T22.06 L846u.pdf - Universidad de La Salle

UNA UNIDAD DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA FUNCION
EXPONENCIAL EN EL GRADO NOVENO
LUZ ALEYDA LONDOÑO TRIANA
UNIVERSIDAD DE LA SALLE
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA·EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN
BOGOTA
2006

UNA UNIDAD DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LAS FUNCION
EXPONENCIAL EN EL GRADO NOVENO
LUZ ALEYDA LONDOÑO TRIANA
Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al título de
Licenciada en Matemáticas y Física
Asesores
Joaquín Restrepo Becerra Profesor Universidad la Salle
Fernando Sarmiento Parra Profesor Universidad la Salle
UNIVERSIDAD DE LA SALLE
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN
BOGOTA
2006

Bogotá, 15 de Septiembre de2006
Nota de aceptación
______________________________
______________________________
______________________________
______________________________
______________________________
______________________________
______________________________
Firma del presidente del jurado
______________________________
Firma del jurado
______________________________
Firma del jurado

DEDICATORIA
A la memoria de Jorge Eliécer Ocampo, quién hizo posible que mis estudios
universitarios, transcurrieran, tan solo, con las preocupaciones que mi desempeño
como estudiante me acarrearon; permitiendo que disfrutara día a día mi época
universitaria. ¡Ruego a Dios que lo guarde en su gloria!
A mi mamá y a mi tía, por su apoyo, sacrificios, ánimo y dedicación, constantes,
en pro de mi bienestar. ¡Que Dios y a la virgen, bajo sus santísimos mantos,
siempre las guarde y las proteja!
A “mi profesor” José Antonio Medina. Profesor de Matemáticas, -hasta hace
poco-, de la Universidad de La Salle y cuya asesoría en años anteriores, fue
fundamental en el desarrollo de este trabajo. ¡Siempre lamentaré, que el destino
o la suerte me negaran la oportunidad de ser su alumna, en alguna de las tantas
asignaturas, que hicieron parte del currículo de mi carrera! ¡Qué la luz de la
divinidad del todopoderoso, ilumine siempre su camino!
A mi hermana, y a mis amigos; que son pocos, porque son los mejores. Sé que se
alegraran cuando ¡por fin ...! lean este trabajo. ¡Que Dios los guíe y los proteja!

AGRADECIMIENTOS
A las Directivas de la Universidad, por permitirme alcanzar, este titulo, requisito
indispensable y punto de inicio a proyectos muy importantes para mi vida
profesional y familiar.
Al Hermano Cristhian James Díaz Mesa, Decano de la Facultad de Ciencias de la
Educación y a todos los miembros del Consejo de facultad, por permitir la
presentación de este trabajo.
Al profesor Fernando Sarmiento Parra, Coordinador de la Licenciatura en
matemáticas y Ciencias de la Computación, por su acompañamiento, asesoría y
gestión, pero sobre todo, por su especial interés y ayuda en la solución a todas
las dificultades que se me presentaron. Su actitud, siempre amable y de apoyo
constante, fueron fundamentales en la realización de este trabajo.
Al profesor Joaquín Restrepo Becerra, Coordinador del área de matemáticas, por
su asesoría, acompañamiento, interés y orientaciones, en la realización de este
trabajo.
A la señora Ana Belén Arias, secretaria de la Facultad de Educación, quién facilitó
mi labor, con su atención e información, siempre amable y oportuna.

Al señor Wilber Méndez, funcionario de la biblioteca de la Universidad de La Salle,
quién con especial interés, facilitó mi acceso a textos, libros y trabajos de
referencia.
A todas aquellas personas, que de una u otra manera, facilitaron mi labor.

INTRODUCCION
CONTENIDO
1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1 DEFINICION DEL PROBLEMA
1.1.1 ANTECEDENTES
1.1.2 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
1.2 PREGUNTAS DE INVESTIGACION
1.3 JUSTIFICACION
1.4 OBJETIVOS
pág.
1.4.1 OBJETIVO GENERAL 29
14
17
17
20
22
23
29

1.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1.5 FACTIBILIDAD DE LA INVESTIGACION
1.5.1 RECURSOS
1.5.2 LIMITACIONES.
2 MARCO CONTEXTUAL
2.1 RESEÑA HISTORICA DEL COLEGIO GUSTAVO ADOLFO
BECQUER.
2.2 UBICACIÓN Y DESCRIPCION DE LA POBLACION 32
3 MARCO TEORICO
3.1 INTRODUCCION
3.2 APRENDIZAJE.
3.3 DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS 42
30
30
30
31
32
32
34
34
37

4. MARCO METODOLOGICO
4.1 TIPO DE INVESTIGACIÓN
4.2 DISEÑO METODOLÓGICO
4.3 TECNICAS A APLICAR EN EL AULA
4.3.1 ACTIVIDAD INICIAL 47
4.3.2 ACTIVIDAD DE DESARROLLO
4.3.3 ACTIVIDAD DE SINTESIS
4.4 DISEÑO DE LA DIDACTICA
5 UNIDAD DIDACTICA
6 APLICACION
7 CONCLUSIONES. 198
45
45
45
47
47
47
48
49
185

RECOMENDACIONES
BIBLIOGRAFIA.
ANEXOS. 204
199
201

LISTA DE CUADROS
Cuadro 4. Resultados de la Aplicación de la Primera Unidad 187
Cuadro 5. Respuestas Curso 901 189
Cuadro 6. Respuestas Curso 902 191
Cuadro 7. Comparativo Respuestas Correctas Curso 901-902 193
pág.

LISTA DE ANEXOS
ANEXO A. Prueba de Diagnostico 204
ANEXO B. Prueba de Verificación 208
ANEXO C. Propuestas Didácticas 212
pág.

LISTA DE GRAFICAS
Gráfica 1. Respuestas Curso 901 189
Gráfica 2. Respuestas Curso 902 191
pág.
Gráfica 3. Comparativo Respuestas Correctas Curso 901-902 193

INTRODUCCION
La historia de la Matemáticas no puede aislarse de la historia de la humanidad, el
avance y desarrollo de la una es paralelo al desarrollo de la otra.
Es innegable, que son las Matemáticas las que impulsan el desarrollo de la técnica
y la ciencia, de ahí su inclusión en los currículos escolares y la gran preocupación
de los gobiernos por brindar calidad en su enseñanza y aprendizaje.
La enseñanza de la Matemática, tiene por lo tanto, como objetivo el formar
ciudadanos competentes, capaces de contribuir al desarrollo y progreso de su país
y al suyo propio.
Las aplicaciones que actualmente tienen las Matemáticas, en el desarrollo de la
ciencia y la tecnología, exigen a la humanidad su comprensión y conocimiento.
Dicha comprensión de las Matemáticas, recae invariablemente, como tarea del
profesor, quien finalmente es el encargado, de transmitir sus conceptos y orientar
a los estudiantes en la construcción de su propio conocimiento.

Así; la tarea del docente, no puede centrarse, en la enseñanza de conceptos, que
el alumno memoriza y repite, convirtiendo el aprendizaje en una actividad
puramente mecánica, sino más bien en una construcción colectiva.
Son los docentes los que deben asumir la enseñanza, como un proceso en
constante evolución, que requiere de perfeccionar y adecuar aquellas
metodologías que desarrollen la capacidad de análisis del individuo,
proporcionándole herramientas para el desarrollo de habilidades en la
transferencia de sus conocimientos ─ disciplinares, previamente adquiridos en un
proceso cuidadosamente desarrollado ─ a la solución de problemas.
El educador y el contenido de los textos, por lo tanto, deben proveer al estudiante
de actividades que lo lleven a realizar dicha transferencia de conocimientos.
Con la realización de este trabajo, se pretende ofrecer, no solo al profesor sino al
estudiante, una herramienta, que ayude a mejorar las condiciones actuales, en
cuanto a la comprensión, aplicabilidad, enseñanza y aprendizaje, de la Función
Exponencial.
Acerca de la organización y presentación del presente trabajo, en el capitulo uno,
se presenta el título, el problema, los antecedentes, la justificación, los objetivos y
la factibilidad de la investigación.
15

El capítulo dos, presenta el marco contextual que describe la historia y ubicación
del Colegio Gustavo Adolfo Bécquer, institución donde se desarrollo esta
propuesta didáctica.
El marco referencial trata esencialmente acerca de algunos conceptos sobre:
didáctica de las matemáticas, aprendizaje significativo, y constructivismo;
referentes que dan base a la actual propuesta, y los cuales aparecen en el
capítulo tres.
El tipo de investigación, el diseño metodológico, las técnicas a aplicar en el aula y
el diseño de la unidad didáctica propuesta, componen el marco metodológico, y
constituyen el capítulo cuatro.
El capítulo cinco, está compuesto por los contenidos, listas de cuadros y figuras,
introducción y desarrollo o tratamiento de los ejes temáticos específicos de la
matemática, a tratar en el aula a través de la unidad didáctica, este último,
elemento esencial en el cual se basa el proceso de enseñanza-aprendizaje de
la presente propuesta.
Finalmente, y en el capítulo seis, aparecen los resultados obtenidos, en la
aplicación de la unidad didáctica. Cierran este trabajo algunas recomendaciones y
conclusiones.
16

1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
TEMA. Enseñanza y/o Aprendizaje de la función exponencial.
TITULO. “UNA DIDACTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA FUNCION
EXPONENCIAL EN EL GRADO NOVENO”
1.1 DEFINICION DEL PROBLEMA
1.1.1 Antecedentes. Las políticas y lineamientos generales de los procesos
curriculares, implementadas en la Resolución 2343 de 1996, para dar
cumplimiento a la ley 115 de 1994, no ofrecía marcos de referencia, en el
desarrollo de los fundamentos curriculares, criterios organizacionales, estructuras
en los proyectos curriculares y definición del tipo de conocimiento requerido en
cada una de las áreas obligatorias en la educación formal. Se definen entonces,
en 1998 los lineamientos curriculares para cada una de las áreas presentando
marcos de referencia y estableciendo planteamientos para la reflexión sobre lo
curricular.
En los lineamientos curriculares para el área de matemáticas, se establecen las
distinciones requeridas con las matemáticas escolares y con el papel de la
17

didáctica de las matemáticas en la actualidad. Se propone, entonces, organizar el
currículo con base en tres aspectos: los procesos generales asociados al
aprendizaje de las matemáticas, los conocimientos básicos, relacionados con
características específicas del pensamiento matemático y sus sistemas y con los
contextos o ambientes propios que rodean a los estudiantes. Sin embargo, esta
organización del currículo, continuaba sin ofrecer referentes para determinar los
contenidos de los sistemas de la matemática, en los que se organizaba el
conocimiento escolar.
Las Pruebas Saber, evidencian, aún más, la ausencia de referentes en la
selección de contenidos, pues estas evalúan un conocimiento matemático de tipo
conceptual y procedimental. Así, las Pruebas Saber –sin que tuvieran el propósito
de serlo- empezaron a considerarse un referente, en la determinación del
conocimiento matemático que debe enseñarse 1 .
Ante este problema, el Ministerio de Educación propuso entonces, a científicos,
docentes y docentes investigadores, la elaboración de los estándares
curriculares, que además, de orientar a los profesores en la determinación de
cuáles deben ser los conocimientos, procesos y contextos, que debían ofrecerse
a los estudiantes, promovieran cambios en los “métodos tradicionales”, en la
enseñanza de las matemáticas escolares.
1 PADILLA CH. Soraya. Desafíos Matemáticas 9. Bogotá. Editorial Norma. 2004. p. 4
18

De esta manera, de acuerdo con lo establecido en los documentos del Ministerio
de Educación, los estándares curriculares, son entonces, criterios claros y públicos
que determinan lo que los estudiantes deben saber y hacer en determinada área o
grado.
Para el área de las matemáticas, “los estándares se organizaron según los tipos de
pensamiento que se propusieron en los lineamientos curriculares, y que describen los
sistemas simbólicos propios de cada campo de las matemáticas” 2 ; pensamiento
numérico y sistemas numéricos, pensamiento espacial y sistemas geométricos,
pensamiento métrico y sistemas de medidas, pensamiento aleatorio y sistemas de
datos y pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos. Los procesos
asociados a los estándares son: planteamiento y resolución de problemas,
razonamiento matemático, comunicación matemática y conexiones.
El pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos a nivel de grado
Noveno, es contemplado en las unidades correspondientes a Ecuaciones
cuadráticas, Funciones, Función exponencial y Función logarítmica.
2 Ibid., p. 4, 23
19

Investigaciones como la llevada a cabo en el Shell Centre de la Universidad de
Notingham (Reino Unido) han puesto en evidencia las dificultades del concepto de
función y por ende el de función exponencial.
Entre los hallazgos más importantes, se encontró la dificultad que presentan los
alumnos para coordinar la información relativa a las dos variables y los dos ejes,
presentando dificultades a la hora de calcular incrementos de ordenada
correspondientes a incrementos de abscisa dada o viceversa. 3
1.1.2 Formulación del problema. Las observaciones de la autora, como
docente en el área de matemáticas en el Grado Noveno, y de Física,
Trigonometría y Cálculo en los Grados Décimo y Once, del Colegio Gustavo
Adolfo Bécquer, complementado con los resultados de una prueba diagnóstica,
aplicada a los estudiantes de estos grados, permitieron detectar el alto grado de
dificultad, que dichos estudiantes poseen en la comprensión y aplicación de la
función exponencial.
La observación de los resultados de dicha prueba, permitieron detectar también, la
existencia de dificultades en la comprensión y manejo de los conceptos previos y
3 SHELL CENTRE. El lenguaje de Funciones y Gráficas. Ministerio de Educación y Ciencia Congreso de
Matemáticas. Nottingham. 1990. Servicio Editorial Universidad del País Vasco. p. 11
20

necesarios al concepto de función exponencial. Siendo esto, aún más evidente,
en los resultados arrojados por una segunda prueba aplicada a los mismos
estudiantes.
Se considera que los ítems propuestos en dichas pruebas (ver anexo A y B),
debían ser contestadas correctamente, ya que su solución no requería de
procedimientos matemáticos especializados.
Para el grado noveno, los lineamientos curriculares proponen los pensamientos:
Numérico y sistemas numéricos contemplados en las unidades
correspondientes a Números Reales, Números Complejos y, Sucesiones y
progresiones.
El pensamiento espacial y sistemas geométricos, contemplados en los
contenidos dedicados a la geometría.
El pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos,
contemplado en las unidades correspondientes a Ecuaciones y Funciones
Cuadráticas, Función Exponencial y Función Logarítmica.
Los resultados arrojados por las pruebas saber, aplicadas en el país desde 1991 y
específicamente en el Colegio Gustavo Adolfo Bécquer, a los grados tercero,
21

quinto, séptimo y noveno, la dificultad que comúnmente encuentran los profesores
de Matemáticas de Grado Noveno, reflejada en las evaluaciones y demás
actividades que permiten “medir” los resultados alcanzados a lo largo del proceso
de enseñanza de los contenidos concernientes a la función exponencial y desde
luego las dificultades encontradas por los profesores de Física y Química en la
enseñanza y comprensión de contenidos que involucren Funciones Exponenciales
o Potencias, hacen necesario explorar diversas rutas metodológicas, de tal
manera que permitan lograr que el estudiante adquiera destreza en la
comprensión, dominio y aplicación de los conceptos concernientes la función
exponencial.
1.2 PREGUNTAS DE INVESTIGACION
Las dificultades ya enunciadas sobre la temática de función exponencial llevan a
plantear las siguientes preguntas de investigación
¿Reconocen los estudiantes los conceptos previos o necesarios en el
manejo y aplicabilidad de la función exponencial?
¿Identifican los estudiantes la dependencia del concepto de función
exponencial, de los conceptos previos?
22

¿Identifican los estudiantes las diversas representaciones de la función
exponencial?
¿Identifican los estudiantes las propiedades de la función exponencial?
1.3 JUSTIFICACION
Es innegable, la dificultad que siempre se ha presentado, en el aprendizaje de las
matemáticas, su conocimiento o aprendizaje, ha sido considerado generación tras
generación, posible únicamente, para aquellos individuos, cuyos coeficientes
intelectuales son superiores a los “normales”.
La enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, son temas reconocidos como
problemáticos. La mala preparación o los escasos conocimientos de la
matemática, se ha constituido en una de las preocupaciones de los gobiernos de
diversas partes del mundo, 4 ante la dificultad de preparar ciudadanos calificados
para la ciencia y la tecnología, que sean capaces de contribuir en el avance y
desarrollo de su país.
4 OTEIZA, Fidel. Una aplicación a la inteligencia artificial. Mediación del aprendizaje independiente,
Revista de tecnología educativa. Santiago de Chile. Vol. I. No 3. p.150
23

Esta “dificultad”, tanto en la enseñanza como en el aprendizaje de las Matemáticas
ha llevado, por ejemplo, al National Research Council a sostener con respecto a lo
que sucede en Estados Unidos que:
"Estamos en riesgo de tener una nación dividida económica y racialmente por el
conocimiento de las matemáticas (...) aparte de las consecuencias económicas,
sociales y políticas, la mala preparación matemática de la población, está
entregando evidentes señales de alarma para la sobrevivencia de la democracia" 5 .
En nuestro país, los resultados de las Pruebas Saber, aplicadas desde 1991, a
los grados tercero, quinto séptimo y noveno de educación básica, la prueba del
Icfes, y las pruebas de ingreso en las diversas Universidades, muestran que el
aprendizaje permanece invariablemente bajo, especialmente en lo que se refiere a
procesos mentales mas complejos, como los requeridos para el estudio de
temáticas como la de función exponencial.
Este escaso nivel de conocimiento sobre la matemática, repercute invariablemente
en la Educación Superior, en donde se observan tasas de fracaso del orden del
50% al 60% en los cursos de Matemáticas, de las diversas facultades en las
5 COMENIUS/ webedu2/ Teorías/Matemático. Html
24

Universidades, siendo este fracaso, a su vez, la principal causa de deserción,
convirtiéndose, entonces la Matemática en el “filtro”, que pone, un título
universitario, al alcance de unos cuantos “privilegiados”.
De otro lado y de acuerdo, con lo expresado en los documentos referentes a los
planes y programas oficiales de diversos países 6 (Chile, Guatemala, Colombia,
etc.), la enseñanza del área de Matemáticas, debe “propiciar” las condiciones
para desarrollar el espíritu investigador y creativo del individuo, lo que contrasta,
con los medios que el profesor tiene a su alcance para lograr este objetivo. Los
profesores carecen de medios didácticos, de textos y estrategias metodológicas
apropiadas, lo que reproduce las condiciones de la clase expositiva tradicional,
que de acuerdo con lo que dice Schiefelbeim (1993), “funcionó muy bien hasta
principios de los años 50 (…) Este modelo de enseñanza tiene éxito con grupos
homogéneos ( …) y profesores bien entrenados. (y bien pagados)” 7 .
La labor desempeñada, durante 18 años de la autora de este trabajo, como
docente en Educación Secundaria, ha permitido notar que invariablemente, los
estudiantes siguen prefiriendo o buscando angustiosamente una profesión que los
6 CONSEJERÍA DE EDUCACIÓN, CULTURA Y DEPORTES. Currículo Educación Secundaria.
Materias Específicas Ciencias de La Naturaleza. Guatemala. 1998a. p.16.
MINISTERIO DE EDUCACIÓN DE CHILE. Planes y Programas Oficiales. Chile. 1995. p.27.
MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Marco General Matemáticas. Colombia. Editorial
Colombia Nueva Ltda. l998. p.8.
7Tomado de Enseñanza Termodinámica, Un Enfoque Constructivísta, II Encuentro de Físicos en
la región Inka, UNSAAC. wpnoa@latinmail.com
25

aleje del aprendizaje de las matemáticas, y que continúan siendo objeto de la
“presión” que se ha ejercido a través de todos los tiempos, en cuanto a la
dificultad de su aprendizaje. Por otro lado, los profesores no cuentan con
herramientas, que faciliten su enseñanza, y son también presionados por el tiempo
y las exigencias de las instituciones, que a su vez pretenden cumplir con lo
establecido por el Ministerio de Educación Nacional.
Los resultados obtenidos mediante las pruebas aplicadas a los alumnos de
noveno grado, del Colegio Gustavo Adolfo Bécquer, por la realizadora de este
trabajo ponen en evidencia, las observaciones -descritas en el párrafo anterior y
realizadas a lo largo de su desempeño como docente-, sin embargo se destacan
como causas principales del desconocimiento de la función exponencial, y de la
Matemática en general, las siguientes:
1. La presentación que del tema hacen los textos de educación secundaria,
(única herramienta en la mayoría de las instituciones), de las editoriales,
ampliamente conocidas, tan solo se limitan a presentar una serie de
conceptos generales, sin hacer énfasis en la “continuidad, relación y
dependencia” que dichos conceptos poseen entre sí, recurriendo tan solo
a la capacidad memorística de los estudiantes, lo que muy poco contribuye
al desarrollo de un pensamiento lógico y deductivo, necesario para
26

comprender el tratamiento un poco mas complejo que los libros
especializados o de nivel superior demandan del estudiante. (Ver anexo
C).
2. La influencia negativa que generación tras generación, se ha ejercido sobre
los estudiantes, haciéndoles creer que la comprensión de la mayoría de las
temáticas de la Matemática –como la de Función Exponencial–, la
alcanzan sólo aquellos individuos que, además de poseer mentes geniales,
no tienen mayores obligaciones en su diario quehacer, pudiéndose dedicar
entonces, como “un buen pasatiempo”, a su estudio y comprensión.
A este respecto Joan Gómez en su libro De la Enseñanza al aprendizaje de las
Matemáticas dice:
“La Matemática se ha presentado, como algo inalcanzable, fruto de mentes
geniales o como “ejercicios mentales” que hacen unas personas desocupadas que
gustan de las matemáticas. Dándole, el carácter de tema totalmente terminado o
alejado de la comprensión del común de los seres humanos, lo que la convierte en
una ciencia cuyo conocimiento es inalcanzable, para los primeros o memorístico
para los segundos, tornándose entonces, su conocimiento en una “carga” tediosa,
imposible de soportar, por exigir respectivamente; mentes geniales por lo difícil y
27

compleja, o desocupadas, por no ser más que la “ciencia reina” de procesos
repetitivos e inútiles. Siendo finalmente, sea cual sea, la concepción que se tenga,
infructuoso acceder o procurar su conocimiento” 8 .
Emma Castelnovo, en la justificación de su libro Didáctica de la Matemática
Moderna 9 , destaca también las anteriores causas, como causas principales de la
deficiencia que presentan los estudiantes en el aprendizaje de la Matemática en
general.
8
GOMEZ, Joan. De la Enseñanza al Aprendizaje de las Matemáticas. Barcelona. 1990. Editorial
Síntesis. p. 18.
9 “a. La lección de matemática resulta en general aburrida, pesada y a menudo difícil. Ciertos
conceptos no son afirmados, aún cuando el profesor se afane en repetirlos y aclararlos con
numerosas explicaciones; de algunas propiedades no se entiende inmediatamente el sentido. Es
notable “la incomprensión por la matemática”, que ha inducido; incluso a grandes matemáticos a
escribir artículos y libros. También es peculiar el temor a la matemática, que los psicoanalistas
continúan buscando en el ser humano
b. Los jóvenes que actualmente salen de la escuela secundaria tienen la idea de que las
matemáticas consisten, por una parte en un puro mecanismo, y por la otra, que se trata de una
construcción perfecta y totalmente terminada, ignorando si se puede hacer o no algún
descubrimiento en esta disciplina.
Esta incomprensión de toda la esencia de este curso, es bastante seria sobre todo en lo que se
refiere a un concepto, una propiedad o una relación. Tal incomprensión era un hecho grave para
los jóvenes que dejaban la escuela hace algunas décadas, así, los que han llegado a destacados
profesionales u hombres de estado, se jactan ahora de no haber comprendido nada de las
matemáticas, hoy la cosa es más grave, los jóvenes que terminan la secundaria, advierten muy a
menudo las inmensas lagunas que ha dejado la enseñanza de la matemática y culpan a la escuela.
La culpan de haberlos lanzado a la vida sin haberlos dotado de la comprensión y aplicación del
lenguaje de las matemáticas que es, en nuestros días tan esencial como el lenguaje ordinario”
28

