Multistream plasma for ion electron

multistream of ion and electron model for
quantum plasmas
June 1, 2019
As E = P 2
2m
Eψ j = P 2
2m ψ j
Eψ j − P 2
2m ψ j....(1)
Also
E = W = i ∂ ∂t + eφ,
P = i∇ + eA
eq1 ⇒ (i ∂ ∂t + eφ)ψ (i∇ + eA)2
j − ψ j = 0
2m
i ∂ψ j
∂t + eφψ j − 1
2m [(i∇ + eA)(i∇ + eA)ψ j] = 0
i ∂ψ j
∂t + eφψ j − 1
2m (−2 ∇ 2 ψ j + ieψ j ∇A + ieA∇ψ j + ιeA∇ψ j + e 2 A 2 ψ j ) = 0
i ∂ψ j
∂t + eφψ j + 2 ∇ 2 ψ j
2m
2m
Xing
2
2im
− ieψ j∇A
2m
∂ψ j
∂t + 2m
2 eφψ j + ∇ 2 ψ j − ieψ∇A
∇ 2 ψ j − ie ((∇A)ψ j + 2A∇ψ j − 2m e
− ieA∇ψ j
m
− 2ieA∇ψ j
− e2 A 2 ψ
2m = 0
e 2 A 2
2 ψ j = 0
∂ψ j
∂t ) + 1 2 (2emφ − e2 A 2 )ψ j = 0...........(A)
1

Eikonal decomposition
ψ j = R j exp( iS j
)
∇ψ j = i R jexp( iS j
)∇S j + exp( iS j
)∇R j........(a)
∇ 2 ψ j = i R jexp( iS j
)∇2 S j − R j
2 (∇S j) 2 exp( iS j
) + 2 i exp(iS j
)∇S j∇R j + exp( iS j
)∇2 R j ........(b)
∂ψ j
= i ∂t R jexp( iS j
)∂S j
∂t + exp(iS j
)∂R j
∂t .......(c)
putting values in eq A
i
R jexp( iS j
)∇2 S j − R j
− ie
2 (∇S j) 2 exp( iS j
) + 2 i exp(iS j
)∇S j∇R j + exp( iS j
)∇2 R j
[
∇ARj exp( iS j
) + 2A( i
exp(iS j
)R j∇S j + exp( iS j
)∇R j
− 1 2 (2meφ − e2 A 2 )R j exp( iS j
) = 0
i
R j∇ 2 S j − R j
2 (∇S j) 2 + 2i
− 2ieA
∇R j − 2mR j
2
multiplying
− 2
R j
∇S j∇R j + ∇ 2 R j − ieR j∇A
∂S j
∂t + 2im ∂R j
2 + 2meφR j
∂t 2
− i∇ 2 S j + (∇S j ) 2 − 2i
R j
∇S j ∇R j − 2
R j
∇ 2 R j + ie∇A
− 2eA∇S j + 2ieA ∇R j + 2m ∂S j
R j
∂t − 2im
R j
∂R j
∂t
) m( i − 2
e R jexp( iS j
)∂S j
∂t
∇A + 2eAR j
2 ∇S j
− e2 A 2 R j
2 = 0
− 2meφ + e 2 A 2 = 0
)]
2

Separating the real and imaginary part of schrodinger
eq
REAL PART
(∇S j ) 2 + e 2 A 2 − 2eA∇S j + 2m ∂S j
∂t − 2meφ = 2 ∇R j
R j
(∇S j − eA) 2 + 2m ∂S j
∂t − 2meφ = 2 ∇ 2 R j
R j
IMAGINARY PART
(e∇A − ∇ 2 S j ) − 2i∇R j
R j
(eA − ∇S j ) − 2im ∂R j
R j ∂t
We concentrate on electrostatic case A=0 then
Real Part
(∇S j ) 2 + 2m ∂S j
∂t − 2emφ = 2 ∇ 2 R j
R j
Imaginary Part
(−∇ 2 S j ) + 2i∇R j∇S j
R j
− 2im ∂R j
R j ∂t
= 0
= 0
3

As we know that relativistic energy is given by
E 2 = P 2 c 2 + m 2 c 4 = 0
E 2 − P 2 c 2 − m 2 c 4 = 0
E 2 ψ j − P 2 c 2 ψ j − m 2 c 4 ψ j = 0
for free particle
E = i ∂ ∂t ,
P = i∇
− 2 ∂2 ψ j
∂t 2 + 2 ∇ 2 c 2 ψ j − m 2 c 2 ψ j = 0
The ion dynamics is governed by schrodinger equation for bound particle
E = P 2
2m
(i ∂ ∂t − eφ)ψ j =
When A = 0
(−i∇ − eA)2
ψ j
2m
(∇S j ) 2 + 2m ∂S j
∂t − 2meφ = 2 ∇ 2 R j
− ∇ 2 S j + 2i ∇R j∇S j
R j
R j
− 2im
R j
∂R j
∂t
= 0
4

from S.W.E.
ρ i = e|ψ j | 2 .........1
ψ j = R j exp(i(k.r − Ω))
From K.G.E.
ρ e =
e
mc 2
N ∑
j=1
R 2 j ( ∂S j
∂t − eφ)......2
∇ 2 φ = − 1 ɛ 0
(ρ i + ρ e ).....(A)
putting 1, 2 in A
∇ 2 φ = 1 [
(e(R0 2 + 2R 0 R 1 ) +
e
ɛ 0 mc 2
N ∑
j=1
R 2 j ( ∂S j
∂t − eφ) ]
∇ 2 φ = − 1 [
(en o + 2eR 0 R 1 ) +
e
]
ɛ 0 mc 2 (R2 0 + 2R 0 R 1 )(−γmc 2 − iΩS 1 − eφ)
∇ 2 φ = − en 0
− 2eR oR 1
+ en 0
+ ien 0ΩS 1
ɛ 0 ɛ 0 ɛ 0 γmc 2 − 2R 0R 1 eγ
ɛ 0 mc 2 − e2 n 0 φ 1
γmc
(
) ( 2
∇ 2 + e2 n 0 en0 R 0
φ + − 2eγR )
0
γmc2 ɛ 0 mc 2 R 1 − ien 0ΩS 1
γmc 2 ɛ 0 = 0........5
)
(
− k 2 + e2 n 0
γmc2
)
φ 1 +
( en0 R 0
ɛ 0
− 2eγR 0
mc 2 R 1
− ien 0ΩS 1
γmc 2 ɛ 0 = 0
∴ R 2 = n 0
Taking real part
(∇S j ) 2 + 2m ∂S j
∂t − 2emφ = 2 ∇ 2 R j
R j
[
] 2
∇(S 0 + exp(i(k.r − Ωt))) + 2m ∂ ∂t (S 0 + exp(i(k.r − Ωt))) − 2emφ = − 2 k 2 R 1
(P + ikS 1 ) 2 + 2m(−mc 2 − iΩS 1 ) − 2emφ = 2 k 2 R 1
R 0
P 2 + 2ikP S 1 − 2m 2 c 2 − 2miΩS 1 − 2emφ 1 = 2 k 2 R 1
R 0
2ikP S 1 − 2imΩS 1 − 2emφ 1 + k2 R 1
R 0
= 0
(2ikP − 2imΩ)S 1 − 2emφ 1 + 2 k 2 R 1
R 0
= 0 γ 2 = 1 + P 2
mc 2 ⇒ 1 = −1 + P 2
mc 2 ⇒ P 2 = 2m 2 c 2
R 0
5

