t b a b a

Table 5.2: Single bit-flip and phase-flip error operators for the 5-qubit code and generators
that anti-commute with.
Error operator Generator(s) anti-commute with the error
E1 = σx ⊗ σI ⊗ σI ⊗ σI ⊗ σI
E2 = σI ⊗ σx ⊗ σI ⊗ σI ⊗ σI
M4 = σz ⊗ σx ⊗ σI ⊗ σx ⊗ σz
M1 = σx ⊗ σz ⊗ σz ⊗ σx ⊗ σI
E3 = σI ⊗ σI ⊗ σx ⊗ σI ⊗ σI M1 = σx ⊗ σz ⊗ σz ⊗ σx ⊗ σI, M2 = σI ⊗ σx ⊗ σz ⊗ σz ⊗ σx
E4 = σI ⊗ σI ⊗ σI ⊗ σx ⊗ σI M2 = σI ⊗ σx ⊗ σz ⊗ σz ⊗ σx, M3 = σx ⊗ σI ⊗ σx ⊗ σz ⊗ σz
E5 = σI ⊗ σI ⊗ σI ⊗ σI ⊗ σx M3 = σx ⊗ σI ⊗ σx ⊗ σz ⊗ σz, M4 = σz ⊗ σx ⊗ σI ⊗ σx ⊗ σz
E6 = σz ⊗ σI ⊗ σI ⊗ σI ⊗ σI M1 = σx ⊗ σz ⊗ σz ⊗ σx ⊗ σI, M3 = σx ⊗ σI ⊗ σx ⊗ σz ⊗ σz
E7 = σI ⊗ σz ⊗ σI ⊗ σI ⊗ σI M2 = σI ⊗ σx ⊗ σz ⊗ σz ⊗ σx, M4 = σz ⊗ σx ⊗ σI ⊗ σx ⊗ σz
E8 = σI ⊗ σI ⊗ σz ⊗ σI ⊗ σI
M3 = σx ⊗ σI ⊗ σx ⊗ σz ⊗ σz
E9 = σI ⊗ σI ⊗ σI ⊗ σz ⊗ σI M1 = σx ⊗ σz ⊗ σz ⊗ σx ⊗ σI, M4 = σz ⊗ σx ⊗ σI ⊗ σx ⊗ σz
E10 = σI ⊗ σI ⊗ σI ⊗ σI ⊗ σz
M2 = σI ⊗ σx ⊗ σz ⊗ σz ⊗ σx
Note also that M is an Abelian subgroup, thus each generator commutes with all the others.
Indeed we have, for example:
M1M3 = (σx ⊗ σz ⊗ σz ⊗ σx ⊗ σI)(σx ⊗ σI ⊗ σx ⊗ σz ⊗ σz) = σI ⊗ σz ⊗ (σzσx) ⊗ (σxσz) ⊗ σz
M3M1 = (σx ⊗ σI ⊗ σx ⊗ σz ⊗ σz)(σx ⊗ σz ⊗ σz ⊗ σx ⊗ σI) = σI ⊗ σz ⊗ (σxσz) ⊗ (σzσx) ⊗ σz.
The Pauli operators anti-commute, σxσz = −σzσx, thus and M1M3 = M3M1.
Table 5.2 lists bit-flip and phase-flip error operators and the generator(s) which anti-
commute with each one. For example, E1 anti-commutes with M4, thus a bit-flip on the
first qubit can be detected; E6 anti-commutes with M1 and M3, thus a phase-flip of the first
qubit can also be detected. Since each of these ten bit-flip or phase-flip errors anti-commute
with distinct subsets of S we can distinguish individual errors and then correct them. An
79