chuyen-de-gieng-the-on-thi-hsg-hoa

lOMoARcPSD|25907903

Chuyen de gieng the on thi hsg hoa

Thiết kế hệ thống quá trình công nghệ hóa học (Trường Đại học Công nghệ Thành phố

Hồ Chí Minh)

Studocu is not sponsored or endorsed by any college or university

Downloaded by Qu?c To? Cao (2312.toacao@gmail.com)

lOMoARcPSD|25907903

TẢI FILE K ẾT BẠN ZALO: 0798568848 (30,000đ)

NHẬN VI ẾT THUÊ ĐẾỀ TÀI - trithucpanda.com

A. Lí do chọn đề tài

CHUYÊN ĐỀ GIẾNG THẾ

Giếng thế tuy không phải là nội dung chủ đạo, nhưng cũng chiếm một vị trí khá

quan trọng trong quá trình giảng dạy môn hoá học, đặc biệt đối với việc bồi dưỡng HSG

Quốc gia, Quốc tế. Nội dung giếng thế đã được đưa vào đề thi HSG quốc tế từ rất lâu song

mới được đưa vào đề thi HSG Quốc Gia từ năm 2017 trở lại đây. Điều đó thấy rằng cơ học

lượng tử đã và đang là một nội dung cần thiết.

Ra đời vào những năm đầu của thế kỉ XX, Cơ học lượng tử phát triển ngày càng

mạnh và ngày nay đã trở thành một trong những lĩnh vực quan trọng trong khoa học tự

nhiên hiện đại. Sự vận dụng Cơ học lượng tử vào hoá học khai sinh ra một lĩnh vực mới là

Hoá học lượng tử.

Nội dung chính của cơ học lượng tử mới chỉ được đưa vào chương trình đại

học, cao đẳng và sau đại học. Lí thuyết cơ học lượng tử cũng được sử dụng để nghiên cứu

nhiều vấn đề khác của hóa học như: Phân tích định tính, phân tích định lượng, nghiên cứu

tỷ lượng phản ứng, nghiên cứu động học. Điều này đòi hỏi giảng dạy hóa học phải cập nhật

nhằm đảm bảo nguyên tắc giáo dục phải tiếp cận tốt nhất có thể với khoa học hiện đại. Từ

thực tế trên, với mục đích tiếp cận tôi chọn đề tài: “ Vận dụng lí thuyết cơ học lượng tử

trong xây dựng bài tập giếng thế”.

B/ Nội dung

I. Giả thuyết de Broglie (Đơbrơi)

Trên cơ sở lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng, de Broglie đã suy ra lưỡng tính sóng hạt

cho electrôn và các vi hạt khác.

Giả thuyết de Broglie:

Một vi hạt tự do có năng lượng, động lượng xác định tương ứng với một sóng phẳng đơn sắc.

Năng lượng của vi hạt liên hệ với tần số dao động của sóng tương ứng thông qua hệ thức:

E h hay E . Động lượng của vi hạt liên hệ với bước sóng của sóng tương ứng

theo hệ

1


lOMoARcPSD|25907903



thức: p

h hay p k trong đó k là vectơ sóng, có phương, chiều là phương, chiều truyền

sóng, có độ lớn k 2 Sóng de Broglie là sóng vật chất, sóng của các vi hạt.

II. Thực nghiệm xác nhận tính chất sóng của các hạt vi mô

1. Nhiễu xạ của electrôn qua khe hẹp:

Cho chùm electrôn đi qua một khe hẹp. Trên màn huỳnh

quang ta thu được hình ảnh nhiễu xạ giống như hiện

tượng nhiễu xạ của ánh sáng qua một khe hẹp. Nếu ta

cho từng electrôn riêng biệt đi qua khe trong một thời

gian dài để số electrôn đi qua khe đủ lớn, ta vẫn thu được

hình ảnh nhiễu xạ trên màn huỳnh quang. Điều này

chứng tỏ mỗi hạt electrôn riêng lẻ đều có tính chất sóng.

2. Nhiễu xạ của electrôn trên tinh thể

Thí nghiệm của Davisson và Germer quan sát được hiện tượng nhiễu xạ của electrôn

trên mặt tinh thể Ni (hình 8-3). Khi cho một chùm electrôn bắn vào mặt tinh thể Ni, chùm e -

sẽ tán xạ trên mặt tinh thể Ni dưới các góc khác nhau. Trên màn hình ta thu được các vân

nhiễu xạ. Hiện tượng xảy ra giống hệt hiện tượng nhiễu xạ của tia X trên mặt tinh thể Ni.

Tinh thể Ni như một cách tử nhiễu xạ. Hiện tượng electrôn

nhiễu xạ trên cách tử chứng tỏ bản chất sóng của chúng.

Thay Ni bằng các tinh thể khác, tất cả các thí nghiệm đều

xác nhận chùm electrôn gây hiện tượng nhiễu xạ trên tinh

thể. Các vi hạt khác như nơtrôn, prôtôn cũng gây hiện

tượng nhiễu xạ trên tinh thể.

Các kết quả thí nghiệm trên đều xác nhận tính chất

sóng của vi hạt và do đó chứng minh sự đúng đắn của giả thuyết de Broglie.

Cuối cùng, ta phải nhấn mạnh về nội dung giới hạn của giả thiết de Broglie. Bước sóng de

Broglie tỉ lệ nghịch với khối lượng của hạt: h p mv

h

do đó đối với những hạt thông thường mà khối lượng rất lớn, thậm chí là vô cùng lớn so

với khối lượng của electrôn chẳng hạn thì bước sóng de Broglie tương ứng có giá trị vô

cùng bé và không còn ý nghĩa để mô tả tính chất sóng nữa.

Như vậy, khái niệm lưỡng tính sóng hạt thực sự chỉ thể hiện ở các hạt vi mô mà thôi và

sóng de Broglie có bản chất đặc thù lượng tử, nó không tương tự với sóng thực trong vật lí

cổ điển như sóng nước hay sóng điện từ...

III. HÀM SÓNG

2


lOMoARcPSD|25907903



1. Biểu thức của hàm sóng

Do lưỡng tính sóng hạt của vi hạt ta không thể xác định đồng thời được tọa độ và

động lượng của vi hạt. Để xác định trạng thái của vi hạt, ta phải dùng một khái niệm mới đó

là hàm sóng.

