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MATERIALES PARA 1 er CURSO E.S.O.<br />
GEOMETRÍA<br />
ACTIVIDADES PARA LOS ALUMNOS Y ALUMNAS DE<br />
MATEMÁTICAS<br />
Autores: Salvador Caballero Rubio<br />
Alfredo Llópez Lara<br />
Pascual Pérez Cuenca (coordinador)<br />
José Sogorb Carratalá<br />
Colaboradores: Antonio Albeza Piqueras<br />
Pere J. Baeza Esteve<br />
José A. Mora Sánchez<br />
Dibujos: Concepción Llavata Sancho
LÁMINAS<br />
ÍNDICE ÍNDICE AMPLIADO<br />
GEOMETRÍA A<br />
ESPACIO PLANO<br />
CONSTRUCCIONES<br />
POLÍGONOS<br />
SIMETRÍA<br />
GEOMETRÍA B<br />
ESPACIO PLANO<br />
CONSTRUCCIONES<br />
POLÍGONOS<br />
SIMETRÍA
ÍNDICE AMPLIADO<br />
LÁMINAS............................................................................................................................................................. 6<br />
LÁMINA 1. TRAMA CUADRADA DE 1 cm. ........................................................................................... 7<br />
LÁMINA 2. TRAMA ISOMÉTRICA DE 1'6 cm........................................................................................ 8<br />
LÁMINA 3. TRAMA HEXAGONAL DE 1 cm.......................................................................................... 9<br />
LÁMINA 4. TRAMA CUADRADA DE PUNTOS DE 1 cm.................................................................... 10<br />
LÁMINA 5. TRAMA ISOMÉTRICA DE PUNTOS DE 1'25 cm. ............................................................ 11<br />
LÁMINA 6. TRAMA DE PENTAGONOS Y ROMBOS.......................................................................... 12<br />
LÁMINA 7. POLÍGONOS REGULARES. ............................................................................................... 13<br />
LÁMINA 8. PUNTOS EN UNA CIRCUNFERENCIA............................................................................. 14<br />
LÁMINA 9. MOSAICOS........................................................................................................................... 15<br />
LÁMINA 10. CUBOS.................................................................................................................................16<br />
GEOMETRÍA A................................................................................................................................................ 17<br />
ESPACIO PLANO ......................................................................................................................... 18<br />
TROQUELADOS Y GOMAS .................................................................................................................... 19<br />
IMAGINA Y CORTA................................................................................................................................. 20<br />
TAPONES ................................................................................................................................................... 21<br />
CORTES...................................................................................................................................................... 22<br />
EDIFICIOS.................................................................................................................................................. 23<br />
TERTULIA.................................................................................................................................................. 24<br />
MAQUETA ................................................................................................................................................. 25<br />
VISTAS....................................................................................................................................................... 26<br />
POLIMINÓS ............................................................................................................................................... 27<br />
PARALELEPÍPEDOS................................................................................................................................. 28<br />
DESARROLLOS I ...................................................................................................................................... 29<br />
ROTACIONES I ......................................................................................................................................... 30<br />
ROTACIONES II ........................................................................................................................................ 31<br />
POLICUBOS............................................................................................................................................... 32<br />
SUPERFICIE Y VOLUMEN EN POLICUBOS......................................................................................... 33<br />
CONSTRUCCIONES ..................................................................................................................................... 34<br />
EL CAMINO............................................................................................................................................... 35<br />
FRONTERAS.............................................................................................................................................. 36<br />
CIRCUNCENTRO ...................................................................................................................................... 37<br />
BISECTRIZ................................................................................................................................................. 38<br />
INCENTRO................................................................................................................................................. 39<br />
VISIÓN ....................................................................................................................................................... 40<br />
EL CENTRO DEL PUEBLO ...................................................................................................................... 41<br />
ÁNGULOS ZXF ......................................................................................................................................... 42<br />
ÁNGULOS EN UN TRIÁNGULO............................................................................................................. 42<br />
ÁNGULOS EN UN TRIÁNGULO............................................................................................................. 43<br />
BARCOS I................................................................................................................................................... 43<br />
BARCOS I................................................................................................................................................... 44<br />
LOCALIZACIÓN ....................................................................................................................................... 44<br />
LOCALIZACIÓN ....................................................................................................................................... 45<br />
TORTUGAS................................................................................................................................................ 46<br />
EL TRIÁNGULO DE PENROSE ............................................................................................................... 47<br />
DESCRÍBELO ............................................................................................................................................ 48<br />
POLÍGONOS .................................................................................................................................................. 49<br />
PROPOSICIONES ...................................................................................................................................... 50<br />
MOSAICOS ................................................................................................................................................ 51<br />
MOSAICOS CON TRIÁNGULOS............................................................................................................. 52<br />
CLASIFICACIÓN DOBLE......................................................................................................................... 52<br />
CLASIFICACIÓN DOBLE......................................................................................................................... 53<br />
TRES CARPINTEROS ............................................................................................................................... 54<br />
ESPEJOS, ÁNGULOS Y DISTANCIAS.................................................................................................... 55<br />
ESPEJOS Y REPETICIONES..................................................................................................................... 55
ESPEJOS Y REPETICIONES..................................................................................................................... 56<br />
POLÍGONOS REGULARES ...................................................................................................................... 57<br />
ÁNGULO CENTRAL E INTERIOR .......................................................................................................... 57<br />
ÁNGULO CENTRAL E INTERIOR .......................................................................................................... 58<br />
PROC<strong>ESO</strong>S................................................................................................................................................. 58<br />
PROC<strong>ESO</strong>S................................................................................................................................................. 59<br />
LOS POLÍGONOS...................................................................................................................................... 59<br />
LOS POLÍGONOS...................................................................................................................................... 60<br />
TRAMAS .................................................................................................................................................... 61<br />
ESTIMACIÓN DE SUPERFICIES............................................................................................................. 62<br />
