4º ESO - mauricio contreras
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Materiales de Matemáticas para <strong>4º</strong> Curso de<br />
E.S.O.<br />
GEOMETRÍA <strong>4º</strong> <strong>ESO</strong><br />
Actividades para las alumnas y los alumnos<br />
Floreal Gracia Alcaine<br />
Julio Rodrigo Martínez<br />
(Col.lectiu Mosaic)<br />
Dibujo : Rosario Falcó
COLECCIÓN: MATERIALES PARA EL DESARROLLO CURRICULAR. M.30<br />
TÍTULO: R<strong>ESO</strong>LUCIÓN DE PROBLEMAS<br />
EDITA: GENERALITAT VALENCIANA, CONS. CULTURA, EDUCACIÓ I CIÈNCIA<br />
1ª EDICIÓN<br />
DISEÑO COLECCIÓN: VOLÚMENES ALTERADOS<br />
I.S.B.N.: 84-482-0153-1<br />
D.L.: V-1162-1993<br />
IMPR<strong>ESO</strong> EN ESPAÑA – PRINTED IN SPAIN<br />
Impreso por:<br />
ARIES COLOR S.L.<br />
Av. Blasco Ibáñez, 22-b 46010 VALENCIA
ÍNDICE ÍNDICE AMPLIADO<br />
Láminas ....................................................................... 5<br />
La Geometría, la Ciencia, el Arte, la Naturaleza<br />
y el Diseño ............................................................ 16<br />
Espacio - Plano ........................................................... 26<br />
Planos y Mapas ........................................................... 43<br />
Medida ......................................................................... 48
ÍNDICE AMPLIADO<br />
LÁMINAS..................................................... 5<br />
LÁMINA 1. TRAMA CUADRADA DE PUNTOS DE 1 cm. ............... 6<br />
LÁMINA 2. TRAMA ISOMÉTRICA DE PUNTOS DE 1'25 cm. .......... 7<br />
LÁMINA 3. TRAMA HEXAGONAL DE 1 cm. ........................ 8<br />
LÁMINA 4. CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS I .................. 9<br />
LÁMINA 5. CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS II ................ 10<br />
LÁMINA 6. MAPA MUNDI ..................................... 11<br />
LÁMINA 7. ÁREA METROPOLITANA DE VALENCIA ................. 12<br />
LÁMINA 8. PERÍMETROS Y ÁREAS ............................. 13<br />
LÁMINA 9. ÁREAS ......................................... 14<br />
LÁMINA 10. ÁREAS Y VOLÚMENES ............................. 15<br />
LA GEOMETRÍA, LA CIENCIA, EL ARTE,......................... 16<br />
LA NATURALEZA Y EL DISEÑO.................................. 16<br />
MOSAICOS I ............................................... 18<br />
MOSAICOS II .............................................. 19<br />
MOSAICOS III ............................................. 20<br />
MOSAICOS IV .............................................. 20<br />
MOSAICOS V ............................................... 21<br />
MOSAICOS VI .............................................. 22<br />
MOSAICOS VII ............................................. 22<br />
MOSAICOS VIII ............................................ 22<br />
DISEÑO I ................................................. 24<br />
DISEÑO II ................................................ 25<br />
MI PUEBLO ................................................ 27<br />
PANALES .................................................. 27<br />
ESCHER ................................................... 28<br />
ESPACIO - PLANO............................................ 29<br />
POLIEDROS I .............................................. 30<br />
POLIEDROS II ............................................. 30<br />
POLIEDROS III ............................................ 30<br />
LAS ESQUINAS ............................................. 31<br />
¿CÓMO ESTA HECHO? ........................................ 31<br />
CORTES ................................................... 32<br />
PINTANDO CUBOS ........................................... 32<br />
CUBO DE CUBOS ............................................ 32<br />
EL SOMA .................................................. 33<br />
EL CUBO DE O'BERINE ...................................... 35<br />
EL CUBO LESK ............................................. 35<br />
DEFINICIONES ............................................. 36<br />
PUNTOS ALINEADOS: ........................................ 36<br />
RELACIONANDO POLÍGONOS REGULARES ......................... 37<br />
EL ISÓSCELES MÁXIMO ...................................... 37<br />
EL PUNTO M ............................................... 38<br />
EL CINE .................................................. 38<br />
ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA ............................ 39<br />
LOS CUATRO CÍRCULOS ...................................... 40<br />
CUERDAS .................................................. 40<br />
LA MITAD DE RADIO ........................................ 41<br />
TANGENTES EXTERIORES ..................................... 41<br />
DISTANCIA A UNA CIRCUNFERENCIA ........................... 42<br />
DOS CLAVOS ............................................... 42<br />
CÓNICAS .................................................. 43
LA ELIPSE ................................................ 44<br />
CIRCUNFERENCIAS QUE SE CORTAN ............................ 44<br />
PARÁBOLAS I .............................................. 45<br />
PARÁBOLAS II ............................................. 45<br />
PLANOS Y MAPAS............................................. 46<br />
CARRETERAS I ............................................. 47<br />
CARRETERAS II ............................................ 48<br />
CARRETERAS III ........................................... 48<br />
MAPA I ................................................... 49<br />
MAPA II .................................................. 49<br />
MAPA III ................................................. 50<br />
LOS MONTAÑEROS ........................................... 50<br />
MEDIDA..................................................... 51<br />
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES ........................ 52<br />
UNIDADES LOCALES ......................................... 53<br />
UNIDADES DE SUPERFICIE ................................... 54<br />
INSTRUMENTOS DE MEDIDA ................................... 55<br />
MEDIDAS DIRECTAS E INDIRECTAS ............................ 56<br />
AÑOS LUZ ................................................. 56<br />
ÁREA ENCERRADA ........................................... 57<br />
LIMPIEZA DE PARABRISAS ................................... 59<br />
¿JUEGAS AL TENIS? ........................................ 60<br />
LA VUELTA AL MUNDO EN 80 DÍAS ............................ 60<br />
EL ENGAÑO DE LOS ESPÁRRAGOS .............................. 61<br />
LA ESCALERA .............................................. 62<br />
UNIDAD DE VOLUMEN ........................................ 62<br />
LOS CAMIONES ............................................. 63<br />
EL CONO .................................................. 63<br />
MEDIDA DE ÁNGULOS ........................................ 64<br />
