Elasticity_ Barber

Contents
vii
7 Body forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.1 Stress function formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.1.1 Conservative vector fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.1.2 The compatibility condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2 Particular cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2.1 Gravitational loading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.2.2 Inertia forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.2.3 Quasi-static problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.2.4 Rigid-body kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.3 Solution for the stress function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.3.1 The rotating rectangular beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.3.2 Solution of the governing equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.4 Rotational acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.4.1 The circular disk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.4.2 The rectangular bar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.4.3 Weak boundary conditions and the equation of motion . 105
PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8 Problems in polar coördinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.1 Expressions for stress components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.2 Strain components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.3 Fourier series expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.3.1 Satisfaction of boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.3.2 Circular hole in a shear field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.3.3 Degenerate cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.4 The Michell solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.4.1 Hole in a tensile field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9 Calculation of displacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.1 The cantilever with an end load . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.1.1 Rigid-body displacements and end conditions . . . . . . . . . 125
9.1.2 Deflection of the free end . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.2 The circular hole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.3 Displacements for the Michell solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.3.1 Equilibrium considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.3.2 The cylindrical pressure vessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
10 Curved beam problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
10.1 Loading at the ends. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
10.1.1 Pure bending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
10.1.2 Force transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
10.2 Eigenvalues and eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
10.3 The inhomogeneous problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140