take imaginary part
− ∇ 2 S 1 + 2i∇R∇S − 2im ∂R
R R ∂t = 0
∇ 2 (S 0 + exp(i(k.r − Ωt))) + 2i∇ (R 0 + exp(i(k.r − Ωt)))∇(S 0 + exp(i(k.r − Ωt)))
− 2im
R 0
R 0
∂
∂t (R 0 + exp(i(k.r − Ωt))) = 0
k 2 S 1 + 2i
R 0
(ikR 1 )(P + ikS 1 ) + 2mk
R 0
R 1 = 0
k 2 S 1 − 2kP
k 2 S 1 +
R 0
(
− 2kP
R 0
R 1 + 2mk
R 0
= 0
+ 2mk )
R 1 = 0
R 0
6

All equations
2iγm(Ω − kv)S 1 + 2eγmφ 1 − 2
R 0
(
k 2 − Ω2
c 2 )
R 1 = 0.........1
R 0
(
k 2 − Ω2
c 2 )
S 1 + iR 0eΩ
ien 0 Ω
ɛ 0 γmc 2 S 1 +
( e 2 n 0
mc 2 γ
c 2 φ 1 − 2iγm(Ω − kv)R 1 = 0........2
) ( 2eR0
φ 1 + − 2eγR )
0
ɛ 0 mc 2 R 1 = 0......3
(2ikP − 2imΩ)S 1 − 2emφ 1 + 2 k 2 R 1
= 0......4
R
(
0
k 2 S 1 + − 2kP + 2mk )
R 1 = 0.......5
R 0 R 0
from eq 5
( 2P
S 1 = − 2m )
R 1
kR 0 kR 0
from eq 4
( 2P
(2ikP − 2imΩ) − 2m )
R 1 − 2emφ 1 + 2 k 2 R 1
= 0
kR 0 kR 0 R 0
[
( 2P
(2ikP − 2imΩ) − 2m )
+ 2 k 2 ]
R 1 − 2emφ 1 = 0
kR 0 kR 0 R 0
( 4iP
2
− 4miP
R 0 R 0
( 4iP
2
φ 1 = −
R 0
− 4miΩP
kR 0
4mP c2
R 0
+ 4m2 iΩ
R 0 k + 2 k 2 )
R 1 − 2emφ 1 = 0
R 0
− 4miΩP
kR 0
+ 4m2 iΩ
R 0 k + 2 k 2
R 0
putting values in eq 1
( 2P
2iγm(Ω − kv) − 2m ) ( 4γiP
2
R 1 +
kR 0 kR 0 R 0
( )
− 2
k 2 − Ω2
R 0 c 2 R 1 = 0
[
( ( 2P
4γiP
2
2iγm(Ω − kv)
kR 0
− 2m
kR 0
)
+
− 2
R 0
(
k 2 − Ω2
c 2 )]
R 1 = 0
R 0
( 4γmiP
(Ω − kv) = − 4iγP 2
+ 4γmiΩP
R 0 R 0 kR 0
(
2 k 2
)
+
)(k 2
(4iγmP − 4iγm 2 − Ω2
) c 2 = 0
(Ω − kv) =
− 4γmiP
R 0
− 4γmiP
R 0
− 4γm2 iΩ
R 0 k
)
R1
2em
− 4γmiΩP
kR 0
− 4γmiΩP
kR 0
(
4m 2 vγik − 4iγm 2 v 2 k + 4m 2 iγΩv − 4m 2 iΩγ − 2 k 3 γ
(
2 )
k
+
)(k 2
(4iγm 2 v − 4iγm 2 − Ω2
) c 2
= 0 7
+ 4γm2 iΩ
R 0 k
+ 4γm2 iΩ
R 0 k
+ γ2 k 2
R 0
)
R 1
+ γ2 k 2
R 0
)
− γ2 k 2 )(
)
kR 0
R 0 (4iγmP − 4iγm 2 )
))(
)
1
(4iγm 2 v − 4iγm 2 )

flux
∇ 2 φ
∇ 2 φ = − 1 ɛ 0
(ρ i + ρ e )
ρ i = eR 2 i
ρ e =
e
mc 2
For electron
∑ N
Rj
2
j=1
( ∂Sj
∂t − eφ )
ψ e = R e exp( iS e
)
For ion ψ i = R i exp( iS i
)
∇ 2 φ = − 1 [ e ∑
N ( ) ]
ɛ 0 mc 2 Re
2 ∂Se
∂t − eφ + eRi
2
j=1
∇ 2 φ = − 1 [
]
e
ɛ 0 mc 2 (R2 0 + 2R 0 R e )(−γmc 2 − iΩS e − eφ) + e(R0 2 + 2R 0 R i )
∇ 2 φ = − 1 [ ( e
ɛ 0 mc 2 − n 0
γ γmc2 − n 0
γ iΩS e − n )
]
0
γ eφ − 2γmc2 R 0 R e + en 0 + 2eR 0 R i
∇ 2 φ = 1 ( ien0 ΩS e
ɛ 0 γmc 2 + en )
0eφ
γmc 2 + 2eγR 0R e − 2eR 0 R i
(
)
k 2 + e2 n 0
γmc 2 φ + ien 0ΩS e
ɛ 0 γmc 2 + 2eγR 0 R e − 2eR 0 R 1
ɛ 0
(
k 2 + ω )
pe
γc 2 φ + ien 0ΩS e
γmc 2 + 2eγR 0 R e − 2eR 0 R 1
ɛ 0
8

