ALGEBRA 2008 2da. parte.pdf - CBTa 233

ALGEBRA 

AUTOEVALUACIÓN DIAGNOSTICA 

(Ecuaciones e Inecuaciones) 

I. Contesta las siguientes preguntas con lo que recuerdes y sin revisar tu antología, debido a 

que se pretende saber que tipo de información previa dominas del tema de ecuaciones y de 

ahí partir, para mejorar tus conocimientos. 

QUE ES UNA ECUACIÓN? __________________________________________________ 

__________________________________________________________________________________ 

Resuelve la siguiente igualdad: x + 6 = 58 - 2 ¿Cuál es el valor de la x? = _____________ 

Realiza tus operaciones aun lado de la hoja 

Ahora en la siguiente ecuación: x + 3 = 19 - 3x ¿ Cuál es el valor de x? = _____________ 


II Resuelve los dos siguientes problemas, planteando las ecuaciones correctamente y 

resolviendo los datos que se solicitan. La primera es de 1er. grado y la segunda de 2do. grado 

“Encuentra dos números, uno es el doble del otro y los dos suman 159.” 


“Hallar un número distinto de cero, tal que el triple de su cuadrado sea igual a 6 veces el 

mismo número” Realiza tus operaciones aun lado de la hoja 

Resuelve el sistema de ecuaciones lineales con 2 incógnitas o “ecuaciones simultáneas” 

3x + y = 17 x =_____ y =_____ Realiza tus operaciones aun lado de la hoja 

x + y = 9 

Que significan los siguientes signos matemáticos? 

SIMBOLO SIGNIFICADO 

= 

< 

> 

≤ 

≥ 

Adaptó: Alejandro Acebo Gutiérrez. Agosto de 2007 53


Ecuaciones de primer grado 

Secuencia didáctica: EL SALARIO Y LAS MANZANAS 

BLOQUES ACTIVIDADES 

1. Analizar materiales escritos y relacionarlos con el lenguaje 

algebraico, haciendo la expresión algebraica correspondiente. 

2. Integrados en equipos de 3 o 4 integrantes, hacer planteamientos 

de lenguaje coloquial a lenguaje algebraico y utilizar los signos de 

agrupación. 

Resolver los dos problemas siguientes;. 

Actividades de 

Apertura 


Desarrollo 


Cierre 

Tema 3: Ecuaciones lineales 

Tres amigos realizaron un trabajo y de salario ganaron $ 960.00. 

Enrique ganó $ 24.00 menos que Eduardo y Esteban ganó 10 

veces lo que Enrique. ¿Cuánto ganó cada uno de ellos? 

Eduardo: ___________, Enrique;____________ Esteban___________ 

Segundo problema: Si el peso de una manzana es igual al peso de 

una naranja más 100 gramos. También el peso de dos manzanas 

es igual al peso de tres naranjas más 100 gramos ¿Cuántos 

gramos pesa una manzana y cuánto pesa una naranja? 

Naranja : ___________________ 

Manzana : ___________________ 

1. Realiza dibujos y/o esquemas para la solución de los problemas. 

2. Lee y analiza materiales escritos referentes a lenguaje algebraico 

y expresiones algebraicas, así como ecuaciones de primer grado; 

Notación y pasos para su solución de ecuaciones; Despeje de 

fórmulas y ecuaciones aplicadas a problemas reales. 

3. En forma individual determina una estrategia de solución para 

cada problema. 

4. Intégrate en equipos para socializar las estrategias encontradas 

señalando coincidencias y diferencias. 

5. Seleccionar una estrategia en cada equipo para exponerla al 

grupo. 

Presentar al grupo los trabajos desarrollados en el equipo. 

Plantear por equipos las diferentes formas de representar el 

lenguaje algebraico 

Se propiciará la exposición libre de las emociones y sentimientos 

generados durante el desarrollo del tema. 



ECUACIONES DE PRIMER GRADO O ECUACIONES LINEALES CON UNA 

INCOGNITA. 

Una ECUACIÓN es una afirmación matemática que utiliza un signo de igual " = " para 

establecer que dos expresiones representan el mismo número o son equivalentes. 

Imagínate unas balanzas (o ecuaciones) que en sus “platos o charolas” tienen un peso igual 

para estar bien balanceadas o distribuidas y puedan ser equivalentes. 

MAL DISTRIBUIDA BIEN DISTRIBUIDA MUY MAL DISTRIBUIDA 

NO EQUIVALENTE SI EQUIVALENTE NO EQUIVALENTE 

Aquella ecuación que contiene únicamente números puede ser CIERTA O FALSA, por 

ejemplo: 24 + 6 = 30 es cierta, pero 24 + 6 = 51 es falsa. 

Notación para una ecuación consiste en escribir el símbolo " = " entre las igualdades, por lo 

que una ecuación consta de dos partes llamadas MIEMBROS, uno a la izquierda del símbolo 

y el otro a la derecha, nombrándose primero y segundo miembro de la ecuación 

respectivamente. 

Ejemplo: es igual a 

Ecuación x + 6 = 30 

Cuanto 

vale la “x” 

” 

1er. miembro 2do. miembro 

Grado de una ecuación, queda determinado por el mayor exponente al que está elevada la 

incógnita en la ecuación considerada: Ejemplos: 

ECUACIÓN GRADO DE LA ECUACIÓN 

x - 5 = 16 - 3x ------------ Es ecuación de primer grado o ecuación lineal simple, 

ya que su incógnita "x" tiene como exponente a la unidad. 

7y² + 3 = 4y + 2 ------------Es una ecuación de segundo grado, ya que su incógnita 

"y" tiene como mayor exponente al dos. 

2x³ + x² = 18x -15 ----------Es una ecuación de tercer grado, ya que su incógnita "x" 

tiene como mayor exponente al tres. 



Principios de las ecuaciones: 

1. Sí en un miembro de la ecuación, un término está sumando o restando, pasará al otro 

miembro de la ecuación, realizando la “operación contraria”, es decir, restando o sumando 

respectivamente. 

Ecuación Original:- - - - - - - - - - - - - x + 7 = 12 El 7 está sumando en el 1er. miembro de la ecuación; 

pasará al 2do. miembro restando. 

x = 12 – 7 por lo tanto... 

x = 5 solución correcta 

2. Cualquier cantidad que esté dividiendo en un miembro de la ecuación, pasará al otro 

miembro de la ecuación, multiplicando a los términos que estén contenidos en dicho miembro. 

Ecuación Original:- - - - - x = 12 – x (el 3 está dividiendo el 1er, miembro y pasará 

3 multiplicando el 2do, miembro de la ecuación) 

x = ( 12 – x ) 3 se realizan las operaciones aritméticas adecuadas. 

x = 36 - 3x se pasa –3x al 1er, miembro sumando 

3x + x = 36 se suman las “x” 

4x = 36 el 4 que está multiplicando se pasa dividiendo 

x = 36 finalmente se divide para encontrar el resultado 

4 

x = 9 solución correcta 

Es muy importante que tengas presente que para resolver una ecuación lineal con una 

incógnita, significa determinar el valor para la incógnita que satisfaga la ecuación dada. 

CONCLUSIÓN: En una ecuación con incógnitas (no en todas las 

ecuaciones), la igualdad sólo es cierta para uno o algunos valores de 

la variable, (no para todos). Nuestra tarea es descubrir ese o esos 

valores. 

Ahora practiquemos otro ejemplo: Resolver la Ecuación: x - 8 = 1 - 2x hasta conocer el 

valor de x. 

PRIMER PASO: Agrupar en el primer miembro a todos los términos que contienen la 

incógnita y en el segundo miembro agrupar a todos los términos que no contienen a la 

incógnita( o sean los números). 

Primer miembro Segundo miembro 

x + 2x = 1 + 8 Recuerda que al cambiar un término de un miembro 

a otro, cambia de signo u operación contraria 

SEGUNDO PASO: Agrupados los términos en el primero y segundo miembro se reducen los 

términos semejantes en ambos miembros; 

x + 2x = 1 + 8 entonces: 

3x = 9 Recuerda que si el 3 está multiplicando pasa dividiendo 

x = 9 Realizamos la operación aritmética 

3 

x = 3 . . . . Estará correcto el resultado? 



TERCER PASO: Comprobar el resultado para saber si está correcto 

En la ecuación original: x – 8 = 1 –2x 

Se sustituye el valor de x (en este caso es 3 ) en cada una de las “x” de la ecuación original. 

3 – 8 = 1 –2 (3) se realizan las operaciones correspondientes. 