CALCULADORA .............................................. 65<br />
SUMAR Y RESTAR ........................................... 66<br />
RADIANES ................................................. 66<br />
LA CURVA ................................................. 67<br />
TEOREMA DE LOS SENOS ..................................... 68<br />
TEOREMA DEL COSENO ....................................... 70<br />
COHETES .................................................. 70<br />
COHETES .................................................. 71<br />
ÁNGULOS .................................................. 71<br />
EL ÁRBOL ................................................. 72<br />
LA ESTRUCTURA ............................................ 72<br />
ALTÍMETRO ................................................ 73<br />
PUNTOS INACCESIBLES ...................................... 73<br />
TEOREMA DE HERÓN ......................................... 74<br />
MASÍA TOMÁS .............................................. 74<br />
MERIDIANOS Y PARALELOS ................................... 75<br />
LATITUD Y LONGITUD ....................................... 75<br />
LATITUD Y LONGITUD ....................................... 76<br />
DISTANCIA ................................................ 76<br />
EL MAPA .................................................. 76<br />
LATITUDES ................................................ 77<br />
TRIÁNGULO ESFÉRICO ....................................... 77
LÁMINAS<br />
LÁMINA 1. TRAMA CUADRADA DE PUNTOS DE 1 cm. ............. 6<br />
LÁMINA 2. TRAMA ISOMÉTRICA DE PUNTOS DE 1'25 cm. .......... 7<br />
LÁMINA 3. TRAMA HEXAGONAL DE 1 cm. ........................ 8<br />
LÁMINA 4. CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS I .................. 9<br />
LÁMINA 5. CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS II ................ 10<br />
LÁMINA 6. MAPA MUNDI ..................................... 11<br />
LÁMINA 7. ÁREA METROPOLITANA DE VALENCIA ................. 12<br />
LÁMINA 8. PERÍMETROS Y ÁREAS ............................. 13<br />
LÁMINA 9. ÁREAS ......................................... 14<br />
LÁMINA 10. ÁREAS Y VOLÚMENES ............................<br />
15<br />
5
LÁMINA 1. TRAMA CUADRADA DE PUNTOS DE 1 cm. (Ver tramas)<br />
6
LÁMINA 2. TRAMA ISOMÉTRICA DE PUNTOS DE 1'25 cm.<br />
7
LÁMINA 3. TRAMA HEXAGONAL DE 1 cm.<br />
8
LÁMINA 4. CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS I<br />
9
LÁMINA 5. CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS II<br />
10
LÁMINA 6. MAPA MUNDI<br />
11
LÁMINA 7. ÁREA METROPOLITANA DE VALENCIA<br />
12
a<br />
LÁMINA 8. PERÍMETROS Y ÁREAS<br />
Figura Nombre Perímetro Área<br />
a<br />
l<br />
l<br />
h<br />
b<br />
h<br />
D<br />
B<br />
h<br />
l<br />
B<br />
B<br />
B<br />
d<br />
a<br />
r<br />
b<br />
l<br />
c<br />
a<br />
h<br />
Triángulo a + b + B<br />
Cuadrado 4 l l 2<br />
B * h<br />
Rectángulo 2B + 2h B x h<br />
Paralelogramo 2B + 2a B x h<br />
Rombo 4 l<br />
2<br />
D x d<br />
B + b<br />
Trapecio a + b + c + B x h<br />
2<br />
Polígono regular nº lados x l<br />
2<br />
Perímetro * a<br />
Círculo 2 * π * r π * r 2<br />
13<br />
2
LÁMINA 9. ÁREAS<br />
Figura Nombre Área<br />
r<br />
R<br />
r<br />
r<br />
R<br />
r<br />
nº<br />
Corona circular π ( R 2 - r 2 )<br />
Sector circular<br />
Π * r 2 * nº<br />
360<br />
Segmento Sector - Triángulo<br />
Sector corona Diferencia de sectores<br />
14
LÁMINA 10. ÁREAS Y VOLÚMENES<br />
Cuerpo Nombre Área lateral Volumen<br />
Paralelepípedo 2ab + 2bc + 2ac a * b * c<br />
Cubo 6 a 2 a 3<br />
Prisma recto 2B + P * h B * h<br />
P * h B * h<br />
Pirámide B +<br />
regular 2 3<br />
P * h B * h<br />
Cono B +<br />
2 3<br />
Cilindro B + P * h B * h<br />
4 π r 3<br />
Esfera 4 π r 2 3<br />
15
LA GEOMETRÍA, LA CIENCIA, EL ARTE,<br />
LA NATURALEZA Y EL DISEÑO<br />
Mosaicos I .................................................................................................. 15<br />
Mosaicos II ................................................................................................. 16<br />
Mosaicos III ................................................................................................ 17<br />
Mosaicos IV ................................................................................................ 17<br />
Mosaicos V ................................................................................................. 18<br />
Mosaicos VI ................................................................................................ 19<br />
Mosaicos VII ............................................................................................... 19<br />
Mosaicos VIII .............................................................................................. 19<br />
Diseño I ........................................................................................................ 20<br />
Diseño II ....................................................................................................... 21<br />
Diseño III ..................................................................................................... 21<br />
Mi pueblo ..................................................................................................... 22<br />
Panales ......................................................................................................... 22<br />
Escher .......................................................................................................... 23<br />
16
MOSAICOS I<br />
En otros cursos habrás investigado los mosaicos que se pueden construir con un solo<br />
tipo de polígono regular y que sus vértices concurran en un punto. Estos mosaicos se<br />
llaman mosaicos REGULARES.<br />
¿Por qué sólo hay tres?.<br />
18
MOSAICOS II<br />
Para este problema necesitas una colección de polígonos regulares. Vamos a intentar<br />
construir mosaicos que llenen el plano, pero con una condición, los polígonos que<br />
concurran en un vértice del mosaico deben ser siempre los mismos y han de estar<br />
situados en el mismo orden.<br />
A este tipo de mosaicos se les llama mosaicos SEMIRREGULARES. Anímate a<br />
encontrarlos. ¿Cómo estar seguro de que los has encontrado todos?.<br />
Aquí tienes un ejemplo que no es válido dado que los polígonos no tienen la misma<br />
configuración en todos los vértices.<br />
19
MOSAICOS III<br />
Cuando observas un mosaico como los de la Alhambra una pregunta que podemos<br />
hacernos es: ¿cómo estará construida la baldosa que ha dado lugar al mosaico?.<br />
Si observas el mosaico:<br />
podríamos decir que una baldosa es (HU<strong>ESO</strong>) pero, ¿puedes encontrar otros<br />
diseños de baldosa para construir el mosaico?.<br />
MOSAICOS IV<br />
El problema anterior se puede resolver trazando los ejes de simetría del mosaico, a<br />
partir de este diseño es fácil pensar en el modulo básico.<br />