Theo giả thuyết de Broglie chuyển động của hạt tự do (tức là hạt không chịu một tác dụng

nào của ngoại lực) được mô tả bởi hàm sóng tương tự như sóng ánh sáng phẳng đơn sắc

(1)

3


lOMoARcPSD|25907903

Trong đó E, p k và 0 là biên độ được xác định bởi:

0 2 2 *

(2)

* là liên hợp phức của .

Nếu hạt vi mô chuyển động trong trường thế, thì hàm sóng của nó là một hàm phức tạp

của toạ độ r và thời gian t: (r, t)(x, y, z, t)

2. Ý nghĩa thống kê của hàm sóng

Xét chùm hạt phôtôn truyền trong không gian.

Xung quanh điểm M lấy thể tích ΔV bất kì (hình 8-5)

* Theo quan điểm sóng: Cường độ sáng tại M tỉ lệ

2

* Theo quan điểm hạt: Cường độ sáng tại M tỉ lệ

với năng lượng các hạt trong đơn vị thể tích bao quanh

M, nghĩa là tỉ lệ với số hạt trong đơn vị thể tích đó. Từ đây ta thấy rằng số hạt trong đơn vị

thể tích tỉ lệ với 0 2 . Số hạt trong đơn vị thể tích càng nhiều thì khả năng tìm thấy hạt trong

đó càng lớn. Vì vậy có thể nói bình phương biên độ sóng| |2 tại M đặc trưng cho khả năng tìm

thấy hạt trong đơn vị thể tích bao quanh M . Do đó | |2 là mật độ xác suất tìm hạt và xác

suất tìm thấy hạt trong toàn không gian là | | dV 2

1 (3) . Đây chính là điều kiện

chuẩn

V

hoá của hàm sóng.

Tóm lại:

- Để mô tả trạng thái của vi hạt người ta dùng hàm sóng ψ.

- | |2 biểu diễn mật độ xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái đó.

- ψ không mô tả một sóng thực trong không gian. Hàm sóng mang tính chất thống kê, nó

liên quan đến xác suất tìm hạt.

3. Điều kiện của hàm sóng

- Hàm sóng phải hữu hạn. Điều này được suy ra từ điều kiện chuẩn hoá, hàm sóng phải

hữu hạn thì tích phân mới hữu hạn.

- Hàm sóng phải đơn trị, vì theo lí thuyết xác suất: mỗi trạng thái chỉ có một giá trị xác

suất tìm hạt.

- Hàm sóng phải liên tục, vì xác suất| |2 không thể thay đổi nhảy vọt.

- Đạo hàm bậc nhất của hàm sóng phải liên tục.

IV. PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

Hàm sóng de Broglie mô tả chuyển động của vi hạt tự do có năng lượng và động lượng xác

định:

( 4)


lOMoARcPSD|25907903

i

trong đó (r) 0 exp pr (5)

là phần phụ thuộc vào tọa độ của hàm sóng. Ta có thể biểu diễn(r) trong hệ tọa độ Đề các

i

như sau: (r) 0 exp (p x x p y y p zz) (6)

i

Lấy đạo hàm /x , ta được:

p

x(r)

x

Lấy đạo hàm bậc hai của ψ theo x:

Ta cũng thu được kết quả tương tự cho các biến y và z.

Theo định nghĩa của toán tử Laplace Δ trong hệ toạ độ Đề các :

(7)

ta được:

(8)

Gọi E đ là động năng của hạt, ta viết được:

(9)

Thay p 2 vào (9) và chuyển sang vế trái ta thu được:

(10)

Phương trình (10) được gọi là phương trình Schrodinger cho vi hạt chuyển động tự do. Mở

rộng phương trình cho vi hạt không tự do, nghĩa là vi hạt chuyển động trong một trường lực có

thế năng U không phụ thuộc thời gian. Năng lượng của vi hạt E = E đ + U. Thay E đ = E – U vào

(10) ta được:


lOMoARcPSD|25907903

(11)

Biết dạng cụ thể của U( r ), giải phương trình Schrodinger ta tìm được(r) và E, nghĩa là

xác định được trạng thái và năng lượng của vi hạt. Ta giới hạn chỉ xét hệ là kín hay đặt

trong trường ngoài không biến thiên theo thời gian. Năng lượng của hệ khi đó không đổi và

trạng thái của hệ được gọi là trạng thái dừng. Phương trình (11) được gọi là phương trình

Schrodinger cho trạng thái dừng.

Cho đến nay ta vẫn xét hạt chuyển động với vận tốc v << c, do đó phương trình (11) mô tả

chuyển động của vi hạt phi tương đối tính, có khối lượng nghỉ khác không. Phương trình

Schrodinger mô tả sự vận động của vi hạt, nó có vai trò tương tự như phương trình của định

luật II Newton trong cơ học cổ điển. Một điểm cần chú ý là, phương trình Schrodinger không

được chứng minh hay rút ra từ đâu. Nó được xây dựng trên cơ sở hàm sóng phẳng đơn sắc của

ánh sáng và giả thuyết sóng-hạt de Broglie, do đó được coi như một tiên đề. Việc mở rộng

phương trình Schrodiger cho hạt tự do sang trường hợp hạt chuyển động trong trường thế cũng

được coi là một sự tiên đề hóa. Dưới đây là những ứng dụng phương trình Schrodinger trong

những bài toán cụ thể như hạt trong giếng thế, hiệu ứng đường ngầm...

V. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

1. Hạt trong giếng thế

năng a. Hộp thế một chiều

Trong những bài toán thực tế, ta thường gặp những trường hợp hạt chỉ chuyển động

trong một phạm vi giới hạn bởi một hàng rào thế năng có chiều cao khá lớn, ví dụ như

electrôn trong mạng tinh thể hay nuclôn trong hạt nhân bền, khi đó ta nói rằng hạt ở trong

giếng thế năng.

