Một số phương pháp tính tích phân dành cho HS ôn thi THPTQG . Xây dựng các phương pháp tính tích phân theo từng dạng toán điển hình, từ dễ đến khó

B À I T O Á N T Í C H P H Â N Ô N
T H I T H P T Q U Ố C G I A
vectorstock.com/22575460
Ths Nguyễn Thanh Tú
eBook Collection
DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP
PHÁT TRIỂN NỘI DUNG
Một số phương pháp tính tích phân dành cho HS ôn
thi THPTQG . Xây dựng các phương pháp tính tích
phân theo từng dạng toán điển hình, từ dễ đến khó
WORD VERSION | 2021 EDITION
ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL
TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM
Tài liệu chuẩn tham khảo
Phát triển kênh bởi
Ths Nguyễn Thanh Tú
Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật :
Nguyen Thanh Tu Group
Hỗ trợ trực tuyến
Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon
Mobi/Zalo 0905779594

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN DÀNH CHO HS ÔN THI THPT
QUỐC GIA
MỞ ĐẦU
Nhằm phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh nhằm bồi dưỡng, phát
triển trí tuệ, năng lực của học sinh là nhiệm vụ trọng tâm trong quá trình dạy học.
Bài toán tích phân của hàm số khá phong phú và đa dạng. Các em học sinh thường
lúng túng hoặc bế tắc khi gặp phải các câu hỏi lạ. Do đó, các em phải biết chuyển một bài
toán lạ về một bài toán quen thuộc đã biết cách giải. Việc làm này đòi hỏi học sinh phải
nắm vững lý thuyết và phương pháp giải các dạng toán. Ngoài ra, các em học sinh còn
phải biết tư duy, phân tích, vận dụng phương pháp giải một cách khoa học. Với hình thức
thi trắc nghiệm như hiện nay có xuất hiện nhiều dạng tích phân mới như tích phân hàm
ẩn, tích phân có liên quan đến phương trình vi phân,.. Đòi hỏi học sinh phải được trang bị
và biết vận dụng các kiến thức từng dạng để giải được hết các câu tích phân trong đề thi
THPT Quốc Gia.
Để kích thích được khả năng tư duy của học sinh, tạo được hứng thú học tập của học
sinh khi học các bài toán về tích phân, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập
của học sinh ngày được nâng lên.
Với các lí do trên tôi chọn chuyên đề: “ Một số phương pháp tính tích phân dành cho
HS ôn thi THPT Quốc gia”. Tôi đã nghiên cứu, sưu tầm và xây dựng các phương pháp
tính tích phân theo từng dạng toán điển hình, từ dễ đến khó để học sinh từng bước tiếp
cận,làm quen và thành thạo các dạng toán.
Do còn nhiều hạn chế về thời gian nghiên cứu chuyên đề cũng như năng lực chuyên môn
nên bài báo cáo không tránh khỏi những thiếu sót về nội dung và hình thức trình bày.
Kính mong các Thầy- Cô đọc và góp ý kiến để báo cáo được hoàn chỉnh hơn.
1

I. HỆ THỐNG KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ:
1. Bảng tóm tắc công thức nguyên hàm:
(Ta tạm hiểu hàm số sơ cấp( HSSC) cơ bản mở rộng là từ HSSC cơ bản ta thay biến x
bởi ax + b)
Nguyên hàm của HSSC
thường gặp
Nguyên hàm của HSSC mở rộng
thường gặp
Nguyên hàm của hàm
số hợp (với u = u(x) )
∫ dx = x C
∫ du = u + C
α + 1
α + 1
α + 1
α x
α 1 ( ax + b)
α u
∫ x dx = + C ax + b dx =
+ C
α + 1
∫ ( )
u du = + C
a α + 1
∫ α + 1
∫
1
dx = ln x + C
x
∫
1 1
dx = ln ax + b + C
( ax + b)
a
∫
1
du = ln u + C
u
x x
∫ e dx = e + C
ax+
b 1 u u
ax+
b
∫ x dx = . e + C
∫ e du = e + C
a
∫
x
x a
a dx = + C
ln a
∫
a
px+
q
dx =
px+
1 a
p ln a
q
+ C
∫
u
u a
a du = + C
ln a
∫
∫
∫
cos xdx = sin x + C
1
∫ cos( ax + b)
dx = sin( ax + b)
+
a
C cos udu = sin u + C
sin xdx = −cos
x + C
1
∫ sin( ax + b)
dx = − cos( ax + b)
+
a
C sin udu = − cosu
+ C
1
cos
2
dx = tan x + C
x
1 1 tan
ax b a
( + )
( )
∫ dx = ax + b + C
2
∫ 2
cos
∫
∫
1
cos
dx = tan u + C
u
∫
1
dx = − cot x + C
2
sin x
1 1 cot
ax b a
( + )
( )
∫ dx = − ax + b + C
2
∫ 2
sin
1
dx = − cot u + C
sin u
2. Tích phân
2. 1. Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục trên K và a,
b là hai số bất kỳ thuộc K . Nếu F là
một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F ( b) − F( a)
được gọi là tích phân của f từ a
b
đến b và kí hiệu là f ( x)
dx
f trên đoạn [ a;
b ] .
∫ . Trong trường hợp a b
a
b
< , ta gọi ∫ f ( x)
dx là tích phân của
a
2

Người ta dùng kí hiệu
F( x ) b để chỉ hiệu số F ( b) − F( a)
. Như vậy Nếu F là một nguyên
a
b
b
hàm của f trên K thì ∫ f ( x) dx = F ( x) = F( b) − F( a)
.
a
Lưu ý:
a
- Quy ước: + Nếu a = b thì f ( x)dx = 0
+ Nếu a b
a
∫
a
b
∫ ∫
> thì ( ) d = − ( )
- Tích phân không phụ thuộc vào biến số:
2.2. Tính chất:
b b b
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
a
f x x f x dx
f x dx = f t dt = f u d u = ...
a a a
a) Giả sử f , g liên tục trên K và a, b,
c là ba số bất kì thuộc K . Khi đó ta có
Chú ý:
a
b
a
1) ∫ f ( x) dx = 0 ; 2) f ( x) dx = − f ( x)
dx
a
b b b
4) ( ) ( ) ( ) ( )
a
b
a
b
b c c
∫ ∫ ; 3) ∫ ( ) + ∫ ( ) = ∫ ( )
f x dx f x dx f x dx
a b a
∫[ f x + g x ] dx = ∫ f x dx + ∫ g x dx ; 5) ∫ kf ( x) dx = k∫ f ( x)
dx với k R
a a a
- Nếu F′ ( x) = f ( x)
với mọi x∈ K thì F( x) = ∫ f ( x)
dx
b
a
b
a
∈ .
- Ta có:
b
∫
a
f ( x) ′ dx = f ( x)
( )
b
a
b) Với hàm số f liên tục và số thực dương a, ta có hai tính chất sau đây:
- Nếu f là hàm số lẻ trên đoạn [ a;
a]
a
− thì ∫ f ( x) dx = 0 .
−a
- Nếu f là hàm số chẵn trên đoạn [ a;
a]
− thì
a
∫ f ( x) dx = 2 ∫ f ( x)
dx .
−a
a
0
3. Các công thức tính tích phân.
3.1. Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục trên K và a,
b là hai số bất kỳ thuộc K . Nếu F là
một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F ( b) − F( a)
được gọi là tích phân của f từ a
3

b
đến b và kí hiệu là f ( x)
dx
f trên đoạn [ a;
b ] .
∫ . Trong trường hợp a b
a
b
< , ta gọi ∫ f ( x)
dx là tích phân của
a
Người ta dùng kí hiệu
F( x ) b để chỉ hiệu số F ( b) − F( a)
. Như vậy, Nếu F là một nguyên
a
b
b
hàm của f trên K thì ∫ f ( x) dx = F ( x) = F( b) − F( a)
.
a
a
3.2. Công thức đổi biến số: ∫ [ ] = ∫
b
a
( )
u b
f u( x) u '( x) dx f ( u)
du
Trong đó: u = u ( x)
là hàm số có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y f ( u)
sao cho hàm số hợp f ⎡u ( x)
3.3. Công thức tích phân từng phần
⎣ ⎤⎦ xác định trên K và a, b thuộc K.
( )
u a
= liên tục và
Nếu u ( x ) và v( x ) là các hàm số liên tục có đạo hàm trên [ ; ]
a b thì
b
b
b
∫ udv = uv − vdu
a ∫ .
a
a
II. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT ĐẶC TRƯNG
1. Phương pháp tính tích phân bằng định nghĩa
1.1. Dạng 1: Tính tích phân cơ bản bằng định nghĩa.
* Phương pháp: Biến đổi hàm số trong dấu tích phân về dạng tổng, hiệu các hàm số
có thể tìm được nguyên hàm và định nghĩa để suy ra giá trị của tích phân.
1.2. Dạng 2: Tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối.
*Phương pháp: Để tính f ( )
- Xét dấu f ( x ) trên [ ; ]
a b .
b
∫ x dx thì thực hiện:
a
- Dùng tính chất phân đoạn của tích phân rồi tính tích phân trên đoạn..
1.3. Dạng 3: Tích phân của hàm ẩn
*Phương pháp: Sử dụng định nghĩa, các tính chất tích phân
- Nếu F′ ( x) = f ( x)
với mọi x∈ K thì F( x) = ∫ f ( x)
dx
- Các công thức về đạo hàm:
4

1) u′ . v + u.
v′
= ( uv )
′ ; 2) u ′ v − uv ′ ⎛ u ⎞
′
=
2 ⎜ ⎟
v ⎝ v
;
⎠
( u )
u′ ′
3)
2 u
n 1 n
= ; 4) nu u ( u )
u′ ′
⎛ 1 ⎞
= ; 5) − = ′
2 ⎜ ⎟
u ⎝ u
.
⎠
− ′
- Giải bằng công thức giải nhanh ( nếu có)
kx
+ f ′( x) = kf ( x)( k ∈ ) ⇒ f ( x) = Ce
+ ( ) ( )
R .
( ) = ( ) ⇒ ∫ ( ) ( ( )) = ∫ ( ) .
f ′ x g f x k x f ′ x g f x dx k x dx
+ ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
f ′ x g x f x k x e f ′ x g x e f x k x e
G x G x G x
+ = ⇔ + = .
( ) ′
( ( )) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
− ( )
( )
∫ ∫ .
G x G x G x G x G x G x
e f x k x e e f x k x e dx f x e k x e dx
⇔ = ⇒ = ⇔ =
(trong đó G( x ) là một nguyên hàm của g( x ) )
2. Phương pháp đổi biến số.
2.1. Dạng 1: Tính tích phân bằng đổi biến x = ϕ ( t)
Phương pháp này thường dùng cho tích phân chứa hàm số bậc 2 trong căn bậc 2
* Dấu hiệu
Dấu hiệu
1 Nếu hàm f ( x ) có
chứa
a
− x thì
2 2
2 Nếu hàm f ( x ) có
chứa
a
+ x thì
2 2
Đặt
đặt
đặt
x = a sin t
x = a tan t
( )
( sin )
( )
⎧ ⎪dx = d a t = a cost dt
→ ⎨
⎪⎩ − = − =
2 2 2 2 2
a x a a sin t a cos t
⎧
adt
dx = d ( a tan t) =
2
⎪
cos t
→ ⎨
⎪ 2 2 2 2 2
a + x = a + a tan t =
⎪⎩
a
cos t
3 Nếu hàm f ( x ) có
chứa
x
− a thì
2 2
4 Nếu hàm f ( x ) có
chứa
a + x
a − x
thì
đặt
a
x =
sin t
đặt x = a cos 2t
⎧ −a
cos tdt
dx =
2
⎪ sin t
→ ⎨
⎪
x − a = a
⎪⎩
2 2 2
cos
sin
( )
⎧ dx = d a cos 2t = −2a sin 2tdt
⎪
→ ⎨ + +
⎪
⎩ − −
2
2
t
t
2
a x 1 cos 2 t cos t
= =
2
a x 1 cos 2 t sin t
5

* Phương pháp:
+ Đặt x = u ( t)
sao cho u ( t)
là hàm số có đạo hàm liên tục trên [ , ], f u ( t)
định trên [ α,
β ] với ( α ) ( β )
u = a, u = b.
α β ⎡⎣
⎤⎦ được xác
+ Biến đổi f ( x) dx = f ⎡u ( t) ⎤ u '( t) dt = g ( t)
⎣ ⎦
+ Tìm nguyên hàm G ( t)
suy ra f ( x) dx = G ( t)
* Các dạng thường gặp:
b
∫
a
β
α
Hàm số có chứa
a
− x thì đặt x = asin
t hoặc acost
2 2
Hàm số có chứa
Hàm số có chứa
a
x
+ x thì đặt x = a tan t hoặc acott
2 2
− a thì đặt
2 2
Hàm số có chứa x( k x) ( k 0)
− > thì đặt
a
x = hoặc x =
cost
2
x = k sin t.
2.2. Dạng 2: Tính tích phân bằng đổi biến t = u ( x)
* Dấu hiệu chung:
Nếu hàm số chứa căn ⇒ đặt t = căn
Nếu hàm số chứa mẫu ⇒ đặt t = mẫu
Nếu hàm số chứa lũy thừa bậc cao ⇒ đặt t = biểu thức dưới số lũy thừa bậc cao
* Dấu hiệu cụ thể:
a
sin
Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân
Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ
t
1 Có ( )
2 Có ( ax b) n
f x t = f ( x)
+ t = ax + b
2
3 x dx
I = ∫ . Đặt t = x + 1
0
x + 1
0
2018
∫ ( 1) d . Đặt t = x + 1
−1 I = x x + x
f ( x)
3 Có a t = f ( x)
dx
4 Có và ln x
x
π tan x+
3
e
4
I = ∫ dx
0
. Đặt t = tan x + 3
cos 2 x
e
t = ln x hoặc biểu thức 1+
3ln x.ln x
I = ∫ .d x . Đặt t = 1+
3ln x
chứa ln x x
1
6

5 Có
x
e dx
t
x
= e hoặc biểu thức
x
chứa e
ln3 2 x x
x
∫ . Đặt t = 4e
− 3
0
I = e 4e − 3.dx
6 Có sin xdx t = cos x
I =
π
3
0
3
sin x
dx
2cos x + 1
∫ Đặt t = 2cos x + 1
7 Có cos xdx t sin
3
= xdx
I 2 sin x cos x d x
π
= ∫ . Đặt t = sin
0
x
dx
8 Có
2
cos x
dx
9 Có
2
sin x
t = tan x
t = cot x
π
π
1
4 4 2 1
0 4 0
2
∫ ∫
I = d x = (1 + tan x) dx
cos x
cos x
Đặt t = tan x
π cot x
π cot x
e
e
4
d
4
∫π
π
d
2
1−
cos 2x
∫ . Đặt t = cot
2sin x
6 6
I = x =
x
x
*Phương pháp:
- Đặt t = u ( x)
, biểu thị f ( x)
dx theo u và du hay ( ) = ( )
f x dx g u du
- Tìm một nguyên hàm G ( u ) của g ( u ) : ( ) ( )
3. Phương pháp tính tích phân từng phần.
k
3.1. Dạng 1: Tích phân dạng P( x) ln ( )
* Phương pháp: Đặt
Tùy theo bậc của ln u ( x)
b
∫
a
u ( x)
( )
⎧ ⎪u
= ln k
⎨
⎪⎩ dv = P x dx
( )
b
3.2. Dạng 2: Tích phân dạng ( )
* Phương pháp: Đặt
b
a
( )
u b
∫ ∫
u x dx
có thể thực hiện nhiều lần.
∫
kx
P x e dx
a
( )
⎧ ⎪u
= P x
⎨
⎪⎩ dv =
kx
e dx
Tùy theo bậc của P(x) có thể thực hiện nhiều lần.
3.3. Dạng 3: Tích phân P( x)sin
axdx
β
f x dx = g u dx = G u
( )
u a
∫ hoặc ∫ P( x)cos
α
β
α
axdx
( )
u b
( )
u ( a )
7

