Matemáticas Discretas TC1003
Matemáticas Discretas TC1003
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<strong>Matemáticas</strong> <strong>Discretas</strong><br />
<strong>TC1003</strong><br />
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades<br />
Departamento de <strong>Matemáticas</strong> / Centro de Sistema Inteligentes<br />
ITESM<br />
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades <strong>Matemáticas</strong> <strong>Discretas</strong> - p. 1/23
Representación Alternativa para Relaciones<br />
Sea A un conjunto y R una relación de A en A. En<br />
este caso diremos que R es una relación sobre A o<br />
una relación en A. Alternativamente al diagrama<br />
de flechas del conjunto hacia si mismo:<br />
a<br />
b<br />
c<br />
a<br />
b<br />
c<br />
Representación<br />
Ejemplo 1<br />
Reflexiva<br />
Ejemplo 2<br />
Ejemplo 3<br />
Simetría<br />
Ejemplo 3<br />
Antisimetría<br />
Ejemplo 4<br />
Transitividad<br />
Ejemplo 5<br />
Equivalencia<br />
Ejemplo 6<br />
Orden Parcial<br />
Ejemplo 7<br />
Ejemplo 8<br />
Ejemplo 9<br />
Cerradura<br />
Ejemplo 10<br />
Ejemplo 11<br />
Partición<br />
Ejemplo 12<br />
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades <strong>Matemáticas</strong> <strong>Discretas</strong> - p. 2/23<br />
a<br />
b<br />
c
Ejemplo<br />
Si A={1, 2, 3, 4} y<br />
R={(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 3), (4, 1)} dibuje el<br />
diagrama de flechas de las relación.<br />
Solución<br />
1 2<br />
4<br />
Representación<br />
Ejemplo 1<br />
Reflexiva<br />
Ejemplo 2<br />
Ejemplo 3<br />
Simetría<br />
Ejemplo 3<br />
Antisimetría<br />
Ejemplo 4<br />
Transitividad<br />
Ejemplo 5<br />
Equivalencia<br />
Ejemplo 6<br />
Orden Parcial<br />
Ejemplo 7<br />
Ejemplo 8<br />
Ejemplo 9<br />
Cerradura<br />
Ejemplo 10<br />
Ejemplo 11<br />
Partición<br />
Ejemplo 12<br />
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades <strong>Matemáticas</strong> <strong>Discretas</strong> - p. 3/23<br />
3
Relación Reflexiva<br />
Definición<br />
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que<br />
■ R es reflexiva si :<br />
∀x, (x∈A→(x, x)∈R).<br />
Es decir, toda relación que sea reflexiva debe tener<br />
al menos n flechas (suponiendo que n es el número<br />
de elementos de A): deben estar todas las parejas<br />
(a, a) donde a barre todos los elementos de A.<br />
Representación<br />
Ejemplo 1<br />
Reflexiva<br />
Ejemplo 2<br />
Ejemplo 3<br />
Simetría<br />
Ejemplo 3<br />
Antisimetría<br />
Ejemplo 4<br />
Transitividad<br />
Ejemplo 5<br />
Equivalencia<br />
Ejemplo 6<br />
Orden Parcial<br />
Ejemplo 7<br />
Ejemplo 8<br />
Ejemplo 9<br />
Cerradura<br />
Ejemplo 10<br />
Ejemplo 11<br />
Partición<br />
Ejemplo 12<br />
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades <strong>Matemáticas</strong> <strong>Discretas</strong> - p. 4/23
Ejemplos<br />
1 2<br />
4<br />
3<br />
Relación no Reflexiva<br />
1 2<br />
Cada nodo debe tener un cíclo.<br />
Representación<br />
Ejemplo 1<br />
Reflexiva<br />
Ejemplo 2<br />
Ejemplo 3<br />
Simetría<br />
Ejemplo 3<br />
Antisimetría<br />
Ejemplo 4<br />
Transitividad<br />
Ejemplo 5<br />
Equivalencia<br />
Ejemplo 6<br />
Orden Parcial<br />
Ejemplo 7<br />
Ejemplo 8<br />
Ejemplo 9<br />
Cerradura<br />
Ejemplo 10<br />
Ejemplo 11<br />
Partición<br />
Ejemplo 12<br />
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades <strong>Matemáticas</strong> <strong>Discretas</strong> - p. 5/23<br />
4<br />
3<br />
Relación Reflexiva
Ejemplos<br />
De acuerdo a la mtriz de adyacencia de una<br />