Ta hãy xét trường hợp hạt nằm trong giếng thế năng có thành cao vô hạn và chuyển

động theo một phương x bên trong giếng thế (hình 8-6). Thế năng U được xác định theo

điều kiện:

Như vậy bên trong giếng thế hạt chuyển động tự do và không thể vượt ra ngoài giếng.

Phương trình Schrodinger của hạt trong giếng thế (U = 0) một chiều (chiều x) có dạng:

Đặt

k 2

(12)

2mE d 2

, ta có: k 2 0 (13)

2 dx 2

Nghiệm của phương trình (13) có dạng:(x) A sin kx + B cos kx (14)

A, B là những hằng số được xác định từ điều kiện của hàm sóng. Theo đầu bài thì hạt chỉ ở

trong giếng thế, do đó xác suất tìm hạt tại vùng ngoài giếng thế bằng không và hàm sóng


lOMoARcPSD|25907903

trong các vùng đó cũng bằng 0. Từ điều kiện liên tục của hàm sóng ta suy ra: (0)

0,(a) 0 . Thay điều kiện này vào (14) ta có:

(0) A sin (0) + B = 0 B 0 và(a) A sin (ka) = 0

B = 0 nên A phải khác 0 (vì nếu A = 0 thì ψ luôn bằng 0 và là một nghiệm tầm thường). Do

đó ta có: sin ka 0 sin n với n = 1,2,…

k

Từ đó rút ra: n (15)

a

Như vậy ta có một dãy nghiệm hàm sóng có dạng:

n

(x) A n

sin x (16)

a

thỏa mãn điều kiện biên của miền. Hằng số A được xác định từ điều kiện chuẩn hóa (3) của

hàm sóng. Vì hạt không thể ra khỏi giếng nên xác suất tìm thấy hạt trong giếng là chắc chắn:

a | (x) | 2 dx1

Tính giá trị tích phân:

0

Ta tìm được: A

2 a

Như vậy hàm sóng được xác định hoàn toàn: (x) sin n n 2 x ( 17)

a a

Năng lượng của hạt trong giếếng thếế cũng được tm thấếy khi ta thay biểu thức (15) vào

2 2mE 2 2 2 2 h 2

k n và nhận được E

2

n n 2 n 2

a 2ma 2 8ma 2

( 18)

Từ các kết quả trên ta rút ra một số kết luận sau:

a. Mỗi trạng thái của hạt ứng với một hàm sóng n (x)

b. Năng lượng của hạt trong giếng phụ thuộc vào số nguyên n, nghĩa là biến

thiên gián đoạn. Ta nói rằng năng lượng đã bị lượng tử hóa.

Với n = 1 ta có mức năng lượng cực tiểu 2 2 0 ứng với hàm

2

sóng 1

E

sin x , mô

2ma 2

1 a a


lOMoARcPSD|25907903

tả trạng thái chuyển động cơ bản của hạt. Hàm sóng ψ 1 (x) khác không tại mọi điểm trong

giếng, chỉ có thể bằng 0 tại các vị trí biên (Hình 8-7).

Khoảng cách giữa hai mức năng lượng kế tiếp nhau ứng với các sốế nguyến n và n+1 băằng:

E n 1 E 2 2

E n n

2ma 2 (2n1) (19)

ΔE n càng lớn khi a và m càng nhỏ. Điều đó có nghĩa là trong phạm vi thế giới vi mô, sự lượng

tử hóa càng thể hiện rõ rệt. Cụ thể, nếu xét hạt electrôn m = 9,1.10 -31 kg, a ~ 5.10 -10 m thì ΔE

~ 1eV, khoảng cách giữa E n+1 và E n tương đối lớn, năng lượng bị lượng tử hóa. Nhưng nếu

xét một hạt có m ~10 -26 kg chuyển động trong miền a~10cm thì khoảng cách giữa các mức

năng lượng ΔE~ 10 -20 eV khá nhỏ. Trong trường hợp này có thể coi năng lượng của hạt biến

thiên liên tục.

c. Mật độ xác suất tìm hạt trong giếng: | n (x) | 2 n 2

sin 2 x (20)

a a

Mật độ xác suất cực đại khi: sin( n x)1.

a

Do đó xác suất tìm thấy hạt lớn nhất tại: x (2m

1)

a

a

2n

m = 0,1,…

Ví dụ: Khi n = 1 xác suất tìm thấy hạt ở điểm x = a/2 là lớn nhất.

Khi n = 2 xác suất tìm thấy hạt ở điểm x = a/4 và x = 3a/4 là lớn nhất...

Mật độ xác suất cực tiểu khi: sin( n a x) 0 .

Do đó xác suất tìm thấy hạt nhỏ nhất tại x

ma

n a Kết quả được biểu diễn trên hình 8-7.

b. Hộp thế ba chiều

Trong các bài toán thực tế về cấu tạo nguyên tử, các electron không chỉ chuyển động trên một

phương xác định mà chuyển động trong một vùng không gian hữu hạn. Để hiểu một cách khái

quát về cách giải những bài toán này chúng ta khảo sát mô hình hộp thế ba chiều. Ở đây, ta giả

thiết là khu vực chuyển động của vi hạt là một hình hộp với các cạnh là a, b, c.


lOMoARcPSD|25907903

Thế năng của vi hạt trong hộp thế có giá trị xác định, không đổi, để tiện lợi ta chọn

làm điểm gốc và do đó Ux = Uy = Uz = 0.

b

y

Hình. Hộp thế ba chiều

Phương trình Schroedinger cho vi hạt chuyển động trong hộp thế ba chiều:

+ + + =0 (1)

Năng lượng toàn phần E = Ex + Ey + Ez.