*Phương pháp: Đặt
( )
⎧ ⎪u
= P x
⎨
⎪⎩ dv = sin axdx hoăc dv = cos axdx
Tùy theo bậc của P(x) có thể thực hiện nhiều lần.
β
ax
ax
3.4. Dạng 4: Tích phân dạng I = ∫ e cosbxdx
hoặc J = ∫ e sin bxdx
* Phương pháp: Đặt:
u = e
ax
α
dv = cosbx dx hoặc dv = sin bx dx
Tính 2 lần, giải phương trình suy ra kết quả.
4. Một số dạng tích phân có liên quan đến phương trình vi phân
4.1. Dạng 1. Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân dạng :
* Phương pháp:
( ). '( ) + ′( ).
( ) = ( )
u x f x u x f x h x
Từ phương trình vi phân u ( x) . f '( x) + u′
( x) . f ( x) = h( x) ⇔ ⎡u ( x) . f ( x) ⎤ = h( x)
∫
Trong đó: ( ) ( )
h x dx = H x + C
8
β
α
′
⎣ ⎦
′
⇒ ⎡⎣
u ( x) . f ( x) ⎤⎦
dx = h( x) dx ⇔ u ( x) . f ( x) = H ( x)
+ C
∫ ∫
4.2. Dạng 2. Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân dạng :
* Phương pháp:
( ) ( ) ( )
f ' x + f x = h x , ∀x ∈ D
Từ phương trình vi phân : f '( x) + f ( x) = h( x)
x
Do e 0, x D
cho
f ' x + f x = h x , ∀x ∈ D
≠ ∀ ∈ , nhân hai vé của phương trình : ( ) ( ) ( )
e . f ' x + e . f x = e . g x , ∀x ∈ D
x
x x x
e ta được : ( ) ( ) ( )
∫
x
x
⇔ ⎡e . f ( x
′
⎣ ) ⎤
⎦ = e . h( x)
, ∀x ∈ D
x ′
x x
⇒ ⎡
⎣e . f ( x) ⎤
⎦ dx = e . h( x) dx ⇔ e . f ( x) = H ( x)
+ C
∫ ∫
Trong đó: x . ( ) ( )
e h x dx = H x + C
4.3. Dạng 3. Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân f ′( x) − f ( x) = h( x )
* Phương pháp:

Nhân cả hai vế với
− x
e ta được − x
. ( ) − x
. ( ) − x
′ − = . ( )
′
⎣e f x ⎦ e h x .
− x
− x
e f x e f x e h x ⇔ ⎡ . ( ) ⎤ = . ( )
− x
− x
Suy ra ( ) ( )
e . f x = ∫ e . h x dx .
Từ đó tính được f ( x ) .
4.4. Dạng 4. Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân f ′( x) + p( x) . f ( x) = h( x )
* Phương pháp:
Nhân hai vế với
( )dx
∫ p x
e ta được ( )
∫ ( ) ∫ ( ) x
∫ ( )
( )
( ) ( )
p x dx p x d p x dx
f ′ x .e + p x . e . f x = h x . e
Suy ra ( )
⎡
( ) x
( ) x
( ). ∫
p x d ⎤
′
⇔ = ( ).
∫
p x d
f x e h x e .
⎢⎣
⎥⎦
( ) x
( ) x
.
∫
p x d
∫
p x d
f x e = ∫ e . h( x ) dx .
5. Một số bài toán ứng dụng tích phân vào thực tế
Ứng dụng tích phân vào bài toán chuyển động
III. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
1. Phương pháp tính tích phân bằng định nghĩa .
1.1. Dạng 1: Tính tích phân cơ bản bằng định nghĩa.
Ví dụ 1: ( THPT QG 2019-MĐ 102 ).
1
1
1
Biết ∫ f ( x)
dx = 3 và ∫ g ( x)
dx = −4 khi đó ⎡⎣
( ) + ( )
0
0
∫ f x g x ⎤⎦
dx bằng
A. − 7. B. 7 . C. − 1. D. 1.
Chọn đáp án C
1 1 1
Ta có ⎡ ( ) ( ) ⎤ ( ) ( )
0 0 0
0
Lời giải:
∫ ⎣ f x + g x ⎦ dx = ∫ f x dx + ∫ g x dx = 3 − 4 = −1.
Ví dụ 2: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018)
π
4
2
Tích phân ∫ tan xdx bằng
0
9

π
A. I = 1− . 4
B. I = 2 . C. I = ln 2 . D.
Lời giải:
Chọn đáp án A
I
π
= .
12
Ta có:
I
π
4
= ∫ tan
0
2
π
4
sin
xdx
= ∫
cos
0
2
2
x
d x
x
π
4
2
1−
cos
= ∫ 2
cos x
0
x
d x
π
4
⎛ 1 ⎞
= ∫ ⎜ −1
dx
2 ⎟
⎝ cos x ⎠
0
π
π
= − 1 4
( tan x x) 4 0
= − .
Ví dụ 3. ( Đề thi minh họa THPT QG 2018-2019-BGD )
Cho
1
∫
0
xdx
( x + 2)
2
= a + b ln 2 + c ln 3
với a , b , c là các số hữu tỷ. Giá trị của 3 a + b + c bằng
A. − 2. B. − 1. C. 2 . D. 1.
Chọn đáp án B
( )
( x + 2)
− 2
dx
( ) x + 2 ( )
1 1 1 1
xdx dx 2dx
= = −
∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2
0 x + 2 0 x + 2 0 0 x + 2
( x + )
−1
1
0
Lời giải:
1 2 2 1
= ln ( x + 2)
− 2. = ln 3 − ln 2 + − 1 = − − ln 2 + ln 3.
0
−1 3 3
Vậy
1
a = − ; b = − 1; c = 1 ⇒ 3 a + b + c = − 1 .
3
Ví dụ 4: ( THPT QG 2019- MĐ 101 ).
2
Cho hàm số f ( x ) . Biết f ( 0)
= 4 và f ( x) =
2
2
2
π + 4
π + 14π
π
A. . B. . C.
16
16
Chọn đáp án C
′ 2cos x + 1, x
π
4
∀ ∈ R , khi đó f ( )
2
+ 16π
+ 4 π . D.
16
Lời giải
∫ x dx bằng
0
+ 16π
+ 16
16
Ta có f ( x) = ∫ f ′( x) dx = ∫( 2cos x + 1) dx = ∫ ( 2 + cos 2x)
dx = 2x + sin 2x + C .
2 1
2
.
10

1
2
Theo bài f ( 0)
= 4 ⇔ 2.0 + .sin 0 + C = 4 ⇔ C = 4 . Suy ra ( )
Vậy:
( )
1
f x = 2x + sin 2x
+ 4 .
2
π π π
4 4
⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 cos 2x
4
⎞
2
⎛ π ⎞ ⎛ 1 ⎞
2
π + 16π
+ 4
∫ ∫
f x dx = ⎜ 2x + sin 2x + 4⎟ dx = ⎜ x − + 4x
⎟ = ⎜ + π ⎟ − ⎜ − ⎟ =
⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 16 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 16
0 0 0
1.2. Dạng 2: Tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 1: Giá trị của
2
2
I x 3x 2dx
= ∫ − + là:
0
A.
Chọn đáp án C
Để ý:
x
2
1
I = . B.
2
1 2
x −∞ +∞
− 3x
+ 2 + - +
0 0
1
I = − . C. I = 1. D. I = 2 .
2
Lời giải
1 2
2 2
∫ ( 3 2) ∫ ( 3 2)
I = x − x + dx + − x + x − dx
0 1
1 2
3 2 3 2
⎛ x 3x ⎞ ⎛ x 3x
⎞
⇔ I = ⎜ − + 2x⎟ + ⎜ − + − 2x⎟
⎝ 3 2 ⎠ ⎝ 3 2 ⎠
⇔ I = 1.
0 1
Ví dụ 2: Biết
π
2
I = ∫ 1− sin 2xdx = a 2 + b . Khi đó a + b bằng
0
A. 0 . B. 4 . C. − 4. D. 2 .
Chọn đáp án A
Lời giải
11

π
π
2
2
2
∫
( )
I = cos x − sin x dx = cos x − sin x dx
0 0
π
π
4 2
0
( cos sin ) ( cos sin )
∫ ∫
= x − x dx + x − x dx
π
4
π
π
cos sin
2
cos sin
0
π 2 2 2.
4
( x x
4
) ( x x)
= + − + = −
Khi đó a = 2; b = − 2; a + b = 0
Ví dụ 3: Giá trị của
A.
∫
e
I = ∫ ln x dx.
là
1
e
2
2 + . B. 2 e
e . C. 2 . D. 2
2 − . e
Chọn đáp án D
Lời giải
e
I = − ln xdx + ln xdx
e
∫ ∫
1 1
e
e
Để ý rằng nguyên hàm của lnx là x( ln x − 1)
1
Do đó: I = −x( x − ) 1 + x( x − )
ln 1 ln 1 e
e
= 1+ 1 ( − 2)
+ e − e + 1 = 2 −
2 .
e
e
π
2
Ví dụ 4: Biết ( 1 cos 2 1 cos 2 )
∫
π
−
2
1
+ x − − x dx = m . Chọn đáp án đúng.
A. m∈ ( 1;3 ) B. m ∈ [ 0;2)
C. m ∈ ( 0;1)
D. [ 1;3]
Lời giải
Chọn đáp án B
m ∈ .
12

π
2
∫ ( )
m = 2 cos x − sin x dx
π
−
2
=
=
π
⎡
⎤
0 2
⎢
⎥
2
⎢ ∫ ( cos x + sin x) dx + ∫ ( cos x − sin x)
dx
⎥
π
0
⎢−
⎣
⎥
2
⎦
π
⎛
0
⎞
2
2
⎜( sin x − cos x) π + ( sin x + cos x) −
0 ⎟ =
⎝
2
⎠
2 ( − 1+ 1+ 1− 1)
= 0
1.3. Dạng 3: Tích phân của hàm ẩn
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x)
lẻ và liên tục trên đoạn [ − 2;2] . Tích phân
2
∫ f ( x ) dx bằng
−2
Chọn đáp án D
A. 1 B. 2 C. − 1
D. 0
Sử dụng tính chất tích phân của hàm số lẻ
Ví dụ 2: Cho hàm số y f ( x)
π
2
Lời giải
⎡ π ⎤
= có đạo hàm liên tục trên đoạn ⎢
0;
⎣ 2 ⎥ và thỏa mãn
⎦
∫ f '( x)
.sin xdx
= 1 , ∫ f ( x)
.cos xdx
= −1. Giá trị ⎣ ( )
0
π
2
0
π
2
I = f x .sin x
′
∫ ⎡ ⎤⎦
dx
là
A. 0 B. − 1
C. 3 D. − 2
⎣ f x .sin x⎦
′ f ′ x sin x f x .cos x
Nhận xét: Ta có ⎡ ( ) ⎤ = ( ) + ( )
Chọn đáp án A
Ta có:
π
2
I = f x x
′
⎣ ⎦ x
∫ ⎡ ( ).sin
⎤ d = ∫
′( ) ( )
0
π
π
2 2
∫
π
2
( ) ( )
∫
0 0
0
Lời giải
( )
f x .sin x + f x .cos x dx
= f ′ x .sin xd x + f x .cos xdx
= 1− 1 = 0.
0
13

Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1 ], thỏa mãn f ( ) f ( )
0 = 1 = 1. Biết
1
∫
x
rằng ⎡ ( ) '( )
0
e ⎣ f x + f x ⎤⎦
dx = ae + b . Khi đó
a
+ b là
2018 2018
A. 7 B. − 1
C. 2 D. 5
x x x x
Nhận xét: Ta có ⎡ ( ) + ( ) ⎤ = ( ) + ( ) = ( )
Chọn đáp án C
e ⎣ f x f ′ x ⎦ e f x e f ′ x ⎡
⎣e f x ⎤
⎦
′
Lời giải
1 1 0 = 1 = 1
1
f
Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( )
x x ′
x
⎡ ′ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
∫ ∫
e ⎣ f x + f x ⎦ dx = ⎣e f x ⎦ dx = ⎣e f x ⎦ = ef 1 − f 0 = e −1.
0 0
2018 2018
Suy ra a = 1, b = − 1. Do đó a + b = 2 .
0
Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x)
có đạo hàm trên [ 0;2 ] và thỏa đẳng thức sau đây
2
( ) + 2 ( 2 − ) = 4 − . Tích phân ′( )
f x f x x
2
∫
0
f x dx
bằng
Chọn đáp án D
A. 0 B. 3 C. 7 D. 2
2
∫ .
0
0
Ta có f 2
′( x ) d x = f ( x ) = f ( 2) − f ( 0)
Với x = 0 và x = 2 ta có hệ phương trình
2
∫
′ d = =
0
2 − 0 = 2 .
0
Do đó f ( x ) x f ( x 2
) f ( ) f ( )
Lời giải
⎧ 2
f ( 0) 2 f ( 2)
2
f ( 0)
= −
⎪⎧ + = ⎪
3
⎨
⇔ ⎨ .
⎪⎩ 2 f ( 0) + f ( 2)
= 0 ⎪ 4
f ( 2)
=
⎪⎩ 3
Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x ) liên tục, không âm trên R và thỏa mãn
2
f ( x). f ′( x) − 2 x. f ( x) + 1 = 0 với ∀x ∈ R và f (0) = 0. Tích phân
1
I = ∫ f ( x)
dx bằng
0
A. 0 B. 3 C. 7 D. 2
14

Nhận xét: Từ giả thiết có
f ( x). f ′( x)
= 2x
2
f ( x) + 1
uu′
2
, biểu thức vế trái có dạng =
2
( u + 1)
u
+ 1
′
Chọn đáp án D
Lời giải
′
f ( x). f ′( x) − 2 x. f ( x) + 1 = 0 ⇔ = 2 x ⇔ f ( x) + 1 = 2x
f ( x) + 1
2 f ( x). f ′( x)
2
Ta có
2
( )
2 2 2
⇒ f ( x) + 1 = ∫ 2 xdx ⇔ f ( x) + 1 = x + c . Do f (0) = 0 ⇒ c = 1 nên ta có
2
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
f ( x) + 1 = x + 1 ⇔ f ( x) + 1 = x + 1 ⇔ f ( x) = x x + 2 ⇔ f ( x) = x x + 2
(Vì f ( x ) không âm trên R ). Khi đó
1 1 1
2 2
∫ ∫ ∫
I = f ( x) dx = x x + 2dx = x x + 2dx
0 0 0
1
1
1 2 2 1 2 ⎡ 2 2 1
= + + = + + = −
∫
( ) ⎤
( )
x 2 d ( x 2) . x 2 x 2 3 3 2 2
2 2 3 ⎣
⎦ 3
0 0
3
Ví dụ 6: Cho hàm số f ( x) ≠ 0 thỏa mãn f ( 2)
= − và f ′( x) = x ⎡ f ( x) ⎤
2
Giá trị của f ( 1)
bằng?
A.
1
− B. 0 C. 4 4
5
1
5
⎣ ⎦
với mọi x ∈ R .
D. 2
f ′( x)
3
Nhận xét: Từ giả thiết ta có x
( )
Chọn đáp án C
Ta có: ( ) ( )
f ( x)
( )
( )
2
u′ ⎛ −1⎞
′
= , biểu thức vế trái có dạng =
2 ⎜ ⎟
u ⎝ u ⎠
Lời giải
( )
( )
f ′ x f ′ x
f ′ x = x ⎡ f x ⎤ ⇒ = x ⇒ x = x dx
2
1
2 2
3
2
3 3
⎣ ⎦ d
2 2
f x
∫
f x
∫
1 1
⎛ 1 ⎞ 15 1 1 15 4
⇔ − = ⇔ − + = ⇔ f ( 1)
= −
⎜ f ( x) ⎟
⎝ ⎠ 4 f ( 2) f ( 1)
4 5
Ví dụ 7: Cho hàm số y = f ( x)
liên tục trên [ 0;1 ] và thỏa mãn ( ) ( )
1
Tích phân ( )
I = ∫ f x dx
là
0
x 2 f x + f 1− x = 2 x − x
4 .
15

