
1 1 1 4<br />
ែូចរៃោះ<br />
ៃិង<br />
<br />
3 1 u 1 u 1 2u 6 1 u 2 1 u 3 1<br />
2u<br />
រ.រណ<br />
1 1<br />
a<br />
, b <br />
6 2<br />
អំងរតព្កាល<br />
I <br />
c ដែល <br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
3<br />
dx<br />
sin x<br />
sin 2x
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រយើងមាៃ<br />
I <br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
3<br />
ែូរចនោះ<br />
dx<br />
sin x<br />
sin 2x<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
3<br />
៨៥.រណ អំងរតព្កាល I a,<br />
b<br />
ចំរ<br />
ាង<br />
<br />
1<br />
2<br />
<br />
du<br />
u u u<br />
0 1 1 1 2<br />
1<br />
2<br />
1 1 4<br />
<br />
<br />
<br />
6 1 u 2 1 u 3 1<br />
2u<br />
0 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
du<br />
<br />
1 1 2<br />
ln 1 u ln 1 u ln 1<br />
2u<br />
6 2 3<br />
1 1 1 3 2<br />
ln ln ln 2<br />
6 2 2 2 3<br />
4 1<br />
ln 2 ln 3<br />
3 2<br />
dx 4 1<br />
ln 2 ln 3<br />
sin x<br />
sin 2x<br />
3 2<br />
b<br />
<br />
dx<br />
a b x x a<br />
របើ a ៃិង b ជារី ចំៃួៃរិតដែល a b<br />
ោះកា រោោះស្រាយអំងរតព្កាល រៃោះ ររអចរោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ រី <br />
2<br />
t x a 1<br />
b<br />
a<br />
<br />
<br />
<br />
+របើ x a<br />
រ<br />
<br />
ោះ<br />
រ<br />
ោះ<br />
t 1<br />
<br />
I a,<br />
b<br />
b<br />
a<br />
x t 1<br />
a<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
ំឲ្យ<br />
b<br />
a<br />
dx dt<br />
2<br />
1<br />
2<br />
0<br />
<br />
ab ,<br />
1,1<br />
រៅ <br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
+របើ x b<br />
រ ោះ<br />
t 1<br />
b<br />
a<br />
1<br />
dt<br />
<br />
2<br />
b<br />
a<br />
I a, b <br />
I 1,1<br />
2<br />
1<br />
b a b a<br />
1 t 1<br />
t<br />
2 2<br />
+រណ I 1,1<br />
-ចំរ ោះ<br />
ាង<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
ររបាៃ 1,1<br />
1<br />
1<br />
dx<br />
1 x 1<br />
x<br />
1 1 1<br />
1 1 1<br />
<br />
ដែល<br />
1 x 1 x 1 1 x 1 1<br />
x<br />
I dx dx dx<br />
2x 2<br />
<br />
x 2<br />
<br />
x<br />
1<br />
x<br />
dx រោោះស្រាយរោយបរ<br />
x<br />
ូ អរេ<br />
u<br />
1x<br />
រ ោះ<br />
dx 2udu<br />
I<br />
<br />
<br />
1,1<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
dx<br />
1 x 1<br />
x<br />
+របើ<br />
x 1 រ ោះ 0<br />
u <br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 201
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ររបាៃ<br />
-ចំរ<br />
+របើ x 1 រ ោះ u 2<br />
ោះ<br />
ររបាៃ<br />
ែូរចនោះ<br />
៨៦.រណ<br />
1 2 2 2<br />
1 x u 2udu u 11<br />
dx 2<br />
du<br />
x u 1 u 1<br />
<br />
2 2<br />
1 0 0<br />
1<br />
1<br />
x<br />
dx :<br />
x<br />
1<br />
2 2<br />
<br />
2 du 2<br />
រោោះស្រាយរោយាងែូចខាងរលើដែ<br />
0 0<br />
1 0 2 2<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 202<br />
<br />
2 2<br />
1 2<br />
0<br />
du<br />
2<br />
u 1<br />
0<br />
2<br />
u 1<br />
2 2 ln 2 2 2ln 2 1<br />
u 1<br />
1<br />
x u 2udu<br />
u 11<br />
dx <br />
2<br />
du<br />
x 1u u 1<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 2ln 2 1<br />
b a I b a<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 1<br />
<br />
I a, b 1,1 2 2 2ln 2 1 2 2 2ln 2 1<br />
2 2 <br />
<br />
2 2<br />
<br />
<br />
អំងរតព្កាល<br />
ab , <br />
ចំរ ោះ <br />
2<br />
b<br />
<br />
<br />
b<br />
a <br />
2 2 ln 2 1<br />
b<br />
<br />
a<br />
<br />
I x a b x dx<br />
<br />
ដែល a b<br />
+ចំរ ោះ <br />
របៀបទី ១ ាង<br />
ររបាៃ<br />
I x a b x dx<br />
a<br />
ររបាៃ<br />
y x ab x 0<br />
2 2<br />
y bx x ab ax<br />
ឬ<br />
ឬ<br />
<br />
ៃិង<br />
<br />
b<br />
<br />
a<br />
<br />
J x x a b x dx<br />
ចំរ ោះព្រប់ <br />
<br />
2 2<br />
x a b x y ab<br />
x a, b : a b<br />
2 2<br />
2 <br />
a b a b <br />
x y ab<br />
2 2 <br />
2 2<br />
2 <br />
<br />
ឬ<br />
a b <br />
x y<br />
b a <br />
<br />
2 2 <br />
a<br />
b <br />
សមីកា ខាងរលើជាសមីកា ងវង់ដែលមាៃនច ិត I ,0<br />
ៃិង កាំ<br />
2 <br />
b<br />
I x a b x dx ជាព្ក្ឡាននៃក្ ៃោះ ងវង់ដែលមាៃនច ិត<br />
ររបាៃ <br />
a<br />
<br />
b<br />
a<br />
R <br />
2<br />
b<br />
a <br />
I ,0<br />
2 <br />
ៃិងកាំ<br />
b<br />
a<br />
R ។<br />
2
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ាង S ជាព្ក្ឡាននៃក្ ៃោះ ងវង់រ<br />
ោះ<br />
ររបាៃ<br />
b<br />
<br />
a<br />
<br />
S x a b x dx<br />
របៀបទី ២ ររបាៃ<br />
2<br />
b<br />
a 2<br />
1 b<br />
a<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2 8<br />
<br />
<br />
ឯក្ាននៃ<br />
b<br />
2<br />
I x a b x abdx<br />
<br />
a<br />
b<br />