- 5 = 1 – 6 

-5 = - 5 como existe igualdad el resultado x = 3 es correcto 

Otro ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: 

Ecuación original... 7x + 10 = 4x + 50 hasta encontrar el valor de la “x” 

2 

En el segundo miembro existe un 2 que está dividiendo a 4x + 50, lo pasamos al primer 

miembro de la ecuación multiplicando: 

2 ( 7x + 10 ) = 4x + 50 Ahora multiplicamos en el 1er. Miembro. 

14x + 20 = 4x + 50 ahora si realizamos el… 

PRIMER PASO Agrupar en el primer miembro a todos los términos que contienen la incógnita 

y en el segundo miembro agrupar a todos los términos que son números. 

14x + 20 = 4x + 50 (el 20 pasa al 2do miembro como –20 

y 4x pasa al 1er. Miembro como –4x) 

14x - 4x = 50 – 20 (se realizan las operaciones aritméticas 

correspondientes en cada miembro) 

10x = 30 

SEGUNDO PASO: Agrupados los términos en el primero y segundo miembro y se reducen los 

términos semejantes en ambos miembros 

10x = 30 (se pasa el 10 que está multiplicando a la x 

al 2do.miembro dividiendo) 

x = 30 

10 

x = 3 será correcto el resultado? 

TERCER PASO: Comprobar el resultado para saber si está correcto en la ecuación original. 

7x + 10 = 4x + 50 (ecuación original) 

2 

7(3) + 10 = 4 (3) + 50 ( se sustituye el resultado obtenido (3) en las x) 

2 

21 + 10 = 12 + 50 ( se realizan las operaciones aritméticas) 

2 

31 = 62 se realizan las operaciones aritméticas 

2 

31 = 31 como hay igualdad, el resultado está correcto; x = 3 

Como observaste en este ejemplo, pueden existir en la ecuación original, algunos elementos 

o números que estén dividiendo, multiplicando, con radicación o potencia. Primero debes 

eliminarlos realizando las operaciones aritméticas correspondientes hasta que tengas una 

ecuación lineal y procedas a realizar los tres pasos ya señalados. 



DESPEJE DE FORMULAS 

Fórmula es la expresión de una ley o de un principio general, por medio de símbolos o letras. 

Las fórmulas son fáciles de recordar y aplicar y señalan la relación que existe entre las 

literales (variables) que intervienen en ella. 

Una fórmula es una ecuación en la que podemos DESPEJAR cualquiera de las literales 

(variables) que intervienen en ella considerándolas como incógnitas (variable independiente) 

El sujeto de una fórmula es la literal cuyo valor se obtiene por medio de la fórmula. Podemos 

despejar cualquiera de las otras literales considerándola como nueva incógnita, con ello 

habremos cambiado el sujeto de la fórmula. 

Para despejar una de las literales se utilizarán los principios de las ecuaciones señaladas con 

anterioridad, y las propiedades de los números reales y de una igualdad. 

Ejemplo: Dada la fórmula del área de un triángulo. 

A = bh , despejemos h 

2 

Al despejar h de esta ecuación literal; h será la nueva incógnita. 

2 A = b h 

h = 2 A 

b 

Otro ejemplo. Despejar de la fórmula e = v t la literal t 

e = t 

v 

t = e . 

v 



ECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES CON UNA INCÓGNITA, 

APLICADAS A PROBLEMAS REALES. 

La aplicación del álgebra en la solución de problemas prácticos, consiste en TRANSFORMAR 

desde el lenguaje común al lenguaje algebraico, el enunciado de los problemas dados. 

Los problemas dados en palabras contienen cantidades conocidas, también llamados 

DATOS, y cantidades desconocidas llamadas INCÓGNITAS que se relacionan entre si para 

dar lugar a una ecuación lineal. Por otro lado, existen una gran variedad de problemas en 

lenguaje común para los que no existe un procedimiento único establecido, es decir, cada 

problema tiene diferente planteamiento, por lo que te recordamos las recomendaciones 

para resolver problemas de la página número 4 de este libro, donde te señalamos los 4 

pasos siguientes: 1. Comprende el problema 2. Elabora un Plan 3. Lleva a cabo el plan 

y 4. Comprueba la solución y extiéndela a otras soluciones 

Problema: 

Una bolsa contiene $ 11.65 pesos en monedas de 25 y 10 centavos; si el número total de 

monedas es 70, encontrar cuántas monedas hay de cada clase? 

DATOS 

x= El número de monedas de 25 centavos 

(70 – x ) = El número de monedas de 10 centavos 

$11.65= suma de monedas de 25 y 10 centavos. 

COMPROBACIÓN: 

(0.25)(31) + 0.1(70 – 31) = 11.65 

7.75 + 3.9 = 11.65 

Planteamiento de la ecuación: 0.25x + 0.1 (70 - x) = 11.65 

Operaciones: 0.25x + 7 – 0.1x = 11.65 

0.15x = 11.65 –7 

0.15x = 4.65 

x = 4.65 

0.15 

x = 31 

Por lo tanto si hay 31 monedas de 25 centavos 

Existen en la bolsa 39 monedas de 10 centavos. 



11.65 = 11.65 Comprobado “matemáticamente” que el resultado es correcto. 

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: 

I. Resuelve las siguientes ecuaciones lineales de una incógnita y realiza tus operaciones 

aún lado de la página en orden y limpieza y COMPRUEBA TUS RESULTADOS. 

a) 15x - 24 = 3x b) x + 11 = 23 + 5x c) 2x - 2 = - 3 + 48 

x =___________ x =___________ x = ___________ 

d) 4x – 5 = 16 – 3x e) 3x – 5 = 19 – (x – 2 ) f) 5(x + 3)+2(x-7)=3x-11 

x =___________ x = ____________ x = ______________ 

II. Despeja en cada fórmula la literal que se te indica. Realiza tus operaciones aún lado de 

la página 

b d 

A h. Despejar d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Solución : ____________ 

2 

1 

e at 

2 

Bh 

V 

3 

2 

Despejar a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución : ____________ 

Despejar h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solución : _________ 

III.. Utiliza lo aprendido sobre ecuaciones de primer grado aplicadas a problemas reales. 

a) Lee detenidamente cada problema, b) Identifica los datos conocidos que se te 

proporcionan y la relación que guardan con los desconocidos (incógnitas); c) plantea la 

ecuación que represente el problema; d) Busca su solución mediante las operaciones 

adecuadas y e) Comprueba el resultado obtenido. 

1) Sandra y josefina recibieron una gratificación al terminar su trabajo. A Sandra le entregaron 

12 vales y 20.00 pesos, y Josefina recibió 8 vales y 100.00 pesos . Si los vales son de la 

misma denominación y las dos recibieron igual pago, ¿De qué cantidad son los vales? 

Solución: ____________________ 

2) La suma de tres números es 171; el segundo número es la mitad del primero y el tercer 

número es ¾ del primero. Encontrar dichos números 

Solución: ____________________ 

3) En la granja la “paloma” tienen un total de 3200 aves, de las cuales hay 750 gallinas más 

que gallos. Por otra parte, el número de pollos es 5 veces más que los gallos. Podrías decir 

cuántos pollos, gallinas y gallos tienen en la granja? 

Solución: ____________________ 



BLOQUES 


Apertura 


Desarrollo 


Cierre 

Tema 4: Ecuaciones cuadráticas 

(con una incógnita) 

Secuencia didáctica: “LA SALA DE LA SEÑORA NORMA” 

ACTIVIDADES 

Ayúdanos a resolver el 

siguiente problema de 

1. La sala de la señora Norma. 

Lo largo de la sala de la señora norma excede a su ancho en 4 

metros. Si a cada dimensión (largo y ancho) se le aumenta 4 

metros, el área será el doble. ¿Cuanto mide la sala de largo y 

ancho de la señora norma? 

Largo de la sala: ______________ Ancho de la sala:_ _________ 

2. En forma individual, determina una estrategia de solución al 

problema planteado. 

3. Intégrate a un equipo de 3 o 4 estudiantes para socializar las 

estrategias encontradas. 

4. Comenta con tus compañeros otras soluciones la problema 

5. Analiza el contenido referente a ecuaciones de segundo grado de 

los temas: Identificación de ecuaciones incompletas y su solución, 

Identificación de ecuaciones completas y sus método de solución: 

Método de factorización, completando los cuadrados y por la 

fórmula general. 

6. Contrastar los procedimientos utilizados y saberes recuperados. 

7. Exponer al grupo los conceptos y principios utilizados en la 

solución del problema. 

