Contraste de Hipótesis - E.T.S.I.T.G.C.

2. CONTRASTE DE HIPÓTESIS
Contraste de hipótesis
2.1. Introducción
2.2. Contraste de una hipótesis estadística
2.3. Test unilateral y bilateral
2.4. Test relacionados con una sola media (varianza conocida)
2.5. Relación con la estimación del intervalo de confianza
2.6. Test sobre una sola media (varianza desconocida)
2.7. Test sobre dos medias
2.7.1. Varianzas conocidas
2.7.2. Varianzas desconocidas
2.8. Pruebas relacionadas con varianzas
2.9. Test de Bondad de ajuste. Aplicaciones
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2.1. INTRODUCCIÓN
Contraste de hipótesis
2. CONTRASTE DE HIPOTESIS
No siempre los problemas a los que se enfrenta el científico o el ingeniero, se
refieren sólo a la estimación de un parámetro de la población, sino por el contrario,
la formulación de un procedimiento de decisión basado en datos, que puede
producir una conclusión acerca de algún sistema científico. Se postula o conjetura
algo acerca de un sistema. La conjetura se puede exponer como una hipótesis
estadística. Los procedimientos que conducen a la aceptación o rechazo de
hipótesis estadísticas, comprenden un área muy importante de la inferencia
estadística.
Una hipótesis estadística es una afirmación o conjetura acerca de una o
más poblaciones. Es importante remarcar que las hipótesis son proposiciones sobre
la población en estudio, nunca sobre la muestra.
Contrastar una hipótesis estadísticamente es tomar una decisión sobre si
cierta propiedad de una población es compatible con lo observado en una muestra
de dicha población.
La técnica del contraste de hipótesis constituye una parte de la Inferencia
Estadística que consiste en utilizar la información muestral para examinar la validez
de afirmaciones realizadas sobre una característica poblacional.
Nunca se sabe con absoluta certeza la verdad o falsedad de una hipótesis
estadística, a no ser que se examine la población entera. Como esto no es práctico,
se elige una muestra aleatoria de la población que se estudia, y se utilizan los datos
que contiene dicha muestra para proporcionar evidencias que confirmen o no la
hipótesis.
La evidencia de la muestra que es inconsistente con la hipótesis planteada,
lleva al rechazo de la misma; mientras que la evidencia que apoya a la hipótesis,
conduce a su aceptación.
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Contraste de hipótesis
Desde luego el diseño de un procedimiento de decisión, debe llevarse a cabo
con la idea de probabilidad de una conclusión equivocada. Es decir, la
aceptación de una hipótesis implica tan sólo que los datos de la muestra no
proporcionan evidencia suficiente para rechazarla. El rechazo de la hipótesis implica
que la evidencia de la muestra la refuta.
Existen dos tipos de contrastes:
Contrastes paramétricos si la hipótesis concierne a parámetros
poblacionales tales como la media o la varianza.
Contrastes no paramétricos son los que afectan a cualidades de la
distribución, tales como la bondad o de ajuste, homogeneidad de poblaciones,
independencia.
2.2. CONTRASTE DE UNA HIPÓTESIS ESTADÍSTICA
La estructura de la prueba de hipótesis (test de hipótesis) se formulará
utilizando el término hipótesis nula.
Llamamos hipótesis nula, H 0 , a la hipótesis que vamos a contrastar, H 0
representa la hipótesis que mantendremos mientras los datos no nos indiquen su
falsedad.
El rechazo de Ho da como resultado la aceptación de una hipótesis
alternativa, que se representa por H1.
rechaza.
Llamamos hipótesis alternativa, H 1, a la hipótesis que se aceptará si H 0 se
Una hipótesis nula referente a un parámetro de la población, siempre será
establecida en forma tal que especifique un valor exacto del parámetro; la hipótesis
alternativa admite la posibilidad de varios valores.
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Contraste de hipótesis
Las fases en un contraste de hipótesis son:
1) Definir la hipótesis a contrastar que llamaremos H 0 .
2) Definir una medida de discrepancia D que mida la diferencia entre los valores
observados y los esperados (de acuerdo con H 0 ).
3) Calcular D. Si la discrepancia D es muy grande, rechazaremos H 0 ; en caso
contrario, aceptamos H 0 .
Por tanto para realizar un contraste necesitamos una medida de discrepancia,
y una ley para juzgar cuando las discrepancias son demasiado grandes.
Al probar cualquier hipótesis estadística, se presentan cuatro posibles
situaciones que determinan si la decisión es correcta o equivocada:
La hipótesis nula, es verdadera o falsa y se acepta o se rechaza. No se
comete error alguno si es verdadera y se acepta, o si es falsa y se rechaza. Sin
embargo, se cometerá error si es verdadera y se rechaza o si es falsa y se acepta.
REALIDAD
Decimos que se comete un error de tipo I cuando H 0 es verdadera pero se
rechaza, se comete un error de tipo II cuando H 0 es falsa pero se acepta.
Para definir qué valores de las discrepancias son grandes fijamos un valor
que denominaremos nivel de significación. El valor es la probabilidad de cometer
un error de tipo I, y determina un valor d c de forma que: P
DECISIÓN
Se Acepta Se Rechaza
H 0 Es Verdadera Decisión correcta Error de tipo I
H 0 Es Falsa Error de tipo II Decisión correcta
( D dc)
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Contraste de hipótesis
P(error tipo I)=P(rechazar H 0 / H 0 es cierta)
La probabilidad de cometer error tipo II, representado por , es imposible
calcularla a no ser que tenga una hipótesis alternativa específica:
P(error tipo II)=P(aceptar H 0 / H 0 es falsa)
Al conjunto de reglas que lleva a aceptar o no una cierta hipótesis, es lo que
se llama "un test o contraste de hipótesis".
La potencia del contraste es la probabilidad de rechazar H 0 , dada una
alternativa específica verdadera:
1 Potencia=P(rechazar H 0 / H 0 es falsa)
Un test muy potente es altamente capaz de detectar la falsedad de los datos.
Uno poco potente no detecta la falsedad de los datos.
En general, a todo número que, obtenido a partir de las observaciones de una
muestra, sirve para decidirse por H0 ó H 1,
se llama estadístico de contraste.
Pero para realizar un test de hipótesis, el investigador no sólo debe fijar H 0 y
H 1,
y el estadístico de contraste, sino que también habrá de decidir de antemano el
valor del error que está dispuesto a aceptar.
La figura siguiente muestra gráficamente este método. Si la discrepancia
observada D cae dentro de la región de rechazo (probabilidad de rechazar y ser
verdadera), rechazamos la hipótesis H0, en caso contrario la aceptaremos.
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Contraste de hipótesis
Definimos la región de rechazo o región crítica por D dces el conjunto de
valores del estadístico de
contraste que lleva a la
decisión de rechazar la
hipótesis nula H0 y la región de
aceptación de H0 será D dc de .
Consideraciones acerca
1) Aceptar o rechazar la
hipótesis H 0 puede depender
del valor , siendo posible rechazar H 0 con = 0.05 y aceptar H 0 con = 0.04
2) Dar sólo el resultado del test no indica el grado de discrepancia. Se acostumbra a
utilizar niveles de significación del 0.05 ó 0.01.
Si, por ejemplo se elige un nivel de significación del 0.05 entonces hay
aproximadamente 5 ocasiones de cada 100 en que se rechazaría la hipótesis
cuando debe ser aceptada.
El nivel de significación () se fija a priori independientemente del estadístico.
Un procedimiento para resolver estas consideraciones es utilizar el nivel
crítico p de un test, en vez del nivel de significación ().
Se define el nivel crítico o p valor como el mínimo nivel de significación para
el que, con los datos de una muestra concreta, se tendría que rechazar H 0 .
pP(D D n)
.
Es decir, la probabilidad de obtener una discrepancia mayor o igual que la
observada en la muestra. De esta forma, el valor de p no se fija a priori, sino que se
determina en función de la muestra.
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<
> Aceptación d Rechazo
c
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Contraste de hipótesis
Como se evidencia en la figura siguiente, cuanto menor sea el valor crítico,
menor es la probabilidad de existir discrepancia como la observada, y menor es la
certidumbre de H0.
Esto es; cuanto más cercano a cero sea su valor con mayor confianza se rechazará
H0. Puesto que, pP(D D n)
y Dn un valor fijo, si p es grande Dn es un valor
pequeño, por tanto, para un valor fijo de < p será Dn < dc y aceptamos la hipótesis
H0,
aceptar H 0 .
En general, cuanto más próximo a 1 sea p con mayor evidencia se habrá de
A título orientativo,
Si p>0.25 no existe suficiente evidencia para rechazar H0.
Si 0.01