determinent
( )
2γem 2mγ(−Ω − kv) − 2
R 0
k 2 − Ω2
c
0 0
( )
2 R 0eΩ
c
R 2 0 k 2 − Ω2
c
−2γm(Ω − kv) 0 0
( )
2 k 2 + ω2 pe
en 0Ω
γc 2 γmc 2 ɛ 0
2eR 0 γ 0 −2eR 0
−2eM 0 0 (2kMv − 2MvΩ) 2 k 2
( R 0
∣ 0 0 0 2 k 2 2Mk
R 0
( )
R 0 k 2 − Ω2
c
−2γm(Ω − kv) 0 0
2 en 0Ω
2γem
γmc 2 ɛ 0
2eR 0 γ 0 −2eR 0
0 0 (2kMv − 2MΩ) 2 k 2
R ( 0 )
∣ 0 0 2 k 2 2Mvk
R 0
− 2vkM
R 0
∣
R 0eΩ
( c 2 ) −2γm(Ω − kv) 0 0
k 2 + ω2 pe
γc
2eR
− 2mγ(−Ω − kv)
2 0 γ 0 −2eR 0
−2eM 0 (2kMv − 2MvΩ) 2 k 2
( R 0
∣ 0 0 2 k 2 2Mk
R 0
( )
R 0eΩ
c
R 2 0 k 2 − Ω2
c
0 0
( )
2
( )
− 2
k 2 − Ω2
k 2 + ω2 pe
en 0Ω
γc
R 0 c 2 2 γmc 2 ɛ 0
0 −2eR 0
−2eM 0 (2kMv − 2MvΩ) 2 k 2
( R 0
∣ 0 0 2 k 2 2Mk
R 0
∣
)
− 2vkM
R 0
∣
∣
)
− 2vkM
R 0
)
− 2vkM
R 0
9

)
2eR 0 γ 0 −2eR 0
2γem[
(R 0
(k 2 − Ω2
0 (2kMv − 2MΩ) 2 k 2
c 2 ( R 0
∣ 0 2 k 2 2Mk
R 0
en 0Ω
γmc 2 ɛ 0
0 −2eR 0
+ 2mγ(−Ω − kv)
0 (2kMv − 2MvΩ) 2 k 2
( R 0
∣ 0 2 k 2 2Mk
R 0
)
− 2vkM
R 0
)
− 2vkM
R 0
∣ ∣∣∣∣∣∣∣ 2eR 0 γ 0 −2eR 0
− 2mγ(−Ω − kv)[ R
0eΩ 0 (2kMv − 2MvΩ) 2 k 2
(
c 2 R 0
0 2 k 2 2Mk
R 0
( )
k 2 + ω2 pe
γc
0 −2eR 2 0
+ 2γm(Ω − kv) +
−2eM (2kMv − 2MvΩ) 2 k 2
( R 0
∣ 0 2 k 2 2Mk
R 0
∣ ∣∣∣∣∣∣∣
en 0Ω
( )
− 2
k 2 − Ω2
R 0 c 2 [ R γmc 2 ɛ 0
0 −2eR 0
0eΩ
0 (2kMv − 2MvΩ) 2 k 2
c 2
R 0
(
( )
− R 0 k 2 − Ω2
c 2 ∣
)
k 2 + ω2 pe
γc 2
0 2 k 2 (
2Mk
R 0
0 −2eR 0
−2eM (2kMv − 2MvΩ)
2 k 2
R 0
0 2 k 2 (
2Mk
R 0
]
∣
)
∣
∣
]
∣
∣
]
∣
)
− 2vkM
R 0
)
− 2vkM
R 0
)
− 2vkM
R 0
)
− 2vkM
R 0
10

4 solutions of matrices
)[
2γem
{R 0
(k 2 − Ω2
c 2 2eR 0 γ
[ en0 Ω
+ 2γm(Ω − kv)
{
R0 eΩ
− 2γm(Ω − kv)
(
( 2Mvk
(2Kmv − 2mvΩ)
γmc 2 ɛ 0
(
(2kMv − 2MvΩ)
c 2 [
2eR 0 γ
[( )(
+ 2γm(Ω − kv) k 2 + ω2 pe
γc 2
( ){
− 2
k 2 − Ω2 R0 eΩ
R 0 c 2 c 2
R 0
− 2vkM
R 0
)
R 0
( 2Mvk
− 2vkM
R 0
(
(2kMv − 2MvΩ)
( 2Mk
R 0
(2kMv − 2MvΩ) 2 k 2 ( 2Mk
R 0
[( )( en0 Ω 2Mk
γmc 2 − 2vkM )
− 4 K 4 ]
ɛ 0 R 0 R 0 R 0
) 2 K 4 )]
−
R 0
− 2 K 4
R 0
)]}
− 2vkM )
− 4 K 4 )]
R 0 R 0
( )[( )(
+ R 0 k 2 − Ω2
c 2 k 2 + ω2 pe 2Mk
γc 2 − 2vkM )
− 2eR 0 (−2eM 2 K 2 )
R 0 R 0
5
)
4e 2 R0γ 2 2 m
(k 2 − Ω2
c 2
(A) + 4e2 γmn 0 Ω
ɛ 0 c 2
− 2vkM )
− 4 K 4 )]}
R 0 R 0
]}
(Ω − kv)(A) − 4mγ2 R0e 2 2 Ω
c 2 (A)(Ω − kv)
( )
+ 4m 2 γ 2 (Ω − kv) 2 k 2 + ω2 p
γc 2 (A − 4e 2 R 0 M 2 K 2 ) − 2 e 2 n 0 Ω 2 ( )
γc 4 K 2 − Ω2
mɛ 0 c 2 A
( ) 2 ( )
− 2 K 2 − Ω2
c 2 k 2 + ω2 p
γc 2 (A + 4e 2 R 0 M 2 K 2 )
dividing by A
)
4e 2 n 2 0γm
(k 2 − Ω2
c 2
+ 4e2 γmn 0 Ω
ɛ 0 c 2
(Ω − kv) − 4mγn 0e 2 Ω
(Ω − kv)
( )(
+ 4m 2 γ 2 (Ω − kv) 2 k 2 + ω2 p
γc 2 1 − 4e2 R 0 M 2 K 2
A
( ) 2 ( )(
− 2 K 2 − Ω2
c 2 k 2 + ω2 p
γc 2 1 + 4e2 R 0 M 2 K 2 )
A
c 2
)
− 2 e 2 n 0 Ω 2
γc 4 mɛ 0
(
K 2 − Ω2
c 2 )
11