A. 2 3
B. − 1
C. 3 D. − 2
Nhận xét: Từ giả thiết thay x bằng 1− x xác định biểu thức quan hệ của f ( 1 − x) ; f ( x)
rồi kết hợp với giả thiết xác định hàm số f ( x )
Chọn đáp án A
Lời giải
Từ giả thiết, thay x bằng 1− x ta được ( 1− x) f ( 1− x) + f ( x) = 2( 1− x) − ( 1−
x)
( ) ( ) ( )
⇔ x 2 − 2x + 1 f 1− x + f x = 1+ 2x − 6x 2 + 4 x 3 − x
4 . ( 1 )
2 4
Ta có x 2 f ( x) + f ( 1− x)
= 2x − x
4
⇔ f ( 1− x) = 2x − x 4 − x 2 f ( x)
( 2 )
Thay ( 2 ) vào ( 1 ) ta được
( ) ⎡
( ) ⎤ ( )
x − 2x + 1 ⎣2x − x − x f x ⎦ + f x = 1+ 2x − 6x + 4x − x
2 4 2 2 3 4
( ) ( )
⇔ − + − = − + − +
1 x 2 2x 3 x 4 f x x 6 2x 5 2x 3 2x
2 1
2 3 4 2 2 3 4
( 1 x 2x x ) f ( x) ( 1 x )( 1 x 2x x )
⇔ − + − = − − + −
( )
⇔ f x = − x
2
1 .
1 1 1
2 ⎛ 3 ⎞
1 2
I = f x dx = 1− x d x = ⎜ x − x ⎟ = .
⎝ 3 ⎠ 3
Vậy ∫ ( ) ∫ ( )
0 0
2. Phương pháp đổi biến số.
2.1. Dạng 1: Tính tích phân bằng đổi biến x = ϕ ( t)
0
Ví dụ 1 : Khi đổi biến
x = 3 tan t , tích phân
I
=
1
dx
∫ trở thành tích phân nào?
2
x + 3
0
A.
I
π
3
= ∫ 3dt
. B.
0
I
π
6
3
= ∫ d t C.
3
0
I
π
6
= ∫ 3tdt
. D.
0
I
π
6
1
= ∫ dt
.
t
0
Lời giải
Chọn đáp án B
Đặt
2
x = 3 tan t ⇒ dx = 3 ( 1+ tan t)
dt
.
Khi x = 0 thì t = 0; Khi x = 1 thì
π
t = .
6
16

Ta có
I
=
π
1
6
dx
∫ =
2
x + 3
0
0
2
( + t)
2
( + t)
3 1 tan
∫ dt
=
3 1 tan
π
6
∫
0
3 d t
3
Ví dụ 2: Tích phân
I
=
1
∫ 2
dx
bằng
2
0 1−
x
A.
Chọn đáp án D
π
Đặt: x = sin t,0
≤ t ≤
2
π
− B. 5 π
6
6
1 π
dx = cos tdt; x = 0 ⇒ t = 0; x = ⇒ t =
2 6
π
π
6 6
cost
π
I = ∫ = ∫ dt =
1−
sin t 6
2
0 0
Lời giải
C.
−π
6
D. 6
π
Ví dụ 3: Tích phân
1
dx
∫
2
−1
( 1+
x )
2
1 ⎡ a.
π ⎤
= b ( a, b )
2 ⎢
+ ∈
2 ⎥
N . Giá trị biểu thức
⎣ ⎦
a
+ b bằng
2 2
Chọn đáp án A
A. 2 B. − 1
C. 3 D. − 2
dt ⎛ π π ⎞
Đặt x = tan t ⇒ dx = t
2 ⎜ − < < ⎟
cos t ⎝ 2 2 ⎠
Lời giải
π π π
4 4 4
2
t
∫
π
π
−
−
4 4
Do đó
π
π
x = −1 ⇒ t = − ; x = 1⇒ t =
4 4
1+ cos 2 1 ⎡ 1 ⎤ 1 ⎡π
⎤
cos tdt = ∫ dt = t sin 2t
1
2 2 ⎢ + = +
⎣ 2 ⎥
⎦ 2 ⎢
⎣ 2 ⎥
⎦
a = b = a + b =
2 2
1; 1; 2
π
−
4
Ví dụ 4: Tích phân
K
=
1
2 2
x dx
∫ bằng
2
1 1−
x
−
2
17

A. 6
π
Chọn đáp án C
π π
Đặt x = sin t, − ≤ t ≤ ⇒ dx = cot dt
2 2
1 π 1 π
x = − ⇒ t = − ; x = ⇒ t =
2 6 2 6
B. − 1
C.
Lời giải
π π π π
6 2 6 2
6 6
2
π π π
− − −
6 6 6
π 3
π 3
− D. +
6 4
6 4
sin t costdt sin t cos tdt 1− cos 2t
1 ⎡ 1 ⎤ π 3
K = ∫ = ∫ = dt t sin 2t
1 sin t cost
∫
= − = −
2 2 ⎢ 2 ⎥
−
⎣ ⎦ 6 4
π
−
6
Ví dụ 5: Cho
2
dx π 3 − b
∫ = + ( ; ;
3 2
2 x x −1
a c
a b c là các số nguyên). Khi đó tích abc bằng
Chọn đáp án A
A. 384 B. − 384
C. 48 D. 192
1 sin tdt
Đặt: x = ⇒ dx =
2
cost
cos t
π
π
x = 2 ⇒ t = ; x = 2 ⇒ t =
4 3
Lời giải
π π π π
3 3
3 3
t tdt
3
2 ⎛ t ⎞ ⎡ ⎤
cos sin 1+ cos 2 1 1 π 3 − 2
L = ∫ = ∫ cos tdt = ∫ ⎜ ⎟dt = t sin 2t
2 1
2 2 ⎢
+
π π π
2 ⎥
= +
⎝ ⎠ ⎣ ⎦ π 24 8
cos t −1
4 2
4 4
4
cos t
Do đó a = 24; b = 2; c = 8; abc = 384
2.2. Dạng 2: Tính tích phân bằng đổi biến t = u ( x)
Ví dụ 1: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 3 năm 2017-2018)
2
2
Cho ( )
∫ f x + 1 x d x = 2. Khi đó I = ∫ f ( x)
dx
bằng:
1
5
2
A. 2 . B. 1. C. − 1. D. 4 .
Chọn đáp án D
Lời giải
18

Đặt
2
t x dt xdx
= + 1⇒ = 2 .
Đổi cận: x = 1⇒ t = 2, x = 2 ⇒ t = 5 .
2 5
1
2
2
2
Khi đó: ∫ f ( x + 1) xdx = ∫ f ( t)
dt
⇒ ∫ f ( t ) d t = 2∫ f ( x + 1)
x d x = 4 .
1 2
5 2
2 1
5 5
Mà tích phân không phụ thuộc vào biến nên: ( ) ( )
Ví dụ 2: (THPT QG 2018- MĐ 101).
∫ ∫ .
I = f x dx = f t dt
= 4
2 2
Cho
55
dx
∫ = a ln 2 + bln 5 + c ln11 với a, b,
c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x x + 9
16
A. a − b = − c . B. a + b = c .
C. a + b = 3c
. D. a − b = − 3c
.
Chọn đáp án A
Đặt t = x + 9
Đổi cận:
x 16 55
t 5 8
2
⇒ t = x + 9 ⇒ 2tdt = dx
.
Lời giải
55
8 8 8 8
dx
2tdt dt 1 ⎛ dt dt
⎞
∫ = ∫ = 2 =
2
2 ⎜ − ⎟
16 x x + 9 5 ( t − 9)
t
∫
t − 9 3
∫
t − 3
∫
t + 3
5 ⎝ 5 5 ⎠
Vậy
= 1 ln − 3 − ln + 3 = 2 ln 2 + 1 ln 5 − 1 ln11.
3
3 3 3
( ) 8 x x
5
2
a = ,
3
1
b = ,
3
1
c = − . Mệnh đề a − b = − c đúng
3
Ví dụ 3: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018)
Cho
3
x a
∫ dx = + b ln 2 + c ln 3 với a , b , c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c
4 + 2 x + 1 3
0
bằng
A. 1. B. 2 . C. 7 . D. 9.
Lời giải
19

Chọn đáp án A
Đặt t = x + 1
2
⇒ t = x +
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 2; x = 3 ⇒ t = 4 .
Khi đó:
1
2
⇒ = − 1 dx
2 d
x
t
⇒ = t t .
1 6 ⎛
⎞ 7
.2tdt = dt = ⎜t − 2t + 3 − ⎟dt = ⎜ − t + 3t − 6ln t + 2 ⎟ = − 12ln 2 + 6ln 3
4 + 2t t + 2 t + 2 3 3
2 2 2 3 2
3
t − t − t ⎛ 2 ⎞ t 2
∫ ∫ ∫ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1 1 1
Suy ra
⎧a
= 7
⎪
⎨b
= − 12
⎪ ⎩c
= 6
⇒ a + b + c = 1.
Ví dụ 4: (THPT QG 2018- MĐ 101). Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên R .
1
Biết f ( 4)
= 1 và ( 4 ) dx
2
∫ xf x = 1, khi đó f ′( )
A. 31
2
0
4
∫ x x d x bằng
0
. B. − 16 . C. 8. D. 14 .
Lời giải
Chọn đáp án B
Đặt t = 4x
⇒ dt = 4dx
1 4
Khi đó: ( )
4
∫
2
Xét: x f ′( x)
0
0 0
( )
4
t.
f t
xf 4x dx = dt = 1 ⇒ xf
x dx
= 16
16
∫
∫ ∫ ( )
dx
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có:
4 4 4
2 2
4
( ) x ( ) ( ) x ( ) ( )
∫ ∫ ∫
0
0 0 0
0
x f ′ x d = x f x − 2 x. f x d = 16. f 4 − 2 x. f x dx
= 16 − 2.16 = −16
3. Phương pháp tính tích phân từng phần.
k
3.1. Dạng 1: Tích phân dạng: P( x) ln ( )
Ví dụ 1: Tích phân ln ( 1+
)
1
∫
0
b
∫
a
x dx bằng
u x dx
A. 2ln 2 + 1. B. ln 2 + 1. C. 2ln 2 − 1. D. ln 2 − 1.
2
20

Chọn đáp án C
dx
u = + x ⇒ du =
x + 1
Đặt: ln ( 1 )
dv = dx ⇒ v = x
Lời giải
1 1 1
1 1
x
⎛ 1 ⎞
ln ( 1+ x) dx = x ln ( 1+ x) − dx = x ln ( 1+ x)
− ⎜1−
⎟dx
x + 1 ⎝ x + 1⎠
∫ ∫ ∫
0 0
0 0 0
( ) ( )
= ⎡⎣
x.ln 1+ x − x + ln 1+ x ⎤⎦
= 2ln 2 −1.
Ví dụ 2: (THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018)
1
0
Biết
2
ln x b
∫ 2 d x = + a ln 2 (với a là số thực, b , c là các số nguyên dương và b x c
c
1
tối giản). Tính giá trị của 2a + 3b + c .
là phân số
A. 4 . B. − 6. C. 6 . D. 5.
Chọn đáp án A
Lời giải
Đặt
u = ln x
1
⇒ du
= dx
x
dv
=
1
dx
2
x
1
⇒ v = − .
x
2 2 2
ln x 1 1
⇒ ∫ d x = − ln x + d x
x x
∫
x
2 2
1 1 1
1
⇒ a = − , b = 1, c = 2 .
2
2 2
1 1
= − ln x −
x x
1 1
1 1 1 1 b
= − ln 2 − + 1 = − ln 2 = + a ln 2.
2 2 2 2 c
⎛ 1 ⎞
⇒ 2a + 3b + c = 2. ⎜ − ⎟ + 3.1+
2 = 4 .
⎝ 2 ⎠
Ví dụ 3: Cho
e
2
∫ ln xdx = m e + n ( Với ;
1
m n là các số nguyên). Giá trị biểu thức 2m + n là
A. 1. B. 0 . C. − 1. D. 2 .
Chọn đáp án B
Lời giải
21

Đặt:
ln
2ln . dx
2
u = x ⇒ du = x x
dv = dx ⇒ v = x
e e e
2 2
e
∫ ln = ln − 2 ln 2 ln
1 ∫ = − ∫
1 1 1
xdx x x xdx e xdx
Xét
I
e
= ∫ ln xdx
1
Đặt
1
u = ln x ⇒ du = dx
x
dv = dx ⇒ v = x
e
e
∫
( )
⇒ I = x ln x − dx = x ln x − x = 1
1 1
1
e
Do đó:
e
2
ln xdx = e − 2
∫
1
Vậy m = 1; n = − 2; 2m + n = 0
Ví dụ 4: Giá trị của
A.
( + )
ln 1
x dx
2
∫
1
2
x
bằng
3
2ln 2 − ln 3 . B. ln 2 − ln 3 . C.
2
Chọn đáp án C
dx
u = + x ⇒ du =
x + 1
Đặt: ln ( 1 )
dx 1
dv = ⇒ v = −
2
x x
( x)
Lời giải
2 2 2 2 2
( )
2
1 1 1 1 1
2
1
3
− . D.
3ln 2 ln 3
2
ln 1+ 1 dx 1 ⎛ 1 1 ⎞
dx = − ln ( 1+ x)
+ = − ln ( 1+ x)
+ ⎜ − ⎟dx
x x x x + 1 x ⎝ x x + 1⎠
∫ ∫ ∫
⎛ 1 x ⎞ 1 2 1 3
= ⎜ − ln ( 1+ x)
+ ln ⎟ = − ln 3+ ln + ln 2 − ln = 3ln 2 − ln 3.
⎝ x
1+
x ⎠ 2 3 2 2
b
3.2. Dạng 2: Tích phân dạng: ( )
∫
a
kx
P x e dx
3
ln 2 + ln 3.
2
22

Ví dụ 1: Tích phân ( x + )
1
∫
0
1 e x dx.
bằng
A. e . B. e − 1. C. 2e . D. 2 − e.
Chọn đáp án A
Đặt: u = x + 1⇒ du = dx
x
x
dv = e dx ⇒ v = e
Lời giải
1 1
x x
1
x x x
1
x
1
∫
( ) ( ) ( )
∫
x + 1 e dx = x + 1 e − e dx = x + 1 e − e = xe = e.
0 0 0
0 0
1
− x
∫ x x e dx là
0
2
Ví dụ 2: Giá trị của ( − 2 −1)
A. 1. B. 0 . C. − 1. D. 2 .
Chọn đáp án C
2
Đặt: = − 2 −1⇒ = 2( − 1)
u x x du x dx
−x
− x
dv = e dx ⇒ v = −e
Lời giải
1 1 1
− x − x −x 2
− x
1
2 2
∫ ( − 2 − 1) = −( − 2 − 1) + 2∫ ( − 1) = − 1+ 2∫
( −1)
x x e dx x x e x e dx x e dx
e
0
0 0 0
1
−x
I x e dx
∫
Xét = ( −1)
0
Đặt: u = x −1⇒ du = dx
−x
− x
dv = e dx ⇒ v = −e
1
− x − x − x −x
1
1 1
I = −( x − 1) e + ∫ e dx = ⎡
⎣−( x −1)
e − e ⎤
⎦ = −
e
1
2
Do đó: ∫ ( )
0
0 0
0
− x
x − 2x − 1 e dx = −1
Ví dụ 3: Biết
1
2
3 x
∫ x e dx = m hãy chọn đáp án đúng
0
A. m ∈ ( 0;1)
. B. m ∈ ( 1;2 ) . C. m∈( − 1;0 ) . D. ( 2;3)
Lời giải
m∈ .
23

Chọn đáp án A
1 1
1 2
2 x 2 1 t
m = x e d ( x ) te dt .
2
∫ =
2
∫
0 0
Đặt: u = t ⇒ du = dt
t
t
dv = e dt ⇒ v = e
1 t t 1
m = ⎡te e ⎤
2 ⎣
−
⎦
=
2
1
0
Ví dụ 4: Hãy chọn đáp án đúng biết rằng
4
x
2
e dx = a e + b
∫
0
.
A. a = − 2b
. B. 2a = b . C. a = − b . D. a = b .
Chọn đáp án D
Đặt: t = x ⇔ dx = 2tdt
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 4 ⇒ t = 2
4 2 2
x t x
∫ ∫ ∫
e dx = 2 te dt = 2 xe dx
0 0 0
Đặt: u = x ⇒ du = dx
x
x
dv = e dx ⇒ v = e
⎡
⎤
Lời giải
4 2
2
2
x x x x x
2 2
∫ e dx = 2 ⎢xe − e dx 2 ⎡xe e ⎤ 2 ⎡e 1⎤
2e
2
0 ∫ ⎥ =
⎣
−
⎦
= + = +
0 ⎣ ⎦
0 0
⎣
Vậy a = b = 2
3.3. Dạng 3: Tích phân P( x)sin
axdx
Ví dụ 1: Giá trị của ∫ 4 x sin 2xdx
là
0
A.
π
⎦
β
∫ hoặc ∫ P( x)cos
α
β
α
24
axdx
1
− . B. 0 . C. 1 4
4 . D. 2 .
Chọn đáp án C
Đặt: u = x ⇒ du = dx
Lời giải