Contraste de hipótesis
Al error de la primera RC que rechaza H0, se le llama nivel crítico ó nivel
mínimo de significación.
Los valores fuera de la región de rechazo son los valores de la región de
aceptación R(H0). Estas regiones de aceptación coinciden con los intervalos de
confianza para los parámetros sobre los que se plantea el contraste con los niveles
de confianza de 1- complemento de los de significación .
2.3. TEST UNILATERAL Y BILATERAL
Un test de cualquier hipótesis estadística, donde la alternativa es unilateral,
tal como: H o : o
H 1 : o
ó bien
H :
H:
0 0
1 0
recibe el nombre de test de una cola, ya que
la región crítica cae en la cola derecha de la distribución del estadístico de prueba, o
en la cola izquierda, respectivamente.
Un test de cualquier hipótesis estadística donde la alternativa es bilateral, tal
como: Ho : o recibe el nombre de test de dos colas, ya que la región crítica se
H1 : o divide en dos partes, generalmente con iguales probabilidades en cada cola de la
distribución del estadístico de prueba.
Para probar hipótesis en las cuales el estadístico de prueba es discreto,
puede escogerse la región crítica arbitrariamente y luego determinar su tamaño. Si
es demasiado grande, puede reducirse haciendo un ajuste en el valor crítico.
Un valor p es el nivel más bajo (de significación) en el cuál el valor observado
del estadístico de prueba es significativo.
Los procedimientos para el test de hipótesis, pueden resumirse, supuesto que
la hipótesis es H o : o :
1. Establecer la hipótesis nula H o de que o .
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Contraste de hipótesis
2. Seleccionar una hipótesis alternativa apropiada H 1 de una de las alternativas
o , o ó o .
3. Elegir un nivel de significación y el tamaño de la muestra n.
4. Seleccionar el estadístico de prueba apropiado, y establecer la región crítica
(si la decisión se va a basar en un valor p, no es necesario establecer la
región crítica).
5. Calcular el valor del estadístico de prueba de los datos muestrales.
6. Decidir: rechazar H o si el estadístico de prueba tiene un valor en la región
crítica (o si el valor calculado de p es menor o igual que el nivel de
significación deseado ); de otra forma, no rechazar H o .
2.4. TEST RELACIONADOS CON UNA SÓLA MEDIA (VARIANZA CONOCIDA):
Presentamos los test de hipótesis acerca de una sóla media de población. Se
deben, en primer lugar, describir las suposiciones sobre las cuales se basa el
experimento. El modelo para la situación fundamental se centra alrededor de un
experimento X 1 , X 2 ,...,X n que representa una muestra aleatoria de una distribución
con media y varianza 2 . Considérese primero la hipótesis:
H o: o
H 1 : o
El estadístico de prueba apropiado deberá basarse en la variable aleatoria X
.Ya sabemos, según el Teorema Central del Límite, que, al margen de la distribución
de X, la v.a. tiene una distribución aproximadamente Normal con media y
desviación típica
X
. Puede, entonces, determinarse una región crítica con base en
n
el promedio muestral calculado, X
. Hasta este momento, habrá una región crítica de
dos colas para la prueba.
Conviene normalizar la v.a. X: Z
X
n .
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Contraste de hipótesis
Se sabe que bajo H o ; es decir, si o , entonces X o
n
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tiene una
distribución N (0,1), y de aquí que la expresión p z
2 X o n z
1 puede
2
utilizarse para escribir una región crítica apropiada. Formalmente, la región crítica se
crea para controlar , la probabilidad de error tipo I.
Se necesita una señal de evidencia de dos colas para respaldar H 1 . Así, dado
un valor calculado X , la prueba formal implica rechazar H si el estadístico de
0
prueba calculado:
X
Z z
/ n
2
ó z z 2 . Si z 2 z z 2 no se rechaza H o .
El rechazo de implica la aceptación de la hipótesis alternativa o .
H o
Con esta definición de la región crítica, existirá la probabilidad de rechazar
H o (al caer en la región crítica) cuando, en realidad o .
O bien, calculando el p-valor=2P(Z>z) y comparándolo con :
p> se acepta la hipótesis nula, y por lo tanto o
p< se rechaza la hipótesis nula, y por lo tanto o
10

