El silogismo.- Tablas de verdad

Lección emérita sobre el silogismo * Miguel Cobaleda 

Capítulo XIII: El silogismo X.- Evaluación actual de los modos, V.- 

Los 24 modos en las tablas de verdad 

299


300

F¡nÉ"nÉl¡* 

lÉlrlÉrltrr 

HHHHHH 

á ?, i' é>' />' />, 

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En la tabla de la página anterior están los 24 modos del silogismo presentados en la notación de 

CH, traducida luego, mediante las equivalencias que ya conocemos, a fórmulas que sólo tienen 

conjunciones, dis¡,unciones y negaciones, en tanto que operadores más intuitivos que la 

implicación y, por ello, menos sospechosos. 

Como remate de la evaluación sobre los mismos, luego del formato en XX, del formato en CH 

y del análisis mediante TIG, presento las tablas de valores de todos los 24 para comprobar, una 

vez máq que los 9 proscritos -a diferencia de los 15 indiscutibles- no son tautologías, no son 

leyes lógicas, son formulas contingentes que dependen, para su verdad, de según qué 

combinaciones de valores de las variables. 

En cada tabla pueden verse, de izquierda a derecha, 16 columnas de valores: 

. Con fondo amarillo lmatriz de la tabla].- 

. Columna 1.- Valores de la primera variable -según el orden en que éstas están en 

la fórmula-. 

. Columna 2.- Valores de la segunda variable -según el orden en que éstas están en 

la fórmula-. 

. Columna 3.- Valores de la tercera variable -según el orden en que éstas están en 

la fórmula-. 

. Columna 4.- Valores de la negación de laprimeravariable -según el orden en que 

éstas están en la fórmula-. 

. Columna 5.- Valores de la negación de la segunda variable -según el orden en que 

éstas están en la fórmula-. 

. Columna 6.- Valores de la negación de la tercera variable -según el orden en que 

éstas están en la formula- . 

. Con fondo blanco, primera formulación, con el operador implicación: 

. Columna 7.- Valores del primer paréntesis del corchete. 

. Columna 8.- Valores del segundo paréntesis del corchete. 

. Columna 9.- Valores generales del corchete entero. 

. Columna 10.- Valores del último paréntesis (el 3o, ya fuera del corchete). 

. Columna 1 1.- Valores finales de la fórmula completa. 

. Con fondo blanco, segunda formulación, sólo conjunciones, dislunciones y negaciones. 

. Columna 12.- Valores del primer paréntesis del corchete. 

. Columna 13.- Valores del segundo paréntesis del corchete. 

. Columna 14.- Valores generales del corchete entero. 

. ColuÍma 15.- Valores del último paréntesis (el 3o, ya fuera del corchete). 

. Columna 16.- Valores finales de la formula completa. 

Los valores de la columna 1 1 y de la 16 coinciden, claro está, porque se trata de la misma formula 

traducida, mediante equivalencias, a otros operadores distintos de la implicación. 

302


1" FIGURA 

BARBARA 

SP 

AAA 

M-P 

S*M 

S-P 

t(\zt*P)A(S-M)l -(S*P) 

t(MA-P)v(sA -M)lv(-svP) 

303 

Todos los hombres son mortales 

Todos los griegos son hombres 

Todos los griegos son moftales

É{ 

I 

t 

r.iq 

t 

.¿l 

I 

qrG 

;É I 

T 

a 

F- 

z, 

JJ', 

*" 

4.J 

Jtt 

{J 


1" FIGURA 

CELARENT 

SP 

E,AE 

M *-P 

S-M 

S *-P 

t(M - -P) A (S =- M)l - (S - -P) 

t(M A P) v (s A -M)l v (-s v -P) 

304 

Ningún hombre es pez 


Ningún griego es pez

Lección emérita sobre el sllogismo * Miguel Cobaleda 

1" FIGURA 

DARII 

SP 

AII 

M-P 

SAM 

SAP 

t(M-P)A(sAM)l -(sAP) 

t(M A -P) v (-s v -M)l v (s A P) 

305 

Todos los hombres son mofiales 

Algunos griegos son hombres 

Algunos griegos son mortales


1" FIGURA 

FERIO 

SP 

EIO 

M --P 

SAM 

SA-P 

tu-_P)A(sAM)l-(sA_p) 

t(M A P) v (-s v -M)l v (s A -P) 

306 



Algunos griegos no son peces

* 

E 

"d ffi 

É, 

{ 

m 


1" FIGTIRA 

BARBARI * 

SP 

AAI 

M-P 

S*M 

SAP 

t(M=-P)A(S*M)l -(SAP) 

t(MA-P)v(s^-M)l v(s^P) 

307 

Todos los hombres son moftales 


Algunos griegos son moftales


1'FIGL}RA 

CELARONT * 

SP 

EAO 

M *-P 

S-M 

SA-P 

t(M - -P) A (S - M)l -. (S A -P) 

t(M^P)v(sA-M)lv(sA-P) 

308 



Algunos griegos no son peces


2" FIGURA 

CESARE 

PP 

EAE 

P +-M 

S*M 

S --P 

[(P - -M) A (S - M)] - (S - -P) 

[(P A M) v (s A -M)] v (-s v -P) 

309 


Todos los tiburones son peces 

Ningún tiburón es hombre

C/i' 

r¿l 

&. 