a<br />
2 2<br />
b a a b<br />
<br />
x dx<br />
2 2 <br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
ររបាៃ<br />
a<br />
b<br />
t x<br />
2<br />
<br />
+របើ x a<br />
<br />
+របើ x b<br />
I <br />
ba<br />
2<br />
<br />
ba<br />
<br />
2<br />
រយើងាងបៃរទៀត<br />
+របើ<br />
+របើ<br />
រ<br />
រ<br />
<br />
រ ោះ dt dx<br />
ោះ<br />
ោះ<br />
b<br />
a<br />
t <br />
2<br />
b<br />
a<br />
t <br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
b<br />
a<br />
<br />
2 <br />
b<br />
a<br />
t <br />
2<br />
រ<br />
រ<br />
b<br />
a<br />
t <br />
2<br />
b<br />
a<br />
t <br />
2<br />
ោះ<br />
2<br />
ោះ<br />
<br />
2<br />
t dt<br />
sin <br />
<br />
<br />
រ<br />
<br />
ោះ<br />
sin 1<br />
<br />
<br />
sin 1<br />
ឬ<br />
b<br />
a<br />
dt <br />
2<br />
ឬ<br />
<br />
<br />
2<br />
2 2<br />
<br />
<br />
2<br />
cos <br />
d<br />
ររបាៃ I sin cos <br />
<br />
<br />
2<br />
b a b a <br />
b <br />
<br />
a d<br />
2 2 2<br />
b<br />
a<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
1sin cos d<br />
2<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
b a b a<br />
cos d<br />
4<br />
<br />
<br />
8<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 203
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
+ចំរ ោះ<br />
b<br />
<br />
a<br />
<br />
J x x a b x dx<br />
<br />
ាង x a b t<br />
<br />
រ ោះ dx dt<br />
<br />
របើ x a<br />
<br />
រ ោះ t b<br />
ររបាៃ<br />
រ<br />
ោះ<br />
<br />
របើ x b<br />
<br />
រ ោះ t a<br />
a<br />
<br />
<br />
J a b t a b t a b a b t dt<br />
b<br />
b<br />
<br />
<br />
a b t t a b t dt<br />
a<br />
b<br />
b<br />
<br />
<br />
a b t a b t dt t t a b t dt<br />
<br />
2J<br />
<br />
ែូរចនោះ<br />
a<br />
2<br />
a b b a<br />
8<br />
a bb a 2<br />
I <br />
8<br />
b<br />
a 2<br />
8<br />
<br />
<br />
J<br />
<br />
ៃិង<br />
ឬ<br />
J <br />
J <br />
៨៧.រោយរព្បើអំងរតព្កាល ចូ បង្ហា ញថា<br />
ក្.<br />
n 1<br />
1 1 1 2 1 2 <br />
n 1<br />
Cn Cn Cn<br />
1 <br />
2 3 n<br />
1 n<br />
1<br />
<br />
a<br />
a bb a 2<br />
16<br />
a bb a 2<br />
រយើងបង្ហា ញសមភាររោយរព្បើអំងរតព្កាល ៃិង ូបមៃរទវធាញ ូ តុៃ<br />
រយើងរធវ<br />
16<br />
<br />
0 1 1 1<br />
1<br />
<br />
<br />
n n n n n<br />
n n n n<br />
x C C x C x C x<br />
ើអំងរតព្កាលរលើអងាទំងសងខាងនៃ រៅចរ ៃ ោះ <br />
1 1<br />
1<br />
0,1<br />
1<br />
ររបាៃ<br />
n 0 1 n1 n1<br />
n n<br />
1 n<br />
<br />
n<br />
<br />
n<br />
<br />
n <br />
x dx C C x C x C x dx<br />
0 0<br />
រព្កាយរីរធវ ើអំងរតព្កាលរលើអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />
ឬ<br />
1 n1<br />
1<br />
2 x<br />
n1<br />
x 1 x 2 x n<br />
1<br />
x<br />
x Cn Cn Cn<br />
<br />
2 3 n1 n1<br />
n 1<br />
1 1 1 2 1 2 <br />
n 1<br />
Cn Cn Cn<br />
1 <br />
2 3 n<br />
1 n<br />
1<br />
0<br />
<br />
<br />
0<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 204
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ខ.<br />
n 1<br />
1 1 1 2 1 2 <br />
n 1<br />
ែូរចនោះ 1 Cn Cn Cn<br />
<br />
2 3 n<br />
1 n<br />
1<br />
n 1<br />
1 0 1 1 1 2 1 2 <br />
n 1<br />
Cn Cn Cn Cn<br />
<br />
3 6 9 3n3 3 n1<br />
រយើងបង្ហា ញសមភាររោយរព្បើអំងរតព្កាល ៃិង ូបមៃរទវធាញ ូ តុៃ<br />
រុណអងាទំងសងខាងៃឹង<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
n<br />
0 1 3 n1 3n3 n 3n<br />
n n n n<br />
1 x C C x C x C x<br />
<br />
2<br />
x<br />
<br />
ររបាៃ<br />
2 3<br />
n<br />
0 2 1 5 n1 3n1 n 3n2<br />
1 <br />
n<br />
<br />
n<br />
<br />
n<br />
<br />
n<br />
x x C x C x C x C x<br />
រយើងរធវ ើអំងរតព្កាលរលើអងាទំងសងខាងនៃ 1<br />
រី 0 រៅ 1 ររបាៃ<br />
<br />
1 1<br />
2 3 0 2 1 5 1 3 1 3 2<br />
<br />
1<br />
<br />
n<br />
n n n n<br />
1 n<br />
<br />
n<br />
<br />
n<br />
<br />
n <br />
x x dx C x C x C x C x dx<br />
0 0<br />
រព្កាយរីរធវ ើអំងរតព្កាលរលើអងាទំងសងខាងររបាៃ<br />
ឬ<br />
ែូរចនោះ<br />
៨៨.សិក្ោភារ ីក្ ួមនៃអំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
<br />
dx<br />
<br />
x x<br />
<br />
2<br />
2 2<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
1<br />
1 3<br />
n<br />
3 6 9 3n2<br />
x x 1<br />
1 x 2 x<br />
x<br />
n<br />
Cn Cn Cn<br />
<br />
3 6 9 3n2 3 n1<br />
n 1<br />
1 0 1 1 1 2 1 2 <br />
n 1<br />
Cn Cn Cn Cn<br />
<br />
3 6 9 3n3 3 n1<br />
n 1<br />
1 0 1 1 1 2 1 2 <br />
n 1<br />
Cn Cn Cn Cn<br />
<br />
3 6 9 3n3 3 n1<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
<br />
dx<br />
រ ោះររបាៃ ួម<br />
2<br />
x 2x2<br />
1 <br />
dx<br />
dx<br />
lim<br />
x 2x2 <br />
x 1 1<br />