Por equipos plantear problemas semejantes al grupo para su 

solución. 

Analizar la metodología mas común y exponerla al grupo 

Resolver las actividades de aprendizaje de la antología. 





ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA 

MÉTODOS DE SOLUCIÓN 

Una ecuación con una incógnita, es de segundo grado si después de efectuadas las 

operaciones indicadas de pasar al primer miembro todos los términos y de hacer las 

reducciones posibles, resulta que el mayor exponente de la incógnita es igual a dos y el 

segundo miembro será cero. 

ES UNA ECUACIÓN EN LA CUAL EL MAYOR EXPONENTE DE LA INCÓGNITA ES DOS; 

SE REPRESENTA POR ax 2 + bx + c = 0 Y SE DENOMINA FORMA GENERAL EN DONDE 

a, b, c SON CONSTANTES Y “a” DEBE SER DIFERENTE DE CERO. 

Ejemplos: Ecuaciones de segundo grado 

Ecuación completa x 2 + 3x – 15 = 0. . . . Donde. . . . . . . a = 1; b = 3 c = -15 

Ecuación Incompleta 4x 2 – 7 = 0. . . . . . . . Donde. . . . . . . a = 4 b = 0 c = - 7 

Ecuación Incompleta 3x 2 + 4x = 0. .. . . . . . Donde. . . . . . . . . a = 3 b = 4 c = 0 

Como puedes observar en los ejemplos anteriores, existen dos tipos de ecuaciones de 

segundo grado; las completas e incompletas, analicemos someramente cada una de ellas. 

ECUACIONES INCOMPLETAS DE SEGUNDO GRADO: 

En toda ecuación de segundo grado, después de haber hecho las transformaciones y 

reducciones posibles, debe figurar necesariamente el término de segundo grado, pero puede 

faltar el término de primer grado o el término independiente, recibiendo en estos casos la 

denominación de incompleta. Ejemplos: 

3x 2 – 6x = 0 Es ecuación incompleta de segundo grado por carecer de término independiente 

De la forma general ax 2 + bx + c = 0 , puede ser que c = 0 entonces resulta ax 2 + bx = 0 

x 2 + 25 = 0 Es ecuación incompleta de segundo grado por carecer del término de primer grado 

SOLUCIÓN DE ECUACIÓNES INCOMPLETAS DE LA FORMA ax 2 + c = 0 

Un procedimiento que debemos seguir para resolver este tipo de ecuaciones que carecen 

del término de primer grado. Es utilizando la siguiente regla. 

Regla: La ecuación incompleta de segundo grado de la forma general ax 2 + c = 0, tiene siempre dos 

soluciones que son dos valores simétricos. Estos se encuentran extrayendo la raíz cuadrada del cociente 

que resulta de dividir el término independiente(c) con signo contrario, entre el coeficiente de x 2 , teniendo 

en cuenta el doble signo de la raíz cuadrada. 



Las dos raíces de la ecuación son : x1 = + 

x = c 

a 

c 

y x2 = - 

a 

Para resolver una ecuación de este tipo es más fácil utilizar la formula anterior 

Ejemplo: resolver la ecuación 2x 2 – 32 = 0 aplicando la formula y regla anterior tenemos: 

a = 2 ; c = -32 

Formulas a utilizar x = 

c 

sustituyendo valores x = 

a 

(32) 

2 

Realizamos operaciones: x = 

32 

 

2 

16 4 

por lo tanto sus raíces son: x1= 4 ; x2= -4 

Comprobación: para x1 = 4 

2 (4) 

y para x2 = - 4 

2 –32 = 0 2 (-4) 2 – 32 = 0 

2(16) –32 = 0 2 (16) 2 – 32 = 0 

32 – 32 = 0 32 – 32 = 0 

NOTA IMPORTANTE: Las raíces cuadradas de los números negativos dan lugar a los 

números imaginarios, por lo tanto no es posible hallar la raíz cuadrada de un número 

negativo, porque el cuadrado de cualquier número positivo o negativo es siempre positivo. 

SOLUCIÓN DE ECUACIÓNES INCOMPLETAS DE LA FORMA x 2 + bx = 0 

Las ecuaciones de este tipo que carecen de término independiente, se pueden resolver 

mediante la siguiente regla: 

Regla: La ecuación incompleta de segundo grado de la forma general ax 2 + bx = 0, tiene dos soluciones. Una es 

siempre cero. La otra se obtiene dividiendo el coeficiente del término de primer grado, con signo contrario, entre el 

coeficiente del término de segundo grado. 

Por lo tanto las dos raíces de la ecuación ax 2 + b = 0 son: x1 = 0 

x2 = - b . 

a 

Ejemplo: Resolver la ecuación x 2 – 8x = 0 mediante las dos raíces de la ecuación ax 2 + bx =0 

Solución: x1 = 0 x2= - (- 8 ) = 8 = 8 

1 1 

Comprobación: para x1 = 0 Para x2 = 8 

(0) 2 – 8 (0) = 0 ( 8 ) 2 – 8 ( 8 ) = 0 

0 - 8 (0) = 0 64 - 64 = 0 

0 - 0 = 0 0 = 0 

Adaptó: Alejandro Acebo Gutiérrez. Agosto de 2007 63 

c 

a


SOLUCIÓN DE ECUACIONES “COMPLETAS” DE LA FORMA ax 2 + bx + c = 0 

Para resolver una ecuación completa de segundo grado de la forma ax 2 + bx + c = 0 existen 

varios métodos, siendo los más comunes: El método de Factorización; El método de 

completar cuadrados y el método de la formula general. 

Solución por factorización 

Si el primer miembro de una ecuación de segundo grado completa es factorizable, las raíces 

pueden encontrarse a partir de los factores, igualando a cero cada factor. 

Ejemplo: Resolver la ecuación x 2 – x – 2 = 0 

Factorizamos………. ( x + 1 ) ( x – 2 ) = 0 

Igualamos a cero cada factor: x + 1 = 0 x1 = - 1 

x – 2 = 0 x2 = 2 

Comprobación: Si el resultado está bien las raíces anulan la ecuación: 

X 2 – x – 2 = 0 con x = - 1 con x = 2 

(-1 ) 2 – ( -1) – 2 = 0 (2 ) 2 – 2 – 2 = 0 

1 + 1 – 2 = 0 4 -2 – 2 = 0 

0 = 0 0 = 0 

Solución completando el cuadrado 

En el método llamado completar el cuadrado se suma un término al binomio de la forma x 2 + 

bx para formar un trinomio cuadrado perfecto, el término que ha de sumarse es el cuadrado 

de la mitad del coeficiente de x. La unidad debe quedar como coeficiente del término de 

segundo grado con respecto a x. 

Ejemplo: Resolver la ecuación 5x – 2 = - 3x 2 

Transponiendo, el término independiente siempre debe quedar en el segundo miembro. 

3x 2 + 5x = 2 

Dividimos cada término entre el coeficiente de x 2 , con lo cual el coeficiente de x 2 es la unidad. 

X 2 + 5 x = 2 . 

3 3 

Sumamos a cada miembro el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, en este caso…….. 

2 

5 25 

= , lo que hace al primer miembro de la ecuación un trinomio cuadrado perfecto. 

6 36 

2 5 25 2 25 

 

3 36 3 36 

x 

x 

49 

x 

 

6 36 

Sacamos raíz cuadrada de ambos miembros y usamos el doble signo en el segundo miembro 


5 2


x1 = – 5 + 7 = 2 = 1 ; x2 = – 5 – 7 = – 12 = –2 

6 6 6 3 6 6 6 

Solución con la Formula General 

Ejemplo: -2x 2 + 30 x – 100 = 0 

Según se ha indicado los coeficientes son a = -2 ; b = 30; c = -100 

Utilizamos la formula general 

Sustituimos los valores en la fórmula: 

finalmente 

30 10 

x 

4 

30 

x 

900 800 

4 

con sus 2 valores 

x 

b 

x 

5 

 

6 

Comprobación: Para x1 = 5 para x2 = 10 

-2x 2 + 30 x – 100 = 0 -2x 2 + 30 x – 100 = 0 

- 2 (5) 2 + 30 (5) – 100 = 0 - 2 (10) 2 + 30 (10) – 100 = 0 

-50 + 150 – 100 = 0 -200 + 300 – 100 = 0 

0 = 0 0 = 0 

b 

2a 

 

x 


2 

49 

36 

( 30) 

4ac 

 

( 30) 

2 

2( 

2) 

30 

x 

 

x 

1 

x 

b b 

x 

2a 

4( 

2)( 

100) 

100 

4 

30 10 

 

4 

2 

2 

30 10 

 

4 

4ac 

20 

4 

40 

4 

5 

10


ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: 

De las siguientes ecuaciones de segundo grado señala cuales son COMPLETAS y cuáles son 

INCOMPLETAS, indicando en estas últimas el término que falta. 