P rf, 

IT¡ 

re, 

'4q 

: 

Lección emérita sobre el silogismo. Miguel Cobaleda 

2" FIGURA 

CAMESTRES 

PP 

AEE 

P*M 

$+-M 

S *-P 

[(P-M)A(S - -M)l - (S - -P) 

[(PA-M)v(sA M)lv(-sv-P) 

310 



Ningún hombre es tiburón


2" FIGURA 

FESTINO 

PP 

EIO 

P +-M 

SAM 

SA-P 

[(P - -M) A (S A M)] =* (S A -P) 

[(P A M) v (-s v -M)] v (s A -P) 

3ll 


Algunos tiburones son peces 

Algunos tiburones no son hombres


[(P-M)A(SA-M)] =* (S A -P) 

[(P A -M) v (-s v M)] v (s 

312 

2" FIGURA 

BAROCO 

PP 

AOO 

P-M 

SA-M 

SA-P 

^ -P) 


Algunos hombres no son peces 

Algunos hombres no son tiburones


2- FIGURA 

CESARO * 

PP 

EAO 

P ==+ -M 

S-M 

SA-P 

[(P - -M) A (S ==* M)l =* (S A -P) 

leAM)v(s^ -M)l v(sA-P) 

3t3 



Algunos tiburones no son hombres


2" FIGURA 

CAMESTROP ?K 

PP 

AEO 

P*M 

$+-M 

SA-P 

[(P - M) A (S - -M)] =* (S A -P) 

[(P ^ -M) v (s 

314 

^ M)] v (s A -P) 



Algunos hombres no son tiburones

É+tc:?'ljFLlF.+'F[€l [,*: 

Lección emérita sobre el silogismo " Miguel Cobaleda 

3" FIGURA 

DARAPTI * 

[Ver Apéndice l" al final de este capÍtulo] 

SS 

AAI 

M-P 

M*S 

SAP 

t1¡4-P)A(M=*S)l -(SAp) 

t(M ^ -P) v (M A -s)l v (s A P) 

315 

Todas las abejas son insectos 

Todas las abejas son invedebrados 

Algunos invertebrados son insectos


3" FIGURA 

FELAPTON * 

[Ver Apéndice 1o al final de este capítulol 

SS 

EAO 

M *-P 

M-S 

SA-P 

t(M --P) A (M :' S)l - (S A -P) 

t(M A P) v (M 

3r6 

^ -s)l v (s A -P) 

Ningún león es perro 

Todos los leones son felinos 

Algunos felinos no son perros


3" FIGTIRA 

DISAMIS 

MA 

ffi+ 

SA 

SS 

IAI 

t(MAP)A(M=*S)l -(SAP) 

t(-M v -P) v (M A -s)l v (s A P) 

3t7 

P 

Algunas abejas son insectos 

Todas las abejas son invedebrados 

Algunos invertebrados son insectos 

S 

P


3" FIGURA 

DATISI 

SS 

AII 

M*P 

MAS 

SAP 

lu-P)A(MAS)l -(SAP) 

tu A -P) v (-M v -s)l v (s A P) 

318 

Todas las abejas son insectos 

Algunas abejas son invertebrados 

Algunos invertebrados son insectos

É & 

L¡ "d: 

* 

ffi 


t(M A -P) A (M =* S)l - (S A -P) 

t(-M v P) v (M A -s)l v (s A -P) 

319 

3" FIGURA 

BOCARDO 

SS 

oAo 

MA-P 

M-S 

SA-P 

Algunos leones no son perros 

Todos los leones son felinos 

Algunos felinos no son perros


3'F'IGURA 

FERISON 

SS 

EIO 

M *-P 

MAS 

SA-P 

t(y1 =* -P) A (M A S)l - (S A -p) 

t(M ^ P) v (-M v -s)l v (s 

320 

^ -P) 

Ningún león es perro 

Algunos leones son felinos 

Algunos felinos no son peruos

*¡ 

4,f) 

t 

1J/l 

I 

Á 

á I 

'lr 

&, 

*d :5 

.{ 

úú 


4'FIGURA 

BAMALIP * 

PS 

AAI 

P*M 

M-S 

SAP 

[(P-M)A(M* S)l -(SAP) 