Để giải phương trình (2.63), ta đặt:

= X.Y.Z (2)

Đặt (2) vào (1), ta có thể tách phương trình thu được ba phương trình có dạng hoàn toàn

giống nhau:

+ X=0

+ Y=0

+ Z=0

Lời giải của mỗi phương trình trên giống như trường hợp hộp thế một chiều mà ta đã

biết:

X(x) = sin x

Y(y) = sin y (5)

Z(z) = sin z

Ở đây, nx = 1 ; 2 ; 3 ; ... ;

ny = 1 ; 2 ; 3 ; ... ;

nz = 1 ; 2 ; 3 ; ...

mô tả trạng thái của vi hạt


lOMoARcPSD|25907903

trong hộp thế ba chiều. Tương ứng với hàm sóng đó, ta có năng lượng của vi hạt:

E = Ex + Ey + Ez

= + +

=(++) (6)

Ở đây, trong bài toán về hộp thế ba chiều ta thấy xuất hiện ba số lượng tử nx, ny, nz. Số các số lượng tử như

vậy bằng số bậc tự do của hạt chuyển động

2. Hiệu ứng đường ngầm

Ta xét hạt mang năng lượng E, chuyển động theo

phương x từ trái sang phải đập vào hàng rào thế năng

như hình 8-8. Theo quan điểm của cơ học cổ điển, nếu E

< U 0 hạt không thể vượt qua hàng rào. Theo quan điểm

của cơ học lượng tử ta sẽ thấy hạt vẫn có khả năng xuyên

qua hàng rào thế năng. Hiện tượng xuyên qua hàng rào

thế năng như vậy được gọi là hiệu ứng đường ngầm.

Chúng ta sẽ nghiên cứu trường hợp hàng rào thế

năng dạng đơn giản như hình 8-8:

(21)

Phương trình Schrodiger đối với các miền như sau:

(22)

Trong miền I có cả sóng tới và sóng phản xạ. Nghiệm ψ 1 trong miền này có dạng:

(23)

Số hạng thứ nhất của vế phải biểu diễn sóng tới truyền từ trái sang phải. Số hạng thứ hai

của vế phải biểu diễn sóng phản xạ trên mặt hàng rào thế năng, truyền ngược trở lại từ phải

sang trái.

Nghiệm tổng quát trong miền II là:

Nghiệm tổng quát trong miền III có dạng:

(24)

(25)


lOMoARcPSD|25907903

Số hạng thứ nhất của phương trình (25) biểu diễn sóng xuyên qua hàng rào và truyền từ trái

sang phải. Số hạng thứ hai biểu diễn sóng phản xạ từ vô cực về, nhưng sóng này không có,

nên ta có thể cho B 3 = 0.

Hệ số truyền qua hàng rào D được định nghĩa là tỷ số giữa số hạt xuyên qua được hàng rào

và số hạt đi tới hàng rào. Và số hạt lại tỷ lệ với bình phương của biên độ sóng. Biên độ sóng

tới hàng rào là A1 và biên độ sóng xuyên qua hàng rào là A 3 , do đó ta có:

D

| A 3 | 2 (26).

| A 1 | 2

H ệ sốế phản x ạ R được định nghĩa là t ỷ sốế giữa sốế hạt phản x ạ và sốế hạt đi tới hàng rào, do

đó ta có:

R

| B | 2

1

( 27)

| A | 2

1

trong đó B 1 là biên độ sóng phản xạ trên mặt hàng rào. Do điều kiện bảo toàn số hạt, ta phải

có:

| A

3

| 2 |B | 2 | A | 2 , do đó: D + R = 1 (28)

1 1

Để tính được hệ số D và R ta phải tính được các biên độ sóng. Muốn vậy ta dựa vào điều

kiện liên tục của hàm sóng và đạo hàm của nó tại các vị trí biên (x = 0 và x = a). Từ các

điều kiện biên:

1 (0) 2 (0)

'

1 (0) ' 2 (0)

(29)

2 (a) 3 (a)

2 (a) ' 2

(a)

ta rút ra các hệ thức sau:

A 1 B 1 A 2 B 2 (30)

ik 1 (A 1 B 1 ) k 2 (A 2

B 2 ) (31)

A 2 e k a 2 B 2 e k 2a A 3 (32)

k

k

(A e a 2

e k 2a ) ik

BA

(33)

2 2 2 1

3

Từ (32) và (33) ta có thể biểu thị A , B qua A : A 2 1 in A 3e k a

2

2 2 3

2

1

in

B 2

2

A 3e k a

2

(34)

(35)

Trong đó:

n

k 1

E

k

2 U 0 E

Vì |1-in| = |1+in| nên ta suy ra A 2 >>B 2 . Do đó, có thể đặt B 2 =0. Từ (30) và (31) ta rút ra được

A 1 theo A 2 , sau đó sử dụng (34) ta tính được:


lOMoARcPSD|25907903

(36)

Từ đây ta thu được hệ số truyền qua:


lOMoARcPSD|25907903

(37)

vào cỡ 1 (U 0 vào cỡ 10E) thì có thể viết: D

16n 2 2 a

e2k

Nếu

(1 n 2 )

2

hay

2a

D exp 2m(U 0 E) (38)

Từ (38) ta nhận thấy rằng, ngay khi năng lượng E của hạt nhỏ hơn thế năng của rào (E<U 0 )

thì D vẫn luôn luôn khác không, nghĩa là vẫn có hạt xuyên qua rào. Nếu D lớn, hạt xuyên

qua rào nhiều và ngược lại, nhưng luôn khác 0.

Ví dụ hạt electrôn m = 9,1.10 -31 kg. Nếu U 0 - E ~ 1,3.10 -31 J, ta có được sự phụ thuộc của D

vào bề rộng của hàng rào thế năng theo bảng sau:

Hệ số D có giá trị đáng kể khi a nhỏ, nghĩa là hiệu ứng đường ngầm chỉ xảy ra rõ rệt trong

kích thước vi mô. Hiệu ứng đường ngầm là một hiện tượng thể hiện rõ tính chất sóng của vi

hạt, điều này không thể có đối với hạt vĩ mô.

Hiệu ứng đường ngầm cho phép ta giải thích nhiều hiện tượng gặp trong tự nhiên. Ví

dụ hiện tượng phát electrôn lạnh, hiệu ứng phân rã hạt α...

Hiện tượng phát electrôn lạnh: electrôn muốn thoát ra khỏi kim loại cần có đủ năng lượng

thắng công cản, vượt qua hàng rào thế năng U o , như vậy ta cần phải nung nóng kim loại. Tuy

nhiên, vì có hiệu ứng đường ngầm, nên ngay ở nhiệt độ thường, dù E < U o , vẫn có khả năng

electrôn thoát ra ngoài kim loại. Hiện tượng này được gọi là hiện tượng phát electrôn lạnh.