1
dv = sin 2xdx ⇒ v = − cos 2 x.
2
π π π
π
Ta có: 4 x
4 1 4 1
4
⎛ x
⎞
∫ xsin 2xdx = − cos 2x + cos 2xdx cos 2x sin 2x
2 2
∫ = ⎜ − + ⎟
⎝ 2 4 ⎠
0 0 0 0
1
=
4
2
Ví dụ 2: Biết ( )
π
π
∫ x + 3 sin 2xdx = + b (với a,
b là các số nguyên dương) thì
a
0
a
− b bằng
2 2
A. 7 . B. 0 . C. 25 . D. 2 .
Chọn đáp án A
Đặt: u = x + 3 ⇒ du = dx
1
dv = sin 2xdx ⇒ v = − cos 2 x.
2
Ta có: ( ) ( )
Lời giải
π
π
π
2
2
2
1 1
x + 3 sin 2xdx = − x + 3 cos 2x + cos 2xdx
2 2
∫ ∫
0 0 0
π
1 1 2 1 3
⎛ ⎞ ⎛ π ⎞ π
= ⎜ − ( x + 3)
cos 2x + sin 2x
⎟ = ⎜ + 3⎟
+ = + 3
⎝ 2 4 ⎠ 2 ⎝ 2 ⎠ 2 4
0
Vậy
a = b = a − b =
2 2
4; 3; 7
Ví dụ 3: Tích phân
2
π
4
∫ cos xdx bằng
0
A. 2π − 2 . B. π + 2 C.π . D. π − 2 .
Chọn đáp án D
Lời giải
Đặt
2
t x x t dx 2tdt
= ⇒ = ⇒ =
2
2
π π
x = 0 ⇒ t = 0; x = ⇒ t =
4 2
π π π
4 2 2
∫ ∫ ∫
cos xdx = 2 t costdt = 2 x cos xdx
0 0 0
Đặt: u = x ⇒ du = dx
25

2
dv = cos xdx ⇒ v = sin x
⎡
⎤
⎡π
⎤
cos = 2 sin − sin = 2 sin + cos = 2 ⎢ − 1 = π − 2
⎣ 2 ⎦
⎥
⎢
⎣
⎥
⎦
π
π
4 π 2
π
⎢
⎥
xdx x x 2 xdx
2
∫
⎢
[ x x x]
0 ∫ ⎥
0
0 0
Ví dụ 4: Cho
π
4
2
2 π b
∫ 2 x.cos 2xdx
= − ( với ; ;
a c
0
a b c là các số tự nhiên ; b c
là phân số tối giản)
thì giá trị biểu thức
⎛ 7b
⎞
a ⎜1−
⎟
⎝ c ⎠ bằng
A. 60 . B. 4 . C. 25 . D. 2 .
Lời giải
Chọn đáp án B
π π π π π π
4 4 4 4 2 4 4
2 ⎛1+
cos 4x
⎞
x
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2 x.cos 2 xdx = ⎜ ⎟ dx = xdx + x.cos 4xdx = + x cos 4 xdx.
⎝ 2 ⎠
2
0 0 0 0 0 0
Xét
π
4
I = ∫ x cos 4xdx
0
Đặt u = x ⇒ du = dx
1
dv = cos 4xdx ⇒ v = sin 4x
4
π
π
π
1 4
4
1 1 1
4
⎛
⎞
I = x sin 4x − sin 4xdx xsin 4x cos 4x
4 4
∫ = ⎜ + ⎟
⎝ 4 16 ⎠
0 0 0
Do đó:
π
π
4 2 4 2
2 ⎛ x
⎞ π
∫
1 1 1
2 x.cos 2xdx = ⎜ + x sin 4x + cos 4 x ⎟ = − .
⎝ 2 4 16 ⎠ 32 8
0 0
Vậy a = 32; b = 1; c = 8 ;
⎛ 7b
⎞
a ⎜1− ⎟ = 4
⎝ c ⎠
β
ax
ax
3.4. Dạng 4: Tích phân dạng I = ∫ e cosbxdx
hoặc J = ∫ e sin bxdx
α
β
α
Ví dụ 1: Giá trị của
π
x
I = ∫ e cos xdx là
0
26

π
π
π
1 ⎛
2 2
A. e + 1. B. 1
2 e ⎞
1 ⎛
2
⎜ + ⎟ . C. 1
⎝ ⎠
2 e ⎞
⎜ − ⎟
⎝ ⎠
Chọn đáp án C
Đặt
x
x
u e du e dx
= ⇒ =
dv = cos xdx ⇒ v = sin x
Lời giải
π
e
2
D. − 1.
=
x
π
π
−
0 ∫
0
x
I e sin x e sin xdx.
Xét
π
x
J = ∫ e sin xdx
0
Đặt
x
x
u e du e dx
= ⇒ =
dv = sin xdx ⇒ v = − cos x
= −
x
cos
π
π
+
0 ∫
0
x
J e x e cos xdx
x
x
Do đó: ( sin cos )
0
I = e x + e x − I
x
π
e
1 ⎛ ⎞
2
⇒ I = ( sin x + cos x) = ⎜e
−1 ⎟.
2 2
0 ⎝ ⎠
π
π
Ví dụ 2: Cho
1
− x
π + e
∫ e sinπ
xdx = hãy chọn đáp án đúng
e
0
2
( π + m)
A. m = − 1. B. m = 1. C. m = 2 . D. m = − 2 .
Chọn đáp án B
Đặt
−x
− x
u e du e dx
= ⇒ = −
1
dv = sinπ
xdx ⇒ v = − cosπ
x
π
Lời giải
Ta có:
1 1 1
− x 1 −x 1 − x
∫ ∫
I = e sinπ xdx = − e cosπ x − e cosπ
xdx
π
π
0 0 0
Xét
1
− x
J = ∫ e cosπ
xdx
0
27

Đặt:
−x
− x
u e du e dx
= ⇒ = −
1
dv = cosπ
xdx ⇒ v = sinπ
x
π
1 1
−x
e
1 −x
J = − sinπ
x + e sinπ
xdx
π π ∫
0
0
Do đó:
1 1 1
1 1 ⎡ 1 1
⎤
−x − x −x
I = − e cosπ x − ⎢ e sinπ x + e sinπ
xdx
π
0
π π
0
π ∫ ⎥
⎢⎣
0
⎥⎦
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1 1
⇔ ⎜1+ ⎟ I = ⎜ − e cosπ
x − e sinπ
x ⎟ = +
⎝ π ⎠ ⎝ π π ⎠ π π
⎛
⎜
⎝
−x
− x
2 2 2
e
0
+ ⎞ + + e
I I
2 ⎟ = ⇔ =
2 2
π ⎠ π e e π
2
π 1 π e π
( + 1)
1
Ví dụ 3: Tích phân
π
2
−2x
I e xdx
= ∫ cos 2 . bằng
0
A. e − π . B. 1 ⎡ 2
4 ⎣ e −π
+ ⎤
⎦ C. 1 ⎡ 1
4 ⎣ e −π
− ⎤
⎦ . D. 1 ⎡ 1
4 ⎣ e −π
+ ⎤
⎦ .
Chọn đáp án D
Đặt
−2 x
−2x
u e du e dx
= ⇒ = − 2
1
dv = cos 2xdx ⇒ v = sin 2x
π
π
π
2
2
−2x
−2
x
1
I = e sin 2x + e sin 2xdx
2
∫
0 0
Lời giải
Xét
π
2
−2
x
J e xdx
= ∫
0
sin 2
−2 x
−2x
u e du e dx
= ⇒ = − 2
1
dv = sin 2xdx ⇒ v = − cos 2x
π
π
π
2
2
−2 x
−2x
1
J = − e cos 2x − e cos 2xdx
2
∫
0 0
28

Do đó:
π
2
⎛ 1 −2x
1 −2
x ⎞
I = e x − e x − I
⎜ sin 2 cos 2
⎝ 2 2
⎟
⎠
0
1
( ) 2 1
sin 2 cos 2 ⎡ 1 ⎤.
4 4 ⎣ ⎦
−2
x
−π
⇒ I = e x − x = e +
π
0
Ví dụ 4: Biết
I
π
2
2x
= ∫ sin xe dx có kết quả I
a π
( e 1)
0
= + ( Với a;
b là số nguyên dương; a b
b là
phân số tối giản). Khi đó a b là
2
A. − . B. 2 5
5
Chọn đáp án B
Đặt u = sin x ⇒ du = cos xdx
1
dv = e dx ⇒ v = e
2
2x
2x
C. 12 5 . D. 1 5 .
Lời giải
π
π
π
2
2
2
2x 1 2x 2x
∫ ∫
I = sin xe dx = e sin xdx − cos xe dx
2
0 0 0
Xét
J
π
2
= ∫ cos
0
2x
xe dx
Đặt u = cos x ⇒ du = − sin xdx
1
dv = e dx ⇒ v = e
2
2x
2x
π
π
2
2
2x
2x
1 1
J = cos xe dx + sin xe dx
2 2
∫
0 0
Do đó:
π
2x
2 ⎡ 2x
1 1 1 1 ⎤
I = sin xe dx − cos e I
2 2 ⎢
+
2 2 ⎥
⎣
⎦
0
π
5 1 ⎛ 1 ⎞ 2x
2 1
π
⇒ I = ⎜sin x − cos x ⎟e = ⎡e
+ 1⎤
4 2 2 2 ⎣ ⎦
⎝
⎠
0
2
⇒ I = +
5
( e π 1)
29

Ví dụ 5: ( THPT QG 2019- MĐ 104) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên R .
1
2
Biết f ( 3)
= 1 và ∫ xf ( 3x)
d x = 1, khi đó ′( )
0
3
∫ x f x d x bằng
0
A. 3. B. 7 . C. − 9. D. 25
3 .
Chọn đáp án C
1
Xét tích phân ( )
Đặt
I = ∫ xf 3x d x = 1.
1
t = 3x ⇒ d x = d t và
3
0
1
x = t .
3
Lời giải
Khi x = 0 thì t = 0. Khi x = 1 thì t = 3.
3 3
1 1 1
I tf t . dt tf t dt
3 3 9
∫ ∫ ,
Do đó = ( ) = ( )
1
9
0 0
3 3
∫tf t d t = 1 ⇒ ∫ tf t dt
= 9 ⇒ ∫ tf ( t)
dt
= 9 ⇒ ∫ xf ( x ) d x = 9 .
suy ra ( ) ( )
0 0
2
Xét tích phân ′( )
3
J = ∫ x f x d x .
0
3
0
3
0
Đặt
2
⎧ ⎪u
= x
⎪⎧
d u = 2x d x
⎨ ⇒ ⎨ , ta có
⎪⎩
d v = f ′ ( x) d x ⎪⎩
v = f ( x)
3
2
2
3
2
3
= ∫
′( ) d = x f ( x) − ∫ 2xf ( x)
d x ( ) ( )
J x f x x
0
( ) f ( )
= 3 2 . f 3 − 0 2 . 0 − 2.9 = − 9.
0
3
0
3
= −
0 ∫
0
x f x 2 xf x d x
4. Một số dạng tích phân có liên quan đến phương trình vi phân
4.1. Dạng 1. Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân dạng :
* Phương pháp:
( ). '( ) + ′( ).
( ) = ( )
u x f x u x f x h x
′
⎣ ⎦
Từ phương trình vi phân u ( x) . f '( x) + u′
( x) . f ( x) = h( x) ⇔ ⎡u ( x) . f ( x) ⎤ = h( x)
′
⇒ ⎡⎣
u ( x) . f ( x) ⎤⎦
dx = h( x) dx ⇔ u ( x) . f ( x) = H ( x)
+ C
∫ ∫
30

∫
Trong đó: ( ) ( )
h x dx = H x + C
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x)
có đạo hàm trên [ 0;1 ] thỏa mãn ( )
f ( x) + x + 1 . f ′( x) = 1 với
∀x
∈
[ 0;1]
. Biết
7
f (5) = . Tích phân
6
1
I = ∫ f ( x)
dx bằng
0
A.1+ ln 2 . B. 2ln 2 C.
Nhận xét: Từ giả thiết ta có ( ) ( )
( )
u′ . v + u.
v′
= uv ′ , từ đó ta có lời giải
Chọn đáp án A
2
ln . D. 31 + 9 ln 3+ 2ln 2 .
3 12 2
x + 1 ′ f ( x) + x + 1 . f ′( x) = 1, vế trái là biểu thức có dạng
Lời giải
f ( x) + x + 1 . f ( x) = 1 ⇔ x + 1 ′ f ( x) + x + 1 . f ( x) = 1 ⇔ ⎣ x + 1 f ( x ) ⎦ ⎤
′ = 1
Ta có ( ) ′ ( ) ( ) ′ ⎡( )
( ) ( )
∫
⇒ x + 1 f ( x) = dx ⇔ x + 1 f ( x)
= x + c , vì
x + 2
⇒ ( x + 1 ) f ( x) = x + 2 ⇔ f ( x)
= . Khi đó
x + 1
1 1 1
7 7
f (5) = ⇔ 6. = 5 + c ⇔ c = 2
6 6
x + 2 ⎛ 1 ⎞
I = ∫ f ( x) dx = ∫ . dx = ⎜1 + ⎟. dx = x + ln x + 1 = 1+
ln 2
x + 1
∫
⎝ x + 1⎠
( ) 1
0 0 0 0
Nhận xét: Với ( )
Đặt v( x) u′
( x)
u x là biểu thức cho trước thì ta có [ ]
= ta được [ ]
u( x). f ( x) ′ = v( x). f ( x) + u( x). f ′( x)
(*).
u( x). f ( x) ′ = u′ ( x). f ( x) + u( x). f ′( x)
Ngược lại mọi biểu thức có dạng v( x). f ( x) + u( x). f ′( x)
ta có thể biến đổi đưa về dạng
( )[ ]
h x
u ( x). f ( x ) ′ 1
. Khi đó ta có bài toán tổng quát cho như sau:
Bài toán: Cho A( x); B( x ) ; ( )
A( x) f ( x) + B( x) f ′( x) = g( x)
(**)
Do vế trái có dạng (*) nên ta có thể biến đổi (**)
⇔ h( x)[ u( x). f ( x) ] g( x) ⇔ [ u( x). f ( x)
]
g x là các biểu thức đã biết. Tìm hàm số f ( )
′ g( x)
= ′ =
h x
Trong đó u( x)
được chọn sao cho:
( )
x thỏa mãn
31

