tema 11. circuitos aritméticos digitales - OCW Usal - Universidad de ...

http://www.tech-faq.com/wp-content/uploads/images/integrated-circuit-layout.jpg 

TEMA 11. CIRCUITOS 

ARITMÉTICOS ARITM TICOS DIGITALES 

IEEE 125 Aniversary: http://www.flickr.com/photos/ieee125/with/2809342254/ 

Raúl Rengel Estévez: raulr@usal.es 

María Jesús Martín Martínez : mjmm@usal.es 

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- Introducción 

Introducci 

- Contadores 

- Comparadores 

- Sumadores. Restadores 

- Multiplicadores. Divisores 



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TEMA 11. CIRCUITOS ARITMÉTICOS ARITM TICOS DIGITALES 

INTRODUCCIÓN 

INTRODUCCI 

El cálculo c lculo aritmético aritm tico desempeña desempe a un papel crucial en el 

procesamiento de información 

informaci 

Vamos a examinar algunas de las operaciones más m s básicas: b sicas: las 

primeras que veremos son las acciones de contar y ordenar, innatas innatas 

en el ser humano 

Los circuitos que veremos son una parte fundamental de las 

unidades aritmético 

aritm tico-lógicas, gicas, componentes de las CPUs 



3


CONTADORES 

Un contador es un circuito que almacena el número n mero de veces que 

ha tenido lugar un determinado proceso o evento 

Poseerá, Poseer , por tanto, una sola entrada 

Su forma de operación operaci n será ser secuencial 

Podrán Podr n contar o no con un reloj 

Veamos un ejemplo 



4


CONTADOR 

Contador binario síncrono s ncrono (de 0 a 7) 

El primer paso en la síntesis s ntesis de este circuito es, como ya se ha 

visto, determinar el diagrama de estado y asignar las variables de 

estado, que nos dirán dir n cuantos biestables vamos a necesitar 

Recordemos que la entrada es única, nica, y que las transiciones entre 

estados tendrán tendr n lugar en conjunción conjunci n con el pulso de reloj 

2 

1 

0 

3 4 

Figura 24.1.- Diagrama de 

7 

6 

5 

D. Pardo, et al. 1999 

001 

010 

CBA (variables de 

estado, salidas) 

000 

111 

011 100 

110 

101 



5


CONTADORES: Contador binario síncrono s ncrono 

Serán Ser n necesarios 3 biestables, biestables, 

por lo que 

habrá habr tres variables de estado A, B y C 

Vamos a emplear flip-flops flip flops JK 

A partir de aquí, aqu , tenemos las siguientes 

tablas de excitación: 

excitaci n: 

C C C 

B 

B 

B 

x 00 01 11 10 x 00 01 11 10 

A 

A 

x 00 01 11 10 

A 

00 0 * 0 * 0 * 0 * 00 0 * * 0 * 0 0 * 00 0 * 0 * * 0 * 0 

01 * 0 * 0 * 0 * 0 01 0 * * 0 * 0 0 * 01 

11 * 1 * 1 * 1 * 1 11 1 * * 1 * 1 1 * 11 

10 1 * 1 * 1 * 1 * 10 0 * * 0 * 0 0 * 10 

JA ,KA 

JB ,KB 

0 * 

0 * 

JC ,KC 

* 0 

* 0 

0 * 1 * * 1 * 0 

0 * 

0 * 

Tabla de Excitación 

Qn J K Qn+1 

0 0 × 0 

0 1 × 1 

1 × 1 0 

1 × 0 1 

* 0 


* 0 



6


CONTADORES: Contador binario síncrono s ncrono 

Las ecuaciones correspondientes serán ser 

Entrada x 

CP 

T 

CP 

QA 

⎺QA 

x 

A 

J = x, K = x, 

A A 

J = xA, K = xA 

B B 

J = xBA, K = xBA 

C C 

T 

CP 

QB 

⎺QB 

B C 

Si la entrada es 1, cuando es activo el pulso de reloj se pasa al 

siguiente estado 

También Tambi n se puede tomar como entrada la señal se al de reloj y x=1, 

de este modo se cuentan pulsos de reloj 

x 

T 

CP 

J=K, por lo que 

pueden usarse 

flip-flops flip flops T 

QC 

⎺QC 




7


CONTADORES: Contador binario Asíncrono As ncrono 

I 

“1” “1” “1” 