VIDRIERAS................................................................................................................................................ 63<br />
FOTOGRAFÍAS.......................................................................................................................................... 64<br />
VISTAS AÉREAS....................................................................................................................................... 65<br />
AMPLIACIONES Y ÁREAS...................................................................................................................... 66<br />
CAMPOS..................................................................................................................................................... 67<br />
SIMETRÍA ...................................................................................................................................................... 68<br />
DIBUJAR REFLEJOS ................................................................................................................................69<br />
LÍNEAS DE SIMETRÍA............................................................................................................................. 70<br />
ALFABETO ................................................................................................................................................ 71<br />
FIGURAS.................................................................................................................................................... 72<br />
SIMETRÍAS POLIGONALES.................................................................................................................... 73<br />
MOVIMIENTOS I ...................................................................................................................................... 73<br />
MOVIMIENTOS I ...................................................................................................................................... 74<br />
MOVIMIENTOS II ..................................................................................................................................... 75<br />
MOVIMIENTOS III.................................................................................................................................... 76<br />
ORDEN DE GIRO ...................................................................................................................................... 77<br />
MULTIPLICACIÓN DE SIMETRÍAS ....................................................................................................... 78<br />
LOGOTIPOS............................................................................................................................................... 79<br />
GEOMETRÍA B............................................................................................................................................... 80<br />
ESPACIO PLANO .............................................................................................................. 81<br />
CORTANDO............................................................................................................................................... 82<br />
LINTERNA ................................................................................................................................................. 83<br />
ARENA ....................................................................................................................................................... 84<br />
MULTIVISIÓN........................................................................................................................................... 84<br />
MULTIVISIÓN........................................................................................................................................... 85<br />
CONSTRUYE ............................................................................................................................................. 86<br />
DESARROLLOS II..................................................................................................................................... 86<br />
DESARROLLOS II..................................................................................................................................... 87<br />
CONSTRUCCIONES ..................................................................................................................................... 88<br />
EL RIEGO................................................................................................................................................... 89<br />
EL MONO................................................................................................................................................... 90<br />
EL POZO..................................................................................................................................................... 91<br />
BARCOS II ................................................................................................................................................. 91<br />
BARCOS II ................................................................................................................................................. 92<br />
FAROS ........................................................................................................................................................ 92<br />
FAROS ........................................................................................................................................................ 93<br />
ESTRELLAS............................................................................................................................................... 94<br />
CUADRADOS ............................................................................................................................................ 95<br />
CUADRADO RODEADO .......................................................................................................................... 96<br />
ESPIRALES ................................................................................................................................................ 96<br />
ESPIRALES ................................................................................................................................................ 97<br />
TORTUGA II .............................................................................................................................................. 98<br />
POLÍGONOS .................................................................................................................................................. 99<br />
MOSAICOS CON CUADRILÁTEROS ................................................................................................... 100<br />
TRIANGULANDO ................................................................................................................................... 101<br />
LA FINCA................................................................................................................................................. 102<br />
SOMBRAS................................................................................................................................................ 103<br />
PROYECTOR ........................................................................................................................................... 104<br />
AMPLIACIONES Y REDUCCIONES..................................................................................................... 105
MARCOS .................................................................................................................................................. 106<br />
LAS FÓRMULAS..................................................................................................................................... 107<br />
LA PINTURA ........................................................................................................................................... 108<br />
PERÍMETRO Y SUPERFICIE DE HEXAMINÓS .................................................................................. 109<br />
LA GUITARRA ........................................................................................................................................ 109<br />
LA GUITARRA ........................................................................................................................................ 110<br />
COCHECITOS.......................................................................................................................................... 111<br />
SIMETRÍA .................................................................................................................................................... 112<br />
MANCHAS ............................................................................................................................................... 113<br />
PLIEGUES ................................................................................................................................................ 114<br />
REFLEJOS EN UN LIBRO DE ESPEJOS ............................................................................................... 115<br />
POLIMINÓS SIMÉTRICOS..................................................................................................................... 115<br />
POLIMINÓS SIMÉTRICOS..................................................................................................................... 116<br />
DIVIDE UN CUADRADO ....................................................................................................................... 116<br />
DIVIDE UN CUADRADO ....................................................................................................................... 117
LÁMINAS<br />
TRAMA CUADRADA DE 1 cm.<br />
TRAMA ISOMÉTRICA DE 1'6 cm.<br />
TRAMA HEXAGONAL DE 1 cm.<br />
TRAMA CUADRADA DE PUNTOS DE 1 cm.<br />
TRAMA ISOMÉTRICA DE PUNTOS DE 1'25 cm.<br />
TRAMA DE PENTAGONOS Y ROMBOS.<br />
POLÍGONOS REGULARES.<br />
PUNTOS EN UNA CIRCUNFERENCIA.<br />
MOSAICOS.<br />
CUBOS.
LÁMINA 1. TRAMA CUADRADA DE 1 cm.
LÁMINA 2. TRAMA ISOMÉTRICA DE 1'6 cm.
LÁMINA 3. TRAMA HEXAGONAL DE 1 cm.
LÁMINA 4. TRAMA CUADRADA DE PUNTOS DE 1 cm.
LÁMINA 5. TRAMA ISOMÉTRICA DE PUNTOS DE 1'25 cm.
LÁMINA 6. TRAMA DE PENTAGONOS Y ROMBOS.
