Elasticity_ Barber

356 22 Thermoelastic displacement potentials
Table 22.1. Solutions T and P
Solution T
Solution P
Williams’ solution Thermoelastic Plane Stress
2µu x z ∂χ
∂x
2µu y z ∂χ
∂y
2µu z χ + z ∂χ
∂z
σ xx
σ xy
σ yy
σ xz
σ yz
z ∂2 χ
∂x 2
− 2 ∂χ
∂z
z ∂2 χ
∂x∂y
z ∂2 χ
−
∂y 2 2 ∂χ
∂z
∂χ
+ ∂x z ∂2 χ
∂x∂z
∂χ
+ ∂y z ∂2 χ
∂y∂z
2(1−ν) ∂ψ
∂x
2(1−ν) ∂ψ
∂y
−2(1−ν) ∂ψ
∂z
−2(1−ν) ∂2 ψ
∂y 2
2(1−ν) ∂2 ψ
∂x∂y
−2(1−ν) ∂2 ψ
∂x 2
σ zz
z ∂2 χ
∂z 2 0
2µu r z ∂χ
∂r
2(1−ν) ∂ψ
∂r
z ∂χ
2µu θ r ∂θ
σ rr z ∂2 χ
−
∂r 2 2 ∂χ
∂z
z ∂
σ 2 χ
rθ − z ∂χ
r ∂r∂θ r 2 ∂θ
σ θθ
σ rz
σ θz
T
q z
q r
∂χ
− z ∂ 2 χ
∂r r 2 ∂θ 2
∂χ
+ ∂r z ∂2 χ
∂r∂z
z ∂ 2 χ
+ 1 ∂χ
r ∂θ∂z r ∂θ
1−ν ∂χ
µα(1+ν) ∂z
− (1−ν)K ∂ 2 χ
µα(1+ν) ∂z 2
− (1−ν)K ∂ 2 χ
µα(1+ν) ∂z∂r
z
r
− 2 ∂χ
∂z
0
0
2(1−ν) ∂ψ
r ∂θ
( 1 ∂ψ
2(1−ν) + )
1 ∂ 2 ψ
( r ∂r r 2 ∂θ 2
1 ∂
2(1−ν)
2 ψ
− )
1 ∂ψ
r ∂r∂θ r 2 ∂θ
−2(1−ν) ∂2 ψ
∂r 2
0
0
− (1−ν) ∂ 2 ψ
µα(1+ν) ∂z 2
(1−ν)K ∂ 3 ψ
µα(1+ν) ∂z 3
(1−ν)K ∂ 3 ψ
µα(1+ν) ∂z 2 ∂r