[(P A -M) v (MA-s)l v(sAP) 

321 


Todos los hombres son moftales 

Algunos moftales son griegos


4- FIGURA 

CALEMES 

PS 

AEE 

P-M 

M*-S 

S --P 

[(P-M)A(M - -S)l - (S :* -P) 

[(PA-M)v(MA s)l v(-sv-P) 

322 



Ningún pez es griego

tr 

{,r} 

t 

|- 

€) 

1 

É, 

€n 

* 

=1: 

ñ.i 


4'FIGURA 

DIMATIS 

PS 

IAI 

PAM 

M-S 

SAP 

[(PAM)A(M*S)] -(SAP) 

t(-P v -M) v (M A -s)l v (s 

323 

^ P) 



Algunos mortales son griegos


4'FIGURA 

FESAPO * 

PS 

EAO 

P +-M 

M*S 

SA-P 

[(P * -M) A (M =* S)] :'(S A -P) 

[(P A M) v (M 

324 

^ -s)] v (s 

^ -P) 

Ningún pez es hombre 


Algunos moftales no son peces

: 

cr qt 

tt 

r¿l 

H, 

r& 


4" FIGURA 

FRESISON 

PS 

EIO 

P=+-M 

MAS 

SA-P 

[(P * -M) A (M A S)] - (S A -P) 

[(P A M) v (-M v -s)] v (s A -P) 

32s 

Ningún pez es hombre 

Algunos hombres son modales 

Algunos moftales no son peces


4" FIGURA 

CALEMOP * 

PS 

AEO 

P*M 

M--S 

SA-P 

[(P - M) A (M - -S)] - (S A -P) 

[(P A -M) v (M A s)] v (s A -P) 

326 



Algún pez no es griego

lApéndice 1"1 


De los modos proscritos, hemos visto que Lukasiewicz menciona expresamente los modos 

Darapti y Felapton en el texto de la cita que conesponde a mi nota 113, en las páginas 754-155, 

Apéndice 1" del Capítulo IV. En esas páginas, en esa nota y en ese texto, vimos y aclaré que 

procede a una defensa de la doctrina aristotélica en el sentido de que dicha doctrina es válida 

siempre que sea bien entendida. De serlo mal, entonces podríamos recusarla al tiempo que la ley: 

CAabIba 

que significa, en la notación de Lukasiewicz,laimplicación o enunciado condicionalenque Actb 

es el antecedente e lba es el consecuente, siendo la primera una proposición A, esto es, universal 

afirmativa, en la cual 'a' hace de sujeto y 'b' de predicado; y siendo la segunda una proposición 

I, esto es, pafticular aftrmativa, en la cual 'b' hace de sujeto y 'a' de predicado133. Para 

entendernos con un ejemplo menos astringente: 

Si "todos los hombres son mortales " , entonees "algunos mortales son hombres" 

siendo 'a' hombre,s y 'b' mortales. 

A este respecto debo recordar,\rnavezmás, que aunque nos suena muy verdadera esa inferencia, 

es porque sabemos que hay hombres y sabemos que hay mortales, pero que la lógica matemática 

la rechaza a causa del hecho de que las proposiciones particulares determinan la existencia 

individual mientras que las universales no, de donde puede suceder que estemos sacando la 

existencia apartft de la inexistencia. Lo prueban, además, por otro método, consistente -ya lo 

sabemos, lo he usado reiteradamente en las tablas de verdad del Capítulo XIII, estoy repitiendo 

lo ya repetido-, consistente, digo, en mostrar que, si no hubiera hombres, la primera pute todos 

los hombres son mortales seríaverdadera porque el antecedente sería falso y una implicación de 

antecedente falso es siempre verdadera; mientras que la segunda parte algunos mortales son 

hombres sería falsa porque basta que un elemento sea falso para que la conjunción lo sea. De 

133 

Lanotación de Lukasiewicztratade ahorrar símbolos al máximo, por ejemplo paréntesis y demás auxiliares, con 1o cual result4 

en vez de más simple, más complicada. Antepone una letra de operación (a las operaciones él las llama "filntores") a los 

argumentos de dicha operación: C cuando se trata de la condicional o implicación, la cual tiene dos argumentos, antecedente 

y consecuente; K cuando se trata de la conjunción, que también tiene dos argumentos; N cuando se trata de la negación, con un 

argumento único. Usa para 1as dos premisas afirmativas las letras tradicionales, laA para las universales, la I para las particulares; 

las negativas las define en relación con ellas, de forma que la universal negativa es NI y 1a particular negativa es NA -recordemos 

el cuadro de oposición de juicios, y que la contradictoria de la A es la O, y la de la I es 1a E-. La letra más próxima a los 