¿Cómo se han construido los ejes de simetría en el mosaico?.<br />
¿Cuántos ejes de simetría tiene?.<br />
20
MOSAICOS V<br />
Traza los ejes de simetría y construye el módulo básico de los siguientes mosaicos.<br />
21
MOSAICOS VI<br />
Consideramos el cuadrado, deformamos uno de sus lados y trasladamos esta<br />
deformación a su lado opuesto.<br />
Esta nueva baldosa, ¿teselará el plano?.<br />
Utiliza la misma técnica para deformar otros cuadrados y comprueba si teselan el plano.<br />
¿Qué conclusiones obtienes?.<br />
MOSAICOS VII<br />
La figura fue creada deformando un cuadrado. Qué pasos hay que dar para obtenerla?.<br />
¿Se podría formar una teselación con ella?.<br />
MOSAICOS VIII<br />
¿Qué ocurrirá con el hexágono regular?, ¿se puede deformar los lados paralelos por<br />
traslación, y posteriormente utilizar esta pieza para teselar el plano?.<br />
¿Se puede hacer utilizando los seis lados dos a dos?.<br />
22
DISEÑO I<br />
Los envases de leche suelen tener forma de cilindro o de prisma de base rectangular,<br />
¿cuál de los dos envases ahorra más espacio en el comercio al almacenarlo en las<br />
estanterías?, ¿y en las cajas de transporte?.<br />
Hace unos años los botes de detergente eran redondos, ¿por qué crees que ahora<br />
tienen forma de prisma?.<br />
Las latas de cerveza que tenemos en el comercio son cilíndricas, posiblemente porque<br />
se adapten mejor a la mano, pero vamos a pensar en otros tipos de diseños.<br />
Diseña y construye tres envases de cerveza de 33 cl. de volumen con las siguientes<br />
condiciones:<br />
- Uno de ellos debe ser cilíndrico.<br />
- Otro debe ser un prisma hexagonal.<br />
- Un envase que sea un prisma de base cuadrada o rectangular.<br />
Estudia cuál es el cilindro o prisma que se construye con menos material, es decir cuál<br />
serán las dimensiones más económicas para un envase que tenga la capacidad de 33<br />
cl.<br />
Elegir entre los diferentes envases en función de la economía y del espacio que ocupen<br />
al almacenarlos.<br />
24
DISEÑO II<br />
En este problema nos vamos a hacer algunas preguntas sobre la forma de los objetos<br />
de nuestra vida diaria.<br />
Los frigoríficos son todos prismas de base cuadrada o rectangular. Uno estándar puede<br />
tener unas dimensiones de 153 cm. x 61'5 cm. x 55 cm., y una capacidad en litros de<br />
270.<br />
Diseña un frigorífico cilíndrico que quepa en el mismo hueco de la cocina del anterior y<br />
que tenga la misma capacidad.<br />
¿Cómo deberían ser las puertas en el anterior caso?. Las bandejas del frigorífico<br />
tradicional se pueden extraer hacia el exterior, ¿cómo serían las bandejas del frigorífico<br />
cilíndrico?. ¿Facilitaría el uso si las bandejas girasen?.<br />
Realiza el mismo estudio para un frigorífico hexagonal.<br />
DISEÑO III<br />
Estudia cómo han sido construidos los siguientes diseños:<br />
LA rueda ilusoria (1983)<br />
25
Triángulo imposible. Penrose<br />
26
MI PUEBLO<br />
Has sido designado para diseñar el plano de un pueblo donde vivirán mil personas.<br />
Atrévete a hacerlo y en la elaboración considera todas las variables que creas<br />
necesario.<br />
PANALES<br />
Las abejas realizan sus paneles en forma de hexágonos<br />
¿Qué ventajas tiene este panal con respecto a otros que podrían haber utilizado?, por<br />
ejemplo el triángulo o el cuadrado.<br />
27
ESCHER<br />
Maurits Cornelius Escher, dibujante y grabador holandés (1898-72), estudió en la<br />
Escuela de Arquitectura y Artes Decorativas de Haarlem y vivió en Italia (1925-34),<br />
Suiza y Bruselas. Autor de complejas representaciones basadas en problemas<br />
matemáticos, que ponen de relieve su virtuosismo en el empleo de la perspectiva y la<br />
creación de formas a partir de esquemas geométricos.<br />
Belvedere (1958) es uno de sus cuboides imposibles, analízalo.<br />
28
ESPACIO - PLANO<br />
Poliedros I ......................................................................................... 25<br />
Poliedros II ........................................................................................ 25<br />
Poliedros III ....................................................................................... 25<br />
Las esquinas ....................................................................................... 26<br />
¿Cómo esta hecho? ................................................................. ........... 26<br />
Cortes ...................................................................................... .......... 27<br />
Pintando cubos ........................................................................ .......... 27<br />
Cubo de cubos ................................................................................... 27<br />
El Soma ............................................................................................. 28<br />
El cubo de O'berine ........................................................................... 30<br />
El cubo Lesk ...................................................................................... 30<br />
Definiciones ....................................................................................... 31<br />
Puntos alineados ................................................................................ 31<br />
Relacionando polígonos regulares ..................................................... 32<br />
El isósceles máximo .......................................................................... 32<br />
El punto M ........................................................................................ 33<br />
El cine ............................................................................................... 33<br />
Ángulos en una circunferencia .......................................................... 34<br />
Los cuatro círculos ........................................................................... 35<br />
Cuerdas ............................................................................................ 35<br />
La mitad de radio ............................................................................. 36<br />
Tangentes exteriores ........................................................................ 36<br />
Distancia a una circunferencia .......................................................... 37<br />
Dos clavos ....................................................................................... 37<br />
Cónicas ............................................................................................ 38<br />
La elipse ........................................................................................... 39<br />
Circunferencias que se cortan........................................ ................... 39<br />
Parábolas I ....................................................................................... 40<br />
