CAPÍTULO I.- Introducción - volver

Lección emérita sobre el silogismo * Miguel Cobaleda 

Capítulo I: Objetivos de este libro

Lección emérita sobre el silogismo * Miguel Cobaleda

Empezaré por el título: 


"Lección (1) emérita (2) sobre el silogismo (3). [Los 

acetca deI compromiso existencial (6)]". 

(1) Lección.- 

9 proscritos (4): resumen del debate (5) 

Este término se refiere directamente a mi intención de explicar, y el término "explicar" remite, 

también directamente, a mi propósito de que el lector comprenda, por lo cual pretendo: 

I 

a) No dejar sin aclaración nada de lo que considere imprescindible para que un 

lector no profesional, sino principante, entienda el tema explicado. 

b) Proceder de modo tan meticuloso que desmenuce hasta las últimas migas -en 

la medida de 1o posible, pero intentándolo en serior- las entrañas de los 

problemas. 

c) Poner ejemplos sencillos2, reiterados, analizados también de modo minucioso. 

d) Remitir los asuntos a sus precedentes, al menos hasta el horizonte del paisaje 

que se pueda atisbar desde la atalaya del problema concreto; es decir, si para el 

mejor planteamiento o comprensión de un tema es menester explicar ciertos 

antecedentes, acudir a ellos sin ambages, pues esos antecedentes se "han hecho 

visibles" desde el problema, aunque si luego -ya en los antecedentes y 

previamente al problema mismo-, a su vez se atisban otros antecedentes de los 

antecedentes, los cuales sí son visibles desde los primeros, pero no desde el 

problema que se explicaba, no en todas las ocasiones acudiré a explicarlos 

también pues, de hacerlo así sin límite, no pasaría del análisis del primer asunto, 

enfrascado en los principios de los principios de sus principios... 

e) Confiarme a la intuición del lector tanto como a su inteligencia y tanto como 

me sea posible, ya que la presentación "intuitiva" de los argumentos ayuda 

mucho, según mi propia experiencia como discente y como docente, a la 

comprensión de los mismos. Haré siempre las salvedades de rigor para que dicho 

lector, en cada caso, tenga en cuenta las dificultades teóricas, las posibles 

"traiciones" argumentales, la lejanía probable entre explicación y explicando, 

No siempre es posible hasta el final (hasta el final, quizá nunca); sucede como con la materia y su análisis por parte de los 

fisicos: primero los cuatro elementos (de Empédocles unificador: agua -Tales-, aire -Anaxímenes-, tierra -Jenófanes-, fuego 

-Heráclito-), más tarde las moléculas, después los átomos, luego las partículas sub-atómicas, ahora los quarks... quién sabe qué 

otras minucias irán apareciendo. En el caso que me ocupa, igual, claro, pues las series encadenadas permiten a su vez series 

indefinidas de "por qué", como las preguntas de los niños que por sí mismas no se acaban nunca, sólo cuando el padre, o el 

propio niño, dejan de saber responder o se cansan de preguntar. 

2. 

Uno de los "tics" de este libro será precisamente la expresión "Un ejemplo sencillo", o "lJnos ejemplos sencillos".

3 


entre el ejemplo y lo ejemplificado... todo ello, sí, pero aludándome de esa 

intuición tanto como pueda. Así pues, unas veces haré uso de gráficos -distintas 

clases y especies de gráficos-; otras los evitaré cuando me parezca que son 

contraproducentes; a veces las demostraciones serán muy materiales, pero otras 

veces muy formales3; en ocasiones seré reiterativo y redundante, cómo no, etc., 

etc. 

f; Evitar atoda costa los bizantinismos alambicados a que los lógicos *tanto o 

más que los metafísicos- están acostumbrados y a los cuales les sentaría muy bien 

un rasurado estricto con la "navaja de Occam"a. La formalización y 

matematización de la vieja lógica por parte de los lógicos y matemáticos 

modernos, del siglo XIX y del XX, no han contribuido a disminuir los matices 

etéreos y las sutilezas astutas, sino más bien todo lo contrario. En lógica hay que 

distinguiry volver a distinguir la distinción de 1o distinguido: es ésa su naturaleza 

y parte esencial de su exigencia, pero precisamente por ello, suele desmandarse 

la tendencia a salirse de los límites en una canera desenfrenada que conduce 

muchas veces a la pretensión de analizar fantasmas sin contenido. 

g) Tener muy en cuenta la bibliografía a emplear pues, aunque sin duda he de 

frecuentar los clásicos de la matemáticay de la lógica simbólica: 

Lukasiewicz5 

Peano6, 

FregeT, 

de Morgan8, 

Russelle, 

Aunque parezca raro, e1 fbrmalismo puro es muchas veces más intuitivo que un ejemplo del idioma hablado, especialmente si 

éste es rebuscado o abstruso. 

1 

llilliam of Ockham,filósofoy teólogo inglés. nació en Ockham (Surrey) entre 1280 y 1288, y murió en Munich en 1349. Suya 

es la frase: "Pluralitas non est ponenda sine necces¡tate" (no se debe "abusar" de la pluralidad si no es necesario). 

5 

Jan Lukasiewicz, lógico y matemático polaco, nació en Lwow (Galicia, hoy Ucrania) en 1878, y murió en Dublín en 1956. 

6 

Giuseppe Peano.lógico y matemático italiano, nació en Spinetta (Piamonte) en 1858 y murió en J'urín e n I 932. 

7 

Gottlob Frege,lógico y matemático alemán, nació en Wismar en 1848 y murió en Jena en 1925. 

8 

Augustus de Morgan,lógico y matemático inglés, nació en Madura (la India) en 1806 y murió en Londres en 1871 . 

9 

a 

a 

a 

a 

a 

Bertrand Russel/, filósofo, lógico y matemático inglés, nació en Trellech (Gales) en 1872 y murió en Penrhyndeudraeth (Gales) 

en 1970.

10 


Whiteheadlo, 

Boole11, 

Tarskyr2, 

Curty13, 

Gódel14...),15 

y también, claro está, lógicos actuales16, deberé visitar igualmente las doctrinas 

de los lógicos anteriores, no sólo -por supuesto y como no podría ser de otra 

forma-, el iniciador, el maestro Aristóteles, sino los escolásticos (por ejemplo 

Juan de Santo Tomásl7) y aún los neo-escolásticos (por ejemplo Jacques 

Alfred North Whiteheud, lógico, filósofo y matemático inglés, nació en Om (Ramsgate) en 1861 y murió en Cambridge 

(Massachusetts) en 1947. 

tl 

George Boole, matemático y lógico inglés, nació en Lincoln (Inglaterra) en 1815 y murió en Ballintemple (lrlanda) en 1 864. 

t2 

Alfred Turski, matemático y lógico polaco, nació en Varsovia en 1902 y murió en Berkeley (California) en 1983. 

l3 

Haskell B. Curry,lógico, filósofo y matemático estadounidense, nació en Millis (Massachusetts) en 1900 y murió en State 

College (Pennsylvania) en 1982. 

l4 

Kurt Giidel, lógico y matemático austríaco, nació en Brno (Austria) en I 906 y murió en Princeton (New Jersey) en I 978. 

15 

La obra lógica de todos ellos, o de casi todos ellos. estará muy presente en este libro, por eiemplo en el CH "cálculo híbrido", 

que es el cálculo fruto de la mixtura de varios cálculos de diferentes niveles lógicos y diferentes autores que utilizaré para 

explicar mejor y traducir a fórmulas los contenidos de la lección. La mayor parle de 1as veces no haré citas directas, pero la 

contribución de estos autores estará bien presente. Peano y Frege, por descontado: muchos elementos de los PRINCIPIA de 

Russell y Vhitehead, igual que de las notaciones de Curry; las famosas leyes de de Morgan, el no menos famoso teorema de 

Gódel (que usé y cité en mi libro MÍMESIS & NÉMESIS) o el álgebra de Boole. En cuanto a Lukasiewicz. de cuyos textos sí 

insertaré citas directas, su obra LA SILOGÍSTICA DE ARISTÓTELES DESDE EL PIr}.{TO DE VISTA DE LA LÓG]CA 

FORMAL MODERNA. es una de 1as referencias de mi libro, así como su contribución firndacional a las lógicas polivalentes. 

16 

Por ejemplo los lógicos Ma nuel Garrido, Luis M, Valdés, Jesús Mosterín, Alfonso García Sudrez, y el lingüista Carlos OÍero 

que. en un librito muy útil de Tecnos. se tomaron la molestia, hace ya unos años, de escribir una introducción a la lógica -y a 

la lingüística- muy encomiable. ILÓGICA Y LENGUAJE. ed. Tecnos. Madrid 1989l. Sin olvidarme de Alfredo Deuñoprematuramente 

desaparecido: fuimos condiscípulos en la Complutense. Ni. por supuesto. de Vicenfe Muioz, insigne lógico. 

mi maestro en esta materia. Más adelante insinúo que los verdaderos destinatarios de este libro son mis ex-alumnos de lógica 

en bachillerato, pues. demasiado atento a la lógica simbólica del XX, les expliqué de pasada el silogismo, por 1o que pretendo 

recuperar en mi intención y en mi memoria, claro, no en la realidad de sus actividades actuales-, un análisis más detallado de 

la fascinante invención aristotélica. Así que una razón de que use ciertos manuales es que los usé con mis alumnos. De ahí el 

libro citado. o la LÓGICA SIMBÓLICA de M. Garrido [ed. Tecnos, Madrid, 1974, con varias reimpresiones], o LÓGICA 

MATEMÁTICA Y LÓGICA FILOSÓFICA, de V. Muñoz [ed. Rev. "Estudios", Madrid, I 962]. Para manuales recientes, el libro 

LÓGICA MATEMÁTIC A, de José Ferntíntlez-Pritlu, [ed. Marova, Madrid 2009] (ver Apéndice 2" de1 Capítu1o Xlll. p.337). 

I7 

a 

a 

a 

a 

a 

JoAo Poinsot (llamado Juan de Sunto Tomás'¡ lllósofb y teó1ogo portugués, nació en Lisboa en 1589 y murió en Alcalá de 

Henares en 1644.


Maritaint8)le, además -aunque de modo marginal, pues propiamente no son mi 

tema-, los estoicos. Pero 1o haré de forma pedagógica, esto es, pre-digerida, 

usando sus doctrinas más que citando sus libros, la mayor parte de los cuales 

resultan bien poco didácticos -incluso los que pretenden serlo, hay que decirlo-. 

Cuando me parczcanecesaria la cila, si ésta es abstrusa, la relegaré al final, como 

apéndice separado; en ciertas ocasiones advertiré, incluso, que no se abandone la 

lectura del texto para acudir al apéndice, aunque también aconsejaré lo contrario 

cuando lo estime oportuno. 

h) Repetir sin empacho explicaciones, ejemplos, argumentos, pasajes ya 

explicados. Como procederé con diferentes escalones de análisis, a veces me 

vendrá bien repetir, en una etapa posterior, lo que ya haya dicho en etapas 

anteriores. No me detendrá, para hacerlo así, la consideración de inelegancia 

estilística o redundancia pedagógica a que pueda hacerme acreedor por esas 

reiteraciones, toda vez que redundarán en beneficio de la mejor exposición -y, 

por tanto, comprensión-, de los temas. 

Creo que esas cautelas son muy convenientes y, en todo caso, a nadie perjudican, pues si un 

lector entiende con el primer ejemplo, que no acuda a los restantes, y si le basta con la primera 

vez que una cosa se explica, que se salte las repeticiones. 

Viene todo esto a cuento de que los lectores a los que dirijo -si es que me dirijo a algún lectorson 

lectores cultos e inteligentes, pero principiantes absolutos en cuanto a los temas de la lógica 

como disciplina científica, aunque posean, claro está, el dominio habitual de la lógica elemental 

que todos usamos cortientemente. Podrían ser -para concretar un poco el abanico de posibles 

lectores de este libro- mis alumnos de 16 años cuando empezaban a estudiar lógica en el 

penúltimo curso del bachillerato y a los cuales les hablaba, sí, del silogismo, pero como un 

capítulo más dentro de la lógica, muy sobrecargada de temas, la cual lógica era también un 

capítulo más en una asignatura de iniciación filosófica que incluía además sociología, psicología, 

metafísica, ética... Sería, pues, como si pudiésemos retroceder con ventaja sobre un pasado 

"insuficiente" (¿no es ésa, por cierto, la condición esencial del pasado y no 1o que se dice, el 

"haber pasado"?), añadirle atención, complementos temáticos, análisis argumentales, ejemplos 

suficientes, etc., etc. 

Es que los tratadistas habituales de lógicaproceden de un modo bien poco didáctico. Muchos lo 

pretenden, sin embargoto, proponiéndose en sus prólogos el objetivo de enseñar paulatinamente 

18 

Jacques Marituin, filósofo francés, nació en París en 1882 y murió en Toulouse en 1973. 

l9 

Jacques Maritain como representante eximio de la neo-escolástica; en cuanto a Juan de Santo Tomás, desde luego es un buen 

exponente de la escolástica, pero laraz6n de que represente aquí a tantos colegas suyos, es más bien de índole "personal": este 

inteligente portugués formó parte de la Escuela de Salamanca. 

20 

Ya que no hablo de los tratados de lógica escritos para lógicos profesionales y dirigidos a ellos.


introducciones a la disciplina, ir poco a poco, no dar por supuestos logros no adquiridos aún, etc., 

pero entre 1o que dicen que quieren hacer y lo que hacen, media muchas veces un abismo. Sin 

citar "pecadores", citemos algunos "pecados" para que todo ello nos vaya quedando más claro 

(pretensión explícita, repito, de este libro, de éste sí). Dar por sabidas cosas que a) de ningún 

modo están sabidas, y b) es esencial saberlas para entender el tema, es pecado habitual de muchos 

manuales " par a principiantes" : 

* 

UN etpvpt-o seNcu-1,o.- Cuando más adelante explique2l las leyes del silogismo, veremos que 

un asunto esencial es conocer si el predicado de una frase es universal o es particular pero, sobre 

todo, comprender por qué es lo uno o es lo otro. Cuando decimos "algunos hombres son 

afganos" o decimos "todos los alemanes son europeos22", parece sencillo averiguar que en el 

primer ejemplo la palabra "hombres", el sujeto de su frase, está siendo particular, mientras que 

en el segundo ejemplo la palabra "alemanes", sujeto de la suya, está siendo universal; y es 

sencillo porque lapalabra inmediatamente anteriot -"alguno,s" en el caso de "hombres" (una 

parte de los hombres, pafticular),"todos" en el caso de"alemanes" (todos, universal)-, lo indican 

con claridad; pero no sabemos si los dos predicados, lapalabra"afganos" en el primer ejemplo, 

lapalabra"europeos" en el segundo, son particulares o son universales ni sabemos por qué (y 

es probable que, si tenemos alguna intuición al respecto, resulte equivocada). Algunos manuales 

nos dirán qué son, pero poco nos diriín por qué son lo que son, con 1o cual nos habremos quedado 

sin entender nada del tema lApéndice 1a. (El apéndice 1 de final de capítulo trata sobre la 

cantidad -universal o particular- de los términos que hacen de predicado. Aconsejo no acudir 

ahora a dicho apéndice 1 abandonando la lectura seguida del texto, pues en este momento es 

mejor prescindir de la explicación, que incluiré cuando llegue su lugar). 

d< 

Orno eJEx,PLo sENCtLrc.- Al expresar en fórmulas lógico-matemáticas los juicios habituales, 

tales como "Todos los hombres son mortales" , "Algunos chinos no son altos" , " Ningún pino es 

dipulado", etc., hay que expresar los cuantificadores -"todos","algLtnos","ninguno"-, no sólo 

los términos que hacen de sujeto y de predicado. En la lógica de cuantores o de cuantificadores, 

es habitual utilizar dos símbolos para ellos dos: parael"todos", el símbolo A y para el"algltnos" 

el símbolo V; para el"ningún" o"ningltno" no se utiliza signo especial,ya que es el modo 

habitual del español para expresar, con una sola palabra, alavezla negación y la totalidad 

lApéndice 2a. (El apéndice 2 de final de capítulo trata sobre la "negación" y su uso en el 

idioma y en lógica. Aconsejo no acudir ahora a dicho apéndice 2, abandonando la lectura seguida 

del texto, pues en este momento es mejor prescindir de la explicación, que incluiré cuando llegue 

2l 

Muchas veces los ejemplos se adelantarán a las secciones en donde se expliquen de forma detallada las cuestiones relativas a 

los mismos; no importa esa "delantera", ya que, en cuanto eiemplos, valdrán perfectamente para que se entienda lo ejemplificado 

en el momento, y, en cuanto materia, ya se entenderán a fondo cuando llegue su lugar. Además, como he advertido, no me 

importará repetir y volverán a aparecer cuando tengan que hacerlo. 