argumentos es 1a operación inmediata, la de menos alcance ; luego la siguiente hasta la más distante la primera- cuyo alcance 

puede ser la fórmula completa. Un ejemplo: sea el silogismo ,"Todos los gríegos son mortales" ,"todos los gríegos son hombres" , 

luego"algunos hombres son mortales", precisamente un ejemplo en DARAPTI; si llamamos 'b' al término medio, ''c' al término 

mayor y 'a' a[ término menor, entonces tenemos la fórmu1a: CKAbcAbaIac. La primera A es la primera premisa universal -con 

b de suieto y c de predicado-, lasegundaAes la segundapremisauniversal con b de sujeto y ade predicado-, laI es la 

conclusión -con a de sujeto y c de predicado-. La K nos indica que tenemos que establecer la conjunción entre los dos grupos 

primeros. es decir, entre las dos premisas, que son los dos grupos más próximos a la K; y la C nos indica que se trata de una 

implicación cuyo antecedente es la K y el consecuente el grupo de la I. En cuanto a 1as letras, 'b' es griegos, 'c' mortales y 'a' 

es hombres, claro está. En fin: la conjunción de las premisas implica la conclusión. Un eiemplo en CAMESTRES sería y dejo 

al lector que 1o traduzca-: CKAcbNIabNIac. 

327


forma que la frase completa 'St "ToDos Los H)MBRES soN MoRTA¿¿s", ENTONCES "I¿cuNos 

MIRTALES SoN HoMBRr9", implicación ella también, sería falsa porque el antecedente sería 

verdadero y el consecuente falso, única combinación de valores que no funciona en la 

implicación. 

Por tanto, si la doctrina del Estagirita fuese tal cual la suponen los que no la interpretan bien, 

entonces tendríanrazón al recusar esos modos y cualesquiera otros que, partiendo de lo universal, 

concluyan en 1o particular. 

Pero, como nos recuerda el citado texto, "todo esto es una interpretación descabalada e 

imprecisa de la lógica aristotélica". La defensa consistiría en los puntos siguientes: 

Aristóteles no usa para nada términos singulares ni cuantificadores, sino 

solamente términos universales, con lo cual nunca podría darse la secuencia de 

universal a singular (de inexistencia a existencia). 

Las expresiones contienen variables -Lukasiewicz, según vimos en la cita, pone 

como ejemplo su propia notación Aab, Iab- no constantes y, además, algunas 

expresiones son términos primitivos -si no pueden ser definidos no pueden ser 

recusados, son elementos primarios del sistema-, y las otras se derivan de los 

axiomas. 

Por otra pafte, "incluso estos términos perlenecen sólo a la aplicación del 

sistema, no al sistema mismo", son extra-lógicos, no propiamente lógicos. 

En fin: "La silogística de Aristóteles... existe al margen de otros sistemas 

deductivos, leniendo su propia axiomática y sus propios problemas't"'. Cada 

lógica y cada axiomática tienen, pues, sus propios protocolos...r35. 

Por lo cual Lukasiewicz procede a establecer la axiomática que pueda traducir e interpretar 

debidamente la silogística de Aristóteles. 

*** *** *¡k{< {


polaco lo resumiré 'L'). Como no incluiré aquí la totalidad de la gramática de ese cálculo, no voy 

a seguir un orden sistemático, aunque sí bastante convencional. 

L parte de una teoría elemental, la teoría de la deducción, axiomatizada por Frege y 

simplificada por el propio L. Presento de ella cinco elementos: 

i36 

Tres axiomas: 

Silogismo hipotético : CCpqCCqrCpr 

Si lo traducimos a CH: (P - Q) - [(Q - R)- (P- R)], que es una 

ley lógica, una tautología. 

Ley de Claviusl36: CCNppp 

Si 1o traducimos a CH: ( -P - P) - 

P, que es otra ley lógica. 

. Traducido por equivalencia a otros operadores más directos que 

la implicación, tenemos: (-P A -P) V P. Como a la disyunción le 

basta con un elemento que sea verdadero, o 1o será P o lo será la 

conjunción de -P y -P : -P. 

Ley de Duns Scotot3l CpCNpq 

Si 1o traducimos a CH: P - ( -P - Q), 

que también 1o es. 

Traducido por equivalencia a otros operadores más directos que 

la implicación, tenemos: -P V (P V Q).A la dislunción le basta 

con que un solo elemento de la misma sea verdadero, de modo que 

ya tenemos ahi Ia tautología, pues cuando P sea falso, -P será 

verdadero; cuando -P sea falso, P será verdadero; por lo tanto, da 

lo mismo si Q es falso o es verdadero, la fórmula será verdadera 

de todos modos. 