2<br />
<br />
1 1<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
lim arctan x 1<br />
<br />
<br />
lim arctan<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
1<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 205
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
<br />
dx<br />
ែូរចនោះ ួម<br />
2<br />
x 2x2<br />
1 ខ.<br />
<br />
<br />
e<br />
x<br />
dx<br />
ln<br />
x 3 2<br />
រយើងរោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ<br />
<br />
របើ x e<br />
រ<br />
ោះររបាៃ<br />
u 1<br />
ាង<br />
u ln x<br />
រ<br />
ោះ<br />
dx<br />
du <br />
x<br />
របើ x រ ោះររបាៃ u <br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
រ ោះររបាៃ<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
<br />
e<br />
x<br />
<br />
<br />
e<br />
dx<br />
x<br />
ln<br />
x 3 2<br />
dx<br />
ln<br />
x 3 2<br />
៨៩.សិក្ោភារ ីក្ ួមនៃអំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
b<br />
<br />
a<br />
dx<br />
x ab x<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
b<br />
a<br />
ួម<br />
ួម<br />
<br />
<br />
e<br />
<br />
dx du<br />
<br />
xln<br />
x 3 3<br />
2 1 2<br />
u<br />
b<br />
lim<br />
<br />
2<br />
u<br />
<br />
2 <br />
lim 2 2<br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
dx<br />
<br />
x a b x a b a b<br />
<br />
x <br />
2 2 <br />
<br />
2 2<br />
a<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
a<br />
b<br />
ាង t x រ ោះ dt dx<br />
2<br />
<br />
+របើ x a<br />
រ ោះ<br />
b<br />
a<br />
t <br />
2<br />
1<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 206
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ររបាៃ<br />
<br />
+របើ x b<br />
I <br />
ba<br />
2<br />
<br />
ba<br />
<br />
2<br />
រយើងាងបៃរទៀត<br />
+របើ<br />
រ<br />
ោះ<br />
b<br />
a<br />
t <br />
2<br />
b<br />
a<br />
t <br />
2<br />
dt<br />
2<br />
b<br />
a t<br />
2 <br />
b<br />
a<br />
t <br />
2<br />
2<br />
sin <br />
<br />
រ<br />
ោះ<br />
រ ោះ sin 1 ឬ<br />
b<br />
a<br />
+របើ t រ ោះ<br />
ឬ<br />
2<br />
b<br />
a<br />
2<br />
cos<br />
d<br />
ររបាៃ I 2<br />
<br />
<br />
b a b a<br />
<br />
2 sin <br />
<br />
2 2 <br />
រ<br />
ោះ<br />
ែូរចនោះ<br />
ខ.<br />
b<br />
<br />
a<br />
<br />
b<br />
a<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
sin 1<br />
cos d<br />
<br />
2<br />
1<br />
sin <br />
<br />
dx<br />
ួម<br />
b<br />
<br />
a<br />
b<br />
a<br />
dt <br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
2 2<br />
<br />
x ab x<br />
dx<br />
x ab x<br />
xdx<br />
x ab x<br />
ួម<br />
<br />
<br />
2<br />
cos <br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
<br />
ាង x a b t<br />
<br />
រ ោះ dx dt<br />
d<br />
ររបាៃ<br />
<br />
របើ x a<br />
<br />
របើ x b<br />
J <br />
<br />
a<br />
<br />
b<br />
b<br />
<br />
a<br />
<br />
រ ោះ t b<br />
<br />
រ ោះ t a<br />
<br />
<br />
a b t dt<br />
a b t a b a b t<br />
a b tdt<br />
t ab t<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 207
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
<br />
<br />
b<br />
dt<br />
tdt<br />
a b <br />
<br />
t a b t t a b t<br />
<br />
<br />
រ ោះ 2J <br />
រ<br />
<br />
ោះររបាៃ<br />
ែូរចនោះ<br />
b<br />
<br />
a<br />
b<br />
a<br />
J<br />
ឬ<br />
a<br />
<br />
J <br />
2<br />
b<br />
<br />
<br />
xdx<br />
ួម<br />
x ab x<br />
xdx<br />
x ab x<br />
៩០.រតើអំងរតព្កាលខាងរព្កាម ួម ឬ ីក្ ?<br />
ក្.<br />
<br />
<br />
dx<br />
x<br />
x<br />
<br />
0<br />
1 2<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
រ<br />
ោះ<br />
ែូរចនោះ<br />
ខ.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
<br />
x1 x2<br />
0<br />
<br />
<br />
dx<br />
<br />
x1 x2<br />
0<br />
4<br />
x<br />
x <br />
10<br />
1<br />
0<br />
ួម<br />
<br />
<br />
0 0<br />
<br />
dx<br />
a<br />
dx<br />
1 1 <br />
lim dx<br />
x 1 x 2 x 1 x 2<br />
<br />
ួម<br />
ួម<br />
<br />
0<br />
lim ln x1 ln x<br />
2<br />
<br />
1<br />
lim ln ln 2 ln 2<br />
2<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
u<br />
5<br />
x រ ោះ<br />
du 5x<br />
របើ x 0 រ ោះររបាៃ u 0<br />
របើ x រ<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ោះររបាៃ u <br />
<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
x 1 du<br />
dx <br />
x 1 5<br />
<br />
u 1<br />
10 2<br />
0 0<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 208
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រ<br />
ោះ<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
<br />
4<br />
x<br />