Parábolas II ...................................................................................... 40<br />
29
POLIEDROS I<br />
En cursos anteriores habrás investigado los poliedros regulares y recordarás que son<br />
cinco: el cubo, el tetraedro, el octaedro, el icosaedro y el dodecaedro. Clasifícalos<br />
según el número de planos de simetría.<br />
POLIEDROS II<br />
Toma un cubo y corta los vértices (siempre de la misma forma), de manera que<br />
obtengas otro poliedro que tenga todas las caras regulares. Investiga con otro poliedro<br />
regular. Se pueden obtener todos los poliedros regulares a través de cortes de este tipo<br />
entre ellos mismos.<br />
POLIEDROS III<br />
Encuentra todos los poliedros cóncavos que se puedan construir con triángulos<br />
equiláteros. Estos poliedros reciben el nombre de deltaedros.<br />
30
LAS ESQUINAS<br />
A cuatro cubos se les han cortado algunas esquinas. Sólo quedan dos cubos iguales,<br />
¿cuáles son?.<br />
¿CÓMO ESTA HECHO?<br />
Tenemos un cubo construido con dos trozos de madera machihembrados: el macho de<br />
la mitad superior entra en la hembra de la inferior.<br />
Fíjate en la forma y en la disposición de este machihembrado y di cómo se las compuso<br />
el carpintero para unir las dos partes, porque cada mitad está hecha de un solo trozo de<br />
madera.<br />
31
CORTES<br />
Cortando un cubo por diferentes planos, obtenemos diversos polígonos:<br />
Encuentra el rombo y el rectángulo que tenga área máxima. ¿Cuál es el área de cada<br />
uno?.<br />
¿Qué figura de las dos anteriores tiene mayor perímetro?. ¿Podrías demostrarlo<br />
gráficamente?.<br />
PINTANDO CUBOS<br />
¿Cuál es el número mínimo de colores que se necesitan para pintar un cubo de manera<br />
que dos caras adyacentes tengan siempre color distinto?.<br />
Teniendo en cuenta las normas del apartado anterior, ¿cuántos cubos diferentes se<br />
pueden obtener usando cuatro colores?.<br />
CUBO DE CUBOS<br />
Tengo ocho cubos. Dos de ellos están pintados de rojo, dos de verde, dos de azul, y<br />
dos de naranja. Son indistinguibles en cualquier otro aspecto. Quiero ensamblarlos para<br />
formar un cubo más grande, de forma que aparezcan en cada cara todos los colores.<br />
¿De cuántas formas puedo colocar los cubos?.<br />
32
EL SOMA<br />
El cubo Soma es un cubo de dimensiones 3x3x3 que se construye con las siguientes<br />
piezas:<br />
Construye con cubos de madera esas piezas e intenta obtener el cubo 3x3x3.<br />
33
Utilizando todas las piezas del Soma en cada caso, intenta construir las siguientes<br />
formas:<br />
34
EL CUBO DE O'BERINE<br />
Con las siguientes piezas construye un cubo:<br />
EL CUBO LESK<br />
Construye un cubo con las siguientes piezas:<br />
35
DEFINICIONES<br />
Une las definiciones con las figuras que correspondan:<br />
INCENTRO: Punto en el que se encuentran<br />
las tres bisectrices interiores de un<br />
triángulo. Es el centro de la circunferencia<br />
inscrita en el mismo.<br />
CIRCUNCENTRO: Punto en el que se<br />
encuentran las tres mediatrices de los<br />
lados de un triángulo. Es el centro de la<br />
circunferencia circunscrita al mismo.<br />
BARICENTRO: Punto de intersección de las<br />
tres medianas de un triángulo, el cual<br />
coincide con su centro de gravedad.<br />
ORTOCENTRO: Punto en común de<br />
intersección de las tres alturas de un<br />
triángulo.<br />
PUNTOS ALINEADOS:<br />
En todo triángulo, el baricentro, circuncentro y ortocentro están alineados. Comprueba<br />
esta afirmación con un ejemplo.<br />
36
RELACIONANDO POLÍGONOS REGULARES<br />
Dibuja un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono regular y un hexágono<br />
regular que tengan el mismo perímetro. ¿Cuál de ellos será el de mayor superficie?.<br />
¿Podrías establecer alguna conclusión?.<br />
EL ISÓSCELES MÁXIMO<br />
Fíjate en la figura. Se trata de dos triángulos isósceles que evidentemente no tienen la<br />
misma superficie. Los lados iguales miden en ambos casos l. Lo que queremos saber<br />
es la medida del tercer lado para que la superficie del triángulo sea lo mayor posible.<br />
l<br />
l<br />
37<br />
l<br />
l
EL PUNTO M<br />
Dibuja una circunferencia y señala dos puntos fijos, A y B y un tercero M que se mueve<br />
recorriendo la circunferencia.<br />
Determina el circuncentro del triángulo AMB, para diferentes posiciones de M. ¿Qué<br />
ocurre?. Formula conjeturas.<br />
Repite la actividad para el incentro.<br />
¿Qué sucederá si trabajas con el ortocentro?. ¿Y con el baricentro?.<br />
EL CINE<br />
A<br />
M<br />
Desde una butaca de un cine, un espectador (E), ve la pantalla bajo un ángulo de 90º.<br />
¿Habrá otros puntos de la sala desde los que se vea la pantalla bajo el mismo ángulo?.<br />
¿Qué pasará si el ángulo es de 60º?.<br />
A<br />
E<br />
α<br />
38<br />
B<br />
B
ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA<br />
Fíjate en el cuadro que acompaña a esta actividad. Los nombres de la izquierda no se<br />
corresponden con la figura de la derecha. Hemos dejado en blanco la columna central<br />
para que tú los pongas en el orden correcto. Adelante.<br />
Ángulo Central<br />
Ángulo Inscrito<br />
Ángulo Semiinscrito<br />
Ángulo Externo<br />
Ángulo Semiexterno<br />
Ángulo Circunscrito<br />
Ángulo Interno<br />
39
LOS CUATRO CÍRCULOS<br />
Dibuja un cuadrilátero cualquiera. En cada uno de los vértices del cuadrilátero dibuja un<br />
círculo; los cuatro círculos deberán ser del mismo radio. ¿Sabrías calcular la superficie<br />
de los arcos de círculo situados dentro del cuadrilátero?.<br />
¿Qué ocurriría si haces lo mismo con círculos en los vértices de un triángulo?.<br />
Amplíalos a polígonos de n lados.<br />
CUERDAS<br />
Utilizando la regla y el compás, encuentra la figura que forman los puntos medios de<br />
todas las cuerdas que pasan por el punto fijo A de una circunferencia.<br />
A<br />
40
LA MITAD DE RADIO<br />
En la figura puede verse la construcción de una serie circunferencias. Cada una se<br />
traza con la mitad de radio que la anterior.<br />
1º<br />
2º<br />
3º<br />
<strong>4º</strong><br />
Estudia el radio, la longitud de la circunferencia y la superficie del círculo en función del<br />
número de orden.<br />
TANGENTES EXTERIORES<br />
Construye tres circunferencias tangentes exteriores entre sí y las rectas tangentes que<br />
se forman tomando las circunferencias dos a dos. ¿Qué puedes decir acerca de la<br />
posición de los puntos de corte de estos pares de rectas?. ¿Qué pasaría si las tres<br />
circunferencias no fueran tangentes exteriores?.<br />
41<br />
r<br />
4<br />
r<br />
2<br />
r
DISTANCIA A UNA CIRCUNFERENCIA<br />
Los puntos del plano que están situados a una distancia d de una circunferencia de<br />
radio r, forman dos circunferencias. ¿Dónde están sus centros?. ¿Cuánto valen sus<br />
radios?.<br />
¿Qué pasaría si en vez de una circunferencia tuviéramos una esfera?.<br />
DOS CLAVOS<br />
