Programación Lineal, una revisión del Simplex desde el Álgebra ...

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
Programación Lineal, una revisión del
Simplex desde el Álgebra Lineal
Departamento de Matemáticas

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
En esta presentación veremos cómo se resuelve un problema de
programación mediante el algoritmo Simplex desarrollado por
G. Dantzing. Enfatizaremos los conceptos del álgebra lineal
cuando revisemos el algoritmo.

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
Ejemplo
Consideremos el siguiente problema:
Max w = 15 x + 25 y + 19 z
sujeto a las condiciones
x + 2 y + 2 z ≤ 2
2 x + y + z ≤ 2
x + 5 y + z ≤ 3
z ≤ 0.8
con x, y, z ≥ 0.

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
Ejemplo
Consideremos el siguiente problema:
Max w = 15 x + 25 y + 19 z
sujeto a las condiciones
x + 2 y + 2 z ≤ 2
2 x + y + z ≤ 2
x + 5 y + z ≤ 3
z ≤ 0.8
con x, y, z ≥ 0. La forma estándar de este problema es:
Max w = 15 x + 25 y + 19 z
sujeto a las condiciones
x + 2 y + 2 z + s1 = 2
2 x + y + z + s2 = 2
x + 5 y + z + s3 = 3
z + s4 = 0.8
con x, y, z, s1, s2, s3, s4 ≥ 0.

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
La forma estándar se puede escribir en forma matricial como:
de manera que
⎡
⎢
⎣
Max w = 15 x + 25 y + 19 z
1 2 2 1 0 0 0
2 1 1 0 1 0 0
1 5 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 1
con x, y, z, s1, s2, s3, s4 ≥ 0.
⎛
⎤ ⎜
⎥ ⎜
⎥ ⎜
⎦ ⎜
⎝
x
y
z
s1
s2
s3
s4
⎞
⎟ ⎛ ⎞
⎟
2
⎟ ⎜
⎟ = ⎜ 2 ⎟
⎝
⎟ 3 ⎠
⎟
⎠ 0.8

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
Desde el punto de vista del álgebra lineal, el problema consiste
en
Max w = 15 x + 25 y + 19 z + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3 + 0 s4
donde las variables son los coeficientes de la combinación lineal:
donde:
x a1 + y a2 + z a3 + s1 a4 + s2 a5 + s3 a6 + s4 a7 = b
[a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 ] =
⎡
⎢
⎣
1 2 2 1 0 0 0
2 1 1 0 1 0 0
1 5 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 1
⎤
⎛
⎞
⎥ ⎜
⎥
⎦ , b = ⎜
⎝
2
2
3
0.8
⎟
⎠
con x, y, z, s1, s2, s3, s4 ≥ 0. Es decir, los coeficientes de la
combinación lineal no deben ser negativos.

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
Solución Básica
Trabajemos un poco con sólo las restricciones. Para un sistema
de ecuaciones lineales consistente y con infinitas soluciones
⎛ ⎞
⎜
A x = [a1 · · · an] ⎝
x1
.
xn
⎟
⎠ = b, A ∈ Mm×n
diremos que una solución xo =< c1, . . . , cn > es una solución
básica, si es posible escoger del conjunto formado por las
columnas de A
{a1, a2, . . . , an}
una base de R m y los coeficientes de la combinación lineal de
ella que dan b son los correspondientes valores de xo y los
restantes (los coeficientes de la combinación lineal asociados a
las columnas que no se escogieron para formar la base) son
cero. Concluimos que en una solución básica, debe haber por lo
menos n − m variables cero (pues las columnas están en R m ).