relación:<br />
⎡<br />
1 ···<br />
.<br />
. ..<br />
0<br />
⎢⎣<br />
⎤<br />
. ..<br />
⎥⎦<br />
⎡<br />
1 ···<br />
. 1<br />
⎢⎣<br />
⎤<br />
. ..<br />
⎥⎦<br />
1<br />
Relación No reflexiva Relación Reflexiva<br />
En la diagonal principal debe haber sólo unos<br />
para relaciones reflexivas. En las no reflexivas hay<br />
al menos un cero.<br />
Representación<br />
Ejemplo 1<br />
Reflexiva<br />
Ejemplo 2<br />
Ejemplo 3<br />
Simetría<br />
Ejemplo 3<br />
Antisimetría<br />
Ejemplo 4<br />
Transitividad<br />
Ejemplo 5<br />
Equivalencia<br />
Ejemplo 6<br />
Orden Parcial<br />
Ejemplo 7<br />
Ejemplo 8<br />
Ejemplo 9<br />
Cerradura<br />
Ejemplo 10<br />
Ejemplo 11<br />
Partición<br />
Ejemplo 12<br />
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades <strong>Matemáticas</strong> <strong>Discretas</strong> - p. 6/23
Relación Simétrica<br />
Definición<br />
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que<br />
R es simétrica si<br />
∀x, y, ((x, y)∈R→(y, x)∈R).<br />
Que no nos engañe la implicación: no dice que<br />
tengamos flechas de x a y para todo x y y: Dice<br />
que en caso de haber una flecha de x a y debemos<br />
de tener una de y a x en las relaciones simétricas.<br />
Representación<br />
Ejemplo 1<br />
Reflexiva<br />
Ejemplo 2<br />
Ejemplo 3<br />
Simetría<br />
Ejemplo 3<br />
Antisimetría<br />
Ejemplo 4<br />
Transitividad<br />
Ejemplo 5<br />
Equivalencia<br />
Ejemplo 6<br />
Orden Parcial<br />
Ejemplo 7<br />
Ejemplo 8<br />
Ejemplo 9<br />
Cerradura<br />
Ejemplo 10<br />
Ejemplo 11<br />
Partición<br />
Ejemplo 12<br />
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades <strong>Matemáticas</strong> <strong>Discretas</strong> - p. 7/23
Ejemplos<br />
1 2<br />
4<br />
3<br />
Relación no simétrica<br />
1 2<br />
Representación<br />
Ejemplo 1<br />
Reflexiva<br />
Ejemplo 2<br />
Ejemplo 3<br />
Simetría<br />
Ejemplo 3<br />
Antisimetría<br />
Ejemplo 4<br />
Transitividad<br />
Ejemplo 5<br />
Equivalencia<br />
Ejemplo 6<br />
Orden Parcial<br />
Ejemplo 7<br />
Ejemplo 8<br />
Ejemplo 9<br />
Cerradura<br />
Ejemplo 10<br />
Ejemplo 11<br />
Partición<br />
Ejemplo 12<br />
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades <strong>Matemáticas</strong> <strong>Discretas</strong> - p. 8/23<br />
4<br />
3<br />
Relación Simétrica
Relación Antisimétrica<br />
Definición<br />
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que<br />
R es antisimétrica si<br />
∀x, y, ((x, y)∈R∧(y, x)∈R→ x=y).<br />
Cuando están las parejas (x, y) y (y, x) en la<br />
relación, es porque las parejas son (x, x).<br />
Representación<br />
Ejemplo 1<br />
Reflexiva<br />
Ejemplo 2<br />
Ejemplo 3<br />
Simetría<br />
Ejemplo 3<br />
Antisimetría<br />
Ejemplo 4<br />
Transitividad<br />
Ejemplo 5<br />
Equivalencia<br />
Ejemplo 6<br />
Orden Parcial<br />
Ejemplo 7<br />
Ejemplo 8<br />
Ejemplo 9<br />
Cerradura<br />
Ejemplo 10<br />
Ejemplo 11<br />
Partición<br />
Ejemplo 12<br />
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades <strong>Matemáticas</strong> <strong>Discretas</strong> - p. 9/23
Ejemplos<br />
1 2<br />
4<br />
Relación no Antisimétrica<br />
3<br />
1 2<br />
Representación<br />
Ejemplo 1<br />
Reflexiva<br />
Ejemplo 2<br />
Ejemplo 3<br />
Simetría<br />
Ejemplo 3<br />
Antisimetría<br />
Ejemplo 4<br />
Transitividad<br />
Ejemplo 5<br />
Equivalencia<br />
Ejemplo 6<br />
Orden Parcial<br />
Ejemplo 7<br />
Ejemplo 8<br />
Ejemplo 9<br />
Cerradura<br />
Ejemplo 10<br />
Ejemplo 11<br />
Partición<br />
Ejemplo 12<br />