LÁMINA 7. POLÍGONOS REGULARES.<br />
7<br />
5<br />
6<br />
4<br />
3
LÁMINA 8. PUNTOS EN UNA CIRCUNFERENCIA.<br />
8<br />
7 3<br />
4<br />
5<br />
9<br />
3<br />
4<br />
7<br />
6<br />
5<br />
2<br />
8<br />
1<br />
6<br />
2<br />
1<br />
9<br />
3<br />
4<br />
7<br />
6<br />
5<br />
8<br />
1<br />
8<br />
7 3<br />
4<br />
5<br />
6<br />
2<br />
1<br />
2<br />
8<br />
7 3<br />
4<br />
5<br />
9<br />
3<br />
4<br />
7<br />
6<br />
5<br />
2<br />
1<br />
6<br />
2<br />
1<br />
8<br />
9<br />
10<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7<br />
8<br />
2<br />
3<br />
1<br />
9<br />
10<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7<br />
8<br />
2<br />
3<br />
1<br />
9<br />
10<br />
4<br />
5<br />
6<br />
7<br />
8<br />
2<br />
3<br />
1<br />
12<br />
11<br />
5<br />
6<br />
8<br />
7<br />
9<br />
10<br />
3<br />
2<br />
1<br />
12<br />
11<br />
5<br />
6<br />
8<br />
7<br />
9<br />
10<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
12<br />
11<br />
5<br />
6<br />
8<br />
7<br />
9<br />
10<br />
3<br />
2<br />
1<br />
4 4
LÁMINA 9. MOSAICOS.
LÁMINA 10. CUBOS.
GEOMETRÍA A
ESPACIO PLANO<br />
TROQUELADOS Y GOMAS<br />
IMAGINA Y CORTA<br />
TAPONES<br />
CORTES<br />
EDIFICIOS<br />
TERTULIA<br />
MAQUETA<br />
VISTAS<br />
POLIMINÓS<br />
PARALELEPÍPEDOS<br />
DESARROLLOS I<br />
ROTACIONES I<br />
ROTACIONES II<br />
POLICUBOS<br />
SUPERFICIE Y VOLUMEN EN POLICUBOS
TROQUELADOS Y GOMAS<br />
Con los cartones troquelados y con las gomas se puede construir gran cantidad de<br />
poliedros y estudiar muchas de sus características. Después de que te hayas<br />
acostumbrado a colocar las gomas verás que es muy sencilla la construcción.<br />
Bien, ya habrás visto los tipos de polígonos que hay y habrás hecho algunos sólidos.<br />
Se trataría de entrar en algunas construcciones realizadas bajo algún criterio. Te<br />
proponemos los siguientes:<br />
a. que tengan todas las caras iguales.<br />
b. con caras de dos tipos de polígonos.<br />
No olvides anotar todas las propiedades que vayas observando, verás que con<br />
algunos polígonos sólo sale un poliedro ¿por qué será?, o ninguno.
IMAGINA Y CORTA<br />
Toma un cubo de estiropor e imagina que puedes cortarlo con una cuchilla dando un<br />
corte plano. ¿Qué polígonos obtienes?<br />
Coge ahora efectivamente una cuchilla y haz los cortes que habías pensado y otros<br />
que quizás no habías imaginado.<br />
¿Has obtenido un triángulo equilátero? ¿Y uno isósceles? Explica como has hecho<br />
los cortes.<br />
¿Cuál es el rectángulo más grande que puedes obtener?<br />
Obtener un pentágono, un hexágono, un heptágono,...<br />
Puedes usar la lámina de cubos para representar los cortes.
TAPONES<br />
Dibuja el objeto que pasa ajustadamente a través de los tres agujeros. Ayúdate del<br />
primero de los tapones.
CORTES<br />
Al hacer cortes planos a los siguientes cuerpos geométricos se pueden obtener<br />
muchas figuras geométricas planas.<br />
Una de ellas es<br />
¿De qué cuerpo se ha obtenido?<br />
Dibuja todos los cortes que puedas obtener de los cuatro sólidos.
EDIFICIOS<br />
Estas vistas corresponden a una construcción hecha con cubos.<br />
¿Cuál es el menor número de cubos con el que se puede formar?
TERTULIA<br />
Identifica la visión particular de los objetos de cada uno de los contertulios.
MAQUETA<br />
Al observar esta maqueta desde distintas posiciones se ven de distinta manera los<br />
edificios. ¿Cuáles de estas vistas se corresponden con la posición de Juan y María?
VISTAS<br />
Dibujar las vistas lateral, de frente y desde arriba de este objeto.<br />
Si lo necesitas puedes hacerte la construcción con cubos.
POLIMINÓS<br />
Uniendo dos cuadrados iguales por dos lados completos se obtiene un dominó:<br />
Si unimos tres cuadrados por los lados se obtendrían triminós:<br />
Así mismo con cuatro cuadrados formaríamos tetraminós:<br />
y con cinco, pentaminós:<br />
(Asegúrate que tienes todos los posibles triminós, tetraminós y pentaminós)<br />
Di que pentaminós si los recortáramos y los pegáramos nos darían una caja sin tapa.
PARALELEPÍPEDOS<br />
Recortando y doblando estas figuras ¿cuáles darían lugar a paralelepípedos?<br />
Imagínalo primero y si tienes dudas hazlo.
DESARROLLOS I<br />
Dibuja algunos desarrollos planos de los siguientes sólidos:
ROTACIONES I<br />
Dibuja un punto sobre el papel. Sitúa otro e imagina que gira velozmente alrededor<br />
del primero. ¿Qué figura describe?<br />
Tomando de nuevo como centro el punto del principio sitúa ahora un segmento y<br />
hazle girar ¿qué describe? ¿y si gira un triángulo?<br />
¿Se te ha ocurrido pensar que el segmento podría contener al punto sobre el que se<br />
gira, o que el triángulo podría tener en su interior al punto de giro? Hazlo y describe,<br />
dibuja, lo que sucede.
ROTACIONES II<br />
Imagina, con la ayuda material que necesites, el resultado de girar alrededor de una<br />
recta:<br />
a. un punto<br />
b. un segmento perpendicular<br />
c. un segmento paralelo<br />
d. un segmento ni paralelo ni perpendicular.