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
Siguiendo con nuestro ejemplo, tenemos varias soluciones
básicas:
(x = 0, y = 0, z = 0, s1 = 2, s2 = 2, s3 = 3, s4 = 0.8)
Pues de
⎛
⎜
a1 = ⎜
⎝
1
2
1
0
⎞
⎛
⎟
⎠ a2
⎜
= ⎜
⎝
2
1
5
0
⎞
⎛
⎟
⎠ a3
⎜
= ⎜
⎝
2
1
1
1
⎞
⎛
⎟
⎠ a4
⎜
= ⎜
⎝
1
0
0
0
⎞
⎛
⎟
⎠ a5
⎜
= ⎜
⎝
0
1
0
0
⎞
⎛
⎟
⎠ a6
⎜
= ⎜
⎝
0
0
1
0
⎞
⎛
⎟
⎠ a7
⎜
= ⎜
⎝
El conjunto {a4, a5, a6, a7} es una base para R 4 y al resolver
s1a4 + s2 a5 + s3 a6 + s4 a7 = [a4 a5 a6 a7]
se obtiene s1 = 2, s2 = 2, s3 = 3, s4 = 0.8
⎛
⎜
⎝
s1
s2
s3
s4
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
2
2
3
0.8
0
0
0
1
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
(x = 19/45, y = 16/45, z = 4/5, s1 = −11/15, s2 = 0, s3 = 0, s4 = 0)
es una solución básica.
Pues el conjunto {a1, a2, a3, a4} es una base para R4 y al
resolver
⎜
x a1 + y a2 + z a3 + s1 a4 = [a1 a2 a3 a4] ⎜
⎝
⎛
x
y
z
s1
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
se obtiene x = 19/45, y = 16/45, z = 4/5, s1 = −11/15
2
2
3
0.8
⎞
⎟
⎠

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
(x = −4/5, y = 3/5, z = 4/5, s2 = 11/5, s1 = 0, s3 = 0, s4 = 0) es
una solución básica.
Pues el conjunto {a1, a2, a3, a5} es una base para R4 y al
resolver
⎜
x a1 + y a2 + z a3 + s2 a5 = [a1 a2 a3 a5] ⎜
⎝
⎛
x
y
z
s2
⎞
⎟
⎠ =
se obtiene x = −4/5, y = 3/5, z = 4/5, s2 = 11/5
⎛
⎜
⎝
2
2
3
0.8
⎞
⎟
⎠

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
Correspondencia 1
De acuerdo a la definición de solución básica, hay una
correspondencia entre soluciones básicas de A x = b y
selecciones de las columnas de A para ser una base de R m .
Observe también que no siempre que se seleccionen m
columnas de A tendremos una base para R m . Haciendo
cálculos, el número de posibles selecciones de m elementos de
un conjunto con n en total será:
número de posibles bases =
n
m
=
n!
(n − m)! m!
Por ejemplo, si continuamos con nuestro problema; m = 4, n = 7, el número de posibles selecciones de
bases de R 4 de las columnas de A es 35 y haciendo una revisión exhaustiva las siguientes selecciones
no darán una base para R 3 :
• {a1, a2, a4, a5}
• {a1, a2, a4, a6}
• {a1, a2, a5, a6}
• {a1, a4, a5, a6}
• {a2, a3, a6, a7}

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
SBF
Si regresamos al problema de programación lineal, donde se
requiere que los coeficientes de la combinación lineal sean no
negativos (≥ 0), no estamos interesados en todas las soluciones
básicas; descartaremos aquellas soluciones básicas que tienen
uno o varios valores negativos. Diremos que una solución
básica xo es una solución básica factible (SBF) a A x = b, si xo
no tiene componentes negativas.
Si regresamos a nuestro problema; revisando exhaustivamente
de las 30 selecciones que dan SBs, las únicas SBFs son:
• SBF1(a1, a2, a3, a7): x = 2/3, y = 5/12, z = 1/4, s4 = 11/20, s1 = 0, s2 = 0, s3 = 0
• SBF2(a1, a2, a4, a7):x = 7/9, y = 4/9, s1 = 1/3, s4 = 4/5, z = 0, s2 = 0, s3 = 0
• SBF3(a1, a3, a5, a7):x = 2/5, z = 4/5, s2 = 2/5, s3 = 9/5, y = 0, s1 = 0, s4 = 0
• SBF4(a1, a3, a6, a7):x = 2/3, z = 2/3, s3 = 5/3, s4 = 2/15, y = 0, s1 = 0, s2 = 0
• SBF5(a1, a4, a6, a7):x = 1, s1 = 1, s3 = 2, s4 = 4/5, y = 0, z = 0, s2 = 0
• SBF6(a2, a3, a5, a6):y = 1/5, z = 4/5, s2 = 1, s3 = 6/5, x = 0, s1 = 0, s4 = 0
• SBF7(a2, a3, a5, a7):y = 1/2, z = 1/2, s2 = 1, s4 = 3/10, x = 0, s1 = 0, s3 = 0
• SBF8(a2, a4, a5, a7):y = 3/5, s1 = 4/5, s2 = 7/5, s4 = 4/5, x = 0, z = 0, s3 = 0
• SBF9(a3, a4, a5, a7):z = 4/5, s1 = 2/5, s2 = 6/5, s3 = 11/5, x = 0, y = 0, s4 = 0
• SBF10(a4, a5, a6, a7):s1 = 2, s2 = 2, s3 = 3, s4 = 4/5, x = 0, y = 0, z = 0

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
Si ahora graficamos todos los puntos de R 3 que satisfacen las
restricciones y que tienen componentes no negativas y también
tomamos las soluciones básicas factibles y graficamos de éstas
sólo las componentes x, y y z obtenemos la siguiente gráfica.