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades <strong>Matemáticas</strong> <strong>Discretas</strong> - p. 10/23<br />
4<br />
3<br />
Relación Antisimétrica
Relación Transitiva<br />
Definición<br />
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que<br />
R es transitiva si<br />
∀x, y, z, ((x, y)∈R∧(y, z)∈R→(x, z)∈R).<br />
Representación<br />
Ejemplo 1<br />
Reflexiva<br />
Ejemplo 2<br />
Ejemplo 3<br />
Simetría<br />
Ejemplo 3<br />
Antisimetría<br />
Ejemplo 4<br />
Transitividad<br />
Ejemplo 5<br />
Equivalencia<br />
Ejemplo 6<br />
Orden Parcial<br />
Ejemplo 7<br />
Ejemplo 8<br />
Ejemplo 9<br />
Cerradura<br />
Ejemplo 10<br />
Ejemplo 11<br />
Partición<br />
Ejemplo 12<br />
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades <strong>Matemáticas</strong> <strong>Discretas</strong> - p. 11/23
Ejemplos<br />
1 2<br />
4<br />
3<br />
Relación no Transitiva<br />
1 2<br />
Representación<br />
Ejemplo 1<br />
Reflexiva<br />
Ejemplo 2<br />
Ejemplo 3<br />
Simetría<br />
Ejemplo 3<br />
Antisimetría<br />
Ejemplo 4<br />
Transitividad<br />
Ejemplo 5<br />
Equivalencia<br />
Ejemplo 6<br />
Orden Parcial<br />
Ejemplo 7<br />
Ejemplo 8<br />
Ejemplo 9<br />
Cerradura<br />
Ejemplo 10<br />
Ejemplo 11<br />
Partición<br />
Ejemplo 12<br />
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades <strong>Matemáticas</strong> <strong>Discretas</strong> - p. 12/23<br />
4<br />
3<br />
Relación Transitiva
Relación de Equivalencia<br />
Definición<br />
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que<br />
R es una relación de equivalencia si R es reflexiva,<br />
simétrica y transitiva.<br />
Representación<br />
Ejemplo 1<br />
Reflexiva<br />
Ejemplo 2<br />
Ejemplo 3<br />
Simetría<br />
Ejemplo 3<br />
Antisimetría<br />
Ejemplo 4<br />
Transitividad<br />
Ejemplo 5<br />
Equivalencia<br />
Ejemplo 6<br />
Orden Parcial<br />
Ejemplo 7<br />
Ejemplo 8<br />
Ejemplo 9<br />
Cerradura<br />
Ejemplo 10<br />
Ejemplo 11<br />
Partición<br />
Ejemplo 12<br />
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades <strong>Matemáticas</strong> <strong>Discretas</strong> - p. 13/23
Ejemplos<br />
1 2<br />
4<br />
Relación no de Equivalencia<br />
3<br />
1 2<br />
Representación<br />
Ejemplo 1<br />
Reflexiva<br />
Ejemplo 2<br />
Ejemplo 3<br />
Simetría<br />
Ejemplo 3<br />
Antisimetría<br />
Ejemplo 4<br />
Transitividad<br />
Ejemplo 5<br />
Equivalencia<br />
Ejemplo 6<br />
Orden Parcial<br />
Ejemplo 7<br />
Ejemplo 8<br />
Ejemplo 9<br />
Cerradura<br />
Ejemplo 10<br />
Ejemplo 11<br />
Partición<br />
Ejemplo 12<br />
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades <strong>Matemáticas</strong> <strong>Discretas</strong> - p. 14/23<br />
4<br />
3<br />
Relación de Equivalencia
Relación de Orden Parcial<br />
Definición<br />
Sean A un conjunto y R una relación. Se dice que<br />
R es una relación de orden parcial si R es<br />
reflexiva, antisimétrica y transitiva.<br />
Representación<br />
Ejemplo 1<br />
Reflexiva<br />
Ejemplo 2<br />
Ejemplo 3<br />
Simetría<br />
Ejemplo 3<br />
Antisimetría<br />
Ejemplo 4<br />
Transitividad<br />
Ejemplo 5<br />
Equivalencia<br />
Ejemplo 6<br />
Orden Parcial<br />
Ejemplo 7<br />
Ejemplo 8<br />
Ejemplo 9<br />
Cerradura<br />
Ejemplo 10<br />
Ejemplo 11<br />
Partición<br />
Ejemplo 12<br />
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades <strong>Matemáticas</strong> <strong>Discretas</strong> - p. 15/23
Ejemplos<br />
1 2<br />
4<br />
Relación que no es Orden Parcial<br />
3<br />
1 2<br />
Representación<br />
Ejemplo 1<br />
Reflexiva<br />
Ejemplo 2<br />
Ejemplo 3<br />