En síntesis, las observaciones realizadas por los docentes de Matemáticas, la
amplia literatura existente sobre su aprendizaje y enseñanza, y la necesidad actual
y urgente, de formar ciudadanos competentes en la ciencia y tecnología, ponen de
manifiesto, la urgente necesidad de que profesores e investigadores realicen
estudios o didácticas, de diferentes temas de la matemática, que como el
propuesto en este trabajo “una unidad didáctica para la enseñanza de la función
exponencial en el noveno grado”, tanto el estudiante como el profesor encuentren
una herramienta que facilite su aprendizaje o enseñanza.
Es también, fácilmente sustentable, tanto por la literatura existente como por la
experiencia, que un gran complemento de esta didáctica y de los estudios
sugeridos en otros temas de la matemática, es la concientización de profesores,
estudiantes, investigadores y en general del individuo del común, de quitarle a la
matemática el carácter de ciencia totalmente terminada y solamente comprensible
para aquellos, cuyo coeficiente intelectual es “superior al normal”.
1.4 OBJETIVOS
En la realización del presente trabajo se plantean los siguientes objetivos:
1.4.1 Objetivo general. Elaborar una unidad didáctica, para dar a conocer los
conceptos fundamentales de la función exponencial, que permita a los estudiantes
29

de noveno grado, aprenderlos y aplicarlos adecuadamente en la solución de
problemas prácticos.
1.4.2 Objetivos específicos. Proporcionar a los estudiantes de noveno a
undécimo grado, dada una situación real y/o concreta, la posibilidad de hallar una
herramienta que les permita:
Identificar la función exponencial.
Conocer las propiedades de la función exponencial.
Adquirir destreza en la aplicabilidad y análisis de la función exponencial.
1.5 FACTIBILIDAD DE LA INVESTIGACION
1.5.1 Recursos. Además de las diversas fuentes de consulta citadas y las
pruebas de diagnóstico (Anexo A) y verificación (Anexo B), los recursos utilizados
estuvieron constituidos por los estudiantes del grado Noveno, pertenecientes a los
cursos 901 y 902. En el campo profesoral, profesor Manuel Rincón, quien tuvo a
su cargo, durante el primer semestre del año escolar, el área de matemáticas, en
el curso 902, y Luz Aleyda Londoño, durante todo el año escolar, del curso 901 y
durante el segundo semestre del curso 902
30

1.5.2 Limitaciones. Las fuentes de consulta y recursos utilizados estuvieron al
alcance de lo requerido, sin embargo, el retiro del profesor Manuel Rincón, a partir
del segundo semestre del año escolar, -tiempo de la aplicación de la unidad
didáctica-, se constituyó en el único inconveniente en la realización de este
trabajo, ya que existía la posibilidad de no obtener la total colaboración del
profesor que llegara a reemplazarlo.
Ante esto, se decidió entonces, que la autora de este trabajo y profesora de
Matemáticas del curso 901, tuviera también a su cargo la enseñanza del área de
Matemáticas del curso 902.
31

2 MARCO CONTEXTUAL
2.1 RESEÑA HISTORICA DEL COLEGIO GUSTAVO ADOLFO BECQUER
Fue fundado por Antonio Acevedo y Rodrigo Mantilla, en 1989. Inicialmente
funcionaba como una guardería, que además ofrecía, enseñar a leer y escribir a
los niños de 6 o más años.
En 1990, sus instalaciones fueron compradas por el Señor Ricardo Silva y su
esposa Luz Marina Higuera, estableciéndose la Educación Básica Secundaria,
cuya resolución de aprobación 3106, se obtuvo el 13 de Agosto de 1996. Año en
el que debió ser complementada con la Educación Preescolar, Básica Primaria y
Media Vocacional con resolución de aprobación 777 del 13 de marzo del 2000.
2.2 UBICACIÓN Y DESCRIPCION DE LA POBLACION
El colegio Gustavo Adolfo Bécquer, funciona en la actualidad en el municipio de
Soacha, en Compartir .La mayoría de sus estudiantes, carecen de la figura
32

paterna, siendo en algunos casos, sustituida por el familiar más cercano abuelo,
tío, padrastro, etc.,
Sus madres, por lo general, son cabezas de hogar, desempeñándose en diversos
oficios de manera independiente o como obreras de fábricas o industrias, lo que
les dificulta estar al cuidado de sus hijos, en procura de inculcarles buenos valores
y costumbres.
El nivel socio económico, que los ubica en un estrato dos, influye en el nivel de
deserción escolar, que se presenta en las instituciones de educación privada.
33

3.1 INTRODUCCION
3 MARCO TEORICO
A finales de los años cincuenta y comienzo de la década de los sesenta, se
produce un cambio curricular importante en la enseñanza de las matemáticas
escolares, conocida como la nueva matemática o matemática moderna. La
inclusión, en los currículos de secundaria, del concepto de función real de variable
real es uno de los logros más importantes de esta corriente.
.
En el estudio del análisis se pueden plantear dos grandes apartados: la
aproximación a la idea de función y el estudio teórico de algunas funciones:
−constante, lineal, afín, cuadrática, exponencial y logarítmica− 10 .
El concepto de función es uno de los más involucrados en la cotidianidad del
individuo de ayer y de hoy, lo ha encontrado siempre mediante tablas de valores,
10
CALLEJO. Ma Luz. La enseñanza de las Matemáticas. Etapa 12-16 años. Madrid. Narcea S.A
de ediciones Madrid. p. 22
34

enunciados, gráficas o expresiones algebraicas; tarifas de energía según el
número de kw/h que se consuman, cardiogramas, leyes de la física, etc.
El lenguaje corriente, también, involucra constantemente los conceptos relativos al
estudio de las funciones, con expresiones como: “ligero descenso”, "ha alcanzado
el punto más alto”, “se mantiene constante”, etc.
Sin embargo, hasta hace pocos años se pensaba que el aprendizaje de los
conceptos relativos a las funciones, no estaba al alcance de “mentes jóvenes” por
“depender de la noción” de variabilidad, cambio, transformación, etc.
Ahora bien, tal idea se opone a lo expresado en los documentos referentes a los
planes y programas escolares de diversos países 11 (Chile, Guatemala, Colombia,
etc.), donde se establece, que la enseñanza o el aprendizaje de las matemáticas,
tiene como objetivo primordial, desarrollar el espíritu investigador y creativo del
individuo, capacitándolo en la emisión de juicios cuantitativos y cualitativos, de los
diversos fenómenos de la naturaleza, los cuales, evidentemente, no se sujetan
a esquemas fijos o rígidos
11 CONSEJERÍA DE EDUCACIÓN, CULTURA Y DEPORTES. Op. cit p.16.
MINISTERIO DE EDUCACIÓN DE CHILE. Op. cit., p.27.
MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL.Op cit., p.8.
35

El espíritu investigador y creativo del individuo, es el que en definitiva, determina el
avance de la ciencia y la tecnología, el que permite que el individuo se desarrolle
autónomo y seguro, conocedor del medio en el que se desarrolla y capaz de
contribuir a su avance y progreso.
Es entonces, el actual y continuo avance de la ciencia y la tecnología, otro factor
importante, en la consideración de la enseñanza de las matemáticas escolares,
pues es precisamente, la Matemática, la disciplina que está estrechamente ligada
a la técnica moderna
Pero la Matemática como tal, tiene sus raíces y se fundamenta en el concepto de
función.
“El concepto de función puede considerarse como el hilo conductor de las más
diversas teorías, y el factor de unificación de los mas lejanos capítulos: los
diversos nombres y aspectos que esto involucra: operación, correspondencia,
relación, transformación, reflejan las circunstancias históricas en las cuales se ha
presentado, independientemente, en los campos de las matemáticas, de la lógica,
de la física (…) el concepto de función. Primero y fundamental porque señala el
inicio de la matemática moderna “clásica”, que en ello ha encontrado las raíces y la
36

linfa para desarrollarse, y por siglos ha constituido un poderoso instrumento de
análisis y de síntesis” 12
Ahora bien, el carácter de “primero y fundamental” del concepto de función y por
ende, el concepto de función exponencial, no es suficiente para despojarlo de sus
investiduras de “complejo y confuso” aún para pensamientos, un poco más
desarrollados, según lo evidenciado por investigaciones, como la llevada a cabo
en el Shell Centre de la Universidad de Nottigham (Reino Unido) 13 .
3.2 APRENDIZAJE.
Toda situación de enseñanza-aprendizaje, involucra complejidad de los procesos
presentes. Schoenfeld (1987) postula una hipótesis básica:
“A pesar de la complejidad, las estructuras mentales de los alumnos pueden ser
comprendidas, tal comprensión ayudará a conocer mejor los modos en que el
pensamiento y el aprendizaje tienen lugar. El centro de interés es, por lo tanto,
12 CASTELNUOVO, Emma. Didáctica de la Matemática Moderna. México. Editorial Trillas, p.164.
13 SHELL CENTRE. Op. cit., p. 11.
37

explicar qué es lo que produce el pensamiento productivo e identificar las
capacidades que permiten resolver problemas significativos ” 14 .
Por otra parte, el aprendizaje significativo, es aquel que permite al individuo,
relacionar lo que ya se conoce, con los nuevos conocimientos que se le ofrecen,
de tal manera, que sea posible su aplicación en el medio en el que dicho individuo
se desenvuelve.
Ausubel (1993) plantea que el aprendizaje del alumno, depende de los
conocimientos que el individuo ya posee en un determinado campo del
conocimiento, es decir, de su estructura cognitiva. Debe entenderse por
“estructura cognitiva”, al conjunto de conceptos, ideas que un individuo posee en
un determinado campo del conocimiento, así como su organización.
En este proceso de orientación del aprendizaje, es de vital importancia conocer la
estructura cognitiva del alumno; no sólo se trata de saber la cantidad de
información que posee, sino cuales son los conceptos que maneja y el grado de
estabilidad de los mismos.
14 WWW.edumat / Ciencia-Cognitiva/Enseñanza-Matemática.index.html.
38

Los principios de aprendizaje propuestos por Ausubel, ofrecen el marco para el
diseño de herramientas que permiten conocer la organización de la estructura
cognitiva del educando, lo cual permitirá una mejor orientación de la labor
educativa, porque ésta ya no se verá como una labor que deba desarrollarse con
“mentes en blanco” o que el aprendizaje de los alumnos comience de “cero”, pues
los educandos tienen una serie de experiencias y conocimientos que pueden
afectar su aprendizaje en sentido positivo o pueden constituirse en un estorbo.
Ausubel resume este hecho en el epígrafe de su obra de la siguiente manera: “Si
tuviese que reducir toda la psicología educativa a un solo principio, enunciaría este: “El
factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya sabe.
Averígüese esto y enséñese consecuentemente” 15
En consonancia con lo anterior, es posible afirmar que "la cognición no comienza
con los conceptos, sino todo lo contrario, los conceptos son el resultado del
proceso cognitivo” 16 . La Matemática, más que ningún otro dominio científico, es
un ejemplo claro de esto, ya que permite obtener nuevas definiciones a partir de
las ya existentes. Por ejemplo; una vez establecido, que los números naturales se
generan a partir del proceso de contar, es fácil definir los números naturales pares
e impares, o una extensión del conjunto de los Naturales como es el conjunto de
los números enteros.
15
AUSUBEL, David. Teoría del aprendizaje significativo. Fascículos de CEIF Universidad de ío
Grande do Sul Sao Paulo. 1993
16 WWW. Revista/educación/guia.html.
39

El problema central de la cognición es la construcción de los conceptos por los
individuos. ¿Qué procesos mentales se activan con el trabajo académico y cómo
tales procesos dan forma a un concepto?
Por otra parte, Piaget en su teoría sobre la construcción del conocimiento por los
individuos, denominada epistemología genética (García, 1997), determina que el
centro de interés es la descripción del desarrollo de los esquemas cognitivos de
los individuos a lo largo del tiempo y de acuerdo con ciertas reglas generales.
Según el principio central de la teoría de Piaget sobre la construcción del
conocimiento, este se lleva a cabo mediante dos procesos dependientes uno del
otro: el de acomodación y el de asimilación.
Cuando el estudiante se enfrenta a un problema matemático; resuelve o intenta
resolverlo, utilizando los conocimientos que ya posee (asimilación), luego de lo
cual, y como resultado de la asimilación los “acomoda” en su esquema cognitivo
existente.
40

La asimilación y la acomodación, procesos en los que se basa el principio central
de la Teoría de Piaget: la equilibración, produce en el individuo una
reestructuración de su esquema cognitivo existente.
“Si los individuos construyen su propio conocimiento, la equilibración expresa el
proceso mediante el cual se produce tal construcción señalándose así el carácter
dinámico en la construcción del conocimiento por los individuos, como hipótesis de
partida para una teoría del análisis de los procesos cognitivos” 17
La organización de los procesos de enseñanza y aprendizaje relevantes en
determinada materia, es lo que Freudenthal (1991) define como Didáctica
Para Brousseau (Kieran, 1998), la didáctica es la ciencia que se interesa por la
producción y comunicación del conocimiento. Saber que es lo que se está
produciendo en una situación de enseñanza, es el objetivo de la didáctica.
17 GARCIA, Rolando. La Epistemología Genética y La Ciencia Contemporánea. Homenaje a Jean
Piaget. Barcelona. Editorial Gedisa. 1997. p. 41
41

3.3 DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS
Para Steiner (1985) la complejidad de los problemas planteados en la didáctica de
las matemáticas produce dos reacciones extremas. En la primera están los que
afirman que la didáctica de la matemática no puede llegar a ser un campo con
fundamentación científica y, por lo tanto, la enseñanza de la matemática es
esencialmente un arte. En la segunda postura encontramos aquellos que piensan
que es posible la existencia de la didáctica como ciencia y reducen la complejidad
de los problemas seleccionando sólo un aspecto parcial al que atribuyen un peso
especial dentro del conjunto, dando lugar a diferentes definiciones y visiones de la
misma. Steiner considera que la didáctica de la matemática debe tender hacia lo
que Piaget denominó transdisciplinariedad lo que situaría a las investigaciones e
innovaciones en didáctica dentro de las interacciones entre las múltiples
disciplinas, (Psicología, Pedagogía, Sociología entre otras sin olvidar a la propia
Matemática como disciplina científica) que permiten avanzar en el conocimiento de
los problemas planteados.
La didáctica como actividad general ha tenido un amplio desarrollo en las cuatro
últimas décadas de este siglo. Sin embargo, no ha acabado la lucha entre el
idealista, que se inclina por potenciar la comprensión mediante una visión amplia
de la matemática, y el práctico, que clama por el restablecimiento de las técnicas
42

ásicas en interés de la eficiencia y economía en el aprendizaje. Ambas posturas
se pueden observar en los grupos de investigadores, innovadores y profesores de
matemáticas de los diferentes niveles educativos.
Ninguna de estas posturas, sin embargo puede negar que la introducción y
aplicación de nuevos medios tecnológicos en matemáticas, determina que en la
actualidad, muchas temáticas de la matemática, como la de función exponencial,
deba ser enseñada con contenidos y procedimientos, que tengan en cuenta
que los estudiantes son distintos entre si por sus metas y ambiciones, por sus
experiencias e intereses.
De otro lado si se observan, los estudiantes de los primeros semestres de
Educación Superior, se puede notar, que cada vez mas, sus edades oscilan
alrededor de los 15 años, con tendencia a oscilar entre los trece y catorce años; es
decir, la edad de los estudiantes de Noveno Grado, es en su mayoría de trece
años. Por lo tanto; y recordando, las características psicoevolutivas de los
estudiantes, se puede concluir que determinados niveles de abstracción y formas
de razonamiento lógico, como los requeridos para la comprensión de conceptos
como el de función exponencial, quedan fuera del alcance, cada vez, de un mayor
número de estudiantes, lo que exige una secuencia cuidadosa de aquellos
aspectos más formales y abstractos, que respete los períodos en que
43

previsiblemente aparece la maduración de estas capacidades, así como los ritmos
individuales de progreso.
Las características psicoevolutivas de los estudiantes, la necesaria y cuidadosa
secuencia de contenidos en el aprendizaje de la matemática, los objetivos
generales del área, la aversión o temor, que generación tras generación se ha
experimentado por la matemática, las observaciones realizadas por los
estudiantes de Noveno a Undécimo grado, respecto a no tener a su alcance una
herramienta que les permita “complementar” el tratamiento que dentro del aula,
realizan los profesores sobre la función exponencial, quienes también consideran
necesaria la existencia de una herramienta que les ayude a impartir dicho tema,
que “complemente” o supla las necesidades que las diversas propuestas
didácticas existentes en el mercado presentan, sustentan la presente propuesta de
elaborar una unidad didáctica para la enseñanza de la función exponencial, a nivel
de noveno grado, que además considere la también, concepción constructivísta
del aprendizaje y permita, promover y potenciar el desarrollo de las distintas
capacidades: de razonamiento, deducción, reflexión, análisis y abstracción de los
estudiantes.
44

4.1 TIPO DE INVESTIGACIÓN
4 MARCO METODOLOGICO
“En esencia, un experimento consiste en someter un objeto en estudio a la
influencia de ciertas variables, en condiciones controladas y conocidas por el
investigador, para observar los resultados que la variable produce en el objeto” 18 .
La investigación, tuvo entonces, un diseño experimental, que estuvo encaminado
a comprobar la creación de las abstracciones que permiten la aprehensión de los
conceptos fundamentales de la función exponencial y su posterior aplicación.
Básicamente la experimentación consistió en someter el grupo de estudiantes de
noveno grado a unas técnicas de estudio que fueron las variables (independientes
o estímulos), en condiciones controladas y conocidas, para observar los
resultados que las variables producen en el dominio del tema por parte de los
alumnos.
Dentro de diversos enfoques y patrones, con los cuales se realizan los
experimentos en ciencias sociales, se ha seleccionó uno de los más comunes que
es: “antes y después con dos grupos”.
45

4.2 DISEÑO METODOLÓGICO
Se trabajó una metodología de tipo experimental en donde se tuvieron dos cursos
del grado 901 y 902 con 35 y 33 alumnos, respectivamente.
La primera etapa fué de diagnóstico, aplicada a los dos grupos y consistió en la
aplicación de una prueba diagnóstica (Anexo A) en la que se detectaron las
carencias respecto a la comprensión y manejo de los conceptos previos
necesarios, en la comprensión de los conceptos de la función exponencial.
Teniendo dos grupos homogéneos, en cuanto a edades, rendimiento académico,
intereses, estrato y grado que cursan, se aplicó la unidad didáctica para la
enseñanza de la función exponencial al curso 901, mientras que en el curso 902,
o grupo control, se utilizó para la enseñanza de dicha temática una metodología
tradicional, es decir: explicación del concepto de función exponencial, su utilidad,
propiedades, tabulación y representación en el plano cartesiano, seguida de la
realización de ejercicios en grupo e individual que involucren el reconocimiento,
representación y propiedades de la función exponencial. No se tiene un texto guía.
Aplicados los métodos en el grupo experimental y el grupo control, se diseñó y
aplicó en ambos grados y en forma simultánea una segunda prueba de
18 SABINO, Carlos A. El Proceso de Investigación. Bogotá. El Cid Editor. 1994. p. 104.
46

verificación (Anexo B), que involucró el concepto y aplicación de la función
exponencial.
4.3 TECNICAS A APLICAR EN EL AULA
4.3.1 Actividad Inicial. Se plantearon actividades sencillas y concretas, que
implicarán el surgimiento de interrogantes, que a su vez, generaron la necesidad
de buscar y hallar soluciones a problemas específicos y hacer generalizaciones.
4.3.2 Actividad de desarrollo. En grupos de trabajo, o de manera individual, en
algunos casos, los estudiantes, hallaron procedimientos que les permitieron
plantear una solución a gran parte, o a la totalidad, de los interrogantes
planteados, en cada una de las actividades iniciales. Luego de lo cual, los
estudiantes, con la asesoría del profesor, establecieron la veracidad de las
respuestas, fundamentando las correctas y corrigiendo las erradas.
4.3.3 Actividad de síntesis. Mediante la unificación y discusión de las
soluciones planteadas por los estudiantes, con la guía del profesor, se
establecieron cada uno de los conceptos y se realizaron las debidas
generalizaciones.
47

4.4 DISEÑO DE LA DIDACTICA
Una vez determinada la dificultad que los alumnos de los cursos 901 y 902,
presentaron en el dominio, comprensión y aplicación del concepto de función
exponencial, se aplicó una segunda prueba de verificación, (Anexo B) en la que se
determinó el nivel de comprensión de los conceptos necesarios y referentes al
concepto de función exponencial, pudiéndose determinar entonces, la necesidad
de incluir en esta propuesta didáctica, dos unidades.
La primera unidad, está dirigida a suplir las carencias, que se detectaron con la
aplicación de la prueba, sobre los conceptos previos y por lo tanto necesarios al
concepto de función exponencial. Dichos conceptos son presentados, mediante
un tratamiento igual, al propuesto para la función exponencial.
La segunda unidad contempla el desarrollo y tratamiento propuestos en la
enseñanza de la función exponencial.
Se presenta a continuación, la introducción, contenido, lista de Cuadros, lista de
figuras, y desarrollo de los ejes temáticos que conforman las dos unidades de la
didáctica.
48