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
Correspondencia 2
El ejemplo anterior ilustra un resultado clave en programación
lineal
Existe una correspondencia entre las soluciones
básicas factibles y los puntos extremos o esquinas de
la región factible (la totalidad de puntos que cumplen
las restricciones, incluida la no negatividad)

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
Adyacencia
Más aún: si revisamos en la gráfica de la región factible, puntos
extremos que son adyacentes en el sentido que los une un lado
del poliedro, vemos que los puntos extremos están asociados a
bases para R m que tienen prácticamente las mismas columnas
de A difiriendo sólo en 1. Por ejemplo:
• P3(x = 2/5, y = 0, z = 4/5) que proviene de la SBF3
asociada a la base {a1, a3, a5, a7} sí es adyacente a
P4(x = 2/3, y = 0, z = 2/3) que proviene de la SBF4
asociada a la base {a1, a3, a6, a7}.
• P6(x = 0, y = 1/5, z = 4/5) que proviene de la SBF6
asociada a la base {a2, a3, a5, a6} no es adyacente a
P1(x = 2/3, y = 5/12, z = 1/4) que proviene de la SBF1
asociada a la base {a1, a2, a3, a7}.

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
• P1(2/3, 5/12, 1/4) − SBF1 − {a1, a2, a3, a7}
• P2(7/9, 4/9, 0) − SBF2 − {a1, a2, a4, a7}
• P3(2/5, 0, 4/5) − SBF3 − {a1, a3, a5, a7}
• P4(2/3, 0, 2/3)) − SBF4 − {a1, a3, a6, a7}
• P5(1, 0, 0) − SBF5 − {a1, a4, a6, a7}
• P6(0, 1/5, 4/5) − SBF6 − {a2, a3, a5, a6}
• P7(0, 1/2, 1/2) − SBF7 − {a2, a3, a5, a7}
• P8(0, 3/5, 0) − SBF8 − {a2, a4, a5, a7}
• P9(0, 0, 4/5) − SBF9 − {a3, a4, a5, a7}
• P10(0, 0, 0) − SBF10 − {a4, a5, a6, a7}

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
Optimizando
Consideremos a ahora la función lineal. Como en una variable,
Toda función lineal definida sobre un segmento de
recta alzanca sus valores óptimos (máximo o mínimo)
en los puntos extremos del segmento.
El caso más trivial ocurre cuando la función lineal es de valor
constante en el segmento de recta. Pero aún en este caso, no
hay contradicción al decir que los óptimos los alcanza en los
extremos (aún cuando también los alcanza en todos los puntos
del segmento).
Si nos traemos este resultado a programación lineal:
Todo problema de programación lineal que tiene
región factible acotada tendrá su máximo y su
mínimo en un punto extremo (esquina del poliedro).
Por este resultado, las soluciones básicas factibles serán claves
para resolver un PL.

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
El Simplex
El Algoritmo Simplex desarrollado en en 1947 por George
Bernard Dantzig (8 de noviembre de 1914-13 de mayo de 2005)
es un algoritmo para resolver problemas de programación lineal
y consiste en
Iniciando en una esquina del poliedro (solución
básica factible), el algoritmo Simplex recorre parte de
las esquinas del poliedro hasta llegar a la óptima. El
algoritmo pasa de una SBF a otra SBF adyacente con
una evaluación mejor.
Las claves serán: Dada una SBF, ¿cómo escoger otra SBF
adyacente? y ¿cómo cambiar de una SBF a otra SBF
eficientemente?

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
variables entrante y saliente
Por conveniencia, indicaremos cuáles son las columnas de A
que forman la base indicando las variables asociadas a ella:
En una SBF, a las variables que son coeficientes de
las columnas que pertenecen a una base de la SBF les
llamaremos variables básicas; a las otras les
llamaremos variables no básicas.
Un poco más de nomenclatura:
Cuando se pasa de una SBF a otra SBF adyacente
sólo una columna de A cambia en la base: a la
variable asociada a la columna de A que deja la base
se le llama variable básica saliente; a la variable
asociada a la columna de A que ingresa reemplazando
a la saliente se le llama variable básica entrante.