POLICUBOS<br />
Si unes dos cubos iguales por caras completas obtienes un bicubo<br />
Con tres cubos se obtendrían tricubos, con cuatro tetracubos,...<br />
¿Cuántos tricubos distintos puedes formar?<br />
¿Y tetracubos?
SUPERFICIE Y VOLUMEN EN POLICUBOS<br />
Entre todos los posibles tetracubos ¿Cuál tiene menor superficie? ¿Y mayor?<br />
¿Qué ocurre con el volumen?
CONSTRUCCIONES<br />
EL CAMINO<br />
FRONTERAS<br />
CIRCUNCENTRO<br />
BISECTRIZ<br />
INCENTRO<br />
VISION<br />
EL CENTRO DEL PUEBLO<br />
ÁNGULOS ZXF<br />
ÁNGULOS EN UN TRIÁNGULO<br />
BARCOS I<br />
LOCALIZACION<br />
TORTUGAS<br />
EL TRIÁNGULO DE PENROSE<br />
DESCRÍBELO
EL CAMINO<br />
Dos amigos viven en casas bastante separadas entre sí en medio del campo.<br />
Han decidido salir todos los días a dar un paseo juntos con la particularidad de<br />
mantenerse en todo momento a la misma distancia de las dos casas.<br />
¿Por dónde tienen que pasear?
FRONTERAS<br />
Dos países tienen en común una frontera como la de la figura:<br />
¿Cuál es la zona prohibida? Dibújala a escala.<br />
Los gobiernos de los dos países han<br />
acordado una zona fronteriza de<br />
seguridad de medio kilómetro a<br />
ambos lados.
CIRCUNCENTRO<br />
Comprueba que en cualquier triángulo se cumple que las mediatrices de sus lados<br />
concurren en un punto.<br />
Si con el compás tomas como centro ese punto verás que se puede trazar una<br />
circunferencia que pase por los tres vértices. Razona por qué ocurre.
BISECTRIZ<br />
En el dibujo<br />
las rectas representan carreteras. Halla los lugares en los que estaríamos a la<br />
misma distancia de ambas.
INCENTRO<br />
En un triángulo cualquiera construye las tres bisectrices de sus ángulos y comprueba<br />
que se cortan en un punto. Con centro en ese punto se puede trazar una<br />
circunferencia tangente interiormente al triángulo. Justifica esta propiedad.
VISIÓN<br />
En la figura<br />
A<br />
el punto A representa a una persona y el segmento un muro más alto que ella.<br />
¿Cuál es la zona de visión de A?<br />
Ahora<br />
A y B representan dos árboles tras la tapia del dibujo que es mucho más alta que<br />
ellos. ¿Cuál es la zona desde la que ambos árboles son visibles?.<br />
B<br />
A
EL CENTRO DEL PUEBLO<br />
Este es el plano del centro de un pueblo con la manzanas de las casas numeradas:<br />
1<br />
A<br />
7<br />
10 11<br />
2 3 4 5 6<br />
13<br />
8 9 B<br />
Señala en el cuaderno calles que formen rectas paralelas y perpendiculares.<br />
Haz un listado de los distintos polígonos y figuras que aparezcan anotando las<br />
medidas que creas necesarias para describirlos.<br />
¿Cuál es la distancia real que existe desde la esquina A a la B si el plano está a<br />
escala 1:1000?<br />
12
d<br />
ÁNGULOS ZXF<br />
Mira estas letras mayúsculas:<br />
b<br />
a<br />
c<br />
¿Cómo son los ángulos que se forman en cada una de ellas?<br />
Enuncia una propiedad que relacione el paralelismo y los ángulos.<br />
Determina el valor de los ángulos desconocidos en los siguientes casos:<br />
39 0<br />
g<br />
d<br />
e<br />
c<br />
b<br />
h<br />
i<br />
b<br />
a<br />
c<br />
d<br />
115 0<br />
30 0
ÁNGULOS EN UN TRIÁNGULO<br />
Observa esto:<br />
1<br />
¿Se cumple en cualquier triángulo?<br />
¿Qué demuestra?<br />
3<br />
2<br />
2<br />
3<br />
1
BARCOS I<br />
Determina las reglas de un juego de barquitos en un tablero como este:<br />
300 0<br />
240 0<br />
0 0<br />
180 0<br />
60 0<br />
120 0
LOCALIZACIÓN<br />
Tres amigos están situados según la figura:<br />
A<br />
C<br />
A y B están buscando a C que está escondido. Disponen de una brújula y de un<br />
medidor de distancia.<br />
Indícales qué deben hacer para descubrir a C. Dispones de un medidor de ángulos,<br />
de una regla y además sabes que el dibujo del plano está a escala 1:1000. También<br />
dispones de un emisor para contactar con ellos.<br />
B
TORTUGAS<br />
Una tortuga que representamos por un triángulo pequeñito avanza según nuestras<br />
ordenes y va dejando un rastro del camino que recorre.<br />
Este es el rastro que ha dejado al darle las siguientes instrucciones:<br />
AV 10<br />
GI 120 0<br />
AV 20<br />
GD 120 0<br />
AV 5<br />
GD 60 0<br />
AV 50<br />
GD 90 0<br />
AV 20<br />
▲<br />
Donde AV es la abreviatura de avanza y el número que le sigue son los pasos que<br />
debe avanzar. GI y GD son las abreviaturas de gira a izquierda y gira a derecha y el<br />
número que les sigue es el ángulo que debe girar.<br />
Escribe tú las instrucciones para que la tortuga dibuje un cuadrado de 20 pasos de<br />
lado y un triángulo equilátero.<br />
Da las instrucciones para dibujar una estrella.
