Teoría de la Dimensión en Espacios Lineales Presentación para ...

Definiciones
◮ En matemáticas, un lema es una proposición demostrada o a
demostrar, utilizada para establecer un teorema menor o una
premisa auxiliar que forma parte de un teorema más general. El
término proviene del griego ληµµα que significa cualquier cosa que
es recibida, tal como un regalo, una dádiva o un soborno.
◮ En matemáticas una afirmación debe ser interesante o importante
dentro de la comunidad matemática para ser considerada un
teorema. Resultado matemático importante que requiere una
demostración lógica.
◮ Un corolario (del latín corollarium) es un término que se utiliza en
matemáticas y en lógica para designar la evidencia de un teorema o
de una definición ya demostrados, sin necesidad de invertir esfuerzo
adicional en su demostración. En pocas palabras, es una
consecuencia tan evidente que no necesita demostración o que
requiere un esfuerzo mínimo mediante el uso de un teorema.

Lema 1: Si v ∈ Gen{v 1 , . . . , v n}, entonces
Gen{v, v 1 , . . . , v n} = Gen{v 1 , . . . , v n}
Lema 2: Si v ∈ Gen{v 1 , . . . , v n}, entonces es linealmente
dependiente el conjunto
J = {v, v 1 , . . . , v n}
Lema 3: Si el conjunto J = {v 1 , . . . , v n} es linealmente
independiente, entonces:
a
b
ninguno de los vectores v i es el vector
cero, y
cualquier subconjunto de J es también
linealmente independiente.
Lema 4: Si el conunto J = {v 1 , v 2 , . . . , v n} es
linealmente dependiente y v 1 ≠ 0, entonces existe
un vector v io que es combinación lineal de los
vectores anteriores v 1 , . . . , v io −1. (Así i o > 1)
Lema 5: Si el conunto J = {v 1 , v 2 , . . . , v n} es
linealmente independiente y v /∈ Gen (J ), entonces
J ∪ {v} es linealmente independiente.

Lema 1: Si v ∈ Gen{v 1 , . . . , v n}, entonces
Gen{v, v 1 , . . . , v n} = Gen{v 1 , . . . , v n}
Lema 2: Si v ∈ Gen{v 1 , . . . , v n}, entonces es linealmente
dependiente el conjunto
J = {v, v 1 , . . . , v n}
Teorema del Intercambio
Suponga {x 1 , . . . , x n} es un conjunto
linealmente independiente de vectores
de V y {y 1 , . . . , y m} conjunto
generador de V . Entonces
n ≤ m
Es decir, en un espacio lineal dado:
el número de elementos que tiene un
conjunto linealmente independiente
cualquiera nunca excede al número
de elementos que tiene un conjunto
generador cualquiera.
Lema 3: Si el conjunto J = {v 1 , . . . , v n} es linealmente
independiente, entonces:
a
b
ninguno de los vectores v i es el vector
cero, y
cualquier subconjunto de J es también
linealmente independiente.
Lema 4: Si el conunto J = {v 1 , v 2 , . . . , v n} es
linealmente dependiente y v 1 ≠ 0, entonces existe
un vector v io que es combinación lineal de los
vectores anteriores v 1 , . . . , v io −1. (Así i o > 1)
Lema 5: Si el conunto J = {v 1 , v 2 , . . . , v n} es
linealmente independiente y v /∈ Gen (J ), entonces
J ∪ {v} es linealmente independiente.

Definamos
A 1 = {x 1 , y 1 , . . . , y m}
Así
◮ genera a V (x 1 ∈ V ),
◮ es linealmente dependiente,
◮ su primer elemento x 1 ≠ 0
por tanto, hay un vector y i1 que es
combinación de los anteriores, asumamos
que es y m. Por tanto,
B 1 = {x 1 , y 1 , . . . , y m−1 }
genera a V .
Lema 1: Si v ∈ Gen{v 1 , . . . , v n}, entonces
Gen{v, v 1 , . . . , v n} = Gen{v 1 , . . . , v n}
Lema 2: Si v ∈ Gen{v 1 , . . . , v n}, entonces es linealmente
dependiente el conjunto
J = {v, v 1 , . . . , v n}
Lema 3: Si el conjunto J = {v 1 , . . . , v n} es linealmente
independiente, entonces:
a
b
ninguno de los vectores v i es el vector
cero, y
cualquier subconjunto de J es también
linealmente independiente.
Lema 4: Si el conunto J = {v 1 , v 2 , . . . , v n} es
linealmente dependiente y v 1 ≠ 0, entonces existe
un vector v io que es combinación lineal de los
vectores anteriores v 1 , . . . , v io −1. (Así i o > 1)
Lema 5: Si el conunto J = {v 1 , v 2 , . . . , v n} es
linealmente independiente y v /∈ Gen (J ), entonces
J ∪ {v} es linealmente independiente.