Estos son los valores críticos más usados:
Contraste de hipótesis
Grado de confianza Valor crítico z/2
90% 0,10 1,645
95% 0,05 1,96
99% 0,01 2,575
Las pruebas de hipótesis unilaterales acerca de la media, comprenden el
mismo estadístico que el descrito para el caso bilateral. Aquí la región crítica es de
una sóla cola de la distribución normal.
Para H1 : o , el rechazo (región crítica) resulta cuando z z. Para H1 : o , la región crítica está dada por z z. 2.1 Ejemplo:
Se supone que un topógrafo realiza como mínimo 42 mediciones diarias. Ante
la duda se hace una comprobación observando las mediciones durante 10 días
seleccionados al azar, observándose una media de 40. Suponiendo normalidad con
varianza 16 en la distribución de las mediciones diarias con un nivel de significación
de 0,05 la suposición inicial. Realizar el contraste para la media.
Solución:
Estamos ante un caso de contraste unilateral para la media de una población normal
con varianza conocida.
H 0 : 0 42 H: 42 1 0
X 0
Sabemos que: Z N(0,1)
/ n
El valor del estadístico Z bajo la hipótesis nula es:
X 0
40 42
Z -1.581138830
/ n 4/ 10
Para =0,05 en la N(0,1) tenemos que:
P Z z P Z z 0,05 z 1,64
0,05 0,05
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Contraste de hipótesis
Como el valor de nuestro estadístico Z bajo la hipótesis nula cae dentro de la región
de aceptación (-1,64

Contraste de hipótesis
Los intervalos de confianza tienen la ventaja frente a los contrastes de
hipótesis de que siempre nos dan una idea de la zona en la que se va a encontrar el
verdadero valor del parámetro poblacional, mientras que en el caso de los test,
cuando se rechaza una hipótesis nula, no se conoce el valor del parámetro en
cuestión. Todo lo que se sabe es que es más verosímil que el valor del parámetro
sea mayor o menor que un valor concreto.
2.6. TEST SOBRE UNA SÓLA MEDIA (VARIANZA DESCONOCIDA):
La aplicación de la t de Student tanto en intervalos de confianza como en test
de hipótesis, se desarrolla bajo las siguientes suposiciones: las v.a. X 1 ,...,X n
representan una muestra aleatoria de una distribución con y 2 desconocidos.
Entonces la v.a.
X
s n tiene una distribución t de Student con n-1 grados de libertad.
La estructura de la prueba es idéntica que para el caso de conocida, con la
salvedad de que el valor de
en el estadístico de prueba se reemplaza por la
estimación calculada s, y la distribución normal se reemplaza por una distribución t.
Es decir, para la hipótesis bilateral:
H o: o
H 1 : o
el rechazo de H o , con un nivel de significación , resulta cuando
una estadística t calculada: t x o s n excede a ,n 1
t ó es menor que t ,n1 2
2
O bien, calculando el p-valor=2P(tn-1>t) y comparándolo con :
p> se acepta la hipótesis nula, y por lo tanto o
p< se rechaza la hipótesis nula, y por lo tanto o
Para H1 : o , el rechazo resulta cuando t t,n1. Para H1: o, la región crítica está dada por t t,n1. Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.
.
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Contraste de hipótesis
Se conserva la equivalencia de la prueba t de Student de doble cola para una
sola media, y el cálculo de un intervalo de confianza para , reemplazando por s.
Para muestras pequeñas (n