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
Regresemos a nuestro problema inicial. La matriz aumentada
inicial de las restricciones [A|b] (reconociendo que a4, a5, a6 y
a7 constituyen una base para R 4 ) puede ser escrita como:
⎡
⎤
x y z s1 s2 s3 s4 rhs vb
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
1 2 2 1 0 0 0 2 s1
2 1 1 0 1 0 0 2 s2
1 5 1 0 0 1 0 3 s3
0 0 1 0 0 0 1 4/5 s4
La última columna adicional, que no se utiliza en álgebra lineal
en la aumentada, es conveniente en programación lineal por
que ayuda a ubicar la SBF (y por tanto, la base para R m
extraída de las columnas de A). Observe además que
• b = 2 · a4 + 2 a5 + 3 a6 + 4/5 a7
• a1 = 1 · a4 + 2 a5 + 1 a6 + 0 a7
• a2 = 2 · a4 + 1 a5 + 5 a6 + 0 a7
• a3 = 2 · a4 + 1 a5 + 1 a6 + 1 a7

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
Regresando a nuestro problema: En la solución actual x es una
variable no básica (a1 no está en la base). Supongamos que
queremos aumentar el valor de x, es decir, queremos que a1
entre a la base actual. Pivoteando mediante operaciones de
renglón podemos ver a qué SBF nos puede llevar al
intercambiar por las columnas de A que están en la base:

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
⎡
⎣
1) Cambiando a1 por a4 (es decir, x por s1): No da una SBF.
Esto equivale a hacer 1 en la posición del renglón 1 (por s1) y
columna 1 (por x) y posteriormente hacer ceros abajo y arriba)
1. R2 ← R2 − 2 R1
2. R3 ← R3 − 1 R1
Actual Nueva
SBF10
⎤ ⎡
SB
x y z s1 s2 s3 s4 rhs vb
1 2 2 1 0 0 0 2 s1
2 1 1 0 1 0 0 2 s2
1 5 1 0 0 1 0 3 s3
0 0 1 0 0 0 1 4/5 s4
b = 2 · a4 + 2 a5 + 3 a6 + 4/5 a7
a1 = 1 · a4 + 2 a5 + 1 a6 + 0 a7
a2 = 2 · a4 + 1 a5 + 5 a6 + 0 a7
a3 = 2 · a4 + 1 a5 + 1 a6 + 1 a7
⎦
⎣
x y z s1 s2 s3 s4 rhs vb
1 2 2 1 0 0 0 2 x
0 −3 −3 −2 1 0 0 −2 s2
0 3 −1 −1 0 1 0 1 s3
0 0 1 0 0 0 1 4/5 s4
b = 2 · a1 − 2 a5 + 1 a6 + 4/5 a7
a2 = 2 · a1 − 3 a5 + 3 a6 + 0 a7
a3 = 2 · a1 − 3 a5 − 1 a6 + 1 a7
a4 = 1 · a1 − 2 a5 − 1 a6 + 0 a7
⎤
⎦

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
⎡
Óptimos
⎣
2) Cambiando a1 por a5: Sí da una SBF
Simplex
1
2
2
1
2
1
1
0
0
1
0
0
0
0
2
2
s1
s2
Saliente 1 5 1 0 0 1 0 3 s3
0
Optimalidad
0 1 0 0 0 1 4/5 s4
1. R2 ← 1
2 R2
2. R1 ← R1 − 1 R2
3. R3 ← R3 − 1 R2
Actual Nueva
SBF10
x y z s1 s2 s3 s4 rhs vb
b = 2 · a4 + 2 a5 + 3 a6 + 4/5 a7
a1 = 1 · a4 + 2 a5 + 1 a6 + 0 a7
a2 = 2 · a4 + 1 a5 + 5 a6 + 0 a7
a3 = 2 · a4 + 1 a5 + 1 a6 + 1 a7
⎤
⎦
⎡
⎣
SBF5
x y z s1 s2 s3 s4 rhs vb
0 3/2 3/2 1 −1/2 0 0 1 s1
1 1/2 1/2 0 1/2 0 0 1 x
0 9/2 1/2 0 −1/2 1 0 2 s3
0 0 1 0 0 0 1 4/5 s4
b = 2 · a1 − 2 a5 + 1 a6 + 4/5 a7
a2 = 2 · a1 − 3 a5 + 3 a6 + 0 a7
a3 = 2 · a1 − 3 a5 − 1 a6 + 1 a7
a4 = 1 · a1 − 2 a5 − 1 a6 + 0 a7
⎤
⎦