x <br />
10<br />
1<br />
0<br />
<br />
<br />
4<br />
x<br />
x <br />
10<br />
1<br />
0<br />
dx<br />
dx<br />
៩១.សិក្ោភារ ីក្ ួមនៃអំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
1 2<br />
<br />
0 1<br />
x dx<br />
x<br />
2<br />
ួម<br />
ួម<br />
1<br />
lim<br />
<br />
<br />
du<br />
2<br />
5 u 1<br />
0<br />
<br />
x<br />
1 <br />
lim arctan <br />
5 10<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ នៃអៃុរមៃ៏ព្តីរកាណមាព្ត<br />
ាង<br />
x<br />
sin t<br />
រ<br />
ោះ<br />
t<br />
arcsin x<br />
<br />
dx<br />
costdt<br />
របើ x 0 រ ោះររបាៃ t 0<br />
របើ<br />
x 1 រ ោះររបាៃ<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ខ.<br />
1<br />
2<br />
<br />
0<br />
<br />
រ<br />
ោះ<br />
ែូរចនោះ<br />
1 2<br />
<br />
0 1<br />
ln 13 2<br />
x dx<br />
x<br />
2<br />
ួម<br />
1 2<br />
x dx<br />
ួម<br />
2<br />
0 1 x<br />
<br />
2<br />
x x dx<br />
<br />
t <br />
2<br />
<br />
1 2 2 2<br />
<br />
x dx<br />
1<br />
x<br />
<br />
<br />
2<br />
0 0<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
sin t<br />
cos tdt<br />
cos t<br />
<br />
2<br />
1<br />
cos 2t dt<br />
2<br />
0<br />
t sin 2t 2 <br />
<br />
2 4 4<br />
0<br />
0<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 209
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
1 1<br />
2 2<br />
<br />
2<br />
<br />
ln 1 3x 2x dx ln 1 x 1 2x dx<br />
0 0<br />
1 1<br />
2 2<br />
<br />
xdx<br />
<br />
ln 1 ln 1<br />
2x dx<br />
<br />
0 0<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្ ររបាៃ<br />
អំងរតព្កាលខាងលរៅជា<br />
<br />
ln<br />
xdx x ln x x c<br />
1<br />
2<br />
<br />
0<br />
1<br />
2<br />
ស ុបមក្អំងរតព្កាល<br />
រ<br />
ោះ<br />
1<br />
2<br />
<br />
0<br />
<br />
0<br />
1 2<br />
1 1<br />
ln 1 x dx 1 x ln 1 x 1 x ln 2 <br />
0<br />
2 2<br />
<br />
1 1<br />
ln 1 2x dx lim 1 2x ln 1 2x 1<br />
2x<br />
<br />
2 2<br />
<br />
<br />
1<br />
2<br />
<br />
0<br />
ln 13 2<br />
1<br />
2<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
3 1 3<br />
lim 1 2 ln 1 2 1 2 <br />
2 <br />
2 2<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
2<br />
2<br />
ln 13x 2x dx ln 2 1<br />
<br />
2<br />
x x dx<br />
2<br />
ែូរចនោះ ln 13 2<br />
<br />
0<br />
ួម<br />
x x dx ួម<br />
៩២.សិក្ោភារ ីក្ ួមនៃអំងរតព្កាលខាងរព្កាម<br />
ក្.<br />
<br />
<br />
dx<br />
2<br />
1 x x x<br />
1<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
1<br />
ាង x រ ោះ<br />
t<br />
dt<br />
dx <br />
2<br />
t<br />
របើ x 1 រ ោះររបាៃ t 1<br />
របើ x រ ោះររបាៃ t 0<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 210
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
<br />
dx<br />
<br />
x x x<br />
1<br />
<br />
2<br />
1 1<br />
<br />
1<br />
<br />
0<br />
1 dt<br />
2<br />
1 1 1 t<br />
1<br />
0 1<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
របើ<br />
របើ<br />
2t<br />
1<br />
u <br />
3<br />
រ<br />
ោះ<br />
t 0 រ ោះររបាៃ<br />
t 1 រ ោះររបាៃ<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ខ.<br />
1<br />
<br />
0<br />
រ<br />
ោះ<br />
ែូរចនោះ<br />
1<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
x x<br />
dx<br />
x<br />
<br />
2<br />
1 1<br />
<br />
<br />
x 1<br />
x<br />
<br />
x x<br />
dx<br />
x<br />
<br />
2<br />
1 1<br />
dx<br />
dt <br />
u <br />
u <br />
3<br />
du<br />
2<br />
1<br />
3<br />
3<br />
1 3<br />
<br />
0<br />
ួម<br />
1<br />
2<br />
t t t<br />
dt<br />
tt<br />
dt<br />
<br />
2<br />
0 1<br />
3<br />
t<br />
<br />
2<br />
4<br />
dt<br />
1 3<br />
<br />
2 du<br />
1 3 1 3 2<br />
2<br />
t<br />
3<br />
1<br />
u<br />
<br />
<br />
2<br />
4 4<br />
ួម<br />
<br />
1<br />
3<br />
<br />
3<br />
du<br />
1<br />
u<br />
2<br />
2<br />
<br />
2<br />
ln u u 1<br />
3<br />
2 3<br />
ln<br />
3<br />
1 1<br />
1<br />
x<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា dx <br />
<br />
<br />
0 x 1 x 0<br />
2<br />
<br />
3<br />
1<br />
3<br />
<br />
<br />
x 1<br />
dx<br />
1<br />
12x<br />
1<br />
4 <br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 211
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាលខាងរលើរោយបរ ូ អរេ<br />
ាង<br />
u 2x1<br />
រ<br />
ោះ<br />
du 2dx<br />
របើ<br />
x 0<br />
រ<br />
ោះររបាៃ<br />
u 1<br />
របើ<br />
x 1 រ ោះររបាៃ<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
រ<br />
ោះ<br />
ែូរចនោះ<br />
u 1<br />
1 1<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 212<br />
1<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