5.1 TABLA DE CONTENIDO
5.2 LISTA DE FIGURAS
5.3 LISTA DE CUADROS
5.4 INTRODUCCION
5.5 UNIDAD I
5.5.1 POTENCIACION
5. UNIDAD DIDACTICA
5.5.1.1 PRESENTACION DE LA ACTIVIDAD
5.5.1.2 MATERIALES 65
49
pág
57
61
63
64
64
64

5.5.1.3 OBJETIVOS
5.5.1.4 INDICACIONES
5.5.1.5 PROPIEDADES DE LA POTENCIACION
5.5.1.5.1 Potencia Cero
5.5.1.5.2 Potencia n de uno
5.5.1.5.3 Producto de Potencias con Bases Iguales
5.5.1.5.4 Potencia de Potencias
5.5.1.5.5 Cociente de dos potencias con bases iguales
5.5.1.5.6 Potencia de un Producto
5.5.1.5.7 Potencia de un Cociente
5.5.1.5.8 Potencias con Exponentes Fraccionarios
5.5.2 PAR O PAREJA ORDENADA 89
50
65
65
86
86
86
86
86
87
87
87
88

5.5.2.1 PRESENTACION DE LA ACTIVIDAD
5.5.2.2 MATERIALES
5.5.2.3 OBJETIVO
5.5.2.4 INDICACIONES
5.5.2.5 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA PAREJA
ORDENADA (a , b)
5.5.2.5.1 Diagramas Sagitales.
5.5.2.5.2 Plano Cartesiano.
5.5.2.5.3 Tabla.
5.5.3 PRODUCTO CARTESIANO
5.5.3.1 PRESENTACION DE LA ACTIVIDAD
5.5.3.2 MATERIALES 99
51
89
90
90
91
95
95
96
96
99
99

5.5.3.3 OBJETIVOS
5.5.3.4 INDICACIONES
5.5.3.5 REPRESENTACION GRAFICA DEL CONJUNTO
OBTENIDO AL ESTABLECER PAREJAS ORDENADAS
ENTRE DOS CONJUNTOS DADOS
5.5.3.5.1 Diagramas sagitales
5.5.3.5.2 Tablas
5.5.3.5.3 Plano cartesiano.
5.5.4 RELACIONES
5.5.4.1 REPRESENTACION DE UNA RELACION
5.5.4.1.1 REPRESENTACION GRAFICA DE UNA RELACION
5.5.4.1.2 REPRESENTACION ALGEBRAICA DE UNA RELACION
5.5.4.2 CLASES DE RELACIONES 122
52
100
100
103
103
104
104
117
119
119
119

5.5.4.2.1 RELACION REFLEXIVA
5.5.4.2.2 RELACION SIMETRICA
5.5.4.2.3 RELACION TRANSITIVA
5.5.4.2.4 RELACION DE EQUIVALENCIA
5.5.4.2.5 RELACIONES FUNCIONALES O FUNCIONES
5.5.5 RELACIONES FUNCIONALES O FUNCIONES
5.5.5.1 PRESENTACION DE LA ACTIVIDAD
5.5.5.2 MATERIALES
5.5.5.3 OBJETIVOS
5.5.5.4 INDICACIONES
5.5.5.5 MATERIALES
5.5.5.6 INDICACIONES 132
53
122
123
123
123
124
125
125
125
125
126
131

5.5.5.7 VARIABLES INDEPENDIENTES
5.5.5.8 VARIABLES DEPENDIENTES
5.5.5.9 REPRESENTACION GRAFICA DE UNA RELACION
FUNCIONAL O FUNCION
5.5.5.10 CLASES DE FUNCIONES
5.5.5.10.1 FUNCIONES POLINÓMICAS
5.5.5.10.1.1 Función Constante.
5.5.5.10.1.2 Función Idéntica
5.5.510.1.3 Función Lineal
5.5.510.1.4 Funciones Potenciales
5.5.510.2 FUNCIONES ESPECIALES
5.5.5.10.2.1 Función Valor Absoluto 141
54
137
137
137
139
139
140
140
140
140
141

5.5.5.10.2.2 Función Racional
5.5.5.10.2.3 Funciones Segmentadas o por Tramos
5.5.5.10.2.4 Función Mayor Entero Contenido en x
5.5.5.10.3 FUNCIONES TRASCENDENTES
5.5.5.10.3.1 Funciones Trigonométricas
5.5.5.10.3.2 Función Logarítmica.
5.5.5.10.3.3 Función Exponencial.
5.6 UNIDAD II
5.6.1 FUNCION EXPONENCIAL
5.6.1.1 PRESENTACION DE LA ACTIVIDAD
5.6.1.2 MATERIALES
5.6.1.3 OBJETIVOS 114
55
141
141
142
142
142
142
142
143
143
143
144

5.6.1.4 INDICACIONES
5.6.1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES DE BASE e
5.6.2 PROPIEDADES, DOMINIO Y RECORRIDO DE LA
FUNCION EXPONENCIAL
5.6.2.1 PRESENTACION DE LA ACTIVIDAD
5.6.2.2 MATERIALES
5.6.2.3 OBJETIVOS
5.6.2.4 INDICACIONES
5.6.2.5 INDICACIONES
5.6.2.6 INDICACIONES
5.6.2.7 INDICACIONES
5.6.2.8 INDICACIONES 170
56
144
157
160
160
160
161
162
163
166
168

5.6.2.9 INDICACIONES
5.6.2.10 INDICACIONES
5.6.2.11 INDICACIONES
5.6.2.12 INDICACIONES
5.6.2.13 INDICACIONES
5.6.2.14 INDICACIONES
57
172
174
176
177
179
181

5.2 LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Primeras Seis Particiones de la Hoja de Papel 68
Figura 2. Ubicación del Punto de Encuentro de Carlos y Diego 93
Figura 3. Representación Sagital de la Pareja Ordenada (a , b) 95
Figura 4. Representación Cartesiana de la Pareja Ordenada (a , b) 96
Figura 5. Representación Tabular de la Pareja Ordenada (a , b) 96
Figura 6. Representación Gráfica de dos o más Parejas Ordenadas en un
Diagrama Sagital. 97
Figura 7. Representación Gráfica de dos o más Parejas Ordenadas en una Única
Tabla. 97
Figura 8. Representación Gráfica Sagital de Dos o más Parejas Ordenadas en un
Único Plano Cartesiano 98
Figura 9. Formación de los Conjuntos y Determinación de la Totalidad de las
Parejas Ordenadas Pedidas 107
Figura 10. Representación Sagital del Conjunto Obtenido al Formar Parejas
Ordenadas Entre Dos Conjuntos Dados 103
Figura 11. Representación Tabular del Conjunto Obtenido al Formar Parejas
Ordenadas entre dos conjuntos 104
Figura 12. Representación Cartesiana del Conjunto Obtenido al Formar Parejas
Ordenadas Entre Dos Conjuntos Dados 105
Figura 13 Formación y Obtención de las Parejas Ordenadas Dados los conjuntos
A y B 106
58
pág

Figura 14. Representación del Conjunto Obtenido al Formar las Parejas
Ordenadas, Requeridas Dados los Conjuntos A y B 107
Figura 15. Representación Tabular del Conjunto Obtenido al formar las Parejas
Ordenadas Requeridas Dados los Conjuntos A y B 107
Figura 16. Representación Cartesiana del Conjunto Obtenido al Formar las
Parejas Ordenadas Requeridas Dados A y B 108
Figura 17. Determinación de las Parejas Ordenadas Requeridas dados los
conjuntos B y A 109
Figura 18. Representación Sagital del Conjunto Obtenido al Formar las parejas
Ordenadas Requeridas Dados los Conjuntos B y A 110
Figura 19. Representación Tabular del Conjunto Obtenido al Formar las Parejas
Ordenadas Requeridas Dados los Conjuntos B y A 110
Figura 20. Representación Cartesiana del conjunto Obtenido al Formar las
Parejas Ordenadas Requeridas Dados los Conjuntos B y A 110
Figura 21. Determinación de las Parejas Ordenadas Requeridas, Dados los
Conjuntos R - y R + 111
Figura 22. Representación Sagital del Conjunto Obtenido al Formar las Parejas
Ordenadas Requeridas Dados los R - y los R + 112
Figura 23. Representación Cartesiana del Conjunto Obtenido al Formar las
Parejas Ordenadas Requeridas Dados los R - y los R + . 112
Figura 24. Representación Tabular del Conjunto Obtenido al Formar las Parejas
Ordenadas Requeridas Dados los R- y los R+ 112
Figura 25. Representación Tabular del Producto Cartesiano AXB 115
Figura 26. Representación Sagital del Producto Cartesiano AXB 115
Figura 27. Representación Cartesiana del Producto Cartesiano AXB 115
Figura 28. Representación Sagital del Producto Cartesiano AXB y de un
Subconjunto del Producto Cartesiano BXA 118
Figura 29. Representación Gráfica Sagital de la Relación R de A en B 120
Figura 30. Número de Habitantes en los Primeros Tres Cuartos de Hora 128
59

Figura 31. Representación Gráfica Sagital 129
Figura 32. Representación Gráfica Tabular 129
Figura 33. Representación Gráfica Cartesiana 130
Figura 34. Círculos 132
Figura 35. Representación Sagital 134
Figura 36. Representación Cartesiana 134
Figura 37. Número de Granos Correspondientes a las Seis Primeras Casillas 150
Figura 38. Representación Sagital 158
Figura 39. Representación Tabular 158
Figura 40. Representación Cartesiana 159
Figura 41.. Valores para la representación en el plano cartesiano 162
Figura 42. Representación Tabular de f(x) = 1* 163
Figura 43.

Figura 54. Representación Tabular de f(x) = 10 x 175
Figura 55. Representación en el Plano Cartesiano de f(x) = 10 x 175
Figura 56. Valores de las Funciones f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x 178
Figura 57. Representación en el Plano cartesiano de f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , 178
Figura 58. Valores de las Funciones f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x 176
Figura 59. Representación en el Plano cartesiano de f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x .
176
Figura 60. Valores de las f(x)=1 x , f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x f(x)=2 x ,
f(x)=e x , f(x)=10 x 178
Figura 61. Representación en el Plano Cartesiano de f(x)=1 x , f(x)=(½) x ,
f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x , f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x , 178
61

5.3 LISTA DE CUADROS
62
Pág.
Cuadro 1. Número de Trozos de Papel Obtenidos en Cada División 69
Cuadro 2 Capital obtenido en cada trimestre 81
Cuadro 3. Número de granos de Trigo correspondiente a cada casilla 151

5.4 INTRODUCCION
La matemática a nivel de la formación básica segundaria persigue desarrollar el
pensamiento critico, analítico y deductivo del individuo, además de servir como
instrumento en otros campos del conocimiento.
Muchos fenómenos de la ciencia y la tecnología son descritos o explicados a
través de funciones exponenciales. De ahí la importancia que la comprensión de
esta temática tiene para el estudiante, razón por la cual se desarrolló el presente
tratamiento de dicha función.
La primera unidad, esta compuesta por cinco capítulos, los cuales desarrollan las
temáticas o conceptos previos y necesarios en la comprensión y manejo de la
función exponencial, tales conceptos son: potenciación, pareja ordenada, producto
cartesiano, relaciones y relaciones funcionales, entre otros.
La segunda unidad, consta de dos capítulos, el primero de los cuales presenta el
concepto de la función exponencial como tal, presentando en el segundo capítulo
de esta unidad las propiedades de la función exponencial.
63

5.5 UNIDAD I
5.5.1 POTENCIACION
5.5.1.1 PRESENTACION DE LA ACTIVIDAD
La potenciación al igual que la adición y sustracción, es una operación.
“De unas tablillas encontradas a lo largo del Eufrates, se deduce que los
primeros que aplicaron la elevación a potencia fueron los sacerdotes
mesopotámicos, quienes resolvían la multiplicación, sin necesidad de
recurrir al ábaco, pues utilizaban la tabla de cuadrados, al basarse en el
principio que dice: «El producto de dos números es siempre igual al
cuadrado de su promedio, menos el cuadrado de su semidiferencia»” 19
Para obtener o recordar, de forma adecuada, el concepto de potenciación, se
realizará a continuación la siguiente actividad, cuyos materiales, objetivos,
instrucciones e interrogantes, a resolver, están descritos a continuación.
19 BALDOR, Aurelio. Aritmética teórico Práctica. 1971. Cultural Colombiana Ltda. 29a Edición. p. 152.
64

5.5.1.2 MATERIALES
Una hoja de papel
Tijeras
Lápiz y Papel
5.5.1.3 OBJETIVOS
☺ Adquirir claridad en los conceptos concernientes a la potenciación.
☺ Identificar las propiedades de la potenciación.
5.5.1.4 INDICACIONES
Anotar la cantidad de trozos de papel, obtenida en cada una de las
siguientes divisiones.
65

Tomar una hoja de papel, y dividirla en dos partes iguales.
Repetir nuevamente, la anterior operación con cada uno de los trozos
obtenidos.
Nuevamente, dividir cada uno de los trozos de papel, en dos partes iguales.
Repetir esta operación, tres veces más.
¿El número de trozos de papel, crece proporcionalmente, al número de
particiones?
¿Cuántos trozos de papel se obtendrían en una octava división?
¿Cuántos en la décima?
¿Se puede prever la cantidad de trocitos de papel que hay, después de
realizadas n particiones?
66

Suponga ahora, que no se toma una sola hoja de papel, sino dos, y que se
realiza la misma operación anterior
¿Cuál sería la cantidad de trozos de papel, obtenidos después de n
divisiones?
¿Qué pasaría si dicha operación se realiza, con N número de hojas y n
divisiones?
¿A que conjunto numérico pertenecen N y n?
Para responder los anteriores interrogantes, es necesario, como se dijo desde un
principio, ir anotando el número de trozos de papel obtenidos en cada una de las
particiones estableciendo una relación entre ellos.
Tomando entonces la hoja de papel, particionándola en dos partes iguales y
repitiendo la misma operación 4 veces más con cada uno de los trozos resultantes
se tendrá que:
67

Figura 1. Primeras Seis Particiones de la Hoja de Papel
Primera Partición Segunda Partición Tercera Partición
Cuarta Partición Quinta Partición Sexta Partición
Se puede observar, que a medida que se van dividiendo, cada uno de los trozos
de papel, estos se multiplican. Es decir, el número de trozos de papel no crece
proporcionalmente, al número de particiones.
Es de suponer, que si en una quinta división se han obtenido 32 trozos de papel;
para una octava o décima división la cantidad obtenida, será considerable; la cual,
se puede obtener de manera idéntica a la anterior. Sin embargo, este
procedimiento resulta largo y poco practico, luego lo indicado es tratar de hallar
68

una expresión matemática, que de “una u otra manera” simplifique el
procedimiento que arroja el total deseado.
Obsérvese entonces, el comportamiento de las cifras resultantes en cada una de
las divisiones o cortes realizados, a cada uno de los trozos de papel.
Cuadro 1 Número de Trozos de Papel Obtenidos en Cada División
No. DE CORTES
No. DE
TROZOS
DE PAPEL
(duplicando
el número
del corte
anterior)
No. DE
TROZOS DE
PAPEL
(Productos del
2 por sí mismo)
69
No. DE TROZOS DE PAPEL
(determinación del exponente)
0 1 = 1 = 0 veces 2 multiplicado por sí Mismo
1 2 = 2 = 1 vez 2 multiplicado por sí Mismo
2 4 = 2x2 = 2 veces 2 multiplicado por sí Mismo
3 8 = 2x2x2 = 3 veces 2 multiplicado por sí Mismo
4 16 = 2x2x2x2 = 4 veces 2 multiplicado por sí Mismo
5 32 = 2x2x2x2x2 = 5 veces 2 multiplicado por sí Mismo
6 64 = 2x2x2x2x2x2 = 6 veces 2 multiplicado por sí Mismo
n ? = 2x2x2x…x2 = n veces 2 multiplicado por sí Mismo
Luego para hallar el total de trocitos de papel, obtenidos en la 8ª división, basta
con obtener el resultado de multiplicar el número 2 por sí mismo, 8 veces.

De la misma manera, se concluye que para una 10ª partición, el total de trocitos
de papel viene dado por el resultado que arroje el número 2 multiplicado por sí
mismo 10 veces.
Si se supone, que n número de particiones, no se realizan con una sola hoja de
papel sino con dos, es fácil concluir, que para n particiones, basta con duplicar
la expresión hallada para una sola hoja, es decir;
⎛
⎞
2 ⎜ 2
⎟
⎜ 1x42 2 x ... 43 x 2
⎟
⎝ n veces ⎠
En el caso que se traten tres hojas, la expresión a calcular será:
⎛
⎞
3 ⎜ 2
⎟
⎜ 1x42 2 x ... 43 x 2
⎟
⎝ n veces ⎠
Es lógico, entonces deducir que para N número de hojas y n particiones, la
expresión anterior se reduce a:
⎛
⎞
N ⎜ 2
⎟
⎜ 1x42 2 x ... 43 x 2
⎟
⎝ n veces ⎠
70

donde N es el número de hojas, 2 es el número en que se cortan los trozos de
papel cada vez, y n el número de veces que se realiza el procedimiento de cortar
cada uno de los trozos de papel.
Ahora bien, si cada trozo de papel no se particiona en 2 partes, sino en tres
cuatro, cinco, etc., es decir; en K trozos, entonces se tendrá que la expresión
resultante será:
⎛
N ⎜
1KxK 42...
43 xK
⎝ n veces
Se ha obtenido entonces, una expresión que arroja los resultados de cortar N,
hojas de papel en k trozos, n veces. Donde N, n y k, pertenecen al conjunto de
números Naturales.
El cálculo de dicha expresión es relativamente sencillo, pues tan solo se trata de
calcular el producto de una constante mediante un producto especial, que
consiste en aquel cuyos factores son iguales, como por ejemplo: 2x2x2;
3x3x3x3x3; 10x10x10x10, etc., y que por ser especial, tienen una forma
abreviada de escribirlo mediante la expresión K n , en donde K es el factor que se
repite y n el número de veces que lo hace. Para el caso de los anteriores
productos se escriben como 2 3 , 3 4 ó 10 5 , respectivamente, que como se puede
observar, efectivamente es mucho más corto de escribir o indicar. Sin embargo, si
71
⎞
⎟
⎠

se quiere obtener el resultado, el procedimiento es tan largo como factores a
operar.
Dando entonces una “definición” de POTENCIA, se dirá que es el resultado que se
obtiene al efectuar la operación indicada, en la expresión
K n
Donde K se denomina base y n exponente, y donde de acuerdo con el ejemplo
de los trozos de papel, K y n pertenecen al conjunto de los números naturales. Es
decir:
⎛
⎞
n
K = ⎜
⎟
⎜ 1KxKxKxKx
4 42
4... 4xK
3 ⎟
⎝
n veces ⎠
En estas condiciones, se define entonces potenciación cómo la operación que
permite calcular la potencia o resultado de un producto especial en el cual los
factores son el mismo.
De acuerdo con esto último, se tiene que los productos o expresiones encontradas
que resolvían los interrogantes, en el ejemplo de las hojas de papel son
equivalentes a las siguientes expresiones: 2 8 , 2 10 , 2(2 n ), 3(2 n ) y finalmente N(K n ),
expresión que debidamente utilizada solucionaba la totalidad de los interrogantes
72

planteados, en el ejemplo de los trozos de papel y donde N, K y n pertenecen al
conjunto de los números naturales.
Sin embargo, la expresión hallada, solo es aplicable en aquellos casos en los
cuales las cantidades representativas aumentan bruscamente y duplicándose,
triplicándose, etc. Es necesario entonces, extender la aplicabilidad de la expresión
NK n , a casos en que sus cantidades representativas, determinen resultados
correctos y rápidos acerca de crecimientos o disminuciones continuas.
Para esto se analizará el siguiente ejemplo:
“En cualquier sistema económico el valor del dinero cambia con el tiempo”.
Esto es:
El valor que tiene hoy el dinero o valor presente (P), es distinto del valor que
tendrá transcurrido un periodo de tiempo o valor futuro (F), el cual como se sabe
puede ser menor o mayor al valor presente.
Supóngase ahora, que se hace una inversión de $2000 y al cabo de seis meses
se obtiene $2.200.
73

¿Cuál fue el cambio del valor del dinero?
¿Cuánto se obtiene en seis meses por cada $100?
¿Cuánto en un mes por cada $100?
Para establecer el cambio en el valor del dinero, basta con sustraer del valor futuro
(F) el valor presente (P), obteniéndose de esta manera, la ganancia o interés (I),
si el valor futuro es mayor que el valor presente (F > P), o la pérdida (R) si ocurre
lo contrario, es decir; el valor futuro es menor que el valor presente (F < P).
En el ejemplo que estamos tratando se tiene:
$2200 - $2000 = $200
Lo que indica que F – P = I (1)
ó que F = P + I (2)
Por lo tanto el cambio del valor del dinero, interés o ganancia ( I ), fue de $200, en
seis meses.
74

Ahora bien, por $2000 se reciben $200, al cabo de seis meses, luego basta con
efectuar una regla de tres, para determinar la ganancia obtenida en seis meses
por cada $100 invertidos.
$2000 → $200
$ 100 → א
Entonces: א = $100 X $200 .
$2000
Luego se tiene que א = $10
Entonces I = $10
Es decir; al cabo de seis meses por cada $100 invertidos se reciben $10, que es lo
que en la banca se denomina taza de interés (i)
i
i
i
=
=
=
10%
75
10
100
0.
10

Dividiendo los $10 de interés semestral, entre seis, se obtiene el interés o
ganancia adquirida en un mes.
Interés en un mes
Interés en un mes
=
=
76
$10
6
Luego la taza de interés (i) al cabo de un mes será:
i
=
10
6
100
$1.66666 ... 6
Lo que reemplazando (I = Interés, t = tiempo, P = capital presente o capital
invertido) indica que:
Efectuando el cociente indicado, se tiene que:
i
=
i =
I
t
P
I
Pt

Despejando I (interés), se tiene que:
I = iPt (3)
Reemplazando este valor de I, en la ecuación (2). (F = P + I)
Entonces se tiene que F = P +I
Luego F = P + iPt
Donde factorizando F = P(1 + it)
Este tipo de interés, es lo que se denomina Interés Simple, el cual, como se puede
observar, es una ganancia (o pérdida) que se percibe al final de periodos iguales
de tiempo sin que el valor presente (P) de un capital varíe.
Está también el Interés Compuesto, mediante el cual, al finalizar un periodo
determinado de tiempo, la ganancia o interés obtenido, pasa a formar parte del
capital para el siguiente periodo de tiempo. La inversión que se hace bajo este tipo
de interés, es denominado en la banca como capitalizable.
77