22 

Creo que lo son, porque me parece que Alemania ya no tiene provincias fuera de Europa (fuera de la propia Alemania); otros 

países europeos tienen provincias no europeas. como Francia, Potlugal o la propia España, ya que Ceuta, Melilla y las Islas 

Canarias son provincias españolas pero no europeas. sino africanas. Si ése fuera también el caso de Alemania y yo lo ignorase, 

póngase en su lugar "suizos" o "andorranos" o "luxemburgueses". para mayor seguridad.


su lugar), de forma que se expresaría "ningún x" del siguiente modo: - Ax. 

La mayor pafte de los manuales para principiantes se limitan a decir: como cuantificador 

universal usaremos A y como cuantificador particular usaremos V, sin mayores explicaciones, 

pasando de inmediato autilizar fórmulas como las siguientes: 

ul 

l2l 

t3l 

xlx Ay Px! 

A(x)ls(x)-P(x)l 

v(x) [s(x) A P(x)] 

"Para algún x y para todo y, se da la función P de xy" . 

"Paratodos los x, si r es S, entonces x es P". 

"Pata algunos r, r es S y x es P". 

Pero eso puede resultar muy confuso, como se intuye en [3], porque precisamente esos mismos 

dos símbolos son los que se usan en lógica de juntores para expresar dos de los operadores más 

importantes, la conjunción ( A ) o producto lógico (en [3] está siendo usado como conjunción y 

no como cuantificador universal), y la disyunción simple23 ( V ) o suma lógica OApéndice 31. 

(El apéndice 3 de final de capítulo trata sobre los símbolos que se usan para Ia notación de los 

cuantif-rcadores. Aconsejo no acudir ahora a dicho apéndice no 3. abandonando la lectura seguida 

del texto, pues en este momento es meior prescindir de la explicación, que incluiré cuando llegue 

su lugar). Esta ausencia de fundamentación quizáresulte cómoda para proseguir la explicación 

y, como se ve, acabo de aconsejar yo mismo no acudir alanota 3 por ahora, peto yo remito al 

lector al momento en que comprender ese tema sea necesario pues entonces sí 1o explicaré y, en 

cualquier caso, puede no obedecer el consejo,ir alanota 3, y enterarse ahora mismo del asunto 

(y de otros cuantos asuntos de paso). 

* 

Esto por lo que se refiere a dar por sabidas cosas que no lo están. 

Además suelen tener cierto panico a poner ejemplos, lo cual quizá se deba a varias causas 

distintas. Por un lado está el hecho de que un libro de lógica es más elegante si contiene formulas 

y menos elegante si contiene ejemplos en palabras normales del idioma hablado. En segundo 

lugar cabe suponer que la imaginación de ciertos lógicos esté unidimensionalmente estructurada 

y, a la vez que puedan manejar en su cabeza fórmulas complejas, les resulte difícil hallar 

ejemplos sencillos. Y también por una razón menos culpable y más valedera: los ejemplos, 

aunque aumenten la potencia explicativa del sistema, disminuyen la potencia aplicativa del 

mismo. Esto pasa no sólo en los tratados de lógica, sino también en los de matemáticas, fisica, 

química, etc. 

UN p¡enplo seNcII-1,o.- Pondré el ejemplo, pero no lo explicaré24, sino que 1o mostraré 

simplemente, pues mostrarlo basta para intuir que el caso concreto ejemplificador de un sistema 

Aunque también haré referencia a la disyunción fuerte, que es un operador distinto, 1a regla habitual, que yo también seguiré, 

es llamar a la disyunción simple o débil, sencillamente "disyunción" sin más apellido. 

24 

Al menos aquí. 

10


disminuye bastante todos los atributos del sistema, desde la antedicha elegancia del asunto hasta 

la potencia aplicativa del sistema, e incluso la posible validación del mismo. A pesar del aspecto 

de las fórmulas, el ejemplo sí es, en efecto, sencillo, porque tales fórmulas no hay que 

comprenderlas ahora, sino simplemente comparar su abstruso aspecto con la traducción 

facilísima que tienen a continuación. 

Veamos la definición formal de "anillo conmutativo" (un asunto del álgebra *para más señas 

"abeliana""- qr" sólo está aquí de paso y como muestra -y con el que no hay que romperse la 

cabeza-): 

El conjunto E y sus dos operaciones (* y tr ) tienen las propiedades siguientes: 

t1l 

t2l 

t3l 

t4l 

V(a,F)eE,(o*B)eE 

V (s, 0, y) e E, (s * 9) *T : a * (B *y) 

V(a)eE,u8n:n*o,:o 

V (o) e E, = (&) € E, c, * d : s * d :n 

Ya tenemos un grupo. 

t5l V(o,F)€8,c,*0:9*o 

Nuestro grupo ya es un grupo abeliano. 

t6l 

t7l 

t8l 

V (cr, B) e E, 

v(o,B,y)e 

v(a,B,y)e 

(utrB)e¡ 

E,(otr0)trv: str(9Uv) 

E, o * (F trv) : (s * B) tr (cr {< y) 

(otrF)*T:(o*y)tr(P*v) 

Nuestro grupo abeliano ya es un anillo. 

l9l V(o,F)€E,otrp:Ftru 

Nuestro anillo es, por fin, un anillo conmutativo lApéndice 41. (En el apéndice 4 de final de 

capítulo se explican las formulas que definen un anillo conmutativo. Aconseio no acudir ahora 

a dicho apéndice 4, abandonando la lectura seguida del texto, pues la comprensión de las 

propiedades de un anillo conmutativo? que se usa aquí como simple muestra, no es necesariapara 

el propósito del presente libro). 

Ahora llega el ejemplo con palabras para traducir esas fórmulas a algo más comprensible y que 

se pueda comparar el aspecto intimidante de las mismas con la simplicidad del ejemplo: Tenemos 

a un asentador de frutas mirando su almacén y diciéndose: 

25 

Henrik Niels Abel, matemático noruego! de obra muy fecunda a pesar de su cortísima vida, que nació en Findó" Norueg4 en 

1802, y murió en Froland, Norueg4 en 1829. 

11


"En aquel rincón hay 2 cajas, cada una con 24 mctnzqnas, por lo tanto 24 + 24 es igual a 18 

manzanas; y en aquel otro, l0 cajas de 21 manzanas, por lo tanto l0 por 21 es igual a 210 

manzünas; así que sLtman 288 manzanas". 

Ya está, ése es el ejemplo, y es bueno, porque el anillo conmutativo que hemos diseñado vale 

perfectamente para el conjunto de los números enteros (al que hemos llamado E para fardar) y 

dos operaciones sencillas, la suma y el producto (los hemos simbolizado con * y con tr ). Las 

líneas de la definición del sistema no son mucho más abstrusas, aunque lo parezcan; dicen cosas 

como que en la suma y en el producto el orden de factores no altera el resultado, así que I0 x24 

es lo mismo que 24 x I0; o que hay una cosa llamada "0" que si la sumas con un número se 

queda el mismo número (si sumas 24 manzanas con 0 manzanas, te da 24 manzanas), y así lo 

demás... Pero claro, no tiene la misma elegancia ni tiene la misma potencia aplicativa, ésa es la 

verdad. 

* 

Usaré tantos ejemplos como se me ocuffan y pueda, aunque a veces rebajen la amplitud de la 

teoría, o traicionen un poco lo ejemplificado, o haya que matizar para que no sean mal 

entendidos. Los creo necesarios de toda necesidad, no sólo convenientes, lo mismo que las 

repeticiones de las partes más importantes de la teoría. 

Otra cosa más que complica la comprensión de los tratados de lógica -y ésta no es culpa en 

absoluto de los lógicos que los redactan-, es que, aunque los asuntos son todos muy sencillos y, 

bien explicados, resultan comprensibles, acaban superponiéndose muchos y sólo la costumbre 

de formular hace que el asunto se vuelva mecánico sin que la comprensión disminuya. Es como 

en la química, que no basta con entender la teoría elemento por elemento, fórmula por fórmula; 

sólo la mucha prácticapermite encadenar un montón de ellas sin confusión ni fallo. 

Sería igual que aprender a girar un plato en el extremo de un palo rígido: no resultaría demasiado 

dificil, especialmente si el plato tuviera por debajo un resalte circular notorio; supongamos que 

lo tiene y |a cuestión es simple; ahora bien, los malabaristas van poniendo platos a girar, y más 

platos y más platos, cada uno sencillo en su giro, pero cuando se acumulan docenas... 

Por eso tengo también la intención de ir despacio -y nuevamente insisto en la repetición de los 

temas*, pues la lentitud y la repetición permiten al lector "ir haciendo práctica", leer asimilando 

y repensar lo pensado. 

(2) Emérita.- 

*{


recompens au"honesta missio"26 . Aunque el sentido primigenio se refería, como explica la nota, 

a los veteranos de las legiones de Roma, en la actualidad se emplea casi exclusivamente para los 

profesores que, a juicio de sus empleadores -sea el Estado, sea quien sea- han desempeñado la 

función docente con tanto mérito que, aunque jubilados, se siguen solicitando lecciones suyas 

en régimen especial, como un honor y un aprovechamiento de esas dotes excelentes. Podría 

entenderse que se refiere en este caso al hecho de que el autor del presente libro es un profesor 

jubilado, pero ocurre que el Estado, su empleador cuando estaba en activo, no ha considerado su 

docencia como lo bastante meritoria como para nombrarle profesor emérito y solicitar una 

continuidad especial de sus servicios docentes. Sería, por tanto, una insufrible arrogancia que 

dicho autor apellidase "emérita" su lección en virtud de una virtud que no se le ha reconocido. 

No, la que es emérita es la propia lección, y paso a explicarlo. 

El silogismo" es una doctrinanoya vieja, sino viejísima, procede del maestro Aristóteles, 

inventor de la lógica y primer sistematizador de sus diferentes materias, entre otras del 

razonamiento categórico de inferenciamediatao silogismo. Deberíaestarmás quejubilada, dicha 

doctrina, después de varios siglos de carrera griega y otros muchos más de cafieÍa medieval y 

moderna -incluso contemporánea-, pero ocurre que, en función de méritos nuevos que acaban 

apareciendo entre los méritos viejos, en lugar de jubilarla se hace preciso renovarla, corregirla, 

aumentarla, discutirla, defenderla. .. y ahí sigue, con fuertes presiones para que desaparezca de 

unavez, pero con mejores expectativas de 1o que su venerable antigüedad haría suponer. Tiene 

una historia reciente (de finales del XIX, más o menos, pero que se ha extendido por todo el XX) 

empezadacon una fuerte crítica a causa de la cuestión existencial , o compromiso existencial (qlue 

he tratado en la nota 3 del final del libro y que volveré a tratar en el texto cuando llegue el 

momento), pero resulta que, ante las críticas de defensores relevantes de las lógicas matemáticas 

modernas, le han salido campeones igual de relevantes -acaso más- entre los mismos lógicos 

matemáticos. Por lo que ha vuelto a estar en candelero cuando se la daba por muerta y sigue 

presente en los manuales de lógica, quién sabe por cuanto tiempo. Así que bien empleado está 

el adjetivo "emérita" con que la he apellidado en el título. Pero veamos el asunto en detalle. 

En sus ANALÍTICOS PRIMEROS Aristóteles, cuatro siglos antes de Cristo, funday fundamenta 

la teoría del silogismo. El Estagirita es, como todo el mundo sabe, el inventor de la lógica -sólo 

en parte basada en la dialéctica de Platón* y precisamente en la Analítica Primera se sientan las 

bases del silogismo. Al parecer, los historiadores y estudiosos de su obra creen que la mayor 

parle de sus escritos lógicos, en especial los primeros analíticos, son, más que una obra 

26 

Retiro con todos los honores y recepción de algún premio que percibían los veteranos de 1as legiones romanas cuando dejaban 

el servicio activo si lo habían desempeñado con honor; solía ser la propiedad de alguna parcela de tiera en las colonias del 

Imperio, con 1o cual sus generales los premiaban, alavez que asentaban colonos romanos en las provincias lejanas. La palabra 

y la institución son, pues, romanas. 

27 

Digo y repito la palabra "silogismo" y todavía no he explicado qué es un silogismo. Además está en e1 propio título, claro, ya 

que es de lo que trata este libro; por ahora nos llega con la palabra, ya que no voy a entrar de momento en un análisis de las 

distintas palabras que componen el título -pues es un título muy pensado que, en realidad, sirve de guión o esquema al desarrollo 

del libro-; en cuanto llegue al punto (3) de este capítulo introductorio, daré una primera aproximación de silogismo que baste 

hasta que, en capítulos posteriores, entre de lleno en el tema. 

t3


sistemática, apuntes para lecciones de clase, notas tomadas al paso para hilvanar más tarde la 

teoría consistente... con lo cual ¿adolecen? de una cierta irregularidad de estructura. Mi opinión 

a este respecto nada vale, por supuesto, pero leídos -y releídos, claro, tantas veces- los dos libros 

de esa obra capítulo a capítulo, a mí me dan la sensación de un sistema bien compuesto; claro 

está que puede ser porque, aparfir de este escrito, la doctrina se ha explicado siempre siguiendo 

su pauta y su protocolo, por lo cual ya tiene uno -por la enseñanza a priori recibida- esa pauta 

como la debida, pauta que es, claro, la misma del libro aristotélico... Puede ser. Ciertamente a 

veces nos da la sensación de mezclar un poco las cosas, como el hecho de que en el capítulo 2o 

del libro I, enseguida salte alrazonamiento modal, aunque de inmediato muestra la afirmación, 

la negación, la universalidad y la particularidad, procesos que la lógica posterior ha separado en, 

digámoslo así, lecciones distintas: 

"Ahora bien: toda premisa participa de la forma o modalidad en que un 

predicado se aplica a un sujeto, sea que se aplique de forma simple o de 

manera asertiva, sea que se aplique necesariamente, o bien que pueda 

aplicarse en el sentido de la posibilidad. Estos tres tipos de premisa se 

dividen, a su vez, en afirmativos y negativos, de acuerdo con cada modo 

de atribución; y luego, entre las premisas afirmativas y negativas, unas 

son universales, otras son particulares y otras son indefinidas."28 

Pero su proceso de explicación de las tres figuras del silogismo (no creía que la cuafta fuese una 

figura verdadera) y de los modos de cada figura, así como la "notación" formal con que los va 

explicando, ami me parece un sistema muy sistemático. Quizálacrítica se funde en cosas 

menores, como el hecho de que no haya tal notación en sentido moderno, o la simpleza (que 

algunos lógicos "corrigen" para mejor claridad...) de que, según su modo de expresarse, al citar 

cada proposición dice primero el predicado y después el sujeto. En cuanto a lo primero, hay que 

reconocer que los sabios griegos, con todo y ser tan sabios, tan geniales, no estuvieron a la altura 

de las notaciones formales que la ciencia moderna y, sobre todo, contemporánea, han 

desarrollado para beneficio de los científicos, de los aprendices y de las propias ciencias. Seguir 

las explicaciones de Platón sobre los sólidos geométricos elementales, o las explicaciones de 

Apolonio de Pérgamo sobre las cónicas, en descripciones habladas -esto es: escritas-, puede ser 

realmente un tanto confuso; quizá también la lógica aristotélica. En cuanto a 1o segundo, si 

nosotros diremos un ejemplo de silogismo -un esquema de silogismo, no un silogismo como taldel 

primer modo de la primera figura así: 

Todos los A son B 

Todos los C son A 

Luego: Todos los C son B 

el esquema sería: 

porque empezamos diciendo el sujeto y después decimos el predicado, Aristóteles dice 1o mismo 

del siguiente modo: 

28 

Aristóteles, ANALÍTICA PRIMERA, ed. Aguilar, Madrid I 964, traductor Francisco de P. Samaran ch. Pag.278 

14 

A 

C 

C 

B 

A 

R

entonces: 


"Si A, en efecto, se predica de todo B B 

y B se predica de todo C C 

A debe necesariamente predicarse de todo C"2e C 

porque empieza diciendo el predicado y sigue después por el sujeto, con 1o cual usa las tres 

primeras letras al revés que nosotros, pero el esquema es idéntico. A este respecto tengo que 

advertir un par de cosas (y precisamente he puesto este ejemplo para poder advertirlas): 

Una distinción muy importante -mucho más que lo de las letras-, que hay entre 

la forma de nuestro ejemplo y la forma de Aristóteles, es que nuestra forma 

consta de tres frases categóricas (que afirman o niegan sin condiciones ni 

modalidades -en este caso afirman las tres, pero también hay negaciones 

categóricas, como "ningún A es 8"," Ningún león es delfin"), mientras que la de 

Aristóteles es una condicional: "SI sucede tal y tal, ENTONCES sucederá cual". 