( )
( )
⎧ ⎪h x u′ ( x) = A( x) u′ ( x) A( x) u′
( x) A( x)
⎨
⇒ = ⇒ . dx = . dx
h x u( x) = B( x)
u( x) B( x) ∫
u( x) ∫
⎪⎩
B( x)
⇒ ln u( x) = G( x)
+ c (với G( x ) là một nguyên hàm của
A( x)
) ⇒ từ đây ta sẽ chọn được
B( x )
biểu thức u( x ) .
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x)
có đạo hàm trên [ 0;1 ] thỏa mãn
1
f (1) = và
2018
2018
+ ′ = với ∀x
∈ [ 0;1]
2018 f ( x) x. f ( x) 2x
. Tích phân
1
I = ∫ f ( x)
dx bằng
0
A. 3. B.
Nhận xét : Trước hết ta đi tìm biểu thức u( x ) . Ta có
1
2018.2019 . C. 1
25
. D.
2018.2017 3 .
2018
⇒ ln ( ) = ∫ ⇒ ln ( ) = 2018ln + ⇔ ln ( ) = ln +
x
2018
u x dx u x x c u x x c
nên ta chọn
u( x)
Chọn đáp án B
Ta có
2018
= x , khi đó ta có lời giải như sau:
Lời giải
⎡x . f ( x) ′
⎣
⎤
⎦ = 2018 x f ( x) + x f ′( x) = x [ 2018 f ( x) + xf ′( x) ] = x . ⎡
⎣2x ⎤
⎦ = 2x
2018 2017 2018 2017 2017 2018 4035
Khi đó
4036
2018 4035 2018
x f x = x dx ⇔ x f x = + c
∫
( ) 2 ( )
x
2018
, do
1 1 1
f (1) = ⇔ = + c
2018 2018 2018
4036 2018
2018 x
x
⇔ c = 0 ⇒ x f ( x) = ⇒ f ( x)
=
2018 2018
Khi đó
1 1 2018 2019
x ⎛ x ⎞ 1
I = ∫ f ( x)
dx = ∫ dx = ⎜ ⎟ =
2018 ⎝ 2019.2018 ⎠ 2018.2019
0 0 0
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x)
liên tục và có đạo hàm trên \{ 1;0}
1
R − thỏa mãn
( 1) ′( ) ( )
2
x x f x f x x x
+ + = + với x R \ { 1;0}
∀ ∈ − và f (1) = − 2ln 2. Giá trị
2
∫
1
xf ( x)
dx
là
A. ln 2 . B. 31 − 9 ln 3 + 2ln 2 C.
12 2
2
ln . D. 31 + 9 ln 3 + 2ln 2 .
3 12 2
32

Nhận xét :Trước hết ta đi tìm biểu thức u( x ) .Ta có
ln u( x)
=
∫
1
⎛ 1 1 ⎞
x
dx ⇒ ln u( x) = dx ln u( x)
c
x( x + 1)
∫ ⎜ − ⎟ ⇔ = + , nên ta chọn
⎝ x x + 1⎠
x + 1
x
u( x)
= , từ đó ta có lời giải
x + 1
Chọn đáp án B
Lời giải
⎡ x ⎤
′ 1 x
1
⎣
⎢ x + 1 ⎦
⎥ ( x + 1) x + 1 ( x + 1)
Ta có . f ( x) = f ( x) + . f ′( x) = .[ f ( x) + x( x + 1) f ′( x)
]
2 2
⎡ x ⎤
′ 1
⎡ x ⎤
′
⇒ f x = x + x ⇔ f x = x ⇒ x f x =
x dx
x + 1 ( x + 1) x + 1 x + 1 x + 1 x + 1
2
. ( ) . ⎡ ⎤ . ( ) . ( )
2
⎣
⎢
⎦
⎥ ⎣ ⎦
⎣
⎢
⎦
⎥
∫
x ⎛ 1 ⎞ x
⇒ . f ( x) = ⎜1 − ⎟ dx ⇒ . f ( x) = x − ln x + 1 + c
x + 1 ∫ ⎝ x + 1⎠
x + 1
.
Do
1
f (1) = −2ln 2 ⇔ .( − 2ln 2) = 1− ln 2 + c ⇔ c = −1
2
2
x
x −1 − ( x + 1).ln x + 1
⇒ . f ( x) = x − ln x + 1 −1 ⇔ f ( x)
=
x + 1
x
. Khi đó
2
2 2 2
3
2
x
4
I xf ( x) dx ( x 1 ( x 1).ln ( x 1 )). dx ⎛ ⎞
= ∫ = ∫ − − + + = ⎜ − x ⎟ − ( x + 1).ln ( x + 1 ).
dx = − I
⎝ 3 ∫ ⎠
3
1 1 1 1
1
2
I1
∫ ( x 1).ln x 1 . dx ; đặt
Với = + ( + )
1
⎧u
= ln( x + 1)
⎨
⇒
⎩dv = ( x + 1) dx
⎧ 1
du = dx
⎪ x + 1
⎨ 2
⎪ x 1 1
v = + x + = x +
⎪⎩ 2 2 2
( 1)
2
2 2
2 ⎤
( 1) .ln( 1) 1
2
⎡1 1
9 1 ⎛ x ⎞ 9 5
⇒ I1
=
⎢
x + x + − ( x + ) dx
⎣ 2 ⎥
⎦ 2
∫ ⇒ I1
= ln 3 − 2ln 2 − ⎜ + x ⎟ = ln 3 − 2ln 2 −
2 2 2 2 4
1 1
⎝ ⎠
4 4 ⎛ 9 5 ⎞ 31 9
Khi đó I = − I1
= − ⎜ ln 3 − 2ln 2 − ⎟ = − ln 3 + 2ln 2 .
3 3 ⎝ 2 4 ⎠ 12 2
2
1
33

2 2
Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn x. f '( x) .ln x + f ( x) = 2 x . x + 1 , ∀x
∈ ( 2; )
+∞ và
2
( e) e
f = . Tích phân
I
( x + )
3
2 2
2
e 2 1
= ∫ dx
bằng
e 3 f
( x)
2
2
2
2
A. 2e . B. e C. e − 1. D. e + 1.
Nhận xét: Từ giả thiêt ta có ( )
( x) 2
f
f ' x ln x + = 2x x + 1 , biểu thức vế trái có dạng
x
( )
u′ . v + u.
v′
= uv ′
Chọn đáp án B
∀x
∈
( 2; )
+∞ , ta có
Lời giải
( x) 2
2 2
f
x. f '( x) ln x + f ( x) = 2 x . x + 1 ⇔ f '( x)
ln x + = 2x x + 1
x
2
f ( x) ln x
′
2
⇔ ∫ ⎡⎣
⎤⎦
dx = ∫ 2x x + 1dx
( ) ( ) 3
⇔ f x ln x = . x 2 + 1
2 + C
3
f
2
e = . e + 1 ⇒ C = 0 .
3
( ) ( ) 3
2 2
2
3
Suy ra ( ) ( ) 3
f x ln x x
2 1
2
= + , ∀x
∈ ( 2; +∞ )
3
2 2
( x + )
2 1
⇒ f ( x)
= > 0, ∀x
∈ 2; +∞
3.ln x
( x + )
3
2 2
2 1
( )
⇒ = ln ( x)
, x ( 2; )
3 f ( x)
Vậy
∀ ∈ +∞ .
3
2
2 2 2
2 2
e 2( x + 1)
e
e e 2
∫ d ∫ ln ( ) d ln
.
I = x = x x = x x − x = e
e
( x)
3 f
e
e e
Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên \{ −1;0}
R thỏa mãn điều kiện
2
f ( 1)
= − 2ln 2 ; x( x + 1) f ′( x) + f ( x)
= x + x và ( 2) = + ln 3 ( , ∈ R)
2 2
f a b a b . Tính a + b
A. 3. B. 1. C. − 9. D. 9 2 .
34

⎛ x ⎞
′ x x
Nhận xét: Từ giả thiết ta có ⎜ ⎟ . f ( x) + . f ′( x)
= , vế trái là biểu thức có dạng
⎝ x + 1⎠
x + 1 x + 1
( )
u′ . v + u.
v′
= uv ′ , từ đó ta có lời giải
Chọn đáp án D
Lời giải
2
x( x 1) f ′
⎡ x ⎤
′ x
+ ( x) + f ( x)
= x + x ⇔
⎢
. f ( x)
=
⎣ + 1 ⎥ .
x ⎦ x + 1
Lấy nguyên hàm hai vế ta được . ( )
Mặt khác f ( 1)
= −2ln 2 ⇒ C = −1
f ( x)
Khi đó f ( )
x
x
f x =
+ 1
∫ dx
x
x + 1
x
⇔ . f ( x)
= x − ln x + 1 + C .
x + 1
( + 1)( − ln + 1 −1)
⇒ = x x x
x
⎧ 3
a =
3 3 ⎪ 2 2 2 9
2 = − ln 3 ⇒ ⎨ ⇒ a + b =
2 2 ⎪ 3 2
b = − ⎪⎩ 2
4.2. Dạng 2. Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân dạng :
* Phương pháp:
( ) ( ) ( )
f ' x + f x = h x , ∀x ∈ D
Từ phương trình vi phân : f '( x) + f ( x) = h( x)
x
Do e 0, x D
cho
≠ ∀ ∈ , nhân hai vế của phương trình : ( ) ( ) ( )
e . f ' x + e . f x = e . g x , ∀x ∈ D
x
x x x
e ta được : ( ) ( ) ( )
∫
x
x
⇔ e . f ( x
′
⎣
⎡ ) ⎦
⎤ = e . h( x)
, ∀x ∈ D
.
f ' x + f x = h x , ∀x ∈ D
x ′
x x
⇒ ⎣
⎡e . f ( x) ⎦
⎤ dx = e . h( x) dx ⇔ e . f ( x) = H ( x)
+ C
∫ ∫
Trong đó: x . ( ) ( )
e h x dx = H x + C
2
3x
+ = .
x
e
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x)
liên tục trên ( 0;+∞ ) thỏa mãn f '( x) f ( x)
Biết f ( 1)
1
= . Giá trị
e
1
( x)
2
f
I = ∫ dx là
3
x
35

1 1
A.
2
e
+ e
B. 1 1
e
− e
C. 2 1
2
− D. e + 1
2
e e
2
Nhận xét: Từ giả thiêt ta có x
x
2
e . f '( x) e . f ( x) 3x
+ = , biểu thức vế trái có dạng
( )
u′ . v + u.
v′
= uv ′
Chọn đáp án B
Lời giải
2
3x
f ' x + f x = ⇔ e . f ' x + e . f x = 3 x ⇔ e . f x ⎤
′
= 3x
x
e
⎣ ⎦
x x x
Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ⎡ ( )
′
⇒ = ⇔ = +
x
( ) ⎤
( )
x
2 3
∫ ⎣
⎡e . f x ⎦ dx ∫ 3 x dx e . f x x C .
1
e
3
Theo đề bài f ( 1)
= nên e. f ( 1) 1
Do đó ta có :
( x)
2 2
x
= + C ⇔ C + 1 = 1 ⇔ C = 0 ⇒ f ( x)
=
e
f
2
I = dx = dx = − e = − e − = −
2 2
1 − x ⎛ −2
1 ⎞ 1 1
∫ 3 x
2
x
∫
⎜ ⎟
e 1 e e e
1 1
⎝ ⎠
3
x
Ví dụ 2: Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên R thỏa mãn ( ) ′( ) cos
π
f ( 0)
= 0. Khi đó giá trị e . ( π)
f là
f x + f x = x , ∀x
∈ R và
A. e π + 1. B.
e π + 2
− C.
2
e π + 1
e π + 1
. D. − .
2
2
x x x
Nhận xét: Từ giả thiêt có e f ( x) + e f ′( x)
= e .cosx
, biểu thức vế trái có dạng ( )
uv ′
Chọn đáp án D
Lời giải
Ta có f ( x) + f ′( x) = sin x , với mọi x ∈ R nên ( ) ′( )
⇔
′
=
x
x
x
⎡
⎣e
f ( x)
⎤
⎦ e .cosx
hay ⎣ ( )
1
⇔ = +
2
π
x
⎡e f x ⎤
′
⎦ dx = e .cos x dx
∫ ∫
0 0
π
36
x x x
e f x + e f x = e .cosx
, với mọi x ∈ R .
π
π
x
x
π
π
π
⎡
⎣e f ( x) ⎤
⎦
⎡
⎣e ( sin x cos x)
⎤
⎦ ⇔ e f ( π ) − f ( 0) = ( −e
− 1)
⇔ e f ( π )
0 0
4.3. Dạng 3. Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân f ′( x) − f ( x) = h( x )
* Phương pháp:
1
2
π
e + 1
= −
2 .

Nhân cả hai vế với
− x
e ta được − x
. ( ) − x
. ( ) − x
′ − = . ( )
′
⎣e f x ⎦ e h x .
− x
− x
e f x e f x e h x ⇔ ⎡ . ( ) ⎤ = . ( )
− x
− x
Suy ra ( ) ( )
e . f x = ∫ e . h x dx .
Từ đó tính được f ( x ) .
Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện
′( ) = ( ) + 2 . x + 1, ∀ ∈R và f ( 1)
= − 1. Cho f ( 3)
f x f x x e x
3
26e
== − m thì m bằng
3
A. 3. B. 1. C. − 9. D. 25
3 .
−x −x 2 −x
Nhận xét: Từ giả thiêt có e . f ′( x) − e . f ( x)
= x + e , biểu thức vế trái có dạng ( )
Chọn đáp án B
Lời giải
Ta có: ′( ) ( ) x ′( ) ( )
2 1 2 x
f x = f x + x e + ⇔ f x − f x = x e + 1.
uv ′
Nhân cả hai vế với
− x
−x −x 2 −x
e ta được . ′( ) − . ( ) = +
−
⇔ ⎡ . ⎤
′
x
⎣e f x ⎦ = x + e .
− x
2
e f x e f x x e ( )
− x
2 − x
Lấy nguyên hàm hai vế. Suy ra ( ) = ∫ ( + )
3
− x x − x
e . f x x e dx ⇔ e . f ( x)
= − e + C .
3
Mặt khác f ( )
1 = −1
⇒
3
1 x −1
= − ⇒ f x = − 1 .
3 3e − x
C ( )
Vậy ( )
3
26e
f 3 = −1.
3
Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x)
có đạo hàm và liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện
2
′( ) − ( ) = . x , ∀ ∈ R và f ( 1)
= 2 . Cho ( 4)
f x f x x e x
f a e b e
8 3
= + thì giá trị a b
+ bằng
A. 32. B. 1. C. − 5. D. 5 .
− x − x x
Nhận xét: Từ giả thiêt có e . f ′( x) − e . f ( x)
= x.
e , biểu thức vế trái có dạng ( )
uv ′
Chọn đáp án D
Ta có: ( ) ( )
2x
f ′ x − f x = x.
e .
Lời giải
37

Nhân cả hai vế với
− x
− x − x x − x
e ta được . ′( ) − . ( ) = . ⇔ ⎡ .
′ x
( ) ⎤ = .
e f x e f x x e ⎣e f x ⎦ x e .
− x
x
−x
Lấy nguyên hàm hai vế. Suy ra e . f ( x)
xe dx . ( ) ( 1)
2
= ∫
Mặt khác f ( 1)
= 2 ⇒ C = ( ) ( ) 2x x
⇒ = − 1 + 2e −1
e
Vậy ( )
8 3
f 4 = 3e + 2e .
f x x e .
x
⇔ e f x = x − e + C .
Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1 ], f ( )
x
( ) ( ) 1, [ 0;1]
f ′ x = f x + e + ∀x
∈ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 0 < f ( x)
< 1. B. 7 < f ( x)
< 8. C. 4 < f ( x)
< 5. D. f ( x)
0 = 1 và
2 < < 3.
− x − x − x
Nhận xét: Từ giả thiêt có e f ′( x) − e f ( x) = 1+ e , biểu thức vế trái có dạng ( )
Chọn đáp án D
Lời giải
Ta có ′( ) ( ) ′( ) ( ) ′( ) ( )
f x = f x + e + 1 ⇔ f x − f x = e + 1 ⇔ e f x − e f x = 1+
e
x x − x − x − x
− x − x − x − x x x
⇔ ⎡e f ( x
′
⎣ ) ⎤
⎦
= 1+ e ⇒ e f ( x) = x − e + C ⇒ f ( x)
= xe − 1+
Ce .
Do ( ) ( ) ( )
x
f 0 = 1⇒ C = 2 ⇒ f x = x + 2 e − 1.
Vậy f ( 1) 3e
1 7,15 ( 7;8)
= − ≅ ∈ .
uv ′
4.4. Dạng 4. Tích phân có liên quan đến phương trình vi phân f ′( x) + p( x) . f ( x) = h( x )
* Phương pháp:
Nhân hai vế với
( )dx
∫ p x
e ta được ( )
∫ ( ) ∫ ( ) x
∫ ( )
( )
( ) ( )
p x dx p x d p x dx
f ′ x .e + p x . e . f x = h x . e
Suy ra ( )
⎡
( ) x
( ) x
( ). ∫
p x d ⎤
′
⇔ = ( ).
∫
p x d
f x e h x e .
⎢⎣
⎥⎦
( ) x
( ) x
.
∫
p x d
∫
p x d
f x e = ∫ e . h( x ) dx .
38

Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên R thỏa mãn
2
′( ) + 2 . ( ) = 2 và f ( 0)
= 1. Giá trị f ( 1)
f x x f x x.e − x
là
1
A.
2
e .
B. 2 e
2 1
2
C. − . D. e + 1.
2
e e
2 2
x
x
Nhận xét: Từ giả thiêt có e . f ′( x) + 2x. e . f ( x ) = 2x , biểu thức vế trái có dạng ( )
uv ′
Chọn đáp án B
Ta có ( ) 2x ( )
2
′ + = 2x. − x
f x f x e .
Lời giải
Nhân cả hai vế với
2
e . f ′ x + 2x. e . f x = 2x ⎡
x ′
⇔ e . f ( x ) ⎤ = 2x .
⎣ ⎦
2
2 2
x
x
x
e ta được ( ) ( )
2 2
x
x
Lấy nguyên hàm hai vế. Suy ra . ( ) 2xdx . ( )
Mặt khác f ( 0)
= 1⇒ C = 1 ⇒ f ( x) =
2
Vậy f ( )
2
1 =
e .
∫
2
e f x = ⇔ e f x = x + C .
2
x +1
.
x
e
Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x)
có đạo hàm và liên tục trên R thỏa mãn:
2 4
( ) ( ) ( )
3
− x
′ + 3 . = 15 + 12 . , ∀ ∈ R . Biết rằng f ( 1)
f x x f x x x e x
9
e
= . Tích phân f ( )
1
∫ x dx bằng
0
4
A. 3 − . B. 2 e
e
4
C. 3+ . D. 4 e
e .
3 3
x
x
Nhận xét: Từ giả thiêt có ( ) ( )
( )
u′ v + uv′
= uv ′
Chọn đáp án A
2 4
Ta có ′( ) + ( ) = ( + )
2 4
e . f ′ x + 3x . e . f x = 15x + 12x , biểu thức vế trái có dạng
Lời giải
3
3x . 15x 12x . − x
f x f x e .
Nhân cả hai vế với
3
x
e ta được
⎤
′
⇔ = +
⎣ ⎦
3 3
3
x
2 x
4
e . f ′( x) + 3x . e . f ( x ) = 15x + 12x ⎡
x
( )
4
e . f x 15x 12x .
39

3
x
4
Lấy nguyên hàm hai vế. Suy ra ( ) = ∫ ( + )
Mặt khác f ( )
Vậy ( ) 3
9
3x + 6x
1 = ⇒ C = 0 ⇒ f ( x) =
3
x
e
e
1 1 5 2
3x + 6x 4
f x dx = dx = 3 − .
e
e
∫ ∫ x
0 0
5. Ứng dụng tích phân vào thực tế
3
x
5 2
e . f x 15x 12x d x ⇔ e . f ( x)
= 3x + 6x + C .
5 2
Tích phân có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn: tính diện tích, thể tích các hình – khối;
tính lượng bê tông xây cầu, tính vận tốc, gia tốc của xe…Trong đó các em đã được học
bài toán chuyển động trong vật lý chính là ứng dụng của tích phân.
Ví dụ 1: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Một ô tô đang chạy với
tốc độ 10( m s ) thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều
với v( t) 5t 10( m s)
.
= − + , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu
đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét.
A. 8m . B. 10m . C. 5m. D. 20m .
Nhận xét: Quãng đường S ( t) ( )
Chọn đáp án B
= ∫ v t dt
Lời giải
Khi ô tô có vận tốc 10( m/s ) tương ứng với 0( s)
t = .
Lúc ô tô dừng lại thì v( t ) = 0 ⇔ − 5t
+ 10 = 0 t 2( s)
⇔ = .
Quãng đường ô tô di chuyển được từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là:
2
2
∫ ( 5t
10)
dt = ⎜ − + 10 ⎟ = 10( m)
S = − +
0
⎛
⎝
5
2 t t ⎞
⎠
2
0
2 2
Ví dụ 2: Một vật di chuyển với gia tốc a( )
20( 1 2 t) −
( m / s
t
)
.
= − + . Khi t = 0 thì vận tốc
của vật là 30 m / s . Tính quảng đường vật đó di chuyển sau 2 giây (làm tròn kết quả đến
chữ số hàng đơn vị).
A. S = 106 m B. S = 107 m
C. S = 108 m D. S = 109 m
Nhận xét: Vận tốc v( t ) ( )
= ∫ a t dt
40

Chọn đáp án C
Quãng đường S ( t) ( )
= ∫ v t dt
Lời giải
∫ ∫ .
−
Ta có ( ) ( ) 20( 1 2 ) 2 10
v t = a t dt = − + t dt = + C
1+
2t
Theo đề ta có ( )
v 0 = 30 ⇔ C + 10 = 30 ⇔ C = 20 .
Vậy quãng đường vật đó đi được sau 2 giây là:
2
∫ ⎛ 10 ⎞
2
⎜ 20⎟
( 5ln ( 1 2 ) 20 ) 5ln 5 100 108
1+
2t
0
0 ⎝ ⎠
.
S = + dt = + t + t = + ≈ m
Ví dụ 3: Một ô tô chạy với vận tốc 20m/s thì người lái xe đạp phanh còn được gọi là
“thắng”. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc là
v = − 40t + 20 m / s . Trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp
( t) ( )
phanh . Quãng đường ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là bao nhiêu?
A. 2m B.3m C.4m D. 5m
Nhận xét: Quãng đường S ( t) ( )
Chọn đáp án D
= ∫ v t dt
Lời giải
Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu phanh (t = 0)
Gọi T là thời điểm ô tô dừng lại. Khi đó vận tốc lúc dừng là v(T) = 0
Vậy thời gian từ lúc đạp phanh đến lúc dừng là
Gọi s(t) là quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian T.
Ta có v( t) = s '( t)
suy ra s(t) là nguyên hàm của v(t)
Vây trong ½ (s) ô tô đi được quãng đường
là :
T
t
1
1/2
2
2
( ) ( 40 20) ( 20 20 ) 5( )
∫ ∫
v t dt = − t + dt = − t + t = m
0 0
1
v( T ) = 0 ⇔ − 40T + 20 = 0 ⇔ T =
2
Ví dụ 4: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc
2
a t t t
( ) = 3 + (m/s 2 ). Vận
tốc ban đầu của vật là 2 (m/s). Hỏi vận tốc của vật sau 2s .
A. 10 m/s B. 12 m/s C. 16 m/s D. 8 m/s.
41

Nhận xét: Vận tốc v( t) ( )
= ∫ a t dt
Chọn đáp án B
Lời giải
Ta có
2
2 3
v = a t = + = t + + C
(t) ( )dt (3t t)dt
t
2
∫ ∫ (m/s).
Vận tốc ban đầu của vật là 2 (m/s) ⇒ v(0) = 2 ⇒ C = 2.
Vậy vận tốc của vật sau 2s là:
2
3 2
V (2) = 2 + + 2 = 12 (m/s).
2
42

IV. CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI
Câu 1. Cho hàm số
( )
Tính ′( )
1
0
1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG ĐỊNH NGHĨA
f x ⎡0;1⎤
có đạo hàm trên ⎢ ⎥
I = ∫ f x dx
.
MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
⎣ ⎦
f ( 0)
= 1
, ,
( )
f 1 = − 1 .
A. I = 1. B. I = 2 . C. I = − 2. D. I = 0 .
Câu 2.
Cho các số thực a , b và các mệnh đề:
b
a
Mệnh đề 1: ∫ f ( x) dx = −∫ f ( x)
dx
. Mệnh đề 2: ∫ 2f ( x) dx = 2∫ f ( x)
dx
.
a
b
b
b
2
Mệnh đề 3: ∫ 2
f ( x) dx = f ( x ) dx
⎜ ∫ ⎟ . Mệnh đề 4: ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( u ) du
.
a
⎛ ⎜
⎜⎝
a
Gọi m là số mệnh đề đúng trong 4 mệnh đề trên. Tìm m .
⎟
⎞ ⎟⎠
A. m = 4 . B. m = 3 . C. m = 2 . D. m = 1.
b
a
b
a
b
a
a
b
Câu 3. Tích phân
I
π
6
2
= ∫ sin xdx
có giá trị là
0
A.
π 3
π 3
π 3
+ . B. − . C. − + . D.
12 8
12 8
12 8
2
3 2 3 2
Câu 4. Tích phân = ⎡
⎤
∫ ⎢( − − + ) − ( + − − ) ⎥
I 3x x 4x 1 2x x 3x 1 dx
có giá trị là
⎣
⎦
1
π 3 − .
12 4
A. 13
12 . B. 5
12 . C. 2 3 . D. 5
− .
12
Câu 5.
Tích phân
4
I = ∫ x − 2 dx
bằng:
0
A. 0 . B. 2 . C. 8 . D. 4 .
43

Câu 6.
Kết quả của
1
dx
∫ là:
x
1
A. 0 . B. –1. C. 1 . D. Không tồn tại.
2
Câu 7. Tích phân
1
∫
0
dx
bằng
x − 2
A. − ln 2 . B. ln 3 . C. − ln 3. D. ln 2 .
Câu 8. Tích phân
I
=
1
dx
∫ bằng
2
x − 5x
+ 6
0
A. I = 1. B.
Câu 9. Cho hàm số
( )
Tính ′( )
1
0
4
I = ln . C. I = ln 2 . D. I = − ln 2 .
3
f x ⎡0;1⎤
có đạo hàm trên ⎢ ⎥
I = ∫ f x dx
.
⎣ ⎦
f ( 0)
= 1
, ,
( )
f 1 = − 1 .
A. I = 1. B. I = 2 . C. I = − 2. D. I = 0 .
Câu 10.
Tính tích phân:
A.
1
x
I = ∫ 3 d x.
2
I = . B.
ln 3
0
1
I = . C. I = 2 . D.
4
3
I = .
ln 3
Câu 11. Kết quả của tích phân
π
2
I = ∫ cosxdx
bằng bao nhiêu?
0
A. I = 1. B. I = − 2. C. I = 0 . D. I = − 1.
MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 12. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên R và f ( x)
4
∫ dx
= 2. Mệnh đề nào sau đây là sai?
−2
44

2
3
A. ∫ f ( 2x ) dx
= 2.
B. ∫ f ( x )
−1
−3
+ 1 dx
= 2.
2
6
1
C. ∫ f ( 2x ) dx
= 1.
D. ∫ ( )
−1
Câu 13. Cho hàm số ( )
2
1
( )
I = ∫ f ′ x d x.
f x có đạo hàm trên đoạn ⎡1;2
⎤
⎢ ⎥
0
2 d 1.
2 f x − x =
⎣ ⎦ , f ( 1)
= 1 và ( )
f 2 = 2 . Tính
A. I = 1. B. I = − 1. C. I = 3 . D.
4
2
Câu 14. Cho ∫ f ( x)
dx = 16. Tính tích phân = ∫ ( )
0
I f 2x d x.
0
7
I = .
2
A. I = 32 . B. I = 8 . C. I = 16 . D. I = 4 .
Câu 15. Biết
4
dx
∫ ln 2 ln 3 ln 5, với , ,
2
x + x
3
I = = a + b + c
a b c là các số nguyên. Tính
S = a + b + c.
A. S = 6 . B. S = 2 . C. S = − 2 . D. S = 0.
Câu 16. Cho hàm số y f ( x )
= liên tục trên đoạn ⎡a;
c⎤
⎢⎣
⎥⎦
và a < b < c.
Biết
a
b
f ( x)dx = −10
a
∫ , ∫ f ( x)dx = −5
. Tính ∫ f ( x)d x.
c
A. 15 . B. − 15 . C. − 5. D. 5.
b
c
Câu 17. Tính
1
2
I e x dx
= ∫ .
0
2
A. e − 1. B. e − 1. C.
2
e − 1
1
. D.
2
e + .
2
45

Câu 18. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số ( )
f x trên ⎡a;
b⎤
⎢⎣
⎥⎦
và
Câu 19. Cho
( ) F ( b)
2F a − 1 = 2 . Tính I = ∫ f ( x)dx
.
b
a
A. I = − 1. B. I = 1. C. I = − 0, 5 . D. I = 0,5 .
2
∫
1
( )
f x dx = 3
,
3
∫
5
( )
f x dx = 2
,
3
∫
2
( )
f x dx = 4
. Tính
5
∫
1
( )
f x
dx
.
A. 9 . B. 5. C. 24 . D. − 24 .
Câu 20. Tính tích phân
1
4
I = ∫ dx
.
2x
+ 1
0
A. I = 2 ln 3 . B. 4 ln 3 . C. 2 ln 2. D. 4 ln 2 .
2
2
Câu 21. Cho ∫ f ( x)
dx = 3 .Khi đó ⎡
⎢ f ( x)
0
4 3⎤
∫ − ⎥ dx
bằng
⎣ ⎦
0
A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 8 .
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
Câu 22. Tính
I
1 2
2x
+ 5x
− 2
= ∫ dx
.
+ 2 − 4 − 8
3 2
x x x
0
A.
C.
1
I = + ln12.
B.
6
1
I = − ln 3 + 2 ln 2.
D.
6
1 3
I = + ln .
6 4
1 3
I = − ln .
6 4
1
Câu 23. Biết ∫ ⎜
⎟ x = a + b + c ( a b c ∈ )
đúng?
0
2
⎛ x − 1⎞
⎟
d ln 2 ln 3, , ,
⎜⎝
x + 2⎠⎟
A. 2( a + b + c)
= 7. B. ( a b c)
2 + − = 7.
C. 2( a + b − c)
= 5. D. ( a b c)
2 + + = 5.
Q . Đẳng thức nào sau đây
46

Câu 24. Biết rằng
2
x −1 a
∫ d x = 1 + 4 ln với a,
b ∈ Z và a x + 3
b
b
1
là phân số tối giản thì giá
trị của 2a
+ b là bao nhiêu?
A. 0. B. 13. C. 14 . D. − 20 .
Câu 25. Biết
2
1 1 a
∫ dx
= + ln với ,
2
x
2 b
1
( x + 1)
a b là các số nguyên dương và a b
là phân số
tối giản. Tínha
+ b .
A. a + b = 7 . B. a + b = 5 . C. a + b = 9 . D. a + b = 4 .
b
Câu 26. Giả sử ∫ f ( x)dx = 2 và ∫ f ( x)dx = 3 và a < b < c thì ∫ f ( x)dx
bằng bao
nhiêu?
a
b
c
A. 5. B. 1. C. –1. D. –5 .
Câu 27. Biết rằng
3
x − 3
∫ dx = a ln 2 + b với ,
2
x − 2x
+ 1
2
trong các khẳng định sau:
c
a
a b ∈ Z . Chọn khẳng định đúng
A.
a 1
b = − 2
. B. b
a = − 1.
C. 2 a
1
b = − . D. a = 2b
.
Câu 28. Biết
2
1 1 a
∫ dx
= + ln với ,
2
x
2 b
1
( x + 1)
a b là các số nguyên dương và a b
là phân số
Câu 29. Biết
tối giản. Tínha
+ b .
A. a + b = 7 . B. a + b = 5 . C. a + b = 9 . D. a + b = 4 .
5
2 x − 2 + 1
I = ∫ d x = 4 + a ln 2 + b ln 5 với a,
b ∈ Z . Tính S = a + b .
x
1
A. S = 9 . B. S = 11 . C. S = − 3 . D. S = 5 .
1
Câu 30. Biết ∫ ⎜
⎟ x = a + b + c ( a b c ∈ )
0
đúng?
2
⎛ x − 1⎟
⎞
d ln 2 ln 3, , ,
⎜⎝
x + 2⎟⎠
Q . Đẳng thức nào sau đây
47