)
(
4e 2 n 2 0γm
(k 2 − Ω2
4γm 2 Ωωpe
2
c 2 + (Ω − Kv)
c 2 − 4mγn 0e 2 )
Ω
c 2
( )(
+ 4m 2 γ 2 (Ω − kv) 2 k 2 + ω2 p
γc 2 1 − 4e2 R 0 M 2 K 2
A
( ) 2 ( )(
− 2 K 2 − Ω2
c 2 k 2 + ω2 p
γc 2 1 + 4e2 R 0 M 2 K 2
A
)
− 2 Ω 2 ω 2 p
)
( )
γc 2 K 2 − Ω2
c 2
)(
(Ω − Kv) 2 = −
{(K 2 − Ω2
c 2 4e 2 n 0 γm − 2 Ω 2 ωp
2 )
( 4γm 2 Ωωpe
2
γc 2 − (Ω − Kv)
c 2
)}
( ) 2 ( )(
+ 2 K 2 − Ω2
c 2 k 2 + ω2 p
γc 2 1 + 4e2 R 0 M 2 K 2
A
6 A B C
( (4M 2 K 2 v − 4M 2 K 2 v 2 − 4M 2 vΩK + 4M 2 v 2 ΩKM − 4 K 4 )
)
A =
R 0
(
)
1
B =
iK 2 v − 4iK 2 v 2 − vΩK + v 2 ΩK − 4 K 4
M
{
( 4γm 2
→ (Ω − Kv) 2 Ωωpe
2 = − (Ω − Kv)
c 2 − 4mγn 0e 2 )
Ω
c 2
( ) 2 ( )(
+ 2 K 2 − Ω2
c 2 k 2 + ω2 p
γc 2 1 + 2 K 2 )
ɛ 0
Wp 2 B −
γ
(
c 2
)
X
4m 2 (γc 2 K 2 + ω 2 p)(1 − 2 K 2 ɛ 0
γ
W 2 p )
c 2
− 4mγn 0e 2 )
Ω
c 2
4m 2 (1 − 4e2 R 0M 2 K 2
A
)(γc 2 K 2 + ω 2 p)
)(
(K 2 − Ω2
c 2 − 4e 2 n 0 γm + 2 Ω 2 ωp
2 )}
γc 2
For ion acoustic wave
{
( 4γm 2
→ (Ω − Kv) 2 Ωωpe
2 = − (Ω − Kv)
(
+ c 2 K 2 4e 2 n 0 γm + 2 Ω 2 ωp
2 )} (
γc 2 X
c 2
− 4mγn 0e 2 ) ( )(
Ω
c 2 + 2 c 2 K 4 k 2 + ω2 p
γc 2
c 2
4m 2 (γc 2 K 2 + ω 2 p)(1 − 2 K 2 ɛ 0
γ
W 2 p )
)
1 + 2 K 2 ɛ 0
γ
)
Wp 2 B
12

Lorentz transformation 7
(
t ′ = γ t − vz )
c 2 , x ′ = x, y ′ = y, z ′ = γ(z − vt), Ω ′ = γ(Ω − vK z ),
(
K x ′ = K x , K y ′ = K y , K z ′ = γ K z − vΩ )
c 2 ,
K 2 − Ω2
c 2 = K′2 − Ω′
c 2 , U ′ x =
B =
B =
D =
1
U x
γ(1 − Uzv
c 2 ) , U ′ y =
U y
γ(1 − Uzv
c 2 ) , U ′ z =
U z
γ(1 − Uzv
c 2 )
i 2 Kv − 4iK 2 v 2 − vΩK + v 2 ΩK − 4 K 4
M
1
i 2 cK ω p v
ω p c c c − 4i c2 K 2 ωp
2 v 2
ωp
2 c 2 c
c 2 − vΩK − v 2 c c Ω ω p
ω p cK ω p
ω p c
+ v2
c
c 2 Ω
2 ω p
ω p + − 4 K 4
M
1
i 2 Kvω p − 4iK 2 v 2 ω 2 p − vΩKω 2 P + v2 ΩKcω 2 p − 4 K 4
M
13

8 Normalization
Ω ∗ = Ω , K ∗ = cK , p ∗ = p ω p ω p mc , v∗ = v c , H = ω p
mc 2
( Ω
ω p − cK ) 2 { (
v
Ω
ω p ω p c c = − ω p − cK )(
v 4γm 2
ω p ω p c c Ωωp
3
ω p c 2 + 4mγn 0e 2 ω p
c 2
)
c 2 + ω2 p
γc 2 )(
)
ω
ω p
( c
− 2 2 K 2 ωp
2
ωp
2 c 2 − Ω2 ω 2 )(
p c 2 K 2 ωp
2
ωp
2 c 2 ωp
2 1 + 2 K 2 ɛ 0 Wp 2 D
γ
( c 2 K 2 ωp
2
ωp
2 c 2 − Ω2 ω 2 )(
p
ωp
2 c 2 4e 2 n 0 γm + Ω2 ωp
4 )}(
c 4 ω 2 )
p
γc 2 ωp
2 4m 2 (γc 4 K 2 ωp)(1 2 + 2 K 2 ɛ 0Wp 2D
γ
)
{
( 4γm 2
⇒ (Ω ∗ ω p − K ∗ v ∗ ω p ) 2 = − (Ω ∗ ω p − K ∗ v ∗ Ω ∗ ω 3 2
p
ω p )
+ 4mγn 0e 2 ω p Ω ∗ )
c
c 2
(
) 2 (
)(
− 2 K ∗2 ω2 p
c 2 − ω2 Ω∗2 p
c 2 K ∗2 ω2 p
c 2 + ω2 p
γc 2 1 + 2 K 2 ɛ 0 Wp 2 )
D
γ
(
)}(
K ∗2 ω2 p
)(4e
c 2 − Ω∗2 2 ωp
2 n 0 γm + Ω∗2
c 4
)
γc 2 ωp
4 4m 2 (γc 2 K ∗2 ωp)(1 2 + 2 K 2 ɛ 0Wp 2D
γ
)
(
⇒ (Ω − Kv) 2 (Kv − Ω) 4γm 2 Ωωp
3 =
ω c 2 + 4mγn 0e 2 )
ω p Ω
c 2
− 2 (
K 2 ω2 p
1
ω 2 p
) 2 (
c 2 − ω2 Ω2 p
c 2 K 2 ω2 p
(
)(
K 2 ω2 p
c 2 − ω2 Ω2 p
c 2 4e 2 n 0 γm +
)(
γc 2 1 + 2 K 2 ɛ 0 Wp 2 )
D
γ
)(
Ω2
γc 2 ωp
2
c 4
4m 2 (γc 2 K 2 ω 2 p)(1 + 2 K 2 ɛ 0W 2 p D
γ
)
)
14