La forma aristotélica tiene gran trascendencia, porque cuando veamos en el 

cuerpo central de este libro que la doctrina del silogismo es atacada por los 

lógicos actuales, la crítica será en virtud de un asunto QUE NO ES CIERTO 

CUANDO LA FORMA DEL ARGUMENTO ES CONDICIONAL, y será 

precisamente ésta una de las razones que usarán los defensores modernos del 

silogismo aristotélico para negar dichas críticas y proteger la doctrina del maestro. 

La escolástica medieval difuminará ("olvidará") en general ese formato 

condicional de las palabras aristotélicas, traduciendo la doctrina del Estagirita a 

proposiciones categóricas, y entonces sí se hará acreedora a dichas críticas. La 

doctrina del silogismo es ahora, en realidad, una mixtura, pues "...esta teoría, tal 

y como se la expone usualmente, es Ltna especie de cocktail en donde se mezclan 

la lógica de Aristóteles, la tradición medieval y el pensamiento moderno hasta 

Kant"3o. 

Mi sistema para mostrar las razones -sean válidas o no- en que se basan las 

críticas contra la doctrina tradicional del silogismo, toma no obstante en 

consideración esa forma condicional del procedimiento aristotélico, pues 

precisamente traduciré el silogismo a fórmulas condicionales para mejor evaluar 

la solidez de cada uno de los modos del silogismo. 

La forma esquemática en que Aristóteles presenta sus ejemplos será también 

usada por sus defensores para desactivar las críticas, como es el caso de la obra 

del polaco Lukasiewicz, esencial en este debate. 

Bien, pero todo ello me permite decir que la doctrina del silogismo no se deja arrinconar en el 

desván de la antigüedad y presenta facetas que obligan a la lógica matemática y simbólica actual 

29 

Aristóteles,eN nÍnCa PRIMERA, ed. Aguilar, Madrid 1964, traductor Francisco de P. Samaranch,pag.2Tg 

30 

Monuel Garrido, LÓGICA SIMBÓLICA. ed. Tecnos, Madrid, 1974, pag. 158 

l5 

A 

B 

A

a tenerla en cuenta, pues: 

Lección emérita sobre el silogismo " Miguel Cobaleda 

. Algunas de las críticas del silogismo nutren de ciertos contenidos a esos sistemas 

lógicos que, sin el silogismo y la crítica que ejercen sobre é1, no serían operativas. 

. Algunas de las defensas contra esas críticas obligan a los críticos a reforzar sus 

tesis, abrir nuevos horizontes en sus sistemas y revisar cieftos aspectos de los 

mismos. 

Es pues ésta una lección "emérita", esto es, que por los méritos de su proceso en activo, es 

llamada una y otra vez al presente desde la pretendida jubilación a que tantas veces se la relega. 

(3) Sobre el silogismo.- 

*** *{


juicios y, en la práctica, no tenemos por qué estar haciendo esa distinción 

constantemente. El lector ya sabe que, si digo "mi perro es amistoso", estoy expresando 

un juicio y me refiero al pemo verdadero y al concepto mi perro, que tengo en la mente 

y al concepto amistoso que tengo en la mente. En cambio, si digo, "perro tiene 5 letras 

y 'mi perro es amistoso' tiene cuatro palabras",el lector no se confunde y sabe que ahora 

estoy hablando de los términos y las proposiciones, pues el que tiene cinco letras es el 

término peno, no el perro, y la que tiene cuatro palabras es la proposición, no el juicio 

mental. Voy a poner unos ejemplos de juicios o proposiciones, algunos de ellos absurdos, 

o falsos, o raros, uniendo unos con otros alguno de los términos de la lista anterior: 

a 

a 

a 

a 

a 

a 

a 

a 

o 

La pared está pintada de blanco. 

Todos los perros son amistosos. 

Algunas estrellas se ven brillantes. 

Los libros navegan en barcos de plata. 

Todos los libros son interesantes. 

Muchos tigres quizá comen ventanas. 

Posiblemente algunas ventanas no son mesas. 

Generalmente los hombres blancos son solitarios. 

La silla mastica tigres cuando el navegante se bebe la cp¡2. 

{c} Para llegar hasta el silogismo, 1o primero que vamos ahacer es prescindir de algunas 

de las maneras de hacer frases uniendo palabras; vamos a limitar bastante la forma de 

hacer frases (de hecho la voy a limitar más incluso que los tratadistas de lógica, 

empezando por el propio Aristóteles, pues quiero poder manejar luego, en su momento, 

ejemplos máximamente sencillos). Así que: 

32 

No usaremos los verbos que no sean el verbo "ser". No usaremos, pues, verbos 

como ttven", "navegan", ttcomen", ttmastican", "beben".., ni ninguno que no sea 

el verbo copulativo "ser"32. Esta limitación es, como se puede suponer, muy 

limitante, ya que, aunque casi todo se puede expresar con ese verbo, sería 

imposible hablar si únicamente contásemos con é1. Pero en nuestro caso se trata 

de restringir las formas menos sencillas de proposiciones. 

No usaremos las palabras modales: "posiblemente", "generalmente", "puede 

que", "quizá", sino solamente expresiones directas categóricas. 

No usaremos combinaciones de varias frases en una sola, algo así como: "Ias 

estrellas se ven más brillantes cuando los hombres solitarios navegan en barcos 

de plata". Nuestras proposiciones serán frases de un solo verbo y dos únicos 

términos, uno que haga de sujeto de la frase -de sujeto del verbo-, y otro que 

haga de predicado. 

En su momento veremos que ese verbo, que parece un solo verbo. es muchas cosas, y que las frases que lo contienen se pueden 

interpretar de varias maneras. Haremos un análisis de la cópula verbal "es". Hay un apéndice, el 5, dedicado a ella. 

t7

{d} 

I 

o 

a 

a 


No usaremos frases en donde la cantidad de sujetos de los que estemos hablando 

quede poco precisa. Expresaremos con claridad si estamos hablando de todos (o 

ninguno) o de algunos de los sujetos. Diremos, por ejemplo: "todas las paredes 

son blancas", o "algunas estrellas son luminosas". 

No usaremos frases en las cuales el sujeto sea individual, por ejemplo: "El Sol es 

una estrella" o "Aristóteles es filósofo"; sólo usaré (salvo en ocasiones poco 

problemáticas) el TODOS (o NINGTINO) o el ALGUNOS.LaTazón de esto es 

que las frases individuales son en realidad universales, ya que hablamos de todo 

el sujeto; está claro que, si digo "el Sol es una estrella" estoy hablando de todo 

el Sol, no de una pafte. 

l {o usaremos imprecisiones en cuanto a lo afirmativo y 1o negativo, sino que 

expresaremos con toda claridad si es una frase afirmativa o negativa. 

Así que utilizaremos solamente cuatro clases posibles de proposiciones: 

Universal afirmativa; ejemplo: Todos los hombres son mortales. 

Universal negativa; ejemplo: Ningún tigre es amistoso. 

Particular afirmativa; ejemplo: Algunos navegantes son solitarios. 

Particular negativa; ejemplo: Algunos paredes no son blancas. 

{e} En cambio no nos importará mucho (al menos por ahora) si las proposiciones son 

verdaderas o falsas, absurdas o sensatas. Nos basta con que tengan el formato que hemos 

visto y pertenezcan a alguna de esas cuatro clases. Daremos por buenas frases como las 

siguientes: 

. Ningún político es deshonesto. 

. Todos los alemanes son brasileños. 

. Algunas piedras son peffos. 

. Algunos barcos no son marineros 

porque están bien construidas, corresponden a alguna de las cuatro clases y nos resulta 

por ahora irrelevante si son verdaderas o falsas, absurdas o sensatas. 

{f} El silogismo es una estructura que se compone de tres proposiciones conectadas entre 

sí: la primera proposición (a la que llamaremos primera premisa33) y la segunda 

proposición (a la que llamaremos segunda premisa) están relacionadas entre sí de tal 

manera que, de esa relación entre ambas, es posible obtener una tercera proposición (que 

llamaremos c onclus ión)34 . 

]J 

Lapalabra"premisa" viene casi directamente del latín y significa "lo envíado por delante" (el verbo mitto signiftca"envíar"), 

porque 1as premisas, en efbcto, son"lo envíado por delante de la conclusíón". 

34 

Hay formatos de silogismo que contienen más de 3 proposiciones, incluso una estructura que se llama "poli-silogismo", pero 

no nos ocuparemos de ellos por ahora. 

18

UNos EJEMPLoS sENCrLLos. 

. De la proposrcrón: 

. junto con: 

. podemos obtener: 


"Todos los hombres son mortales" (1" premisa) 

"Todos los griegos son hombres" (2" premisa) 

"Todos los griegos son mortales" (Conclusión) 

y así tenemos un ejemplo perfecto de silogismo (por ciefto, el más perfecto, pues el 

modelo de este silogismo se ha considerado siempre -ya desde el maestro Aristóteles-, 

el más perfecto posible). 

O bien: 

a 

a 

a 

De la proposición: 

junto con: 

podemos obtener: 

O bien: 

a De la proposición: 

a junto con: 

a podemos obtener: 

Baste por ahora 

básicamente. 

(4) Los 9 proscritos.- 

"Todos los berlineses son alemanes" (1" premisa) 

"Algunos cervecetos son berlineses" (2u premisa) 

"Algunos cerveceros son alemanes" (Conclusión) 

"Ningún perro es felino" (1" premisa) 

"Todos los tigres son felinos" (2u premisa) 

"Ningún tigre es perro" 

(Conclusión) 

este acercamiento al silogismo, pues ya sabemos en 

*** *** t


Sucede que hay unas leyes -que veremos con mucho detalle en su momento- para hacer 

silogismos correctos y muy pocos de esos 256 cumplen todas las leyes, por 1o cuaI24l modos 

no valen paranada, y sólo 15 valen. Ahora bien: 

¿,Sólo 15?... 

Algunos lógicos dicen que 19... 

Algunos lógicos dicen que24... 

Si restamos 24 menos 15, nos da 9, que son los modos que he llamado proscritos y cuyo estudio 

es el argumento de este libro. 

Los lógicos medievales inventaron una serie de palabras para memoúzar bien los modos 

correctos, especie de regla mnemotécnica que, en forma de verso latino, incluía las palabras en 

cuestión. 

Constaban, claro, de consonantes y vocales. 

Los modos correctos estaban distribuídos en las cuatro clases de silogismos. 

Desde hace mucho, las clases del silogismo se llaman FIGURAS del silogismo, 

lu ,2o , 3u y 4u . (Todavía no ha llegado el momento de explicar por qué son cuatro 

figuras distintas y en qué se diferencian; ya lo veremos). 

Sólo la primera figura es considerada perfecta (en esto de acuerdo con su 

fundador Aristóteles, que opinaba lo mismo). 

Los modos de las otras figuras podían, no obstante, converlirse en modos de la 

primera haciendo en ellos ciertos cambios. 

Las consonantes de cadapalabra indicaban qué cambios había que hacer en cada 

una de las proposiciones de cada uno de los modos para que dicho modo se 

convirtiera en uno equivalente de la primera figura perfecta del silogismo. Lo cual 

explica las consonantes de las palabras (aunque también alguna consonante estaba 

puesta sin mayor motivo que el que la palabra se pudiera pronunciar). 

Por 1o que se refiere a las vocales, cada palabra de los modos tiene tres vocales 

y como cada silogismo tiene tres proposiciones, es fácil comprender que cada 

vocal denomina a una proposición. Esto es, la primera vocal de la palabra 

corresponde ala primera premisa del silogismo, la segunda vocal a la segunda 

premisa y la tercera vocal a la conclusión. Por ejemplo: CELARONT, la "E" es 

la primera premisa; la "A" la segunda premisa; la "O" la conclusión. 

¿Pero qué signif,rcan esas vocales? En la doctrina de la proposición hay cuatro 

vocales en total: A,E,I,O, que luego se distribuyen en los modos de tres en tres. 

Y, aunque aún no 1o hemos relacionado, ya sabemos de qué va. Recordemos que 

20

35 

.A 

.E 

.I 

.o 


sólo hay cuatro clases de proposiciones, que ahora repetiré; desde la Edad Media 

se convino en simbolizar cada clase por una letra vocal, de forma que: 

Universal Afirmativa. 

Universal Negativa. 

Particular Afirmativa. 

Particular Negativa. 

De este modo, una palabra como BAMALIP nos indica, por ejemplo, que su 

primera premisa es una proposición universal afirmativa, porque la primera vocal 

es A; que su segunda premisa es también universal afrmativa,porque su segunda 

vocal es también A, y que su conclusión es pafticular afirmativa porque su tercera 

vocal es I. 

Ya podemos decir las "palabrejas"35 de los 24 modos: 

PRIMERA FIGURA DEL SILOGISMO: 

a 

a 

a 

a 

a 

o 

BARBARA 

CELARENT 

DARII 

FERIO 

BARBARI 

CELARONT 

SEGLINDA FIGURA DEL SILOGISMO: 

a 

a 

a 

a 

a 

a 

CESARE 

CAMESTRES 

FESTINO 

BAROCO 

CESARO 

CAMESTROP 

TERCERA FIGURA DEL SILOGISMO: 

DARAPTI 

FELAPTON 

DISAMIS 

DATISI 

BOCARDO 

FERISON 

Hay que reconocer que son raritas, aunque eso y los versos las hacían más fáciles de recordar por los estudiantes 

2t


CUARTA FIGURA DEL SILOGISMO: 

BAMALIP 

CALEMES 

DIMATIS 

FESAPO 

FRESISON 

CALEMOP 

Los versos latinos de los 19 modos (los 5 hasta 24 eran ignorados por 

considerarlos iguales que otuos de los 19, y los 4 hasta 15 que la lógica actual 

también rechaza, entonces no se rechazaban) son: 

Barbara, Celarent, primae Darii Ferioque, 

Cesare, Camestres, Festino, Baroco secundae, 

Tertia grande sonans recitat: 

Darapti, Felapton, Disamis, Datisi, Bocardo, Ferison, 

Quartae sunt Bamalip, Calemes, Dimatis, Fesapo, Fresison. 

