Control Tipo Fraccional Implementado en un Sistema de Fluidos

ANEXO A- ARTÍCULO PUBLICABLE
Control Tipo Fraccional Implementado en un
Sistema de Fluidos
I. INTRODUCCIÓN
S. Arango 1 , P. A. Ortiz 2
1 Escuela de Ingenierías, Universidad Pontificia Bolivariana
Medellín, Colombia
stivenat@hotmail.com
2 Instituto Tecnológico Metropolitano
Medellín, Colombia
paulaortiz@itm.edo.co
Resumen- En este artículo se presenta el desarrollo y sintonización de un controlador PID
fraccionario, implementando las técnicas de control robusto y herramientas de simulación para el
análisis y la validación del controlador.
Abstract- This paper presents the development and tuning of fractional PID controller, implementing
the robust control techniques and simulation tools for analysis and validation of the controller.
Keywords - PID, Cálculo Fraccional, Control Robusto.
Los nuevos avances sobre control fraccionario que
comprende técnicas de sintonización de los controladores, en
especial la sintonización de controladores PID fraccionarios,
técnicas que se basan en los planteamientos utilizados para la
sintonización de los PID clásicos presentadas por Ziegler-
Nichols. [2], [6].
Además de métodos de sintonización de los controladores
fraccionarios, los investigadores también han desarrollado
diversas herramientas dedicadas al modelo y simulación de
sistemas fraccionarios. [5]
Hoy en día podemos ver como las aplicaciones del control
fraccionario se han convertido en un tema de gran interés para
los investigadores y las industrias, aplicaciones que pueden
ver en Actuadores hidráulicos, Robótica, Transmisiones
flexibles entre otras.
II. CÁLCULO FRACCIONAL
Partiendo de la notación de definición de Leibniz para la
derivada ( ) podríamos entender la inquietud realizada por
L’Hopital, que en 1695 pregunta si n puede tomar el valor de
1/2, a lo cual Leibniz respondió profetizado: “Esta es una
aparente paradoja que algún día se mostraran sus útiles
consecuencias”. Hoy en día vemos como esta discusión ha
traído grandes beneficios en investigaciones y proyectos que
no se podían explicar desde el orden de los enteros.
Entre las investigaciones realizadas vamos a resaltar los
estudios de Riemann-Liouville en los cuales se define la
integral fraccionaria, que solo es una consecuencia de la
fórmula de Cauchy que representa la integral fraccionaria de la
forma:
( )
( ) ∫ ( ) ( )
( )
utilizando la definición de la función gamma ( )
( ) , he introduciendo el número real positivo α,
obtenemos la definición de Riemann - Liouville
( )
( ) ∫ ( ) ( )
que tiene por transformada de Laplace
( )
* ( )+ ( ) ( )

Ahora aunque Riemann-Liouville también presentaron
una definición para la derivada fraccionaria, es de mayor
interés para la implantación de controladores y filtros de orden
fraccionario la definición presentada por Grünwald-Letnikov
que defina la derivada fraccionaria de la siguiente forma:
( ( ))
∑( ) (
la cual tiene por transformada de Laplace
) ( )
( )
* ( )+ ( ) ( )
Estos estudios se han convertido en la base para el
desarrollo de los controladores de tipo fraccionario, un mejor
acercamiento al cálculo fraccional lo podemos observar en [4].
III. CONTROL FRACCIONAL
Partiendo de los conocimientos desarrollados en el cálculo
fraccional, el control fraccional propone utilizar funciones y
sistemas de orden fraccional para la referencia de
funcionamiento y para el controlador.
a. Fundamentos del control fraccional
Para el análisis de los controladores fraccionales
debemos partir del diagrama de bloques de la Fig. 1,
analizando los efectos que podemos obtener al variar el
valor de μ ε [-1,1] y entendiendo que para los valores de {-
1, 0, 1} obtendríamos un típico controlador PID.
Fig. 1. Diagrama de bloques de acciones de control
Fuente: Fractional-Order Systems and Controls,
fundamentals and applications. Spriger.
La acción integral tiene como propósito disminuir y
eliminar el error de estado estacionario, pero tiene efectos
sobre el sistema haciendo más lenta la respuesta y
disminuyendo su estabilidad. Los efectos de la acción
integral pueden observarse en los distintos dominios que
analiza el control, el tiempo, el plano complejo y la
frecuencia, en el primero, se presentan efectos como:
diminución del tiempo de subida, aumento del tiempo de
estabilización y una mayor sobreoscilación; en el segundo
se presentan desplazamientos del lugar geométrico de las
raíces en dirección del semiplano derecho y por ultimo en
la frecuencia aumenta la pendiente de la curva de
magnitud en -20dB/dec mientras que la curva de fase
sufre una decaída de π/2 . Si tenemos un sistema de orden
fraccionario, es decir, μ ε (-1,0) los efectos del
controlador se traducen en un porcentaje de lo
comentado.
Por otra parte la acción derivativa busca aumentar la
estabilidad del sistema y tiende a incrementar los ruidos y
las perturbaciones de alta frecuencia, haciendo una
comparación con la acción integral analizaremos los
efectos de esta acción en los diferentes campos de interés
para el control. El análisis en el dominio del tiempo
muestra una disminución de la sobreoscilación y del
tiempo de estabilización; en el plano complejo se presenta
un desplazamiento del lugar geométrico de las raíces,
pero hacia el semiplano izquierdo y por ultimo en la
frecuencia aumenta la curva de magnitud en 20dB/dec
mientras que en la curva de fase hay un adelanto de π/2.
De una forma parecida a la parte integral, utilizar un
sistema fraccionario donde μ ε (0,1), obtendremos un
porcentaje de los efectos de una acción derivativa.
b. PID fraccional
Aunque el cálculo fraccionario tiene más de trescientos
años de historia la aplicación del mismo al control es
relativamente nueva, durante las últimas dos década ha
ganado gran interés tal aplicación y hoy se habla de control
fraccionario como una alternativa para optimizar procesos,
y poco a poco se han implementado metodologías,
algoritmos, aplicativos y técnicas que han permitido el
modelado de sistemas y la implementación de
controladores de orden fraccionario (FOPID) a nivel
industrial en áreas como robótica, sistemas expertos y
control robusto.
Para la sintonía de los controladores de orden
fraccionario se han utilizado los mismos métodos que se
utilizan para los controladores de orden entero, lo que hace
es una aproximación para tratar de hallar los valores de los
parámetros de sintonía de los controladores FOPID. Los
trabajos más sobresalientes en esta técnica son:
En [7] se utiliza el método Ziegler-Nichols para
sintonizar controladores aplicados a plantas de primer
orden con retardo, se hace la sintonización como si fuera
un PID de orden entero y se ajustan las partes fraccionales
integrales y derivativas. A pesar que el modelo tiene buen
desempeño, tiene el inconveniente de no ajustar la parte
fraccionaria analíticamente.
En [9] se utiliza un método para sintonizar
controladores de orden entero y de orden fraccionario para
sistemas de primer orden con retardo, se encontró que los
controladores de orden fraccionario tienen mejor
desempeño cuando se sintoniza fraccionalmente la acción
derivativa que la integral. Sin embargo el desempeño de
los controladores PID de orden entero no tiene muchas
diferencias con el desempeño de los de orden fraccionario.