A. 2( a + b + c)
= 7. B. ( a b c)
2 + − = 7.
C. 2( a + b − c)
= 5. D. ( a b c)
2 + + = 5.
Câu 31. Tính
I
1 2
2x
+ 5x
− 2
= ∫ dx
.
+ 2 − 4 − 8
3 2
x x x
0
A.
1
I = + ln12.
B.
6
1 3
I = + ln .
6 4
C.
1
1 3
I = − ln 3 + 2 ln 2.
D. I = − ln .
6
6 4
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
6+
2
2 4 2
− 4x
+ x − 3 2
Câu 32. Tính tích phân x
4
( a b cπ)
∫
1
x
+ 1
các số nguyên. Khi đó biểu thức
d = 3 + + + 4 . Với a , b , c là
8
2 4
a + b + c có giá trị bằng
A. 20 . B. 241 . C. 196 . D. 48 .
Câu 33. Cho hàm số y f ( x )
= có đạo hàm liên tục trên đoạn ⎡0;1⎤
⎢⎣
⎥⎦
thỏa f ( ) f ( )
2 1 − 0 = 1.
1
Tính = ⎡
( ) ln 2 + ′( )
⎤
∫ ⎢
⎥
I f x f x .2 x dx
0
⎣
⎦
A. I = 1.
B. I = 0.
C. I = 2
D. I = − 1.
Câu 34. Cho hàm số y f ( x )
= có đạo hàm liên tục trên đoạn ⎡0;1⎤
⎢⎣
⎥⎦
thỏa f ( ) f ( )
2 1 − 0 = 1.
1
Tính = ⎡
( ) ln 2 + ′( )
⎤
∫ ⎢
⎥
I f x f x .2 x dx
0
⎣
⎦
A. I = 1.
B. I = 0.
C. I = 2
D. I = − 1.
6+
2
2 4 2
− 4x
+ x − 3 2
Câu 35. Tính tích phân x
4
( a b cπ)
1
x
+ 1
các số nguyên. Khi đó biểu thức
∫
d = 3 + + + 4 . Với a , b , c là
8
2 4
a + b + c có giá trị bằng
A. 20 . B. 241 . C. 196 . D. 48 .
48

2. ĐỔI BIẾN
MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT
Câu 36. Tính tích phân
đây đúng?
2
2
I 2x x 1dx
2
= ∫ − bằng cách đặt u = x − 1, mệnh đề nào dưới
1
A. T B.
I
2
= ∫ ud u.
C.
1
I
3
= ∫ ud u.
D.
0
I
2
1
=
2
∫
1
ud u.
Câu 37. Nếu đặt
t x x
2
= + + 16 thì tích phân
I
3
dx
= ∫ trở thành
2
x + 16
0
A.
I
8
d t
= ∫ . B.
t
4
I
8
= ∫ td t.
C.
4
I
5
d t
= ∫ . D.
t
4
I
5
= ∫ td t.
4
Câu 38. Tích phân: J
=
1
∫ xdx
3
( x + 1)
bằng
0
A.
Câu 39. Tích phân
1
1
J = . B. J = . C. J = 2 . D. J = 1.
8
4
K
=
3
∫ x
dx
2
x − 1
bằng
2
A. K = ln 2 . B. K = 2 ln 2 .
C.
8
K = ln . D.
3
1 8
K = ln .
2 3
Câu 40. Tích phân
I
=
1
∫
0
xdx
bằng
2x
+ 1
A. 1 3 . B. 1. C. ln 2 . D. 1 2 .
1
∫ 1
19
d bằng
0
Câu 41. Tích phân = ( − )
A.
I x x x
1
420 . B. 1
380 . C. 1
342 . D. 1
462 .
49

MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
5
2
Câu 42. Cho ∫ f ( x ) dx = 3 . Tính = ∫ ( 3 − 1)
A.
2
I f x dx
1
1
I = .
B. I = 1.
C. I = 9.
D. I = 3.
3
9
0
Câu 43. Cho ∫ f ( x ) dx = 27 . Tính f ( −3
)
0
∫ x dx .
−3
A. I = 27 . B. I = − 3. C. I = 9. D. I = 3 .
4
1
Câu 44. Cho ∫ f ( x)
dx = −1, tính ( 4 )
A.
0
1
I = − . B.
2
5
I = ∫ f x dx .
0
1
I = − . C.
4
Câu 45. Cho biết ∫ f ( x)
dx
= 15. Tính giá trị của ⎡
∫ ⎢ ( )
−1
1
I = . D. I = − 2.
4
2
P = f 5 − 3x + 7⎤
⎥ d x.
⎣
⎦
A. P = 15. B. P = 37. C. P = 27. D. P = 19.
2 3
Câu 46. Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên R và ∫ f ( x ) d x = − 2, ∫ f ( 2 x ) d x = 10 . Tính
2
0
( )
I = ∫ f 3x dx
0
0 1
A. I = 8.
B. I = 6.
C. I = 4.
D. I = 2.
Câu 47. Tìm tất cả các số thực dương m để
m
2
x dx
1
∫ = ln2 − .
x + 1 2
0
A. m = 2 . B. m = 1. C. m > 3 . D. m = 3 .
Câu 48. Cho
2
2
I x 4 x dx
= ∫ − và
1
t
2
= 4 − x . Khẳng định nào sau đây sai?
A. I = 3 . B.
0
3
2
t
I = . C.
2
3
2
I t dt
3
t
= ∫ . D. I = .
3
0
0
3
50

Câu 49. Cho
1
dx
1 + e
∫ = a + b ln , với a , b là các số hữu tỉ. Tính
x
e + 1
2
0
3 3
S = a + b .
A. S = 2 . B. S = − 2 . C. S = 0 . D. S = 1 .
Câu 50. Kết quả phép tính tích phân
5
dx
∫ có dạng I = a ln 3 + b ln 5 ( a, b ∈ Z ) .
x 3x + 1
1
2 2
Khi đó a + ab + 3b
có giá trị là
A. 4 . B. 5. C. 1. D. 0 .
5
2
Câu 51. Cho ∫ f ( x ) dx = 3 . Tính = ∫ ( 3 − 1)
A.
2
I f x dx
1
1
I = .
B. I = 1.
C. I = 9.
D. I = 3.
3
3
Câu 52. Cho hàm số ( ) = ∫ ( − )
x
1
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
f x 4t 8t dt
. Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá
trị lớn nhất của hàm số ( )
f x trên đoạn ⎡0;6⎤
⎢⎣ ⎥⎦ . Tính M − m.
A. 18. B. 12. C. 16. D. 9.
Câu 53. Cho tích phân
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
4
1 2
I = ∫ x = a + b ln với a , b là các số nguyên.
3 + 2x
+ 1d 3
0
A. a + b = 3. B. a − b = 3 . C. a − b = 5 . D. a + b = 5 .
Câu 54. Bài toán tích phân
e
∫
1
lnx + 1.ln x dx
x
được một học sinh giải theo ba bước sau:
I. Đặt ẩn phụ t = ln x + 1, suy ra
dt
1
= dx
và x = 1 ⇒ t = 1; x = e ⇒ t = 2 .
x
e
ln x + 1.ln x d 1 d
x
II. I = ∫ x = ∫ t ( t − ) t .
1 1
2
51

2
2
⎛
5 2
1 d ⎞
∫ ⎜
1 3 2 .
1
⎜⎝ t ⎟⎠
1
III. ( )
I = t t − t = t − = +
Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
A. Bài giải đúng. B. Sai ở bước III.
C. Sai từ bước II. D. Sai từ bước I.
Câu 55. Cho tích phân
I
3
dx
= ∫ . Đặt t = 2 x + 3, ta được
+ 1 2x
+ 3
1
2
( x )
I
=
3
∫ m
dt
2
t + n
(với ,
2
m n ∈ Z ). Tính T = 3 m + n.
A. T = 7.
B. T = 2. C. T = 4. D. T = 5.
Câu 56. Cho m là số thực dương thỏa mãn
m
∫
0
x
2
( 1 + x ) 3
dx
3
= . Mệnh đề nào sau đây
16
là đúng?
A.
C.
7
m ∈ ⎛ 3; ⎞ ⎜
2
⎜⎝ ⎠ ⎟
. B. 3
m ∈ ⎛ 0; ⎞ ⎜
2
⎜⎝ ⎠ ⎟
.
3
m ∈ ⎛ ⎞ ;3
⎜
2
⎜⎝ ⎟⎠ . D. 7
m ∈ ⎛ ⎞ ;5
⎜
2
⎜⎝ ⎟⎠ .
2
Câu 57. Cho hàm số y = f ( x)
liên tục trên R . Biết ∫ ( )
4
0
( )
I = ∫ f x dx
.
A. I = 2 . B. I = 4 . C.
Câu 58. Tìm a để
a
x
e
3
∫ dx
= ln .
x
e + 1 2
0
2
0
f x xdx = 1, hãy tính
1
I = . D. I = 1.
2
A. a = 1. B. a = 2 . C. a = ln 2 . D. a = ln 3 .
52

Câu 59. Tìm a để
a
x
e
3
∫ dx
= ln .
x
e + 1 2
0
A. a = 1. B. a = 2 . C. a = ln 2 . D. a = ln 3 .
2
Câu 60. Cho hàm số y = f ( x)
liên tục trên R . Biết ∫ ( )
4
0
( )
I = ∫ f x dx
.
A. I = 2 . B. I = 4 . C.
2
0
f x xdx = 1, hãy tính
1
I = . D. I = 1.
2
Câu 61. Biết
b
1
∫ d x = 2 , trong đó a,
b là các hằng số dương. Tính tích phân
x
a
b
e
1
∫ d x .
x ln x
a
e
A. I = ln 2 . B. I = 2 . C.
Câu 62. Có bao nhiêu số a ∈ ( 0;20π)
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
sao cho
0
1
I = . D.
ln 2
a
5
sin sin 2 .
∫
2
x xdx =
7
A. 20 . B. 19 . C. 9 . D. 10 .
1
I = .
2
Câu 63. Cho hàm số y f ( x)
sau đây đúng?
= liên tục trên R và thỏa mãn
1
( ln )
e
f x
∫ d x = e.
Mệnh đề nào
x
1
1
A. ∫ f ( x)
dx = 1. B. ∫ ( )
0
e
C. ∫ f ( x)
dx = 1. D. ∫ ( )
Câu 64. Tính tích phân
0
Khi đó tổng a + b + c bằng:
0
e
0
f x d x = e.
f x d x = e.
π
4 3
1 − sin x
∫ d
2 x ta được kết quả là
sin x
π
3 2
6
a + b + c với a, b, c ∈ Q .
53

A. 1. B. − 1.
C. 2. D. 0.
Câu 65. Cho tích phân
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
4
1 2
I = ∫ x = a + b ln với a , b là các số nguyên.
3 + 2x
+ 1d 3
0
A. a + b = 3. B. a − b = 3 . C. a − b = 5 . D. a + b = 5 .
3
Câu 66. Cho hàm số ( ) = ∫ ( − )
x
f x 4t 8t dt
. Gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá
trị lớn nhất của hàm số ( )
1
f x trên đoạn ⎡0;6⎤
⎢⎣ ⎥⎦ . Tính M − m.
A. 18. B. 12. C. 16. D. 9.
Câu 67. Giả sử hàm số y = f ( x)
liên tục, nhận giá trị dương trên ( )
f ( 1)
= 1, f ( x) f ′( x) 3x
1,
0;+∞ và thỏa mãn
= + với mọi x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 4 < f ( 5)
< 5 . B. f ( )
2 < 5 < 3 .
C. 3 < f ( 5)
< 4 . D. f ( )
1 < 5 < 2 .
Câu 68. Giả sử hàm số y = f ( x)
liên tục, nhận giá trị dương trên ( )
f ( 1)
= 1, f ( x) f ′( x) 3x
1,
0;+∞ và thỏa mãn
= + với mọi x > 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 4 < f ( 5)
< 5 . B. f ( )
2 < 5 < 3 .
C. 3 < f ( 5)
< 4 . D. f ( )
1 < 5 < 2 .
3,. TỪNG PHẦN
MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
Câu 69. Tích phân
π
3
I = ∫ x cos xdx bằng:
0
A.
π
3 − 1
6
B.
π
3 − 1
2
C.
π 3 1
− D.
6 2
π −
2
3
Câu 70. Tích phân
π
2
I x xdx
= ∫ sin bằng:
0
54

2
A. π − 4
B.
2
2
π + 4 C.
2π − 3 D.
2
2π + 3
Câu 71. Tích phân
2
K = ∫ (2x −1)ln
xdx bằng:
1
A.
1
K = 3 ln 2 + . B.
2
1
K = . C. K = 3 ln 2 D.
2
1
K = 2 ln 2 − .
2
Câu 72. Tích phân
ln 2
−x
I xe dx
= ∫ bằng:
0
1 1 ln 2
2
1 1 ln 2
2
1 ln 2 1
2
1 1 + ln 2 .
4
A. ( − ). B. ( + ). C. ( − ). D. ( )
Câu 73. Tích phân
I
2
ln x
= ∫ dx bằng:
2
x
1
1 1 ln 2
2
1 1 ln 2
2
1 ln 2 1
2
1 1 + ln 2 .
4
A. ( + ). B. ( − ). C. ( − ). D. ( )
2
1
Câu 74. Tích phânI x. e x +
= ∫ dx có giá trị là:
1
0
A.
e
2
+ e . B.
2
e
2
+ e . C.
3
e
2
− e . D.
2
e
2
− e .
3
Câu 75. Tích phân I = ( 1 − )
1
x
∫ x e dx có giá trị là:
0
A. e + 2 . B. 2 − e . C. e − 2 . D. e .
2
Câu 76. Tích PhânI = ∫ ln( x − x)
dx là :
3
2
A. 3 ln 3 . B. 2 ln 2. C. 3 ln 3 − 2 . D. 2 − 3 ln 3 .
Câu 77. Giá trị của tích phân
I
1
= ∫
2 3x
x e dx
0
A.
3
8 5
e + . B.
27
3
5 2
e − . C.
27
3
5 2
e + . D.
27
3
8 5
e − .
27
55

Câu 78. Tích phânI = ∫ x.cosxdx
là :
π
4
0
π 2
A. + 1 . B.
4
3 . C. π 2 2
+ + 1. D.
8 2
1
Câu 79. Biết ( )
0
MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU
π 2 2
+ − 1.
8 2
I = ∫ ln 3x + 1 dx = a ln 2 + b , (với a , b ∈ Q ). Tính S = 3a − b .
A. S = 7 . B. S = 11 . C. S = 8 . D. S = 9 .
Câu 80. Tích phân
e
I = ∫ x ln xdx
bằng:
1
A.
1
I = . B.
2
I
2
e − 2
= . C.
2
1
2
2
e + . D.
4
e − 1 .
4
e−4
Câu 81. Tính = ∫ ( + ) ( + )
K x 4 ln x 4 dx
−3
A.
K
2
e − 1
= . B.
4
K
2
e − 2
= . C.
2
1
K = . D.
2
K
2
e + 1
= .
4
Câu 82. Biết
π
4
x π 1
∫ dx
= + ln 4 . Tính P
2
cos x a b
0
a b
= + .
A. P = 2 . B. P = 6 . C. P = 0. D. P = 8 .
Câu 83. Biết
π
4
∫ x cos2xdx = a + bπ
, với a,
b là các số hữu tỉ. Tính S = a + 2b
.
0
A. S = 0 . B. S = 1 . C.
1
S = . D.
2
3
S = .
8
Câu 84. Tính tích phân
1
2
I 3 x. e x dx
= ∫ .
0
A.
2
3e + 3 .
16
B.
2
2e + 2 .
9
C.
2
3e + 3 .
4
2
e + 2
D. .
3
56

2
Câu 85. Tính giá trị của = ln( 1 + )
1
K ∫ x x dx
.
0
A.
C.
1
K = ln 2 − .
B.
4
1
K = ln 2 + .
D.
2
1
K = ln 2 − .
2
1
K = − ln 2 + .
2
Câu 86. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn ∫ ( x + 1) f ′( x)
dx
= 10 và f ( ) f ( )
1
0
( )
∫ f x dx
.
1
0
2 1 − 0 = 2 . Tính
A. I = − 12. B. I = 8 . C. m = 1. D. I = − 8 .
Câu 87. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn ∫ ( x + 1) f ′( x)
dx
= 10 và f ( ) f ( )
1
∫ dx
.
Tính f ( x)
0
1
0
2 1 − 0 = 2 .
A. I = − 12. B. I = 8 . C. m = 1. D. I = − 8 .
e−4
Câu 88. Tính = ∫ ( + ) ( + )
K x 4 ln x 4 dx
−3
A.
K
2
e − 1
= . B.
4
K
2
e − 2
= . C.
2
1
K = . D.
2
K
2
e + 1
= .
4
2
Câu 89. Biết rằng ( )
S = a + b + c .
1
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG
∫ ln x + 1 d x = a ln 3 + b ln 2 + c với a , b , c là các số nguyên. Tính
A. S = 1 . B. S = 0 . C. S = 2 . D. S = − 2 .
1
Câu 90. Cho ( )
∫ ln x + 1 d x = a + ln b , ( , )
0
a b ∈ Z . Tính ( )
3 b
a + .
57