Simetría<br />
Ejemplo 3<br />
Antisimetría<br />
Ejemplo 4<br />
Transitividad<br />
Ejemplo 5<br />
Equivalencia<br />
Ejemplo 6<br />
Orden Parcial<br />
Ejemplo 7<br />
Ejemplo 8<br />
Ejemplo 9<br />
Cerradura<br />
Ejemplo 10<br />
Ejemplo 11<br />
Partición<br />
Ejemplo 12<br />
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades <strong>Matemáticas</strong> <strong>Discretas</strong> - p. 16/23<br />
4<br />
3<br />
Relación de Orden Parcial
Ejemplo<br />
Considere el conjunto<br />
y la relación:<br />
R=<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
A={1, 2, 3}<br />
(2, 2), (2, 3), (1, 2),<br />
(1, 1), (3, 3)<br />
Indique cuáles propiedades tiene la relación.<br />
Representación<br />
Ejemplo 1<br />
Reflexiva<br />
Ejemplo 2<br />
Ejemplo 3<br />
Simetría<br />
Ejemplo 3<br />
Antisimetría<br />
Ejemplo 4<br />
Transitividad<br />
Ejemplo 5<br />
Equivalencia<br />
Ejemplo 6<br />
Orden Parcial<br />
Ejemplo 7<br />
Ejemplo 8<br />
Ejemplo 9<br />
Cerradura<br />
Ejemplo 10<br />
Ejemplo 11<br />
Partición<br />
Ejemplo 12<br />
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades <strong>Matemáticas</strong> <strong>Discretas</strong> - p. 17/23<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
⎪⎭
Ejemplo<br />
Indica cuáles de las siguientes son relaciones de<br />
equivalencia:<br />
1. mod5 en los enteros<br />
2. La relación vecinos en los paises<br />
3. Primos en una familia<br />
4.≥ en los enteros<br />
Representación<br />
Ejemplo 1<br />
Reflexiva<br />
Ejemplo 2<br />
Ejemplo 3<br />
Simetría<br />
Ejemplo 3<br />
Antisimetría<br />
Ejemplo 4<br />
Transitividad<br />
Ejemplo 5<br />
Equivalencia<br />
Ejemplo 6<br />
Orden Parcial<br />
Ejemplo 7<br />
Ejemplo 8<br />
Ejemplo 9<br />
Cerradura<br />
Ejemplo 10<br />
Ejemplo 11<br />
Partición<br />
Ejemplo 12<br />
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades <strong>Matemáticas</strong> <strong>Discretas</strong> - p. 18/23
Cerradura Transitiva de una Relación<br />
Definición<br />
Sean A un conjunto y R una relación. La cerradura<br />
transitiva de R es una relación R ′ que cumple:<br />
■ R ′ es transitiva,<br />
■ R⊆R ′ (R ′ contiene a R), y<br />
■ Cualquier otra relación transitiva que contiene a<br />
R también contiene a R ′ .<br />
Es decir, la cerradura transitiva de una relación R<br />
es la más pequeña relación transitiva que contiene<br />
a R.<br />
Representación<br />
Ejemplo 1<br />
Reflexiva<br />
Ejemplo 2<br />
Ejemplo 3<br />
Simetría<br />
Ejemplo 3<br />
Antisimetría<br />
Ejemplo 4<br />
Transitividad<br />
Ejemplo 5<br />
Equivalencia<br />
Ejemplo 6<br />
Orden Parcial<br />
Ejemplo 7<br />
Ejemplo 8<br />
Ejemplo 9<br />
Cerradura<br />
Ejemplo 10<br />
Ejemplo 11<br />
Partición<br />
Ejemplo 12<br />
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades <strong>Matemáticas</strong> <strong>Discretas</strong> - p. 19/23
Ejemplos<br />
1 2<br />
4<br />
Relación<br />
3<br />
1 2<br />
Representación<br />
Ejemplo 1<br />
Reflexiva<br />
Ejemplo 2<br />
Ejemplo 3<br />
Simetría<br />
Ejemplo 3<br />
Antisimetría<br />
Ejemplo 4<br />
Transitividad<br />
Ejemplo 5<br />
Equivalencia<br />
Ejemplo 6<br />
Orden Parcial<br />
Ejemplo 7<br />
Ejemplo 8<br />
Ejemplo 9<br />
Cerradura<br />
Ejemplo 10<br />
Ejemplo 11<br />
Partición<br />
Ejemplo 12<br />
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades <strong>Matemáticas</strong> <strong>Discretas</strong> - p. 20/23<br />
4<br />
3<br />
Cerradura Transitiva<br />
Cuidado: A veces hace falta una segunda pasada<br />
para revisar si ya es transitiva.