Ecuación de 2do. Grado 

Igualar a cero la ecuación 

3x 2 + x = 7 

3x 2 + x – 7 = 0 

3x 2 = 12 

x 2 – 7x = 0 

2x 2 + x = x + 9 

3x 2 – 1 = x 

¿Es completa o 

incompleta? 

Es completa 

¿Qué término falta? 

Ninguno, por que tiene todos los 

términos: cuadrático, el de primer 

grado y el independiente. 

II. Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas de segundo grado. 

a) x 2 – 16 = 0 x1= _______________ x2= ______________ 

b) 3x 2 – 12 = 0 x1= _______________ x2= ______________ 

c) 2x 2 – 8x = 0 x1= ________________ x2= ______________ 

d) 5x 2 = 15 x x1= ________________ x2= ______________ 

III. Utiliza cuando menos dos métodos para la resolución de ecuaciones cuadráticas 

completas (Factorización, completando el Cuadrado y Formula General) resuelve lo siguiente: 

e) x 2 + 9x + 20 = 0 x1 = _______________ x2 = __________________ 

f) x 2 – 3x + 2 = 0 x1 = _______________ x2 = __________________ 

g) x 2 – 8x + 5 = 0 x1 = _______________ x2 = __________________ 

h) Hallar un número distinto de cero, tal que el triple de su cuadrado sea igual a 6 veces el 

mismo número. 

Datos Representación algebraica Planteamiento 

i) Mateo es dos años mayor que mercedes y la suma de los cuadrados de ambas edades es 

514 años. Hallar ambas edades. 


j) El área de un rectángulo es 88 m 2 ¿Cuáles son sus dimensiones si su largo es 3 metros 

mayor que su lado ancho? 




BLOQUES 


Apertura 


Desarrollo 


Cierre 

Tema 5: Sistema de ecuaciones 

(Con dos incógnitas) 

Secuencia didáctica: EL CABALLO Y EL BURRO 

ACTIVIDADES 

Problema: 

1. Un caballo y un burro caminaban juntos, llevando sobre sus 

lomos pesados sacos. Lamentábase el caballo de su enojosa 

carga, a lo que el burro le dijo: “¿De que te quejas, hermano?, si yo 

te tomara un saco, mi carga sería el doble de la tuya; en cambio, si 

yo te doy un saco, tu carga se igualaría a la mía.” 

¿Podrías decir cuantos sacos llevaba el burro y cuantos el caballo? 

Burro ____________________ Caballo ___________________ 

2 En forma individual analiza la información y determina una 

estrategia de solución para conocer cuántos sacos llevaba cada uno 

de los animales 

1. Analizar información sobre el tema de Sistema de ecuaciones 

con 2 y 3 incógnitas de primer grado. Métodos de Solución del 

sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas: a) Método 

Reducción (suma y resta) b) Método de sustitución. c) Método de 

igualación. 

2. Resolver el problema planteado usando mínimamente de dos de 

los métodos propuestos. 

3. Socializar ante equipo y grupo los diferentes métodos de solución 

que se emplearon. 

4. Contrastar los procedimientos utilizados y saberes recuperados. 

Por equipo formular y resuelver sistemas de ecuaciones lin eales 

Socializa los métodos y resultados en el grupo. 

Realiza la búsqueda de problemas que se puedan resolver 

mediante la aplicación de lo anteriormente visto y preséntalos al 

grupo. 

Resolver las actividades de aprendizaje de la antología. 





SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS Y TRES INCOGNITAS DE PRIMER GRADO 

La solución de un sistema de ecuaciones requiere de tantas ecuaciones independientes como 

incógnitas se tengan por determinar; así un sistema de ecuaciones de primer grado con dos 

incógnitas constará de dos ecuaciones independientes; así el sistema de ecuaciones de 

primer grado con tres incógnitas, constará de tres ecuaciones independientes. 

Aquí estudiaremos primero las ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas, su 

planteamiento y resolución, lo que significa determinar los valores de las incógnitas que 

generalmente son “x” y “y” que satisfacen a cada ecuación del sistema. 

El proceso consiste en eliminar una de las dos incógnitas, dando lugar a una ecuación lineal 

con una incógnita; una vez determinado el valor de una de las incógnitas, se sustituye en 

cualquiera de las ecuaciones del sistema, obteniéndose el valor de la otra incógnita, 

Finalmente se comprueba dicho resultado en las dos ecuaciones. 

Existen varios métodos de solución de este tipo de sistemas aquí te mostraremos 3 de ellos y 

son: 

Método de REDUCCIÓN (suma o resta) 

Sistema de Ecuaciones 

lineales Métodos de 

(2 ecuaciones con 2 incógnitas) Solución Método de SUSTITUCIÓN 

"Ecuaciones simultáneas” 

Método de IGUALACIÓN 

El sistema de ecuaciones lineales, es el conjunto de 2 o más ecuaciones con 2 o más 

incógnitas cada una, y en el cual todas las ecuaciones se satisfacen con el mismo valor de 

cada incógnita. 

También se le llama sistema de ecuaciones simultáneas 

MÉTODO DE REDUCCIÓN (adición o sustracción) 

Este método consiste en modificar las ecuaciones del sistema dado, de tal manera que se 

igualen en valor absoluto los coeficientes de una de las incógnitas y tengan signos contrarios, 

por lo que al sumarse algebraicamente las ecuaciones se eliminan una de las incógnitas 

dando lugar a una ecuación lineal con una incógnita que es fácil de resolver. 

Los siguientes pasos nos facilitan la aplicación del método de Reducción: 

Se multiplican los miembros de una o de las dos ecuaciones por una cantidad 

constante apropiada para obtener ecuaciones equivalentes que tengan igual 

coeficiente para una de las incógnitas. 

Por suma o resta se elimina una de las incógnitas. 

Se resuelve la ecuación lineal resultante. 



Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales para 

encontrar el valor de la otra incógnita. 

Ejemplo: Resolver el sistema 4x + 6y = - 6 ---------------- Ecuación (1*) 

5x + 7y = - 2 --------------- Ecuación (2*) 

Multiplicamos los miembros de la ecuación 1* por 5 y los de la ecuación 2* por (- 4); 

resultando que los coeficientes de "x" se igualan y son de signo contrario. 

5 ( 4x + 6y = -6 ) ------------------------- 20x + 30y = - 30 

- 4 (5x + 7y = -2 ) ------------------------- -20x - 28y = 8 

Sumando algebraicamente ambas ecuaciones, resulta: 

20x + 30y = - 30 

- 20x - 28y = 8 

00 + 2y = - 22 Resolviendo la ecuación tenemos: 

y = - 22 = - 11 

2 

Sustituimos el valor de “y”obtenido en cualquiera de las ecuaciones originales, se obtiene: 

4x + 6 ( - 11 ) = - 6 

4x – 66 = - 6 

4x = - 6 + 66 

x = 60 ----------- x = 15 

4 

Su COMPROBACIÓN en la primera ecuación: 4x + 6y = - 6 

Sustituimos los valores obtenidos de “x” , “y” 4 (15) + 6 (-11 ) = - 6 

60 - 66 = - 6 

- 6 = - 6 Igualdad comprobada. 

Su COMPROBACIÓN en la segunda ecuación: 5x + 7y = - 2 

5(15) + 7(-11) = - 2 

75 - 77 = - 2 

- 2 = - 2 Igualdad comprobada 

METODO DE SUSTITUCIÓN. 

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución, se aplican los pasos 

siguientes: 

Despejar una incógnita de cualquiera de las dos ecuaciones en términos de la otra. 

Se sustituye la expresión para la incógnita despejada en la otra ecuación que no se ha 

utilizado; se obtiene una ecuación con una incógnita. 

Se sustituye el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones originales para 


Se comprueba los resultados en las dos ecuaciones originales. 