Datos:
Contraste de hipótesis
S S
I xt /2,n1 ,xt/2,n1 n n
2
n 5; x 998 ; S 19,6; 10.95; t0,025;4 2,776
4.43 4.43
I0.25 998 2.776 ,998 2.776
992.48,1003.51
5 5
Obviamente se cumple que la media 1000 992.48,1003.51 2.7. TEST SOBRE DOS MEDIAS
2.7.1. Varianzas conocidas
Los test referidos a dos medias representan un conjunto de herramientas
analíticas muy importantes para científicos e ingenieros.
Dos muestras aleatorias independientes de tamaños n 1 y n 2 ,
respectivamente, se obtienen de dos poblaciones con medias y varianzas
respectivas 1 , 2 y 1 2 ,2 2 . Se sabe que la v.a. Z X 1 X 2
distribución N(0,1).
12 2 2
1 n1 2 n2
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1 2
Si 1 2 , el estadístico anterior se reduce a: Z X 1 X 2
1 n1 1 n2 tiene una
Estos dos estadísticos sirven como base para el desarrollo de los
procedimientos de prueba sobre dos medias.
La hipótesis nula sobre dos medias puede escribirse: H o : 1 2 d o .
La alternativa puede ser unilateral o bilateral. De nuevo, la distribución
utilizada es la distribución del estadístico de prueba H o . Se calculan los valores
x 1 y x 2 , y para 1 y 2 , el estadístico de prueba es:
.
15

Contraste de hipótesis
z
x x d
1 2 0
n
n
2 2
1 1 2 2
con una región crítica de dos colas en el caso de una alternativa de dos lados. Es decir, el
rechazo de H o en favor de H 1 : 1 2 d o si z z 2 ó z z 2 . Las regiones críticas de
una cola se utilizan en el caso de las alternativas unilaterales.
2.3 Ejemplo
90 teodolitos son llevados a reparar a dos talleres distintos. 50 de ellos al taller A
donde los repararon en un tiempo medio de 150 días con una desviación típica de 30 días. Los
40 restantes al taller B, siendo reparados en un tiempo medio de 160 días con una desviación
típica de 25 días. Suponiendo que las varianzas son conocidas, ¿se puede considerar que el
taller A es más adecuado que el B para conseguir una reparación más rápida?
Solución:
Queremos comparar las medias de dos poblaciones normales de varianzas conocidas.
El estadístico de prueba es:
x x
n n
A B
2 2
A B
A B
H :
H:
z
0 A B
1 A B
sustituyendo los valores
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150 160
1.72
y
2 2
30 25
50 40
para a -1,72)
=1-DISTR.NORM.ESTAND(-1,72) 0,95728378 > α
Se acepta la hipótesis nula para cualquier valor de α

2.7.2. Varianzas desconocidas
Contraste de hipótesis
Lo más frecuente es que se desconozcan las varianzas.
Si el científico está dispuesto a asumir que ambas distribuciones son normales, y que
1 2 , puede utilizarse la prueba t combinada (prueba t de dos muestras). El estadístico
de prueba es:
t
x1x2do sp 1 n1 1 n2 s 2 2 n2 1
2
2 s1 n1 1
, siendo s p
n1 n2 2
Se incluye la distribución t y la hipótesis bilateral no se rechaza cuando:
t 2 ,n 1 n 2 2 t t 2 ,n 1 n 2 2
Las alternativas unilaterales sugieren regiones críticas unilaterales.
2.4 Ejemplo:
Se utilizan dos teodolitos para hacer ciertas determinaciones, pretendiendo averiguar si
la media de los errores cometidos con uno y otro es idéntica para un nivel de significación del
5%. Se hacen 20 determinaciones con el teodolito A y se obtiene una media 0,4 errores y una
desviación típica de 0,2 y otras 20 determinaciones con el B obteniendo una media de 0,5 y
una desviación de 0,3. Suponemos que las variables error son normales y con la misma
varianza. Comparar los dos teodolitos.
Solución:
Queremos comparar las medias de dos poblaciones normales de varianzas desconocidas pero
iguales y muestras pequeñas.
El estadístico de prueba es:
H :
H:
0 A B
1 A B
xAxB 1 1
S
n n
A B
t
,nAnB2 2
siendo
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A B
Contraste de hipótesis
2 2 2 2
2 (n A 1)S A (nB 1)SB 190.2 190.3 S 0.065
con lo cual
(n 1) (n 1) 19 19
xAxB 0.40.5 1.24
y para a=0.05, t0.025,38=2
1 1 1 1
S 0.065
n n 20 20
A B
DERIVE:
#1: NSOLVE(STUDENT(x, 38) = 0.975, x, Real)
#2: x = 2.024394161
EXCEL:
=DISTR.T.INV(0,05;38) 2,02439415
SPSS:
IDF.T(0.975,38) 2.02
Como 1.24 < 2 admitimos la hipótesis de igualdad de medias.
Calculamos el p-valor = 2P(T>1,24)
=DISTR.T(1,24;38;2) 0,22257815 > α
2.8. PRUEBAS RELACIONADAS CON VARIANZAS
Contemplamos primero el problema de probar la hipótesis nula H o de que la varianza
poblacional 2 2
es igual a un valor especificado o en contraposición a las alternativas
usuales 2 o 2 , 2 o 2 ó 2 o 2 . El estadístico apropiado sobre el que se basa la decisión
es el estadístico ji-cuadrado utilizado para determinar un intervalo de confianza para 2 . Por
tanto, si suponemos que la distribución de la población que está siendo muestreada es normal,
el valor ji-cuadrado para probar 2 2
o está dado por:
2 n1s2 2 o donde n es el tamaño de la muestra, s 2 2 2
es la varianza muestral y o es el valor de dado
por la hipótesis nula. Si H o es verdadera, 2 es un valor de la distribución ji-cuadrado con n -
1 grados de libertad. De aquí que, para una prueba de dos colas con un nivel de significación
2
, la región crítica es y
1
/2
.
2
/2
2 2
O bien, calculando el p-valor = 2 mín P n1,P n1 y comparándolo con a:
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Contraste de hipótesis
p>a se acepta la hipótesis nula, y por lo tanto 2 o 2
p