Hiện tượng phân rã α cũng được giải thích tương tự. Hạt nhân nguyên tử gồm có các

hạt prôtôn (p) và nơtrôn (n). Trong hạt nhân các hạt p và n tương tác với nhau bằng lực hạt

nhân, cho nên có thể xem như chúng nằm trong giếng thế năng. Hạt α gồm hai hạt p và hai

hạt n, mặc dù năng lượng của hạt α nhỏ hơn độ cao rào thế nhưng do hiệu ứng đường ngầm,

hạt p và n của hạt α vẫn có thể bay ra khỏi hạt nhân, hiện tượng này gọi là hiện tượng phân

rã α.

VI. BÀI TẬP

1. Bài toán giếng thế một chiều

Xét 1 vi hạt chuyển động trong cùng

không gian 1 chiều có rộng a, thế năng

bằng 0 hạt chuyển động tự do.

Hạt không thoát ra thể năng bên ngoài

là

Năng lượng của vi hạt: E n

n 2 .h 2

2

J

V=


lOMoARcPSD|25907903

8ma

n: số lượng tử chính

m: khối lượng vi hạt (kg)


lOMoARcPSD|25907903

a: chiều rộng (m)

Bài 1: 1e chuyển động trong giếng thế 1 chiều bị kích thích bằng ánh sáng có bước sóng

1,374.10 -5 m để chuyển từ mức cơ bản lên mức cao hơn, xác định mức năng lượng cao hơn

mà electron cần chuyển tới. Biết rộng giếng thế là 10nm.

Hướng dẫn:

Ánh sáng để kích thích electron theo yêu cầu của đề bài có năng lượng

h

c

3.10 8 1,

6, 626.10 34 .

1,374.10 5

447.10 20

J

Năng lượng ánh sáng nên để kích thích electron từ mức n = 1 lên mức n’ > n

'216,626.10 34 2

8.9,1.10 31 .L 2

1, 447.1020n ' 2 16,

626.10 34 2

8.9,1.10 31 .10.10 19 2

n ' 5

Bài 2: Xác định sự biến thiên giữa 2 mức năng lượng n =2 và n = 1 theo J; kJ/mol; eV;

cm -1 cho 1e chuyển động trong giếng thế 1 chiều rộng 1nm.

Hướng dẫn

Biến thiên năng lượng của 2 mức n = 2 và n = 1

6,

626.10

34 2 2212

21 8.9,1.10 31 . 1.10 19

2

1, 809.10 19 J

Năgượ

gcho1moctro1,809.10

19 .6,02.10 23 .10 3 108,915kJ

Năng lượng tính theo cm -

1 :

h.c.10 2 1,809.10 19

6, 626.10 34 .3.10 8 .10 2 9100, 51( cm 1 )

0

Bài 3: Xét phân tử decapentaen C 10 H 12 . Cho biết d C C 1,

4

tổng năng lượng theo kJ/mol, theo eV; theo cm -1 của toàn bộ

sóng của ánh sáng cần để kích thích 1 electron từ HOMO lên

màu hay không?

Hướng dẫn

decapentaen : CH 2 CH CH CH CH CH CH CH

CH CH 2

Hệ nối đôi liên hợp trong bài có thể được coi như một hệ giếng thế có

các vi hạt chuyển động tự do

A . Hệ ở trạng thái cơ bản. Tính

e- trong hệ. Cho biết bước

LUMO, cho biết phân tử có

C

h

i

0


lOMoARcPSD|25907903

ều dài giếng thế a = 10 d C C 141, 4.10 9 m

Năng lượng của mức thứ nhất (n = 1)

LUMO (n=6)

HOMO (n=5)


lOMoARcPSD|25907903

2 2

6, 626.1034 2

1 .h 3, 077.10 20 J

1 8m e .a 2 8.9,1.10 31 . 1, 04.10 19

2

Năng lượng của mức thứ hai (n =

2):

2 2 .h 2

4

8m .a 2

2 1

e

Năng lượng của mức thứ ba (n = 3): 32 .h 2 9

8 m .a 2

3 1

e

Năng lượng của mức thứ tư (n = 4): 4 2 .h 2

8 m .a 2

16

4 1

e

Năng lượng của mức thứ năm (n =

5): 5 2 .h 2 25

5 8m .a 2

1

e

(E) Tổng năng lượng của electron trong hệ :

Giản đồ năng lượng orbital

E T oång 2E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 110 E 1 3, 384.10 18 J

18

Tính theo kJ/mol : E Toång 3,348.10 .6, 02.10 23 2038,589 ( kJ / mol)

lượng:

E

oå

Tính theo cm 1 3,348.10 18

:

170238cm 1

6, 02.10 34 .3.10 8 .10 2

T ng

Bước sóng để kích thích electron từ mức HOMO (n=5) lên mức LUMO (n=6) có năng

6 2 6252.6,

626.10 342

3,385.10

19

52.h2

HOMOLUMO 8m e .L 2 8.9,1.10 31 . 1, 04.10 19

Bài 4: 1 electron chuyển động trong hộp thế 1 chiều cần bước sóng có độ dài 8080nm để

kích thích từ mức n = 2 lên mức n = 3. Tính chiều dài hộp thế.

Hướng dẫn

Năng lượng của ánh sáng kích thích electron từ mức n = 2 lên mức n = 3

h c 3 2 2 2

8m e .a 2

. h 2

6, 626.10 34 .3.10 8 3

2 2

2

8080.10 19 8.9,1.10 31 .a 2

a 3,5.10 9 m

2

.6, 626.10

J

34

2

2. Ứng dụng của giếng thế 1 chiều:

+ Mô hình giếng thế được xây dựng để giải gần đúng bài toán năng lượng của hệ liên hợp

cacbon mạch thẳng.

+ Giản đồ năng lượng MO:

LUMO

HOM

O

LUMO: MO không bị chiếm có NL thấp nhất

HOMO: MO bị chiếm có NL cao nhất


lOMoARcPSD|25907903

+ Quy tắc:

- Có bao nhiêu AO thì có bấy nhiêu MO tương ứng tạo ra.