A. 25 . B. 1 7 . C. 16 . D. 1 9 .
Câu 91. Cho hàm số ( )
f x liên tục trên ⎡ − 1; + ∞ ⎢⎣
)
3
và ( )
∫ f x + 1 d x = 4. Tính
0
2
1
( )
I = ∫ x. f x d x.
A. I = 8 . B. I = 4 . C. I = 16 . D. I = 2 .
Câu 92. Cho
1
f ( x)
∫ dx
= 4 trong đó hàm số y f ( x)
−1
1 + 2 x
= là hàm số chẵn trên ⎡ 1;1⎤
⎢⎣
− ⎥ , lúc đó
⎦
1
-1
( )
∫ f x dx
bằng
A. 2. B. 16. C. 4. D. 8.
Câu 93. Tích phân
I
2 2016
x
= ∫ dx
có giá trị là:
x
e + 1
−2
A. 0. B.
2018
2
.
2017
C.
2017
2
.
2017
D.
2018
2
.
2018
Câu 94. Biết
2
ln x b
∫ dx
= + a ln 2 (với a là số thực, b,
c là các số nguyên dương và b 2
x c
c
1
là phân số tối giản). Tính giá trị của 2a + 3b + c .
A. 4 . B. − 6 . C. 6 . D. 5.
1
2
1
Câu 95. Cho biết ∫ xf ( x)
dx = . Tính tích phân ( )
1
2
2
π
A. I = 2.
B. I = . C.
3
π
I = ∫ sin 2xf sin x dx
.
π
6
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
1
I = . D. I = 1.
2
e
2
Câu 96. Ta có tích phân I = 4 x ( 1 + ln x)dx = a.
e + b ; với a , b là các số nguyên.
∫
1
58

Tính M = ab + 4( a + b)
.
A. M = − 5. B. M = − 2. C. M = 5. D. M = − 6.
2017 2016
Câu 97. Tính giá trị của = ( + )
1
K ∫ x 2017x e x dx
.
0
A. K = e
2017 . B. K = e.
C. K = e − 1. D. K = e + 1.
2
Câu 98. Tính giá trị của = ( + + )
π
4
K ∫ 1 tan x tan x e x dx
.
A. K = 0.
B. 1.
0
K = C. K = 4
. D. K = e.
π
e
Câu 99. Biết
4
2x
+ 1 x
4
K = ⎜
⎟e d x = a. e + b.
e
∫
1
⎛
⎜⎝
2
x
⎞
⎟⎠
, với a , b là các số nguyên. Tính
3
S = a + b
3 .
A. S = 9.
B. S = 7. C. S = 2. D. S = 3.
Câu 100. Biết
4
2x
+ 1 x
4
K = ⎜
⎟e d x = a. e + b.
e
∫
1
⎛
⎜⎝
2
x
⎞
⎟⎠
, với a , b là các số nguyên. Tính
3
S = a + b
3 .
A. S = 9.
B. S = 7. C. S = 2. D. S = 3.
4. TÍCH PHÂN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Câu 101. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1 ] thỏa mãn
2017
( ) ′( )
2 f x xf x 673x
( )
+ ≥ với mọi x∈ [ 0;1]
1
∫ f x dx
bằng
0
. Giá trị nhỏ nhất của tích phân
A. 1 3 . B. 1
3.2017 . C. 1
3.2018 . D. 1
3.2019 .
59

Câu 102. Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên nửa khoảng
[ 0;+∞ ) thỏa mãn f ( x)
′ =
x
( x + 1) f ( x)
với mọi x ≥ 0 và
( ) ( )
3
f 0 = 1, f 1 = a + b 2 với a,
b là các số nguyên. Tính P = a.
b .
A. P = − 3. B. P = − 66. C. P = 6 . D. P = − 36.
Câu 103. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ′( x) = 2 f ( x)
, ∀x
∈ R và ( )
( )
1
∫ f x dx
bằng
0
2
A. 2 3 ( 1)
e − . B. 3( 2 1)
e− . C.
2
( )
3 1
e − 3 . D.
( 2 1)
2
e − .
2
f 0 = 3 . Tích phân
Câu 104. Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị không âm và có đạo hàm liên tục trên R thỏa
mãn f ′( x) = ( 2x + 1 ) ⎡ f ( x) 2
⎣ ⎤⎦ , ∀x
∈ R và f ( )
( )
1
∫ f x dx
bằng
0
0 = − 1. Giá trị của tích phân
A.
1
− . B. − ln 2 . C.
6
2π
3
− . D.
9
π 3
− .
9
2 4
Câu 105. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn ⎡ ′( ) ⎤ ( ) ′′( )
( 0) = ( 0)
= 1. Giá trị của 2 ( 1)
f f ′
f bằng
⎣ f x ⎦ + f x . f x = 15x + 12 x,
∀x
∈ R và
A. 8. B. 9 2 . C. 10 . D. 5 2 .
Câu 106. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn [ 0;1 ] thỏa mãn
f ′( 0)
= − 1 và f ′′( x) = ⎡ f ′( x) ⎤
2
⎣ ⎦
. Giá trị của biểu thức f ( 1 ) f ( 0 )
− bằng
A. ln 2 . B. − ln 2 . C. 1 ln 2 . D.
2
1
− ln 2 .
2
60

Câu 107. Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn
2
′( ) = − e x
( ) với mọi x∈R và f ( 0)
= . Tính ( ln 2)
f x f x
A.
1
2
f .
1
ln 2 + . B. 1 2
3 . C. 1 4 . D. 2 1
ln 2 + . 2
Câu 108. Giả sử hàm số y = f ( x)
liên tục và nhận giá trị dương trên khoảng ( 0;+ ∞ ) và
thỏa mãn f ( 1)
= 1, f ( x) f ′( x) 3x
1
đúng ?
= + , với mọi x > 0 . Mệnh đề nào sau đây
A. 1 < f ( 5)
< 2 . B. 4 < f ( 5)
< 5 . C. 3 < f ( 5)
< 4 . D. f ( )
2 < 5 < 3.
Câu 109. Cho hàm số y = f ( x)
liên tục, nhận giá trị dương trên khoảng ( 0;+ ∞ ) thỏa mãn
2
3
f ( 3)
= và f ( x) ( x 1) f ( x)
′ = + . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
2
2
A. 2613 < f ( 8)
< 2614. B. f ( )
2614 < 8 < 2615 .
2
2
C. 2618 < f ( 8)
< 2619 . D. f ( )
Câu 110. Cho hàm số y = f ( x)
có đạo hàm f ( x)
5 2
f ( x) . f ( x) 3x 6x
2
′ = + . Biết f ( 0)
= 2 , tính ( 2)
2616 < 8 < 2617 .
′ liên tục trên R thỏa mãn
f .
2
2
2
2
A. f ( 2)
= 144 . B. f ( 2)
= 100 . C. f ( 2)
= 64 . D. ( )
f 2 = 81.
Câu 111. Cho hàm số f ( x) < 0, ∀ x > 0 và có đạo hàm f ′( x)
liên tục trên khoảng ( 0;+∞ )
2
thỏa mãn f ′( x) = ( 2x + 1 ) f ( x)
, ∀ x > 0 và ( 1)
( 1) ( 2) ( 3 ) ... ( 2018)
f + f + f + + f bằng
A.
2010
= − . B.
2019
2017
− . C.
2018
1
f = − . Giá trị của biểu thức
2
2016
− . D.
2017
Câu 112. Cho hai hàm số y = f ( x) , y = g ( x)
có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ]
( 1) + ( 1)
= 9 và f ( x) x 2 g′ ( x) ; g ( x) x 2 f ′( x) , x [ 1; 4]
f g e
( ) + ( )
f x g x dx
4
∫
1
2
x
bằng
2018
− .
2019
1; 4 thỏa mãn
= − = − ∀ ∈ . Tích phân
A. 9 4
( e e
4
e
4
− ) . B. 9( e − e ) . C. ( e e )
e
9
4
e − e
− . D. .
9
61

Câu 113. Cho hai hàm số y = f ( x) ; y = g ( x)
có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ]
f
1; 4 thỏa mãn
( 1) + g ( 1)
= 4 và f ( x) = − xg′ ( x) ; g ( x) = − xf ′( x)
. Tích phân ⎡ ( ) + ( )
4
∫
1
⎣ f x g x ⎤⎦
dx
bằng
A. 8ln 2 . B. 3ln 2 . C. 6ln 2. D. 4 ln 2 .
Câu 114. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′( x)
liên tục trên nửa khoảng [ )
−x
( ) ′( ) . 2 1, 0
f x + f x = e x + ∀x
≥ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. e f ( 4) − f ( 0)
= . B. e f ( 4) f ( 0)
4 26
3
4 26
− = − .
3
C. e f ( 4) − f ( 0)
= . D. e f ( 4) f ( 0)
4 4
3
− = − .
3
4 4
0;+∞ thỏa mãn
Câu 115. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1 ] thỏa mãn ( )
2
( ) ′( ) ( )
2xf x f x x x 1
A.
+ = − với mọi x∈ [ 0;1]
. Tích phân xf ( )
1
∫ x dx bằng
0
f 0 = 0 và
e − 4
1
. B.
8e
6 . C. 7 6 . D. e − 4 .
4e
Câu 116. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;π ] thỏa mãn ( )
2
2
( ) ′( ) = cos . 1 + ( ), ∀ ∈ [ 0; ].
Tích phân f ( )
f x f x x f x x π
π
∫ x dx bằng
0
f 0 = 3 và
11π
7π
A. 8 + .
B. 8 + . C. 7 π 11π − 8. D. − 8.
2
2
2
2
Câu 117. Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương và liên tục trên đoạn [ 0;1 ] thỏa mãn
x
1 2018 , 0;1
( ) = + ∫ ( ) ∀ ∈[ ] và g ( x) f 2
( x) x [ ]
g x f t dt x
1
( )
∫ g x dx bằng
0
0
= , ∀ ∈ 0;1 . Tính tích phân
A. 1011 .
2
B. 1009 .
2
C. 2019 .
2
D. 505.
62

Câu 118. Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương và liên tục trên đoạn [ 0;1 ] thỏa mãn
x
1 2018 , 0;1
( ) = + ∫ ( ) ∀ ∈[ ] và g ( x) f 3
( x) x [ ]
g x f t dt x
1
3 2
∫ g ( x)
dx bằng
0
0
= , ∀ ∈ 0;1 . Tính tích phân
A. 2021 .
2
B. 2021 .
3
C. 2019 .
3
Câu 119. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′( x)
liên tục trên [ ]
0;1 thỏa mãn
D. 2019 .
2
A.
2019
( ) + ′( ) ≥ ∀ ∈ [ ] . Giá trị nhỏ nhất của tích phân ∫ f ( )
2018 f x xf x x , x 0;1
bằng
1 .
4037
1
B.
.
2018×
4037
1
C.
.
2019×
4037
1
D.
.
2020×
4037
Câu 220. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′( x) > 0, ∀x
∈ [ 0;1]
và liên tục trên [ ]
( ) [ ]
2
mãn f ( 0)
= 1 và f ( x ) = f ′ ( x ) , ∀x
∈ 0;1 . Tính f ( )
A. 5 .
4
B. 19 .
12
C. 5 2
1
∫ x dx bằng
Câu 221. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn cos x. f ( x) sin x.
f ′( x) 2
⎛ π ⎞
f ⎜ ⎟ = 2 2
⎝ 4 ⎠
π
3
. Tích phân ( )
∫ f x d x bằng:
π
6
0
1
0
x dx
0;1 thỏa
D. 19 .
3
1 ⎡π π ⎤
+ = , ∀ x ∈ ;
cos x ⎢
⎣ 6 3 ⎥
⎦ và
A.
⎛ 2 3 ⎞
ln ⎜
1+
3 ⎟
. B.
⎝ ⎠
⎛ 2 3 ⎞
2ln ⎜
1+
3 ⎟
.
⎝ ⎠
⎛ 2 3 ⎞
C. ln ⎜
−1
3 ⎟
. D.
⎝ ⎠
⎛ 2 3 ⎞
2ln ⎜
−1
3 ⎟
.
⎝ ⎠
Câu 222. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn ( )
2
( ) ( )
f ′ x x + 1 = 2x f x + 1, x
f x > − , x
∀ ∈ R và ( ) 1
f 0 = 0,
∀ ∈ R . Tính ( 3)
f .
A. 12 . B. 3. C. 7 . D. 9.
63

Câu 223. Cho hàm số f ( x ) liên tục và đồng biến trên đoạn [ 1;4 ], ( )
( ) ′( ) 2
⎣ ⎦ , ∀x
∈ [ 1;3 ] . Đặt ( )
x + 2xf x = ⎡ f x ⎤
4
1
f 1 = 0 và
I = ∫ f x dx
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 1< I < 4 . B. 4< I < 8. C. 8< I < 12 . D. 12 < I < 16 .
Câu 224. Cho hàm số f ( x)
liên tục và có đạo hàm trên [ 1;4 ] thỏa mãn ( )
'
3
( ) ⎡
⎣ ( ) ⎦
⎤ [ ].Tính tích phân ( )
x + 2x f x = f x , ∀x
∈ 1;4
A. I = 1
B.
1023
I = C.
5
4
∫ ( )
1
f 1 = 0 và
I = 2 f x + 1 d x.
1
I = D.
3
Câu 225. Cho hàm số f ( x)
liên tục và có đạo hàm trên [ 1;2 ] thỏa mãn ( )
và f ( x) = xf ' ( x) − 2x 3 − 3x 2 , ∀x
∈ [ 1;2]
.Tính giá trị f ( )
2 .
2
f 1 = 4
1
I =
4
A. f ( 2)
= 5 B. f ( 2)
= 20 C. f ( 2)
= 15 D. ( )
5. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO THỰC TẾ
f 2 = 10
Câu 226. Cho chuyển động xác định bởi phương trình
3 2
S t t t
= − 3 − 9 , trong đó t được
tính bằng giây và S được tính bằng mét. Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.
A. 12m/s. B. −12
m/s . C. −21m/s. D. −12
m/
Câu 227: Một xe mô tô đang chạy với vận tốc 20m/s thì người lái xe nhìn thấy một
chướng ngại vật nên đạp phanh. Từ thời điểm đó, mô tô chuyển động chậm dần với vận
tốc v( t) 20 5
= − t , trong đó t là thời gian (được tính bằng giây ) kể từ lúc đạp phanh.
Quãng đường mà mô tô đi được từ khi người lái xe đạp phanh cho đến lúc mô tô dừng lại
là
A. 40 m B. 80 m C. 60 m D. 20 m
Câu 228. Một ôtô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ôtô chuyển
động chậm dần đều với vận tốc v( t) 12t 24 ( m/ s)
= − + , trong đó t là khoảng thời gian
tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng
hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét?
A. 24 m . B. 15 m . C. 20 m . D. 18 m
Câu 229. Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v( t) 160 10 t ( m / s)
= − . Tính
2
s .
64

quãng đường S mà vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t 0( s)
= đến
thời điểm vật dừng lại.
A. S = 1840m
. B. S = 2560m
. C. S = 2180m
. D. S = 1280m
.
Câu 230. Một vật đang chuyển động với vận tốc 5m/s thì tăng tốc với gia tốc
2 2
a( t) = 2 t + t (m/s ). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 6 giây kể từ lúc
bắt đầu tăng tốc.
A. 210 m . B. 48 m . C. 30 m . D. 35 m .
V- KẾT QUẢ THỰC HIỆN:
Áp dụng đề tài: Đã được thực hiện tại các lớp 12A1,12A5 của trường THPT ……… kết
quả cho thấy các em học sinh đã có nhiều tiến bộ trong việc tính tích phân, đã giải được
các bài tích phân trong đề thi minh học THPT Quốc gia, đề thi THPT Quốc gia các năm
gần đây.
65