Contraste de hipótesis
siendo 13,5 menor que 14,57 RECHAZAMOS la hipótesis nula de que la varianza del grosor
de los filamentos es 4 milímetros.
EXCEL: = PRUEBA.CHI.INV(0,025;27) 43,19
EXCEL: = PRUEBA.CHI.INV(0,975;27) 14,75
SPSS: IDF.CHISQ(0.975,27) 43,19
SPSS: IDF.CHISQ(0.025,27)
Calculamos el p-valor
14,75
=2*(1-DISTR.CHI(13,5;27) 0,02865106 < 0,05 = α
Al rechazar la hipótesis nula, aceptamos la hipótesis alternativa de que la varianza no es
4; pero podemos plantearnos si es menor que 4 o mayor que 4.
Solución:
Ahora se trata de realizar un contraste unilateral para la varianza poblacional con media
desconocida suponiendo normalidad.
Sabemos que:
(n 1)S
2
0
2
2
n1 El valor crítico para a=0,05 y n=28
Para = 0,05
H : 4
H: 4
2 2
0 0
2 2
1 0
2
(n 1)S272 13,5
2
0 4
1 ,n1 0.95,27
P( ) 0.95 16.25
2
27 0.95 0.95
siendo 13,5 menor que 16,25 ACEPTAMOS la hipótesis nula de que la varianza del grosor
de los filamentos es menor de 4 milímetros.
EXCEL: = PRUEBA.CHI.INV(0,95;27) 16,25
SPSS: IDF.CHISQ(0.95,27) 16,25
Calculamos el p-valor
=DISTR.CHI(13,5;27)
0,9856745 < 0,05 = α
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Contraste de hipótesis
HOMOCEDASTICIDAD
Considérese ahora el problema de probar la igualdad de varianzas 1 2 y 2 2 , de dos
poblaciones. Esto es, debe probarse la hipótesis nula H o de que 1 2 2 2 en contraposición
a una de las alternativas usuales 1 2 2 2 , 1 2 2 2 ó 1 2 2 2 .
Para muestras aleatorias independientes de tamaños respectivos n 1 y n 2 , de las dos
poblaciones, el valor f para probar 1 2 2 2 es la razón f s 1 2
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s 2 2 donde s 1 2 y s 2 2 son las
varianzas calculadas a partir de las dos muestras. Si las dos poblaciones tienen distribuciones
aproximadamente normales, y la hipótesis nula es verdadera, de acuerdo en resultados
obtenidos, la relación f es un valor de la distribución F de Snedecor con n1-1 y n2-1 grados
de libertad. Por tanto, las regiones críticas, con nivel de significación correspondientes a
las alternativas unilaterales 1 2 2 2 y 1 2 2 2 son respectivamente,
.
f F,n11,n21 f F .
Para la alternativa bilateral 1 2 2 2 , la región crítica es
,n11,n21 2
f F1 ,n11,n21 y
f F y
1 ,n11,n21 2
2.6 Ejemplo:
Se pretende comparar dos métodos de eliminación de observaciones. Se seleccionan
una muestra de 50 series con observaciones aberrantes y a 25 de ellas se le aplica el método A
y a las otras 25 el B. Los resultados obtenidos son los siguientes:
Método A : xA 4,3; SA 1,4
Método B : xB 3,6; SB 1,1
Suponiendo la variable normal, contrastar la hipótesis de igualdad de medias a un nivel de
significación a=0,05.
Solución:
Debemos en primer lugar contrastar la hipótesis de igualdad de varianzas
21

2 2
A
2 2
B
Contraste de hipótesis
S
S
H :
H:
2 2
0 A B
2 2
1 A B
2
A F 2 ,F
1 ,nA1,nB1 ,nA1,nB1 B 2 2
S 1.4
1.62 F ,F 0.44,2.27
S 1.1
0.975,24,24 0.025,24,24
DERIVE:
#1: NSOLVE(F_DISTRIBUTION(x, 24, 24) = 0.975, x, 0, 1)
#2: x = 0.4405911279
#3: NSOLVE(F_DISTRIBUTION(x, 24, 24) = 0.025, x, 0, 5)
#4: x = 2.269129557
EXCEL:
=DISTR.F.INV(0,975;24;24) 0,44066972
=DISTR.F.INV(0,025;24;24)
SPSS:
2,26927455
IDF.F(0.975,24,24) .44
IDF.F(0.025,24,24) 2.27
0,44 < 1,62 < 2,27 y por tanto aceptamos la hipótesis de varianzas iguales.
Contrastamos ahora la igualdad de medias de dos poblaciones normales de varianzas
desconocidas pero iguales y muestras pequeñas.
El estadístico de prueba es:
A B
H :
H:
0 A B
1 A B
xAxB 1 1
S
n n
A B
t
,nAnB2 2
siendo
2 2 2 2
2 (n A 1)S A (nB 1)SB 241.4 241.1 S 1.585
con lo cual
(n 1) (n 1) 2424 xAxB 4.3 3.6
1.966
y para a=0.05, t0.025,48=2
1 1 1 1
S 1.585
n n 25 25
A B
DERIVE:
#1: NSOLVE(STUDENT(x, 48) = 0.975, x, Real)
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.
22