Necesitarás una tabla y un papel ambos del mismo tamaño, dos clavos, una cuerda, un<br />
lápiz y una regla.<br />
Fija los clavos en el tablero y únelos con la cuerda, ésta no debe quedar tensa.<br />
Tensa el hilo con la punta del lápiz e intenta dibujar la figura que se obtiene al mover el<br />
lápiz a la vez que el hilo queda tenso.<br />
¿Cómo definirías esa curva?. ¿Cómo varía la figura si aumenta la longitud de la<br />
cuerda?. ¿Y si cambia la distancia de los clavos?.<br />
Investiga la relación que hay entre la longitud de la cuerda, la distancia entre los clavos<br />
y las dimensiones de la figura.<br />
42
CÓNICAS<br />
Se denominan cónicas a las curvas que resultan al cortar un cono de revolución por un<br />
plano que no pase por el vértice.<br />
Se presentan diferentes casos en función de la inclinación de la recta generatriz del<br />
cono de revolución y del plano de corte:<br />
E = Eje de rotación<br />
G = Recta generatriz del cono de revolución<br />
P = Plano de corte<br />
α = Ángulo que forman E y G<br />
β = Ángulo que forman E y P<br />
Establece la relación que existe entre α y β en cada caso.<br />
43
LA ELIPSE<br />
Es probable que te preguntes cuándo fue la última vez que viste una elipse. La verdad<br />
es que las estás viendo constantemente, puesto que, siempre que contemplas una<br />
circunferencia oblicuamente lo que estás viendo en realidad es un elipse.<br />
Propón ejemplos de elipses en la naturaleza.<br />
CIRCUNFERENCIAS QUE SE CORTAN<br />
Dibujando familias de circunferencias que se cortan pueden obtenerse muchas curvas y<br />
dibujos interesantes.<br />
Tomando como focos los centros de las circunferencias de la lámina: 4, intenta dibujar<br />
diferentes elipses.<br />
Otra familia de curvas que se puede obtener es la de las hipérbolas. Inténtalo utilizando<br />
la misma lámina.<br />
44
PARÁBOLAS I<br />
Diariamente estás observando objetos que describen una curva que se aproxima a un<br />
parábola.<br />
Describe lugares o situaciones en los que te encuentres con una curva en forma de<br />
parábola.<br />
PARÁBOLAS II<br />
Utilizando la lámina 5, se puede construir una parábola.<br />
Dibuja una recta "r" perpendicular al eje x.<br />
¿Cuál es la distancia entre la parábola:<br />
a) y la recta r?.<br />
b) y el punto A?.<br />
¿Qué relación existe entre ambas distancias?. Establece una conjetura y demuéstrala.<br />
En base a esa conclusión, ¿podrías definir lo que es una parábola?.<br />
Construye otras parábolas utilizando como base la misma lámina.<br />
45
PLANOS Y MAPAS<br />
Carreteras I .............................................................................................. 42<br />
Carreteras II ............................................................................................. 43<br />
Carreteras III ........................................................................................... 43<br />
Mapa I ..................................................................................................... 44<br />
Mapa II .................................................................................................... 44<br />
Mapa III .................................................................................................. 45<br />
Los montañeros ...................................................................................... 45<br />
46
CARRETERAS I<br />
Entre los pueblos A y B pasa la autopista. El desarrollo de la zona hace necesario que<br />
se construya una salida para poder acceder desde estos pueblos a la autopista.<br />
¿Puedes diseñar como serán las entradas y salidas?. Estudia las distintas posibilidades<br />
en función de la seguridad y la economía.<br />
A<br />
Estudia lo mismo para el pueblo C.<br />
47<br />
C<br />
B
CARRETERAS II<br />
Diseña una red de puentes para poder acceder desde cada vía a las restantes. Estudia<br />
las diferentes posibilidades en función de la economía y la seguridad.<br />
CARRETERAS III<br />
Diseña la red de vías necesaria para que se puedan comunicar entre sí, todas las<br />
direcciones de dos autopistas que se cruzan. Estudia las diferentes posibilidades en<br />
función de la economía y la seguridad.<br />
48
MAPA I<br />
Para esta actividad necesitas el mapa de la lámina 7.<br />
Sitúate en el pueblo de Silla (se encuentra al sur de Valencia). Busca tres caminos<br />
diferentes para llegar a Aldaia (oeste de la ciudad de Valencia). Indica la orientación<br />
geográfica de cada una de las carreteras que tomes.<br />
Estudia el mismo problema para ir desde Rocafort (noroeste de la capital) a Loriguilla<br />
(oeste de Valencia).<br />
MAPA II<br />
Utiliza el mapa metropolitano de Valencia para esta actividad.<br />
1. Te encuentras en Godella (noroeste de la capital), toma la carretera de Bétera, al<br />
cruzarte con el By-pass (autopista) toma la dirección sur, dos salidas (de la autopista)<br />
después toma dirección Valencia y en el primer cruce sales hacia la derecha, te<br />
encontrarás en un lugar de altos vuelos, ¿dónde?.<br />
2. A un amigo que viene de Barcelona le habéis hecho las siguientes indicaciones para<br />
que llegue sin problemas a vuestro pueblo:<br />
"Al salir del peaje toma dirección Alicante, al cruzarte con la autovía de Madrid toma<br />
dirección Valencia, sales a la derecha en la primera salida que te encuentres y una vez<br />
pases la línea del tren te encontrarás en mi pueblo".<br />
¿De qué pueblo estamos hablando?.<br />
49
MAPA III<br />
Para esta actividad utiliza el mapa del área metropolitana de Valencia.<br />
Amplía los cruces de las siguientes carreteras:<br />
1. Autovía de Madrid con el By-pass.<br />
2. Nacional 430 (carretera de Albacete) con el By-pass.<br />
3. Nacional 335 (cauce del río Turia) con el By-pass.<br />
4. Autovía de Lliria con el By-pass.<br />
5. Nacional III (Madrid-Valencia) con la Nacional 220 (Valencia-Aeropuerto).<br />
Explica como circulan los coches por cada una de las carreteras de los diferentes<br />
nudos que estudiamos.<br />
LOS MONTAÑEROS<br />
Unos montañeros han hecho el recorrido entre los puntos: A, B, C, D, y E del plano, y<br />
quieren saber la distancia real que han andado.<br />
También se te pide el perfil del terreno del recorrido de los montañeros.<br />
50
MEDIDA<br />
Sistema Internacional de Unidades ............................................................. 47<br />
Unidades locales ......................................................................................... 48<br />
Unidades de superficie ................................................................................ 49<br />
Instrumentos de medida .............................................................................. 50<br />
Medidas directas e indirectas ....................................................................... 51<br />
Años luz ...................................................................................................... 51<br />