De esta ley hace L un comentario importante, no por hacerlo de 

pasada menos significativo; "Esta ley contiene el letal veneno 

usualmenle imputado a la contradicción: si dos senlencias 

Christopher Clavizs, matemático, filósofo y astrónomo alemán, nació en Bamberg en 1538. y murió en 1612. Lukasiewicz llama 

a esta ley con su nombre -aunque, al parecer, el primero que la formuló fue Euclides- porque este jesuita alemán la introdujo 

en Occidente en un trabajo sobre Euclides. 

t37 

Juan Duns Scalo, filósofo y teólogo escocés, nació en Duns, Escocia, en 1266 y murió en Kóln, Alemania, en 1308. Fue uno 

de los pensadores más eminentes de la Edad Media. Lukasiewicz llama a esta ley con su nombre porque el primero que la usa 

es él en un comentario sobre la obra aristotélica. 

329


Dos reglas de inferencia: 

contradictorias, como a y Na, fueran ambas verdaderas, 

podríamos derivar de ellas por medio de esta ley la proposición 

arbitraria q, esto es, unaproposición cualquiera"138. Una llamada 

de atención sobre el hecho de que, de 1o falso, pueda salir con 

verdad cualquier cosa. La contradicción es falsedad absoluta, y por 

ello se usa como antecedente para sacar de ella cualquier 

proposición, sea la que sea. Recordemos que casi todo mi libro 

descansa sobre el "soporte" anti-intuitivo de la implicación: que 

de lo falso pueda salir correctamente cualquier cosa, por ejemplo 

1o verdadero. Pocos son los autores que dejan de llamar la 

atención sobre esta ¿anomalía de veneno letal?. 

La regla de sustitución1in.- En una fórmula podemos sustituir cada 

variable por una expresión significativa, siempre la misma para la misma 

variable. 

Lareglade separaciónl40.- Es el mismo modus ponens queyahemos visto 

con anterioridad -y que he usado como "5-" en CH-: 

Si tenemos unaimplicación e, independientemente, el antecedente 

de la misma, podemos liberar el consecuente: 

P-Q 

P 

a 

[(P*Q)AP]-Q 

Añade L algunos elementos de una gramíúicaespecial paralasilogística aristotélica (que 

contiene también algunos de los que acabamos de ver): 

138 

(universal afirmativa) 

(particular afi rmativa). 

JAN LUKASiEWiCZ,LA STI-OCÍSICA OP EruSTÓTELES DESDE EL PI]NTO DE VISTA DE LA LÓGICA FORMAL 

MODERNA, ed. Tecnos, edición y traducción de Josefina Fernández Robles, Madrid 1977, pag. 12. 

139 

Para una presentación formal de la regla de sustitución, y sus dificultades, ver el Apéndice 2o de este Capítulo XIII. 

140 

ol 

cI 

a 

a 

a 

Para una presentación formal del modus ponens, ver el Apéndice 2o de este Capítulo XIII. 

330

. Axiomas: 

. Reglas de inferencia: 

. Tesis auxiliares: 

141 

Lección emérita sobre el silogismo " Miguel Cobaleda 

Aaa,identidad (todos los 'a' son'a') 

Iaa, identidad (algunos'a' son'a') 

CKAbcAabAac (Barbara) 

CKAbcIbaIac (Datisi) 

RE: NI : E (definición de E como negación de I) 

RO:NA * O (definición de O como negación de A) 

Regla de sustitución (Ya la conocemos) 

Regla de separación (Ya la conocemos) 

I.- CpCqptat (Simplificación) 

. p - (q - p) (En CH, ésta y las siguientes) 

II.- CCqrCCpqCpr (Silogismo hipotético) 

. (q-.)-[(p-q)-(p-r)] 

IJI.- CCpCqrCqCpr (Conmutación) 

' [(p-(q-r)]-[q-(p-r)] 

IY.- CpCNpq (Ley de Duns Scoto) 

. p-(-p-q) 

Y.- CCIVppp (Ley de Clavius) 

. (_p*p)-p 

Para una presentación formal de la simplificación, ver e1 Apéndice 2o de este Capítulo XIII 

331

Erelwlos SENCILLoS.- 


. VI.- CCpqCNqNp (Transposición) 

. (p-q)-(-q--p) 

. VII.- CCKpqrCpCqr (Exportación) 

' [(pAq)-tJ*[p-(q-r)] 

. VIII.- CpCCKpqrCqr (Variante de exporlación) 

' 

p-{[(pAq)-r]-(q-r)] 

. IX.- CCspCCKpqrCKsqr (Variante del silog. hipotético) 

. (s-P)- { tfunq)-rl - [(sAq)-r] ] 

o {.- CCKpqrCCsqCKpsr (Variante del silog. hipotético) 