EL TRIÁNGULO DE PENROSE<br />
Este triángulo llamado de Penrose se caracteriza por no poder ser construido, es<br />
decir es un objeto imposible.<br />
Te vamos a indicar los pasos para dibujarlo. Hazlo<br />
1. Dibuja un triángulo equilátero de 11 cm. de longitud.<br />
2. En cada lado marca los puntos que están a 1 y 2 cm. de los vértices.<br />
3. Une los puntos marcados que dan líneas paralelas a los lados.<br />
4. Haz gruesas las líneas necesarias y borra las que sobran.<br />
5. Coloréalo.
DESCRÍBELO<br />
Haz una descripción detallada de los siguientes símbolos:
POLÍGONOS<br />
PROPOSICIONES<br />
MOSAICOS<br />
MOSAICOS CON TRIÁNGULOS<br />
CLASIFICACIÓN DOBLE<br />
TRES CARPINTEROS<br />
ESPEJOS, ÁNGULOS Y DISTANCIAS<br />
ESPEJOS Y REPETICIONES<br />
POLÍGONOS REGULARES<br />
ÁNGULO CENTRAL E INTERIOR<br />
PROC<strong>ESO</strong>S<br />
LOS POLÍGONOS<br />
TRAMAS<br />
ESTIMACIÓN DE SUPERFICIES<br />
VIDRIERAS<br />
FOTOGRAFÍAS<br />
VISTAS AÉREAS<br />
AMPLIACIONES Y ÁREAS<br />
CAMPOS
PROPOSICIONES<br />
Establece la veracidad o no de las siguientes afirmaciones:<br />
a. Un paralelogramo es un cuadrilátero.<br />
b. Un cuadrilátero es un paralelogramo.<br />
c. Un rombo es un trapecio.<br />
d. Un cuadrado es un rectángulo.<br />
e. Un rombo es un cuadrado<br />
f. Un cuadrado es un rombo.<br />
g. Un paralelogramo es un rombo.
MOSAICOS<br />
Observa este mosaico:<br />
¿Cuál es la pieza más pequeña que ha servido para construirlo?<br />
Determina otros polígonos que también servirían para construir ese mosaico.<br />
Observa ahora este otro:<br />
¿Sirve para formarlo?<br />
¿Y ?
MOSAICOS CON TRIÁNGULOS<br />
Dibuja todos los triángulos que conozcas.<br />
Con triángulos equiláteros ya hemos visto que se forma un mosaico. ¿Y con los otros<br />
triángulos?<br />
En alguno de los mosaicos que construyas observa los ángulos que se juntan en torno<br />
a los vértices. ¿Qué ocurre?
CLASIFICACIÓN DOBLE<br />
Completa esta tabla de doble entrada dibujando en cada casillero el cuadrilátero que<br />
corresponda:<br />
Nº de ángulos<br />
rectos 0 1 2 3 4<br />
Nº de lados<br />
paralelos<br />
0<br />
1<br />
2<br />
Haz una clasificación doble que relacione el número de lados iguales y el número de<br />
lados paralelos.
TRES CARPINTEROS<br />
Tres carpinteros A, B y C quieren cortar cuadrados de madera y después de cortarlos<br />
hacen las siguientes comprobaciones:<br />
A compara las longitudes de los lados y si todas son iguales lo da por bien construido.<br />
B mide las diagonales y si son iguales lo da por bien construido.<br />
C compara los cuatro triángulos que forman las diagonales al cortarse y si son iguales<br />
lo da por bien cortado.<br />
¿Cuál de los tres carpinteros tiene la seguridad de cortar efectivamente cuadrados?
ESPEJOS, ÁNGULOS Y DISTANCIAS<br />
Traza una línea. Coloca un espejo perpendicularmente al papel sobre ella. ¿Qué<br />
observas?<br />
Varía la posición del espejo, ¿qué puedes decir de los ángulos que forma el espejo con<br />
la línea y los reflejados? ¿Y de los segmentos?
ESPEJOS Y REPETICIONES<br />
Toma un libro de espejos y sitúalo sobre la mesa de forma que quede de pie y<br />
formando un ángulo de 90 0 .<br />
¿Si colocas una peseta en medio de los espejos, cuántas se verán? Piénsalo primero y<br />
hazlo después.<br />
Ve cerrando el espejo dejando en medio la peseta. ¿Cómo se multiplica?<br />
Cambia la peseta por un punto ¿Puedes hacer que aparezca una circunferencia?
POLÍGONOS REGULARES<br />
Vamos a construir polígonos regulares con el libro de espejos.<br />
Haz una línea recta en el folio y coloca encima el libro de espejos.<br />
Si observas lo que ocurre cuando vas abriendo y cerrando el libro quedarás asombrado.<br />
¿Cómo habrá que colocar el libro para que se generen polígonos regulares?<br />
¿Has podido obtener una circunferencia? ¿Cuál es su radio?
ÁNGULO CENTRAL E INTERIOR<br />
Con la ayuda del libro de espejos intenta encontrar una forma de hallar el ángulo central<br />
y el ángulo interior en un polígono regular.<br />
Ve paso a paso construyendo los distintos polígonos regulares y observa<br />
detenidamente cuánto miden sus ángulos. Construye una tabla para registrar los datos.
PROC<strong>ESO</strong>S<br />
Describe los siguientes procesos y, en cada uno de ellos, di si con él se puede probar<br />
alguna propiedad conocida:<br />
h<br />
b b<br />
h h<br />
b<br />
b<br />
h<br />
h<br />
b<br />
+<br />
b<br />
b<br />
h<br />
h<br />
b<br />
h<br />
b<br />
h
LOS POLÍGONOS<br />
Dibuja y recorta un cuadrado de 10 cm. de lado. Córtalo por sus diagonales.<br />
Con los cuatro triángulos obtenidos construye todos los polígonos que puedas, dibújalos<br />
en el cuaderno y da algún método para hallar su área.
TRAMAS<br />
¿Cuál es el triángulo (cuadrado) más pequeño que puedes dibujar en estas tramas:<br />
¿Cuál es el siguiente? ¿Y el de área doble?<br />
?