T 0 

Q 0 

⎺Q 0 

T 1 

Q 1 

⎺Q 0 

CP CP CP 

I 

Q 0 

Q 1 

Q 2 

Opera de forma asíncrona as ncrona pues el cambio de estado de los flip- 

flops no tiene lugar simultáneamente simult neamente con la entrada, sino que 

ocurren consecutivamente, pues la salida de cada flip-flop flip flop es el 

reloj del siguiente 

La frecuencia de operación operaci n se ve penalizada 

T 2 

Q 2 

⎺Q 0 




8


CONTADORES: ejercicios propuestos 1 y 2 libro 

Contador asíncrono as ncrono hasta 5 




9


COMPARADORES 

Son los circuitos más m s simples que existen que trabajan con dos 

números meros 

El resultado de la comparación comparaci n puede ser mayor que, menor que, 

mayor o igual que, menor o igual que, o simplemente iguales 

A 

⎺B 

A 

B 

0 

1 

0 

0 

0 

1 

1 

0 

A 

B 

0 

1 

0 

1 

0 

1 

1 

1 

A 

B 

0 

1 

0 

1 

0 

1 

0 

1 

A 

B 

0 

1 

0 

1 

1 

1 

0 

1 

A 

B 

0 

A>B A≥B A=B A≤B A


COMPARADORES 

Si se quiere efectuar la comparación comparaci n entre varios bits, para ver si 

ambos son iguales se puede hacer comparado bit a bit con puertas 

X-NOR NOR 

A0 

B0 

A1 

B1 

A2 

B2 

A3 

B3 

A=B 


Circuito detector de igualdad 

A 

B 



3 

3 

A 

B 

2 

2 

A 

B 

1 

1 

A 

B 

0 

0 

11


COMPARADORES 

Si se quiere ver si un número n mero es mayor que otro, empezaremos 

por el bit más s significativo, hasta llegar a los menos (en caso 

necesario: ejemplo, ver si A2A1A0 > B2B1B0 [ ] 

( A A A > B B B ) = ( A > B ) + ( A = B ) ( A > B ) + ( A = B )( A > B ) = 

2 1 0 2 1 0 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 

A0 

⎺B0 

A1 

B1 

A1 

⎺B1 

A2 

B2 

A2 

⎺B2 

= A2 B2 + A2 ⊕ B2 ⎡A1 B1 + ( A1 ⊕ B1) A0 B0 

⎤ 

⎣ ⎦ 


A2A1A0>B2B1B0 

Circuito comparador de dos 

números de 3 bits: A > B 



A 

B 

2 

2 

A 

B 

1 

1 

A 

B 

0 

0 

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SUMADORES 

Semisumador binario (SSB): es el circuito sumador más m s simple 

http://www.esacademic.com/dic.nsf/eswiki/1114728 

http://html.rincondelvago.com/000359903.png 

A 

B 

SSB 



C 

S 

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SUMADORES 

Sumador binario completo (SBC): incluye una entrada adicional 

correspondiente al arrastre de la etapa anterior (acarreo previo) previo 

Co = 

i 

A· 

B + C ( A⊕ 

B) 

S = Ci 

⊕ A⊕ 

B 

http://asicdigitaldesign.files.wordpress.com/2007/05/fa_01.png 



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SUMADORES 

La realización realizaci n del circuito será: ser 

O también tambi n con la composición composici n de dos semisumadores binarios 

C i 

A 

B 

SSB 

A· B 

A ⊕ B 


SSB 

C i 

( A⊕ 

B) 


C o 



S 

S = Ci 

⊕ A⊕ 

B 

Co = 

i 

A· 

B + C ( A⊕ 

B) 

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SUMADORES DE VARIOS BITS 

Realización Realizaci n en paralelo con propagación propagaci n del arrastre 

Realizaci Realización n secuencial en serie 

http://azul2.bnct.ipn.mx/clogicos/multivibradores/graficos(.gif)/Cs_128.gif 

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2000477/lecciones/031001.htm 



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REPRESENTACIÓN REPRESENTACI N DE NÚMEROS N MEROS BINARIOS 

Representación Representaci n magnitud-signo 

magnitud signo 

• Consiste en representar el número n mero en binario natural, añadiendo a adiendo a la 

izquierda un cero si es positivo y un uno si es negativo (requiere (requiere 

circuitos diferentes para la suma y la resta) 

Complementos: se emplean para “convertir convertir” restas en sumas, y 

así as poder emplear el mismo circuito 

Complemento a la base o complemento a 2: 2: 