. [(pAq) -.1- { (s-q) - [(pA s) -r]] 

. XI.- CCrsCCKpqrCKqps (Variante del silog. hipotético) 

. (r- t)- { tfunq)-rl- [(qAp)- s] ] 

. XII.- CCKpqrCKpNrNq (Variante de transposición) 

. [(pAq)-t1-l$A-r)--q] 

. XIIL- CCKpqrCKNrqNp (Variante de transposición) 

. [(pAq) -.1* [(-rAq)--p] 

. XIV.- CCKpNqNrCKprq (Variante de transposición) 

. [(pA-q) *-r1- [(pAr) - q1 

NOTA.- Las catorce tesis anteriores son leyes lógicas y el lector puede entretenerse haciendo sus 

tablas de valores para comprobar que siempre son verdaderas, esto es, tautologías. 

Como muestra, inserto aquí dos tablas. La primera es de una de las leyes que más variables tiene, 

p, ql, r, s, la tesis IX: 

332


CCspCCKpqrCKsqr (Variante del silog. hipotético) 

(s - p) - { [ (p A q) * r] - [ (s A q) - r] ] (denominaré con letras cadaoperador 

f g a b e c d para simplificar la cabecera de la tabla) 

S p q I a b c d e f g 

1 I 1 1 1 1 I 1 1 1 1 

I 1 1 0 1 0 1 0 I 1 1 

1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 

1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 

1 0 1 1 0 1 1 1 I 0 1 

1 0 1 0 0 I 1 0 0 0 1 

1 0 0 1 0 1 0 I 1 0 1 

1 0 0 0 0 1 0 I 1 0 1 

0 1 1 1 1 1 0 1 I I 1 

0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 

0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 

0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 

0 0 1 1 0 1 0 1 1 I 1 

0 0 1 0 0 1 0 1 1 I 1 

0 0 0 1 0 1 0 I 1 I I 

0 0 0 0 0 I 0 1 1 1 

La segunda es otro ejemplo que nos interesa parala deducción del modo Darapti: 

CCKpqrCCsqCKpsr (Variante del silog. hipotético) 

(denominaré con letras cadaoperador 

[ (p A q) - r ] * { (s - g) - [ (p A s) - r ] ] 

e f g c d a b para simplificar la cabecera de la tabla) 

JJJ 

1 

tauto.


p q r S a b c d e f g 

I 1 1 1 I 1 1 1 I 1 1 

1 I 1 0 0 1 1 1 1 1 1 

1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 

I I 0 0 0 1 1 1 1 0 1 

1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 

1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 

1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 

1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 

0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 

0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 

0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 

0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 

0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 

0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 I 

0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 

0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 I 

o { partir de esta gÍamática -repito que no la insertado completa, falta por ejemplo el 

análisis de los cuantificadores y otros elementos-, L va demostrando los modos de la 

silogística aristotélica. Nos interesa el modo DARAPTI, que cita él varias veces, lo pone 

como paradigma y es, por otro lado, uno de los proscritos. Da dos deducciones, una 

formal y otra -anterior, aunque yo la expondré en segundo lugar-, con palabras, 

precisamente en una de las ocasiones en que usa Darapti como muestra. 

. Deducción formal del modo DARAPTI: 

. Parte de la tesis X.- CCKpqrCCsqCKpsr. 

. EnCH: [(pAq) -tJ * { (s-q) - [(pAs) -r] ] 

. Separade la tesis X la última implicación CKpsr 

. EnCH: EnCH: (pAs)-t 

334 

tauto.


r Por la regla de sustitución procede a: 

. p sustituido por Abc 

. q sustituido por lba 

. r sustituido por lac 

. Haciendo las sustituciones con que se cuenta: 

. CKAbcsIac 

. EnCH: [(b-c)A's'] -(aAc) 

. (La s'permanece, por ahora, sin sustitución) 

. Por la regla de sustitución procede ahora con ',s': 

. Si se sustituye: s por Iab 

. Tenemos: CKAbcIabIac 

. EnCH: [(b-c)A(aAb)]-(aAc) 

. Se trata del modo DARII, de la lu figura. 

: il#H::ffii'itrtr*,,:{i;,: 

. Si, en cambio, se sustituye: s por Aba 

. Tenemos: CKAbcAbaIac 

: '';;"T;0., -"!fñ?A$#li ; iiJ",? 

. Deducción, dada en palabras en la sección 19142, del modo Darapti: 

142 

. "El modo Darapti: 'Si P pertenece a todo S y R pertenece a todo S, 

entonces P pertenece a algún R'143, resulta de una sustitución de la tesis 

(2) -tomando P por B y R por A: 'Si existe un C tal que P pertenece a 

lodo C y R pertenece a todo C, entonces P pertenece a algún pt11ttt145. 

