Teoría de la Dimensión en Espacios Lineales Presentación para ...

Continuamos hasta concluir con x’s o y’s,
¿cómo puede acabar?
B
Quedó un x k , sin entrar a un
conjunto generador porque se
agotaron antes los y j . En este caso,
en el paso anterior el conjunto
B k−1 = {x k−1 , x k−2 , . . . , x 2 , x 1 }
genera a V y por tanto
x k ∈ Gen {x k−1 , x k−2 , . . . , x 2 , x 1 }
Por tanto,
{x k , x k−1 , x k−2 , . . . , x 2 , x 1 }
es linealmente dependiente. Esto es
imposible. Por tanto, esta alternativa
no puede acurrir.
Lema 1: Si v ∈ Gen{v 1 , . . . , v n}, entonces
Gen{v, v 1 , . . . , v n} = Gen{v 1 , . . . , v n}
Lema 2: Si v ∈ Gen{v 1 , . . . , v n}, entonces
es linealmente dependiente el conjunto
J = {v, v 1 , . . . , v n}
Lema 3: Si el conjunto
J = {v 1 , . . . , v n} es linealmente
independiente, entonces:
a
b
ninguno de los vectores v i es el
vector cero, y
cualquier subconjunto de J es
también linealmente
independiente.