A manera de ejemplo, supóngase ahora que se han invertido $1000 al 28% anual
capitalizables trimestralmente:
¿Qué dinero se tendrá al cabo de un año?
Sabiendo entonces, que el número de trimestres en un año son cuatro, y que
capitalizable trimestralmente, indica que los intereses recibidos en cada trimestre,
es decir cada ¼ de año, pasan a formar parte del capital para los siguientes tres
meses o siguiente ¼ de año, se tiene que el capital futuro F1, calculado para el
primer periodo de tiempo es:
F1 = P1 (it + 1)
F1 = 1000 { (0.28 x ¼ ) + 1)
F1 = 1000 { (0.28/4) + 1}}
F1= 1000(0.07+1)
F1 = 1000 (1.07)
F1 = 1070
Luego el interés recibido en el primer trimestre es de $70 pesos, que por ser
capitalizable la inversión, pasan a formar parte del capital invertido para los tanto
el capital presente para el segundo periodo de tiempo es de $ 1070
78

F2 = P2 ( it + 1)
F2 = 1070 { (0.28 x ¼ ) + 1)
F2 = 1070 { (0.28/4) + 1}
F2= 1070 ( 0.07+1 )
F2 = 1070 ( 1.07 )
F2 = 1144,9
Para el tercer periodo, es decir, ¾ de año, el capital presente será de $1144,90;
por lo tanto a los nueve meses F3 está dado por:
F3 = P3( it + 1
F3 = 1144,90 { (0.28 x ¼ ) + 1 }
F3 = 1144,90 { (0.28/4) + 1
F3 = 1144,90 (1.07)
F3 = 1144,90 ( 0.07+1 }
F3 = 1144,90 (1.07)
F3 = 1225.043
79

Finalmente, para el cuarto periodo el capital invertido o P4 es de $1225,043, luego
al concluir el año, F4 será dado por:
Ahora bien:
F4 = P4 ( it + 1)
F4 = 1225,043 { (0.28 x ¼ ) + 1}
F4 = 1225.043 { (0.28/4) + 1}
F4= 1225.043 ( 0.07+1 )
F4 = 1225.043 (1.07)
F4 = 1310,796
¿Cuál será el capital obtenido al cabo de 10 años, sin olvidar que es
capitalizable trimestralmente?
Es de suponer, que el cálculo de dicho capital, se obtendrá realizando el mismo
procedimiento 40 veces más. Procedimiento que por ser bastante largo y poco
práctico, exige, que al igual que se hizo con el ejemplo de los granos de trigo, se
analice el comportamiento de las cifras resultantes, con el fin de hallar una
80

expresión matemática, que arroje el resultado deseado para cualquier numero de
años sin mayores complicaciones.
Observando entonces las cifras resultantes se tiene:
Cuadro 2. Capital Obtenido en Cada Trimestre
Capital
en cada
trimestre
Inversión capitalizable cada
trimestre
81
Inversión
capitalizable
en potencias
de 1.07
Capital
obtenido
F1 = 1000 (1.07) = 1000 (1.07) 1 = 1070
F2 = 1000 (1.07)(1.07) = 1000 (1.07) 2 = 1144,90
F3 = 1000 (1.07)(1.07)(1.07) = 1000 (1.07) 3 = 1225,043
F4 = 1000 (1.07)(1.07)(1.07)(1.07) = 1000 (1.07) 4 = 1310,796
• • • • • • •.
• • • • • • •
• • • • • • •
Fn = 1000(1.07)(1.07)(1.07)(1.07) ... (1.07) = 1000 (1.07) n = P(1+i/k) n
Por lo tanto, si se invierten $1000 al 28% anual capitalizables trimestralmente,
significa que al cabo de 10 años, se obtiene un capital dado por:
n
⎛ i ⎞
P ⎜1+
⎟ (4)
⎝ k ⎠
Donde k es el número de periodos capitalizables en un año, n el número total de
capitalizaciones, i la tasa de interés y P el capital inicial

Es decir:
Lo que es igual
a:
28 ⎛ 100 ⎞
1000 ⎜1
+ ⎟
⎝ 4 ⎠
1000
1000 (1.07) 40
Si la capitalización es mensual o diaria, el capital arrojado por $1000 al 28% anual,
al cabo de 10 años, estará dado respectivamente por las siguientes expresiones
1000
1000
28
100
Esto indica, que el monto acumulado por un capital P, a una taza de interés i,
capitalizables k número de periodos en un año; está dada por:
⎛
⎜
⎝
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ ⎛
⎢ ⎜
⎢ ⎜
⎣ ⎝
28
100
28
100
82
40
⎤40
1
⎥ ⎞ ⎥
x + 1⎥
⎥
4 ⎟
⎥
⎠ ⎥
4x10
1 ⎞ ⎤
⎟ + 1 ⎟ 4
x ⎥ ⎥
⎠ ⎦
12x10
⎡
⎤
⎢⎛
28 1 ⎞ ⎥
1000 ⎢⎜
x ⎟ + 1⎥
⎢ 100 12 ⎥
⎢⎝
⎠ ⎥
⎣
⎦
⎤ 365x10
1 ⎥ ⎞ ⎥
x + 1⎥
⎥
365 ⎟
⎥
⎠ ⎥
⎦
⎦

⎛ 1 ⎞
P⎜i + 1⎟
⎝ k ⎠
⎛
P⎜
⎝
⎞
+ 1⎟
⎠
Ahora bien, si la capitalización es en cada instante, es decir; continua, entonces el
número de periodos capitalizables k, aumenta de forma indefinida, por lo tanto, el
monto obtenido por un capital P, al cabo de t años, puesto a una tasa de interés i
y capitalizables en cada instante o continuamente, estará dada por:
Donde k o número de periodos capitalizables al año, crece en forma indefinida y la
longitud de cada periodo tiende a cero, en este caso se dice que el interés se
capitaliza continuamente, es decir en cada instante.
i
k
En cursos posteriores o mas avanzados, se podrá establecer que si se hace
x = i/k, entonces cuando k → ∞, se tiene que x → 0. Así, realizando los
correspondientes reemplazos, se establecerá que la expresión a calcular será:
83
kt
kt
kt
⎛ i ⎞
P ⎜ +
1⎟
⎝ k ⎠

it
⎡
1
x ( ) x ⎤
P
⎢
⎯lim
⎯⎯ →0
x + 1
⎣
⎥
⎦
y que el valor del límite puesto entre los corchetes, corresponde al número
irracional “e”, o número de Euler.
Por lo tanto, finalmente, la expresión que arroja el monto total de un capital P,
después de t años, a una tasa anual de interés i compuesta continuamente es:
Peit
En donde P, es una constante y debido a su forma se dice que es una expresión
de crecimiento si i es positiva o una expresión de decrecimiento si i es negativa. 20
Ahora bien, el propósito del ejemplo de la inversión capitalizable era el de extender
la aplicabilidad de la expresión NK n , a casos en que sus cantidades
representativas determinen resultados correctos y rápidos acerca de crecimiento o
disminución paulatinos.
Por lo tanto, si hacemos P = N, it = n se tendrá que:
20 HAEUUSSLER, Ernest F. PAUL, Richard S. Matemáticas Para Administración y Economía.
México DF. E. Grupo Editorial Iberoamérica, S.A de C.V. 1987. p.350
84

Se puede escribir como:
Peit
Nen
Como e, es una constante entonces se puede concluir que:
Se puede escribir como
Nen
NK n
Donde N. K y n pertenecen al conjunto de los números reales, razón por la cual,
las expresiones a evaluar, podrán ser, a manera de ejemplo, como las dadas a
continuación: 1000e 1/3 , 10(2) -3 , (5/2) 4/7 , etc.
Ahora bien, para evaluar dichas expresiones basta con efectuar el producto de
una constante por una potencia, sin embargo, la definición dada anteriormente de
potencia o potenciación, resulta de poca ayuda en la operabilidad y comprensión
de estas expresiones, ya que indicar, por ejemplo, que 10(2) -3 , es, 10
multiplicado por menos tres veces el producto, de dos por sí mismo, resulta
confuso y sin sentido, por lo tanto es necesario recordar, lo que significa una
85

potencia con exponente negativo, fraccionario o radical. Para eso se recordaran
las propiedades de la potenciación.
5.5.1.5 PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
5.5.1.5.1 Potencia Cero
Si a ∈ R – {0}, entonces a 0 = 1
5.5.1.5.2 Potencia n de uno
Si n ∈ R, entonces 1 n = 1
5.5.1.5.3 Producto de Potencias con Bases Iguales
Si a ∈ R, m, n ∈ Z y a m x a n ∈ R, entonces a m x a n = a m+n
5.5.1.5.4 Potencia de Potencias
Si a∈R, m, n ∈Z y (a m ) n ∈R se tiene que: (a m ) n = a mxn
86

5.5.1.5.5 Cociente de dos potencias con bases iguales
m
a
Si a ∈ R, m, n ∈ Z y ∈ R; entonces
n
a
1.
2.
3.
Potencias
a
a
a
a
m
n
m
n
a
a
m
n
=
a
1
= n - m
a
m - n
si m > n
con
1
= = a
k
a
= 1 si m = n
exponentes
5.5.1.5.6 Potencia de un Producto
- k
si m < n, y además se hace k = n - m
87
se
negativos
Si a, b∈R, m∈Z y (axb) m ∈R, entonces (axb) m = a m xb m
5.5.1.5.7 Potencia de un Cociente
⎛ a ⎞
a, b∈R,
m∈
Z
y ⎜ ⎟
⎝ b ⎠
m
tiene
que :
⎛ a ⎞ a
∈R,
con b ≠ 0, entonces ⎜ ⎟ =
⎝ b ⎠ b
Si m
m
m

5.5.1.5.8 Potencias con Exponentes Fraccionarios
Si x, m, n ∈
R, entonces :
1.
2.
m
x n
m
x n
=
=
n m
x
n m
x
=
=
( n x )
m
∈ R, si x ∈ R
+
( n m
x ) ∈ R, si x ∈ R
−
y, n es impar
88

5.5.2 PAR O PAREJA ORDENADA
5.5.2.1 PRESENTACION DE LA ACTIVIDAD
Algunos vocablos o expresiones, permiten identificar el oficio, profesión, o por lo
menos, el medio en el que se desenvuelve un individuo. Así; es común escuchar,
a aquellos, que se desempeñan en el campo de la salud, o afines, referirse a
caninos, en cambio de colmillos.
De igual manera, los integrantes de los diversos oficios y profesiones, llegan a
consensos, que son característicos, del campo profesional, en el que transcurra
su cotidianidad. Tal es el caso, de lo que ocurre en el campo de la salud, cuyos
profesionales, proporcionan información acerca del estado de la presión arterial,
mediante la utilización de una pareja de números, donde el primer número,
corresponde al valor de la tensión arterial alta y el segundo número, al valor de la
tensión arterial baja.
Ahora bien, agilizar la información, mediante la utilización de una pareja de
números que conservan un orden determinado, no es exclusividad del campo de
la salud; mucha de la información que diariamente escuchamos o transmitimos,
utiliza una pareja de datos, cuyo orden es previamente acordado.
89

Para comprender mejor el concepto de Pareja Ordenada, se considerará el
siguiente ejemplo, cuyos materiales, objetivo e indicaciones a seguir, serán
establecidos a continuación.
5.5.2.2 MATERIALES
50 A 60 fichas cuadradas de más o menos 2 cm. de lado y del
mismo color
Una tabla o cartón lo suficientemente grande, que permita
disponer fichas sobre él.
Dos fichas circulares de más o menos un cm. de diámetro de
diferente color
5.5.2.3 OBJETIVO
.
☺ Adquirir claridad en el concepto de par o pareja ordenada
90

5.5.2.4 INDICACIONES
Alguna de las empresas de taxis en Bogotá, con el propósito de agilizar la
comunicación con el conductor vía radio-teléfono, acordaron que la dirección a
la que debían acudir, se les informaría teniendo en cuenta lo siguiente:
Si el conductor debía acudir a una casa, edificio, etc.; cuya ubicación se
encontrara sobre la carrera, entonces, se omitiría la palabra carrera y número.
Por ejemplo; si el conductor era solicitado en la Cra. 30 No 17-20, la información
que recibiría sería 30 17-20.
Si por el contrario, el conductor debía acudir a un edificio o casa ubicada sobre la
calle, únicamente se omitiría la palabra número. Es decir; si por ejemplo, el
conductor era solicitado en la Calle 30 No 17-20, la información a recibir sería,
Calle 30 17-20.
Ahora bien, si el punto al que debía acudir, era una esquina, la información sería
transmitida, primero dando el número de la carrera y segundo el número de la
calle.
Así; si el servicio era solicitado en la esquina correspondiente a la Cra. 30 con
calle 8ª, la información a recibir, por parte del conductor sería: 30 8.
91

Si por el contrario el servicio solicitado era en la calle 30 con Cra. 8ª, la
información a transmitir sería 8 30.
Carlos, que conocía lo establecido por las empresas de taxis, citó a Diego, su
compañero de clase, en la 7ª con 3ª, a las dos de la tarde; para asistir juntos a la
final del campeonato intercolegiado de football, donde uno de los equipos
participantes pertenecía al colegio donde estudiaban.
El día fijado llega, ambos asisten al punto de encuentro con 15 minutos de
anticipación, Carlos espera hasta las 2:30 y Diego hasta las 2:20, sin embargo
nunca se encuentran, asistiendo entonces, por separado, al encuentro de
football.
¿Qué ocurrió?
¿Por qué, pese a que ambos llegaron 15 minutos antes de las dos, y
esperar el uno al otro por espacio de 45 y 35 minutos, nunca se
encontraron?
La respuesta a dichos interrogantes es bastante sencilla, y puede ser descrita a
través del siguiente diagrama, el cual se realizará utilizando las fichas cuadradas
92

las cuales representan las manzanas y los espacios entre ellas las calles y las
carreras
Figura 2. Ubicación del Punto de Encuentro de Carlos y Diego
El diagrama muestra claramente la posición de Carlos (7ª, 3ª) y Diego (3ª, 7ª), a
la hora del encuentro.
¿Cuál de los dos estaba en el lugar correcto: Carlos o Diego?
93

De acuerdo con lo establecido, por la empresas de taxis, resulta fácil concluir que
la posición de Carlos (7ª , 3ª), era la correcta.
Así el ejemplo anterior, muestra como la posición de Carlos o de Diego, la aportan
un par de números, que además tienen un orden, ya que el primero determina la
carrera, y el segundo la calle.
Ahora bien, si se tiene que a y b son un par de números cualquiera; y se dice que
Carlos se encuentra en la “a” con “b”, esto es equivalente a decir que Carlos se
encuentra en la carrera “a” con calle “b”, si por el contrario, se dice que Carlos se
encuentra en la “b” con “a”, esto indicará que Carlos se encuentra en la carrera “b”
con calle “a”, lo cual indica posiciones distintas.
De aquí se puede afirmar, que la posición “P” de Carlos, determina dos números
reales “a” y “b”, que suelen escribirse en la forma (a , b), indicándose con ello que
“a” es el primer elemento (primer real) y “b” el segundo elemento (segundo real), lo
que además indica que si “a” es diferente de “b” (a ≠ b), entonces la pareja o par
de números (a , b), es diferente de la pareja o par de números (b , a).
((a, b) ≠(b, a)). Esto significa que el orden en que se escriben “a” y “b”, es
fundamental, razón por la cual (a , b) se llama una pareja ordenada o dupla de
reales. 21
21
MUÑOZ, José. SANCHEZ, Darío. Precálculo.1992. Universidad Nacional de Colombia. 2ª
Edición. p.65
94

5.5.2.5 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA PAREJA ORDENADA (a,b)
El par o pareja ordenada (a , b), además de la representación anterior, se puede
representar mediante la utilización de diagramas sagitales, plano cartesiano o en
una tabla.
5.5.2.5.1 Diagramas Sagitales. Para representar una pareja ordenada mediante
un diagrama sagital, se ubica el primer elemento, dentro de un primer conjunto
que para el ejemplo aquí citado, el de Carlos y Diego, será el conjunto de las
carreras, el cual se llamará K, y el segundo elemento en un segundo conjunto, o
conjunto formado por las calles, el cual se llamará C, trazando a continuación una
flecha de a hacia b.
Figura 3. Representación Sagital de la Pareja Ordenada (a , b)
95

5.5.2.5.2 Plano Cartesiano. Para representar la pareja ordenada (a, b) en el
plano cartesiano, se ubica el primer elemento sobre el eje de las abscisas (X), y
el segundo sobre el eje de las ordenadas (Y), trazando a continuación la
proyección ortogonal, o recta perpendicular, a cada uno de los puntos indicados y
extendiéndolas hasta su intersección, punto, que representará el par ordenado
dado.
Figura 4. Representación Cartesiana de la Pareja Ordenada (a , b)
5.5.2.5.3 Tabla. Las tablas son también otra forma de representar un par
ordenado; consiste en dos columnas, donde se ubican los dos elementos, del par
ordenado, cuidando de ubicar el primer elemento en la primera columna o
abscisas, y el segundo elemento, en la segunda columna u ordenadas.
Figura 5. Representación Tabular de la Pareja Ordenada (a , b)
K A
C b
96

|Para comprender mejor la representación gráfica de una pareja ordenada, se
representaran en un mismo diagrama sagital, plano cartesiano y tabla las
siguientes parejas ordenadas: (1,3), (3,1), (0,4), (4,0).
Como se trata de representar las anteriores parejas en un único diagrama sagital,
plano cartesiano y tabla, entonces, para obtener un mayor formalismo, en las
representaciones pedidas, formaremos un conjunto A, cuyos elementos serán las
primeras componentes de las parejas, y un conjunto B, cuyos elementos serán, las
segundas componentes de las parejas dadas. Una vez hecho esto, las
representaciones pedidas son:
Figura 6. Representación Gráfica de dos o más Parejas Ordenadas en un
Diagrama Sagital.
Figura 7. Representación Gráfica de dos o más Parejas Ordenadas en una
Única Tabla.
A 0 1 3 4
B 4 3 1 0
97

Figura 8. Representación Gráfica Sagital de Dos o más Parejas Ordenadas en
un Único Plano Cartesiano
98
Con formato: Numeración y
viñetas
Con formato: Numeración y
viñetas

5.5.3 PRODUCTO CARTESIANO
5.5.3.1 PRESENTACION DE LA ACTIVIDAD
Muchas de las situaciones cotidianas, implican o requieren del concepto de
Producto Cartesiano, por ejemplo, la cantidad de parejas de amigos o de novios
que se pueden formar entre un conjunto de chicos y otro conjunto de chicas.
Para comprender mejor este concepto, se considerará detenidamente el anterior
ejemplo, cuyos materiales, objetivo e indicaciones a seguir, serán establecidos a
continuación.
5.5.3.2 MATERIALES
Tres chicos: Luis Andrés y Carlos.
Dos chicas: María y Ana
99
Con formato: Numeración y
viñetas
Con formato: Numeración y
viñetas

5.5.3.3 OBJETIVOS
☺ Adquirir claridad en el concepto de Producto Cartesiano
5.5.3.4 INDICACIONES
Formar un conjunto con los tres chicos
Formar un conjunto con las dos chicas.
Establecer, las parejas ordenadas, que se pueden obtener entre los dos
conjuntos anteriormente formados, tal que la primera componente de cada
una de las parejas ordenadas sea un chico y la segunda componente sea
una chica.
¿Cuántas parejas ordenadas se pueden establecer?
¿Luego de formadas las parejas ordenadas, que se puede observar o
concluir, con respecto al número de parejas ordenadas, que puede formar
cada uno de los elementos del conjunto de los chicos?
100

¿Se conoce alguna forma de representación ya sea gráfica, esquemática,
simbólica o de otro tipo para presentar el conjunto de parejas ordenadas
que se forman?
Formando y representando, entonces, los conjuntos solicitados y la totalidad de
las parejas ordenadas que se pueden formar entre estos dos conjuntos, teniendo
en cuenta que la primera componente de cada una de las parejas debe ser un
chico y la segunda una chica, se llamara C al conjunto de los chicos, y D al de las
chicas.
Figura 9. Formación de los Conjuntos y Determinación de la Totalidad de las
Parejas Ordenadas Pedidas
(Luis, María), (Luis Ana), (Andrés, Marí a), (Andrés, Ana), (Carlos, María), (Carlos, Ana).
Ahora bien, si se observa el anterior diagrama sagital (una de las diversas
representaciones matemáticas de una pareja ordenada), se puede determinar
que:
101

El conjunto de las primeras componentes esta compuesto, por el conjunto
de los chicos, es decir; por el conjunto C.
El conjunto de las segundas componentes está compuesto, por el conjunto
de las chicas, es decir; por el conjunto D.
El número total de parejas que se pueden formar es seis, es decir depende
del número de elementos que formen cada conjunto.
Cada uno de los chicos que forma parte del primer conjunto, forman tantas
parejas como elementos o chicas hayan en el segundo conjunto.
Cada una de las chicas, o segundas componentes pertenecen a tantas
parejas ordenadas como elementos haya en el primer conjunto.
Las dos últimas observaciones permiten concluir que: Dados dos conjuntos
cualquiera C y D, el número total de parejas que se pueden formar, donde
la primera componente, pertenece al conjunto C, y la segunda componente
pertenece al conjunto D, es igual al número de elementos del primer
conjunto C, por el número de elementos del segundo conjunto D.
Ahora bien, si se forma un nuevo conjunto con las parejas ordenadas halladas, es
posible entonces representar dicho conjunto mediante la utilización de un
102

diagrama sagital, del plano cartesiano o de una tabla; así como su determinación
por comprensión y extensión.
5.5.3.5 REPRESENTACION GRAFICA DEL CONJUNTO OBTENIDO AL
ESTABLECER PAREJAS ORDENADAS ENTRE DOS CONJUNTOS DADOS
Las representaciones gráficas y determinación, por extensión y comprensión del
conjunto de parejas ordenadas que se pueden formar, donde la primera
componente pertenece al conjunto de los chicos, y la segunda componente al
conjunto de las chicas será:
5.5.3.5.1 Diagramas sagitales. Utilizando diagramas sagitales, se procede de la
siguiente manera:
1º. Se realizan los dos diagramas sagitales
2º Se determina cual de los dos óvalos va a representar o a contener los
elementos del primer conjunto y cual los elementos del segundo conjunto.
3º Finalmente, se trazan flechas que partan de cada uno de los elementos del
primer conjunto, hacia cada uno de los elementos del segundo -conjunto.
103
Con formato: Numeración y
viñetas