Considere el conjunto<br />
y la relación sobre A:<br />
R=<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
A={1, 2, 3}<br />
(1, 1), (1, 2), (1, 3),<br />
(2, 1), (2, 2), (3, 3)<br />
Sólo de la siguiente lista indique cuáles parejas<br />
deben aãdirse a R en la cerradura transitiva:<br />
1. (2, 3)<br />
2. (3, 1)<br />
3. (3, 2)<br />
Representación<br />
Ejemplo 1<br />
Reflexiva<br />
Ejemplo 2<br />
Ejemplo 3<br />
Simetría<br />
Ejemplo 3<br />
Antisimetría<br />
Ejemplo 4<br />
Transitividad<br />
Ejemplo 5<br />
Equivalencia<br />
Ejemplo 6<br />
Orden Parcial<br />
Ejemplo 7<br />
Ejemplo 8<br />
Ejemplo 9<br />
Cerradura<br />
Ejemplo 10<br />
Ejemplo 11<br />
Partición<br />
Ejemplo 12<br />
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades <strong>Matemáticas</strong> <strong>Discretas</strong> - p. 21/23<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
⎪⎭
Partición de un Conjunto<br />
Definición<br />
Sea A un conjunto no vacío. Una partición para A<br />
es una colección de subconjuntos de A, A1,<br />
A2,. . . ,Am tal que<br />
■ Ningún subconjunto Ai es vacío:<br />
∀i, Ai∅<br />
■ Los conjuntos no tienen elemento en común:<br />
∀i, j, (i j→Ai∩A j=∅)<br />
■ La unión de los conjuntos es igual a A:<br />
A1∪A2∪···∪ Am=A<br />
Representación<br />
Ejemplo 1<br />
Reflexiva<br />
Ejemplo 2<br />
Ejemplo 3<br />
Simetría<br />
Ejemplo 3<br />
Antisimetría<br />
Ejemplo 4<br />
Transitividad<br />
Ejemplo 5<br />
Equivalencia<br />
Ejemplo 6<br />
Orden Parcial<br />
Ejemplo 7<br />
Ejemplo 8<br />
Ejemplo 9<br />
Cerradura<br />
Ejemplo 10<br />
Ejemplo 11<br />
Partición<br />
Ejemplo 12<br />
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades <strong>Matemáticas</strong> <strong>Discretas</strong> - p. 22/23
Ejemplo<br />
Indica cuáles de las siguientes son particiones del<br />
conjunto:<br />
{1, 3,{5, 2}, 4}<br />
1.{∅,{1, 3,{5, 2}, 4}}<br />
2.{{1},{3,{5, 2}, 4}}<br />
3.{{{1, 3}},{5, 2},{4}}<br />
4.{{1},{3},{{5, 2}},{4}}<br />
Representación<br />
Ejemplo 1<br />
Reflexiva<br />
Ejemplo 2<br />
Ejemplo 3<br />
Simetría<br />
Ejemplo 3<br />
Antisimetría<br />
Ejemplo 4<br />
Transitividad<br />
Ejemplo 5<br />
Equivalencia<br />
Ejemplo 6<br />
Orden Parcial<br />
Ejemplo 7<br />
Ejemplo 8<br />
Ejemplo 9<br />
Cerradura<br />
Ejemplo 10<br />
Ejemplo 11<br />
Partición<br />
Ejemplo 12<br />
Relaciones entre Conjuntos: Propiedades <strong>Matemáticas</strong> <strong>Discretas</strong> - p. 23/23
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