sol from 56-61
R ∗ =
R √
n0
,
φ ∗ e = γ + eφ
mc 2 , φ i = eφ
mµ 2 0
R → iR φ = φ , x → x,
R ′′ = − ∂V
∂R ,
∫
− V e =
φ′′ = − ∂V
∂φ
R ′′ dR = R H 2 − φ2 R
H 2 + V 2
R 3 H
∫ 2
2φR
2
− V e = R2
2H 2 − 1 [ φ 2 R 2
H 2 −
2
− V e = − R2
2H 2 + φ2 R 2
2
∫
− V φ =
2
]
− V 2
2R 2 H 2
+ φR3
3 − R4
12 + V 2
2R 2 H 2 .......(1)
φ ′′ dφ = φR3
3 − R4
12 − R3
3
V φ = R4
12 + R3
3 − φR3
3 ........(2)
∫
− V i = R i ′′ V 2
dR =
R 3 H 2 m 2 − 2φmµ2 0R
H 2 m
V 2 [ ]
− V i = −
2H 2 R 2 m 2 − 2µ2 0 φR
2
H 2 2 − R3
γ
V i =
V 2
2H 2 R 2 m 2 + µ2 0φ i Ri
2
H 2
+ 2µ2 R 3 i
γH 2
15

So Potential is given by
V = V R e − V φ − V R i
V = φ2 R 2
2
− R2
2H 2 + φR3
3 − R4
12 + V 2
2R 2 H 2 − R4
12 − R3
3 + φR3
3 − V 2
2H 2 R 2 m 2 − µ2 0φ i R i
H 2 − 2µ2 0Ri
3
γH 2
R ↔ iR, φ = φ since autonomous Hamiltonian
H
I = (φ′ ) 2
+ (R′ e) 2
+ V (R, φ)
2 2
Normalizing
I = 2H 2 I.....(A)
[( ) 2
I =
2 e dφ
m 2 c 4 mc 2 − 1 ( dR
dx n 0 dx )2 − 1 ( ) 2 ] [
dR
− R2
γ + eφ ] (
n 0 dx n 0 mc 2 + R2
− γ + eφ ) 2R 3 H
n 0 mc 2 √
3n 0 n0
+ R4 H 2
γn
2 − V 2 n 0
0 R 2 − R4 H 2
+ 2R3 H 2
√
6n 0 3n 0 n0
(
− 2 γ + eφ ) R 3 H 2
mc 2 √ + V 2 n 0
3n 0 n0 R 2 m 2 + 2eφR2 − 4µ2 0R 3
√
mn 0 γn 0 n0
16

sol of potential (P)
H 2 R ′′ + (φ 2 − 1)R = V 2
R 3 ⇒ R′′ = R H 2 − φ2 R
H 2 + V 2
H 2 R 3 ........(1)
φ ′′ = R 2 φ − 1.........(2)
R = iR, φ = φ H , x → x
R ′′ = − ∂V
∂R ,
∫
− V =
φ′′ = − ∂V
∂φ
R ′′ dR = R2
2H 2 − ∫ φ 2 R
H 2 dx − V 2
2H 2 R 2
∫
V = − R2 φ 2
2H 2 + R
H 2 dx + V 2
2H 2 R 2 .......(3)
∫ φ 2 R
Now
H 2 = 1 [ φ 2 R 2
]
H 2 − φR3
2 3 + R4
12
∫
∫
− V = φ ′′ dφ = − φR 2 dx + φ H
[ ] φR
3
V = −
3 − R4
= − φR3
13 3 + R4
13
Now Potential φ and R
V = V R − V φ
V = R2 φ 2
+ φ 2 H − R2
2H 2 + V 2
2H 2 R 2
For Potential
R ′′ → iR, φ = φ H , x → x
R ′′ = ∂V
∂R ,
φ′′ = − ∂V
∂φ
H 2 R ′′ = R − φ2 R 2
2
∫
− V =
∫
− V =
+ V 2
R 3
R ′′ dR = R2
2H 2 + V 2
2H 2 R 2
φ ′′ dφ = R2 φ 2
2H 2
− φ2 R
H 2 ⇒ R 2
−φ2 2
− φ H
17

1 R
(Ω − kv) 2 = ω2 p
γ 3 +
P → 0
(Ω) 2 = ω2 p
γ 3 +
( ) 2 2
4γ 2 m 2 k 2 − Ω2
c 2 +
( ) 2 2
4γ 2 m 2 k 2 − Ω2
c 2 +
2 ωp
2 ( )
4γ 3 m 2 c 2 k 2 − Ω2
c 2
2 ωp
2 ( )
4γ 3 m 2 c 2 k 2 − Ω2
c 2
18

Solution of eq 61
R ∗ =
R √
n0
,
φ ∗ = γ + eφ
mc 2 ,
x∗ = ω px
c
P ∗ = P mc ,
v∗ = v c
R → iR, φ = φ H , x → x
where
V = V (R, φ) = R2 φ 2
2
Now energy integral
+ φ H − R2
2H 2 +
I = (φ′2 )
+ (R′ ) 2
+ V (R, φ).....(A)
2 2
Normalized form of integral
I = 22 ω 2 p
m 2 c 4 I − 2γ......(B)
putting A in B
I = 22 ωp
2 [ (φ ′ ) 2
m 2 c 4 2
(R ′ ) 2 =
[ d
dx (iR) ] 2
=
+ (R′ ) 2
2
[ d
dx
) 2
v2
2H 2 R 2
]
+ V (R, φ) − 2γ..........c
( iR √n0
)] 2
(R ′ ) 2 = − 1 ( dR
n 0 dx
[ ] 2 [ (
d d
(φ ′ ) 2 =
dx φ = γ + eφ )] 2
dx mc 2
( ) 2 e
(φ ′ ) 2 dφ
=
mc 2 dx
where H 2 = 2 ωp
2
m 2 c 4
(
2H 2 V (R, φ) = 2H 2 − 1 )( ) 2 [ iR (γ +
eφ
√n0
2
−
1
2 ( √ iR
n0
) 2
V 2
H 2 + 1 (√
2 c 2 H 2 − n0
iR
) 2
mc 2 )
H 2 ] 2
+
[ (γ +
eφ ]
mc
) 2
H 2
2H 2 V (R, φ) = − R n 0
(
γ + eφ
mc 2 ) 2
+ 2γ + 2eφ
mc 2 + R2
n 0
− n 0v 2
R 2 c 2
19

putting values in eq c
I ∼ = 22 ωp
2 [( ) 2 ] e dφ
mc 4 mc 2 + 2eφ
dx mc 2 − R (
γ + eφ )
n 0 mc 2 + R2
− n 0β 2
n 0 R 2 + 2γ − 2γ
Xing and dividing
x ∗ = ω px
c
c 2
ωp
2
= x2
x ∗
”x 2 ”with first two terms
[( e dφ
mc 2 dx
I ∼= 22 ωp
2 c 2
mc 4 ωp
2
[(
I ∼= 22 e dφ
mc 2 mc 2 dx
) 2
− 1 ( dR
n 0 dx
) 2
− 1 n 0
( dR
dx
) 2 ]
+ 2eφ (
mc 2 − R2
γ + eφ )
n 0 mc 2 + R2
+ n 0β 2
n 0 R 2
) 2 ]
+ 2eφ (
mc 2 − R2
γ + eφ )
n 0 mc 2 + R2
+ n 0β 2
n 0 R 2
20