Ejemplo: Resolver el sistema 7x - 4y = 5----------------Ecuación (1*) 

9x + 8y = 13--------------Ecuación (2*) 

De la ecuación 1* se despeja "y" en términos de "x": 

7x - 4y = 5 

- 4y = 5 - 7x 

y = 5 - 7x Ecuación 1* despejada la “y” 

- 4 

Se sustituye éste valor en la ecuación 2*, dando lugar a una ecuación con una incógnita: 

5 - 7x 

9x + 8 - 4 = 13 ----------- Se multiplica 8 por 5 entre –4 = -10 

y 8 por –7x entre –4 = 14x 

9x - 10 + 14x = 13 - - - - - Se pasa al 2do miembro el –10 como 10 

9x + 14x = 13 + 10 

23x = 23 

x = 23 por lo tanto x = 1 

23 

Sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de la ecuación original, se obtiene: 

7 ( 1 ) - 4y = 5 

7 - 4y = 5 

- 4y = 5 - 7 

-4y = -2 

y = - 2 por lo tanto y = 1 = 0.5 

- 4 2 

Se comprueban los resultados----- 7 (1) - 4 ( 0.5 ) = 5 9 (1) + 8 (0.5) = 13 

7 - 2 = 5 9 + 4 = 13 

5 = 5 13 = 13 

por ser iguales los resultados se comprueba que están correctos los resultados 

METODO DE IGUALACIÓN 

Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de igualación, se aplican los siguientes 

pasos: 

Se despeja la misma incógnita en cada una de las ecuaciones del sistema dado. 

Se igualan entre sí las expresiones obtenidas, consiguiéndose eliminar una de las 

incógnitas y dando lugar a una ecuación con una incógnita. 

Se resuelve la ecuación de primer grado resultante. 

Se sustituye el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones originales para 




Ejemplo: Resolver el sistema 6x + 2y = - 10 

9x + 4y = - 24 

Despejamos "y" en ambas ecuaciones, por tener menor coeficiente: 

6x + 2y = - 10 9x + 4y = - 24 

2y = - 10 - 6x 4y = - 24 - 9x 

y = - 10 - 6 x y = - 24 - 9x 

2 4 

Igualamos entre si ambas expresiones, se obtiene 

- 10 - 6x = - 24 - 9x (Se pasan los divisores a multiplicar en el miembro contrario) 

2 4 

4 ( -10 -6x ) = 2 ( -24 - 9x ) Resolvemos la ecuación 

- 40 -24x = -48 - 18x 

- 18x - 24x = -48 + 40 

- 6x = - 8 

x = - 8 ----------por lo tanto x = 4 

- 6 3 

Sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones originales, se obtiene: 

9x + 4y = - 24- - - - - - - - - - 9 (4 / 3 ) + 4y = - 24 (Se multiplica 9 por 4 entre 3=12) 

12 + 4y = - 24 

4y = -24 -12 

y = - 36 

4 

y = - 9 

Se comprueban los resultados obtenidos en las ecuaciones originales: 

6x + 2y = - 10 9x + 4y = - 24 

6 (4 / 3) + 2 (- 9) = - 10 9 (4 / 3) + 4 ( - 9 ) = - 24 

8 - 18 = - 10 12 - 36 = - 24 

- 10 = - 10 - 24 = - 24 

Como existe igualdad en las dos ecuaciones los resultados son correctos 



ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 

I. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones y comprueba sus soluciones utilizando el 

método de reducción. Utiliza la página de aún lado para tus operaciones. 

1) 3x + y = 17 x =_____ y =_____ 

x + y = 9 

2) 4x + y = 11 x =_____ y =_____ 

4x + 2y = 2 

II. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones usando el método de sustitución: 

1. 5x + 7y = -1 x - 5y = 8 

-3x + 4y = -24 -7x +8y =25 

III. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones usando el método de igualación. 

2x + 3y = 8 3a + 5b = 21 

3x - y = 1 8a - 5b = 1 

Reflexiona los siguiente problemas de la vida real y resuélvelo por el método que 

domines mas.. 

En cierta ocasión dos amigos fueron al mismo supermercado por separado a realizar 

compras, y resulta que compraron los mismos dos productos de la siguiente forma. El 

primero de ellos compró un refresco y tres sabritas a un costo total de 39 pesos y el segundo 

compró tres refrescos y cuatro sabritas a un costo total de 77 pesos. 

¿Nos puedes decir cuanto cuesta un refresco y una sabrita en ese supermercado? 

Si sumamos el número de litros de leche que tiene el recipiente A, con el número de litros de 

leche del recipiente B, el resultado que se obtiene es 430. Si el recipiente A contiene 120 litros 

más que el B. ¿Cuántos litros contiene A y cuántos B ? 



( con tres incógnitas) 

Secuencia didáctica: “De compras en el mercado” 


Actividades 

de Apertura 

Actividades 

de Desarrollo 

Actividades 

de Cierre 

Tema 5: Sistema de ecuaciones 

1. Diagnosticar en el grupo sobre la dificultad o facilidad del aprendizaje 

de los métodos del sistema de ecuaciones con dos incógnitas. 

2. Integrados en equipos de 2 o 3 integrantes, hacer el siguiente 

problema. 

En el centro comercial LEY; Normita encontró qué: 5 Kilos de azúcar, 

más 3 de café y 4 de frijoles, cuestan $118; 4 de azúcar más 5 de café y 

3 de fríjol cuestan $145; 2 de azúcar más 1 de café y 2 de frijoles 

cuestan $46. 

Realiza los cálculos necesarios para encontrar la solución de: 

¿Cuál es el costo de cada artículo? 

¿Cuál es el costo del total del azúcar? 

¿Cuál es el costo del total de café? 

¿Cuál es el costo del total del fríjol. 

Investigar el tema “ecuaciones lineales con tres incógnitas” 

Investigar ejercicios o problemas, donde interviene el sistema de 

ecuaciones con tres incógnitas. 

Exponer o platicar el tema con el grupo. 

Resuelve los ejercicios de la antología. 

Plantea tus respuestas a los demás compañeros y al asesor. 

En el salón de clases y durante ala asesoría redacta un problema en 

donde interviene un sistema de ecuaciones con tres incógnitas. 

Comentar libremente el sentimiento expresado durante la solución 

de los problemas. 



SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS 

Observa la forma de resolver este tipo de ecuaciones 

Si tenemos las ecuaciones: 

x + 3y + 2z = 13 (1) 

5x - 2y + z = 4 (2) 

3x + 4y - 3z = 2 (3) 

Utilizando el método más sencillo (Reducción) para resolver este sistema de ecuación es con 

tres incógnitas. 

Primer Paso: Con la primera y segunda ecuación y usando el método de reducción, se 

eliminará una literal, en este caso la “ y “, cuyo resultado dará una nueva ecuación con dos 

incógnitas (cuarta ecuación ). 

(2) x + 3y + 2z = 13 (ecuación 1) 

(3) 5x - 2y + z = 4 (ecuación 2) Multiplicamos a cada ecuación por los 

Coeficientes de las "y", porque en ellas se 

2x + 6y + 4z = 26 encuentran diferentes signos. 

15x - 6y + 3z = 12 

17x + 7z = 38 ------------- Cuarta ecuación. 

Segundo Paso: Al igual que en el primer paso, utiliza la segunda y tercera ecuación, 

eliminando la misma incógnita ( y ). el resultado será otra ecuación con dos incógnitas (quinta 

ecuación ). 

(4) 5x - 2y + z = 4 (ecuación 2) 

(2) 3x + 4y - 3z = 2 (ecuación 3) 

20x - 8y + 4z = 16 

6x + 8y - 6z = 4 

26x - 2z = 20 ---------- Quinta ecuación. 

Tercer paso: Ahora formaremos un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, la cual la 

conformaremos con la cuarta y la quinta ecuación. 

(2) 17x + 7z = 38 

(7) 26x - 2z = 20 

34x + 14z = 76 

182x - 14z = 140 

216x = 216 

x = 216 Despejamos la "x" 

216 

x = 1 Producto. 



Ahora obtendremos el valor de la siguiente incógnita "z" sustituyendo en una de las 2 

ecuaciones el valor de la "x". 

26x - 2z = 20 

26(1) - 2z = 20 Sustituimos en la ecuación. 

26 - 2z = 20 

- 2z = 20 - 26 Transponemos términos 

- 2z = - 6 

z = - 6 Aplicamos la ley de los signos y simplificamos la 

- 2 expresión. 

z = 3 Resultado. 

Cuarto Paso: Con una de las tres ecuaciones dadas (en este caso la 1) obtendremos el valor 

de la tercera incógnita. 

x + 3y + 2z = 13 

1 + 3y + 2 (3) = 13 Sustituimos en la ecuación 1 + 3y + 6 = 13 

3y = 13 - 1 - 6 Transponemos términos del primero al segundo 

3y = 13 - 7 miembro. 

3y = 6 

y = 6 

3 

y = 2 Resultado. 