Bien, los lógicos más "generosos" dicen que valen esos 24 modos y que cumplen 

todas las leyes del silogismo. Otros generosos "a medias" dicen que hay 19 

modos válidos, y que la diferencia, los 5 modos que no admiten ellos, son en 

realidad idénticos a otros y no diferentes. Por fin hay lógicos, los actuales, que 

mantienen como válidos sólo 15, y los otros 9los consideran falsos. 

Atención: no porque desobedezcan las viejas leyes tradicionales del 

silogismo, sino porque, a su entender, debería haber una ley más que no 

definieron los medievales y contra ésa sí desobedecen, de modo que, en 

realidad y si se analizan las cosas bien, esos 9 modos *los que he citado 

al principio de este punto- no valen. Aunque también hay lógicos actuales 

que los interpretan de forma tal que, a pesar de los pesares, parecen 

correctos. 

Mostraré sistemas de verificar si esos modos se diferencian en corrección de los 15 que nadie 

discute; varios sistemas, y explicaré su funcionamiento. Y aunque en realidad sí será una 

demostración, mi intención es más mostrar que demostrar, que vea el lector qué diferencias hay 

entre esos 9 y los otros 15 y entienda las razones de los defensores y de los detractores. 

(5) Resumen del debate.- 

A 1o largo de todo 1o que llevo dicho ya se 

y no se han leído todavía los apéndices 

a 

a 

a 

a 

a 

a 

a 

a 

a 

*t


compromiso existencial o cuestiónexistencial,queplanteaundebatemoderno sobre el silogismo. 

En el punto (6) de este capítulo introduzco algo dicho asunto, pero dejo claro ahora que, en 

efecto, existe un cierto debate: 

"El problema del compromiso existencial no ha encontrado aún una 

solución teórica totalmente satisfactoria. En la práctica, posiblemente sea 

el mejor expediente, como ha indicado CHURCH36, condicionar el uso de 

las proposiciones categóricas universales a presuposiciones de contexto 

que permitirán o no, según el caso, la aplicación de las referidas leyes de 

subalternación y conversión accid eÍttal."37 

No pretendo ahora -tema que repito y repito "no pretendo todavía", "no trataré aún" ...38-, que 

se comprenda qué es la subalternación ni la conversión accidental, cuestiones que explicaré en 

su momento; cito el texto para que se vea que, en efecto, hay problema. Los puntos más 

conspicuos del debate serían. 

36 

La citada cuestión existencial. 

La naturaleza categórica o hipotética del silogismo aristotélico. 

Las limitaciones del silogismo frente a una notación simbólica que permite 

hacerse cargo de segmentos teóricos que la doctrina tradicional no contemplaba. 

Si las críticas contra el silogismo, basadas en la cuestión existencial, o en la 

discutible naturaleza de la cópula verbal "es" iApéndice 5i (el apéndice 5 de 

final del capítulo trata sobre las funciones del verbo 'oser" en las proposiciones. 

Aconsejo intenumpir por ahora la lectura del texto y leer dicho apéndice, ya que 

indica los muchos sentidos en que ese verbo predicativo fundamental puede ser 

usado), o en la naturaleza categórica o condicional, o..., son o no son 

contrarrestadas por las defensas que arremeten contra esas críticas, como la, 

discutible validez de los valores veritativos del condicional (que están en la base 

de la crítica basada en la cuestión existencial), o el discutible asunto de si, 

entendiendo el silogismo aristotélico como hipotético y no categórico, se siguen 

manteniendo dichas críticas, etc., etc. 

*** 1.** **{< {

(6) Cuestión existencial.- 


La cuestión existencial anula lavalidez de los nueve modos del silogismo3e: 

BARBARI 

CELARONT 

CESARO 

CAMESTROP 

DARAPTI 

FELAPTON 

BAMALIP 

FE,SAPO 

CALEMOP 

Como ya he explicado el significado de las cuatro vocales A, E, I, O, es fácil ver que los nueve 

modos en cuestión tienen una característica en común: en todos los casos las dos premisas son 

universales (las dos primeras vocales son "A" o "E"), ya sean negativas o afirmativas, mientras 

que la conclusión es particular (es 'oO" o "I"). Por 1o tanto, parece sencillo suponer que las 

críticas estarán basadas (conrazón o no, eso ya lo veremos) en que de premisas universales no 

se puedan sacar conclusiones particulares. En su momento, entre las ocho leyes tradicionales del 

silogismo correcto, veremos alguna que se refiere a dos premisas negativas, alguna que se refiere 

a dos premisas particulares, alguna que se refiere a dos premisas afirmativas... pero nada sobre 

dos premisas universales. 

Repasando los restantes 15 modos, los buenos, (repasando las palabras con que se los denomina), 

vemos que, en efecto, ninguno de los otros tiene esa particularidad; esto es: 

Si las dos premisas son universales, entonces la conclusión también lo es. 

Si la conclusión es particular, entonces una de las dos premisas lo es. 

Nunca ocurre con los 15 buenos que las dos premisas sean universales y la 

conclusión sea parlicular. 

Veremos en su momento (y si el lector no ha seguido mi consejo y ha leído el apéndice 3 de final 

del capítulo ya lo habrá visto también) que los lógicos actuales tienen buenas razones para obj etar 

ese tipo de silogismo que parte de lo universal y concluye con 1o parlicular, pues la universalidad 

no hace -aunque nos 1o parczcaasí a veces- referencia ninguna a la existencia real de individuos 

39 

Mucho más adelante, cuando entremos de lleno en el análisis de los modos del silogismo, introduciré una forma especial de 

expresar los silogismos (una notación -"notación" es como se llama cualquier modo simbólico de expresar fórmulas- cuyo 

nombre es TIG -topo-icono-gráfica-)" que nos mostrará varios "grados de diversa validez" de los silogismos" y no sólo 15 

coffectos y 9 incorrectos. Pero se tratará de un ensayo para interpretar por mi parte y de modo un poco distinto, algo que está 

desde hace más de un siglo planteado de fbma muy concreta. la que acabo de decir y a la que me refiero en el apartado (6) y 

en las parles centrales del libro, los 15 buenos y los 9 proscritos 

24


que cumplan esa característica universal, esto es, existencia real de individuos que pertenezcan 

al grupo, mientras que la esencia de la particularidad es precisamente hacer referencia expresa 

a la existencia real de individuos que sí peftenezcan al grupo. Por 1o cual podemos encontrarnos 

con que las premisas universales se refieren a conjuntos vacíos, grupos de seres ficticios de los 

que no haya en realidad ninguno (quimeras, centauros, círculos cuadrados, caballeros jedi, 

krakens gigantescos de 200 metros.. .) e inferir de ahí la afirmación de la existencia real de alguno 

de esos individuos es un abuso lógico. 

Como en los ejemplos de silogismos (y, en general, en los ejemplos de lógica que se suelen usar, 

nunca muchos pero siempre alguno) ponemos términos como "hombres", "morteles", 

"españoles","franceses","europeos",etc.,etc.,yhacemosfrasescomo "todoslosespañolesson 

europeos", ocurre que damos por descontadala existencia real de individuos concretos que 

pertenecen a esos grupos, esto es, que hay españoles y que hay europeos, porque casualmente 

esos ejemplos se refieren a conjuntos en los que sí hay,y lo sabemos, muchos individuos reales. 

No nos parece una afirmación lógicamente menos segura que "algunos españoles son europeos". 

(De hecho, en frases como esas dos, la segunda es verdadera y la primera no, pues es verdad que 

algunos españoles son europeos, mientras que no es cierto que todos lo sean, ya que los ceutíes, 

melillenses y canarios son españoles pero no son europeos, sino africanos). 

Pero puesto que es posible referirse a conjuntos universales, aunque vacíos, sin individuos, y las 

proposiciones particulares afirman la existencia real (o la inexistencia real en las proposiciones 

negativas, el asunto es el mismo) de individuos en esos conjuntos. ocurre que las formas de 

silogismo que contienen dos premisas universales y una conclusión particular, pueden ser 

verdaderas, pero pueden ser falsas, es decir, no podemos asegurar que sean siempre verdaderas. 

Mas la doctrina del silogismo cuenta con que los modos buenos son siempre verdaderos, leyes 

lógicas, TAUTOLOCÍAS G{ECESARIAS), como 1o son en realidad los 15 aceptados; mientras 

que los 9 proscritos son CONTINGENTES, esto es, a veces resultarán verdaderos, pero a veces 

resultarán falsos y, por tanto, no son leyes lógicas, sino formulas corrientes de insegura validez. 

* 

ALGT,NOS EJEMPLoS SENCILLoS.. 

(De frases sueltas y también de silogismos, tanto contingentes como necesarios). 

Frases CONTINGENTES (a veces verdaderas, a veces falsas): 

a 

a 

a 

a 

a 

Llueve. 

La calle está mojada. 

Hoy es lunes. 

Hoy es domingo. 

Mañana va a nevar. 

25


. Frases NECESARIAS (siempre verdaderas): 

. Si llueve, la calle se moja; y, puesto que llueve, la calle se moja. 

. Todos los lunes vienen tras el domingo. 

. Si mañananieva, caeráncopos heladosa0. 

. Silogismo CONTINGENTE (a veces verdadero, a veces no): 

. Todos los veranos son calientes. 

. Todos los julios en España son verano. 

. Algunos julios en España son calientesal. 

. Silogismo TAUTOLÓGICO (necesario, siempre verdadero): 

. Todos los hombres son mortales. 

. Todos los griegos son hombres. 

. Todos los griegos son mortales. 

*** *:F{< {

Apéndices finales del Capítulo I 

lApéndice 1l 


Los predicados de frases afirmativas son siempre particulares, los predicados de frases negativas 

son siempre universales. 

Vayamos por partes: lapalabra'ofrases" no se emplea mucho en lógica, sino más bien"juicios" 

o "proposiciones". En otro momento entraré en la disquisición de en qué se diferencian esas dos 

cosas y cuál es su empleo comecto según 1o que se pretenda decir; baste ahora saber que, en 

general, un juicio es la conexión mental entre dos conceptos, mientras que una proposición es 

la expresión -hablada, escrita, mímica-, de ese juicio en palabras del lenguaje. Todos los 

ejemplos que yo ponga aquí serán, por tanto, proposiciones. Si digo : "todos los hombres son 

mortales" , esas cinco palabras son la proposición que expresa, en español escrito, el pensamiento 

mío en que la idea (o concepto) "mortales" -que sé en qué consiste o, al menos, me figuro que 

lo sé-, la asigno a la idea (o concepto)"hombres" -que sé en qué consiste o, al menos, me figuro 

que 1o sé-, incluyendo el grupo de los hombres en el grupo más amplio de los mortales. En este 

libro no voy aprecisar acadamomento de qué se trata o, dicho de otra formamejor, casi siempre 

se tratará de las dos cosas a la vez, la realidad mental y su expresión lingüís tica, ya que en la 

mayoría de las ocasiones no nos importará la distinción a efectos prácticos; desde luego que, si 

cuando los ejemplos son como el que acabo de poner, juicio y proposición pueden ser tomados 

efectos prácticos, repito, no a efectos teóricos en que son dos cosas bien distintas- como lo 

-a 

mismo, cuando formalice el juicio (exprese el juicio -esto es, su grupo general-, como una 

fórmula esquemátic ay vacía) entonces será efectivamente una proposición y no un juicio porque 

no coffesponderá a ninguna realidad mental. Vayamos a los ejemplos: 

t1l 

l2l 

t3l 

l4l 

lsl 

Todos los hombres son moftales 

Todos los S son P 

A(x) [S(x) - P(x)] 

Aa lSa * Pal 

[S-P] 

Estas cinco líneas pueden estar refiriéndose a lo mismo, pero en realidad son lógicamente 

distintas. La [1] es una proposición o un juicio (depende de si nos remitimos al proceso mental 

o a la frase que lo expone), mientras que la [2] es una proposición y no un juicio porque se trata 

de un esquema vacíoa2 que no corresponde, en principio, a ninguna conexión mental, a menos 

que sí tengamos en la mente todos los "S" y todos los "P" -sea lo que sea S, sea 1o que sea P- 

42 

En realidad, hablando de forma estrictamente lógica, ese esquema de [2] que, en efecto, es vacío, es no obstante un esquema 

cerrado. Según los lógicos, un esquema abierlo sería el siguiente: Q(x,y,z), porque tenemos variables individuales libres que ni 

están representadas por una constante (un parámetro) ni están cuantificadas. Ya se ve, por tanto, que los dos modos de "cerrar" 

esa fórmula serían, o bien haciendo que las variables sean sustituidas por parámetros (Q,a,b,c) donde "a" es un individuo 

concreto que sustituye a¡. "b" es un individuo concreto que sustituye ay, "c" es un individuo concreto que sustituye az; el otro 

modo sería cuantificar las variables I Ar, Vy, Yz,Q@¡3) ]. donde las tres variables están determinadas por un cuantificador, la 

x por el universal, lay, z,por el particular. Pues bien, nuestra línea [2] muestra las variables S y P cuantificadas, pues la S va 

precedida por el "todos" y la P, como predicado de proposición afirmativa, es particular -ya veremos con detalle este asunto-. 

27


y los estemos pensando atribuídos los segundos a los primeros; podría representar juicios pero 

en tanto que tal esquema, y entonces valdría para cualquier juicio que tuviese su mismo formato, 

no sólo para un juicio concreto. La [3] es una fórmula cuantificada en donde tenemos como 

fundamento una variable cercada,la (x); esa fórmula se lee asi.^ "para todo x, si x es S, entonces 

x es P",lo cual es un modo -aún más formal y con menor contenido material-, de expresar lo 

mismo que en [2]; decimos que (x) es una variable porque: representa a cualquier individuo, o 

supone, o suple, por cualquier individuo concreto, puede ser sustituida por cualquier individuo 

concreto (por tanto, es una variable), y se dice cerrada porque está acompañada de un 

cuantificadoÍ, el"todo,.e", representado por el símbolo de la conjunción (más adelante veremos 

esto con detalle), el A, que también se usa para expresar la totalidad; la línea 14] es un sinsentido, 

pues no es correcto expresar cuantificadores cuando acompañan a un parámetro ("a" es un 

parámetro) porque se trata de variables individuales y si bien sí tiene sentido decir "han venido 

todos los socios", no tiene sentido decir "ha venido todo Pedro", por eso los individuos no son 

acompañados por cuantificadores. Pero acabamos de llamar variable a (x) y variable a"a" ¿,cómo 

es eso?. A pesar del aparente lío, el asunto es sencillo: (x) es una variable verdadera que no 

representa a ningún parámetro concreto sino a cualquier parámetro, mientras que "a" es una 

variable en el sentido de que me evito decir "Juan", o "Pedro", o "Federico", para no concretar 

demasiado, pero me estoy refiriendo a un Juan o a un Pedro o a un Federico; es variable en 

cuanto a que representa a una constante, pero lógicamente se trata de una constante, aunque la 

llamemos variable por su función representativa. Es para evitar esta imprecisión y este pequeño 

barullo por 1o que es muy preferible referirse a (x) como una variabley a"a" como una constante 

o, mejor aún, como un parámetro. 