x<br />
dx ួម<br />
x 1<br />
x<br />
1<br />
<br />
0<br />
1<br />
x<br />
<br />
<br />
x 1<br />
x<br />
៩៣.សិក្ោភារ ីក្ ួមនៃអំងរតព្កាល<br />
ចំរ<br />
ោះអំងរតព្កាល<br />
ាង<br />
<br />
2<br />
<br />
dx<br />
1<br />
u<br />
1<br />
1<br />
x<br />
dx 2<br />
<br />
x 1<br />
x 1<br />
1<br />
u<br />
4<br />
<br />
<br />
0 1<br />
<br />
2<br />
0<br />
ួម<br />
I ln sin x dx<br />
0<br />
<br />
u x<br />
2<br />
<br />
I ln sin x dx<br />
<br />
រ ោះ du dx<br />
<br />
របើ x 0 រ<br />
<br />
ោះររបាៃ u <br />
2<br />
<br />
របើ x រ<br />
2<br />
ោះររបាៃ<br />
u 0<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
1<br />
<br />
1<br />
2<br />
3<br />
u du<br />
2<br />
1<br />
u<br />
du<br />
3 1 1 u<br />
<br />
2 1u<br />
2 1u<br />
2 2<br />
3 1<br />
lim arcsin u 1 u<br />
u1<br />
<br />
<br />
2 2<br />
<br />
ៃិង<br />
3<br />
2<br />
<br />
2<br />
0<br />
<br />
J ln cos x dx<br />
រយើងរោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា ln sin<br />
ln cos<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
0<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
du<br />
<br />
I x dx t dt J<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
1
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
រយើងរណ<br />
ចំរ<br />
ោះអំងរតព្កាល<br />
<br />
<br />
2 2<br />
<br />
<br />
2I I J ln sin x dx ln cos x dx<br />
ាង<br />
របើ<br />
របើ<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
u 2x<br />
x 0<br />
<br />
x <br />
2<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ចំរ<br />
ោះអំងរតព្កាល<br />
<br />
0 0<br />
<br />
2<br />
0<br />
<br />
ln sin x ln cos x dx<br />
<br />
2<br />
0<br />
<br />
ln sin xcos<br />
x dx<br />
<br />
2<br />
1<br />
<br />
ln sin 2xdx<br />
2<br />
<br />
0<br />
<br />
2<br />
<br />
ln 2 ln sin 2xdx<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
ln sin 2x dx<br />
រ<br />
រ<br />
ោះ<br />
ោះររបាៃ<br />
0<br />
du 2dx<br />
<br />
រយើងរោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ<br />
u 0<br />
<br />
រ ោះររបាៃ u <br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
2<br />
xdx<br />
ln sin<br />
<br />
ln sin 2<br />
<br />
ln sin u du<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
ាង v u<br />
របើ<br />
<br />
u <br />
2<br />
<br />
<br />
រ<br />
<br />
0 0<br />
<br />
<br />
<br />
1 <br />
<br />
2 <br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
u du<br />
udu<br />
ln sin<br />
<br />
ln sin<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
1 1<br />
I ln sin udu<br />
2 2<br />
រយើងរោោះស្រាយរោយបរ ូ អរេ មរងរទៀត<br />
រ ោះ dv du<br />
ោះររបាៃ<br />
<br />
v <br />
2<br />
<br />
<br />
u du<br />
<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 213
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
របើ u<br />
រ ោះររបាៃ v 0<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា ln sin<br />
udu<br />
ln sin<br />
<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 2<br />
<br />
2<br />
ស ុបមក្អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
រ<br />
ោះ<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
ln sin x dx<br />
ែូរចនោះ<br />
<br />
2<br />
+ ួចទញ ក្អំងរតព្កាល<br />
ចំរ<br />
<br />
ោះ អំងរតព្កាល<br />
ាង<br />
f x<br />
0<br />
x<br />
<br />
ៃិង<br />
<br />
0<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
0<br />
ln sin x dx<br />
b<br />
<br />
a<br />
រ<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
2<br />
<br />
0<br />
<br />
v dv<br />
<br />
ln sin u du I<br />
1 1<br />
ln sin 2x dx I I I<br />
2 2<br />
<br />
<br />
ln cos x dx<br />
<br />
2<br />
ៃិង<br />
<br />
2<br />
<br />
x<br />
K <br />
tan dx<br />
x<br />
0<br />
<br />
2<br />
x<br />
K <br />
tan dx<br />
x<br />
0<br />
0<br />
<br />
2I<br />
ln 2 I<br />
2<br />
<br />
ួម<br />
<br />
ln cos x dx<br />
ៃិង<br />
L <br />
<br />
<br />
0<br />
ួម<br />
រ<br />
ោះ<br />
xsin<br />
x<br />
dx<br />
1<br />
cos x<br />
<br />
I J ln 2<br />
2<br />
រោោះស្រាយរោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />
b<br />
<br />
f x g x dx f x g x g x f x dx<br />
ោះ<br />
1 cos x<br />
g x<br />
<br />
tan x sin x<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ចំរ<br />
ោះ អំងរតព្កាល<br />
0<br />
f<br />
រ<br />
x 1<br />
ោះ<br />
ln sin<br />
x<br />
g x<br />
<br />
<br />
2 2<br />
0<br />
<br />
0 0<br />
a<br />
x<br />
2<br />
K dx limxsin x ln sin<br />
xdx<br />
tan x<br />
<br />
0<br />
b<br />