ESTIMACIÓN DE SUPERFICIES<br />
Vamos a estimar (medir a ojo) algunas de las superficies de objetos del aula. Por<br />
ejemplo: la pizarra, una caja de cerillas, la puerta de entrada, el suelo, etc.<br />
Cuando hayáis hecho la estimación, tomad las medidas y obtener la superficie real.<br />
Construid una tabla con los resultados estimados y medidos.
VIDRIERAS<br />
Antonio quiere sustituir en su nueva casa una de las ventanas por una vidriera con el<br />
siguiente diseño y dimensiones:<br />
6m<br />
¿Cuántos metros cuadrados de cristal de cada color necesitará?<br />
Haz lo mismo para estos otros diseños:<br />
6m<br />
4m<br />
4m<br />
4m<br />
m<br />
6m
FOTOGRAFÍAS<br />
¿Crees que esta foto:<br />
puede ser ampliada a alguna de estas?:<br />
Explícate.
VISTAS AÉREAS<br />
Una avioneta toma una vista aérea de un campo de fútbol de dimensiones 100m.x 40m.<br />
La avioneta asciende y toma otra vista ¿Cuál de éstas es?
AMPLIACIONES Y ÁREAS<br />
Te pedimos que estudies la relación existente entre las áreas de polígonos semejantes,<br />
para ello toma varios polígonos de los que sepas calcular fácilmente su área y<br />
amplíalos o redúcelos, ¿ves alguna relación entre sus áreas?<br />
Usa papel con tramas para ayudarte.
CAMPOS<br />
Un agricultor tiene un cercado como el de la figura, cuyo perímetro es de 300 metros,<br />
dedicado al cultivo de tomates:<br />
Por toda la cosecha le ofrecen 250.000 pts.<br />
Tiene además el agricultor otro campo de tomates también rectangular de perímetro<br />
doble que el anterior, ¿cuánto le deben pagar por la cosecha?
SIMETRÍA<br />
DIBUJAR REFLEJOS<br />
LINEAS DE SIMETRÍA<br />
ALFABETO<br />
FIGURAS<br />
SIMETRÍAS POLIGONALES<br />
MOVIMIENTO I<br />
MOVIMIENTO II<br />
MOVIMIENTO III<br />
ORDEN DE GIRO<br />
MULTIPLICACIÓN DE SIMETRÍAS<br />
LOGOTIPOS
DIBUJAR REFLEJOS<br />
Di cuál será el reflejo que se observará si colocamos perpendicularmente al papel un<br />
espejo encima de la línea de puntos
LÍNEAS DE SIMETRÍA<br />
En los siguientes dibujos hay algunas posiciones en las que colocando un espejo<br />
perpendicularmente al papel se puede ver la figura completa:<br />
Cada una de estas posiciones determina una línea de simetría.<br />
Determina las líneas de simetría de las figuras anteriores:
ALFABETO<br />
Observa la A mayúscula:<br />
tiene una línea de simetría.<br />
La H tiene ...:<br />
Haz un estudio de la simetría del alfabeto ayudándote de una tabla.<br />
Nº de ejes de<br />
simetría<br />
Letras del alfabeto<br />
0<br />
1 A<br />
2<br />
3<br />
4<br />
más de 4
FIGURAS<br />
Colocando perpendicularmente un espejo sobre:<br />
encuentra:
SIMETRÍAS POLIGONALES<br />
¿Qué triángulos son simétricos? ¿Cuántas líneas de simetría tienen?<br />
¿Qué cuadriláteros son simétricos? ¿Cuántas líneas de simetría tienen?<br />
Estudia la simetría de la circunferencia.
MOVIMIENTOS I<br />
Si: es a:<br />
entonces:<br />
será a:<br />
Razona tu elección.<br />
Dibuja tú otras figuras y aplícales la propiedad establecida.
MOVIMIENTOS II<br />
Si: es a:<br />
entonces:<br />
será a:<br />
Razona tu elección.<br />
Dibuja tú otras figuras y aplícales la propiedad establecida.
MOVIMIENTOS III<br />
Si: es a:<br />
entonces:<br />
será a:<br />
Razona tu elección.<br />
Dibuja tú otras figuras y aplícales la propiedad establecida.
ORDEN DE GIRO<br />
En<br />
Hay figuras que al girar una cantidad de grados respecto de su centro vuelven a<br />
coincidir consigo mismas. Por ejemplo la figura A al ser girada 180 0 y la figura C al ser<br />
girada 90 0 .<br />
La figura A se dice que tiene simetría de giro de orden 2.<br />
La figura C se dice que tiene simetría de giro de orden 4.<br />
¿Cuál crees que es la razón para estos nombres?<br />
¿Cuál será el orden de giro de la figura B?<br />
Dibuja una figura que tenga simetría de giro de orden 6.
MULTIPLICACIÓN DE SIMETRÍAS<br />
¿Cuántas formas simétricas distintas puedes formar con las piezas:<br />
Aviso: hay muchas.<br />
?
LOGOTIPOS<br />
Toma de los periódicos y revistas los logotipos de las marcas comerciales que más te<br />
llamen la atención y estudia sus simetrías.
GEOMETRÍA B
ESPACIO PLANO<br />
CORTANDO<br />
LINTERNA<br />
ARENA<br />
MULTIVISIÓN<br />
CONSTRUYE<br />
DESARROLLOS II
CORTANDO<br />
Sigue la secuencia que te proponemos con la imaginación. En caso de duda realiza los<br />
pasos realmente.<br />
Toma un cubo de estiropor y una cuchilla y corta cada vértice de forma que los cortes<br />
produzcan triángulos equiláteros iguales ¿Que cuerpo resulta? Descríbelo<br />
Si en ese cubo truncado continuas dando cortes paralelos a las caras triangulares ¿qué<br />
obtienes?<br />
Toma también un tetraedro y un octaedro y prodúceles cortes imaginarios y reales<br />
después, describiendo los poliedros truncados que se obtienen.