Área encerrada ........................................................................................... 52<br />
Método Egipcio ......................................................................................... 53<br />
Limpieza de parabrisas ............................................................................... 54<br />
¿Juegas al tenis? ......................................................................................... 55<br />
La vuelta al mundo en 80 días .................................................................... 55<br />
El engaño de los espárragos ....................................................................... 56<br />
La tierra y la pelota ..................................................................................... 56<br />
La escalera .................................................................................................. 57<br />
Unidad de volumen ..................................................................................... 57<br />
Los camiones .............................................................................................. 58<br />
El cono ........................................................................................................ 58<br />
Medida de ángulos ...................................................................................... 59<br />
Calculadora ................................................................................................. 60<br />
Sumar y restar ............................................................................................. 61<br />
Radianes ...................................................................................................... 61<br />
La curva ...................................................................................................... 62<br />
Teorema de los senos .................................................................................. 63<br />
Teorema del coseno .................................................................................... 64<br />
Cohetes ....................................................................................................... 65<br />
Ángulos ....................................................................................................... 65<br />
El árbol ....................................................................................................... 66<br />
La estructura ............................................................................................... 66<br />
Altímetro ..................................................................................................... 67<br />
Puntos inaccesibles ...................................................................................... 67<br />
Teorema de Herón ...................................................................................... 68<br />
Masía Tomás ............................................................................................... 68<br />
Meridianos y Paralelos ................................................................................. 69<br />
Latitud y longitud ........................................................................................ 70<br />
Distancia ...................................................................................................... 70<br />
El mapa ........................................................................................................ 70<br />
Latitudes ...................................................................................................... 71<br />
Triángulo esférico ........................................................................................ 71<br />
51
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES<br />
Mediante LEY 3/1985, de 18 de marzo, de Metrología, son Unidades Legales de<br />
Medida las unidades básicas suplementarias y derivadas del Sistema Internacional de<br />
Unidades (SI), adoptado por la Conferencia General de Pesas y Medidas.<br />
Las unidades básicas son:<br />
Magnitud Nombre de la Símbol<br />
unidad o<br />
Longitud metro m<br />
Masa kilogramo kg.<br />
Tiempo segundo s<br />
Intensidad<br />
eléctrica<br />
de corriente amperio A<br />
Temperatura<br />
kelvin K<br />
termodinámica<br />
Cantidad de sustancia mol mol<br />
Intensidad luminosa candela cd<br />
La Ley de Metrología en su artículo quinto indica:<br />
1. El Sistema Legal de Unidades de Medida es de uso obligatorio en todo el territorio<br />
del Estado Español.<br />
3. El sistema educativo incorporará la enseñanza del Sistema Legal de Unidades de<br />
Medida al nivel que corresponda.<br />
52
UNIDADES LOCALES<br />
Pregunta a la gente mayor qué medidas se utilizaron tradicionalmente en la zona y que<br />
no formen parte del Sistema Internacional de Unidades (SI).<br />
Encuentra la equivalencia de cada una de ellas con el SI.<br />
53
UNIDADES DE SUPERFICIE<br />
La unidad de superficie es un cuadrado cuyo lado mide 1 metro. Experimenta otras<br />
unidades de superficie: Un círculo, un triángulo, un rectángulo, un rombo, un<br />
pentágono, un hexágono, ....<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1 1<br />
Expresa la superficie del polígono de la figura, en cada una de las unidades que puedas<br />
utilizar de las antes indicadas.<br />
54
INSTRUMENTOS DE MEDIDA<br />
Necesitas realizar las siguientes medidas:<br />
a) La distancia entre Castellón y Vila-real.<br />
b) El peso de un coche.<br />
c) El tiempo que tarda un atleta en correr los 100 m. lisos.<br />
d) La altura a la que un satélite que gira alrededor de la Tierra.<br />
e) La velocidad de un coche.<br />
f) El peso de un virus.<br />
g) La capacidad de una olla.<br />
h) El espesor de un folio.<br />
i) El tiempo que tarda un autobús en ir de Alicante a Valencia.<br />
j) La profundidad de un lago.<br />
¿Qué unidad y qué instrumento sería mas apropiado utilizar en cada caso?.<br />
55
MEDIDAS DIRECTAS E INDIRECTAS<br />
Existen medidas como el peso, que se obtienen directamente realizando la medición<br />
correspondiente (medida directa), en cambio hay otras como la superficie en las que<br />
para su obtención es necesario medir longitudes y luego calcular su valor (medida<br />
indirecta).<br />
De las medidas que a continuación se señalan, indica cuáles se pueden medir en forma<br />
directa y cuáles se obtienen indirectamente:<br />
a) Tiempo<br />
b) Longitud<br />
c) Área<br />
d) Capacidad<br />
e) Volumen<br />
f) Peso<br />
g) Velocidad<br />
h) Ruido<br />
i) Presión<br />
j) Fuerza<br />
k) Aceleración<br />
l) Masa<br />
¿Qué instrumento utilizarías en cada caso?.<br />
AÑOS LUZ<br />
La distancia entre estrellas se mide en años luz, donde un año luz se define como la<br />
distancia que recorre la luz en un año (velocidad de la luz: 300.000 km/seg).<br />