"Es corriente encontrar en los manuales de lógica la distinción entre 

fórmulas abiertas y cerradas, según que contengan o no variables 

individuales libres. Por ejemplo, las expresiones Px, Qxy, serían formulas 

abiertas, mientras que AxPx, Vx Ay Qxy, serían cerradas, puesto que no 

contienen ninguna variable individual que no se encuentre ligada por un 

cuantificador. . .. En nuestro cálculo eludiremos en la medida de lo posible 

la manipulación explícita de fórmulas abiertas recurriendo al uso de 

parámetros (variables individuales no susceptibles de cuantificación; en 

símbolos: a, b, c...)"43 

Lalínea [5] representa lo mismo que todas las demás (excepto la [4] que carece de sentido) y 

expresa la atribución del predicado "P" a todos los "S" -en este caso el papel del cuantificador 

1o hace el operador -, como explicaremos más adelante- formula que no incluye parámetros 

precisamente porque está cuantificada, lo cual, como acabo de decir, sería un sinsentido. 

Vemos, pues, la cantidad de sutilezas alambicadas que pueden superponerse en estos análisis 

lógicos, y la conveniencia de obedecer el punto "f' del texto principal, evitar bizantinismos; 

sustituyamos la palabra "frases" por "proposiciones" o por 'Juicios" sin mayor problema y 

volvamos al principio de esta nota: 

43 

Manuel Garritlo,l-ÓCICa SIMBÓLICA, ed. Tecnos, Madrid 1974,pag. 129 

28


Los predicados de juicios afirmativos son siempre particulares, los predicados de juicios 

negativos son siempre universales. Lo mejor para explicar esto, como tantas veces, será 

UN gtgtupt-o sBNctt-1,o.- Elmás sencillo es un diagrama de Euleraa, en donde representaremos 

un par de juicios: "Todos los suizos son europeos",y "algunos bolivianos no son europeos" .Los 

diagramas de Euler sonmuy intuitivos, pero digamos de antemano que cadauno de los términos, 

es decir, "suizos" ,"bolivianos" y "eltropeo^s", será representado por un círculo e incluiremos unos 

círculos en otros o excluiremos unos círculos de otros para representar ambos juicios. Véase la 

figura: 

Todos los sui¿os son europeo$ 

Algunos bolivianos no son europeos 

Está clarísimo que " sLtizos" es universal, porque estamos hablando de todos ellos; igualmente que 

"bolivianos" es particular, porque estamos hablando de algunos de ellos. Ahorabien."europeos" 

¿cómo es?... Pues también está claro que, en el juicio afirmativo, ese predicado "europeo,s" es 

pafticular, potque nos estamos refiriendo a l.a parte de los europeos que se corresponde 

exactamente con los suizos, pero no nos estamos refiriendo para nada a los europeos que son 

franceses, españoles, ingleses, alemanes, austríacos, letones, italianos, porlugueses, andorranos, 

polacos, suecos, finlandeses, daneses, húngaros, etc., etc. Igualmente está muy claro que en el 

44 

IBolivianos 

Leonhard Paul Euler, matemático suizo, uno de los más importantes de la historia de su ciencia, nació en Basilea, Suiza, en 

1707, y murió en San Petersburgo, Rusia, en I 783. 

29


juicio negativo su predicado "europeos" es universal porque nos referimos a todo éI, ahorapara 

excluirlo al ser frase negativa, está siendo excluido en su totalidad,yaque los bolivianos no son 

ni los europeos suizos, ni los europeos franceses, ni los españoles, ingleses, alemanes, austríacos, 

letones, italianos, portugueses, andonanos, polacos, suecos, finlandeses, daneses, húngaros, etc., 

etc., ni ninguno de los europeos. 

{< 

Recordemos, por tanto, que, si bien el sujeto de un juicio universal es universal, y el sujeto de 

un juicio particular es particular, los predicados no van por ese mismo camino, sino por la 

afirmación y la negación, de forma que los predicados de juicios afitmativos son siempre 

particulares y los predicados de juicios negativos son siempre universales. Siempre. 

Otra cosa que puede haber salido de ojo a la intuición del lector es la proposición "algunos 

bolivianos no son europeos" porque lo natural es pensar "¿Cómo algunos?... ¡Ningún boliviano 

es europeo!", reputando como falsa la proposición anterior. Atención: en lógica, lo que se 

expresa es 1o que se expresa, no hay sobreentendidos, no queremos decir algo que no decimos 

pero que viene supuesto en 1o que sí decimos. Eso sucede en el idioma habitual en que nos 

expresamos, ya que es una úquezaañadida para potenciar mucho las posibilidades del habla. Si 

alguien formulara el dudoso aserto "Algunos políticos son honrado,s", todos pensaríamos que 

-además de ser un optimista benevolente e ingenuo-, estápretendiendo decir que son poquísimos 

y que todos los demás son 1o que son los políticos: ladrones, mendaces, prepotentes, tiranos, 

estafadores. corruptos, cínicos... En lógica, si se dice algo de algunos, no se está expresando nada 

en absoluto acerca de todos los demás, por 1o tanto la proposición "algunos bolivianos no son 

europeos" es verdadera, pues lo que dice es verdadero porque algunos bolivianos cieftamente no 

son europeos, y no está suponiendo nada más en relación con el resto de los bolivianos de los 

cuales no se dice nada ni se sobreentiende nada. 

Este asunto de que, en lógica, lo que se dice es 1o que se dice y no se sobreentiende nada de 1o 

que no se dice, nos viene también a iluminar sobre un pequeño cabo suelto: he dicho -y 

subrayado-" siempre"; ahora bien ¿no habrá predicados de juicios altrmativos universales que 

coincidan exactamente con su sujeto y de los cuales predicados podamos decir que, a pesar de 

ser de juicios afirmativos, son universales, contradiciendo ese siempre que hemos asegurado 

tanto? Por ejemplo en la proposición: "Todos mis hermanos son hijos de mi padre y de mi 

madre". Es evidente que, en ese juicio, el predicado es tan universal como el sujeto pues no hay 

más hijos de mi padre y de mi madre que mis hermanos. Sin embargo lógicamente 1o dicho antes 

se mantiene, porque en ese juicio tomamos del predicado la parte correspondiente al sujeto, sin 

investigar si hay o no hay más cantidad de predicado que no está siendo intervenido ni 

comesponde al sujeto. 

Otros lógicos explican la cuestión diciendo que, en realidad, esaproposiciónno expresaunjuicio 

abierto, sino una tautología (algo así como A:A), esto es, no se trata de la misma clase de juicio 

de que me vengo ocupando aquí; se trata de una definición que, si está bien hecha, y ésa lo está, 

es una tautología. Como veremos cuando nos ocupemos de analizar 1o que se llama la "cópula", 

el verbo "ser" que hace de verbo universal entodos estos juicios, aunque patezca siempre el 

mismo, en realidad es muy distinto y puede ejercer oficios muy diferentes. 

30


Nos quedan otras dos consideraciones sobre la cantidad de los predicados y, en general, sobre 

la cantidad de los términos. Para diferenciarlas las llamaré alfa y beta. 

Alfa.- 

Los lógicos escolásticos y neo-escolásticos explican la cantidad de los predicados mediante las 

propiedades "comprensión" y "extensión" de los conceptos. Llamamos comprensión de un 

concepto al conjunto de las notas que componen su esencia, que 1o definen, mientras que 

llamamos extensión al ¿número? de individuos a los cuales el concepto -como tal universal: 

unum versus alia, "uno hacia otros"- representa. Tengamos, por ejemplo, los conceptos 

"hombre" y "cono". La comprensión del primero consiste en las notas esenciales: "animal, 

racional"; su extensión son todos los hombres, pasados, presentes y futuros. La comprensión del 

segundo consiste en las notas esenciales- "sólido, superficie cerrada, vértice, plano, curva", 

puesto que su definición es "Sólido limitado por un plano que corta a una superficie cerrada, 

que es la generada por una recta que pqsa por un punto fijo, el vértice, y recone una curva 

dada"; su extensión son todos los conos. 

Es momento de llamar la atención sobre las interrogaciones de la palabra ¿número? pues, en 

efecto, ¿cuántos son los hombres pasados, presentes y futuros? ¿Cuántos son los conos?... La 

extensión no consiste en el número, sino en la amplitud (podríamos decir metaforicamente "la 

amplitud angular") del concepto, y en este sentido está bien claro que la extensión del concepto 

"hombre" es mucho menor que la del concepto "animal", porque, sin necesidad de contarlos, 

sabemos que ha habido, hay y habrá, muchos más animales que hombres; y sabemos que la 

extensión de"hombre" es mayor que la de"hombre blanco",también sin hacer la cuenta, porque 

en ese amplitud entran los negros, los amarillos, los cobrizos, que no entran en la extensión de 

"hombre blanco".Igual con el segundo ejemplo, hay más conos que"conos de 10 cm de 

diámetro en la base", y menos conos que "sólidos geométrico^s", porque las esferas, los 

hexaedros y los pentadodecaedros, son también sólidos geométricos y no son conos. 

La comprensión y la extensión van enrazón inversa, lo cual se entiende en cuanto se empieza 

a afladir notas esenciales a un concepto aumentando de esa forma su comprensión y 

disminuyendo, al hacerlo, su extensión, como en los ejemplos que acabo de utilizar unas líneas 

más arriba. En efecto, el concepto "hombre" no incluye como nota esenciallaraza blanca, de 

fotma que si aumento su comprensión añadiendo esa nota, paso a tener el concepto "hombre 

blanco", más comprensivo, pero claramente menos extenso porque, como hemos visto y 

sabemos, hay menos hombres blancos que hombres. Si a la comprensión de ese mismo concepto 

"hombres" le resto ahora una nota de su esencia, por ejemplo la nota de la racionalidad, el nuevo 

concepto "animal" es menos comprensivo, pero claramente más extenso. 

Esta relación entre comprensión y extensión sirve para que los lógicos escolásticos justifiquen 

la universalidad de los predicados negativos y la particularidad de los predicados afirmativos. 

Entendiendo la atribución de predicado a sujeto como una relación de doble aspecto, esto es: la 

proposición "este hombre es blanco", (l) alavez dice que en este hombre concreto, la blancura 

le es asignada (el predicado asigna al sujeto la nota blancura; entendemos la relación en tanto que 

la comprensión del sujeto), pero también (2) este hombre concreto es uno de los que entran en 

el grupo de los blancos (asigna este individuo al predicado; entendemos la relación en tanto que 

31

la extensión del predicado): 


"Desde el momento, en efecto, que el S "este hombre" entra en la 

extensión del Pr "blanco", es porque la extensión del Pr "blanco" está 

tomada en la proposición como mayor que la del S "este hombre" ... En 

toda afi rmativa, el predicado está tomado particularmente."45 

Similar razonamiento, aunque inverso, lleva a Maritain a asegurar que "En toda negativa, el 

predicado está tomado universalmente" libid., pag.173l 

Beta.- 

Algunos lógicos fpor ejemplo W. Hamilton], no obstante 1o dicho antes, creen que la solución 

habitual -se explique como se explique- de que los predicados de afirmativa son siempre 

particulares y los de negativa siempre universales, es una solución parcial que no agotatodo lo 

que se puede decir de la cantidad de los predicados, y que hay que cuantificarlos de modo 

expreso, lo que, además, conlleva un aumento de las posibilidades lógicas, hasta ocho en cuatro 

clases: 

t6] Proposiciones toto-totales, que darían dos casos: 

[6.1] Todo S es todo P. 

16.21 Ningún S no es ningún P. 

171 Proposiciones toto-parciales, con los dos casos: 

17.ll Todo S es algún P. 

17.21 Ningún S no es algún P. 

t8] Proposiciones parti-totales, con los casos: 

18.11 Algún S es todo P. 

[8.2] Algún S no es ningún P. 

t9] Proposiciones parti-parciales, con los casos: 

[9.1] Algún S es algún P. 

L9.21 Algún S no es algún P. 

Una muestra más de que laformalización, incluso primitiva, aumenta mucho las posibilidades 

expresivas de la lógica, pero también una muestra más de las alambicadas sutilezas -quizá 

imparables- que los análisis lógicos pueden conllevar. 

45 

Jacques Maritain, EL ORDEN DE LOS CONCEPTOS, ed. Club de lectores, Buenos Aires 1963, pags. 170-172 

32

iApéndice 2O 


En español la negación coffe suertes muy peculiares, hasta el punto de que la lógica se ve forzada 

cuando no tenemos cuidado con ciertas expresiones. Por ejemplo, igual que en álgebra la 

negación de lo negativo es positiva, en lógica la negación de una negación es afirmación, 

mientras que en español dos negaciones juntas ratavez se anulan, sino que, por el contrario, se 

potencian: "No ha venido nadie" no significa"han venido todos", que es lo que lógicamente 

debería significar, sino la ausencia total. 

Pero vayamos a nuestro asunto: Si queremos expresar la universalidad y la negación, es decir, 

el"todos" y el"no", usando ambas palabras, en español no tenemos modo correcto y normal de 

hacerlo; probemos a poner el no en los distintos lugares de la frase "Todos los pinos son 

diputados" para negarla: 

t1l 

l2l 

t3l 

l4l 

tsl 

t6l 

NO todos los pinos son diputados. 

Todos NO los pinos son diputados. 

Todos los NO pinos son diputados. 

Todos los pinos NO son diputados. 

Todos los pinos son NO diputados. 

Todos los pinos son diputados NO. 

Está claro que [2], [3], [5] y [6] no son fotmas correctas de hablar en español y, o no se entienden 

en absoluto, o se entienden mal porque ¿qué son los "no pinos", o los "no diputados"? ¿Todos 

los entes universales que no son pinos, todos los que no son diputados? ¿Las estrellas, los 

gusanos, los océanos, los dioses, los lapiceros, los relojes, las religiones, las tijeras, los teoremas, 

las garrafas,los Gadus morhua (bacalaos)...? 

En cuanto a l4l, suena a la vez raro y sospechoso, porque la tendencia del que lo oye es a 

entenderlo de forma particular, cosa que sucede de forma absoluta con [ 1 ], ya que quien ernpieza 

con"no todos" está queriendo decir "algunos" que es la afirmación particular, justo 1o opuesto 

a lanegación universal ."No todos los animales sonvertebrados" (frase lógicamente falsaporque 

en lógica quiere decir que ningún animal es vertebrado y eso no es cierto) se entiende como 

"Algunos animales son vertebrqdos" y "Algunos animales no son vertebrados", proposiciones 

ambas verdaderas pero lógicamente opuestas a la anterior. 

La manera correcta y usual de expresar en español, sin ambigüedades, la universalidad y la 

negación, es"ningún","ninguno"."Ningún pino es diputado","ningún animal es poeta" (hacer 

en lógica bromas con los ejemplos puede parecer gracioso pero casi siempre sale el tiro por la 

culata; el que quiera darle la vuelta a la frase y -porque conoce a alguno-, diga que, en cambio, 

"algunos poetcts sí son animales", tenga en cuenta que los juicios universales negativos como 

"ningún animal es poeta" -cosa verdadera-, pueden darse correctamente la vuelta mediante una 

conversión simple -lo veremos en su momento-, en este caso "ningún poeta es animal", que es 

lógicamente equivalente y verdadero también, aunque conozcamos a ciertos poetas que...). 

JJ


Las lógicas simbólicas, al formalizar de modo completo las proposiciones, hurtando casi del todo 

las referencias al contenido material de las mismas, han alcanzado un extraordinario grado de 

generalidad, que no podría haberse expresado -y, en consecuencia, no se podría casi ni 

sospechar-, en los formatos de la vieja lógica tradicional. En el español corrientemente hablado 

carecen de sentido -o lo tienen muy raro- expresiones como las siguientes: 

l7l Todos no los no árboles son no vegetales. 

t8] Algunos no hombres son océanos. 

t9] Algunas no no estrellas son no ángeles. 