#2: x = 2.010634765
EXCEL:
Contraste de hipótesis
=DISTR.T.INV(0,05;48)
SPSS:
2,01063472
IDF.T(0.975,48) 2.01
Como 1.93 < 2 admitimos la hipótesis de igualdad de medias.
Calculamos el p-valor
=DISTR.T(1,966;48;2) 0,05509702 > α
2.9. TEST DE BONDAD DE AJUSTE.
Hasta ahora, hemos estudiado aspectos o planteamientos, de un problema que, de
forma general, trata de tomar decisiones sobre alguna característica de la población, a partir
del estudio de una muestra de dicha población.
El problema que vamos a tratar es el de la conformidad de una distribución
experimental y una distribución teórica; esto es, sustituir la distribución experimental
(distribución de la muestra de la población), el histograma, o la distribución de frecuencias,
por una distribución teórica conocida.
Se trata ahora de ajustar una distribución experimental a una distribución teórica; es
decir, ver si de los resultados obtenidos en una muestra de una población, podemos suponer
que la población sigue una determinada distribución.
Según sea el histograma o la tabla de frecuencias de la muestra, hacemos una
hipótesis sobre la distribución de la población, que estudiaremos en un test de ajuste que
mide la bondad de ajuste.
Sea n el tamaño de la muestra y agrupamos en k clases, y sea ni la frecuencia absoluta
observada de la clase i. A partir de la muestra estimamos los parámetros de la población
teórica, y una vez obtenidos éstos, calculamos la probabilidad pi que le corresponde a cada
intervalo i. Las correspondientes frecuencias absolutas teóricas (esperadas) serán npi.
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23

Sean:
n = tamaño de la muestra
k = número de clases
ni = frecuencia absoluta de la clase i
Contraste de hipótesis
pi = probabilidad de cada clase según la distribución teórica
npi = frecuencia absoluta de cada clase según la distribución teórica
h = número de parámetros estimados a partir de la muestra
= número de grados de libertad
Las frecuencias observadas en la distribución de una muestra, se emplean para poner a
prueba, la hipótesis de que la población de la cual se ha obtenido la muestra, no difiere en
distribución, de la de alguna distribución conocida.
Si la hipótesis fuese cierta, las discrepancias entre las frecuencias absolutas
observadas ni y las frecuencias absolutas esperadas npi, no deben ser grandes.
Supuesta conocida la distribución de Y. La hipótesis H 0 tiene la forma: la población X
de la cual se obtuvo la muestra tiene la misma distribución que la población Y, formulamos la
hipótesis alternativa H 1 las poblaciones X e Y no tienen la misma distribución.
Una medida de las discrepancias en este sentido, fue estudiada por Pearson
k
2
( ni
npi
)
construyendo el siguiente estadístico: D , y demostró que, para
1
np
2
n 30 y npi
5
D kh1
i i
, esto es, la variable D sigue una distribución ji-cuadrado con
= k - h - 1 grados de libertad.
Para aplicar correctamente el test, las frecuencias teóricas de las diferentes clases
deben ser mayor o igual que cinco, por lo que en caso de que no lleguen, se agrupan
previamente.
La prueba de bondad ji-cuadrado es una herramienta muy importante, debido sobre
todo a que muchos procedimientos estadísticos en la práctica dependen, en un sentido teórico,
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.
24

Contraste de hipótesis
de la suposición de que los datos recogidos surgen de un tipo de distribución específica. La
suposición de normalidad se hace con bastante frecuencia.
Fijado un nivel de significación , buscamos un valor tal que
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.
2
P
Si D aceptamos la hipótesis H 0 de conformidad con el ajuste, siendo las
diferencias i i
n np debidas al azar.
Si D rechazamos la hipótesis H0 , las diferencias i i
por tanto, las distribuciones son distintas.
Observaciones acerca de D.
n np son significativas y
1º El valor D es más grande a medida que la distribución experimental se separa más de la
teórica.
2º El número de intervalos se pueden fijar libremente siempre y cuando se verifique npi 5 .
3º En general, D crece si crece el nº de intervalos, aunque la distribución teórica se ajuste
bien. Puede darse el caso de rechazar H 0 para un nº de intervalos k, y aceptar para un nº
menor de k intervalos.
2.7 Ejemplo:
De un experimento se ha obtenido la siguiente distribución de frecuencias:
x < 1 1 a 2 2 a 3 3 a 4 4 a 5 5 a 6 6 a 7 7 a 8 8 a 9 > 9
n 0 5 19 91 202 217 95 16 5 0
i
Ajustar a una distribución normal con un nivel de significación del 0.05.
Solución:
25