<br />
a<br />
limsin<br />
I<br />
<br />
I<br />
ln 2<br />
2<br />
<br />
xsin<br />
x<br />
L dx អចស រស រៅជា<br />
1<br />
cos x<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 214
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
x x<br />
<br />
2xsin cos<br />
xsin x<br />
L dx 2 2<br />
<br />
dx<br />
1<br />
cos x<br />
x<br />
0 0<br />
<br />
2<br />
2sin 2<br />
x<br />
dx<br />
x<br />
0 tan 2<br />
រយើងអំងរតព្កាល<br />
<br />
x<br />
dx រោោះស្រាយរោយបរ<br />
x<br />
ូ អរេ<br />
0 tan 2<br />
ាង<br />
របើ<br />
របើ<br />
x<br />
u <br />
2<br />
x 0<br />
<br />
x <br />
2<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
រ<br />
ោះ<br />
ែូរចនោះ<br />
np ,<br />
៩៤.ចំរ ោះព្រប់ <br />
2<br />
រណ<br />
អំងរតព្កាល<br />
រ<br />
រ<br />
<br />
2<br />
រ ោះ 2du dx<br />
ោះររបាៃ<br />
ោះររបាៃ<br />
<br />
<br />
x<br />
K <br />
tan dx<br />
x<br />
0<br />
<br />
2<br />
x<br />
K <br />
tan dx<br />
x<br />
0<br />
ចូ រណ<br />
<br />
u 0<br />
<br />
u <br />
4<br />
x<br />
dx <br />
x<br />
tan 2<br />
<br />
2<br />
<br />
0 0<br />
ៃិង<br />
ៃិង<br />
2u<br />
2du<br />
tan u<br />
4K<br />
2<br />
ln 2<br />
L <br />
<br />
<br />
0<br />
L <br />
xsin<br />
x<br />
dx<br />
1<br />
cos x<br />
<br />
<br />
0<br />
អំងរតព្កាល<br />
xsin<br />
x<br />
dx<br />
1<br />
cos x<br />
<br />
2<br />
2<br />
I<br />
,<br />
cos n<br />
np xcos 2<br />
px<br />
dx<br />
0<br />
រយើងរធវ ើលីរៃដអ ក្ មរហុធាព្តីរកាណមាព្ត<br />
cos<br />
2n 1<br />
ix ix<br />
2<br />
x <br />
<br />
e e <br />
2<br />
1<br />
<br />
2<br />
2n<br />
<br />
2n<br />
k 0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
n<br />
2n ix<br />
k<br />
ix<br />
k<br />
e e<br />
ួម<br />
ួម<br />
<br />
2<br />
2<br />
I<br />
,<br />
cos n<br />
np xcos 2<br />
px<br />
dx<br />
0<br />
<br />
2<br />
cos n x រោយរព្បើចំៃួៃក្ុំនៃ<br />
2nk<br />
ិចររបាៃ<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 215
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
1<br />
<br />
2<br />
2n<br />
2n<br />
2 <br />
k e<br />
<br />
2n<br />
k 0<br />
n<br />
1<br />
<br />
2<br />
qkn<br />
2n<br />
qn<br />
<br />
k n ix<br />
<br />
e<br />
2n<br />
2iqx<br />
nq<br />
1 <br />
<br />
2n<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
q1<br />
n<br />
n nq e<br />
nq<br />
<br />
2n 2n 2iqx 2n 2iqx<br />
e <br />
1 <br />
<br />
2n<br />
<br />
2 q1<br />
1<br />
<br />
2<br />
2n<br />
<br />
<br />
<br />
n<br />
2n 2n 2iqx 2iqx<br />
n n q e<br />
e <br />
<br />
<br />
2 n<br />
n 2 n<br />
n<br />
<br />
2<br />
nq<br />
cos2qx<br />
q1<br />
រយើងែឹងរហើយថា <br />
ែូរចនោះររបាៃ<br />
ដែលររាងចំរ<br />
ររមាៃ<br />
<br />
2 2n<br />
nq<br />
nq<br />
1 <br />
2 n<br />
n 2 2 n<br />
I J K<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ៃិង រយើងោក្់ព្ក្ុមស ៃសេៃ៍នៃ<br />
n, p 2n<br />
n p n q p,<br />
q<br />
2<br />
q1<br />
ោះព្រប់<br />
2<br />
pq , <br />
រោយ<br />
J<br />
p<br />
<br />
2<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
cos 2 px dx<br />
ៃិង<br />
p ៃិង<br />
pqជាកា ាងអំងរតព្កាល<br />
,<br />
<br />
2<br />
0<br />
<br />
K<br />
p,q<br />
cos 2 px cos 2qx dx<br />
+របើ<br />
2 0<br />
sin 2 px<br />
p 0, Jp<br />
0<br />
2 p<br />
រហើយ<br />
<br />
2<br />
0<br />
<br />
ៃិង<br />
J<br />
0<br />
<br />
<br />
2<br />
1<br />
K<br />
pq ,<br />
cos 2 p 2q x cos 2 p 2q xdx<br />
2<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
J<br />
qq<br />
J<br />
pq<br />
<br />
ដែល<br />
+របើ 0<br />
+របើ<br />
K pq ,<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
4<br />
<br />
2<br />
2n<br />
p ររបាៃ n p<br />
<br />
0 របើ<br />
p<br />
n<br />
1 <br />
2<br />
2 4 2<br />
1 n <br />
<br />
n<br />
n<br />
2 2 2<br />
2n<br />
2n<br />
ែូរចនោះ ររបាៃ In p<br />
np np<br />
<br />
I<br />
របើ<br />
របើ<br />
របើ<br />
p<br />
q<br />
pq0<br />
pq0<br />
, 2n<br />
2n1<br />
p 0 ររបាៃ <br />
2 2n<br />
n, p 2 n 2 1 n<br />
2<br />
ស ុបចុងរព្កាយ ចំរ ោះព្រប់ np , ររបាៃ<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 216
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
៩៥.ក្.ចំរ ោះព្រប់ n<br />
I<br />
<br />
រិៃិតយរមើលសមីកា<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
2n<br />
n, p 2n1<br />
n<br />
p<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 n !<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
2n1<br />
2 n p ! n p !<br />
ចូ បង្ហា ញថា<br />
x<br />
2n<br />
10<br />
ឬ<br />
n1<br />
k<br />
<br />
1 1<br />