V
eq37 → φ ′′ = e ɛ 0
(γR 2 − n 0 ) +
R 2 = R 2 0 + 2R 0 R 1 , R 2 φ = R 0 φ 1
ω2 p
n 0 c 2 R2 φ
− K 2 φ 1 = e (γR 2 − n 0 ) +
ω2 p
ɛ 0 n 0 c 2 R2 φ
− K 2 φ 1 = e ( ) ]
n0
[γ
ɛ 0 γ + 2R 0R 1 − n 0 + ω2 p
γc 2 φ 1
− K 2 φ 1 = 2eγ
ɛ 0
R 0 R 1 + ω2 p
γc 2 φ 1
( )
φ 1 K 2 + ω2 p
γc 2 + 2eγ R 0 R 1 = 0........(a)
ɛ 0
eq39 → R 3 2 c 2 R ′′ + (p 2 c 2 + 2eγmc 2 φ)R 4 − n2 0p 2 c 2
R 3 = (R 0 + R 1 ) 3 = R0 3 + 3n 0
γ R 1, R 4 = R0 4 + 4R0R 3 1
(
R0 3 + 3n )
0
γ R 1 (−K 2 R 1 2 c 2 R ′′ ) + (p 2 c 2 + 2eγmc 2 φ 1 )(R0 4 + 4R0R 3 1 )
− K 2 2 c 2 R0R 3 1 + p2 c 2 n 2 0
γ 2 + 4p 2 c 2 R0R 3 1 + 2emc2 n 2 0φ 1
− p2 c 2 n 2 0
γ γ 2
− K 2 2 c 2 R 3 0R 1 + 4p 2 c 2 R 3 0R 1 + 2emc2 n 2 0φ 1
γ
(4p 2 c 2 R0 3 − K 2 2 c 2 R0)R 3 1 + 2emc2 n 2 0φ 1
.....(b)
γ
(
K 2 + ω2 p
2eγR
γc
)
0
2 ɛ 0
∣ 2emc 2 n 0
γ
(4p 2 c 2 R0 3 − K 2 2 c 2 R0)
3 ∣
( )
K 2 + ω2 p
γc 2 (4P 2 c 2 R 0 − K 2 2 c 2 R0) 3 − 4e2 mc 2 n 2 0R 0
= 0
ɛ 0
4K 2 P 2 R 3 0 − K 4 c 2 R 3 0 + 4P 2 R 3 0ω 2 p
γ
− 4K2 P 2 c 2 n 0
γ
+ K4 2 c 2 n 0
γ
− ω2 pK 2 2 R 3 0
γ
γ 2
− 4e2 mc 2 n 2 0R 0
ɛ 0
= 0
− 4ω2 pP 2 n 0
γ 2 + ω2 pK 2 2 n 0
γ 2 + 4e2 mc 2 n 2 0
ɛ 0
= 0
− K2 P 2 c 2
+ K4 2 c 2
− 4ω2 pP 2
γ 4γ γ 2 + K2 2 ωp
2
4γ 2 + e2 mc 2 n 0
= 0
ɛ 0
K 4 2 ωpc 2 2 m 2 c 4
4γm 2 c 4 ωp
2 + K2 m 2 c 4 2 ωp
2
4γ 2 m 2 c 4 − K2 P 2 c 2
− P 2 ωp
2 + e2 mc 2 n 0
= 0
γ γ ɛ 0
K 4 H 2
4γ
c 2
ωp
2
m 2 c 4 + H2 K 2
4γ 2 m2 c 4 − K2 P 2 c 2
− P 2 ωp
2
γ γ 2 + e2 mc 2 n 0
= 0
ɛ 0
K 4 H 2 x 2
4γ x ∗2 + H2 K 2
4γ 2 − K2 P 2
γm 2 c 2 − 21 P 2 ωp
2
γ 2 m 2 c 2 c 2 + ω2 p
c 2 = 0
K 4 H 2 x 2
4γ x ∗2 + H2 K 2
4γ 2 − K2 P ∗2
− P ∗2 x ∗2
γ γ 2 x 2 + x∗
x 2 = 0
K 4 H 2
+ H2 K 2
4γ 4γ 2 − K2 P 2
− P 2
γ γ 2 + 1 = 0 ∵ after omitting asterisks
(
1 H 2 K 2 )(
− P 2 K 2 + 1 )
+ 1 = 0
γ 4
γ

W
(Ω − Kv) 2 = ω2 p
γ 3 +
( ) 2 2
4γ 2 m 2 K 2 − Ω2
c 2 +
for the solution of above for transformation we solve
(K ′ ) 2 − (Ω′ ) 2
c 2
= K 2 − (Ω)2
c 2 ........(B)
2 ωp
2 ( )
4γ 3 m 2 c 2 k 2 − Ω2
c 2 .........(A)
Ω ′ = γ(Ω − vK z ), K ′ x = K x , K ′ y = K ′ y, K ′ z = γ(K z − vΩ
c 2 ), ω′ p = ω p
√ γ
solution of B
(K ′ ) 2 − (Ω′ ) 2
c 2 = (K x ′2 + K y ′2 + K z ′2 ) − (Ω′ ) 2
c 2
(K ′ ) 2 − (Ω′ ) 2
(K ′ ) 2 − (Ω′ ) 2
(K ′ ) 2 − (Ω′ ) 2
[
c 2 = Kx 2 + Ky 2 +
γ(K z − vΩ
c 2 ) ] 2
−
c 2 = Kx 2 + Ky 2 + γ 2 Kz 2 + γ2 v 2 Ω 2
c 4
c 2 = Kx 2 + Ky 2 + γ 2 Kz 2 + γ2 v 2 Ω 2
c 2
[
)] 2
γ
(Ω − vK z
c 2
− 2γvK zΩ
c 2 − γ2 (Ω 2 + v 2 Kz 2 − 2ΩvK z )
c 2
− 2ΩγvK z
c 2 − γ2 Ω 2
c 2 − γ2 v 2 Kz
2
c 2
(K ′ ) 2 − (Ω′ ) 2
( ) ( )
c 2 = Kx 2 + Ky 2 + γ 2 1 − v2
c 2 kz 2 − γ 2 1 − v2 Ω
2
c 2 c 2
1
γ = √ ∴ γ 2 = 1 ∴ 1
1 − v2 1 − v2 γ 2 = 1 − v2
c 2
c 2 c 2
(K ′ ) 2 − (Ω′ ) 2
( ) (
1
c 2 = Kx 2 + Ky 2 + γ 2 γ 2 kz 2 − γ 2 ( 1 ) Ω
2
γ 2 c 2
(K ′ ) 2 − (Ω′ ) 2
c 2
= K 2 x + K 2 y + K 2 z − Ω2
c 2
+ γ2 ΩvK z
c 2
(K ′ ) 2 − (Ω′ ) 2
c 2 = K 2 − Ω2
c 2
It means this transformation is invareint under lorentz transformation,so eq A becomes
( ) 2
(Ω ′ ) 2 = (ω ′ ) 2 + + 2
4m 2 K ′2 − Ω′2
c 2 + 2 ω ′ 2 ( )
p
4m 2 c 2 k ′2 − Ω′2
c 2
22