COMPROBACIÓN DE LA ECUACIÓN: 

La comprobación se lleva a cabo sustituyendo en la ecuación a la literal por su valor, cuando 

exista una igualdad la ecuación estará correcta. 

Ejemplo: 

x + 3y + 2z = 13 3x + 4y - 3z = 2 

1 + 3(2) + 2(3) = 13 (1) 3(1) + 4(2) - 3(3) = 2 (2) 

1 + 6 + 6 = 13 3 + 8 - 9 = 2 

13 = 13 Igualdad. 2 = 2 Igualdad. 

5x - 2y + z = 4 

5(1) - 2(2) + 3 = 4 (3) 

5 - 4 + 3 = 4 

4 = 4 Igualdad. 

¡DEMUESTRA TU APRENDIZAJE! 



ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE. 

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones con tres incógnitas. Realiza tus 

operaciones aun lado de la página, en orden y limpieza, por favor. 

(a) x - y + 2z = 8 (b) x - 4y + 5z = -4 (c ) x + 4y - z = 6 

3x + y - 3z = 2 x + 3y + z = 6 2x + 5y - 7z = - 9 

0 + 2y + 9z = 16 2x - 3y + 2z = -6. 3x - 2y + z = 2 

x = ______ x = ______ x = _______ 

y = ______ y = ______ y = ______ 

z = ______ z = ______ z = ______ 

2. Resuelve los siguientes problemas planteándolos mediante sistemas de ecuaciones de 

tres incógnitas. 

a) La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º. El mayor excede al menor en 35º y el 

menor excede en 20º a la diferencia entre el mayor y el mediano. Hallar los ángulos. 

b) Un ganadero tiene 110 animales entre vacas, caballos y terneros, 1/8 del número de vacas 

más 1/9 del número de caballos más 1/5 del número de terneros equivalen a 15, y la suma del 

número de terneros con el de vacas es 65 ¿Cuántos animales de cada clase tienen? 



Secuencia didáctica: “LAS CALORÍAS DEL PAN” 


Actividades 

de Apertura 

Actividades 

de Desarrollo 

Actividades 

de Cierre 

Tema 6: Inecuaciones o desigualdades 

1. Con todos los aprendizajes adquiridos y con la información que se te 

presenta en ésta antología, Analiza y resuelve el siguiente problema: 

“Cierto platillo contiene 10 calorías menos que el doble de la que contiene 

una rebanada de pan blanco. Juntos contienen un mínimo de 185 calorías”. 

¿Podrías decir el número posible de 

Calorías de la rebanada de pan? 

Leer y reflexionar las lecturas del tema de inecuaciones o 

desigualdades: Notación, tipos de desigualdades, Propiedades de 

las desigualdades y solución de inecuaciones. 

En equipos de 3 o 4 estudiantes buscar una estrategia para resolver 

el problema de la rebanada de pan. 

Comparar los saberes recuperados con el análisis de las lecturas en 

forma individual. 

Exponer las coincidencias y diferencias utilizadas en la solución del 

problema y las actividades de aprendizaje del tema de inecuaciones. 

Resuelver los ejercicios de la antología. 

Plantea tus respuestas a los demás compañeros y al asesor. 

Comparar resultados para que realicen las correcciones posibles se 

discutirán los resultados de cada ejercicio en una plenaria, utilizando 

hojas de rotafolio, marcadores, graficas, cuadros de análisis, etc. 

Se discutirán los resultados de cada ejercicio en una plenaria, 

utilizando hojas de rotafolio, marcadores, graficas, cuadros de 

análisis, etc. 

Comentar libremente el sentimiento expresado durante la solución 

de los problemas. 



NOTACIÓN 

La mayor parte de nuestro interés en esta unidad han sido las ecuaciones o igualdades, 

pero hay problemas complejos que se pueden resolver sólo en términos de DESIGUALDAD; 

tales problemas, pertenecen también al campo de las matemáticas aplicadas. 

Si tenemos 2 números, “a y b”, pueden ocurrir una de las siguientes 3 situaciones: 

Que a > b Significa que “a” es mayor y está a la derecha de “b” --------DESIGUALDAD 

Que a 

Que a = b Significa que “a” y “b” coinciden ------------------- IGUALDAD (Ecuación) 

Las relaciones a > b ó a 

Una desigualdad es una afirmación de que una cantidad es 

mayor que o menor que otra cantidad. 

Los símbolos de desigualdad se utilizan para comparar las posiciones relativas de dos 

números en una recta numérica o bien los tamaños relativos de dos o más expresiones. 

El símbolo > en 4 > -5 indica que 4 es mayor que -5. Como observarás en la figura, la 

posición del número 4 en la recta numérica con respecto al -5, el número 4 está a la derecha 

del -5. 

-5 

Una manera fácil de leer desigualdades es recordar que el pico del símbolo siempre está más 

cerca del número menor y la parte ancha está más cerca del número mayor. 

Se tienen cuatro símbolos de desigualdad: 

Símbolo Significado 

< Es menor que (a la izquierda de otro número sobre la recta numérica). 

> Es mayor que (a la derecha de otro número sobre la recta numérica). 

≤ Es menor o igual que. 

≥ Es mayor o igual que. 

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE: 

0 4 

Coloca el símbolo de desigualdad correcto entre las dos expresiones. 

a). 7 -8 b). -5 + 4 c). -3 -3 d). ½ - ⅛ e.) -⅛ -⅞ 

Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los términos que están a la izquierda 

del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los términos de la 

derecha, forman el segundo miembro. De la definición de desigualdad, lo mismo que de la 

escala de los números algebraicos, se deducen algunas propiedades. 



Propiedades: 

1. Todo número positivo es mayor que cero. 

Ejemplo: 5 > 0 

2. Todo número negativo es menor que cero 

Ejemplo: -9 < 0 

3. Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto; 

Ejemplo: -10 >-30 

Una desigualdad simultánea son dos desigualdades en un enunciado. 

Escribimos x ≥ 0 “y” x ≤ 20 juntos como 0 ≤ x ≤ 20. Esto se lee de la siguiente manera: x es el 

conjunto de números entre 0 y 20, incluyendo a 0 y a 20. 

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE: Escribe cada par de desigualdades como una 

desigualdad simultánea, utilizando únicamente ≤ o ≤. 

a. x < 0 y x > -3 b. x ≤ -5 y x > -2 

c. x > 0 y x ≤ 3 

1 

d. x < y x ≥ 

2 

Es recomendable, como una buena costumbre, colocar el número más pequeño a la 

izquierda. 

Entonces las desigualdades podemos describirlas con palabras, por ejemplo: 

Desigualdad Palabras 

0 ≤ x ≤ 20 El conjunto de números mayores que o igual a 0 y menores que o 

iguales a 20. 

20 < x ≤ 500 El conjunto de números mayores que 20 y menores que o iguales a 

500. 

x > 250 El conjunto de números mayores que 250. 

x < -12 El conjunto de números menores que -12 

También podemos enunciar desigualdades como intervalos. 

Un intervalo es un conjunto que contiene a todos los números entre sus extremos además de 

un extremo, ambos extremos o ninguno de los extremos. Los intervalos indican la inclusión o 

exclusión de los extremos mediante el uso de corchetes o paréntesis. 

Los corchetes, [ ], indican que los puntos extremos se incluyen en el conjunto. 

Los paréntesis, ( ), se utilizan cuando los extremos se excluyen del conjunto. 

Podemos mezclar corchetes y paréntesis en un mismo intervalo, como se muestra en la 

siguiente tabla. 


3 

4


Desigualdad Intervalo Descripción 

8 ≤ x ≤ 10 [8, 10] El conjunto de números entre 8 y 10, incluyendo 8 y 10. 

8 ≤ x < 10 [8, 10) El conjunto de números entre 8 y 10, incluyendo 8. 

8 < x ≤ 10 (8, 10] El conjunto de números entre 8 y 10, incluyendo 10. 

8 < x < 10 (8, 10) El conjunto de números entre 8 y 10. 

Si se usan para el intervalo: [ , ] es un intervalo cerrado; [ , ) o ( , ] son intervalos semiabiertos 

por la derecha y por la izquierda respectivamente y ( , ) es un intervalo abierto. 