[10] No hay ningún individuo que sea no P y sea no Q. 

Pero no hay mayor problema en expresarlas mediante fórmulas de la lógica simbólica: 

l7l -A (x) [ -A(x) - -v(x)] 

l8l v(x)[-H(x)Ao(x)] 

tel -v (x) [ -E(x) A -A(x)] 

[10] -[-P ^ -Q] 

porque podemos negar sin problemas el cuantificador, lo mismo que cualquiera de los términos, 

haga de sujeto o haga de predicado, del mismo modo que podemos evaluar dichas fórmulas 

mediante el procedimiento que hayamos implementado para ese cometido (veremos en su 

momento -y será la esencia de la explicación en que consiste este libro- la evaluación de las 

fórmulas de nuestro cálculo mediante tablas de valores de verdad). Sucede igual que con las 

matemáticas, donde las cantidades negativas son sencillas de manejar en álgebra mientras que 

su expresión hablada en según qué ejemplos sería un sinsentido, incluso en términos de 

aritmética elemental. La operación de adición que se esquematiza debajo: 

[11] -a+ 

(2a+ 4a) + (*5a + I2a): 4a 

no tiene complicación ninguna, pero si pretendiésemos sumar "no manzanas" o empezar restando 

vnamanzana cuando no hay ninguna todavía en el montón... 

Suele asignarse al lógico Hans Reichenbacha6 la iniciación moderna del formato ("notación" se 

dice en lógica) que permite negar y negar 1o negado con facilidad, pues creó un sistema muy 

sencillo en donde el signo de la negación se superpone a lo negado, de modo que pueden 

superponerse tantas capas de negación como se quiera; éste sería el aspecto de nuestra reciente 

línea Ii0]: 

[10] 

donde se niega la P con un negación encima, 

superpuesta a las anteriores. 

46 

PA8 

la Q con otra y la conjunción de ambas con otra 

Hans Reichenbach,fisico,lógico y filósofo alemán de la ciencia, nació en Hamburgo, Alemania, en 1891 y murió en Los 

Ángeles, USA, en 1953 

.A 

)+

tApéndice 3a 

Lección emérlta sobre el silogismo * Miguel Cobaleda 

Para simbolizar los cuantificadores se han empleado varios símbolos, algunos de los cuales han 

tenido cierto éxito por la personalidad de sus autores o por la similitud con otros. Así, en los 

Principia mathematica de Russell y Whitehead, para el cuantificador universal se empleaba 

sencillamente (x), pero para el particular emplearon -x, que se mantuvo un tiempo por el 

prestigio de ambos y de su libro. A similitud de ese lx, y considerando poco explícito el 

universal (x), otros autores propusieron para el universal el símbolo Vx, que corrió parejas con 

el anterior y estuvo vigente un tiempo. También se han empleado fx (particular), flx 

(universal)... 

Parece que finalmente todos se han puesto más o menos de acuerdo en usar los dos símbolos A 

(para el cuantificador universal), V (para el cuantificador parlicular), por una superior elegancia 

tanto estética como conceptual, aunque también hay nostálgicos que siguen usando Vx y -x. 

Para su mejor uso y retentiva, parece conveniente explicar los dos más usados actualmente, 

también porque se da la circunstancia de que coinciden con los símbolos de los dos importantes 

operadores conjunción ( A ) V disyunción ( V ), coincidencia que puede originar equívocos. La 

cuestión es que, para proceder a esa explicación, es inevitable tratar antes otros asuntos previos 

de gran importancia teórica y operativa, básicamente tres: [a] una introducción, al menos, sobre 

los valores de verdad de los distintos operadores lógicos; [b] lo relativo al funcionamiento del 

operador implicación ( - ); y [c] lo relativo al llamado "compromiso existencial" o "cuestión 

exislencial", eue están relacionados entre sí y con el tema que nos ocupa. 

lal 

Tablas de valores de verdad de los operadores lógicos. 

Las razones de que las tablas de valores de los operadores sean las que son, están intuitivamente 

claras en casi todos los casos, menos precisamente en el caso del operador implicación (el más 

importante de todos, representante de la forma condicional de pensar, forma que está en la base 

de todo pensamiento humano -de hecho constituye el ladrillo esencial del edificio de nuestro 

pensamiento-), cuyos valores distan de ser intuitivos porque la intuición más bien los cree 

equivocados. 

El operador conjunción une, conjunta, dos cosas, y sólo es verdadero cuando las dos cosas 1o son 

y falso en los otros tres casos. Si digo, sueltas las dos ftases, por un lado que "el sol es una 

estrella" y por otro lado que "el mer es una piedra", está claro que la primera es verdadera y la 

segunda falsa, pero cuando las junto en una sola frase, "el sol es una estrellaY el mar es una 

piedra", ahora que no van por libre y que no las evalúo por separado, sino que evalúo la 

conjunción de las dos, la falsedad de la una contamina a todo el conjunto, y aunque la primera 

sigue siendo verdad por separado, la conjunción de ambas es falsa. Representando "el sol es una 

estrella" o cualquier otra frase, no importa cuáI, por la letra P,y "el mar es una piedra" o 

cualquier otra frase, no importa cuál, por laletra Q; recordando lo que hemos dicho de que el 

operador conjunción es A, la tabla resultante tiene el siguiente aspecto (contando todos los 

valores posibles y sus posibles combinaciones): 

35

Lección emérita sobre el sllogismo * Miguel Cobaleda 

P 0 PAO 

verdadero verdadero verdadero 

verdadero falso falso 

falso verdadero falso 

falso falso falso 

Si las dos frases por separado son verdaderas, la conjunción 1o es; si una es verdadera y otra falsa, 

una falsa y otra verdadera o las dos falsas, la conjunción es falsa. 

El operador dislunción se queda o con lo uno, o con lo otro o con los dos, siendo falso solamente 

cuando ambas alternativas lo sean y verdadero en los otros tres casos. Si digo por separado "e/ 

tigre es carnívoro","el león es herbívoro",la primera es verdaderay la segunda falsa, pero la 

disl'nnción de ambas "el ligre es carnívoro O el león es herbívoro" es verdadera, porque la 

verdad de una sola me basta para validar la disyunción. 

Representando"el tigre es carnívoro" o cualquier otra frase, no importa cuáI, por la letra P,y "el 

león es herbívoro" o cualquier otra frase, no importa cuáI, por la letra Q; recordando 1o que 

hemos dicho de que el operador disyunción es V, la tabla resultante tiene el siguiente aspecto 

(contando todos los valores posibles y sus posibles combinaciones): 

Si las dos frases por separado son verdaderas, o una es verdaderay oi.ra falsa, o una falsa y otra 

verdadera la disyunción es verdadera; si las dos son falsas, la disy'unción es falsa. 

El operador mono-argumental (de una sola frase, digamos) "negación" es aún más intuitivo: si 

una frase es verdadera, su negación es falsa, si una frase es falsa, su negación es verdadera. No 

tiene misterio ninguno. Si "P" es verdadero "no P" es falso, si "P" es falso, "no P" es verdadero. 

Ni siquiera hay que incluir latabla para verlo con claridad. 

tbl 

P a PVO 


verdadero falso verdadero 

falso verdadero verdadero 

falso falso falso 

Los valores de verdad del operador implicación. 

Mas la implicación... 

El operador implicación traduce el condicional (y otros supuestos, pero básicamente el 

36


condicional), y podemos leerlo: "Si tal, entonces cLtal". "P - Q" podemos leerlo "P implica Q", 

pero también,"si P, entonces Q", o también"P lleva consigo a Q", o también "Q depende de P" . 

En todas estas frases y formulas se llama a P (la primera parte de la implicación) antecedente, y 

a Q (la segunda parte de la implicación) consecuente; antecedente es la primera parle de la 

implicación, la primera parte de la condición, consecuente es la segunda parte de la implicación. 

Dicho de otro modo: antecedente es la condición, consecuente es 1o condicionado. 

Algunos de los valores de la implicación se entienden sin más; por ejemplo: de un antecedente 

verdadero sólo puede salir un consecuente verdadero; el asunto está bien claro: si de un 

antecedente verdadero sacamos un consecuente falso, toda la frase es incorrecta, está mal, eso 

no puede ser. 

Pero -y aquí viene 1o anti-intuitivo- de un antecedente falso pueden salir correctamente tanto un 

consecuente falso como un consecuente verdadero. ¿Cómo así?... Si sacamos una verdad de una 

falsedad ¿eso es correcto, no falla la fórmula, se puede hacer, es válido?... ¡Pues sí, es válido! 

Hay formas de mostrar esto, pero el sistema más intuitivo, a mi juicio, de convencer a un lector 

que no tenga conocimientos profesionales de lógica de que así es como funciona el condicional 

o implicación, es mostrar otros argumentos que claramente sacan conclusiones verdaderas a 

partir de frases previas falsas (las frases previas en lógica se llaman "premisas" , del lafín pre 

millo, lo "enviado por delante"); demostrar que de premisas falsas pueden salir conclusiones 

falsas y conclusiones verdaderas, y en ambos casos la arquitectura de la prueba es correcta, 

intuitivamente clara. 

Pongamos tres ejemplos del mismo tipo (exactamente la misma estructura argumental correcta) 

de argumento, uno en que de premisas verdaderas salen conclusiones verdaderas, otro en que de 

premisas falsas salen conclusiones falsas y otro en que de premisas falsas salen conclusiones 

verdaderas: 

t1l 

l2l 

t3l 

Todos 

Todos 

Por 1o tanto: Todos 

Ios alemanes son europeos. 

los berlineses son alemanes. 

los berlineses son europeos. 

Todos los lobos son corderos. 

Todos los ruiseñores son lobos. 

Por 1o tanto: Todos los ruiseñores son corderos. 

Todos los tigres son árboles. 

Todos los abedules son tigres. 

Por 1o tanto: Todos los abedules son árboles. 

(1u premisa verdadera) 

(2u premisa verdadera) 

(Conclusión legítima verdadera) 

(1u premisa falsa) 


(Conclusión falsa, pero legítima) 


(2o premisa falsa) 

(Conclusión verdadera y legítima) 

Digo"verdadera" cuando es verdadera y digo o'felsa" cuando es falsa, claro está; bien, pues digo 

"legítima" cuando el argumento es correcto, cuando está bien construido, cuando no falla contra 

ninguna de las leyes que marcan cómo tienen que ser estos argumentos (las veremos en su 

momento). 

3l


Queda pues intuitivamente visto que, de premisas falsas, de datos falsos, de antecedentes falsos, 

pueden salir conclusiones falsas y verdaderas, consecuentes falsos y verdaderos, y en ambos caso 

sí funciona la condicional, la implicación, por raro que parezca. 

Lo que nunca puede suceder es que, de antecedentes verdaderos salgan consecuentes falsos, eso 

no sucede, no puede suceder. Lalabla de valores sería, pues, así: 

Podemos intentar otro modo de mostrar lo mismo, menos intuitivo y menos directo, pero muy 

convincente también si se sigue paso a paso. 

Tratemos de traducir una implicación o condicional a una formula equivalente, idéntica en 

sentido, alcance, correcciónyverdad, pero que contengaoperadores de funcionamiento más claro 

que el de la implicación, por ejemplo la negación y la conjunción, que ya hemos visto que son 

muy diáfanos en su uso. El antecedente de la implicación "Si dejas de respirar, entonces te 

mLteres" es, como todos los antecedentes, condición necesaria para lo condicionado; habrá otras 

condiciones además (por ejemplo, tienes que comer y tienes que beber, etc.) pero respirar es una 

condición necesaria; por 1o tanto, dej ar de respirar arrastra consigo, necesariamente, morirse. Eso 

significa que no podemos tener el antecedente sin el consecuente, no podemos tener el 

antecedente de que dejas de respirar sin el consecuente de que te mueres; dicho de otro modo más 

claro: no es posible afirmar el antecedente y negar el consecuente, no podemos afirmar que dejas 

de respirar y negar que te mueres. Si simbolizamos el antecedente (dejar de respirar) por P, y el 

consecuente (morirse) por Q, y la implicación, como sabemos, por -, entonces tenemos: 

l4l P-Q Si dejas de respirar, te muetes. 

y si ahora ponemos en fórmula esa traducción equivalente que hemos dicho: "no es posible la 

af,rrmación del antecedente junto con la negación del consecuente", entonces tenemos: 

l5l - (P A *Q) No es posible (afirmar que dejas de respirar Y negar que te mueres) 

por lo tanto: 

P o P-O 


verdadero lalso falso 

falso verdadero verdadero 

falso falso verdadero 

t6l (P - Q) - (P A -Q) (El símbolo o es la equivalencia) 

Procedamos ahora a hacer latabla de valores de [5], que ya no tiene el operador implicación y 

sólo tiene negación y conjunción. Ponemos en la matriz de la tabla todas las posibles 

38


combinaciones (cuatro combinaciones, como hemos visto) de valores de P y Q, pongamos 

también los valores de la negación de Q, ya que van a intervenir (pongo los de Q precisamente 

para poder negarlos y que aparezcan los de -Q), y luego hagamos la conjunción, según las reglas 

que ya hemos visto, entre los valores de P y los de -Q; finalmente, esos valores de la conjunción, 

los negaremos, ya que la fórmula es la negación de dicho paréntesis: 

P O -o tPA-O) -(P^-Q) 

verdadero verdadero falso falso verdadero 

verdadero lalso verdadero verdadero falso 

falso verdadero falso falso verdadero 

falso lalso verdadero falso verdadero 

Comprobemos que los valores finales coinciden exactamente (esto es, son los mismos y estrán 

en las mismas posiciones, casilla por casilla, de aniba a abajo) que en latablade la implicación, 

lo cual muestra (y demuestra) que los valores que dimos para Ia implicación son correctos, 

aunque algunos nos parecieran muy raros. 

He insistido en mostrar y demostrar el funcionamiento de la implicación por 1o importante que 

es dicho operador, porque 1o usaré muchísimo en la explicación del silogismo (argumento de este 

libro) y porque en el asunto siguiente, el compromiso existencial,nos va ser necesaria una de las 

consecuencias más curiosas (aunque menos intuitivas) de la implicación. 

Veamos: si resulta que cuando el antecedente es falso, entonces la implicación es verdadera en 

todos los casos, pues sólo hay dos, que el consecuente sea falso también (entonces la implicación 

es verdadera), o que sea verdadero (entonces la implicación es verdadera igualmente), esto 

significa que nos basta asegurarnos de que tenemos un antecedente falso para saber que la 

formula es verdadera, diga el consecuente 1o que diga, no importa qué. Si pongo un antecedente 

falso, algo de cuya falsedad estemos completamente seguros, por ejemplo"el Sol gira alrededor 

de la Tierra", entonces podemos poner como consecuente, como condicionado, lo que nos dé la 

gana, cualquier tontería, cualquier absurdo, aunque no tenga la más mínima relación con ese 

antecedente, porque la implicación entera será verdadera con seguridad: 

171 

Si el Sol gira alrededor de la Tierra, entonces el faraón Amenofis IV amaba a 

Neferneferuatón. 

Por absurda e incoherente que patezca,17] es una proposición completamente verdadera, y 

estamos seguros de ello simplemente porque el antecedente es falso, ya que no es verdad que el 

Sol gire alrededor de la TierraaT. 

47 

Nota cultural: Amenofis -Amenhotep- era el nombre original de Akenatón, Xo faraón de 1a dinastía XVIII, antes de que se 1o 

cambiara por éste cuando inventó la religión de Atón; 1o mejor que hizo ese faraón extraordinario fue fundar una religión, 

aunque suele ser más conocido en la "prensa rosa histórica" por la deslumbrante y misteriosa belleza de su esposa principal, que 

39


El tema del compromiso existencial se basará todo él en dos cosas: 

a 

a 

Si el antecedente es falso, la implicación será siempre verdadera. 