En [10] se hace el diseño de un controlador de orden
fraccionario utilizando series polinomiales tanto para el
modelo de la planta como para el control, se ajusta el
controlador con parámetros de estabilidad. A pesar de que
el método arrojo buenos resultados el costo computacional
sigue siendo alto.
En [11] se diseña y ajusta un control para sincronizar
tres sistemas caóticos, este se diseña con una integral de
superficie de modo deslizante. Pero solo se utiliza una
variable de manejo.
En este trabajo la sintonización del controlador se
realizó por métodos numéricos, utilizando las restricciones
propuestas en [2], donde utilizan el diseño de control
robusto y se propone que el controlador debe cumplir 5
condiciones.
1. La magnitud del sistema en lazo abierto, evaluado
en la frecuencia de cruce de ganancia debe
cumplir con:
| ( ) ( )| ( )
2. Al igual que el punto anterior, el margen de fase
evaluado en , el cual está relacionado de
forma directa con la amortiguación del sistema,
debe cumplir con:
[ ( ) ( )] ( )
3. Para rechazar los ruidos de alta frecuencia, la
función de sensibilidad ( ) debe cumplir con:
| ( )
( ) ( )
( ) ( ) |
| ( )| ( )
4. Para rechazar las perturbaciones de la salida, la
función de sensibilidad ( ) debe cumplir con:
| ( )
( ) ( ) |
| ( | ( )
5. Para tener un sistema robusto frente a variaciones
de la ganancia, la derivada de la fase del sistema en
lazo abierto con respecto a la frecuencia de
ganancia debe cumplir con:
( [ ( ) ( )]) ( )
La función de transferencia del control fraccional se
muestra en la Ecuación (15),
( )
Inicialización de Variables
Variables PID fraccional
Frecuencia de corte ( )
Alta y baja frecuencia ( )
Numero de iteraciones (n)
( )
En la Fig. 2, se observa el diagrama de bloques del sistema
de control que se implementara para el desarrollo del
controlador PID fraccional.
Fig. 2. Diagrama de bloques de sistema de control
Fuente: Introducción al Control Fraccionario. Revista
Iberoamericana de Automática e Informáticas Industrial.
c. Aproximación numérica
Para encontrar la solución del PID fraccional se utiliza
los métodos numéricos y se plantea el siguiente diagrama
el cual busca encontrar las constantes del PID y plantear
una solución.
(1)