Retomando lo anterior, podemos utilizar o expresar en intervalos las siguientes expresiones 

de desigualdad: 

Desigualdades Intervalos 

0 ≤ x ≤ 20 x en [0, 20] 

20 < x ≤ 500 x en (20, 500] 

x > 500 x en (500, + ) 

x < 500 x en (- , 500) 

Para incluir tanto a 0 como el 20, escribimos x incluido en [0, 20]. Los corchetes, [ ], incluyen a 

los extremos. Para describir el conjunto de números desde 20 hasta 500, pero sin incluir el 20, 

escribimos x incluido en (20, 500]. Excluimos al extremo 20 al utilizar un paréntesis. El tercer 

intervalo, x en (500, + ), describe todos los números mayores que 500. No existe número 

mayor, así que necesitamos un símbolo para decir que los números aumentan sin límite. Lo 

mismo en el último intervalo, x en (- , 500), describe todos los números menores que 500. 

No existe número menor, así que necesitamos un símbolo para decir que los números 

disminuyen sin límite. Utilizamos un símbolo de infinito, . Siempre escribiremos intervalos 

con el número más pequeño a la izquierda. Ya sea para 9 > x o x < 9, escribiremos (- , 9) en 

lugar de (9, - ). Infinito significa sin límite. El infinito describe un concepto, no un número. 

TIPOS DE DESIGUALDADES. 

Así como hay igualdades absolutas que son las identidades, e igualdades condicionales que 

son las ecuaciones; así también hay dos clases de desigualdades las absolutas y las 

condicionales.Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se 

atribuya a las literales que figuran en ella 

Ejemplo: a 2 + 3 > a 

Desigualdad condicional o inecuación es aquella que sólo se verifica para ciertos valores 

de las literales: 

Ejemplo: 2x - 8 > 0 

que solamente satisface para x > 4. En tal caso se dice que 4 es el límite de x. 

Una inecuación o desigualdad lineal con una variable puede escribirse ax + b < c, donde a, b 

y c son números reales y a es diferente de 0. La definición anterior y las propiedades que 

siguen son válidas también para otros símbolos de desigualdad, >, ≤ y ≥. 



Resolver una desigualdad significa obtener el conjunto de valores para la variable de entrada 

que hacen que la desigualdad sea un enunciado verdadero. Pero antes daremos un vistazo a 

las propiedades de las desigualdades. 

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES O INECUACIONES. 

1. Propiedad aditiva. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se suma o se resta un 

mismo número en ambos lados. 

Sentido de una desigualdad. Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos o 

contrarios en las desigualdades, según que el primer miembro sea mayor o menor que el 

segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se 

convierte en menor o viceversa. 

Efectivamente si en la desigualdad a > b se designa por "c" lo que falta a "b" para ser igual a 

"a", se tiene: a = b + c 

Añadiendo un mismo número, positivo o negativo a los miembros, se puede escribir: 

a + m = b + c + m 

Suprimiendo "c" en el segundo miembro, resulta: 

a + m > b +m 

Ejemplos: 

9 > 5 

9 + 2 > 5 + 2 

11 > 7 

-2 > -6 

-2 -3 > -6 -3 

-5 > -9 

Consecuencia de esta propiedad: Puede suprimirse un término en un miembro de una 

desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el término simétrico del 

suprimido; es decir, se puede pasar un término de un miembro a otro, cambiando su signo, 

porque esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros. 

Ejemplo: 

6x -2 > 4x + 4 

6x -4x > 4 + 2 

2. Propiedad multiplicativa (por un número positivo). 

Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un 

mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, también positivo. 

Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c 

Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por un número positivo "m", resulta: 

am = bm + cm. 

Suprimiendo el término positivo "cm", en el segundo miembro disminuye, y se tiene: 

am > bm 

Si "m" es recíproco de un número positivo, queda evidenciada la segunda parte de esta 

propiedad 



Ejemplos: 

12 > 7 

(12) (3) > (7) (3) 

36 > 21 

15 > -25 

15 ÷ 5 >(-25) ÷ 5 

3 > -5 

3. Propiedad multiplicativa (por un número negativo). Una desigualdad cambia de 

sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen 

entre un mismo divisor, también negativo. 

Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + c 

Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por el factor negativo -n se obtiene: 

-an = -bn -cn 

Suprimiendo -cn, en el segundo miembro aumenta; por tanto, 

-an < -bn 

Si -n es recíproco de un número negativo, queda demostrada la segunda parte del enunciado. 

Ejemplos: 

3 > -15 

3(-4) < (-15)(-4) 

-12 < 60 

64 < 80 

64 ÷ (-4) >80 ÷ (-4) 

-16 > -20 

Consecuencia de esta propiedad: pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, 

con tal que se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos 

miembros por -1. 

Ejemplo :-7x + 130 < -5x 

7x - 130 > -9 + 5x 

4. Propiedad de la potencia (números positivos en ambos lados). Si los dos miembros de 

una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de 

sentido. 

Sea la desigualdad a < b, en la que "a" y "b" son positivos. Multiplicando sus dos miembros 

por "b", resulta: 

ab 

En el primer de esta desigualdad, sustituyendo "b" por "a", la desigualdad se refuerza; por 

tanto: 

a 2 

Ejemplo: 

7 < 10 

7 3 < 10 3 

343 < 1000 

5. Propiedad de la potencia (números negativos en ambos lados). Si los dos miembros de 

una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el 

sentido de la desigualdad; pero hay cambio de sentido si el grado de la potencia es par. 



Sea la desigualdad -a < -b 

a) Multiplicando sus dos miembros por b 2 se obtiene: 

-ab 2 < -b 3 

En el primer miembro, reemplazando b 2 por a 2 , la desigualdad se refuerza; luego se puede 

escribir: 

-a 3 < -b 3 

b) Multiplicando los dos miembros de la primera desigualdad por -b y haciendo análogas 

transformaciones, la desigualdad cambia de sentido, porque sus términos cambian de signo, y 

se tiene: 

a 2 > b 2 

Ejemplos: 

-3 > -6 

(-3) 3 > (-6) 3 

-27 > -216 

-8 < -4 

(-8) 2 > (-4) 2 

64 > 16 

6. Si se suman miembro a miembro varias desigualdades de mismo sentido, resulta una 

desigualdad de mismo sentido que aquéllas. 

Sean las desigualdades a > b; a' > b'; a" > b" 

Se puede escribir: 

a = b + c 

a' = b' + c' 

a" = b" + c" 

Sumando miembro a miembro y suprimiendo c + c' + c", se tiene, sucesivamente: 

a + a' + a" = b + b' + b" + c + c' + c" 

a + a' + a" > b + b' + b" 

Ejemplo: 

Dado: 2x > 10 y 7x > 26 

se obtiene: 9x > 36 

7. Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario, resulta una 

desigualdad de igual sentido que el minuendo. 

Sean las desigualdades a > b y c < d 

Invirtiendo la segunda desigualdad y sumándola a la primera se tiene 

a > b 

d > c 

a + d > b +c 

Restando d + c de cada miembro, resulta: 

a - c > b -d 

Ejemplo: 

Dado: 7x < 12 y 5x > 16, 

se obtiene: 2x < -4 



SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN. 

Ejemplo 1: Desigualdad que involucra división entre un número negativo. 

Resolver la inecuación 

Resta 6 de cada lado: 

divide entre -2 cada miembro e invierte el símbolo: 

Finalmente: 

Ejemplo 2: Desigualdad que involucra división entre un número positivo. 


Réstese 2x de cada miembro: 

Réstese 6 de cada miembro: 

Finalmente: 

6 - 2x ≤ 12 

6 - 6 - 2x ≤ 12 – 6 

-2x ≤ 6 

-2x/-2 ≥ 6/-2 

x ≥ -3 

4x + 6 > 2x -7 

4x -2x + 6 > 2x -2x -7 

2x +6 -6 > -7 -6 

x > -13/ 2 

x > - 6.5 

Ejemplo 3: Desigualdad que involucra fracciones y división entre un número negativo. 


Multiplíquese por 15 cada miembro 

Réstese 15x de cada miembro: 

Réstese 30 de cada miembro: 

Divídase entre -10 cada miembro 

Finalmente: 

Ejemplo 4: Manteniendo positivo el coeficiente de la variable. 


Suma 3x a cada miembro 

Resta 3 de cada miembro: 

Divide entre 5 cada miembro: 

Finalmente: 

(6 + x)/ 3 < (5x - 7)/ 5 

30 + 5x < 15x -21 

30 + 5x -15x < 15x -21 -15x 

30 -10x -30 < -21 -30 

(-10x)÷-10 > (-51)÷-10 

x > 5.1 

2x + 3 ≤ -3x - 2 

2x + 3+ 3x ≤ -3x - 2+ 3x 

5x + 3 - 3 ≤ - 2 - 3 

5x/5 ≤ - 5/5 

x ≤ - 1 

Mantener positivos los coeficientes de la variable se puede hacer en la mayoría de las 

desigualdades y tiene la ventaja de eliminar la necesidad de invertir o cambiar el sentido del 

símbolo de desigualdad. 