Alfa del centauro es la estrella más cercana a la Tierra y está a una distancia de cuatro<br />
años luz. ¿A cuántos metros está de la Tierra?.<br />
Encuentra las distancias que hay entre la Tierra y los diferentes planetas. ¿Cuántos<br />
años luz son en cada caso?.<br />
56
ÁREA ENCERRADA<br />
Calcular el área encerrada por tres circunferencias de radio r, tangentes entre sí.<br />
Analiza el caso si las circunferencias tuvieran diferentes radios.<br />
r<br />
r<br />
r<br />
57
MÉTODO EGIPCIO<br />
Los antiguos egipcios utilizaban un método para obtener el área de un cuadrilátero<br />
cualquiera de lados a, b, c y d, que corresponde aproximadamente a la fórmula:<br />
a + c b + d<br />
ÁREA = -------- x --------<br />
2 2<br />
c<br />
d<br />
¿Será válido este enunciado para cualquier cuadrilátero?.<br />
En caso afirmativo explica por qué. En caso negativo, ¿hay algún cuadrilátero para el<br />
que funcione la fórmula?. ¿Para cuáles?.<br />
b<br />
58<br />
a
LIMPIEZA DE PARABRISAS<br />
Investiga el área barrida por la raedera PQ de un limpiaparabrisas, en el caso de que<br />
vaya montado como es típico en los automóviles, con un solo brazo AB, y de que el<br />
brazo sea un paralelogramo articulado, como es frecuente en camiones y autocares. Se<br />
supone que B es el punto medio de PQ.<br />
59
¿JUEGAS AL TENIS?<br />
La lata de pelotas que ves en la figura contiene tres pelotas de tenis. ¿Sabrías decir<br />
que es mayor, si la circunferencia de la base de la lata o su altura?.<br />
¿Cuál es la superficie de hojalata que utilizaron para construir la lata de pelotas?. ¿Qué<br />
superficie de goma y tela utilizaron para construir cada pelota de tenis?.<br />
Las tres pelotas de tenis ocupan un cierto volumen en el interior de la lata. ¿Cuál es el<br />
volumen libre?.<br />
LA VUELTA AL MUNDO EN 80 DÍAS<br />
Julio Verne escribió la vuelta al mundo en 80 días. ¿Serías capaz de señalar en el<br />
mapa mundi que se adjunta la ruta que siguió Phileas Fogg en su viaje?.<br />
Si hoy tuvieras que realizar ese viaje, ¿qué distancia hay y cuánto tiempo viajarías en<br />
cada tipo de transporte?. ¿Cuánto te costaría el viaje?.<br />
60
EL ENGAÑO DE LOS ESPÁRRAGOS<br />
Una vieja historia cuenta que cierto día se acercó un muchacho a un vendedor de<br />
espárragos en el mercado y dijo:<br />
- Traigo conmigo este cordel que mide un palmo, ¿cuánto me cobrará por el mazo de<br />
espárragos que pueda atar con él? -.<br />
El aldeano le pidió 100 pesetas y el muchacho se mostró conforme, pagó y se llevó la<br />
mercancía. A los dos días se vuelve a presentar el muchacho y le dice al vendedor:<br />
- Vuelvo con un cordón que mide dos palmos. Se acordará que por los espárragos que<br />
pude atar con el cordel de un palmo me cobró 100 pesetas. Así que por el mazo que<br />
atemos con este cordón le pagaré 200 pesetas -.<br />
El vendedor aceptó aunque concluida la venta se quedó con cierta duda de si le había<br />
engañado o no el comprador.<br />
¿Le engañó?.<br />
LA TIERRA Y LA PELOTA<br />
Supón que rodeamos una pelota que mide 10 cm. de diámetro con un cordel y que<br />
hacemos lo mismo con la Tierra rodeándola con otro cordel por el ecuador<br />
(consideremos la Tierra como una esfera de radio 6.378 km.).<br />
Queremos añadir cuerda en ambos casos de forma que las circunferencias estén<br />
separadas 1 metro a lo largo del borde de la pelota y del ecuador terrestre. ¿En qué<br />
caso se necesitará añadir más cuerda?.<br />
61
LA ESCALERA<br />
Con la ayuda gráfica de la escalera, podemos transformar unidades de volumen.<br />
Multiplicar<br />
1 Km 3<br />
1000<br />
1Hm 3<br />
1000<br />
1Dm 3<br />
1 m 3<br />
1000<br />
1000<br />
1 dm 3<br />
1 cm 3<br />
1000<br />
1 mm 3<br />
1000<br />
Dividir<br />
Mide las dimensiones de tu clase y calcula su volumen. Utiliza la escalera para expresar<br />
ese volumen en cm 3 y en km 3 .<br />
Si un dm 3 es igual a un litro de capacidad, ¿cuál es la capacidad de tu clase en litros?.<br />
UNIDAD DE VOLUMEN<br />
La unidad de volumen adoptada por el SI es el metro cúbico, o sea un cubo que tenga<br />
de lado un metro. ¿Qué otros cuerpos podrían funcionar como unidad de volumen?.<br />
¿Por qué?.<br />
62
LOS CAMIONES<br />
Una empresa tiene una furgoneta de reparto y un camión de mudanzas, ambos tienen<br />
la misma anchura, pero el camión es doble de largo y de alto que la furgoneta.<br />
a) ¿Estarías de acuerdo con alguien que dijera que el camión de mudanzas necesita<br />
doble espacio para aparcar que el de reparto?.<br />
b) Si ambos camiones circulan por una zona abierta de la carretera y hace viento lateral<br />
muy fuerte, ¿afectará al camión de mudanzas el doble que a la furgoneta?.<br />
c) Compara las capacidades.<br />
EL CONO<br />
Calcula la altura h para que el área S sea:<br />
a) La mitad del área de la base.<br />
b) La tercera parte del área de la base.<br />
c) La cuarta parte del área de la base.<br />
d) La enésima parte del área de la base.<br />
Repite el ejercicio considerando ahora el volumen de la parte superior respecto a la<br />
inferior.<br />
63
MEDIDA DE ÁNGULOS<br />
Hasta el momento hemos considerado la medida de ángulos sólo en grados, pero,<br />
¿qué pasa cuando encontramos un ángulo cuya medida es 68,23º?, ¿pasará algo<br />
parecido a lo que ocurre con el resto de las unidades de medida, que permita dividir las<br />
unidades?.<br />
Para determinar la unidad de medida se divide la circunferencia en cuatro partes o<br />
cuadrantes, correspondiéndole a cada uno de ellos un ángulo recto que puede ser<br />
dividido en 90 partes iguales que llamaremos GRADO SEXAGESIMAL, cada uno de<br />
estos grados lo podemos dividir en 60 partes iguales, llamados MINUTOS<br />
SEXAGESIMALES, y cada minuto en 60 SEGUNDOS SEXAGESIMALES, un minuto<br />
se representa 1' y un segundo 1''. Este sistema de medida recibe el nombre de<br />
SEXAGESIMAL.<br />
Otro sistema de medida menos utilizado es el CENTESIMAL, consiste en dividir el<br />
ángulo recto en 100 partes iguales, y cada una recibe el nombre de GRADO<br />
CENTESIMAL, su centésima parte es el MINUTO CENTESIMAL y la centésima parte<br />
del minuto recibe el nombre de SEGUNDO CENTESIMAL.<br />
Transforma el ángulo de 68,23º en grados, minutos y segundos, luego pasa este ángulo<br />
al sistema centesimal.<br />
64
CALCULADORA<br />
Investiga en tu calculadora el funcionamiento de las teclas:<br />
MODE 4 (DEG)<br />
MODE 5 (RAD)<br />
MODE 6 (GRA)<br />
¿Cómo podrías transformar 13,2625º en grados, minutos y segundos, utilizando la tecla<br />
.<br />
· ’ ’’ ?.<br />
¿Qué hace la calculadora cuando oprimes la tecla sin ?.<br />
65
SUMAR Y RESTAR<br />
¿Cómo debemos proceder para sumar o restar medidas angulares?. Puedes apoyarte<br />
en el método utilizado para sumar otras unidades de medida.<br />
a) Sumar 18º 20' 40''<br />
60º 50' 10''<br />
________________________<br />
b) Restar 15º 40' 6''<br />
6º 45' 2''<br />