9
ρ i = eR 2 , ρ e = e
mc 2
∑
N Rj
2
j=1
( ) ∂Sj
∂t
S = −γmc 2 + S 0 (x)
∇ 2 = − 1 ɛ 0
(ρ i + ρ e + en 0 − en 0 )
∇ 2 = − e ɛ 0
[
R 2 + 1
mc 2
φ ′′ = − e ɛ 0
[
R 2 + 1
mc 2
∑
N Rj
2
j=1
∑
N Rj
2
j=1
φ ′′ = − e [
]
R 2 − γR 2 − eφR2
ɛ 0 mc 2
φ ′′ = e ɛ 0
(γR 2 + R 2 ) + eφR2
mɛ 0 c 2
( ∂S
∂t − eφ )]
(
)]
− γmc 2 − eφ
φ ′′ = e (γRe 2 + Ri 2 ) + ω2 pR 2 φ
ɛ 0 n 0 c 2 ........(a)
For non-relativistic case R = R(x), S = −mc 2 t + S 0 (x), φ = φ(x)
2 ∇ 2 R
= (∇S) 2 + 2m ∂S
R
∂t − 2emφ
[
2 ∇ 2 R = (∇S) 2 + 2m ∂S ]
∂t − 2emφ R
2 R ′′ = [(S ′ 0) 2 − 2m 2 c 2 − 2emφ]R.........(b)
10
R = R(x), S = −mc 2 + S 0 , φ = φ(x)
− R∇ 2 S + 2∇R∇S − 2m ∂R
∂t = 0
− RS ′′
0 + 2R ′ S ′ 0 = 0
RS ′′
0 − 2R ′ S ′ 0 = 0
Above eq can be immediately integrated as R 2 S ′ 0 = constant.assuming that R = √ n 0 , &S ′ 0 = p
R 2 S ′ 0 = n 0 p ⇒ S ′ 0 = n 0p
R 2 ........(c)
putting eq(c)in eq(b)
2 R ′′ + (2m 2 c 2 − 2emφ)R = n2 0p 2
R 3 .........(4)
23

10*
2 R ′′ + (2m 2 c 2 + 2emφ)R = n2 0p 2
2 R ′′
√
n0
R 3
+ (2m 2 c 2 + 2emφ) R √
n0
= p2
R ∗3
2 R ∗′′ + (2m 2 c 2 + 2emφ)R ∗ = v2
R ∗3
x ∗ = ω px
u 0
, R ∗ = R √
n0
quadφ =
2 ω 2 p
m 2 u 4 0
m 2 u 4 0
ω 2 p
eφ
mu 2 0
H = ω p
mu 2 0
R ∗′′ + (2m 2 c 2 + 2emφ
mu 2 mu 2 0)R ∗ = v2
0
R ∗3
H 2 m2 u 2 0
ωp
2 R ∗′′ + (2m 2 c 2 + 2φ ∗ mu 2 0)R ∗ = v2
R ∗3
H 2 m 2 x2
x ∗2 R∗′′ + (2m 2 c 2 + 2φ ∗ mu 2 0)R ∗ = v2
R ∗3
H 2 m 2 x2
x ∗2 R∗′′ + (2m 2 c 2 + 2φ ∗ mu 2 0)R ∗ = v2
after omitting asterisks
H 2 m 2 R ′′ + (2m 2 c 2 + 2φmu 2 0)R = v2
R 3
R ∗3
24

phi” 9*
φ ′′ = e ɛ 0
(γR 2 − R 2 ) +
ω2 p
n 0 c 2 R2 φ
φ ′′ = e ( γR2 n 0 − R2
n 0 ) + n 0e 2
ɛ 0 n 0 n 0 mɛ 0 c 2 R∗2 φ
φ ′′ = en 0
(γR∗ 2 − R∗ 2 ) + n 0e 2
ɛ 0 mɛ 0 c 2 R∗2 φ
ɛ 0 φ ′′
= γR ∗2 − R ∗2 + e
en 0 mc 2 R∗2 φ
eφ ′′ ɛ 0 mc 2
mc 2 en 0 e
eφ ′′ c 2
mc 2 ωp
2
mc 2
e
φ ′′ ∗ x 2
x ∗2 = R∗2 φ ∗ − R ∗2
omitting asterisks
′′ x2
φ
x 2 = R2 φ − R 2
= γR ∗2 − R ∗2 + e
mc 2 R∗2 φ
= R ∗2 (
γ + eφ
mc 2 )
− R ∗2
φ ′′ = R 2 φ − R 2 25

11
R e (4P 2 c 2 R ce − K 2 2 c 2 R ci ) + 2emc2 n 2 0
φ e + 0R i ........(a)
γ
φ ′′ = e ɛ 0
[
γ(R 2 e + 2R 0 R e ) − (R 0i + 2R i R 0i )] +
− K 2 φ = e [
n 0 + 2γR ce R e − n 0 − 2R ci R 0i ] + ω2 p
ɛ 0 γc 2 φ
( )
→ K 2 + ω2 p
γc 2 φ + 2γe R ce R e − 2e R ci R i ..........(b)
ɛ 0 ɛ 0
− K 2 R i R 3 + (2m 2 c 2 + 2meφ)R 4 − n 2 0p 2 = 0
R 3 = R 2 ci + 2R ci R i
→ R 4 = (R ci ) 4 + 4(R ci )R i
R 3 = R 3 ci + 3n 0 R i
→ − 2 K 2 R 3 ciR i + (2m 2 c 2 + 2meφ)(n 2 0 + 4R 3 ci) − n 2 0P 2
→ − 2 K 2 R 3 ciR i + (8m 2 c 2 R 3 ciR i ) + 2men 2 0φ
→ (8m 2 c 2 R 3 ci − 2 K 2 R 3 ci)R i + 2men 2 0φ...........(c)
ω2 p
n 0 c 2 (R2 ce + 2R ce R e )φ
26