Si, en una conjunción, un elemento es falso, la conjunción entera será falsa. 

*** {


los valores de verdad de la implicación, tan opuestos a lo intuitivamente plausible. 

El otro texto dice: 

"Puede considerarse que la lógica modal contempor¿inea comienzaconla 

insatisfacción que C. I. Lewis siente con la implicación material de los 

Principia mathematica. De acuerdo con la interpretación que tanto Frege 

como los Principla de Russell y Whitehead dieron al implicador, una 

implicación es verdadera si y sólo si no se da el caso de que su 

antecedente sea verdadero y su consecuente falso. Dada esta 

interpretación, se siguen ciertas tesis contraintuitivas: una proposición 

verdadera es implicada materialmente por cualquier proposición: (11) 

p-(q-p); una proposición falsa implica materialmente a cualquier 

proposición: (12) -p-(p-q); además, puesto que para todop o bien ha de 

ser verdadero el antecedente de (1 1) o el de (12), se sigue también que, 

dadas dos proposiciones cualesquiera, o bien la primera implica 

materialmente a la segunda o la segunda implica materialmente a la 

primera: (13) (p-q) V (q-p)"4n. 

La tesis que se deriva de este asunto es clara: puesto que una implicación de antecedente falso 

es siempre verdadera, si se toman dos proposiciones cualesquiera -ponga aquí el lector las dos 

frases que prefiera o se le ocurran primero-, si las dos son verdaderas, entonces está claro que 

cada una puede implicar verdaderamente a la otra; si las dos son falsas, lo mismo; si una es falsa 

y otra verdadera, ésta, la verdadera, no puede implicar verdaderamente a la primera, pero la falsa 

sí puede implicar a la verdadera. Hay que reconocer, en efecto, que este asunto, tan contrario a 

la intuición del sentido común, se hace difícil de aceptar. Así pues, muchos lógicos no 1o aceptan, 

dando toda clase de explicaciones y derivaciones, como las propias lógicas modales, o abriendo 

pasadizos y subterfugios por donde la doctrina de la implicación escape. 

Ocurre, no obstante (y ello está en la base de la "mostración" -que no "demostración"- que haré 

más adelante en este libro sobre la invalidez de los 9 proscritos), que las reglas de validación de 

la implicación son muy difíciles de recusar. 

Repito ahora, como introducción al punto (c), lo que he dicho unos párrafos más arriba: 

El tema del compromiso existencial se basará todo él en dos cosas: 

. Si el antecedente es falso, la implicación será siempre verdadera. 

. Si, en una conjunción, un elemento es falso, la conjunción entera SCIA falsa. 

19 

A(onso García Sutirez, LÓGICAS ALTERNATIVAS, 

Ganido en Tecnos, Madrid 1989" pag. 160. 

incluido en el libro LOGICA Y LENGUAJE, editado por Manuel 

41


[cl El compromiso exislencial o cuestión existencial. 

Los argumentos tradicionales, por ejemplo los silogismos, suponían que era completamente 

cierto que si un predicado resultaba verdadero de todos los sujetos de un grupo, resultaba 

verdadero de cualquiera de ellos individualmente. Si es cierto que todos los miembros de este 

club son pelirrojos, entonces es verdad que Pedro, miembro de dicho club, es pelinojo. Pues, al 

fin y al cabo, eso es lo que significa "todos". En función de 1o cual, admitían como verdaderos 

nueve modos del silogismo (en su momento veremos todo lo relativo al silogismo y sus modos, 

ya que precisamente esos nueve modos son los que han dado la excusa para este libro) que tienen 

premisas universales y conclusiones particulares, pues si es verdad que: 

t8l 

Todos los austríacos son eulopeos (premisa universal) 

y Todos los vieneses sos austríacos, (premisa universal) 

1o mismo de verdad será: Todos los vieneses son europeos, (conclusión universal) 

que: Algunos vieneses son eulopeos. (conclusión particular) 

Especialmente si recordamos lo explicado de que en lógica 1o que se dice es lo que se dice y no 

se sobreentiende 1o que no se dice, pues al asegurar que algunos vieneses son europeos no 

pretendemos sugerir que los demás no 1o sean. 

Bueno, pues los lógicos simbólicos actuales (en fin, desde el siglo XIX, así que actuales y menos 

actuales), dicen que concluir lo particular a partir de lo universal no es completamente correcto, 

no se puede asegurar en todos los casos. La explicación que dan es la siguiente: Cuando hacemos 

una proposición universal, estamos consttuyendo un esquema 3bi€r!e, del que no se expresa si 

contiene realmente o no contiene elementos individuales, mientras que cuando hacemos una 

proposición pafticular, es algo cerrado, esto es, se reltere precisamente a sujetos particulares 

concretos. Dicen que, al poner ejemplos de cuyo significado sabemos todo lo que hay que saber, 

la imaginación nos engaña. Si decimos "todos los hombres son mortales",no caemos en la cuenta 

de que se trata de una formula abierta en la que no se garantiza que haya hombres, porque damos 

absólutamente por descontado que hay hombres, nosotros mismos los que hablamos, escribimos 

y pensamos la frase. Pero es una trampa imaginaria, porque esa fórmula abierta no se refiere para 

nudu u la existenci arcalconcreta de ciertos individuos que realmente haya dentro del conjunto 

de los hombres (aunque por otros cauces, la experiencia misma, nosotros sepamos que sí que los 

hay, pero no por el enunciado universal, sino por ottos cauces). Lo cual queda claro si en lugar 

de decir cosas como "todos los hombres son mortales" o"todos los tigres son carnívoros", 

decimos cosas como "todos los basiliscos son regios", ya que tiene, como se ve, la misma 

estructura, pero así como sabemos que hay hombres y hay tigres, sabemos que no hay 

basiliscos5o. 

Nota cultural.. "basílisco" es palabra griega, diminutivo de "basileus" pooú'eÚq. rey, quiere decir ''reyecito", porque la 

descripción primitiva de este animal mitológico e inexistente era una serpiente con cuernos y una mancha blanca en la cabeza 

como una corona; más tarde su descripción será la de un gallo con cuatro patas, alas de espinas y cola de serpiente; lo más 

impofiante eran sus poderes: si te miraba, te paralizaba, y si lo tocabas, te morías. 

42


Resulta que en laformalización simbólica de las proposiciones universales, tenemos que usar el 

operador implicación, mientras que en la formalización simbólica de las proposiciones 

particulares, tenemos que usar la conjunción. 

Veamos las razones de estas dos cosas: cuando se afirma algo de todos los sujetos, eso significa 

que ningún sujeto queda fuera del predicado; si todos los hombres son mortales, eso quiere decir 

que ningún hombre queda fuera de la mortalidad; si todos los tigres son camívoros, ningún tigre 

es végano (vegetariano puro absoluto). Por tanto, ser hombre IMPLICA ser mortal; ser tigre 

IMPLICA ser carnívoro. Mientras que cuando decimos un predicado sólo de algunos sujetos, 

entonces es que ser el sujeto NO implica el predicado;"algunos hombres son españoles",ftase 

verdadera que está bien cuantificada como particular porque no sería verdad que todos los 

hombres son españoles; por tanto no podríamos decir que ser hombre IMPLICA ser español, sino 

que tenemos que decir que, en algunos casos, se da la vez ser hombre Y ser español. Está, pues, 

bien claro, que las proposiciones universales tienen que ser simboli zadasmediante la implicación 

mientras que las particulares tienen que serlo mediante la conjunción. 

Volvamos con los basiliscos y traduzcamos la universal afirmativa a símbolos: 

tel 

[10] 

Todos los basiliscos son regios. 

Ax (Bx - 

Rx), donde supongo que B significa "basiliscos" y R"regio,s", y que 

se leería: "Para todo x, si x es basilisco, entonces x es regio" 

y que yo, simplificando bastante, dejo así: 

[11] B-R 

fAdvertencia: Usaré más adelante, en el cuerpo central de esta lección, de este libro, un cálculo 

abreviado, que yo llamo "Cálculo Híbrido", CH; es híbrido porque recoge formas de notación 

de muchos otros cálculos de muchos otros autores, y en él se mezclan incluso niveles lógicos 

distintos, como los llamado s "lógica de juntores", "lógica de cuantores", "lógica hipotética", 

"lógica de los términos", "lógica de la proposición sin analizar", etc. Sería confuso si lo usara 

fuera de un contexto estrictamente limitado, ya que entonces no sabríamos si estaba simbolizando 

una premisa cuantificada de un silogismo, o una proposición hipotética de la lógica estoica, 

pongamos por caso. Pero usado en relación al silogismo, me sirve simplemente de abreviatura: 

suprimo la variable individual (x) porque sale siempre y, por tanto, con suponerla basta; y 

suprimo los cuantificadores precisamente por 1o que he dicho hace un momento, que la 

proposición universal necesita siempre la implicación (por lo cual ya el operador - nos indica 

que se trata de una universal), mientras que la proposición particular necesita siempre la 

conjunción (por lo cual ya el operador A nos indica que se trata de unaparlicular); así que, como 

sabemos que 1o que tenemos ahí es una proposición cuantificada universal afirmativa, típica de 

cualquier silogismo normal, y que no nos salimos de este contexto, lafórmula [11] significa 

"todos los basiliscos son regios", siendo afirmativa porque no tiene negaciones, con su sujeto 

B por basiliscos, su predicado R por regios y su implicación que nos indica que se trata de una 

universal.] 

43


ComoNO HAYBASILISCOS, resultaque el antecedente de esaimplicación [11] es falso, ypor 

tanto [11] ES VERDADERA, según la regla de la implicación. 

Pongamos ahora la misma afirmación, pero particular, algunos envez de todos, y traduzcamos 

esa particular afirmativa a símbolos: 

U2l Algunos basiliscos son regios. 

[13] Vx (Bx A Rx) 

o. en nuestro CH: 

[14] 

BAR 

Ahora resulta que, como NO HAY BASILISCOS y el primer elemento de la conjunción es falso, 

toda [14] es FALSA, según la regla de la conjunción. 

Por lo tanto, está claro ahora que no podemos sacar impunemente una conclusión particular de 

una premisa o de unas premisas universales, pues puede suceder que resulte verdadero saliendo 

de verdadero (que sí funciona), pero puede suceder que resulte falso saliendo de verdadero (que 

no funciona). Cuando una fórmula es una LEY LÓGICA, es siempre verdadera, sean cuales sean 

las posibles combinaciones de valores de verdad de sus componentes; se la llama 

TAUTOLOGÍA. Cuando una fórmula a veces es verdadera y a veces es falsa, no es una ley 

lógica, no tiene valor universal, se dice de ella que es CONTINGENTE fcontingente es lo 

opuesto a necesario, entendiendo "necesario" en sentido filosófico, como lo que es y no puede 

no ser, o lo que es así y no es posible que sea de otra manera; contingente es 1o que es, pero 

puede no ser, o es así, pero puede ser de otra manera]. Cuando una fórmula es siempre falsa, 

sean cuales sean las posibles combinaciones de valores de verdad de sus componentes, es lo 

opuesto de una ley lógica; se la llama CONTRADICCIÓN. 

El manual de Garrido nos dice esto mismo, de forma más escueta y elegante y con un ejemplo 

similar; autorizaré mi exposición con su cita: 

"Ello se patentiza fla invalidación de cieftos argumentos que pafien de un 

universal y concluyen en un particular], sobre todo, en el caso de que el 

sujeto de una proposición categórica sea un término denotativo de una 

clase vacía fse refiere a un conjunto que no contenga ningún individuo], 

esto es, carente de individuos, como la clase de los círculos cuadrados o 

la clase de los vampiros. Porque en tal caso resulta que la universal 

afirmativa "Todo vampiro es aristócrata", en símbolos Ax(Px - Qx), es 

verdadera, puesto que cualquiera de sus ejemplificaciones, Pa-Qa, 

Pb-Qb, etc., sería una implicación de antecedente falso (ya que no hay 

vampiros), y en consecuencia verdadera (pues una implicación de 

antecedente falso es verdadera). En cambio, la proposición particular 

afirmativa "Algún vampiro es aristócrata", en símbolos Vx(Px A Qx), es 

falsa, puesto que cualquier ejemplificación de lo afirmado en esta 

44


fórmula: PaAQa, PbAQb, etc., daria una conjunción cuyo primer 

componente sería con seguridad falso (ya que no hay vampiros), lo cual 

arrastraría la falsedad de dicha conjunción. Al punto de vista según el cual 

las proposiciones categóricas cuyos sujetos sean denotativos de clases 

vacías son verdaderas si universales y falsas si particulares, se le 

denomina teoría del compromiso o "importe" existencial de la 

proposición categórica"51. 

Estamos ahora en posesión (casi) de los conocimientos que necesitamos para entender por qué 

se usan los símbolos de los dos operadores conjunción A y disyunción V para la función de 

cuantificadores, A como cuantificadoruniversal (todos, ninguno) V como cuantificadorparticular 

(algunos). 

Veamos ese "casi": La disyunción se llama también "suma lógica", y la conjunción se llama 

también "producto lógico". ¿Por qué?. En lógica simbólica no se suele hacer como he hecho yo 

en esta nota, en la cual las tablas de verdad contienen los valores "verdadero" y "falso", sino que 

se prefiere usar como verdadero el valor "1", y como falso el valor "0", 1o cual tiene muchísimas 

ventajas teóricas y prácticas. Las palabras no se pueden sumar, multiplicar, sometet a operaciones 

lógicas automáticas (mediante procesadores de ordenador, por ejemplo), no se pueden usar para 

convertir números decimales pasándolos a otras bases (por ejemplo la base binaria de los 

procesadores de ordenador), lo que impediría, por ejemplo, hacer operaciones lógicas con 

números enteros fno se podría hacer la operación siguiente: -(35 V 48) A (26 A -39), 

que con 1 

y 0 sí se puede hacer, tiene sentido -cuando pasamos 35,48,26 y 39 de su formato en base 

decimal a su formato en base binaúa,35 : 100011,48:110000, 26:011010, 39 : 100111y 

arroja un resultado, por cierto : 8 ]. 

Si ponemos en una misma tabla los valores de la conjunción y de la multiplicación, nos dan lo 

mismo, razónpor la cual se llama a la conjunciónproducto lógico;por cierlo parecido, también 

se llama a la dislunción suma lógica, aunque en este caso la conclusión numérica no sería 

exactamente igual, ya que el primer valor es en la disyunción (1 V 1 : 1), mientras que en la 

suma es (1 + 1 : 2),pero admitimos la similitud en el sentido de que no nos dan 0 "falso" cuando 

la disyunción es verdadera: 

P o PAO PxO PVO P+O 

I I I 1x1:1 I l+I:2 

1 0 0 1x0:0 1 1+0:1 

0 1 0 0x1:0 1 0+1:1 

0 0 0 0x0:0 0 0+0:0 

5l 

Manuel Gsftido, LÓGICA SIMBÓLICA, ed. Tecnos, Madrid 1974,pags. 154-155 

45


Debido a todo ello estamos ya en condiciones de comprender por qué los lógicos actuales -en 

general- usan el símbolo A, de la conjunción, también como símbolo del cuantificador universal, 

y el símbolo V, de la disyunción, también como cuantificador parlicular. Recogiendo todas las 

explicaciones anteriores, podemos entender bien la comparación de las definiciones que da 

Garrido en su libro del símbolo A en cuanto operador y del mismo símbolo en cuanto 

cuantificador (las definiciones están en el texto, pero la comparación la hago yo poniendo ambos 

textos.juntos): 

"(Jne conjunción afirma la verdad de ftodos] sus componentes. Es 

verdadera, pues, cuando sus dos componentes son verdaderos." fibid. 