Las soluciones están expresadas en desigualdad, pero también las podemos expresar en 

notación de intervalo, descriptiva o en palabras y en forma de gráfica lineal. 



Otros ejemplos: “Hallar el límite de x en las inecuaciones siguientes: 

1) Hallar el límite de x en la inecuación: 3x – 14 < 7x - 2 

3x – 7x < 14 – 2 

- 4x < 12 

x > 12 . . . . . . . . . . . . . . x > - 3 

-4 

“(-3 es el límite superior de x, es decir, la desigualdad dada sólo satisface para los valores de 

x mayor que – 3)” Ejemplo: 

si x = - 2 si x = -1 si x = 0 

3(-2) – 14 < 7 (-2) – 2 3(-1) – 14 < 7 (-1) – 2 3(0) – 14 < 7 (0) - 2 

- 6 – 14 < - 14 – 2 - 3 – 14 < - 7 – 2 – 14 < – 2 

– 20 < – 16 – 17 < – 9 – 14 < –2 

si x = 2 si x = 3 observa si x = – 4 

3(2) – 14 < 7 (2) – 2 3(3) – 14 < 7 (3 ) – 2 3(–4) – 14 < 7 (–4 )- 2 

6 – 14 < 14 – 2 9 – 14 < 21 – 2 –12 – 14 < – 28 –2 

– 8 < 12 – 5 < 1 9 – 26 < – 30 

Si observas detenidamente el valor de x = – 4 NO satisface la desigualdad. 

2) Hallar el límite de x en la inecuación: 

x + 3 – 4 > x . Quitando denominadores tenemos 

3 x + 2 3 

(x +3 ) ( x + 2) – 4 ( 3 ) > x ( x + 2 ) 

x 2 + 5x + 6 -12 > x 2 + 2x Transponiendo términos tenemos 

x 2 + 5x – x 2 – 2 x > 6 

3 x > 6 

x > 6 ….. x > 2 

3 

“2 es el límite inferior de x, es decir, la desigualdad dada, solo se satisface para los valores de 

x mayores que 2” Ejemplo: 

si x = 3 si x = 4 si x =5 

3 + 3 – 4 > 3 . 4 + 3 – 4 > 4 . 5 + 3 – 4 > 5 . 

3 3 + 2 3 3 4 + 2 3 3 5 + 2 3 

2 - 4 > 1 7 - 4 > 4 8 - 4 > 5 . 

5 3 6 3 3 7 3 

1 1/5 > 1 5 > 4 . 44 > 5 . 

3 3 21 3 

1 + 3 – 4 > 1 . 

3 1 + 2 3 

Observa detenidamente si x = 1 

4 - 4 > 1 . 0 > 1 . El valor de 1 de x, NO satisface la desigualdad 

3 3 3 3 



En resumen, para la solución de inecuaciones o desigualdades lineales con una variable 

mediante notación algebraica, se debe considerar lo siguiente: 

1. Como lo hiciste en las ecuaciones lineales, usa la adición, resta, multiplicación y 

división para aislar la variable. 

2. Cuando multiplicas o divides entre un número negativo, invierte el símbolo de 

desigualdad. 

3. Trata de mantener positivo el coeficiente de la variable para evitar errores que 

tienden a aparecer cuando multiplicas o divides entre un número negativo y tienes que 

invertir el símbolo de la desigualdad. 

4. Recuerda que el conjunto solución de una desigualdad es una desigualdad y que 

puedes expresarla en diferentes notaciones. 

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE. 

I. Resuelve cada inecuación o desigualdad lineal utilizando notación algebraica. 

Realiza tus operaciones aún lado de la página, por favor. 

Resuelve y Localiza sobre la recta numérica la solución de las desigualdades siguientes: 

3x – 8 > 7 

x – 7 ≤ x 

4 

8x + 14 ≤ 3x – 6 

4x – 3 > 2x + 4 

3 

4 – 2x ≥ x - 2 

Resuelve los siguientes problemas de desigualdades:. 

1. Una cooperativa que fabrica y vende camas tiene gastos generales cada semana, 

incluyendo salarios y costo de planta, de $27,200.00. El costo de los materiales por 

cada cama es de $ 320 y se venden en $ 1,600. ¿cuántas camas deben fabricarse 

y venderse cada semana a fin de que la cooperativa obtenga utilidades? 

2. Horacio y Saúl van de pesca. Como Horacio es el dueño del bote conviene en que 

él tomaría 5 pescados más que Saúl. si en total pescaron 19 peces. ¿Cuántos 

pescados reciben cada uno? 



IDIOMA O LENGUAJE 

MATEMÁTICO 

G L O S A R I O 

EXPRESIÓN ALGEBRAICA Se llama expresión algebraica a las combinaciones de 

números, literales, variables y signos de operación (+ , 

- , x, ). 

TÉRMINO Se llama término o monomio a una expresión 

algebraica que no está enlazada por los signos de 

operación ( + , - ). 

COEFICIENTE Es el factor o factores que indican el número de 

sumandos iguales. 

TÉRMINOS SEMEJANTES. Se dice que dos o más términos son semejantes 

cuando difieren únicamente en el coeficiente, pero 

tienen iguales el resto de sus factores (que contienen 

las mismas literales y exponentes). 

POTENCIA. 

Se llama potencia a la representación de un producto 

de factores, iguales entre sí. 

BASE. Se llama base de una potencia al factor que se repite 

tantas veces como lo indica el exponente. 

EXPONENTE. El exponente es el número que se escribe en la parte 

superior derecha de la base, y el cual indica las veces 

que ésta se repite como factor. 

BINOMIO. Es la expresión algebraica que tiene dos términos y 

están relacionados por un signo de operación. 

( + , - ). 

TRINOMIO. Es la expresión algebraica que contiene tres términos 

enlazados por los signos de operación. 

( + , - ). 

POLINOMIO Se llama a la expresión algebraica que consta de dos o 

más términos enlazados por los signos de operación ( 

+ , - ).. 

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO. Cuando determinamos la suma de dos o más 

fracciones y las debemos cambiar por otras 

FACTOR COMÚN 

equivalentes con un denominador común y el cual sea 

mínimo. 

Se llama al mismo factor que aparece en cada uno de 

los términos de un polinomio 

Conjunto de símbolos y reglas que sirven para 

expresar proposiciones. 

TRADUCIR A LENGUAJE 

MATEMÁTICO 

ECUACIÓN. 

RESOLVER LA ECUACIÓN 

GRADO DE LA ECUACIÓN 

Proceso por el cual se pasa del lenguaje cotidiano al 

lenguaje matemático. 

Es una expresión algebraica que tiene una igualdad 

condicionada para ciertos valores de la variable. 

Proceso de despejar la variable o incógnita. 

Es el mayor exponente al que se encuentra elevada la 

variable. 



DESIGUALDADES O 

INECUACIONES 

SOLUCIÓN DE 

INECUACIONES O 

DESIGUALDADES 

ECUACIONES 

FRACCIONARIAS 

SISTEMA DE ECUACIONES 

LINEALES. 

CONJUNTO SOLUCIÓN. 

SISTEMA DE ECUACIONES 

CON TRES VARIABLES 

DESIGUALDADES LINEALES. 

Son los problemas que al simbolizarse 

algebraicamente contienen mayor que, menor que o 

diferente a. 

Es el proceso de encontrar el conjunto solución, el cual 

generalmente es infinito. 

Son las expresiones algebraicas que tienen, por lo 

menos en algún denominador, a la variable cuyo 

conjunto solución se está buscando. 

Dos o más ecuaciones de la forma: 

Ax + By + C = 0 . 

Conjunto de pares ordenados que satisfacen una 

ecuación o un sistema de ecuaciones. 

Dos o más ecuaciones de la forma 

Ax + By + Cz + D = 0 . 

Toda expresión de la forma ax + by + c > 0 ó 

Ax + By + C < 0 . 



Bibliografía 

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Florence M. Lovaglia, Merritt A. Elmore, Donald Conway. Algebra, 

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Earl W. Swokowski, Jeffery A. Cole. Álgebra y Trigonometría con 

Geometría Analítica. Ed. Internacional Thomson Editores, México 

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Kaseberg, A. (2001). Álgebra elemental. Un enfoque justo a tiempo. 

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Geometría Analítica. Internacional Thomson Editores, S. A. México.

ALGEBRA 2008 2da. parte.pdf - CBTa 233

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