(1)
No
Mientras
(5) (2)
n

En [8] muestra el estudio realizado a la planta, donde
obtienen que una función de transferencia que representa el
proceso esta descrita por:
( )
( )
la ecuación (16) se modifica para cambiar el lugar
geométrico de las raíces multiplicándola por una ganancia
proporcional
Fig. 4. Diagrama bode función de transferencia de la planta
( )
con le ecuación (17) se desarrolla el controlador PID
fraccional, esta función de transferencia tiene como grafica de
bode la observada en la Fig. 4. En la cual se puede observar
algunos datos que se utilizaran para el diseño del controlador
como lo son la frecuencia de corte y el
margen de fase .
Fig. 5. Controlador PID Fraccional
Para el cálculo de las constantes del algoritmo PID fraccional
(ecuación 15) se utiliza el programa desarrollado en Matlab
teniendo como referencia el anterior diagrama de bloques, los
datos obtenidos se ven en la Tabla 1.
Tabla 1. Datos PID fraccional
Valores encontrados para el control PID fraccional
μ Kp ki λ kd settling
time
sobrepico
0.6 0.364 0.037 0.677 5.95 1040 s 0%
0.7 0.648 0.0186 0.775 5.85 1080 s 0%
0.8 0.808 0.0106 0.858 5.89 978 s 0%
0.9 0.9 0.0067 0.927 6.01 817 s 0%
En la Fig. 5 podemos observar el modelo en simulink del
controlador, donde se pude ver los bloques de la aproximación
fraccional “nid” [5], que es la función de aproximación
fraccional desarrollada para Matlab.

Es importante anotar que el programa desarrollado solo
utiliza 4 incógnitas y no utiliza la ecuación 14, dejando una
constante en la simulación (μ).
En la Fig. 6 observamos la respuesta del controlador que
corresponde a las constantes encontradas para el valor de
μ=0.9.
Fig. 6. Respuesta al impulso PID fraccional (μ=0.9)
Es importante anotar que para un valor de μ

Vemos como el sobrepico y el funcionamiento del
controlador no tiene un erro mayor al 5% lo cual es bastante
buen considerando el nivel de ruido introducido.
A partir de estos resultados el controlador PID fraccional
puede mostrar su capacidad, mostrando una mayor robustez
frente a los ruidos, lo cual puede ser un camino para mejorar
los controladores industriales.
V. CONCLUSIONES
Utilizando las herramientas y estudios sobre control fraccional
se logra desarrollar un controlador que emule su
comportamiento, obteniendo resultados satisfactorios al
analizar su respuesta frete a perturbaciones lo cual muestra su
robustez, además de presentar un tiempo de estabilización
adecuado al sistema.
Para la simulación, análisis y validación del controlador se
emplea la herramienta Matlab-simulink, además se desarrolla
el código con el cual se sintonizó el controlador, el cual para el
caso de estudio es satisfactorio por que los resultados
obtenidos muestran diferentes valores de las constantes del
PID fraccional que pueden ser utilizados para la
implementación del controlador.
Aunque en el trabajo se implementa un método numérico para
el desarrollo del controlador, el cual es satisfactorio, es
indispensable aclarar que hasta el momento no se ha
desarrollado un método que garantice encontrar una solución
única del PID fraccional.
RECONOCIMIENTOS
Agradecemos al Instituto Tecnológico Metropolitano por
darnos la oportunidad de participar en el proyecto, el apoyo y
la colaboración brindada durante el desarrollo del mismo.
REFERENCIAS
[1] Blas M. Vinagra, Concepción A. Monje. Introducción al Control
Fraccionario. Revista Iberoamericana de Automática e Informática
Industrial.
[2] C.A. Monje, B.M. Vinagre, Y.Q. Chen, V. Feliu, P. Lanusse, J.
Sabatier. Proposals for fractional tuning, in: Fractional
Differentiation and its Applications, Bordeaux, 2004.
[3] C.A. Monje, Y.Q. Chen, B.M. Vinagre, D. Xue, V. Feliu.
Fractional-Order Systems and Controls, fundamentals and
applications. Spriger.
[4] Diego Felipe Rodríguez Perdomo. Cálculo Fraccional: un enfoque
a la teoría de Riemann-Liouville. Fundación Universitaria Konrad
Lorenz. Junio de 2008.
[5] Duarte Valerio. Ninteger v.2.3 Fractional Control toolbox for
Matlab. Universidad Técnica de Lisboa Instituto Superior Técnico.
[6] Duarte Valerio, José Sá da Costa. Tuning of fractional PID
controllers with Ziegler–Nichols-type rules.
[7] Duarte Valerio, José Sá da Costa. (2007). TUNING RULES FOR
FRACTIONAL PIDs. Advances in Fractional Calculus:
Theoretical Developments and Applications in Physics and
Engineering , 463–476.
[8] Ortiz Paula, Cardona Lorena, Ramírez Jose. Modelo Matemático y
control de un sistema de fluidos: caso de estudio –Planta de fluidos
del Instituto Tecnológico Metropolitano.
[9] Padula, F., &Visioli, A. (2011).Tuning rules for optimal PID and
fractional order PID controllers. Journal of Process Control 21 ,
69–81.
[10] Tan, N., Özgüven, Ö. F., &Özyetkin, M. M. (2009). Robust
stability analysis of fractional order interval polynomials.ISA
Transactions , 166-172.
[11] Zhang, R., & Yang, S. (2011). Adaptive synchronization of
fractional-order chaotic systems via a single driving
variable.SpringerScience+Business Media B.V. 2011 .