Figura 10. Representación Sagital del Conjunto Obtenido al formar Parejas
Ordenadas Entre Dos Conjuntos Dados
5.5.3.5.2 Tablas. Las tablas, son también una forma de representar el conjunto
obtenido. Dichas tablas están compuestas por dos columnas. En la primera
columna, se ubican los elementos que conforman las primeras componentes
(abscisas) de las parejas ordenadas del producto cartesiano, y en la segunda
columna o fila se ubican los elementos que componen las segundas componentes
(ordenadas) de las parejas ordenadas.
Figura 11. Representación Tabular del Conjunto Obtenido al Formar Parejas
Ordenadas entre dos conjuntos
C Luis Luis Andrés Andrés Carlos Carlos
D María Ana María Ana María Ana
5.5.3.5.3 Plano cartesiano. Se ubican los elementos del primer conjunto, en el
eje de las abscisas (X), y los elementos del segundo conjunto, en el eje de las
ordenadas (Y), trazando a continuación las proyecciones ortogonales, o recta
104
Con formato: Numeración y
viñetas

perpendicular, a cada uno de los puntos ubicados, extendiéndolas hasta su
intersección, puntos, que representaran los pares ordenados que conforman el
nuevo conjunto.
Figura 12. Representación Cartesiana del Conjunto Obtenido al Formar
Parejas Ordenadas Entre Dos Conjuntos Dados
Se considerará ahora, otro ejemplo, de carácter más simbólico en el cual los
conjuntos son numéricos; para ello se tomaran los siguientes conjuntos:
A = {-1, -½, 0, ½, 1} B = {1, 2, 3}
Tomar ahora los conjuntos dados, y determinar, si es posible formar parejas
ordenadas de tal manera que:
105

1º La primera componente sea menor o igual que la segunda.
2º La primera componente pertenezca al conjunto A y la segunda
componente pertenezca al conjunto B.
3º Que además cumplan que, cada uno de los elementos del primer
conjunto A se encuentre relacionados con cada uno de los elementos
del segundo conjunto B.
Tomando entonces los conjuntos A y B, representándolos, y determinando si es
posible formar las parejas ordenadas, pedidas, se tendrá:
Figura 13. Formación y Obtención de las Parejas Ordenadas Dados los
conjuntos A y B
Luego de acuerdo a lo descrito en la figura 13, se puede determinar, que:
Es posible, formar parejas ordenadas cuya primera componente sea menor
o igual que la segunda, y que además se cumpla que cada uno de los
106

elementos del conjunto al que pertenecen las primeras componentes
(conjunto A), forme una pareja, con cada uno de los elementos del otro
conjunto (conjunto B)
El número total de parejas es igual a 15
Es posible formar un conjunto con las parejas ordenadas halladas, por lo
tanto también es posible realizar su representación mediante diagramas
sagitales, plano cartesiano y una tabla; así como su determinación por
comprensión y extensión.
Figura 14. Representación del Conjunto Obtenido al Formar las Parejas
Ordenadas, Requeridas Dados los Conjuntos A y B
Figura 15. Representación Tabular del Conjunto Obtenido al formar las
Parejas Ordenadas Requeridas Dados los Conjuntos A y B
A -1 -1 -1 -0.5 -0.5 -0.5 0 0 0 0.5 0.5 0.5 1 1 1
B 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
107

Figura 16. Representación Cartesiana del Conjunto Obtenido al Formar las
Parejas Ordenadas Requeridas Dados A y B
Tomar nuevamente, los conjunto dados, y determinar, ahora, si es posible
formar parejas ordenadas de tal manera que:
1º. La primera componente sea menor o igual que la segunda.
2º. La primera componente pertenezca al conjunto B y la segunda
componente pertenezca al conjunto A.
3º. Que además cumpla que, cada uno de los elementos del primer
conjunto A se encuentre relacionados con cada uno de los elementos
del segundo conjunto B.
108

Tomando entonces los conjuntos B y A, representándolos, y determinando si es
posible formar las parejas ordenadas, pedidas, se tendrá:
Figura 17. Determinación de las Parejas Ordenadas Requeridas dados los
conjuntos B y A
Lo descrito por la figura 17, muestra que:
Aunque es posible, formar parejas ordenadas, donde la primera
componente es menor o igual que la segunda, no se cumple que todos los
elementos del conjunto, al que pertenecen las primeras componentes
(conjunto B), formen una pareja con todos y cada uno de los elementos del
conjunto A, pues tan solo una pareja, cumple con las condiciones
requeridas.
Aunque solo se puede obtener una pareja, es posible formar un conjunto
con ella (conjunto unitario), por lo tanto también es posible realizar su
representación en diagramas sagitales, en el plano cartesiano o en una
109

tabla, así; como su determinación por extensión y comprensión, de la
siguiente manera:
Figura 18. Representación Sagital del Conjunto Obtenido al Formar las
parejas Ordenadas Requeridas Dados los Conjuntos B y A
Figura 19. Representación Tabular del Conjunto Obtenido al Formar las
Parejas Ordenadas Requeridas Dados los Conjuntos B y A
B 1
A 1
Figura 20. Representación Cartesiana del conjunto Obtenido al Formar las
Parejas Ordenadas Requeridas Dados los Conjuntos B y A
–3
–2
–1
A
2
1,5
1
0,5
–0,5
–1
–1,5
–2
110
(1,1)
1 2 3
B

Tomar ahora los conjuntos R - y R + (reales negativos y reales positivos),
determinar, ahora, si es posible formar parejas ordenadas de tal manera
que:
1º. La primera componente sea menor o igual que la segunda.
2º. La primera componente pertenezca al conjunto R - (reales negativos) y
la segunda componente pertenezca al conjunto R + (reales positivos).
3º. Que además cumpla que, cada uno de los elementos del primer
conjunto R - (reales negativos), se encuentre relacionados con cada uno
de los elementos del segundo conjunto R + (reales positivos).
Figura 21. Determinación de las Parejas Ordenadas Requeridas, Dados los
Conjuntos R - y R +
El diagrama muestra que:
111

Es posible formar las parejas ordenadas con las condiciones exigidas
El número de parejas ordenadas que se pueden formar es infinito, ya que
cada uno de los elementos del conjunto de los reales negativos, (que como
se sabe es infinito), es menor que cada uno de los elementos de los reales
positivos (que también es un conjunto infinito).
Es posible formar un conjunto con las parejas ordenadas halladas, por lo
tanto también es posible realizar su representación mediante diagramas
sagitales, plano cartesiano y una tabla; así como su determinación por
extensión y comprensión.+
Figura 22. Representación Sagital del Conjunto Obtenido al Formar las
Parejas Ordenadas Requeridas Dados los R - y los R +
Figura 23. Representación Tabular del Conjunto Obtenido al Formar las
Parejas Ordenadas Requeridas Dados los R- y los R+
R -
R +
-1 -1 -1 … -1 -2 -2 -2 … -2 -3 -3 -3 … -3 … R - R - R - ….
0 1 2 … R *
0 1 2 … R +
112
0 1 2 … R * … R *
1 2 ….

Figura 24. Representación Cartesiana del Conjunto Obtenido al Formar las
Parejas Ordenadas Requeridas Dados los R - y los R + .
Ahora bien si se observan las características comunes que tienen los ejemplos
representados en la figura 10, 13 y 21 se puede, entonces, definir el concepto de
PRODUCTO CARTESIANO, de la siguiente manera, para luego establecer dicho
concepto de manera formal, tal como lo exige la Matemática.
Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano A por B, notado
AxB, como: Un nuevo conjunto formado por todas las parejas ordenadas,
que se puedan formar donde, la primera componente es un elemento del
conjunto A y la segunda componente, es un elemento del conjunto B.
113

Por ser el Producto Cartesiano, un conjunto, entonces, el producto cartesiano
también se puede determinar por comprensión, de la siguiente manera:
De acuerdo con esta definición y con los ejemplos de las figuras 17 y 13, se tiene
que:
i) AXB ≠ BXA
ii) A puede ser igual a B. (A=B)
iii) La única condición, para formar las parejas ordenadas, que se puede
establecer, para que dichas parejas arrojen el producto cartesiano entre dos
conjuntos iguales, es aquella que implique la igualdad de las dos
componentes de cada pareja.
{ ( a,
b)
/ ∀ a ∈ A ∀ b B}
AXB = , ∈
iv) El Producto cartesiano es un conjunto, por lo tanto también es posible
realizar su representación mediante diagramas sagitales, plano cartesiano y
una tabla; así como su determinación por extensión y comprensión, de la
misma manera que se hizo anteriormente, pero utilizando la simbología que
la rigurosidad de la Matemática exige. De esta manera el producto
114

cartesiano AXB, del ejemplo 2, representado en la figura 13, se
representará y determinará de la siguiente manera.
Figura 25. Representación Tabular del Producto Cartesiano AXB
AXB
-1 -1 -1 -0.5 -0.5 -0.5 0 0 0 0.5 0.5 0.5 1 1 1
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
Figura 26. Representación Sagital del Producto Cartesiano AXB
Figura 27. Representación Cartesiana del Producto Cartesiano AXB
115

Determinación por Extensión
AXB = {(-1,1),(-1,2),(-1,2),( -½,1),( -½,2),( -½,3),(0,1),(0,2),(0,3),(½,1),(½,2),
(½,3),(1,1),(1,2),(1.3)}
Determinación por Comprensión
AXB= {(a,b)/ aєA, bєB, a ≤ b}
116

5.5.4 RELACIONES
Permanentemente se escuchan expresiones como: María es menor que Juan, la
cantidad de dinero de Juan es mayor que la de Tomás, a cada alumno le
corresponde un código, a cada figura geométrica le corresponde un área, etc.
Estas expresiones tienen en común que expresan una "condición" entre los dos
sujetos de cada expresión: ser menor que (), o una
"correspondencia"(A→B): le corresponde un código, le corresponde un área, etc.
Ahora bien, si se tiene en cuenta que este y otro tipo de "condiciones" o
"correspondencias" no se dan tan solo entre dos sujetos, sino también entre
conjuntos pequeños o muy grandes; fácilmente, se puede concluir, que lo que se
tiene, no es más, que "Condiciones" o "correspondencias", que establecen una
relación, entre dos conjuntos.
Retomando los ejemplos, dados en las figuras 13 y 17, se pudo establecer que la
condición "la primera componente, es menor o igual ( ≤ ), que la segunda",
arrojaba el producto cartesiano AXB, pero no el producto cartesiano BXA.
Ahora bien, es lógico concluir, que existen otras condiciones, o mejor aún, otras
relaciones, que además de depender del número y características, de los
elementos que forman los conjuntos, sobre los que dichas relaciones se
117

establecen, pueden arrojar, el producto cartesiano AXB (figura 10), o un
subconjunto del producto cartesiano BXA (figura 11), sin quitarle el carácter de
relación.
Figura 28. Representación Sagital del Producto Cartesiano AXB y de un
Subconjunto del Producto Cartesiano BXA
Lo anterior, permite concluir o definir que:
Dados dos conjuntos A y B se define una relación de A en B (notada R:
A→B), como un nuevo conjunto, cuyos elementos son las parejas ordenadas
del Producto Cartesiano AXB, o, por el conjunto de las parejas ordenadas
de todo subconjunto que se pueda obtener del producto cartesiano AXB.
Donde se denomina Dominio al conjunto A, Codominio al conjunto B y
Recorrido al conjunto formado por todas las segundas componentes de R, el cuál,
en algunos casos como el considerado en la figura 26, es igual al codominio
118

5.5.4.1 REPRESENTACION DE UNA RELACION
Una relación se puede representar gráfica y algebraicamente. La representación
gráfica de una relación admite que los elementos relacionados sean números u
objetos, como en el caso de las fichas.
La representación algebraica exige que los elementos relacionados sean números
o conjuntos numéricos.
5.5.4.1.1 REPRESENTACION GRAFICA DE UNA RELACION
En la sección anterior, se vio que el producto cartesiano, se representa mediante
diagramas sagitales, el plano cartesiano o una tabla. Una relación es un producto
cartesiano o un subconjunto de él, por lo tanto las relaciones también se
representan mediante diagramas sagitales, una tabla, o el plano cartesiano..
5.5.4.1.2 REPRESENTACION ALGEBRAICA DE UNA RELACION
Representar algebraicamente una relación, consiste en encontrar una expresión
algebraica, que describa o establezca la condición o correspondencia entre los
elementos de los dos conjuntos; por tal razón sólo la relaciones que involucran
conjuntos numéricos, permiten esta clase de representación, la que además es
119

necesaria en la determinación por comprensión del conjunto formado por la
relación establecida.
Como ejemplo de lo que aquí se afirma, se consideraran la existencia de dos
conjuntos A y B, y R una relación de A en B, de acuerdo como lo describe la
representación gráfica sagital, dada a continuación:
Figura 29. Representación Gráfica Sagital de la Relación R de A en B
¿Cuál es el conjunto de partida?
¿Cuál es el dominio de R?
¿Cuál es el conjunto de llegada?
¿Cuál es el codominio o recorrido de R?
¿Cuál sería la expresión algebraica que describa las características de R?
120

Observando entonces, la representación gráfica sagital, se puede determinar que:
El conjunto de partida está conformado por el conjunto de los números
Naturales.
El dominio de R está conformado por los números naturales mayores o
iguales que 2.
El conjunto de llegada son los Números Naturales mayores que 1.
El rango o recorrido es igual al conjunto de llegada.
En cuánto a la representación algebraica, se debe empezar por observar
que a cada elemento relacionado en el conjunto de partida, le corresponde
un elemento en el conjunto de llegada, igual al elemento del conjunto de
partida mas uno.
Es decir; la expresión buscada es:
R(x) = x +1, donde R(x) son los elementos del recorrido (1, 2, 3, 4, 5, ... ,), x
representa los elementos relacionados del conjunto de partida (dominio).
121

Expresión, que como ya se dijo, es indispensable para determinar por
comprensión dicha relación, de la siguiente manera:
5.5.4.2 CLASES DE RELACIONES
R: A→B = R(x) = { (x,y)/ xєA, yєB, Λ, y=x+1}
Dependiendo de los elementos que formen parte de cada un de los conjuntos
sobre los que se va a establecer una relación, ésta puede cumplir con algunas
características que la hacen especial, razón por la que se han ganado ser
reconocidas con nombre propio. Algunas relaciones entonces pueden ser
reflexivas, simétricas, transitivas, de equivalencia o funcionales.
5.5.4.2.1 RELACION REFLEXIVA
Dados dos conjuntos A y B, y R una relación de A en B decimos que R es
reflexiva, si para todo elemento x de A, se tiene que x está relacionado consigo
mismo, es decir que (x,x) pertenece a R.
122

5.5.4.2.2. RELACION SIMETRICA
Dados dos conjuntos A y B, y R una relación de A en B decimos que R es
simétrica si para cada (x,y) que pertenezca a la relación se tiene que (y,x) también
es un elemento de R.
5.5.4.2.3 .RELACION TRANSITIVA
Dados dos conjuntos A y B, y R una relación de A en B decimos que R es
transitiva, si cada que (x,y) є R y (y,z) є R, se tiene que (x,z) є R.
5.5.4.2.4 RELACION DE EQUIVALENCIA
Dados dos conjuntos A y B, y R una relación de A en B decimos que R es una
relación de equivalencia, si es reflexiva, simétrica y transitiva.
Nótese que, para que una relación R, reflexiva, simétrica o transitiva, además
de establecer una relación "conveniente" se debe cumplir que A = B o que
A ⊂ B.
123

5.5.4.2.5. RELACIONES FUNCIONALES O FUNCIONES
Las relaciones funcionales o funciones, son relaciones que por sus características
representan, explican y solucionan un sinnúmero de situaciones reales,
estudiadas por la Física, Química y Estadística, entre otras ciencias. Por esta
razón y teniendo en cuenta que el objetivo de esta didáctica, es tratar la función
exponencial, se dedicará, entonces, un capítulo al concepto y clase de funciones.
124

5.5.5 RELACIONES FUNCIONALES O FUNCIONES
5.5.5.1 PRESENTACION DE LA ACTIVIDAD
Muchas de las situaciones de las cuales se ocupa la Física, la Química o la
Estadística entre otras, requieren para su descripción y explicación del concepto
de Función. Las características de la velocidad de un móvil, por ejemplo, se
puede describir fácilmente, si obtenemos un gráfico de la distancia recorrida en
función del tiempo.
Para obtener, de forma adecuada, dicho concepto, se realizará a continuación la
siguiente actividad, cuyos materiales, objetivos, indicaciones e interrogantes, a
resolver, están descritos a continuación.
5.5.5.2 MATERIALES
Lápiz y papel
5.5.5.3 OBJETIVOS
☺ Adquirir claridad en el concepto de función.
125

☺ Identificar una relación funcional o función de una relación.
5.5.5.4 INDICACIONES
Lea cuidadosamente el texto dado a continuación.
¡Es sorprendente la rapidez con que un rumor se difunde entre el vecindario de
una ciudad! A veces, no han transcurrido aún dos horas desde que ha ocurrido un
suceso, visto por algunas personas, cuando la novedad ha recorrido ya toda la
ciudad, todos lo conocen, todos lo han oído. Esta rapidez parece sorprendente,
sencillamente maravillosa.
Sin embargo, si hacemos cálculos, se verá claro que no hay en ello milagro
alguno. Examinemos como ejemplo el siguiente caso:
A las ocho de la mañana, llegó a una ciudad de 50.000 habitantes un viajero, que
había sido enviado de la capital de la nación, trayendo una nueva de interés
general, la cuál debía ser conocida por la totalidad de los habitantes de la ciudad.
En la casa donde se hospedó el viajero, comunicó la noticia a tres huéspedes,
convengamos que esto transcurrió en un cuarto de hora.
126

Conocida la noticia, cada uno de estos tres vecinos, se apresuró a comunicarla a
tres más, en lo que emplearon también un cuarto de hora.
Cada uno de los nuevos conocedores la comunicó en el siguiente cuarto de hora a
otros tres ciudadanos, y así sucesivamente, de tal manera que a las 10:30 de la
mañana, los 50.000 habitantes, conocían la información, traída por el viajero.
El viajero, luego de comunicar la noticia a los tres primeros habitantes de la
ciudad, decidió descansar por unos minutos y emprender el viaje de regreso a la
capital, donde sus jefes, asombrados, se negaban a creer que tan solo dos horas
y media, bastaran para que la totalidad de los habitantes de la ciudad, conocieran
la noticia 22
Cómo es de suponer, el objetivo inicial al referir esta leyenda, no es precisamente,
pretender que se determine la hora en que la totalidad de los habitantes conozcan
la noticia, pero sí el de responder los siguientes interrogantes
¿El número de habitantes informados, crece proporcionalmente, al número
de cuartos de hora transcurridos?
22
PERELMANN, Y. El divertido juego de las matemáticas, Bogotá, Ediciones Nacionales Círculo
de Lectores,1968. p. 49
127

¿Qué magnitudes se están relacionando?
¿A que conjunto numérico pertenecen el número de cuartos de hora
transcurridos y el número de habitantes que conocen la noticia?
Para poder responder los anteriores interrogantes, es necesario, como se dijo
desde un principio, ir anotando el número de habitantes informados, en cada
cuarto de hora transcurrido
Anotando entonces, la cantidad de habitantes informados en los tres primeros
cuartos de hora, se obtendrá que:
Figura 30. Número de Habitantes en los Primeros Tres Cuartos de Hora
Primer
Cuarto de
Hora
Segundo
Cuarto de Hora
128
Tercer Cuarto de Hora
La información obtenida mediante las anotaciones anteriores es posible
presentarla de forma más sencilla, mediante la utilización de una tabla horizontal o
vertical. Dicha tabla es también una tercera forma de representar una relación.

Puede verse, entonces, que para cada cuarto de hora transcurrido, existe, un
único número de habitantes. Es decir existe una relación entre el número de
cuartos de hora transcurridos y el número de habitantes informados. Por lo tanto,
si se denomina o se llama A, al conjunto formado por el número de cuartos de
hora transcurridos y B al conjunto formado por el número de habitantes informados
en cada cuarto de hora, podemos deducir que el conjunto de partida, el conjunto
de llegada, ó dominio y codominio de esta relación son los números naturales, y
su rango o recorrido es un subconjunto de los números naturales
La representación gráfica en el plano cartesiano y diagrama sagital es:
Figura 32. Representación Gráfica Sagital
Figura 33. Representación Gráfica Tabular
x 0 1 2 3
F(x) 1 ,3 9 27
129

Figura 43. Representación Gráfica Cartesiana
130

En esta relación, se puede observar que:
Por ser el dominio y el codominio, el conjunto de números Naturales, es
decir un conjunto discreto, entonces la gráfica en el plano cartesiano está
formada por puntos.
Cada uno de los elementos del dominio se relacionan con un único
elemento del codominio.
El rango o recorrido, es un subconjunto de los Naturales.
El número de habitantes que conocerán la noticia, depende del número de
Tome ahora:
cuartos de hora, o tiempo transcurrido.
5.5.5.5 MATERIALES
Una hoja de papel
Compás
131

\\ Regla
5.5.5.6 INDICACIONES
Dibuje una circunferencia de 0.7 cm., 1.2 cm., 1.9 cm., 2.6 cm., y 3.3 cm.
de radio.
¿Que observa?
¿Cuál es el área de los círculos dibujados?
¿Qué magnitudes estamos relacionando relación se puede obtener?
¿A qué conjunto numérico pertenece el dominio, codominio y recorrido de la
relación?
Figura 35. Círculos
132

Observando los anteriores gráficos podemos deducir que:
A medida que el radio aumenta, también lo hace su área. Esto, además de
los gráficos también se puede determinar mediante la observación de las
cifras resultantes, al calcular el valor de sus áreas
El área de los círculos dibujados es 4.39 cm., 7.53 cm., 5.96 cm., 16.33
cm., 20.73 cm. y depende del valor del radio.
Las magnitudes que se están relacionando son el radio y el área
El dominio, codominio y recorrido, está formado por el conjunto de
números Reales positivos
Teniendo en cuenta entonces, que el dominio es el conjunto de los
números reales positivos y corresponde al radio de cualquier circunferencia,
y que el codominio también es el conjunto de los números Reales positivos
y corresponde al valor del área del círculo, entonces podemos realizar la
representación gráfica en el plano cartesiano y su diagrama sagital.
133