2
ei1 e i xi ni nx i i nx i i
Utilizando las fórmulas, ya conocidas:
3256
X
650
650
S 1154
649
e e
< 1 0
1 - 2 1.5 5 7.5 11.25
2 - 3 2.5 19 47.5 118.75
3 - 4 3.5 91 318.5 1114.75
4 - 5 4.5 202 909.0 4090.50
5 - 6 5.5 217 1193.5 6564.25
6 - 7 6.5 95 617.5 4013.75
7 - 8 7.5 16 120.0 900.00
8 - 9 8.5 5 42.5 361.25
> 9 0
650 3256.0 17174.5
ii 1
5 2
Contraste de hipótesis
17174 5
650
.
3256
650
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.
2
133 . 1153 .
. . resulta una distribución estimada: N( 5 , 1. 154)
n i
pi F(ei) F(ei1 ) )
np i
2
n np
i i
< 3 24 0.0415386 27.00 0.333333
3 - 4 91 0.193093-0.0415386=0.1515544 98.51 0.572531
4 - 5 202 0.5-0.1515544=0.306907 199.49 0.031581
5 - 6 217 0.806907-0.5=0.306907 199.50 1.535087
6 - 7 95 0.958461-0.806907=0.151554 98.50 0.124365
> 7 21 1-0.958461=0.041539 27.00 1.333333
650 1 650.00 D=3.930230
Quedan 6 intervalos y hemos calculado 2 parámetros (media y varianza) luego
= k - h - 1 = 6 – 2 – 1= 3 grados de libertad.
240
200
160
120
80
40
0
n
Histograma de frecuencias
0 2 4 6 8 10
np
i
26

Para = 0,05
Contraste de hipótesis
P( ) 0.05 7.8147 siendo D = 3.9 menor que
2
3 0.05 0.05
005 . aceptamos la hipótesis de ser el ajuste bueno.
EXCEL: = PRUEBA.CHI.INV(0,05;3) 7,8147
O bien, utilizando el p-valor:
DERIVE: 1 - CHI_SQUARE(3.9,3)= 0.2691227489 > 0,05 = a
EXCEL: = DISTR.CHI(3,9;3) 0,26912272 > 0,05 = a
SPSS: 1 - CDF.CHISQ(3.9,3) .27> 0,05=a
2.8 Ejemplo:
Se puede admitir la distribución uniforme de valores angulares en una triangulación de primer
orden de un país en la que se ha tomado una muestra de tamaño 100 y se han obtenido los
siguientes resultados:
x < 40 40-50 50-60 60-70 >70
n 16 22 20 19 23
i
Solución:
Según la ley de la distribución uniforme, la probabilidad teórica de cada clase es igual a la
unidad dividida por el número de clase: 1/5=0,2
Para = 0,05
x < 40 40-50 50-60 60-70 >70
n 16 22 20 19 23
i
pi 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2
npi 20 20 20 20 20
2
n np
i i
np
i
2
16 20 2
22 20 2
20 20 2
19 20
20
20
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.
20
(n np )
np
k
2
D i i 1,5
i1 i
2
4 0.05 0.05
20
2
23 20
P( ) 0.05 9,49 siendo D = 1,5 menor que
005 . aceptamos la hipótesis de ser el ajuste bueno. La diferencia entre la distribución
empírica y la ley de la distribución uniforme no es significativa.
EXCEL: = PRUEBA.CHI.INV(0,05;4) 9,4877
20
27

O bien, utilizando el p-valor:
Contraste de hipótesis
DERIVE: 1 - CHI_SQUARE(1.5,4)= 0.8266414672> 0,05 = a
EXCEL: = DISTR.CHI(1,5;4) 0,826641> 0,05 = a
SPSS: 1 - CDF.CHISQ(1.5,4) .83> 0,05=a
Directamente con SPSS creamos la variable v1 y en datos>>ponderar casos
Reconoce la columna de frecuencias absolutas.
Escogemos analizar>>pruebas no paramétricas>>chi cuadrado
V1
Observed Expected
N N Residual
35,0 16 20,0 -4,0
45,0 22 20,0 2,0
55,0 20 20,0 ,0
65,0 19 20,0 -1,0
75,0 23 20,0 3,0
Total 100
Chi-
Square(a)
V1
1,500
df 4
Asymp.
Sig.
,827
Test Statistics
Test de independencia
Aplicaciones de la Prueba chi-cuadrado:
Se trata de contrastar si dos variables CUALITATIVAS son independientes (es decir, si existe
relación entre ellas), o no.
H0: X e Y son independientes
H1: X e Y no son independientes
Supongamos que de una población se han observado dos características X e Y, obteniéndose
una muestra bidimensional (x ,y ), (x ,y ),…, (x ,y ). Se desea contrastar si X e Y son
1 1 2 2 n n
independientes o no.
Para ello, se divide el conjunto de los posibles valores de X en r clases disjuntas, A1, A2,…, Ar
y los de Y en k clases disjuntas, B1, B2 ,…, Bk, obteniendo k r clases con frecuencia n , dando
ij
lugar a una tabla de doble entrada (tabla de contingencia):
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.
28

Contraste de hipótesis
Muestra A1 A2 ……. Ar Total
B1 n11 n12 … n1r n1.
B2 n21 n22 … n2r n2.
… … … … … …
Bk
nk1
nk2 … nkr nk.
Total n.1 n.2 …. n.r n
Buscamos las frecuencias esperadas de cada casilla (eij):
n n
pij PAjBiPAjPBi
n n
Sobre una muestra de tamaño n, será:
.j i.
n n n n
.j i. i. .j
eij npij n
n n n
Al Igual que para el test de Bondad el estadístico de contraste
r k
D
2
nn i. .j
nij
2
Oij eij
j1 i1 ij
r k
En nuestro caso: D
j1 i1
2.9 Ejemplo:
n
nn i. .j
n
con (k-1)(r-1) grados de libertad
Hemos preguntado a un grupo de 100 hombres y 100 mujeres si fumaban o no. ¿Existen
diferencias significativas entre ambos sexos?
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.
e
Hombres Mujeres TOTAL:
Fuma 25 35 60
No fuma 75 65 140
TOTAL: 100 100 200
29