Ví dụ: etylen 2AO2MO

- Quy tắc màu bù:

. Nếu hấp thụ 1 màu, màu của vật sẽ là màu đối đỉnh

của nó.

. Nếu hấp thụ 1 dải màu , màu của vật là màu trung

bình của các màu còn lại

Bài 5: Cho 2 hệ etylen và trans-1,3,5-hexatrien. Chiều dài 2

phân tử lần lượt là 289pm và 867pm

a. Sử dụng mô hình hạt trong hộp thế 1 chiều để xác định :

- Hai mức năng lượng đầu tiên của các e- tương ứng.

- Bốn mức năng lượng đầu tiên của e- trong 1,3,5-hexatrien.

b. Với mỗi cấu tử trên, hãy xây dựng giản đồ năng lượng và điền các electron - tương ứng

c. Tính bước sóng ánh sáng để kích thích 1e- từ HOMO lên LUMO đối với mỗi cấu tử.

J

Hướng dẫn

n 2 .h 2

a. Sử dụng CT: E n 2

8ma

b. Giản đồ năng lượng MO

E

E

LUMO (n=3)

HOMO (n=2)

LUMO (n=4)

HOMO (n=3)

etylen

Trans – hexa-1,3,5-trien

c. Năng lượng ánh sáng để kích thích 1e từ HOMO lên LUMO với:

*

etylen:

h232 2

2

6, 626.10 34 2 32

22

8m e .a 2 8.9,1.10 31 .298.10 12 2

Bước sóng ánh sáng:

hc 6, 626.1034 .3.10 8 5,85.10 8

m

* trans-hexa-1,3,5-trien:

h24 2

32

8m e .a 2

3,395.10 18

3,

395.10 18

J

6,

626.10 34 2 4232

8.9,1.10 31 .867.10 12

5,

616.10 19

J


lOMoARcPSD|25907903


lOMoARcPSD|25907903

Bước sóng ánh sáng: hc 6, 626.10 34 .3.10 8

3, 539.10 7 m 5,616.10 19

Bài 6. Xét phân tử - caroten:

a = 1850pm.Tìm màu của - caroten.

Hướng dẫn

Electron chuyển động trong hệ nối đôi liên hợp của - caroten có thể coi là vi hạt chuyển

động trong hộp thế 1 chiều.

Tổng số MO - trong phân tử: 22 MO

Giản đồ năng lượng :

Phân tử - caroten sẽ hấp thụ ánh sáng có bước sóng phù hợp để kích

thích electron nhảy từ mức HOMO ( n =11) đến mức LUMO (n=12)

Năng lượng của photon ánh sáng :

6 2 5 12 2112.6,

2.h2 626.10 34 2

4, 053.10 19 J E

HOMOLUMO

8m e .L 2 2

8.9,1.10 31 . 1850.10 12

Bước sóng ánh sáng:

c

h

6,626.10 34 .

3.10 8 4, 905.10 m

4,053.10 19

- caroten sẽ hấp thụ ánh sáng màu lam có màu vàng.

Bài 7:

LUMO

(n=12)

HOMO

(n=11)

a. Xét 1(mg) natri, giả sử các nguyên tử này tạo thành a mạch 1 chiều. Hãy tính hiệu năng

lượng giữa mức HOMO và LUMO mức n = 1. Biết rằng L = a 0 (n-1) với a 0 = 0,36nm, n =

số nguyên tử natri.

b. Giả sử nhiệt năng ở nhiệt độ phòng là 25 meV. Có bao nhiêu nguyên tử natri thỏa mãn

điều kiện hiệu năng lượng giữa các mức HOMO và LUMO nhỏ hơn nhiệt năng?

Hướng dẫn

a. electron chuyển động trong mạch 1 chiều tạo bởi các nguyên tử natri có thể coi là vi hạt

chuyển động trong hộp thế 1 chiều có chiều dài L = a 0 (n-1)

Số nguyên tử natri trong 1mg : N Na m Na .NA 1.10 3 .6, 02.10 23 2, 617.10 19

23 23


lOMoARcPSD|25907903

Mức năng lượng HOMO trong trường hợp n chẵn ( n

N Na

lượng LUMO trong trường hợp n lẻ ( n 1 )

HOMO

2

N

Na

HOMO

2

) coi như bằng mức năng

Hiệu năng lượng giữa mức HOMO và mức n =1:

N Na

2

2

1.h

2 2 2

2

n HOMO 1.h

8m e .L 2 8m . a N 1 2

e 0 Na

2, 617.10 19 2 .6,

626.10 34 2

1

2 1,163.1

. 0,

31 9 19 2

8.9,1.10 36.10 2, 617.10 1

b. Đặt N là số nguyên tử Na tạo thành mạch dài thỏa mãn hiệu năng lượng giữa hai mức

HUMO và LUMO nhỏ hơn nhiệt năng ở nhiệt độ phòng là 25meV (4,005.10 -21 (J))

Độ dài mạch L = a 0 (n-1).

* Xét trường hợp N chẵn:

Mức năng lượng HOMO của hệ là mức N và LUMO là N +1

2 2

0

19

( J )

HOMOLUMO

4, 005.10 21

N120

N 2 N 2

2

1 .h

2 2

8.9,1.10 31 .

* Xét trường hợp N lẻ:

8m .L 2

e

N

1 6, 626.10 34

0,36.10 9

N1

Mức năng lượng HOMO của hệ là mức N1

2

2

và LUMO là N

1

1


lOMoARcPSD|25907903

2 2

N1 2 N1 2

2

1 .h N26, 626.10 34 2 2

2

4, 005.10 21

HOMOLUMO 8m e .L 2 8.9,1.10 31 . 0,36.10 9 N1

N121

2


lOMoARcPSD|25907903

Bài 8: Dựa vào kết quả của biêu thức năng lượng tính được từ mô hình hộp thế một chiều,

hãy xác định giá trị năng lượng của 8 electron được giải toả đều trên toàn khung phân tử

0

octađien, biết khoảng cách trung bình giữa các nguyên tử cacbon là 1,4 A và 8 electron

chiếm 4 mức năng lượng ở trạng thái cơ bản.

Cho h = 6,62.10 -34 Js ; m 2 = 9,1.10 -3 1 kg.