12
(4P 2 c 2 R ce − K 2 2 c 2 2emc
R ci ) 0
2 n 2 0
γ
2γeR ce
ɛ
∣
− 2eRci
ɛ 0
(K 2 + ω2 p
0 (8m 2 c 2 Rci 3 − 2 K 2 Rci 3 ) 2men2 0
[
(4P 2 c 2 R ce − K 2 2 c 2 R ci )
+ 2emc2 n 2 [ ]
0 2γeRce
(8m 2 c 2 Rci 3 − 2 K 2 R 3
γ ɛ
ci)
0
[
⇒ (4P 2 c 2 R ce − K 2 2 c 2 R ci )
γc 2 )
− 4e2 R ci mn 2 ( )
0
K 2 + ω2 p
ɛ 0 γc 2 (8m 2 c 2 Rci 3 − 2 K 2 Rci)
3
− 4e2 R ci mn 2 0
ɛ 0
+ 2emc2 n 2 [
0 16γem 2 c 2 R ce Rci
3 − 2γe2 K 2 R ce R 3 ]
ci
γ
ɛ 0
ɛ 0
⇒ −16p2 c 2 R 3 ceR ci mn 2 0
ɛ 0
− 4p2 2 K 2 ω 2 pR 3 ceR 3 ci
γ
∣
− 8K 2 m 2 c 2 R 3 ci − 2 K 4 R 3 ci + 8ω2 pm 2 R 3 ce
γ
− 32p 2 c 4 R 3 ceR 3 ciK 2 m 2 − 4p 2 c 2 2 K 4 R 3 ceR 3 ci + 32p2 c 2 ω 2 pm 2 R 3 ceR 3 ci
γ
]
− 2 K 2 ωpR 2 ce
3 ]
γc 2
+ 42 K 2 c 2 Rci 4 mn2 0e 2
+ 8 2 K 4 m 2 c 4 Rci 6 + 4 K 6 c 2 Rci 6 − 82 K 2 c 2 Rceω 6 pm 2 2
ɛ 0 γ
+ 2 K 4 R 6 ci ω2 p
γ
+ 32m3 e 2 c 4 R ce R 3 ci
ɛ 0
− 4me2 c 2 n 2 0 2 K 2 R ce R 3 ci
ɛ 0
⇒ −16p2 c 2 n 4 0m
γ √ − 32p2 c 4 n 0 K 2 m 2
γɛ 0 γ 2√ − 4p2 c 2 2 K 4 n 3 0
γ
γ √ + 32p2 c 2 ωpm 2 2
γ γ 2√ − 4p2 2 K 2 ωpn 2 3 0
γ γ 2√ + 42 K 2 c 2 n 4 0me 2
γ
ɛ 0
+ 8 2 K 4 m 2 c 4 n 3 0m 2 + 4 K 6 c 2 n 3 0 − 82 K 2 c 2 n 2 0m 2 ω 2 p
γ
+ 2 K 4 n 3 0ω 2 p
γ
+ 32m3 e 2 c 4 n 2 0
ɛ 0
√ γ
− 4me2 c 2 2 K 2 n 4 0
ɛ 0
√ γ
= 0
⇒ −16p2 c 2 n 4 0m
γ √ − 32p2 c 4 n 0 K 2 m 2
γɛ 0 γ 2√ − 4p 2 c 2 2 ωp
2 m 2 c 4 K 4 n 3 0
γ
m 2 c 4 ωp
2 γ √ γ + 32p2 c 2
γ 2√ γ − 2 ω 2
4p2 p m 2 c 4
m 2 c 4 ωp
2 K 2 ω2 pn 8 0
γ 2√ γ
+ 4 2 ωp
2 m 2 c 4
m 2 c 4 K 2 c 2 n4 0m 2 e 2
mɛ 0
ω 2 p
+ 2 ωp
2 m 2 c 4
m 2 c 4 K 4 n3 0ωp
2
γ
ω 2 p
+ 8 2 ωp
2 m 2 c 4
m 2 c 4 K 4 c 2 n 3 0m 2 + 4 ωp
4 m 4 c 8
m 4 c 8 K 6 c 2 n 3 0 − 82 ωp
2 m 2 c 4
m 2 c 4
+ 32m3 e 2 c 4 n 2 0
ɛ 0
√ γ
ω 2 p
ω 4 p
− 4me 2 c 2 2 ωp
2 m 2 c 4
m 2 c 4 K 2 n 4 0 = 0
⇒ −16p2 c 2 n 4 0
γ √ − 32p2 c 2 n 3 0K 2
γɛ 0 γ 2√ − 4p 2 c 2 H 2 n3 0
γ
γ √ γ + 32p2 c 2
γ 2√ γ − 4p2 H2 K 2 c 2 n 3 0
γ 2√ + 4H 2 K 2 c 4 n 3 0
γ
+ 8H 2 K 4 c 2 n 3 0m 2 + H 2 K 6 c 2 n 3 0 − 8H2 K 2 c 2 n 2 0m 2
γ
(
⇒ H 4 K 6 c 2 n 3 0 + K 2 4H 2 c 4 n 3 0 − 32p2 c 2 n 3 0
γ √ γ
(
+ K 4 8H 2 c 2 n 3 0m 2 + H2 c 2 n 3 )
0
+
4γ
ω 2 p
+ H2 K64n 3 0c 2
γ
− 38H2 c 4 n 2 0m 2 γ − 4me 2 c 2 H 2 n 4 0
γ 2√ γ
( −16p 2 c 2 n 4 0
γ √ − 4p 2 c 2 H 2 n3 0
γɛ 0 γ √ γ + 32mc4 n 0
ec 2√ γ
ω 2 p
K 2 c 2 n2 0m 2 ω 2 p
γ
+ 32mc4 n 0
ec 2√ γ − 4me2 c 2 H 2 K 2 n 4 0 = 0
)
+ 4H 2 K 2 c 4 n 4 0
)
= 0
27