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
⎡
⎣
Optimalidad
2) Cambiando a1 por a6:No da una SBF
SBF10
x y z s1 s2 s3 s4 rhs vb
1 2 2 1 0 0 0 2 s1
2 1 1 0 1 0 0 2 s2
1 5 1 0 0 1 0 3 s3
0 0 1 0 0 0 1 4/5 s4
b = 2 · a4 + 2 a5 + 3 a6 + 4/5 a7
a1 = 1 · a4 + 2 a5 + 1 a6 + 0 a7
a2 = 2 · a4 + 1 a5 + 5 a6 + 0 a7
a3 = 2 · a4 + 1 a5 + 1 a6 + 1 a7
1. R1 ← R1 − 1 R3
1. R2 ← R2 − 2 R3
⎤
⎦
⎡
⎣
SBF
x y z s1 s2 s3 s4 rhs vb
0 −3 1 1 0 −1 0 −1 s1
0 −9 −1 0 1 −2 0 −4 s2
1 5 1 0 0 1 0 3 x
0 0 1 0 0 0 1 4/5 s4
b = −1 · a1 − 4 a4 + 3 a5 + 4/5 a7
a2 = −3 · a1 − 9 a4 + 5 a5 + 0 a7
a3 = 1 · a1 − 1 a4 + 1 a5 + 1 a7
a6 = −1 · a1 − 2 a5 + 1 a5 + 0 a7
⎤
⎦

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
Habiendo decidido hacer básica una variable no básica, ¿Cómo
saber cuál es la variable básica saliente?: determinando su
máximo crecimiento: esto va a ocurrir cuando se haga el
primer cero en una variable básica. Para el cálculo, se requiere
la columna de las constantes positiva y se añade una columna
extra a la derecha donde se registran los cocientes o razones
entre los lados derechos y los valores correspondientes de la
columna de la variable entrante cuando éstos son estrictamente
positivos: se descartan negativos o valores cero: El menor
cociente da el máximo crecimiento sin que una variable básica
se haga negativa; esto ubica la variable básica saliente.
⎡
⎤
x y z s1 s2 s3 s4 rhs vb razón
⎢
⎣
1 2 2 1 0 0 0 2 s1 2/1 = 2
2 1 1 0 1 0 0 2 s2 2/2 = 1
1 5 1 0 0 1 0 3 s3 3/1 = 3
0 0 1 0 0 0 1 4/5 s4 −−
⎥
⎦

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
¿Y cómo se determina la variable entrante? Es la variable no
básica que tiene un mayor impacto sobre la variable que
representa la función objetivo. En la versión completa del
Simplex, también la función se piensa como una ecuación:
⎡
⎤
w x y z s1 s2 s3 s4 rhs vb
⎢ 1 −15 −25 −19 0 0 0 0 0 w
⎥
⎢
⎣
0 1 2 2 1 0 0 0 2 s1
0 2 1 1 0 1 0 0 2 s2
0 1 5 1 0 0 1 0 3 s3
0 0 0 1 0 0 0 1 4/5 s4
La variable entrante es la variable no básica que tiene el mayor
(en valor absoluto) coeficiente negativo (Si el problema es de
minimización, es la variable no básica con el mayor coeficiente
positivo) en el renglón de la función objetivo.
⎥
⎦

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
Estamos en SBF10: La entrante y, la saliente s3:
⎡
w
⎢ 1
⎢ 0
⎢
0
⎣ 0
x
−15
1
2
1
y
−25
2
1
5
z
−19
2
1
1
s1
0
1
0
0
s2
0
0
1
0
s3
0
0
0
1
s4
0
0
0
0
rhs
0
2
2
3
vb
w
s1
s2
s3
⎤
cociente
−−
⎥
2/2 = 1 ⎥
2/1 = 2 ⎥
3/5 ⎦
0 0 0 1 0 0 0 1 4/5 s4 −−
Pivoteando en la posición (4, 3): Llegamos a la SBF8
⎡
w
⎢ 1
⎢ 0
⎢
0
⎣ 0
x
−10
3/5
9/5
1/5
y
0
0
0
1
z
−14
8/5
4/5
1/5
s1
0
1
0
0
s2
0
0
1
0
s3
5
−2/5
−1/5
1/5
s4
0
0
0
0
rhs
15
4/5
7/5
3/5
⎤
vb
w
⎥
s1 ⎥
s2 ⎥
y ⎦
0 0 0 1 0 0 0 1 4/5 s4