Figura 35. Representación Sagital
Figura 36. Representación Cartesiana
134

En esta relación podemos observar que:
Por ser el dominio y el codominio, el conjunto de números Reales es decir
un conjunto continuo, entonces la gráfica en el plano cartesiano está
formado por una línea continua.
Cada uno de los elementos del dominio se relacionan con un único
elemento del codominio.
El rango o recorrido, es el conjunto de los números Reales positivos.
El área de una circunferencia depende del valor de su radio.
Ahora bien, vemos que estas relaciones cumplen con las siguientes condiciones:
i. Cada elemento del conjunto de partida o dominio, está relacionado con
algún elemento del conjunto de llegada.
ii. Cada elemento del conjunto de partida está relacionado con uno y solo un
elemento del conjunto de llegada.
Las relaciones que cumplen con estas condiciones se denominan funciones o
relaciones funcionales. Para su notación, generalmente se utiliza la letra f
135

minúscula, siendo también muy utilizadas las demás letras minúsculas del
alfabeto, con excepción de las cinco primeras.
Dando entonces, una definición formal, tal como lo exige la matemática, se
establece entonces que:
“ Una relación p(x , y) de A en B se llama función de A en B, si todo elemento de
A está relacionado con un único elemento de B “ . 23
Una relación funcional o función, también se puede definir como un conjunto
finito, infinito, discreto o continuo de parejas ordenadas, donde la primera
componente de cada pareja ordenada es única e irrepetible.
Continuamente se escuchan expresiones como: Teresa vive en función de sus
hijos, José vive en función de su trabajo o expresiones que para nosotros
presentan el mismo significado de las anteriores: Las decisiones de Teresa
dependen de las necesidades de sus hijos, la vida de José depende de su
trabajo. Se puede ver entonces, que si la cantidad de trozos de papel depende del
número de cortes y el área de una circunferencia depende del valor de su radio, lo
que equivale a decir que, el área de una circunferencia es función del radio, o que
el número total de trozos de papel es función del número de cortes realizados.
23
MUÑOZ, José M. HERNANDEZ, Darío. Precálculo. Universidad Nacional de Colombia. 2ª
Edición. P. 57
136

Los términos función y dependencia, serían entonces equivalentes, pero este
último da una mejor idea de por qué, cuando se habla de funciones, se habla
también de variables dependientes o independientes.
5.5.5.7 VARIABLES INDEPENDIENTES
Se dice que la variable independiente, –en el ámbito de las relaciones
funcionales–, son aquellas para las cuales sus valores subsisten en un conjunto
bien definido (dominio), y que para cada valor de estas, se obtiene un único valor
en otro conjunto inducido por tales valores (codominio)
5.5.5.8 VARIABLES DEPENDIENTES
Se dice del objeto –en el ámbito de las relaciones funcionales–, que recibe sus
valores por efecto de la aplicación de la función sobre los valores de la
denominada variable
No sobra aclarar, que el término variable se introduce precisamente por poseer
esta característica, es variable o cambiante.
137

5.5.5.9 REPRESENTACION GRAFICA DE UNA RELACION FUNCIONAL O
FUNCION
Por ser las funciones, relaciones especiales estas se representan, también y de la
misma forma mediante, la utilización de diagramas sagitales, tabla o el plano
cartesiano.
Al igual que las relaciones, si los conjuntos relacionados son numéricos, es
posible, -casi siempre- encontrar su representación algebraica, esto depende de
las características de la función.
La representación gráfica de una relación, es bastante útil en la determinación de
si es o no una función, pues para su identificación, basta con observar que de
todo elemento del dominio, parta una única flecha, para el caso, en que la
representación gráfica se haga mediante diagramas sagitales.
Si la representación gráfica se realiza, utilizando el plano cartesiano, basta con
trazar una recta paralela al eje y, y verificar que esta no corte la gráfica en más
de un punto.
Para el caso de conjuntos numéricos, se deben establecer muy bien, los conjuntos
relacionados, de tal manera, que nos permita hacer un gráfico completo que nos
ayude a determinar la posibilidad de que dicha relación sea función o no.
138

De todo lo anterior se puede concluir que: "Toda función es una relación, pero
no toda relación es una función".
5.5.5.10 CLASES DE FUNCIONES
Conceptos del cálculo como el de límite, derivadas o integrales, se estudian sobre
funciones reales, razón por la cuál estas se han clasificado en Polinómicas,
trascendentes y especiales.
5.5.5.10.1 FUNCIONES POLINÓMICAS
Una función polinómica P es la definida para todo real x por una ecuación de la
forma
P(x) = c + c1x + c2x 2 + ... + ci x n con ci ≠0, i = 0,1,2,3, …
Los números c,c1,c2,…,cn son los coeficientes del polinomio, y el entero no
negativo n es su grado. Quedan incluidas en este tipo de funciones, las funciones
constantes y las potenciales. Los polinomios de grado 2, 3 y 4 se denominan
polinomios cuadráticos, cúbicos y cuárticos respectivamente.
Las funciones polinómicas, se clasifican a su vez en:
139

5.5.5.10.1.1 Función Constante.
Son funciones de la forma f(x) = K, donde k es una constante y cuya
gráfica, es una recta horizontal, que corta el eje y en un único punto y no corta el
eje x.
5.5.5.10.1.2 Función Idéntica.
Son funciones de la forma f(x) = x. su gráfica, es una recta en diagonal que corta
el eje X y el eje Y, en el origen del sistema.
5.5.5.10.1.3 Función Lineal
Son funciones de la forma f(x) = ax + b. Su gráfica son rectas sobre el plano
incluyendo las anteriormente descritas.
5.5.5.10.1.4 Funciones Potenciales.
Son funciones de la forma f(x) = X n , con n ≥ 2. Para n = 2, la gráfica es una
parábola. Para n = 3 la gráfica es una cúbica.
140

De acuerdo a lo anterior se puede observar, que en general la función la función
identidad y la función constante son casos particulares de las funciones lineales
Para n = 2, la gráfica es una parábola. Para n = 3, la gráfica es una cúbica.
5.5.5.10.2 FUNCIONES ESPECIALES
Las funciones especiales se clasifican en:
5.5.5.10.2.1 Función Valor Absoluto
Son funciones de la forma f(x) = │X│, su gráfica se encuentra en el I y II
cuadrante del plano cartesiano.
5.5.5.10.2.2 Función Racional
Las funciones racionales son aquellas expresadas mediante el cociente de dos
funciones Polinómicas.
5.5.5.10.2.3 Funciones Segmentadas o por Tramos
Las funciones segmentadas o por tramos son funciones definidas por la unión de
dos o más funciones. Su gráfica consiste en un número finito de “piezas o tramos”,
141

a diferencia de las demás cuyas gráficas son líneas rectas o curvas suaves y sin
interrupciones.
5.5.5.10.2.4 Función Mayor Entero Contenido en X.
Son funciones de la forma f(x) = [x] = n, donde n ≤ X < n+ 1 y n ЄZ.
5.5.5.10.3 FUNCIONES TRASCENDENTES
Las funciones trascendentes se clasifican en
5.5.510.3.1 Funciones Trigonométricas.
Relacionan los ángulos y los lados de un triángulo.
5.5.5.10.3.2 Función Logarítmica
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.
5.5.5.10.3.3 Función Exponencial.
Esta última clase de función, es finalmente, el objeto de esta didáctica, razón por
la cual, se dedicaran las páginas restantes a la FUNCION EXPONENCIAL.
142

5.6 UNIDAD II
5.6.1 FUNCION EXPONENCIAL
5.6.1.1 PRESENTACION DE LA ACTIVIDAD
La desintegración radiactiva de una sustancia; el crecimiento de un capital al cual
se le va acumulando el interés que produce de manera continua (interés
compuesto); el número de bacterias en un cultivo que duplica su número cada
hora; la cantidad de calor que pierde un cuerpo que se enfría por irradiación a
medida que transcurre el tiempo; son algunos de los fenómenos físicos,
económicos o biológicos, entre otros, que se pueden describir a través de una
función exponencial.
Para obtener mayor claridad, sobre las características y comportamiento de la
función exponencial, se realizará la siguiente actividad; para la cual se deben
obtener los materiales descritos a continuación, seguir las indicaciones y
responder los interrogantes dados.
143

5.6.1.2 MATERIALES
l l
l l
I
5-6-1-3 OBJETIVOS
Una hoja de papel
Granos de Trigo
Marcador Negro
☺ Propiciar condiciones, para que los estudiantes adquieran el concepto de
función exponencial.
5.6.1.4. INDICACIONES
Tomar la hoja de papel y formar un de 32 cm. de lado.
144

Dentro de dicho cuadrado formar un tablero de ajedrez, es decir, dividir el
cuadrado anterior en cuadrados de 4 cm. de lado, obteniendo un total de 64
cuadrados.
Tomar el color o marcador negro y colorear cuadrado de por medio hasta
completar el tablero de ajedrez
El ajedrez es un juego antiquísimo. Cuenta con muchos siglos de existencia, por
eso no es de extrañar que estén ligadas a él leyendas cuya veracidad es difícil
comprobar debido a su antigüedad. Para comprenderlas no hace falta saber jugar
al ajedrez, basta simplemente saber que el tablero donde se juega está dividido en
64 casillas negras y blancas, dispuestas alternativamente. Lea a continuación una
de estas leyendas. El juego del ajedrez fue inventado en la India. Difícil será
descubrir, dada la vaguedad de los documentos antiguos, la época exacta en que
vivió y reinó en la India un rey llamado Iadava, dueño de la provincia de Taligana,
mencionado por varios historiadores hindúes, como el de uno de los monarcas
más generosos y ricos de su tiempo, poseedor de una singular aptitud militar, que
le permitió elaborar un plan de batalla, y resultar victorioso al repeler al frente de
un pequeño ejercito, un insólito y brutal ataque del aventurero Varangul. Pero en el
que perdió la vida su hijo, el príncipe Adjamir.
145

Encerrado en sus habitaciones, invadido por la tristeza que le causaba la pérdida
de su hijo en los campos de batalla, el rey, pasaba día tras día, trazando sobre
una gran caja de arena, las diversas maniobras realizadas por las tropas durante
el asalto. Una vez completo el cuadro de los combatientes, con todos los detalles
que pudiera evocar, borraba el rey todo, y comenzaba otra vez, empecinado en
encontrar el error o los errores, que le costaron la vida a su hijo.
Un día, finalmente, fue conducido ante el rey, un joven -pobre y modesto- quien
dijo venir de tierras lejanas, y traer como regalo, un juego que había inventado,
con el único fin de que pudiera distraerlo y abrir en su corazón las puertas a
nuevas alegrías.
Lo que Sessa traía al rey Iadava consistía en un gran tablero cuadrado, dividido
en 64 cuadritos iguales. Sobre ese tablero se colocaban dos colecciones de
piezas, que se distinguían unas de otras por el color, blancas y negras.
En pocas horas el monarca aprendió las reglas del juego, consiguiendo derrotar a
sus visires en partidas que se desenvolvían impecablemente sobre el tablero. En
determinado momento el rey notó con gran sorpresa, que la posición de las
piezas, reproducía exactamente la batalla de Dacsina, Sessa entonces le hizo
notar, que para conseguir la victoria era necesario el sacrificio de la pieza que con
su posición, reproducía la posición del príncipe Adjamir.
146

El rey quiso demostrar su agradecimiento, exigiendo a Sessa pedir una
recompensa digna de su regalo. Sessa dijo entonces: Dadme un grano de trigo
por la primera casilla, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta,
16 por la quinta, y así duplicando sucesivamente hasta la sexagésima cuarta y
última casilla del tablero.
¡Insensato! -exclamó con enfado, el rey-, La recompensa que me pides es ridícula,
pero no insistiré más, y ya que mi palabra fue empeñada, ordenaré a los
matemáticos de la corte, calculen la porción de trigo, para que el pago se haga
inmediatamente, conforme a tu deseo.
Rey magnánimo, -declaró, poco después, el más sabio de los geómetras-, no
depende de tu voluntad el cumplir semejante deseo. La magnitud del número de
granos de trigo, es inconcebible para la imaginación humana. Si deseas entregar
sin falta la recompensa prometida, ordena que todos los reinos de la tierra se
conviertan en labrantíos, manda desecar los mares y océanos, ordena fundir el
hielo y la nieve que cubren los lejanos desiertos del norte. Que todo el espacio sea
totalmente sembrado de trigo, y ordena que toda la cosecha, obtenida en estos
campos sea entregada a Sessa.
Dime cuál es esa cifra tan monstruosa -dijo reflexionando, y asombrado el rey -
147

-¡Oh soberano! 18.446.744073.709.551.615. (Dieciocho trillones, cuatrocientos
cuarenta y seis mil, setecientos cuarenta y cuatro billones, setenta y tres mil
setecientos nueve millones, quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince 24 .
Esta es la leyenda, no se puede asegurar, que en realidad haya sucedido, lo que
se ha contado; sin embargo la recompensa de que habla la leyenda se expresa
por ese número.
Esto puede comprobarse, sumando las cifras 1+2+4+8+16+ . . . +, etc.
correspondiente a cada una de las casillas, pudiendo verificarse también, que el
volumen aproximado que ocuparía la recompensa, sería de 12000km³. Si el
granero tuviera 4m de alto por 10 m de ancho, su longitud habría de ser de
300’000.000 km., es decir; el doble de la distancia que separa a la tierra del sol.
Cómo es de suponer, el objetivo inicial al referir esta leyenda, no es precisamente,
pretender que se calcule el número total de granos de trigo, pero sí el número de
granos correspondiente a una determinada casilla. Para lo cual se deben seguir
las indicaciones y responder los interrogantes dados a continuación:
Tómese el tablero de ajedrez.
24
PERELMANN, Y. El divertido juego de las matemáticas, Bogotá, Ediciones Nacionales Círculo de
Lectores, 1968.p.54-58.
148

Anótese en una tabla, la cantidad de granos de trigo, correspondientes a la
primera, segunda, tercera, cuarta, quinta y sexta casillas.
¿Es posible identificar algún tipo de regularidad en el anterior ejercicio?
¿Cuántos granos de trigo, recibiría Sessa por la 10ª casilla?
¿Cuántos granos de trigo, recibiría Sessa por la 20ª casilla?
¿A que conjunto numérico pertenece el número de granos de trigo
correspondiente a cada casilla, y el número de la casilla correspondiente?
Para poder responder los anteriores interrogantes, es necesario, ir determinando y
anotando, el número de granos de trigo correspondiente a cada casilla,
estableciendo después, una relación entre estas cantidades.
Tomando entonces, el tablero del ajedrez, donde la primera fila corresponde a las
casillas 1 a 8, la segunda fila a las casillas 9 a 16, la tercera fila a las casillas 17 a
24, etc., y determinando el número de granos de trigo correspondientes, al
número de cada casilla, iniciando de izquierda a derecha en la primera fila de
cuadrados, se obtendrá:
149

Figura 37. Número de Granos Correspondientes a las Seis Primeras Casillas
Primera Casilla Segunda Casillas Tercera Casillas
Cuarta Casillas Quinta Casillas Sexta Casillas
Se puede observar, entonces, que el número de granos de trigo a recibir por la
primera, segunda, tercera, cuarta, quinta y sexta casillas a recibir es 1, 2, 4, 8, 16,
y 32 granos de trigo respectivamente.
Ahora bien, si en la quinta casilla, el total a recibir es de 31 granos de trigo, en la
10ª o 20ª casillas la cantidad obtenida, será considerable; la cual, se puede
obtener de manera idéntica a la anterior.
150

Sin embargo, este procedimiento resulta largo y poco práctico, luego lo indicado,
es tratar de hallar una expresión matemática, que arroje el número de granos de
trigo correspondiente a las casillas deseadas sin mayores complicaciones.
Para esto, y mediante la observación del siguiente cuadro en donde se registran
las anotaciones realizadas, se obtendrá:
Cuadro 3 Número de granos de Trigo Correspondiente a Cada Casilla
CASILLA
No.
No. DE GRANOS
(duplicando el
número de la
casilla anterior)
No. DE
GRANOS
(Potencias de 2)
151
No. DE GRANOS
(determinación del
exponente)
No. DE
GRANOS
(Expresión
resultante)
1 1 = 2 0 = 2 número de la casilla 1 menos 1 =
(1 - 1)
2
2 2 = 2 1 = 2 número de la casilla 2 menos 1 =
(2 - 1)
2
3 4 = 2 2 = 2 número de la casilla 3 menos 1 =
(3 – 1)
2
4 8 = 2 3 = 2 número de la casilla 4 menos 1 =
(4 - 1)
2
5 16 = 2 4 = 2 número de la casilla 5 menos 1 =
(5 - 1)
2
6 32 = 2 5 = 2 número de la casilla 6 menos 1 =
(6 - 1)
2
N ? = 2 ? = 2 número de la casilla n menos 1 =
(n - 1)
2
Luego, para hallar el total de granos de trigo correspondientes a la décima casilla,
basta con tomar la expresión algebraica: 2 (n - 1) , y calcular para n = 10, es decir que
2 (10 - 1) = 2 9 = 512 que corresponde al total de granos obtenidos en la décima
casilla.

Así mismo, el total de granos de trigo correspondientes a la casilla número veinte,
se obtiene calculando 2 (20 - 1) , para n = 20, es decir; 2 (20 - 1) = 2 19 = 42124
Se puede ver, que el número de granos de trigo depende del número de la casilla
correspondiente, además a cada una de las casillas le corresponde una única
cantidad de granos de trigo. Por lo tanto y de acuerdo con lo ya estudiado
previamente, se tiene la “representación algebraica” de la relación funcional:
f(n) = 2 (n-1)
donde: f(n) es la variable dependiente, el signo = establece una relación de
equivalencia, n o número de las casillas, es la variable independiente, y 2 (n-1) , o
número de granos correspondientes a la casilla n, es una expresión potencial de
base 2 y exponente n-1, es el argumento de la función.
Es decir; el dominio de esta relación funcional estará conformado, por el conjunto
de los Z + y el recorrido por todas las potencias de 2 con exponentes enteros
positivos.
Si además, se hace n - 1 = m, se tendrá que la anterior representación algebráica
de la relación funcional o función se convierte en:
f(m) = 2 m
152

donde: m ∈ Z + U {0} y, f(m) ∈ { 2 0 , 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , . . . 2 m }, es decir que su
dominio está formado por el conjunto de los números enteros unidos con el
conjunto unitario, cuyo elemento es el cero, y su recorrido por todas las potencias
de 2 con exponentes mayores o iguales a cero.
Se ha obtenido entonces, una expresión, que por sus características, corresponde
a la “representación algebraica” de una relación funcional o una función, que
además, por arrojar resultados más rápidos, serán menos susceptibles a posibles
errores, que se dan en los procesos operacionales largos y tediosos, como el
utilizado inicialmente para determinar el total de los granos de trigo
correspondientes a cada casilla del tablero del ajedrez.
Observando, entonces la representación algebraica de la función hallada, se
puede notar, que a diferencia de otras, en ésta, varía el exponente, razón por la
cual ha recibido el nombre de función exponencial.
Sin embargo, no siempre ocurre que un fenómeno, crezca o disminuya
multiplicándose bruscamente, duplicándose o triplicándose, lo que impide su
aplicación en aquellos fenómenos, en los que se hizo referencia al inicio de esta
actividad como el crecimiento de un capital al cual se le va acumulando el interés
que produce de manera continua (interés compuesto); luego es imperante la
necesidad de extender la aplicabilidad de la anterior expresión a casos en que sus
153

cantidades representativas, determinen resultados correctos y rápidos acerca de
su crecimiento o disminución paulatinos. Para esto, basta con “observar el
comportamiento”, de la función hallada.
Teniendo entonces que la representación algebráica de la relación funcional
hallada es
Se puede preguntar por:
f (m) = 2 m
¿Qué hubiese ocurrido, si Sessa hubiese pedido no el doble, sino tres, cuatro
cinco o más veces, la cantidad de granos de trigo a medida que aumentaba el
número de casillas?
¿Qué hubiese ocurrido si Sessa, establece determinada cantidad por la
primera casilla, y de ahí en adelante la mitad, o un tercio, un cuarto, etc.?
La respuesta al primer interrogante es bastante sencilla, basta con
considerar ya no la función f(m) = 2 m , y aplicar, según sea el caso f(m) = 3 m ,
f(m) = 4 m , f(m) = 5 m , etc. es decir; la función hallada se convierte en
154

f(m) = b m , donde b sería un entero positivo.
Con respecto al segundo interrogante, si se supone que Sessa pide 10 granos de
trigo por la primera casilla y de ahí en adelante la mitad a medida que aumenta el
número de las casillas, se tendrá que las cantidades a recibir por cada una de las
casillas serán: 10, 5, 2.5, 1.25, . . . , etc. que se pueden expresar como: 10, 10
(½ ), 10 (¼ ), 10 (⅛ ), . . . , etc. que a su vez se pueden expresar como : 10,
10 (½ ), 10 (½ ) 2 , 10 (½ ) 3 , . . . , etc. Obsérvese que a partir de la tercera casilla,
las cantidades correspondientes a cada casilla dejan de ser enteras, para obtener
fraccionarios
Esto indica que f(m) = b m se convierte en
f (m) = ab m ,
donde “b” siempre será mayor que cero, pero también diferente de uno 25 , “a” una
constante que dependerá de los requerimientos de Sessa y el exponente “m“ un
entero positivo o el cero.
25
Si b = 1 se tendría la función constante f(x) = 1, ya que uno elevado a cualquier exponente,
siempre arrojara el mismo resultado “1”
155

Es fácil, suponer que el lector ya habrá establecido el gran parecido 26 , que tiene el
cálculo de los granos de trigo correspondientes a cada casilla, con el caso de los
trozos de papel que se van duplicando con cada partición.
Sobra decir entonces, que para extender el exponente de la función hallada al
campo de los números reales, o por lo menos al campo de los racionales, de tal
manera que sea posible aplicarla en la solución de aquellos fenómenos cuyo
crecimiento o disminución son paulatinos, basta con recordar el caso del
bacteriólogo, considerado en el segundo capítulo de la primera unidad.
Entonces, de acuerdo con todo lo anterior, se puede decir: que toda función, que
esté compuesta por una potencia, donde la base se mantiene constante y el
exponente varía, se denomina función exponencial.
Se tiene entonces que: Se denomina función exponencial a toda expresión de la
forma:
f(x) = ab x con b >0, b ≠ 1, x Є R
donde f(x) es la función, x es la variable independiente, a es una constante y ab x
es el argumento de la función.
26 Nótese, que se habla de parecido y no de igualdad ya que se diferencian en que en el caso de
Sessa, se partía de un grano por la primera casilla, mientras que en el de los trozos de papel se
inicia con dos trozos en la primera partición
156

5.6.1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES DE BASE e
Existen funciones exponenciales cuya base es el número irracional, (e =
2.7188...), o número de Euler. A estas funciones se les ha llamado FUNCIONES
DE CRECIMIENTO, debido al tipo de fenómenos que permiten explicar.
La función f(x) = e x se denomina FUNCION EXPONENCIAL NATURAL, y se
utiliza para describir situaciones tanto teóricas y prácticas como las siguientes:
Crecimiento de una población de bacterias.
Desintegración de un material radioactivo (crecimiento negativo)
Aumento o disminución de la temperatura de un cuerpo.
Aumento de la cantidad de dinero puesto a interés compuesto
En cursos o estudios más avanzados, se muestra que el valor del argumento de
la función hallada
i
t
x
(x + 1) en el caso de la inversión capitalizable es
aproximadamente e = 2.71828 ó número de Euler.
157

