Teoría de la Dimensión en Espacios Lineales Presentación para ...

Definamos
A 3 = {x 3 , x 2 , x 1 , y 1 , . . . , y m−2 }
Así
◮ genera a V (x 3 ∈ V ),
◮ es linealmente dependiente,
◮ su primer elemento x 3 ≠ 0
por tanto, hay un vector y i3 que es
combinación de los anteriores, asumamos
que es y m−2 . Observe que
x 1 no puede ser combinación lineal
de x 3 y de x 2 y que tampoco x 2 puede
ser combinación lineal de x 3 . Por
tanto,
B 3 = {x 3 , x 2 , x 1 , y 1 , . . . , y m−3 }
genera a V .
Lema 1: Si v ∈ Gen{v 1 , . . . , v n}, entonces
Gen{v, v 1 , . . . , v n} = Gen{v 1 , . . . , v n}
Lema 2: Si v ∈ Gen{v 1 , . . . , v n}, entonces es linealmente
dependiente el conjunto
J = {v, v 1 , . . . , v n}
Lema 3: Si el conjunto J = {v 1 , . . . , v n} es linealmente
independiente, entonces:
a
b
ninguno de los vectores v i es el vector
cero, y
cualquier subconjunto de J es también
linealmente independiente.
Lema 4: Si el conunto J = {v 1 , v 2 , . . . , v n} es
linealmente dependiente y v 1 ≠ 0, entonces existe
un vector v io que es combinación lineal de los
vectores anteriores v 1 , . . . , v io −1. (Así i o > 1)
Lema 5: Si el conunto J = {v 1 , v 2 , . . . , v n} es
linealmente independiente y v /∈ Gen (J ), entonces
J ∪ {v} es linealmente independiente.