. ¿Qué dice la tesis (2) que cita?: ",Si existe un C tal que B pertenece a todo 

JAN LUKAS\CW\CZ,LA SIT-OCÍSTTCA Og AruSTÓTELES DESDE EL PIINTO DE VISTA DE LA T-ÓCICA FORMAL 

MODERNA, ed. Tecnos, edición y traducción de Josefina Fernández Robles, Madrid 1977, pag. 7 5. 

143 

Voy yo a llamar a esa expresión delta. 

144 

Voy yo a llamar a esa expresión ganma. 

145 

JAN LUKAS\EW\CZ, LA SII-OCÍSTTCE Og AruSTÓTELES DESDE EL PLTNTO DE VISTA DE LA I-ÓCICA FORMAL 


335

Comentarios: 


C y A perlenece a todo C, entonces B perlenece a algún trt16ttt47 

. ¿De dónde sale esta tesis? Nos dice que es la conversa de otra: "Si B 

pertenece a algún A, entonces existe un C tal que B perlenece a lodo C y 

A pertenece a todo Cl'8. Esta tesis es evidente. Pero la conversa es 

también evidente."rae 

. Procedamos nosotros desde abajo hacia arc|ba, alfa, bela, ganmq delta -que es 

el orden que L ha recorrido*, y pongamos esas frases en CH: 

. Laprimera, alfa.- (A A B) - I (C - B) A (C * A) l 

. Laconversa,beta._ [(C-B)A(C-A)]-(AAB) 

. Sustitución, ganma.- [(C-P)A(C-R)]-(RAP) 

. Delta: (s-P)A(S-R)l-(R \P) 

. Delta es, claro está, el modo Darapti. 

*** **d< *** **rF ,r** 

o I ha deducido el modo Darapti dentro de su sistema, cálculo diseñado para 

traducir a fórmulas de lógica matemática los silogismos de Aristóteles (aunque 

basado en otros cálculos anteriores del propio L y otros autores). 

. Se puede, pues, afirmar que es consistente con las expresiones de dicho cálculo. 

. Pero el escollo que supone la cuestión existencial parece indemne: 

146 

Voy yo a llamar a esa expresión óela. 

147 

, Alfa, 1o que llama L (i), es una tautología, una ley lógica. 

. Beta, su conversa, lo que L llama (2) y dice que es también evidente, no 

es una tautología, sino una expresión contingente. 

JAN LUKAS\CW\CZ,LA SILOGÍSTICA DE ARISTÓTELES DESDE EL PUNTO DE VISTA DE LA LÓGICA FORMAI 

MODERNA, ed. Tecnos, edición y traducción de Josefina F'ernández Robles, Madrid 1977, pag. 58. 

148 

Voy yo a llamar a esa expresión ofa. 

149 

JAN LUKUS\EW\CZ, LA SILOGÍSTICA DE ARISTÓTELES DESDE EL PUNTO DE VISTA DE LA LÓGICA FORMAL 


336

iApéndice 2"1 


Delta,la fórmula final después de las sustituciones, a la que L llama 

Darapti y es, en efecto, el modo Darapti, coincide -no podría ser por 

menos, ha salido de ella directamente- con la forma estructural de Beta. 

Delta -Darapti- no es una tautología, sino una expresión contingente. 

Los valores de Delta son los mismos que los de Beta -como no podía ser 

de otro modo-. 

Este mismo análisis es posible seguirlo en la obra citada de L para otros modos 

proscritos. De hecho, en la secuencia formal que hemos seguido en páginas 

anteriores para llegar aDarapti, hemos pasado por otros dos modos afirmativos 

(así los llama L): Darii -que es uno de los válidos-, y Barbari 1ue es uno de los 

proscritos. 

He respetado las promesas del Capítulo I en las minuciosas explicaciones y prolijos análisis de 

las cuestiones, en las reiteraciones -quizá excesivas- de los aspectos fundamentales, en la 

sencillez de los múltiples ejemplos y, sobre todo, en no proceder a sulilezas lógicas demasiado 

especializadas. Siempre tuve en cuenta que el lector al que me dirigía -al que pretendía 

dirigirme- ni tenía conocimientos lógicos ni costumbre de leer libros técnicos de lógica. Pero no 

proceder a sutilezas puede ser, en un trabajo de esta índole, algo mutilador, ya que esas sutilezas 

-innecesarias para encaminar la curiosidad de una persona culta aunque profana en la materiason 

sin embargo necesarias si se quieren exponer los temas sin equívocos; es la propia naturaleza 

de las distinciones lógicas la que es sutil, no el afán... digamos exquisito, del lógico. Así resulta 

que la proporción entre texto convencional y fórmulas, es en este libro mío exactamente inversa 

a la de cualquier manual de la especialidad; y que las licencias que la explicación va adoptando 

por el camino, dejan sin aclaración algunos extremos. He abandonado sin exploración paisajes 

que, surgidos a los lados de mi sendero, no me llevaban directamente a la intuición de ese lector 

citado; pero tales paisajes eran a veces los escenarios del inicio y fundamento de las mismas 

cuestiones explicadas. 