Solución:
¿Qué debería salir, si fueran independientes?
Fuma
Contraste de hipótesis
Hombres Mujeres TOTAL:
25 (30) 35(30) 60
No fuma 75(70) 65(70) 140
TOTAL: 100 100 200
H o : X e Y son independientes
H 1 : X e Y no son independientes
Comparamos frecuencias observadas (O i ) y esperadas (e i )
r k
D
La idea es RECHAZAR la hipótesis, si los valores observados difieren demasiado de los
observados.
Para ello, utilizamos la prueba de la chi-cuadrado con n=1 grado de libertad.
El número de grados de libertad es igual al número de frecuencias de casillas que se pueden
rellenar libremente conocidos los totales.
En general, será el número de columnas menos 1 por el número de filas menos 1: (c-1)(f-1).
Utilizando el p-valor:
DERIVE: 1 - CHI_SQUARE(2.38,1)= 0.1228975482
EXCEL: = DISTR.CHI(2,38;1) 0,1228975
2
Oij eij
j1 i1 ij
2 2 2 2
(25 30) (35 30) (75 70) (65 70)
D 2,38
30 30 70 70
p valor P( 2.38) 0,12289758
2
n1 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.
e
30

SPSS: 1 - CDF.CHISQ(2,38,1) .12
Contraste de hipótesis
2
Para = 0,05 P( 1 0.05) 0.05 0.05 3.84 siendo D = 2.38 menor que 005 .
aceptamos la hipótesis de independencia.
EXCEL: = PRUEBA.CHI.INV(0,05;1) 3.841459
Aplicaciones de la Prueba chi-cuadrado:
Prueba de Homogeneidad
Consiste en comprobar si varias muestras de un carácter cualitativo proceden de la misma
población o que las distribuciones de la variable observada es la misma en todas las
poblaciones
H0: m poblaciones homogéneas
H1: al menos una población es heterogénea
Supongamos que se dispone de m muestras aleatorias simples de otras tantas poblaciones
cuyos tamaños son, respectivamente, n , n ,…, n . Se desea contrastar si los datos (todos
1 2 m
juntos) provienen de la misma población o, por el contrario, se trata de poblaciones
heterogéneas con diferentes distribuciones.
Para ello, se divide el conjunto de los posibles valores de A en r clases disjuntas y n ,
ij
representa el número de observaciones de la muestra i que pertenece a la clase A según
j
vemos en una tabla de doble entrada (tabla de contingencia):
Muestra A1 A2 ……. Ar Total
1 n11 n12 … n1r n1
2 n21 n22 … n2r n2
… … … … … …
m nm1 nm2 … nmr nm
Total n.1 n.2 …. n.r n
La hipótesis de que las m poblaciones son homogéneas, se traduce en que cada conjunto Aj
debe tener una probabilidad teórica pj, desconocida, pero que no varía de la población i a la
población i’
n.j
eij nipjni n
Al Igual que para el test de Bondad el estadístico de contraste
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.
31

En nuestro caso:
j1 i1
Contraste de hipótesis
r m
D
i .j
2
Oij eij
j1 i1 ij
2
nn i .j
n
r m ij
n
D
con (m-1)(r-1) grados de libertad
nn
n
2.10 Ejemplo:
Queremos saber si las dos muestras obtenidas proceden de la misma población con
probabilidad del 95%.
Solución:
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.
e
A B C D
1ª muestra 56 60 62 59
2ª muestra 44 40 38 41
H : p = p11 = p12 = p13 = p14
o
H : pij distinto de p para algún grupo
1
Se calculan las frecuencias esperadas
n.j 237
e1j n1pjn1 100 59,25 5
n 400
Que coinciden para los cuatro grupos por ser el mismo tamaño muestral n1 = 100
n.j 163
e2j n1pjn2 100 40,75 5
n 400
Calculamos el valor del estadístico
32

2
Contraste de hipótesis
nn i .j
r m nij
2 2 2
n
56 59,25 6059,25 62 59,25
D
nn j1 i1 i .j 59,25 59,25 59,25
n
59 59,25 4440,75 40 40,75 3840,75 4140,75 2 2 2 2 2
59,25
40,75
40,75
40,75
40,75
0,7765784
Ajustamos a una distribución de Pearson con 3 grados de libertad
En general, será el número de columnas menos 1 por el número de filas menos 1: (c-1)(f-1).
2 n3
p valor P 0,7765784 0,85506
Utilizando el p-valor:
DERIVE: 1 - CHI_SQUARE(0.7765784,3)= 0.8550605738
EXCEL: = DISTR.CHI(0.7765784;3) 0,8555061
SPSS: 1 - CDF.CHISQ(0.7765784,3) .86
P( ) 0.05 7.81472776 siendo D = 0,7765784 menor
Para = 0,05
2
1 0.05 0.05
que 005 . aceptamos la hipótesis y las muestras proceden de la misma población.
EXCEL: = PRUEBA.CHI.INV(0,05;3) 7.81472776
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.
33