2 cos 1<br />
k1<br />
n<br />
<br />
<br />
2n<br />
2 2<br />
x x x x<br />
x<br />
2n<br />
1<br />
របើ p<br />
n<br />
របើ p<br />
n<br />
រ ោះ ឬសទី 2n<br />
នៃ 1 រឺ<br />
k<br />
2k<br />
i<br />
2n<br />
x e e<br />
k<br />
i<br />
n<br />
ដែល<br />
k 0,1,2, ,2n1<br />
ាមព្ទឹសរ ីបទក្ារ ររបាៃ<br />
ែូរចនោះ<br />
2n1<br />
2n<br />
x 1<br />
x xk<br />
k0<br />
<br />
2n1<br />
<br />
k 0<br />
<br />
<br />
xe<br />
<br />
<br />
k<br />
i<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
k<br />
k<br />
i<br />
n<br />
n1 i<br />
2n1<br />
n<br />
i<br />
1<br />
<br />
x x e x e x e <br />
k 1 k n1 <br />
n1 k<br />
1 2n k<br />
i<br />
n<br />
<br />
<br />
i<br />
n<br />
n<br />
x 1 x 1x e <br />
x e<br />
<br />
k1 k1 <br />
n1 k<br />
1<br />
k<br />
i<br />
n<br />
<br />
2<br />
i<br />
n<br />
n<br />
x 1 x e x e <br />
k1 k1 <br />
n1<br />
k<br />
k<br />
2<br />
i i<br />
n<br />
n<br />
x 1<br />
x e x e <br />
k 1<br />
<br />
n1<br />
k<br />
k<br />
<br />
2 2<br />
i i<br />
<br />
n n<br />
x 1<br />
x e e x<br />
1<br />
k 1<br />
<br />
<br />
<br />
n1<br />
k<br />
<br />
1<br />
2 cos 1<br />
k1<br />
n<br />
<br />
<br />
2 2<br />
x x x <br />
n1<br />
k<br />
<br />
1 1<br />
2 cos 1<br />
k1<br />
n<br />
<br />
<br />
2n<br />
2 2<br />
x x x x<br />
ខ. រោយរព្បើសំៃួ ខាងរលើ ចូ រណ អំងរតព្កាល<br />
ាមៃិយមៃ័យអំងរតព្កាលក្ំណត់ររបាៃ<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
I ln 2cos t 1<br />
dt<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 217
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
<br />
n1<br />
2 0 2 k<br />
<br />
I ln 2 cos t<br />
1<br />
dt lim ln 2<br />
cos 1<br />
n<br />
n<br />
<br />
k0<br />
n<br />
<br />
<br />
+របើ<br />
+របើ<br />
៩៦.បង្ហា ញថា<br />
0<br />
ែូរចនោះ<br />
1 រ ោះ ររបាៃ<br />
2<br />
1 រ ោះ ររបាៃ<br />
k<br />
<br />
<br />
<br />
n1<br />
2<br />
lim ln <br />
2cos 1<br />
n n<br />
<br />
<br />
k 1<br />
n<br />
2n<br />
1<br />
lim ln<br />
n<br />
2<br />
n 1<br />
01<br />
lim ln 0<br />
n<br />
n 1<br />
<br />
2<br />
I ln <br />
2cost<br />
1<br />
dt <br />
0<br />
<br />
2n<br />
1<br />
1<br />
lim ln lim ln<br />
n<br />
2 <br />
<br />
2<br />
n 1 n<br />
n 1<br />
<br />
2n<br />
2n<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
0<br />
2<br />
ln lim ln<br />
n<br />
2<br />
n 1<br />
<br />
2ln<br />
<br />
0<br />
2<br />
ln <br />
dx x 2n 3 dx<br />
<br />
<br />
2 2<br />
<br />
2 1 2<br />
1 x 2 n 1 1 x n <br />
<br />
1<br />
x <br />
n n 1 n<br />
1<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើអចស រស រៅជា<br />
<br />
<br />
រយើងរោោះស្រាយអំងរតព្កាល<br />
ាង<br />
g<br />
x<br />
f x<br />
<br />
<br />
x<br />
x<br />
1<br />
x<br />
2<br />
<br />
រ<br />
n<br />
ោះ<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
dx <br />
x<br />
1x<br />
1x<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2<br />
n<br />
2<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
dx<br />
x<br />
dx<br />
<br />
2 n1<br />
<br />
1x<br />
1x<br />
2<br />
<br />
2<br />
x dx<br />
1 x<br />
2<br />
<br />
n<br />
<br />
<br />
2<br />
x dx<br />
n<br />
រោយរព្បើអំងរតព្កាលរោយដ នក្<br />
<br />
<br />
f x g x dx f x g x g x f x dx<br />
f<br />
x 1<br />
រ ោះ g x<br />
<br />
<br />
2<br />
n1<br />
របើ<br />
របើ<br />
1 1<br />
x<br />
1<br />
<br />
2 n 1 2 1n 1x<br />
2<br />
<br />
1<br />
1<br />
n1<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 218
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
អំងរតព្កាលរៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
2<br />
x dx x dx<br />
<br />
<br />
2 2<br />
<br />
2<br />
1 x 2n 11 x 21 n1<br />
x <br />
n n 1 n1<br />
dx x dx dx<br />
<br />
2 2<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
1 x 2n 11 x 21 n1 x 1<br />
x <br />
n n1 n1 n1<br />
x 1 dx dx<br />
<br />
2 1 1 1 1<br />
2<br />
<br />
2 2<br />
n x 21<br />
n<br />
<br />
x x <br />
n 1 n 1 n<br />
1<br />
x 1 <br />
1<br />
<br />
2 1 1 1<br />
dx<br />
2<br />
n<br />
21 <br />
2<br />
n x n x <br />
1 n1<br />
x 12 2n<br />
dx<br />
<br />
2 1 1 1<br />
2<br />
n<br />
21 <br />
2<br />
n x n x <br />
1 n<br />
1<br />
x 2n 3 dx<br />
<br />
2 1 1 1<br />
<br />
2<br />
n<br />
2n<br />
1 2<br />
n x <br />
<br />
x <br />
1 n<br />
1<br />
dx x 2n 3 dx<br />
<br />
<br />
2 2<br />
<br />
2 1 2<br />
1 x 2 n 1 1 x n <br />
<br />
1<br />
x <br />
អៃុវតរៃ៏ចំរ ោះអំងរតព្កាល<br />
n n 1 n<br />
1<br />
I <br />