________________________<br />
Realiza las operaciones con calculadora y analiza los resultados.<br />
RADIANES<br />
Los ángulos también se pueden medir tomando como unidad de ángulo el RADIÁN,<br />
que es el ángulo cuyo arco correspondiente tiene una longitud igual a la del radio con el<br />
que fue trazado. ¿Cuántos grados mide un radián?.<br />
¿Cuántos radianes son 68,23º?.<br />
r<br />
α<br />
66<br />
r
LA CURVA<br />
Se desea trazar una curva en una carretera que tenga un ángulo central de 0,75<br />
radianes. Expresa este ángulo en grados, minutos y segundos.<br />
67
TEOREMA DE LOS SENOS<br />
Observa el triángulo de la figura y contesta a las preguntas:<br />
b<br />
A B<br />
c<br />
P<br />
a) ¿Cuánto vale el sen A en el triángulo ACP?.<br />
b) ¿Cuánto vale el sen B en el triángulo BCP?.<br />
c) Despejando h en a) y b) e igualando ambas ecuaciones se obtiene el teorema del<br />
seno: ¿Qué dice este teorema?.<br />
d) Trabajando sobre el triángulo visto desde otra posición trata de encontrar una<br />
relación parecida para el ángulo A y C.<br />
a<br />
B<br />
h<br />
C A<br />
P '<br />
b<br />
e) ¿Es posible obtener a través de las ecuaciones de los apartados c) y d) la siguiente<br />
igualdad?<br />
a b c<br />
Teorema del Seno: ------- = ------- = --------<br />
68<br />
c<br />
C<br />
h<br />
a
sen A sen B sen C<br />
69
TEOREMA DEL COSENO<br />
Observa el triángulo ABC:<br />
A<br />
c b<br />
B C<br />
a<br />
m<br />
n<br />
¿Cómo aparece la siguiente expresión algebraica?:<br />
b 2 = h 2 + n 2 = (c 2 - m 2 ) + (a - m) 2 = a 2 + c 2 - 2am<br />
teniendo en cuenta que en el triángulo rectángulo MAB<br />
m = c * cos B<br />
se puede decir que:<br />
b 2 = a 2 + c 2 - 2a * c * cos B<br />
Estudiar utilizando los mismos pasos la forma de colocar a 2 y b 2 en función de los<br />
otros dos lados y el coseno del ángulo A y B.<br />
Investigar esas mismas fórmulas para cuando el ángulo B es el mayor de 90º, es decir,<br />
estudiar esas fórmulas en el siguiente triángulo:<br />
h<br />
A<br />
c<br />
m<br />
b<br />
B a<br />
n<br />
70<br />
h<br />
C
COHETES<br />
Cierta estación de cohetes contiene dos telescopios A y B distantes 2.6 km, que<br />
mantienen el cohete C en su foco y continuamente transmiten el valor de los ángulos α<br />
y β a un computador. Escribe la ecuación con la cual sabríamos la distancia AC.<br />
ÁNGULOS<br />
Deduce el valor de α, β y γ en la figura.<br />
C<br />
B<br />
α<br />
γ<br />
D<br />
A<br />
β<br />
71<br />
F<br />
E
EL ÁRBOL<br />
En la ladera de un parque hay un árbol que está a punto de caer, y hemos decidido<br />
protegerlo con dos cables de acero, tal como muestra el dibujo. Calcula la longitud de<br />
los cables a y b.<br />
LA ESTRUCTURA<br />
Halla los valores que se desconocen en la estructura:<br />
72
ALTÍMETRO<br />
El altímetro de un avión señala 248 m. El aeródromo al que se dirige lo ve bajo un<br />
ángulo de 68º con la vertical. ¿Cuál es la distancia que tiene que recorrer el avión en<br />
línea recta para poder aterrizar?. ¿Bajo qué ángulo verían el avión desde el<br />
aeródromo?.<br />
PUNTOS INACCESIBLES<br />
Calcular la distancia entre los puntos inaccesibles D y C, suponiendo la base AB = 420<br />
m, el ángulo DAB = 68º 11', β = 32º 36', ABC = 83º 43' y DAC = 15º 52'.<br />
A<br />
D<br />
α<br />
73<br />
β<br />
C<br />
Río<br />
B
TEOREMA DE HERÓN<br />
Herón, matemático y físico del siglo III a. de J.C. propuso una relación para encontrar el<br />
área de un triángulo a partir de sus lados.<br />
A =<br />
p(p − a)(p − b)(p − c)<br />
donde: A = Área del triángulo.<br />
p = Semiperímetro del triángulo.<br />
a, b, c = Longitud de los lados del triángulo.<br />
Dibuja un triángulo cuya área conozcas y compruébala utilizando este teorema.<br />
MASÍA TOMÁS<br />
Se tiene el siguiente mapa a escala: 1: 10.000.<br />
Calcula el área de la masía Tomás.<br />
74
MERIDIANOS Y PARALELOS<br />
Si consideramos el eje de la Tierra como el eje norte-sur que pasa por los polos,<br />
llamamos MERIDIANOS a los círculos máximos de la Tierra que tienen como diámetro<br />
el eje de la Tierra. Las intersecciones que en la misma esfera terrestre producen los<br />
planos perpendiculares al eje del mundo son, en cambio, círculos menores, llamados<br />
PARALELOS, el que pasa por el centro de la Tierra recibe el nombre de ECUADOR.<br />
Dadas las siguientes esferas dibuja varios paralelos y meridianos. ¿Dónde estará el<br />
Ecuador?.<br />
N<br />
N<br />
S<br />
S<br />
75<br />
N<br />
N<br />
S<br />
S
LATITUD Y LONGITUD<br />
Cada punto de la superficie terrestre queda determinado por el meridiano y el paralelo<br />
que pasa por él. Cada meridiano se fija dando el ángulo que forma su semiplano con el<br />
meridiano del lugar fijo del globo, por ejemplo, el meridiano de Greenwich y precisando<br />
el sentido del mismo.<br />
La medida del ángulo en cuestión se llama LONGITUD geográfica del lugar, se suele<br />
dar en grados sexagesimales, desde 0º a 180º, indicando si es al Este de Greenwich o<br />
al Oeste.<br />
Cada paralelo se determina midiendo en grados sexagesimales el arco del meridiano<br />
comprendido entre este punto y el Ecuador, o, lo que es lo mismo, el ángulo que forma<br />
el radio del lugar con el plano del Ecuador indicando si esta en el hemisferio Norte o en<br />
el hemisferio Sur. Este ángulo con el signo N o S, se llama LATITUD del lugar.<br />
Si definimos las COORDENADAS GEOGRÁFICAS de un lugar como LATITUD y<br />
LONGITUD, halla utilizando un atlas, las coordenadas geográficas de las siguientes<br />
ciudades: Valencia, Roma, El Cairo, Buenos Aires, México y Brasilia.<br />
DISTANCIA<br />
¿Qué distancia sobre la superficie de la Tierra corresponde a 10º de latitud?. Supón<br />
que la Tierra es una esfera de 12.700 km. de diámetro.<br />
EL MAPA<br />
Un mapa topográfico abarca una zona de 15' de latitud. ¿A cuántos kilómetros sobre la<br />
superficie de la tierra corresponden esos 15'?.<br />
76
LATITUDES<br />
Hallar la diferencia de latitudes entre París 58º 50' 11'' y Madrid 30º 23' 30''.<br />
TRIÁNGULO ESFÉRICO<br />
Se define el triángulo esférico como la región de la superficie esférica delimitada por<br />
tres arcos de circunferencias máximas (intersección de la superficie esférica con planos<br />
que pasan por su centro).<br />
¿Cuánto medirá la suma de los ángulos interiores de un triángulo esférico?. ¿Qué<br />
diferencia existe entre la suma de los ángulos interiores de un triángulo en el plano y en<br />
la esfera?.<br />
Si has reflexionado estas preguntas, te será fácil dar solución al problema siguiente:<br />
"Un cazador se encuentra con un oso, pero se asusta tanto que sale corriendo. En su<br />
huida corre 100 metros al sur, 100 al este y 100 al norte, pero ¡horror!, se vuelve a<br />
encontrar en el mismo punto y con el oso que no se había movido del sitio. ¿De qué<br />
color era el oso?.<br />
77