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de ⎢
Matemáticas ⎢
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
⎡
⎢
⎣
Estamos en SBF8: La entrante z, la saliente s1:
w x y z s1 s2 s3 s4 rhs vb cociente
1 −10 0 −14 0 0 5 0 15 w −−
0 3/5 0 8/5 1 0 −2/5 0 4/5 s1 (4/5)/(8/5) = 1/2
0 9/5 0 4/5 0 1 −1/5 0 7/5 s2 (7/5)/(4/5) = 7/4
0 1/5 1 1/5 0 0 1/5 0 3/5 y (3/5)/(1/5) = 3
0 0 0 1 0 0 0 1 4/5 s4 (4/5)/1 = 4/5
Pivoteando en la posición (2, 4): Llegamos a la SBF7
⎡
w
⎢ 1
⎢ 0
⎢
0
⎣ 0
x
−19/4
3/8
3/2
1/8
y
0
0
0
1
z
0
1
0
0
s1
35/4
5/8
−1/2
−1/8
s2
0
0
1
0
s3
3/2
−1/4
0
1/4
s4
0
0
0
0
rhs
22
1/2
1
1/2
⎤
vb
w
⎥
z ⎥
s2 ⎥
y ⎦
0 −3/8 0 0 −5/8 0 1/4 1 3/10 s4
⎤
⎥
⎦

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de⎢
Matemáticas ⎢
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
Estamos en SBF7: La entrante x, la saliente s1:
⎡
w x y z s1 s2 s3 s4 rhs vb cociente
⎢
⎣
1
0
0
0
−19/4
3/8
3/2
1/8
0
0
0
1
0
1
0
0
35/4
5/8
−1/2
−1/8
0
0
1
0
3/2
−1/4
0
1/4
0
0
0
0
22
1/2
1
1/2
w
z
s2
y
−−
(1/2)/(3/8) = 4/3
(1)/(3/2) = 2/3
(1/2)/(1/8) = 4
0 −3/8 0 0 −5/8 0 1/4 1 3/10 s4 −−
Pivoteando en la posición (3, 2): Llegamos a la SBF1
⎡
w
⎢ 1
⎢ 0
⎢
0
⎣ 0
x
0
0
1
0
y
0
0
0
1
z
0
1
0
0
s1
43/6
3/4
−1/3
−1/12
s2
19/6
−1/4
2/3
−1/12
s3
3/2
−1/4
0
1/4
s4
0
0
0
0
rhs
151/6
1/4
2/3
5/12
⎤
vb
w
⎥
z ⎥
x ⎥
y ⎦
0 0 0 0 −3/4 1/4 1/4 1 11/20 s4
⎤
⎥
⎦

Programación
Lineal, una
revisión del
Simplex desde
el Álgebra
Lineal
Departamento
de
Matemáticas
Intro
Ejemplo
SB
SBF
Óptimos
Simplex
Saliente
Optimalidad
En la SBF actual, las variables no básicas tienen coeficiente
positivo en el renglón de la función objetivo. Esto significará
que si alguna de ellas aumenta de valor (pasando de cero a un
valor positivo) el valor de la función objetivo disminuirá. Por
tanto, la SBF encontrada es óptima.
⎡
⎤
w x y z s1 s2 s3 s4 rhs vb
⎢ 1 0 0 0 43/6 19/6 3/2 0 151/6 w
⎥
⎢
⎥
⎢ 0 0 0 1 3/4 −1/4 −1/4 0 1/4 z ⎥
⎢
⎥
⎢
0 1 0 0 −1/3 2/3 0 0 2/3 x ⎥
⎣ 0 0 1 0 −1/12 −1/12 1/4 0 5/12 y ⎦
0 0 0 0 −3/4 1/4 1/4 1 11/20 s4
El renglón de la función objetivo representa
ó
w + 43/6 s1 + 19/6 s2 + 3/2 s3 = 151/6
w = 151/6 − 43/6 s1 − 19/6 s2 − 3/2 s3