<br />
dx<br />
3<br />
1<br />
x<br />
ាមសព្មាយបញ្ញជ ក្់ខាងរលើររបាៃ<br />
2<br />
dx x 22 3<br />
dx<br />
I <br />
1 x 2 3 1 1 x 2 31<br />
<br />
1<br />
x<br />
<br />
2<br />
3<br />
2<br />
31 2<br />
31<br />
x 3 dx<br />
<br />
4 1 1<br />
<br />
2<br />
4<br />
<br />
2<br />
x<br />
x<br />
<br />
2 2<br />
<br />
x 3 x 22 3<br />
dx<br />
<br />
4 1<br />
<br />
2 2 1 1 1<br />
<br />
2 2<br />
<br />
4 22 1 2<br />
x x <br />
<br />
x <br />
2 2 1 2 1<br />
x 3 x 3 1 dx<br />
<br />
4 1 1<br />
2 2<br />
2<br />
x 4 21 x 4 2<br />
<br />
<br />
x<br />
<br />
2 2 1<br />
x 3x<br />
3<br />
arctan x<br />
c<br />
41<br />
8<br />
2<br />
x 2 81 x<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 219
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ែូរចនោះ<br />
I <br />
៩៧.បង្ហា ញថា<br />
dx<br />
<br />
2<br />
1<br />
x 3<br />
1 1<br />
m<br />
<br />
x 3x<br />
3<br />
arctan x<br />
c<br />
41<br />
8<br />
2<br />
x 2 81 x<br />
2<br />
<br />
n<br />
n<br />
1 1<br />
<br />
x x dx x x dx<br />
<br />
0 0<br />
រយើងបង្ហា ញសមភារខាងរលើរោយរព្បើអំងរតព្កាលបរ ូ អរេ<br />
ាង u 1 x រ ោះ du dx<br />
m<br />
+របើ x 0 រ ោះ<br />
u 1<br />
+របើ<br />
u <br />
x 1 រ ោះ 0<br />
អំងរតព្កាលខាងរលើរៅជា<br />
ែូរចនោះ<br />
៩៨.ក្.ក្ំណត់អៃុរមៃ៍<br />
1 0<br />
m n<br />
<br />
1 1<br />
m n<br />
<br />
<br />
n<br />
x 1 x dx 1u u du<br />
0 1<br />
<br />
n<br />
x 1 x dx x 1<br />
x dx<br />
<br />
0 0<br />
f<br />
x<br />
1<br />
<br />
រោយរព្បើ<br />
<br />
m<br />
<br />
<br />
a, b,cos<br />
x<br />
1<br />
<br />
0<br />
1<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
m<br />
<br />
m<br />
n<br />
u 1u du<br />
<br />
<br />
m<br />
n<br />
x 1x dx<br />
ៃិង sin x<br />
ររមាៃ f x cos x f tsin<br />
x tdt<br />
, a f tcos<br />
tdt ៃិង <br />
អៃុរមៃ៍<br />
f<br />
អចស រស រៅជា<br />
0<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
f x cos x f t sin x t dt<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
0<br />
1<br />
cos x f tsin xcos t sin t cos xdt<br />
<br />
<br />
sin x<br />
cos x<br />
cos x f tcos tdt f tsin<br />
tdt<br />
<br />
<br />
cos x asin x bcos<br />
x<br />
<br />
<br />
1b cos x asin<br />
x<br />
f x 1b cos x asin<br />
x<br />
ែូរចនោះ <br />
0 0<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
1<br />
b f t sin tdt<br />
<br />
0<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 220
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
ខ.រណ<br />
+ចំរ<br />
+ចំរ<br />
+ចំរ<br />
ោះ<br />
ោះ<br />
ោះ<br />
<br />
cost<br />
sin tdt<br />
<br />
0<br />
<br />
cos t sin tdt<br />
<br />
0<br />
<br />
2<br />
cos tdt<br />
0<br />
<br />
,<br />
<br />
2<br />
cos tdt<br />
<br />
0<br />
ៃិង<br />
<br />
2<br />
sin tdt<br />
<br />
អចស រស រៅជា<br />
1<br />
cos t sin tdt sin 2tdt<br />
2<br />
<br />
<br />
0 0<br />
អចស រស រៅជា<br />
<br />
2<br />
cos tdt<br />
<br />
0<br />
រ. ក្អៃុរមៃ៍<br />
f<br />
x<br />
<br />
<br />
cos<br />
2<br />
tdt <br />
<br />
<br />
0 0<br />
អចស រស រៅជា<br />
0<br />
<br />
1<br />
cos 2 t 0<br />
4<br />
1<br />
cos 2t<br />
dt<br />
2<br />
1<br />
1 <br />
t sin 2 t<br />
<br />
2 2 2<br />
<br />
<br />
2 1<br />
cos tdt 1cos 2<br />
<br />
2<br />
<br />
0 0<br />
ាមសព្មាយរៅសំៃួ ខាងរលើររបាៃ<br />
រហើយ<br />
<br />
0 0<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
0<br />
t dt<br />
1<br />
1 <br />
t sin 2 t<br />
<br />
2 2 2<br />
<br />
1 1<br />
a f tcos tdt 1 bcos t asin tcos<br />
tdt<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1b<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2 a<br />
cos<br />
<br />
<br />
0 0<br />
1<br />
b a<br />
0<br />
2 <br />
1 b<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
0 0<br />
<br />
0<br />
tdt cos t sin tdt<br />
1 1<br />
b f t sin tdt 1 b cos t asin tsin<br />
tdt<br />
<br />
<br />
<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 221
092774440 <strong>អាំងតេក្រាល</strong><br />
1<br />
ាម <br />
រ<br />
2<br />
ៃិង <br />
ោះអៃុរមៃ៍<br />
ែូរចនោះ<br />
f<br />
<br />
1b<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a 2<br />
t tdt sin tdt<br />
cos sin<br />
<br />
<br />
0 0<br />
1<br />
b a <br />
0<br />
<br />
2<br />
a<br />
<br />
2<br />
ររទញបាៃ<br />
2<br />
2<br />
a <br />
5<br />
រៅជា <br />
4 1<br />
f x cos x sin x<br />
5 5<br />
ៃិង<br />
1<br />
b <br />
5<br />
f x 1b cos x asin<br />
x<br />
4 1<br />
cos x<br />
sin x<br />
5 5<br />
រ ៀបរ ៀងរោយ ៖ ធែល សេងថុង 222