LINTERNA<br />
Necesitamos una linterna y un cilindro hueco que colocaremos en la salida de la luz<br />
para evitar que se disperse mucho.<br />
En una pared de una habitación semioscura proyectar la luz de la linterna y estudiar las<br />
diferentes figuras que se pueden obtener. Dibujarlas después en el cuaderno indicando<br />
con todo detalle la forma de obtenerlas.
ARENA<br />
Vamos a llenar una parte de distintos cuerpos geométricos con arena y a estudiar la<br />
figura que forma la superficie de ésta. Pueden servir tubos, botes, conos, cajas,...
MULTIVISIÓN<br />
En esta situación determina que vistas corresponden a cada punto:
CONSTRUYE<br />
Con estas vistas de frente, lateral y de arriba determina la forma del objeto.
DESARROLLOS II<br />
Dibuja los desarrollos planos de estos cuerpos:
CONSTRUCCIONES<br />
EL RIEGO<br />
EL MONO<br />
EL POZO<br />
BARCOS II<br />
FAROS<br />
ESTRELLAS<br />
CUADRADOS<br />
CUADRADO RODEADO<br />
ESPIRALES<br />
TORTUGA II
EL RIEGO<br />
En un jardín queremos instalar riego por aspersión. Tenemos dos rosales situados a 4<br />
metros de distancia entre sí y vamos a colocar un aspersor que los riegue y esté lo más<br />
alejado posible de los rosales.<br />
Sabemos que el alcance del aspersor es de 3 metros. ¿Dónde lo ponemos?
EL MONO<br />
Un mono permanece encerrado en una jaula de dimensiones 120 x 280 cm. Los niños<br />
le pueden tirar cacahuetes o plátanos. ¿Cuál es la zona en la que puede cogerlos si<br />
sus brazos miden 50 cm.?
EL POZO<br />
Debido a la pertinaz sequía, tres pueblos cercanos: A, B y C quieren hacer un pozo.<br />
Por el alto coste de la perforación, los alcaldes deciden unirse y perforar un único pozo<br />
que se encuentre a igual distancia de los tres pueblos.<br />
Razona el punto donde debe hacerse la perforación.<br />
La distancia de A a B es de 15 km., la de B a C de 20 km. y la de A a C de 10 km.<br />
¿Cuál será la distancia del pozo a los pueblos?<br />
A<br />
B<br />
C
BARCOS II<br />
Determina las reglas para un juego sobre este tablero.<br />
O<br />
NO<br />
SO<br />
N<br />
S<br />
NE<br />
SE<br />
E
FAROS<br />
En una bahía como la del dibujo están situados dos faros en A y B<br />
Un barco C se encuentra en esos momentos en la bahía.<br />
Da la posición del barco utilizando como referencia:<br />
a. un único faro<br />
b. los dos faros
ESTRELLAS<br />
Dibuja una circunferencia y en ella sitúa diez puntos equidistantes.<br />
Ve uniendo los puntos con segmentos de distintas formas y observarás que se forman<br />
muchas figuras.<br />
Por ejemplo si los puntos los unimos de 2 en 2 sale:<br />
Anota las regularidades que observes.<br />
Investiga qué ocurre si se cambia el número de puntos en la circunferencia.
CUADRADOS<br />
Toma un folio y recorta el mayor cuadrado que puedas.<br />
Pinta una circunferencia y recórtala. Obtén un cuadrado inscrito.<br />
Toma un papel con el contorno irregular:<br />
Construye un cuadrado por doblado.<br />
¿Qué propiedades del cuadrado son las que hemos usado para la construcción?
CUADRADO RODEADO<br />
Imagina un cuadrado con un lado apoyado en una línea recta.<br />
Coloca sobre su lado superior otro cuadrado igual tocándose de forma completa lado<br />
con lado.<br />
Mira el vértice superior izquierdo del cuadrado de arriba, al que llamaremos A.<br />
Gira el cuadrado superior sobre el inferior sin deslizamientos una vuelta completa.<br />
¿Qué figura describe A ?<br />
Dibuja la línea que creas que va a salir y después hazlo realmente y comprueba tu<br />
conjetura.
ESPIRALES<br />
Da las instrucciones necesarias y precisas para dibujar una espiral como:<br />
Encuentra otras espirales y di cómo dibujarlas.
TORTUGA II<br />
Da las instrucciones para que la tortuga dibuje un triángulo equilátero, un cuadrado, un<br />
pentágono regular, ... un polígono regular de n lados.
POLÍGONOS<br />
MOSAICOS CON CUADRILÁTEROS<br />
TRIANGULANDO<br />
LA FINCA<br />
SOMBRAS<br />
PROYECTOR<br />
AMPLIACIONES Y REDUCCIONES<br />
MARCOS<br />
LAS FÓRMULAS<br />
LA PINTURA<br />
PERÍMETRO Y SUPERFICIE DE HEXAMINÓS<br />
LA GUITARRA<br />
COCHECITOS
MOSAICOS CON CUADRILÁTEROS<br />
Clasifica los distintos cuadriláteros atendiendo a algún criterio, por ejemplo: lados<br />
iguales, lados paralelos, ángulos.<br />
Con el cuadrado ya hemos visto que se puede formar un mosaico ¿Con qué otros<br />
cuadriláteros se puede formar un mosaico?<br />
¿Has pensado en un cuadrilátero como éste ?<br />
¿Se podrá formar un mosaico con él?<br />
En alguno de los mosaicos que construyas observa lo que ocurre en los puntos donde<br />
se unen los vértices. ¿Demuestra esto algo?