N+Cb (N)= )=bn • En binario corresponde con la complementación complementaci n del número n mero + 1 

http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/sist_arim.htm 

Restricción Restricci n de la base o complemento a 1: 1: 

N+Cb-1 (N)= )=bn-1 • En binario corresponde con la complementación complementaci n del número n mero 



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RESTADORES 

Otra de las operaciones aritméticas aritm ticas que se realizan con mucha 

frecuencia en Electrónica Electr nica Digital es la resta 

Podemos realizar el circuito de manera directa a partir de la tabla tabla 

de verdad y empleando la representación representaci n de signo-magnitud 

signo magnitud 

Ai Bi Ci-1 Di Ci 

0 

0 

1 

1 

0 

1 

0 

1 

0 

0 

0 

0 

0 0 1 

0 

1 

0 

1 

1 0 

0 0 

1 1 

0 1 1 0 1 

1 

1 

0 

1 

1 1 

0 

1 

0 

1 

D = ( A ⊕ B ) C 

i i i i−1 

C = A B + ( A + B ) C = 

i i i i i i−1 

= A B + ( A ⊕ B ) C 


i i i i i−1 



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RESTADORES 

Aprovechamos el circuito sumador empleando el convenio de 

complemento a 2, de modo que las restas se conviertan en sumas 

Este es un ejemplo realizado con la ayuda de un multiplexor 

C3 

A3 A2 A1 A0 

S3 

Sumador completo 

S2 

S1 

S0 

Multiplexor S 

B3 B2 B1 

C0 

B0 

Selección de 

operación: 

0 → A+B 

1 → A-B 


Sumador/Restador 

por complemento 



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RESTADORES 

Veamos otro ejemplo más m s 

detallado basado en el 

sumador previamente visto 

Sumador/Restador de 4 bits 

http://www.cmelectronics.8m.com/circuitos_aritmeticos.html 



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MULTIPLICADORES 

La forma más m s básica b sica de 

multiplicación multiplicaci n es la basada en 

el algoritmo de “lápiz piz y papel”. papel . 

Ej. Números N meros de 4 bits: 

En En general: 


http://gemini.udistrital.edu.co/comunidad/profesores/spinzon/docs/sisBinario.pdf 



21



Vamos a definir el siguiente 

elemento funcional, para el que 

necesitamos una puerta AND y un 

SBC 

De este modo, necesitaríamos necesitar amos 12 

SBC’s SBC para realizar la operación operaci 




22



Existen otras alternativas más m s eficientes, empleando registros de 

desplazamiento y acumuladores en combinación combinaci n con los sumadores 

binarios, y efectuando la multiplicación multiplicaci n secuencialmente 

Existen también tambi n multiplicadores de “alta alta velocidad” velocidad que se basan 

en configuraciones más m s complejas, generando más m s rápidamente r pidamente la 

suma de los productos parciales optimizando la propagación propagaci n de los 

acarreos o utilizando algoritmos de multiplicación multiplicaci n alternativos 



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DIVISORES 

Se puede efectuar la división divisi n de manera análoga an loga a la multiplicación 

multiplicaci n 

(método (m todo de “lápiz piz y papel”) papel 

Para un número n mero pequeño peque o de bits se pueden realizar diseños dise os 

combinacionales basados en restadores 

Para un número n mero de bits elevado, es preferible el diseño dise o de divisores 

secuenciales 

http://gemini.udistrital.edu.co/comunidad/profesores/spinzon/docs/sisBinario.pdf 



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25


PROBLEMAS 

1. Diseñar Dise ar una unidad aritmético 

aritm tico-lógica gica (ALU) con dos entradas de 

datos D1, , D2 (dígitos (d gitos de 1 bit) bit) 

y dos salidas z1 y z2. . Dicha ALU debe 

realizar las siguientes operaciones: 




26


PROBLEMAS 

1. Solución: Soluci n: 




27


PROBLEMAS 

1. Solución: Soluci n: 




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Agradecimientos 

Daniel Pardo Collantes, Área de Electrónica, Departamento de Física Aplicada 

de la Universidad de Salamanca. 

Referencias 

Pardo Collantes, Daniel; Bailón Vega, Luís A., “Elementos de 

Electrónica”.Universidad de Valladolid. Secretariado de Publicaciones e 

Intercambio Editorial.1999. 

http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/sist_arim.htm 





http://azul2.bnct.ipn.mx/clogicos/multivibradores/graficos(.gif)/Cs_128.gif 



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