Definamos
A 2 = {x 2 , x 1 , y 1 , . . . , y m−1 }
Así
◮ genera a V (x 2 ∈ V ),
◮ es linealmente dependiente,
◮ su primer elemento x 2 ≠ 0
por tanto, hay un vector y i2 que es
combinación de los anteriores, asumamos
que es y m−1 . Observe que
no puede ser x 1 combinación lineal
de x 2 . Por tanto,
B 2 = {x 2 , x 1 , y 1 , . . . , y m−2 }
genera a V .
Lema 1: Si v ∈ Gen{v 1 , . . . , v n}, entonces
Gen{v, v 1 , . . . , v n} = Gen{v 1 , . . . , v n}
Lema 2: Si v ∈ Gen{v 1 , . . . , v n}, entonces es linealmente
dependiente el conjunto
J = {v, v 1 , . . . , v n}
Lema 3: Si el conjunto J = {v 1 , . . . , v n} es linealmente
independiente, entonces:
a
b
ninguno de los vectores v i es el vector
cero, y
cualquier subconjunto de J es también
linealmente independiente.
Lema 4: Si el conunto J = {v 1 , v 2 , . . . , v n} es
linealmente dependiente y v 1 ≠ 0, entonces existe
un vector v io que es combinación lineal de los
vectores anteriores v 1 , . . . , v io −1. (Así i o > 1)
Lema 5: Si el conunto J = {v 1 , v 2 , . . . , v n} es
linealmente independiente y v /∈ Gen (J ), entonces
J ∪ {v} es linealmente independiente.

Definamos
A 3 = {x 3 , x 2 , x 1 , y 1 , . . . , y m−2 }
Así
◮ genera a V (x 3 ∈ V ),
◮ es linealmente dependiente,
◮ su primer elemento x 3 ≠ 0
por tanto, hay un vector y i3 que es
combinación de los anteriores, asumamos
que es y m−2 . Observe que
x 1 no puede ser combinación lineal
de x 3 y de x 2 y que tampoco x 2 puede
ser combinación lineal de x 3 . Por
tanto,
B 3 = {x 3 , x 2 , x 1 , y 1 , . . . , y m−3 }
genera a V .
Lema 1: Si v ∈ Gen{v 1 , . . . , v n}, entonces
Gen{v, v 1 , . . . , v n} = Gen{v 1 , . . . , v n}
Lema 2: Si v ∈ Gen{v 1 , . . . , v n}, entonces es linealmente
dependiente el conjunto
J = {v, v 1 , . . . , v n}
Lema 3: Si el conjunto J = {v 1 , . . . , v n} es linealmente
independiente, entonces:
a
b
ninguno de los vectores v i es el vector
cero, y
cualquier subconjunto de J es también
linealmente independiente.
Lema 4: Si el conunto J = {v 1 , v 2 , . . . , v n} es
linealmente dependiente y v 1 ≠ 0, entonces existe
un vector v io que es combinación lineal de los
vectores anteriores v 1 , . . . , v io −1. (Así i o > 1)
Lema 5: Si el conunto J = {v 1 , v 2 , . . . , v n} es
linealmente independiente y v /∈ Gen (J ), entonces
J ∪ {v} es linealmente independiente.

Lema 1: Si v ∈ Gen{v 1 , . . . , v n}, entonces
Gen{v, v 1 , . . . , v n} = Gen{v 1 , . . . , v n}
Lema 2: Si v ∈ Gen{v 1 , . . . , v n}, entonces es linealmente
dependiente el conjunto
J = {v, v 1 , . . . , v n}
Lema 3: Si el conjunto J = {v 1 , . . . , v n} es linealmente
independiente, entonces:
a
b
ninguno de los vectores v i es el vector
cero, y
cualquier subconjunto de J es también
linealmente independiente.
Continuamos hasta concluir con x’s
o y’s, ¿cómo puede acabar?
A
Todos los x i entraron al
conjunto generador B n: por
tanto, n ≤ m. Perfecto; lo
que se quería probar.
Lema 4: Si el conunto J = {v 1 , v 2 , . . . , v n} es
linealmente dependiente y v 1 ≠ 0, entonces existe
un vector v io que es combinación lineal de los
vectores anteriores v 1 , . . . , v io −1. (Así i o > 1)
Lema 5: Si el conunto J = {v 1 , v 2 , . . . , v n} es
linealmente independiente y v /∈ Gen (J ), entonces
J ∪ {v} es linealmente independiente.

Continuamos hasta concluir con x’s o y’s,
¿cómo puede acabar?
B
Quedó un x k , sin entrar a un
conjunto generador porque se
agotaron antes los y j . En este caso,
en el paso anterior el conjunto
B k−1 = {x k−1 , x k−2 , . . . , x 2 , x 1 }
genera a V y por tanto
x k ∈ Gen {x k−1 , x k−2 , . . . , x 2 , x 1 }
Por tanto,
{x k , x k−1 , x k−2 , . . . , x 2 , x 1 }
es linealmente dependiente. Esto es
imposible. Por tanto, esta alternativa
no puede acurrir.
Lema 1: Si v ∈ Gen{v 1 , . . . , v n}, entonces
Gen{v, v 1 , . . . , v n} = Gen{v 1 , . . . , v n}
Lema 2: Si v ∈ Gen{v 1 , . . . , v n}, entonces
es linealmente dependiente el conjunto
J = {v, v 1 , . . . , v n}
Lema 3: Si el conjunto
J = {v 1 , . . . , v n} es linealmente
independiente, entonces:
a
b
ninguno de los vectores v i es el
vector cero, y
cualquier subconjunto de J es
también linealmente
independiente.

Definición
Un conjunto B = {x 1 , . . . , x n } se dice Base para el espacio
lineal V , si genera a V y además es linealmente independiente.
Corolario (Al teorema del intercambio)
Sean
y
B 1 = {x 1 , . . . , x n }
B 2 = {y 1 , . . . , y m }
dos bases para un mismo espacio lineal V . Entonces
n = m
Es decir, dos bases para un mismo espacio lineal tienen la misma
cardinalidad. Ello permite definir la dimensión para un espacio lineal
como el número de elementos de una base cualquiera:
dim(V ) = Dim(V ) = #(Base cualquiera para V )