TRIANGULANDO<br />
Observa la siguiente viñeta:<br />
T1 = 180 0<br />
T1<br />
T1<br />
T2<br />
T1 + T2 = 360 0<br />
T1+T2 +T3 = 540 0<br />
¿Cuánto valdría la suma de los ángulos de un polígono de 10 lados?<br />
T1<br />
T2<br />
T3<br />
T1<br />
T2<br />
T3<br />
T4<br />
T1+T2 +T3 + T4 = 720 0<br />
¿Nos puede este método indicar una forma de hallar el ángulo interior de un polígono<br />
regular?
LA FINCA<br />
Al repartir una finca entre tres personas, a una de ellas le ha correspondido una parcela<br />
como la de la figura:<br />
escala 1:25.000<br />
Teniendo en cuenta la escala con la que está hecho el dibujo calcula la superficie de la<br />
parcela.
SOMBRAS<br />
Toma varios palos de distintas longitudes y clávalos perpendicularmente a la tierra.<br />
Mide sus respectivas sombras y dibújalas en el papel. ¿Encuentras alguna relación<br />
entre la longitud del palo y su sombra?<br />
Ahora contesta la siguiente pregunta:<br />
Un palo de 5 metros da una sombra a una determinada hora del día de 4 metros. ¿Qué<br />
sombra proyectará un palo de 3 m.?<br />
Hay clavado también un palo bastante alto del que no sabemos su longitud, pero su<br />
sombra es de 10 m. ¿Cuál es la longitud del palo?
PROYECTOR<br />
Un proyector de diapositivas está conectado a una distancia de la pared de 5 metros y<br />
da un rectángulo luminoso de 2x1 m.<br />
¿A qué distancia hay que colocarlo para que dé un rectángulo de 4x2 m.?<br />
¿Es posible obtener un rectángulo de luz de 3x1'5 m.?
AMPLIACIONES Y REDUCCIONES<br />
Observa este método que te planteamos para reducir y ampliar figuras:<br />
Sea el triángulo:<br />
Proyectamos desde A:<br />
A<br />
Y se obtiene una ampliación al doble y una reducción a la mitad.<br />
Haz una ampliación al triple del tamaño original.<br />
Si se cambia el punto de proyección ¿qué ocurre ?<br />
Sitúa el punto de proyección dentro de la figura y amplíala.
MARCOS<br />
Aquí tienes dos marcos uno triangular y otro rectangular:<br />
Como ves, cada marco determina dos polígonos del mismo tipo ¿pero, son<br />
semejantes?
l<br />
b<br />
LAS FÓRMULAS<br />
Aquí tienes la figura y la fórmula que permite calcular el área de algunos polígonos:<br />
A = l<br />
A = b · l<br />
b<br />
b B<br />
b·h<br />
B + b<br />
A = A = ·h<br />
2<br />
2<br />
b<br />
A = b · l<br />
A partir de la expresión del área del rectángulo justifica todas las demás.<br />
b<br />
h<br />
D + d<br />
A =<br />
2<br />
D<br />
a<br />
p·a<br />
A =<br />
2<br />
d
LA PINTURA<br />
¿Cuánto nos costará pintar el techo de la clase a razón de 275 pts. el metro cuadrado?<br />
¿Cuánta pintura debemos comprar si se necesita 1 kg. por cada 7 metros cuadrados?
PERÍMETRO Y SUPERFICIE DE HEXAMINÓS<br />
Encuentra de entre todos los hexaminós posibles el de perímetro mínimo.<br />
Encuentra también el de perímetro máximo.<br />
¿Qué pasa con el área?
LA GUITARRA<br />
Dibuja una guitarra a escala.<br />
Esta no lo está.
COCHECITOS<br />
Muchos de los coches con los que juegan los niños y las niñas están perfectamente<br />
construidos manteniendo todas sus partes una proporción fija respecto del coche real,<br />
es decir están a escala.<br />
Una de las más utilizadas es la 1:20 que es precisamente la de este coche:<br />
Da las dimensiones reales del coche y de alguna de sus partes.
SIMETRÍA<br />
MANCHAS<br />
PLIEGUES<br />
REFLEJOS EN UN LIBRO DE ESPEJOS<br />
POLIMINÓS SIMÉTRICOS<br />
DIVIDE UN CUADRADO
MANCHAS<br />
Toma un papel y dóblalo por la mitad. Coge tinta o algún líquido de color y pon unas gotas en la unión de<br />
ambas partes. Aprieta el papel con las manos y ábrelo.<br />
Verás que se han producido figuras muy curiosas.<br />
¿Tiene esto algo que ver con la simetría que produce un espejo?
PLIEGUES<br />
Toma un folio y dóblalo por la mitad, después otra vez por la mitad sobre la línea de<br />
doblado.<br />
Si damos un corte en la esquina que se corresponde con el centro del folio, como el<br />
que ves en la figura:<br />
Imagina el polígono que se obtendrá.<br />
Investiga, siempre primero imaginando el resultado y después cortando, lo que<br />
ocurrirá cuando demos otros cortes.<br />
¿Tienen algo en común todas las figuras que se obtienen al cortar?
REFLEJOS EN UN LIBRO DE ESPEJOS<br />
¿Qué se verá cuando coloquemos un libro de espejos encima de la línea de puntos?<br />
Di ahora dónde debes colocar, y cómo debes hacerlo, el libro de espejos sobre la<br />
figura:<br />
para obtener estas:
POLIMINÓS SIMÉTRICOS<br />
Estudia las simetrías de los:<br />
a. dominós<br />
b. triminós<br />
c. tetraminós
DIVIDE UN CUADRADO<br />
Divide mentalmente un cuadrado en cuatro partes iguales. ¿Ya?<br />
Divide el cuadrado en cuatro partes iguales, también mentalmente, de otras dos<br />
formas distintas.<br />
Con papel y lápiz inténtalo de muchas otras formas.