Al igual que las demás funciones, la función exponencial, puede representarse por
comprensión y extensión; diagramas sagitales, plano cartesiano, o una tabla.
Así, y a manera de ejemplo las diversas representaciones gráficas de la función
exponencial obtenida, en el ejemplo de los granos de trigo serán
Determinación por Extensión
f(x) = {(0,1), (1,2), (2,4), (3,8), (4,16), . . . ,}
Determinación por Comprensión
f(x) = {(x , y ) / y = 2 x , x ≥0, x Є N }
Figura 38. Representación Sagital
158

Figura 39. Representación Tabular
X 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
f(x) 1,0 2,0 4,0 8,0 16,0 32,0
Figura 40. Representación Cartesiana
159

5.6.2 PROPIEDADES, DOMINIO Y RECORRIDO DE LA FUNCION
EXPONENCIAL
5.6.2.1 PRESENTACION DE LA ACTIVIDAD
El estudio de las funciones, en anteriores cursos, nos permite recordar que estas
tienen restricciones y propiedades, que deben tenerse en cuenta al momento de
su aplicación. La función exponencial, no es la excepción, posee también
restricciones y propiedades, cuyo conocimiento y manipulación, son de gran ayuda
en su comprensión y aplicación.
La siguiente actividad, cuyos materiales, objetivo e indicaciones a seguir, y
descritas a continuación, ayudaran a identificar dichas propiedades y restricciones.
5.6.2.2 MATERIALES
….
Papel milimetrado
…. Curvígrafo
160

…. Calculadora
….
….
Lápiz
Papel
5.6.2.3 OBJETIVOS
☺ Mediante la realización y observación de varias gráficas de funciones
exponenciales determinar el dominio y codominio de f(x).
☺ Mediante la realización y observación de varias gráficas de funciones
exponenciales, comprobar los valores que puede tomar la base “b”.
☺ Mediante la realización y observación de varias gráficas de funciones
exponenciales, determinar las características de la función exponencial
161

5.6.2.4 INDICACIONES
Utilizar la calculadora, para hallar f(x)=1 x , para los valores dados en la
tabla de la figura 41
Realice la representación en el plano cartesiano de f(x)=1 x .
FIGURA 41. Valores para la Representación en el Plano Cartesiano
X - 3 - 2 - 3/2 - 1 -1/2 0 ½ 1 3/2 2 3
F(x)
Observe los valores de la función f(x) = (1) x , consignados en la tabla
representada en la figura 41, y la gráfica resultante en el plano cartesiano.
¿Cómo son los valores hallados para f(x) = 1 x ?.
¿Cuál es el dominio y el recorrido de esta función f(x) = 1 x ?
Hallando f(x) = 1 x , para los valores de x, pedidos y realizando su representación
gráfica en el plano cartesiano se tiene que:
162

Figura 42. Representación Tabular de f(x) = 1 x
X - 3 - 2 - 3/2 - 1 -1/2 0 ½ 1 3/2 2 3
1 x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Figura 43. Representación Cartesiana f(x) = 1 x
Observando entonces, los valores hallados y la representación gráfica en el plano
cartesiano se puede concluir que:
Si en f(x) = b x , se tiene que b = 1, entonces se obtiene la función constante
f(x) = 1, razón por la cual, la base de una potencia debe ser diferente de
uno.
163

El dominio de f(x) = b x , donde b = 1, es el conjunto de los R y su rango o
recorrido es el conjunto unitario, cuyo elemento es el número uno.
5.6.2.5 INDICACIONES
Utilizar la calculadora, para hallar f(x) = (½) x , para los valores dados en la
tabla de la figura 41.
Realice la representación en el plano cartesiano de f(x) = (½) x .
Observe los valores de la función f(x) = (½) x , consignados en la tabla de la
figura 41, y la gráfica resultante en el plano cartesiano.
¿Cómo son los valores hallados para f(x), en la función
f(x) = (½) x ?.
¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función f(x) = (½) x ?
Hallando f(x) = (½) x , para los valores de x, pedidos y realizando su representación
gráfica en el plano cartesiano se tiene que:
164

Figura 44.. Representación Tabular de f(x) = (½) x
X - 3 - 2 - 3/2 - 1 -1/2 0 ½ 1 3/2 2 3
F(x) 8,0 4,0 2,8 2,0 1,4 1,0 0,7 0,5 0,4 0,25 0,1
Figura 45.. Representación en el Plano Cartesiano de f(x) = (½) x
165

Observando entonces la representación tabular y cartesiana de f(x) = (½) x , se
puede establecer que:
Si en f(x) = (½) x los valores de x se hacen cada vez mas grandes entonces,
f(x) = (½) x toma valores cada vez mas pequeños. (f(x) = (½) x es
decreciente).
El dominio de f(x) = (½) x , son los R y su recorrido los R + .
5.6.2.6 INDICACIONES
Utilizar la calculadora, para hallar f(x) = (1/4) x , para los valores dados en la
Tabla de la figura 41.
Realice la representación en el plano cartesiano de f(x) = (1/4) x .
Observe los valores de la función f(x) = (1/4) x , consignados en la tabla de la
figura 41, y la gráfica resultante en el plano cartesiano.
¿Cómo son los valores hallados para f(x), en la función f(x) = (1/4) x ?.
¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función f(x) = (1/4) x ?
166

Hallando f(x) = (1/4) x , para los valores de x, pedidos y realizando su
representación gráfica en el plano cartesiano se tiene que:
Figura 46. Representación Tabular de f(x) = (1/4) x
X - 3 - 2 - 3/2 - 1 -1/2 0 1/2 1 3/2 2 3
F(x) 64,0 16,0 8,0 4,0 2,0 1,0 0,5 0,3 0,1 0,1 0,02
Figura 47. Representación en el Plano Cartesiano de f(x) = (1/4) x
167

Observando entonces la representación tabular y cartesiana de f(x) = (1/4) x , se
puede establecer que:
Si en f(x) = (1/4) x los valores de x, se hacen cada vez mas grandes,
entonces, f(x) = (1/4) x toma valores cada vez mas pequeños. (Función
decreciente).
El dominio de f(x) = (1/4) x , son los R y su recorrido los R + .
5.6.2.7 INDICACIONES
Utilizar la calculadora, para hallar f(x) = (1/8) x , para los valores dados en
la Tabla de la figura 41.
Realice la representación en el plano cartesiano de f(x) =.(1/8) x
Observe los valores de la función f(x) = (1/8) x , consignados en la tabla de la
figura 41, y la gráfica resultante en el plano cartesiano.
¿Cómo son los valores hallados para f(x), en la función f(x) = (1/8) x ?.
¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función f(x) = (1/8) x ?
168

Hallando f(x) = (1/8) x , para los valores de x, pedidos y realizando su
representación gráfica en el plano cartesiano se tiene que:
Figura 48. Representación Tabular de f(x) =(1/8) x
X - 3 - 2 - 3/2 - 1 -1/2 0 1/2 1 3/2 2 3
fx) 512 64 22,6 8,0 2,8 1,0 0,4 0,1 0,04 0,02 0,002
Figura 49 Representación en el Plano Cartesiano de f(x) = (1/8) x
169

Observando entonces la representación tabular y cartesiana de f(x) = (1/8) x , se
puede establecer que:
Si en f(x) = (1/8) x , los valores de x se hacen cada vez mas grandes
entonces, f(x) = (1/8) x toma valores cada vez más pequeños. (f(x) es
decreciente).
El dominio de f(x) = (1/8) x , son los R y su recorrido los R + .
5.6.2.8 INDICACIONES
Utilizar la calculadora, para hallar f(x) =2 x , para los valores dados en la
tabla de la figura 41
Realice la representación en el plano cartesiano de f(x) =.2 x
Observe los valores de la función f(x) = 2 x , consignados en la tabla de la
figura 41, y la gráfica resultante en el plano cartesiano.
¿Cómo son los valores hallados para f(x), en la función f(x) = 2 x ?.
¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función f(x) = 2 x ?
170

Hallando f(x) = 2 x , para los valores de x, pedidos y realizando su representación
gráfica en el plano cartesiano se tiene que:
Figura 50. Representación Tabular de f(x) = 2 x
X -3,0 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 3,0
F(x) 0,1 0,3 0,4 0,5 0,7 1 1,4 2 2,8 4 8
Figura 51. Representación en el Plano Cartesiano de f(x) = 2 x
171

Observando entonces la representación tabular y cartesiana de f(x) = 2 x , se
puede establecer que:
Si en f(x) = 2 x , los valores de x se hacen cada vez más grandes, entonces, los
valores de f(x) = 2 x , también se hacen más grandes. (f(x) = 2 x es creciente)
El dominio de f(x) = 2 x , son los R y su recorrido los R +
5.6.2.9 INDICACIONES
Utilizar la calculadora, para hallar f(x) = e x , para los valores dados en la tabla
de la figura 41.
Realice la representación en el plano cartesiano de f(x) = ex.
Observe los valores de la función f(x) = ex, consignados en la tabla de la figura
41, y la gráfica resultante en el plano cartesiano.
¿Cómo son los valores hallados para f(x), en la función f(x) = e x ?.
¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función f(x) = e x ?
172

Hallando f(x) = e x , para los valores de x, pedidos y realizando su representación
gráfica en el plano cartesiano se tiene que:
Figura 52 Representación Tabular de f(x) = e x
X - 3 - 2 - 3/2 - 1 -1/2 0 1/2 1 3/2 2 3
f(x) 0,05 0,1 0,2 0,4 0,6 1,0 1,6 2,7 4,5 7,4 20,1
Figura 53. Representación Cartesiana de f(x) = e x
173

Observando entonces la representación tabular y cartesiana de, f(x) = e x se puede
establecer que:
Si en f(x) = e x , los valores de x se hacen cada vez más grandes, entonces,
los valores de f(x) = e x también se hacen m{as grandes (f(x) = e x es
creciente)
El dominio de f(x) = e x , son los R y su recorrido los R +
5.6.2.10 INDICACIONES
Utilizar la calculadora, para hallar f(x) =10 x , para los valores dados en la
tabla de la figura 41.
Realice la representación en el plano cartesiano de f(x) = 10 x .
Observe los valores de la función f(x) = 10 x , consignados en la tabla de la
figura 41, y la gráfica resultante en el plano cartesiano.
¿Cómo son los valores hallados para f(x), en la función f(x) = 10 x ?.
¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función f(x) = 10 x ?
174

Hallando f(x) = 10 x , para los valores de x, pedidos y realizando su representación
gráfica en el plano cartesiano se tiene que
Figura 54. Representación Tabular de f(x) = 10 x
X - 3 - 2 - 3/2 - 1 -1/2 0 1/2 1 3/2 2 3
f(x) 0,001 0,01 0,03 0,1 0,3 1 3,2 10 31,6 100 1.000
Figura 55. Representación en el Plano Cartesiano de f(x) = 10 x
175

Observando entonces la representación tabular y cartesiana de, f(x) = 10 x se
puede establecer que:
Si en f(x) = 10 x , los valores de x se hacen cada vez mas grandes, entonces
los valores de f(x) = 10 x también se hacen cada ves mas grandes. (f(x) =
10 x es creciente)
El dominio de f(x) = 10 x , son los R y su recorrido los R +
5.6.2.11 INDICACIONES
Observe las representaciones gráficas realizadas en cada uno de los
planos cartesianos de las funciones f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x , f(x)=2 x ,
f(x)=e x , f(x)=10 x
¿Qué se puede deducir, acerca de la “forma” de las gráficas, al observar
cada una de las representaciones realizadas en el plano cartesiano, de las
funciones : f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x , f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x .
Observando entonces, las anteriores representaciones en el plano cartesiano de
cada una de las funciones f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x , f(x)=2 x , f(x)=e x ,
f(x)=10 x , se puede establecer que tienen características comunes como:
Su “forma” es curva.
176

Cortan el eje Y en el punto (0,1).
No cortan el eje X.
Su dominio son los reales y su recorrido los reales positivos.
5.6.2.12 INDICACIONES
Realizar ahora, la representación gráfica mediante la utilización de una
única tabla, y un único plano cartesiano, de la segunda, tercera y cuarta
función (f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x ), para los valores dados en tabla de
la figura 41.
¿Qué característica en común tienen la base de estas tres funciones
(f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x )
¿Qué se puede deducir, acerca de la “forma” de la gráfica, al observar la
representación realizada en el plano cartesiano, de estas tres, funciones.
(f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x ).
Hallando entonces, los valores que toman la segunda, tercera y cuarta función
(f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x ), para los valores de x pedidos en la tabla de la figura 41, y
representándolos en una única tabla y en un único plano cartesiano se tiene que:
177

Figura 56. Valores de las Funciones f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x
f(x)
X
-3,0 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,00 0,5 1,0 1,5 2,0 3,0
(1/2) x 8,00 4,00 2,83 2,00 1,41 1,00 0,71 0,50 0,35 0,25 0,13
(1/4) x 64,00 16,00 8,00 4,00 2,00 1,00 0,50 0,25 0,13 0,06 0,02
(1/8) x 512,00 64,00 22,63 8,00 2,83 1,00 0,35 0,13 0,04 0,02 0,002
Figura 57. Representación en el Plano cartesiano de f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) X
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
x
f(x) = (1/2)^x
f(x) = (1/4)^x
f(x) = (1/8)^x
178

Mediante la observación de las anteriores representaciones de las funciones
f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x , se puede concluir que:
Sus bases son mayores que cero y menores que uno (0 < b < 1).
Si la base es mayor que cero y menor que uno (0 < b < 1), entonces la
gráfica es cóncava a la izquierda. (similares a las gráficas de la figura 47).
5.6.2.13 INDICACIONES
Realizar, la representación gráfica utilizando una única tabla, y un único
plano cartesiano, de la quinta, sexta y séptima función (f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x ).
¿Qué característica en común tienen la base de estas tres funciones
(f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x )?
¿Qué se puede deducir, acerca de la “forma” de la gráfica, al observar la
representación realizada en el plano cartesiano, de estas tres funciones
(f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x )?.
Hallando entonces, los valores que toman la quinta, sexta y séptima función
(f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x ), para los valores de x pedidos en la tabla de la figura 41,
y representándolos en una única tabla y en un único plano cartesiano se tiene que:
179

Figura 58. Valores de las Funciones f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x
x
2 x
e x
f(x)
-3,0 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,00 0,5 1,0 1,5 2,0 3,0
0,13 0,25 0,35 0,50 0,71 1,00 1,41 2,00 2,83 4,00 8,00
0,05 0,14 0,22 0,37 0,61 1,00 1,65 2,72 4,48 7,39 20,09
10x 0,001 0,01 0,03 0,10 0,32 1,00 3,16 10,00 31,62 100,00 1000,00
Figura 59. Representación en el Plano cartesiano de f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x .
180

Mediante la observación de las anteriores representaciones de las funciones
f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x , se puede concluir que:
Sus bases son mayores que uno (b > 1).
Si la base es mayor que uno (b > 1), entonces la gráfica es cóncava a la
derecha (similares a las gráficas de la figura 48).
5.6.2.14 INDICACIONES
Realizar, la representación gráfica utilizando una única tabla, y un único
plano cartesiano, de la primera, segunda, tercera, cuarta, quinta, sexta y
séptima función (f(x)=1 x , f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x , f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x ).
¿Qué se puede deducir, acerca de la “forma” de las gráficas, al observar la
representación realizada en el plano cartesiano, de estas siete funciones
(f(x)=1 x , f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x , f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x )?.
Hallando entonces, los valores que toman la quinta, sexta y séptima función
(f(x)=1 x , f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x , f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x ), para los
valores de x pedidos en la tabla de la figura 41, y representándolos en una única
cuadro y en un único plano cartesiano se tiene que:
181

Figura 60. Valores de las f(x)=1 x , f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x , f(x)=2 x , f(x)=e x ,
f(x)=10 x
F(x)
X
- 3 - 2 - 3/2 - 1 -1/2 0 1/2 1 3/2 2 3
1 x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(½) x 8,00 4,00 2,83 2,00 1,41 1,00 0,71 0,50 0,35 0,25 0,13
(¼) x 64,00 16,00 8,00 4,00 2,00 1,00 0,50 0,25 0,13 0,06 0,02
(⅛) x 512,00 64,00 22,63 8,00 2,83 1,00 0,35 0,13 0,04 0,02 0,00
(2) x 0,13 0,25 0,35 0,50 0,71 1,00 1,41 2,00 2,83 4,00 8,00
(e) x 0,05 0,14 0,22 0,37 0,61 1,00 1,65 2,72 4,48 7,39 20,09
10 x
0,00 0,01 0,03 0,10 0,32 1,00 3,16 10,00 31,62 100,00 1000,00
Figura 61. Representación en el Plano Cartesiano de f(x)=1 x , f(x)=(½) x ,
f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x , f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x ,
182

Mediante la observación de las anteriores representaciones de las funciones
f(x)=1 x , f(x)=(½) x , f(x)=(¼) x , f(x)=(⅛) x , f(x)=2 x , f(x)=e x , f(x)=10 x , se puede
concluir que:
Sus bases son positivas (b > 0)
Las funciones exponenciales son “cóncavas” a la izquierda o a la derecha
(similares a las gráficas de la figura 47 y 48).
El punto de corte con el eje Y es (0,1)
Las curvas están por encima del eje X, por lo tanto su recorrido, es el
conjunto de los reales positivos.
La variable x, tomó valores positivos y negativos, por lo tanto el dominio es
el conjunto de los números reales.
Sintetizando entonces, todas las observaciones realizadas hasta el momento se
puede concluir que para f(x) = b x , se tiene que:
S i la base b, es un número que se encuentra entre o y 1 (0 < b < 1, la
función es decreciente.
183

Si la base b es un número mayor que 1 (b > 1), la función es decreciente.
El punto de corte con el eje Y es (0,1).
Ninguna gráfica de esta forma (con base positiva corta el eje X).
Todas las funciones, cuyo argumento está constituido por una potencia,
donde la base es positiva, diferente de uno y donde el exponente es el que
varía se denominan funciones exponenciales.
184

6. APLICACIÓN
El tiempo total empleado para la aplicación de la didáctica, fue de cuatro semanas,
dos de las cuales, se emplearon en la aplicación de la primera unidad, y las dos
restantes en la unidad correspondiente a la función exponencial.
Las diversas temáticas fueron desarrolladas simultáneamente en los dos cursos,
conservando de esta manera, la homogeneidad de los mismos.
En el desarrollo de la primera temática de par o pareja ordenada, el curso 901,
manifestó su desconcierto y curiosidad, tanto con expresiones gestuales como con
interrogantes, ante la actividad planteada. Algunos de estos interrogantes fueron:
- Profe ¿ … Y eso para que?, - ¿Vamos a armar cubos, profe?, - ¿Tienen que
ser cuadradas las fichas profe?
El 83% realizó con entusiasmo la actividad planteada
El 27% se limitó a dar la impresión de realizar la actividad
Ante el anuncio de evaluación, demostraron confianza en responderla bien.
185

En el curso 902 se observó la actitud habitual que caracteriza al grupo la cual se
puede describir de la siguiente manera:
Un 98% al parecer se muestra atento y preocupado por hacer las anotaciones
realizadas.
Un 2% ansioso por escuchar el sonido del timbre que da por terminada la clase
Un 90% se inquieta y angustia ante el anuncio de una evaluación
Ante la pregunta habitual por parte del profesor en cuanto a la existencia de dudas
o preguntas el 100%, dijo no tenerlas.
El desconcierto demostrado por los estudiantes del curso 901, desapareció a partir
de la segunda temática (Producto Cartesiano), los estudiantes demostraron
interés, curiosidad y afán, en resolver los interrogantes planteados, se mostraron
ansiosos por verificar en compañía del profesor las respuestas encontradas a los
interrogantes y a la vez por ser evaluados.
.
El curso 902 como es de suponer mantuvo la actitud habitual; aunque, a partir de
la tercera temática, manifestaron su disgusto, por no “ver los temas” de igual
forma que el curso 901. Algunos dijeron sentirse “discriminados”, ya que su
profesor prefería los estudiantes del curso 901.
186

Al finalizar el tratamiento de cada una de las temáticas, de la primera unidad, o
durante el desarrollo de ellas se realizaron cortas evaluaciones que arrojaron los
siguientes resultados
Cuadro 4 Resultados de la Aplicación de la Primera Unidad
ITEM
No.
ITEMS
No. de alumnos
que contestaron
correctamente
POTENCIACION 901 902
1 La expresión 3 5 recibe el nombre de: --------------- 21 6
2 El resultado de efectuar 8 1/3 es: ----------------------
Juan realiza un préstamo, por el cual le cobran el 1% , si se
demora un día en devolver los $100; 2% si se demora dos días; 4%
19 4
3 si se demora tres días; 8% si son cuatro días, es decir debe
cancelar el doble del interés por cada día que transcurra. Cuánto
pagó Juan de intereses si se demoró 30 días
PAR O PAREJA ORDENADA
13 0
1
2
3
1
2
1
Dar un ejemplo de alguna actividad o información, diferente a la
desarrollada en clase, que establezca una pareja ordenada
Representar las parejas ordenadas (-3,5),(0,2) y (-2,0) en un único
diagrama sagital
Representar las parejas ordenadas (-3,5),(0,2) y (-2,0) en un único
plano cartesiano
PRODUCTO CARTESIANO
Teniendo dos conjuntos, A y B, donde A está formado por tres
fichas circulares amarilla, azul y roja, y B formado por dos fichas
cuadradas negra y blanca , establecer una “condición” que arroje el
producto cartesiano AXB
Si A = {0,1} y B = {2,3}, cuántas parejas ordenadas forman el
producto cartesiano AXB
RELACIONES
Cuál es la relación que arroja el mayor número de parejas
ordenadas
RELACIONES FUNCIONALES
187
12 0
23
14
9 12
11 0
17 6
19 6
Dados los conjuntos A = {0,1} y B = {2,3} determine una relación
funcional y represéntela
1 Por comprensión 8 3
2 En el plano cartesiano 17 8
3 En una tabla 11 12

De acuerdo con los resultados descritos en el cuadro 4, el número de estudiantes
del curso 901, que contestó correctamente la mayoría de los ítems no superó el
50%.
Sin embargo con excepción de las temáticas correspondientes a la potenciación y
representación en el plano cartesiano, se puede establecer un contraste entre la
primera unidad de esta propuesta y los métodos tradicionales.
Los resultados arrojados a lo largo del año escolar, en los que se ha
desarrollado un método tradicional, muestran que el número de estudiantes
del curso 901, que alcanzaron sin mayores complicaciones los logros
propuestos nunca fue superior a 5.
Los resultados arrojados a lo largo del año escolar, en los que se ha
desarrollado un método tradicional, muestran que el número de estudiantes
que alcanzaron los logros propuesto sin mayores complicaciones, en el
curso 902, no ha sido superior 7. Condición que como se puede observar,
en el cuadro, continúa siendo la característica del grupo.
Con respecto a las preguntas de potenciación, no se puede afirmar que los
resultados se encuentren ligados con la aplicación de esta propuesta, ya
que el profesor a cargo del curso 901, hizo énfasis en esta temática, a lo
largo del primer semestre del año escolar.
188