Hướng dẫn

Khung phân tử octadien được viết như sau:

C=C-C=C-C=C-C=C

Các e- được giải toả trên toàn khung

0

L = (N + 1).1,4 A là chiều dài hộp thế.

N – số nguyên tử C trong mạch.

Áp dụng cống thức tnh năng lượng cho hộp thếế một chiếằu:

E n n 2 h 2

2

J

8mL

Thay các giá trị tương ứng vào biểu thức ta có:

E

(6,62.10 34 ) 2 4,80.10 20 ( J )

8.9,1.10 31 .(11, 2.10 10 ) 2

n

Do trên mỗi một mức n ăng lượng ở trạng thái cơ bản có hai electron nên năng lượng của

8 electron trong phân tử octatetraen là:

E 22 2 23 2 h 2

h 2

(21 2 24 2 )

60

n

8mL 2 8mL 2

60.4,8.10 20 J 288.10 2 J 2.88.10 22 kJ1369, 6 kJ / mol

Bài 9: Phân tử trong hộp thế: chất nhuộm xianin và polien

Trong cơ học lượng tử, cấu tử trong mô hình hộp thế một chiều mô tả một cấu tử di

chuyển giữa hai bức tường không thể đâm xuyên qua được có khoảng cách L. Các năng lượng

được phép cho cấu tử trong hộp thế một chiều là

trong đó: h là hằng số Planck, m là khối lượng của cấu tử, và L là chiều dài của hộp thế. Phổ

hấp thụ electron của các phân tử liên hợp phẳng có thể mô phỏng bằng mô hình cấu tử một

chiều trong mô hình hộp thế. Các electron không định vị π được coi như các electron tự do và

có thể phân bố trong các mức năng lượng được phép theo nguyên lí loại trừ Pauli. Nếu phân tử

có chứa các electron π không định vị N, thì các mức năng lượng từ n = 1 tới n = N/2


lOMoARcPSD|25907903

bị chiếm ở trạng thái cơ bản. Hình vẽ dưới đây chỉ ra các mức năng lượng cho một phân tử

liên hợp với N = 8.

Các mức năng lượng cho một hệ có 8 electron tự do, N = 8

Mức chuyển electron thấp nhất của hệ là mức chuyển giữa một electron ở mức n = 4

(N/2) tới mức n = 5 (N/2 + 1). Đối với sự chuyển dịch này, gây ra bởi sự hấp thụ ánh sáng,

với bước sóng λ, ta có:

Xianin, pinaxianol và đicacboxianin được chỉ ra dưới đây, là các phân tử chất nhuộm

có mạch liên hợp giữa hai đầu.

Xianin

Pinaxianol

Đicacboxianin

a) Hãy vẽ các dạng công thức cộng hưởng của ba phân tử này.


lOMoARcPSD|25907903

b) Các electron không định vị có thể di chuyển tự do dọc theo mạch trung tâm của phân tử

này, giữa hai đầu nguyên tử nitơ, nhưng không vượt quá một liên kết bên ngoài nguyên tử

nitơ. Hạt trong hộp thế một chiều có thể áp dụng để tính các mức năng lượng lượng tử hoá

của các electron không định vị. Chiều dài hộp thế có thể được tính bằng khoảng cách giữa

hai đầu nguyên tử nitơ, được đo dọc chiều dài cacbon-cacbon, cộng thêm chiều dài một liên

kết ở một trong hai đầu nitơ. Hãy xác định số N của các electron không định vị trong mỗi

phân tử chất nhuộm.

c) Thực nghiệm cho biết, dải hấp thụ electron cực đại của các phân tử này, λ max , ghi được

tại 525, 605 và 705 nm cho xianin, piaxianol và đicacboxianin, tương ứng. Tính ΔE cho

xianin, pinaxianol và đicacboxianin.

d) Dự đoán chiều dài mạch mà các electron có thể di chuyển tự do trong các phân tử này.

e) Khi các electron liên hợp π được di chuyển tự do dọc theo bộ khung cacbon của phân tử

polien, nhưng không được phép rời khỏi phân tử, chúng có thể được xem như là các cấu tử

trong một hộp bị giới hạn bởi bộ khung cacbon của polien mạch thẳng. Chiều dài một liên kết

cacbon-cacbon trung bình trong một mạch hiđrocacbon có các liên kết đơn và đôi luân phiên

xen kẽ có thể xấp xỉ 140 pm. Chiều dài của mạch cacbon, chiều dài của hộp thế, có thể được

ước lượng L = 2jx140 pm, tại đó, j là số liên kết đôi trong mạch polien. Xác định số N của các

electron không định vị, và chiều dài hộp thế L cho 1,3-butađien và 1,3,5-hexatrien.

f) Ước lượng tần số và bước sóng của sự chuyển dịch electron thấp nhất đối với 1,3-butađien

và 1,3,5-hexatrien.

Hướng dẫn

a.


lOMoARcPSD|25907903

b. N C là số nguyên tử C đóng góp với 1 electron, N N + là số nguyên tử N

đóng góp với 1 electron và N N là số nguyên tử N đóng góp với 2 electron.

N = 1 x NC + 1 x NN+ + 2 x NN

Cyanine N = 1 x 3 + 1 + 2 =6

Pinacyanol N = 1 x 5 + 1 + 2 =8

Dicarbocyanine N = 1 x 7 + 1 + 2 =10

c.

d.


lOMoARcPSD|25907903

e.

1,3-butadiene: N = 4 x 1 = 4, L = 4 x 140 = 560 pm

1,3,5-hexatriene: N = 6 x 1 = 6, L = 6 x 139 = 840 pm

d.