Varias son las llamadas -en el apéndice 1o sobre el libro de Lukasiewicz- que remiten a este 

apéndice 2,y larazón es invitar al lector interesado en presentaciones menos divulgativas -que 

alguno habrá, claro es-, a que acuda a obras técnicas, como es el caso del libro fÓCtCa 

MATEMÁTICA, del profesor José Femández-Pridal5o, donde le será fácil comprobar el 

meticuloso tratamiento formal de los libros profesionales de lógica. Inserto algunas 

demostraciones -en el apéndice anterior las he señalado con notas- como parte de esa invitación: 

150 

José Fernández-Pri(ta,LÓGlcA MATEMÁTICA, ed. Marova, Madrid 2009. Esta obra póstuma del profesor Prida está editada 

al cuidado de Ángel d'Ors y Enrique Gallego. Se trata de un manual de gran rigor y claridad. 

337


. Fórmulas universalmente válidas (algunos ejemplos: el primer ejemplo [A,] es la 

simplfficación).- 

. "ljna fórmula o € F' es universalmente válida, lo que se denotará por = c,, si 

verifica cualquiera de las condiciones equivalentes: 

. [i] a es válida en toda r-estructura 

. [ii] o es válida en toda t-interpretación 

[iii] ü, es consecuencia de un conjunto vacío de fórmulas. 

' [Ar] cr-(F-o) 

Demostración de [A,]: 

. En efecto, si una formula 6 - 

entoncesS*6yS/e. 

s no es válida en la interpretación $, 

. existeS: $y'u- (F-g) 

S=s y $y'F-s 

$=o, y S=F y $lo contradicción 

. [A:] (-9--o,)-(o-0) 

. Regla de sustitución.- 

Demostración de [Ar]: 

. existeS: Sl(-B*-o)-(u-B) 

$=-F --o y S/u-0 

\5L-F 

ñññ/^ 

--0 y iS-0 y \5É-p 

g=-o y $*o 

S,/-0 y $=o contradicci6tr,r5r. 

. "Si a, x y / son, respectivamente, una fotmula, una variable y un término, se 

151 

pretende definir lo]', como una formula que afirme de r lo mismo que o afirma de 

"' 

* u 

ffi . ; i"' ¿" ::;::;"^' 

José Ferndndez-Prida, obra citada, pags. 46-47. 

p or ej emp r o' q ue s e v eri n c as e : 

con lo que I lz (x * z) ]v- sería simplemente el resultado de sustituir enlz 

(x + z) cada aparición libre de la variable x por y. Sin embargo, no cabe 

esperar una definición tan simple de sustitución,ya que, por ejemplo, no 

sería razonable que se verificase: 

338

. Modus ponens.- 


df 

l1z (x + z)l', : 1z (z + z) 

ya que la formula l-z (x + z)l afrcma que n no es el único elemento, 

mientras que 1z (z + z) afirma algo imposible. De la definición de 

sustitución que se daráal final de este capítulo se seguirá: 

df 

l1z (x + z)f', : -y (z + y), 

lo que resulta acorde con nuestro propósito, al aftrmar 1y (z + y) que z no 

es el único elemento. Pero, para que se verifique la última identidad, que 

conlleva un cambio en la variable ligada z por una nueva vaÁable y,la 

definición de sustitución tendrá que tener inevitablemente un cierto grado 

de sofisticación."152 

. "Definición 4.1.1.- (Modus ponens) La regla de separación o modus ponens es 

la regla con dos premisas que permite derivar B de o y o - B, i.e.: 

' 

t52 

t 0rü-B 

p 

"Ejemplo 3.21.' 

' lPl 0'CI'-B=B 

. Si existe una estructura G tal que: 

. G=ü 

G=cr=F, 

6/p, 

entonces existirá una valoración v tal que la interpretación S : (G, v) 

veriftcará: 

. [1] S=o 

l2l $=o-0, 

José Ferndndez-Prida, obra citada, pag. 28. Por eso advertí de las dificultades que tiene el concepto de sustitución cuando se 

quieren aquilatar rigurosamente ias determinaciones iógicas. 

153 

José Ferndndez-Prida, obra citada, pag. 5 L 

339

154 

José Ferndndez-Pridu, obra citada, pag. 45. 


t3l slB, 

pero de t1l V t2l se sigue S: B, contradicci5n.r:l54 

340

El silogismo.- Tablas de verdad

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