El interés, curiosidad y disposición de los alumnos del curso 901, en la
realización de las actividades planteadas en la primera unidad de la
propuesta didáctica, permite afirmar que se logró en un 87%, superar el
cansancio que los estudiantes siempre han mostrado en las clase de
matemáticas.
Para determinar los resultados de la aplicación de la segunda unidad, se aplicó en
forma simultánea a los grupos una segunda prueba (Anexo B), cuyos resultados
son descritos a continuación por los siguientes gráficos y cuadros.
Cuadro 5. Respuestas Curso 901
CURSO 901
ITEM No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Respuestas Correctas 25 23 25 10 16 19 21 9 21 13
Respuestas incorrectas 10 17 10 25 16 16 14 26 14 22
Gráfica 1 Respuestas Curso 901
189

De acuerdo con los resultados, consignados en la Gráfica 1, se puede establecer
que en el curso 901:
El 71.42%, identificó las variables dependientes e independientes de una
función
El 65.71%, identificó la función exponencial natural.
El 71.42%, identificó la función exponencial
El 28.57%, identificó la función exponencial como aquella, cuyo argumento
es una potencia cuya base debe ser positiva.
El 45.71%, establece que la base de la potencia de una función exponencial
debe ser diferente de uno.
El 54.28%, reconoce el comportamiento de la función f(x) = b x , cuando b es
positiva y mayor que uno.
El 60%, establece el dominio de una función exponencial, a partir de su
gráfica.
190

El 25.71%, representa correctamente una función exponencial en el plano
cartesiano, a partir de su representación tabular.
El 60%, realiza la representación tabular de una función exponencial a partir
de su representación algebraica.
El 37.14%, aplica correctamente la función exponencial en la solución de
problemas.
Cuadro 6 Respuestas Curso 902
CURSO 902
ITEM No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Respuestas Correctas 9 20 26 6 9 7 9 19 7 6
Respuestas incorrectas 24 13 7 27 24 26 24 14 26 27
Gráfica 2. Respuestas Curso 902
191

De acuerdo con los resultados, consignados en la Gráfica 2, se puede establecer
que en el curso 902:
El 27.27%, identificó las variables dependientes e independientes de una
función
El 60.60%, identificó la función exponencial natural.
El 78.78%, identificó la función exponencial
El 18.18%, identificó la función exponencial como aquella, cuyo argumento
es una potencia cuya base debe ser positiva.
El 27.27%, establece que la base de la potencia de una función exponencial
debe ser diferente de uno.
El 21.21% , reconoce el comportamiento de la función f(x) = b x , cuando b es
positiva y mayor que uno.
El 27.27%, establece el dominio de una función exponencial, a partir de su
gráfica.
192

El 57.57%, representa correctamente una función exponencial en el plano
cartesiano, a partir de su representación .tabular
El 21.21%, realiza la representación tabular de una función exponencial a
partir de su representación algebraica.
El 18.18%, aplica correctamente la función exponencial en la solución de
problemas.
Cuadro 7. Comparativo Respuestas Correctas Curso 901-902
RESPUESTAS CORRECTAS
PREGUNTA No.
ITEM No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
901 25 23 25 10 16 19 21 9 21 13
902 9 20 26 6 9 7 9 19 7 6
Diferencia 16 3 1 4 7 12 12 10 14 7
Gráfica 3 Comparativo Respuestas Correctas Curso 901-902
193

De acuerdo con los resultados, consignados en la Cuadro 7, se puede establecer
que:
El curso 901 superó en un 47% al curso 902, en la identificación de las
variables dependientes e independientes de una función
El curso 901 superó en un 6.9% al curso 902, en la identificación de la
función exponencial natural.
El curso 902 superó en un 1.9% al curso 901, en la identificación de
f(x) = 1 + 2 x , como una función exponencial.
El curso 901 superó en un 25% al curso 902, la identificación de la función
exponencial como aquella, cuyo argumento es una potencia donde la base
debe ser positiva.
El curso 901 superó en un 28% al curso 902, en el establecimiento de que
la base de la potencia de una función exponencial debe ser diferente de
uno.
El curso 901 superó en un 46.15% al curso 902, en el reconocimiento del
comportamiento de la función f(x) = b x , cuando b es positiva y mayor que
uno.
194

El curso 901 superó en un 46.15% al curso 902, al establecer del dominio
de una función exponencial, a partir de su gráfica.
El curso 902 superó en un 35.71% al curso 901, al representar
correctamente una función exponencial en el plano cartesiano, a partir de
su representación tabular.
El curso 901 superó en un 50% al curso 902, en la representación tabular
de una función exponencial a partir de su representación algebraica.
El curso 901 superó en un 36.84% al curso 902, en la solución de
problemas, mediante la aplicación de una función exponencial
De acuerdo con los resultados descritos en el cuadro 7, el número de estudiantes
del curso 901, que contestó correctamente la mayoría de los ítems no superó el
50%, con excepción de las preguntas número 9 y número 6.
Con respecto a la temática planteada en el ítem 9, no podemos confirmar el éxito
de la actual propuesta ya que como se dijo antes, el profesor encargado del área
de matemáticas en este curso, hizo especial énfasis a lo largo de todo el primer
semestre del año escolar, en la operabilidad de expresiones que involucraran
potencias, razón por la cual se les facilita pasar de la representación algebraica de
la función exponencial, a la representación tabular.
195

Algo similar ocurre con la pregunta número 9, Item, en el cual se pedía a los
estudiantes pasaran de la representación tabular, a la representación cartesiana,
temática que el profesor encargado del curso 902, trató también, con gran énfasis,
a lo largo del primer semestre del año escolar.
No se puede dudar, sin embargo del éxito de la presente propuesta ya que:
Los resultados arrojados a lo largo del año escolar, en los que se ha
desarrollado un método tradicional, muestran que el número de estudiantes
del curso 901, que alcanzaron sin mayores complicaciones los logros
propuestos nunca fue superior a 5. Condición que como se puede ver se
superó en cada uno de los ítems en un altísimo porcentaje, aún, en la
pregunta 9.
Los resultados arrojados a lo largo del año escolar, en los que se ha
desarrollado un método tradicional, muestran que el número de estudiantes
que alcanzaron los logros propuesto sin mayores complicaciones, en el
curso 902, no ha sido superior a 7. Condición que como se puede observar,
continúa siendo la característica del grupo, salvo los resultados obtenidos
en las preguntas 2 y 3, que con lo ocurrido, en la pregunta 4, 5, y 6, pone
en duda el cambio de esta condición.
196

Con respecto a las preguntas de potenciación, no se puede afirmar que los
resultados se encuentren ligados con la aplicación de esta propuesta, ya
que el profesor a cargo del curso 901, hizo énfasis en esta temática, a lo
largo del primer semestre del año escolar.
De acuerdo con lo anterior, se puede afirmar entonces, el éxito de la actual
propuesta, máxime si se tiene en cuenta, que su aplicación se realizó en el
segundo semestre del año escolar. Periodo, para el cual, y hasta el fin del año
escolar están programados gran cantidad de eventos y actividades en el plantel:
día de la familia, festival de verano en el parque Simón Bolivar, con la participación
activa de los chicos en danzas y teatro, festival de danzas de la localidad, finales
del campeonatos deportivo, desfile el 7 de Agosto, día del amor y la amistad,
semana cultural, etc. Eventos, cuya organización y preparación, obligan a cortar
las sesiones de clase, incluso por una semana, lo que implica, que los profesores
y estudiantes, con el cansancio lógico que estas actividades traen consigo,
retomen al cabo de tres, cuatro y hasta ocho días, las temáticas en cada área.
Es también un factor determinante, para tener en cuenta, en el momento de
establecer, la efectividad de esta unidad didáctica, el hecho de que son
precisamente los cursos NOVENOS Y DECIMOS, los que se “pelean” el último
lugar en cuanto a rendimiento académico y hábitos de estudio.
197

7. CONCLUSIONES.
Puesta en funcionamiento la unidad didáctica con el curso 901, y comparado con
el trabajo del grupo de referencia (curso 902), puede afirmarse que efectivamente,
el presente trabajo, se constituyó para el grupo experimental en una herramienta
útil, para la enseñanza y el aprendizaje de la función exponencial.
Esta afirmación, encuentra sustento en:
El número de estudiantes, que alcanzaron los logros propuestos, en cada
una de las temáticas de la presente unidad didáctica, se triplicó.
El comparativo entre los estudiantes de los dos grupos, es también un
sustento de la anterior afirmación.
La actitud, de los estudiantes hacia la clase de matemáticas, mejoró en un
100%.
198

RECOMENDACIONES
Lo observado por la autora, a través de su desempeño, como profesora de
Matemáticas y Física, le permiten sugerir la importancia de realizar un estudio
adecuado sobre otros temas de la Matemática, que como, el de propiedades de la
potenciación, es de bastante aplicabilidad, en muchas otras temáticas de la
Matemática, y cuyo aprendizaje y comprensión, en la mayoría de los casos, es de
gran dificultad.
Así mismo, un estudio adecuado sobre la función logarítmica, sería un necesario
complemento del presente trabajo.
Sin embargo, la experiencia como actual estudiante de una de las universidades
de esta ciudad y como docente en Matemáticas y Física por varios años,
sustentan la afirmación de la autora al considerar, que este trabajo o cualquier otro
que sobre algún tema de la matemática se realice, alcanzará su mejor resultado,
solo si el obrero, el ama de casa, el estudiante y sobre todo los que alguna vez,
se adentran en el mundo de la matemática (llámese profesor o matemático puro),
se impongan como tarea, el despojarla, de la falsa investidura de ciencia asequible
o comprensible, solo para seres cuyo coeficiente de inteligencia, es superior al
normal.
199

No es errado afirmar, entonces, que un gran complemento, de este trabajo
además de adecuarlo a las necesidades de los estudiantes, es el que los
profesores de Matemáticas, además, de realizar procesos de investigación en el
aula, se impongan como tarea el despojarse de las apariencias que los muestran
ante los demás, como seres superdotados y dueños de una verdad absoluta, y
reconozcan que son personas normales con facilidades para las matemáticas,
pero de pronto, con muchas dificultades en el aprendizaje de otras áreas del
conocimiento.
Sólo de esta manera, se superará, el mayor de los obstáculos –tal vez el más
importante- en la enseñanza y aprendizaje de la matemática: “la aversión que
generación tras generación presentan la mayoría de los individuos hacia su
aprendizaje”.
200

BIBLIOGRAFIA
AUSUBEL, David. Teoría del Aprendizaje Significativo. Fascículos de CEIF.
Universidad de Río Grande do Sul Sao Paulo. 1993
AUSUBEL, David. Psicología Educativa. Un punto de Vista Cognoscitivo. México.
Editorial Trillas. 1982.
CALLEJO. M a Luz. La Enseñanza de las Matemáticas. Etapa 12 – 16 Años.
Madrid. Narcea S:A de Ediciones.
CASTELNUOVO. Emma. Didáctica de la Matemática Moderna. México. Editorial
Trillas. 2001
DIENES, Zoplan. Las Seis Etapas del Aprendizaje en Matemáticas. Barcelona.
Ed. Teide.
FREUDENTHAL. H. Revista de Educación Matemática. Kluwer Academia
Publishers. 1991
GARCIA, Rolando. La epistemología Genética y la Ciencia Contemporánea.
Homenaje a Jean Piaget en su Centenario. Barcelona. Editorial Gedisa. 1997.
201

GOMEZ, Joan. De la Enseñanza al Aprendizaje de las Matemáticas. Ed. Síntesis.
Barcelona. 1990.
JULIAO, Clara S. Manual de Proyectos. Asociación Colombiana para el Avance de
la Ciencia.
JULIAO, Clara S. Proyectos en el Aula. Asociación Colombiana para el Avance de
la Ciencia
MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Resolución 2343
MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Serie Guías No. 5. Planes de
Mejoramiento. Colombia. Ipsa. 2004.
MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Serie Lineamientos Curriculares
Matemáticas. 1998.
MUÑOZ, José M. HERNANDEZ, J Darío. Precálculo. Universidad Nacional de
Colombia. 2ª. Edición 1992
OTEIZA, Fidel. Una Aplicación de la Inteligencia Artificial a la Mediación del
Aprendizaje Independiente. Barcelona. Ed. Teide. 1997.
202

SABINO, Carlos A. El Proceso de Investigación. El Cid Editor
SHELL CENTRE. El lenguaje de Funciones y Gráficas. Ministerio de Educación y
Ciencia. Nottingham. Servicio Editorial universidad del País Vasco. 1990
SOCIEDAD COLOMBIANA DE MATEMÁTICAS. Lecturas Matemáticas. Volumen
I y II. Número 1 y 3. Comité Editorial. 2003
STEINER, Jhon. Teoría de la Enseñanza de las Matemáticas. México. Ediciones
Públicas. 1987.
SELLTIZ, JAHODA, DEUTTSCHT COOK. Métodos de Investigación en las
Relaciones Sociales. Madrid. Editorial
203

ANEXO A
PRUEBA DE DIAGNOSTICO
COLEGIO GUSTAVO ADOLFO BECQUER
AREA DE MATEMATICAS
PRUEBA DE DIAGNOSTICO PARA EL ESTUDIO DE LA FUNCION EXPONENCIAL
NOMBRE ________________________________________GRADO ______
PREGUNTA TIPO I
Selección Falso Verdadero
PREGUNTA F V
1. La determinación por extensión del conjunto de los números enteros Z
es: Z = {-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}
2. 3X3X3X3X3X3 = 3 6*
3. Si tenemos la expresión 3 6 , entonces 6 toma el nombre de
exponente
4. Si tenemos la expresión 3 6 = 729 entonces 3 toma el nombre de
potencia
5. Si x = 0 en la siguiente expresión entonces a x = 1 para todo a є R-{0}
6. Si x є Z - (conjunto de los enteros negativos), entonces a -x = 1/a x a є
R - {0}
7. x m/n = (x 1/n ) m = n √a m con m,n є Z + , x є R (Toda potencia de base x y
exponente fraccionario, m/n, con n ≠ 0, es igual a la raíz cuyo índice
es el denominador del exponente fraccionario y cuya cantidad
204

subradical es la potencia de base x, y exponente igual al numerador
del fraccionario)
8. x m /x n = x m + n , x ≠ 0, x є R, m,n є Q (El cociente de dos potencias con
bases iguales, es igual a la base elevada a la suma de los
exponentes)
9. (x m )(x n ) = x m-n , x є R, m,n є Q (El producto de dos potencias con
bases iguales, es igual a la base elevada a la diferencia de sus
exponentes)
10. (x m ) n = x m n , x є R, m,n є Q (La potencia de una potencia, es igual, a la
base elevada al producto de los exponentes)
11. x n /y n = (x/y) n , x, y є R, m,n є Q (El cociente de dos potencias de
diferente base e igual exponente, es igual al cociente de las bases
elevadas al exponente
PREGUNTA TIPO II
Selección múltiple con dos o más respuestas
Responda las preguntas 12 – 16 de acuerdo con la siguiente información
Si se tiene
Entonces
205

12. A y B son conjuntos disyuntos porque:
a. AUB= {1,0,-1,2,3}
b. A∩B = φ
c. A∩B = { φ }
d. A y B no tienen elementos comunes
e. Ninguna de las anteriores
13. El producto cartesiano AXB de los conjuntos A y B en el anterior diagrama
es un nuevo conjunto que:
a. Está formado por todas las parejas ordenadas que se puedan formar
con un elemento del conjunto A y un elemento del conjunto B.
b. Está formado por todas las parejas ordenadas, que se pueden formar
cuya primera componente pertenece al conjunto A y la segunda
componente pertenece al conjunto B
c. Está formado por todas las parejas ordenadas, que se pueden formar
cuya primera componente pertenece al conjunto B y la segunda
componente pertenece al conjunto A
d. Las primeras componentes de las parejas ordenadas del producto
cartesiano AXB pertenecen al conjunto de los N
14. R: A → B = { (1,3) , (0,2) , (-1,2)} es:
a. La determinación por extensión de la función f de A en B
b. Una de las representaciones de la función f de A en B
c. La determinación por extensión de la función f de A en B
d. La determinación por extensión de la unión del conjunto A con el
conjunto B (AUB)
15. El número 0.175 es un número racional porque:
a. Todo número que presente cifras decimales es un número racional
b. Se puede expresar en la forma p/q con p, q Є Z y q ≠ 0
c. Se puede expresar en la forma p/q con p, q Є N y q ≠ 0
d. Se puede expresar de la forma p/q con p, q Є Q y q ≠ 0
16. Si 80,2) es una pareja ordenada, entonces se cumple que:
a. El primer elemento pertenece al conjunto B y el segundo al conjunto A
b. El primer elemento pertenece al conjunto A y el segundo al conjunto B
c. A es el primer conjunto y B es el segundo Conjunto
d. (0,2) =(2,0)
206

PREGUNTA TIPO III
Selección Falso, Verdadero o No sé
Responda las preguntas 17-20 de acuerdo con la información que le proporciona
la siguiente figura
.
Pregunta F V No Sé
17. La figura es una de las representaciones de una relación
no funcional.
18. El dominio es el conjunto de los reales positivos (R + )
19. La figura representa una relación funcional, cuyo recorrido
es el conjunto de los números reales positivos (R + )
20. La figura representa una parábola cuyo eje de simetría
está dado, por la coordenada x del vértice
207

ANEXO B
PRUEBA DE VERIFICACION
COLEGIO GUSTAVO ADOLFO BECQUER
AREA DE MATEMATICAS
PRUEBA FINAL SOBRE FUNCION EXPONENCIAL
NOMBRE _________________________________________ GRADO _________
PREGUNTA TIPO I
Selección múltiple con única repuesta
1. Dada la expresión f(x) = ( √ 2 ) x –1 se tiene que:
a. f (x) es la variable independiente
b. x es la variable dependiente
c. ( √ 2 ) x –1 es el argumento de la función
d. ( √ 2 ) es el exponente de la base
e. Ninguna de las anteriores
2. Dada la expresión, f(x) = -e x , entonces
a. La base de f(x) es un valor cualquiera real
b. La base de f(x) es un valor cualquiera pero irracional
c. F(x) es la función exponencial racional
d. f(x) es llamada la función exponencial natural
e. Ninguna de las anteriores
208

PREGUNTA TIPO II
Selección Falso, Verdadero o No sé
PREGUNTA F V No sé
3. La expresión f(x) = 1+2 x , representa una función
exponencial
4. La expresión f(x) = (-3) x , representa una función
exponencial
5. La expresión f(x) = b x , donde b = 1, representa una
función exponencial
PREGUNTA TIPO IV
Pregunta Abierta
Responda las preguntas 6 a 10 en el espacio asignado para ello.
6. Si se tiene f(x) = b x , y b es
positiva y mayor que uno,
entonces la gráfica es de la
forma:
(Realice la gráfica pedida en el
plano cartesiano dado)
209

7.
El dominio de la función
representada en la figura es:
___________________________
8. Dada la
representación tabular
x
⎛ 1 ⎞
de f ( x)
= ⎜ ⎟ halle su
⎝ 2 ⎠
representación
cartesiana
x f(x)
-3 8
-2 4
-1 2
-0 1
1 0.5
2 0.25
3 0.125
210

9.
Dada f(x) = -2 x ,
complete su
representación
tabular
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)
10. El espesor de una hoja de papel es 0.004 mm, ¿Cuál es el espesor de la
pila de papel que resulta?
___________________________________________________________
211

ANEXO C
PROPUESTAS DIDACTICAS SOBRE LA FUNCION EXPONENCIAL
La dificultad que se presenta en no pocas personas para construir pensamiento
matemático, ha despertado el interés de matemáticos y pedagogos, que en su
afán por dar respuesta a las carencias y a las dificultades que ha dejado la
educación tradicional, han diseñado diversas didácticas, entre las que se cuentan
gran diversidad de software, estudios, tratados, artículos, etc que abarca diversos
aspectos o temas de la matemática.
En el campo de la función exponencial y logarítmica hay numerosos softwares
Software para el reforzamiento de habilidades algorítmicas.
Consiste en un software lúdico que es posible utilizar en la adquisición de
destrezas y habilidades algorítmicas. Pero, por el alto grado de abstracción y gran
desarrollo lúdico, es fácil para el alumno perder el objetivo de enseñanza, lo que
hace necesario utilizarlo a través de actividades guiadas o simplemente como
demostración, además de que su idioma es el inglés 27 .
27 (Rick Parris, Phillips Exeter. Academy Mathematics Department . Exeter, NH 03833
212

Son también varios los tratamientos, que acerca de la función exponencial y se
han hecho, mediante la utilización de vídeos
Potencias de 10 (8 min)
A partir de un metro hace sucesivas ampliaciones en potencias de 10 y
reducciones en sentido contrario. Es útil para comprender el crecimiento
exponencial. Viene acompañado de un folleto como documentación
complementaria. 28
Potencias de exponente negativo (60 min.)
Utiliza la imagen de ordenador para revisar contenidos sobre las potencias con
base y/o exponente negativos, las operaciones entre ellas y las potencias de
exponente 0 y 1. Puede ser útil para repaso o recuperación de estos contenidos. 29
La función exponencial
Es útil en la determinación de las propiedades de la función exponencial, mediante
la observación de sus gráficas, menciona casos concretos en los que aparecen
28
(Editorial Pyramid 1992.)
29
(Sistemas de Pedagogía Aplicada, S. A.)
213

funciones exponenciales y dedica los últimos minutos a las ecuaciones
exponenciales. (Molina Valiente, Rafael)
En cuanto a los libros de texto, podemos destacar entre otros:
Desafíos. Matemáticas 9..
Dedica la sexta unidad a la función exponencial y a la función logarítmica. Parte
de una situación concreta, para llegar al concepto de función exponencial. No
se detiene a examinar sus características y restricciones.
Dedica parte de la primera unidad a la potenciación como una de las operaciones
en los reales.
Algebra de Baldor.
El Algebra de Baldor, aunque cuenta con varias décadas de haber sido escrito,
continúa siendo uno de los textos guías en la enseñanza y aprendizaje de los
temas que allí se tratan.
Dedica un capítulo de un total de 39 a la función exponencial, olvidando tratar su
comportamiento y restricciones. Sin embargo cuenta con algunas características,
214

entre las cuales podemos mencionar, su presentación y el lenguaje y método, que
hace que su contenido sea de mejor comprensión para el alumno, no en vano es
llamado "La cartilla de Baldor".
215