Pag. 401. [El (todos) es un añadido mío para que se vea mejor el 

paralelismo, aunque está supuesto, claro, pues se está hablando de todos 

los componentes]. 

"El símbolo ,4x indica... clue la expresión que le sigue es válida para 

todos los valores de la variable x." fibid. Pag. 48] [El subrayado es mío, 

pero el término "todos" pertenece al texto]. 

y la comparación entre las definiciones del símbolo V en cuanto operador y del mismo símbolo 

en cuanto cuantificador: 

"La disyunción de dos proposiciones es verdadera cuando una al menos 

de esas dos proposiciones es verdadera." libid. Pag. 41] [El subrayado es 

míol. 

" V*Px indica... que al sustituir x en Px por algún valor de x, resuha una 

proposición que es válida, al menos para un caso." libid. Pag. 48] [El 

subrayado es mío]. 

Lejos me ha llevado explicar a fondo este asunto, pero: a) ya he dicho sin ambages que mi 

propósito es aclarar todos los detalles -aunque dentro de un orden- al máximo, no dejando nada 

sin explicar; b) nos ha servido para introducir un montón de temas necesarios, como los 

operadores y sus funcionamientos --en especial la implicación-, las tablas de valores de verdad, 

el uso del 1 y del 0 como valores, la cuestión del compromiso existencial que nos será 

completamente esencial cuando estudiemos -y repitamos- el por qué de la "proscripción" de los 

9 modos proscritos, la traducción de proposiciones materiales del idioma a fórmulas de varios 

cálculos, en especial al nuestro CH, cálculo híbrido, del que haremos un uso total; c) y quizáme 

haya servido para que mis lectores -si VxLx, es decir, si "hay algún x tal que ese x sea lector 

mío"- confíen en mi promesa de explicar de forma minuciosa y aclarur los temas sin darlos por 

supuestos. 

46

tApéndice 4i 


Q.{o es preciso leer este apéndice; únicamente lo incluyo como nota cultural). 

Veamos la definición formal de"anillo conmutativo" 

El conjunto E y sus dos operaciones (* y tr ) tienen las propiedades siguientes: 

t1l V(o,9)eE,(o*B)eE 

l2l V(o, F,T)€E,(o*0)*T: o*(B*y) 

t3l V(o) e E, o,*n:n*ü,:0, 

l4l V(o) e E, = (d) € E, o,* &:u* d:n 

Tenemos un grupo. 

t5l V(s,0)eE,u*9:F*a 

Tenemos un grupo abeliano. 

t6l V(s,F)eE,(otrB)ee 

l7l V(s,F,T)e E,(str0)try: otr(Btry) 

t8l V(u, D,T) € E, ü,tr(B *T): (oq 0) * (oEy) 

Tenemos un anillo. 

t9l V(o,9)eE,c,trB:Ftrs 

Tenemos un anillo conmutativo. 

El conjunto que he llamado E, la "xi", décimo cuarta letra del alfabeto griego, y las dos 

operaciones que he simbolizado con la estrellita y el círculo blanco sobre negro, tienen una serie 

de propiedades, que son: 

[1] y [6], que el conjunto es cerrado tanto para una operación como parala otra (que si se hace 

una cualquiera de esas operaciones entre dos miembros del conjunto, da como resultado otro 

miembrodelconjunto).PorejemploJ*5:12(7y5sonnúmerosenteros,12también);7x5 

:35 (lo mismo). 

12] y l7l, que las dos operaciones son asociativas: da 1o misrno (a+b)+c que a+(b+c); 

(5+2)+3:5 +(2+3): 1 0 , (5x2)x3 :5x(2x3 ):3 0 

[3], que hay un elemento neutro parala operación estrellita, de modo que si se opera con un 

miembro del conjunto y ese neutro, da el mismo miembro del conjunto (por ejemplo a-r}:a; 

7+0:7). 

[4], que hay un elemento simétrico paracada elemento tal que si se opera un elemento y su 

47


simétrico, da el neutro (por ejemplo a + -a:0; 7+(-1):0). 

[5] y t9], que las dos operaciones son conmutativas, es decir, que el orden de sumandos no altera 

la suma ni el orden de factores altera el producto; (a+b):(b+a); (5+2):(2+5); (5x2):(2x5). 

[8], que una operación es distributiva en relación con la otra; por ejemplo que: 

5x(6+7):(sx6)+(5x7) : 3 5. 

Los símbolos son faciles: 

0,8,y 

n 

d 

€ 

V 

=q,* 

el conjunto 

miembros del conjunto 

elemento neutro 

elemento simétrico de o 

pertenece a 

todos (o cualquiera)s2 

alguno 

las dos operaciones. 

En cuanto al modo de leer las formulas, también es fácil. Por ejemplo [1] lo leeríamos: para todos 

los miembros del conjunto (para dos miembros cualesquiera que pertenezcanal conjunto), si se 

hace la operación (en este caso la operación estrellita, supongamos la suma) entre ellos dos, el 

resultado es otro miembro del conjunto, también pefienece al conjunto. 

O [a]: para todo miembro del conjunto (para cualquier miembro que pertenezca al conjunto), 

existe uno simétrico, también perteneciente al conjunto, tal que la operación entre ese miembro 

y su simétrico, da como resultado el neutro. 

El ejemplo del asentador de frutas es bueno, aclarador, traduce los axiomas a palabras y números, 

pero ciertamente reduce la potencia de aplicación. pues intuitivamente sacaríamos la impresión 

de que la axiomática de un anillo conmutativo sólo se puede aplicar al conjunto de los enteros 

(que, por cierlo, se llama siempre Z -el de los números naturales es N*; no E) y a las dos 

operaciones adición y producto. Pero ese anillo no agota los anillos, y hay otros de gran interés, 

el Algebra de Boole, por ejemplo. O, por ejemplo, el nuestro de los valores veritativos 1,0 y las 

dos operaciones disyunción y conjunción (aunque tiene una curiosa particularidad en "los" 

elementos neutros y en el elemento simétrico). 

52 

En ciertos cálculos se siguen usando como cuantiircadores V (universal) y ! (particular). 

48


Sea el conjunto XX53 (1,0) de los valores veritativos. Sean las dos operaciones V, A 

tll V(o,9)eXX,(oVF)eXX 

XX es cerrado para V 

(1 V 0): 1; (1 V 1): 1; (0 V 0):0 

l2l V(s, F,y) eXX,(sV0)VT: crV(FVV) 

V tiene la propiedad asociativa 

(1V0)V1:1V(0V1):1 

t3l V(o)eXX,o,V0:0Vs:ü 

V(o)eXX,oA0:0As:o 

V tiene elemento neutro (0) 

1V0:1;0V0:0 

También A tiene un elemento neutro (1) 

iA1:1;0A1:0 

l4l V(cr) e XX, = (d) e XX, a,V &:a V &:n 

V y A tienen, como resultado de la operación con el elemento simétrico, cada una 

de las operaciones el elemento neutro de la otra, esto es, a A -a: 0; a V -a : 1 

t5l V(o,9)eXX,oVB:BVo 

V tiene la propiedad conmutativa. 

1V0:0V1 

t6l V(o,0)eXX,(oAF)€XX 

XX es cerrado para la A 

140:0;0A0:0;1Ai:1 

l7l V(s,F,y)e XX,(oAF)AT: oA(FAv) 

A tiene la propiedad asociativa 

(1A0)A1:1A(0A1) 

t8l V(s, 9) eXX,0A(BVs):(oA0)V(uAo) 

Tienen la propiedad distributiva una en relación con la otra 

1 A(0 v 1):(1 (1 

^0)v 

^ 

1): 1 

t9l V(o,F)eXX,oAB:BAo 

A tiene la propiedad conmutativa 

(1^0):(0^1) 

53 

Esas dos XXjuntas semejan la fusión del operador disyunción y del operador conjunción, por eso he escogido ese símbolo. 

49

lApéndice 5A 


Creemos tener una relación simple con el verbo "ser", aunque sabemos que es uno de los más 

importantes del idioma y, claro, de los más elementales y básicos en la explicación de las cosas. 

Además pensamos que se trata de un solo verbo, y estamos muy seguros de saber lo que significa. 

Pero la verdad es que este verbo es un camaleón de muchísimos aspectos y el hecho de haber 

restringido nosotros las formas de las proposiciones a aquéllas cuatro basadas en la predicación 

del verbo ser, puede que nos complique algo las cosas -aunque esa elección la habíamos hecho, 

precisamente, para que nos las facilitara-. 

Voy a poner una serie de ejemplos en los que entra el verbo ser: 

t1l Yo soy. 

12] Todos los hombres son moftales. 

t3] Cervantes es español. 

14] Cervantes es un español. 

t5] Cervantes es. 

t6l Es tarde. 

l7l Así es. 

t8l Los de Alcalá de Henares son españoles. 

t9] Cervantes es el autor de"El Ingenioso Hidalgo Don Quijote de la Mancha". 

tl0] Ser o no ser. 

111l El SER de Parménides es el pensar. 

En la proposición [1] el verbo expresa alavez la cópula y el predicado de la cópula. 

En la proposición [2] el verbo expresa inclusión, que una clase está incluida en otra clase. 

En la proposición [3] el verbo expresa la cópula sencilla de predicación. 

En la proposición 14] el verbo expresa la perlenencia de un individuo a una clase. 

En la proposición [5] el verbo expresa, como en [1], cópula y predicado. 

En la proposición [6] el verbo expresa sujeto y cópula alavez. 

En la proposición [7] el verbo expresa existencia simple (pero el sujeto es, a la vez, predicado 

-y es un adverbio de modo-). 

En la proposición [8] el verbo expresa, como en la l2], inclusión de una clase en otra. 

En la proposición [9] el verbo expresa identidad. 

En la proposición [10] el verbo, afirmado y negado, constituye las dos alternativas de una 

disyunción. 

50


En la proposición [11] el verbo se ha convertido en un sustantivo. 

Por cierto, no siempre todas las interpretaciones están de acuerdo: 

"... en 'Parménides es eleático' [el verbo ser] hace de cópula de un 

r¡54 

JUlClO. - . 

"Si consideramos... 'Descartes es francés'... expresa pertenencia de un 

miembro a una clase."55. 

Algunas de esas proposiciones admiten interpretaciones diversas, y los lingüistas tendrían mucho 

que decir al respecto. Lalll está incompleta,faltael referente al que hace referencia, la cuestión 

que "es así" y que no consta en la frase; en tal sentido, ese adverbio se compofia como un relativo 

(no como un adverbio relativo) sino como un predicado dirigido hacia un sujeto y junto a la 

cópula verbal, por 1o cual es posible tomarlo en tres funciones: como sujeto -está dirigido hacia, 

y rcernplaza al, sujeto-; como predicado -es "así"-; y como adverbio de modo. 

Además puede complicarse el asunto cuando hacemos entrar en nuestro análisis las dos 

propiedades de los términos, "comprensión" y "extensión", ya que entonces el verbo ser juega 

un impoftante papel aumentando la primera en los sujetos y la segunda en los predicados. En 

efecto, el ejemplo [3] es buena muestra de que podemos interpretar la cópula verbal -que está 

ahí sencillamente haciendo la predicación, atribuyendo un predicado a un sujeto-, como el hecho 

evidente de que esa atribución aumenta la comprensión del concepto "Cervantes", pues sin esa 

proposición no nos consta que dicho sujeto tenga también la nota dela"españolidad" . Pero a la 

vez está aumentando la extensión del predicado, pues sin esa proposición no nos consta que en 

la extensión del predicado entre el sujeto "Cervantes". 

54 

"Decir, por ejemplo: 'Este hombre es blanco' es identificar el S 'este 

hombre' y el Pr 'blanco', o 'que tiene la blancura'. Perc ¿cómo se hace 

esta identificación? O bien el espíritujuzga: 'Al MrsMo suJETo llamo este 

hombre y tiene la blancura'. O bien juzga (Io que por otra parte viene a 

ser lo mismo): 'Hay identidad entre EL suJETo que llamo este hombre y 

UN SUJETO que tiene blancura'. 

En el primer caso, el espíritu dice que un mismo sujeto tiene la nota 

humanidad y la nota blancura, y, por 1o mismo, hace entrar la blancura en 

la comprehensión del S 'este hombre'. 

En el segundo caso, el espíritu dice que el sujeto que tiene la nota 

humanidad es un(o) (de los) sujeto(s) que posee(n) la nota blancura, y, por 

lo mismo, hace entrar 'este hombte' en la extensión del Pr 'blanco'. 

De esta manera, el acto de juzgar puede hacerse ya desde el punto de vista 

Piergiorgio Odifreddi, LAS MENTIRAS DE ULISES, ed. Salamandra, Barcelona 2006, pag. 32. 

55 

José Ferrater Mora, DICCIONARIO DE FILOSOFÍA, tomo I, ed. Alianza, Madrid 1979,pag.634. 

51


de 1a comprehensión (Pedro es santo, tienen en é1 la santidad), ya desde 

el punto de vista de la extensión (Pedro es un santo, es uno de los que 

tienen la santidad). El espíritu en los dos casos realiza el mismo acto de 

identilrcación entre el S y el Pr, y sólo hace expresamente eso (in actu 

signato). Pero por lo mismo y al mismo tiempo, aunque sin pensar (in 

actu exercito),hace entrar el Pr en la comprehensión del S o bien hace 

entrar el S en la extensión del P."56 [Todos los cambios tipográficos, 

comillas, cursiva, versales... son del autor, no míos]. 

Si se compara uno de los ejemplos del pánafo de Maritain ("Pedro es un santo"), se ve que es 

estructuralmente idéntico al que figura en la línea l4l ('Cervantes es un español"). Aquí tenemos 

una clara -y curiosa- diferenciacoincidencia de interpretación entre la lógica de clases y la 

neo-escolástica tardía: lo que para éstos es la interpretación de un juicio desde el punto de vista 

del aumento de la extensión del predicado, para aquéllos es la declaración de peftenencia de un 

individuo a una clase. A preferir por el lector: dos formas diferentes de decir 1o mismo, o la 

misma forma de decir algo diferente. 

Pero lo más lioso del verbo ser (aunque para nosotros ahora acaso resulte 1o más sencillo, habida 

cuenta del uso simple al que lo relegamos), es precisamente cuando ejercita su uso copulativo: 

"En la acepción copulativa aparecen los problemas, pues en este caso el 

verbo no indica acción alguna y es sólo un auxiliar que se limita, como 

dice el nombre cópula, a 'unir' entre sí sujeto y predicado."57 

Porque en las cuatro clases de proposiciones: A (universal afirmativa), E (universal negativa), 

I (particular afirmativa), O (particular negativa) en que 1o uso, no aspiro a que haga otra función 

que unir sujetos y predicados, incluso en las negativas, pues cuando decimos que "algunos 

felinos no son tigres",lo que decimos es que "algunos.felinos son no-tigres", como indican con 

claridad las notaciones de las formulas que no niegan el verbo, sino que niegan el predicado. Y 

si alguno o muchos de los ejemplos que emplee usando el idioma español parecen representar 

para el verbo "ser" Lrn trabajo más activo que simplemente juntar predicados con sujetos, no es 

ni de necesidad ni de relevancia en cuanto a los ejemplos mismos y su empleo lógico formal. 

56 

Jacques Maritain, EL ORDEN DE LOS CONCEPTOS, ed. Club de lectores, Buenos Aires 1963. pag.166 

57 

Piergiorgio Odifreddi, LAS MENTIRAS DE ULISES, ed. Salamandra, Barcelona 2006. pag. 33. 

52

CAPÍTULO I.- Introducción - volver

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?