Bài 10 : Từ bài toán electron chuyển động tự do trong giếng thế một chiều đã cho phép

người ta xác định được năng lượng theo biểu thức sau đây:

E n h 2

n 2 n: 1, 2, 3,…

2

8mL

ở đây h là hằng số Planck, m là khối lượng electron, L là độ dài giếng thế

1. Các electron trong mạch liên hợp thẳng của phân tử trung hòa có thể được coi như

chuyển động trong giếng thế một chiều. Nếu như các electron này được giải tỏa đều trên

toàn khung với N electron và được sắp xếp tuân thủ các nguyên lý và quy tắc của cơ học

lượng tử. Hãy

1.1. Rút ra công thức tính tổng quát để xác định ΔE LUMO – HOMO khi 1 electron bị kích

thích chuyển từ mức HOMO lên mức LUMO.


lOMoARcPSD|25907903

1.2. Suy ra bước sóng phổ hấp thụ.

2. Áp dụng mô hình electron chuyển động trong giếng thế một chiều đối với 3 phân tử

thuốc nhuộm có công thức cấu tạo cho dưới đây. Giả sử các electron được giải tỏa trên

khung phân tử được giới hạn bởi 2 nhân phenyl và độ dài giếng thế được tính theo biểu thức

gần đúng L = (2k + 1)0,140 nm, ở đây k là số liên kết đôi. Từ những giả thiết này, hãy

2.1. Tính độ dài giếng thế L cho từng thuốc nhuộm.

2.2. Xác định độ dài bước sóng của phổ hấp thụ cho 3 phân tử thuốc nhuộm khảo sát

a) 1,4-diphenyl-1,3-butadiene

(ký hiệu là BD)

b) 1,6-diphenyl-1,3,5-hexatriene

(ký hiệu là HT)

c)1,8-diphenyl-1,3,5,7-octatetraene

(ký hiệu là OT)

3. So sánh kết quả thu được ở câu 2.1 khi độ dài giếng thế “thực” L được xác định với giả thiết

các electron cũng hoàn toàn được giải tỏa trên khung của mạch liên kết liên hợp thẳng,

được nối như một đường thẳng nằm giữa 2 vòng phenyl (quan sát hình vẽ). Góc liên kết C –

C – C là 120 0 và khoảng cách trung bình của liên kết cacbon – cacbon là 0,140 nm. Căn cứ

vào các dữ liệu đã cho, hãy xác định độ dài giếng thế “thực” L.

4. Từ những giá trị độ dài bước sóng thu được bằng thực nghiệm:

Hợp chất BD HT OT

(Å) 328.5 350.9 586.1

4.1. Xác định lại chiều rộng của mạch liên kết liên hợp L của các hợp chất thuốc nhuộm

khảo sát.

4.2. Dựa vào các kết quả thu được về L theo 3 cách khác nhau, hãy lựa chọn phương pháp

phù hợp với thực nhiệm nhất.

Hướng dấẫn


lOMoARcPSD|25907903

Công thức tổng quát:

E

LUMOHOMO

E

h 2

N 2 N 2 h 2

N1

1

2 2

8mL 2 2 8mL

LUMOHOMO h 2 N1

2 (1)

1.1.1. 8mL

hc h 2 8mc L 2

N1

3

(2) ta suy ra: N1

1.2 Theo

Planck:E hc 8mL2 h

ΔE

E

5 LUMO

E 4

HOMO

E 3

E 2

E 1

2.

2.1. Cho BD:L = (22 +1)0,140 nm = 50,140.10 -9 m = 7.10 -10 m

Cho HT:L = (23 +1)0,140 nm = 70,140.10 -9 m = 9,8.10 -10 m

Cho OT:L = (24 +1)0,140 nm = 90,140.10 -9 m = 12,6.10 -10 m

2.2 . Sử dụng biểu thức tổng quát (3), ta xác định cho từng thuốc nhuộm như sau:

8mc L 2 8

89,11.10 31 3.10

L 2 L 2

h

N 1 6, 626.1034 N 1

3,30.10 12

+ BD:

L2 (7.10 10 ) 2

3,30.10 12

N

1

3,30.10 12

+ HT:

3,30.10 12 L 2 (9,8.10 10 ) 2

N 1

3,30.10 12

61

3, 234.10 7 m 323, 4nm

4, 528.10 7 m 452, 7nm


lOMoARcPSD|25907903

+ OT:

L 2 (12,6.10 10 ) 2

3,30.10 12

N 1

3,30.10 12

81

5,82.10 7 m 582, 0nm

3.Theo giả thiết của đề bài, ta có thể xác định chiều dài giếng thế bằng cách cắt một đoạn

C – C –C nh ư sau:


lOMoARcPSD|25907903

C

l C-C 60 0

C

d

2

C

d

2

= l C-C sin60 = 0,140.10 -9 sin 60 = 1,21.10 -10 m.

Chiều dài “thực” của 3 thuốc nhuộm là:

Ví dụ chiều dài của mạch BD gồm 5 đoạn d nên ta sẽ có:

2

+ BD:L = 1,21.10 -10 m 5 = 6,05.10 -10 m

Một cách hoàn toàn tương tự, đối với mạch HT có 7 đoạn

+ HT:L = 1,21.10 -10 m 7 = 8,47.10 -10 m

Đối với mạch OT gồm 9 đoạn:

+ OT:L = 1,21.10 -10 m 9 = 10,89.10 -10 m

4.4.1Xuất phát từ biểu thức (3)

8mc

h

L2 N1

ta cũng có thể suy ra L

L

h

8mc

N

1

+ Đối với hợp chất BD:

L h N1 328,5.10 9 6, 626.10 34 5 7, 06.10 10 7, 06 A

8mc 89,11.10 31 3.10 8

+ Đối với hợp chất HT:

0

L h N1 350,95.10 9 6, 626.10 34 7

8, 63.10 10 8, 63A

0

8mc 89,11.10 31 3.10 8

+ Đối với hợp chất OT:

L h N1 586,1.10 9 6, 626.10 34 9 12, 64.10 10 12, 64 A

0

8mc 89,11.10 31 3.10 8

4.2.Tổng hợp các phương pháp tính chiều rộng của mạch liên kết liên hợp L

cho các hợp chất thuốc nhuộm khảo sát.


lOMoARcPSD|25907903

Hợp L=(2k+1)0,140 L theo mạch L tính từ L

chất nm (1) gấp khúc (2) thực nghiệm(3) thực nghiệm

BD 7,0 6,05 7,06 7,66

HT 9,8 8,47 8,63 8,64

OT 12,6 10,89 12,64

Phương pháp tính (3) là phù hợp với thực nghiệm nhất.


chuyen-de-gieng-the-on-thi-hsg-hoa

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?