Guía Docente - Tinta Fresca

Índice 

Cómo es el libro................................................................................. 2 

Cómo es la guía docente............................................................... 3 

Planificación anual.......................................................................... 4 

El enfoque didáctico....................................................................... 6 

Capítulo 1.Los.números.naturales.y.las.operaciones............ 8 

Capítulo 2.Ángulos.y.triángulos................................................22 

Capítulo 3.Los.números.racionales.fraccionarios................26 

Capítulo 4.Cuadriláteros.y.polígonos.......................................34 

Capítulo 5.Operaciones.con.números.fraccionarios...........44 

Capítulo 6.Planos.y.cuerpos........................................................52 

Capítulo 7.Los.números.racionales.decimales......................56 

Capítulo 8.Relaciones.de.proporcionalidad.directa............66 

Capítulo 9.Medidas........................................................................72 

¿Cómo se usa Mati.net?...............................................................78 

Bibliografía.......................................................................................93 

Directora.de.la.serie 

Liliana Kurzrok 

Andrea.Novembre 

Con instrucciones 

para 

PARA EL 

DOCENTE 

Primaria 

6

Cómo es el libro 

Secciones especiales 

2 

Pistas para 

resolver los 

problemas 

Aprender 

con la calculadora 

Actividades para resolver con la calculadora 

Actividades de integración 

Actividades para realizar en la carpeta 

que integran los temas del capítulo 

Secuencias didácticas 

23 

Aprender 

con la computadora 

Actividades para resolver con la computadora 

Aprender 

JUGANDO 

Juegos para aprender 

Definiciones y 

sistematizaciones 

Azul: definiciones. 

Anaranjado: 

conclusiones. 

Juego entre 

todos 

© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723

© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 

Cómo es la guía docente 

Problemas 

Tratamiento de los problemas 

Posibles estrategias de los alumnos 

Posibles intervenciones docentes 

Posibles debates 

Aspectos a considerar 

Conclusiones 

Sistematizaciones 

Respuesta 

Título del capítulo 

Objetivos 

NAP 

Página del libro 

Cómo es es ... 

Problemas.para.resolver. 

de.manera.individual 

Problemas.para. 

resolver.en.parejas 


en.pequeños.grupos 

Problemas.para. 

resolver.de.tarea 


con.toda.la.clase 

Respuestas.de.las. 

actividades 

3

4 

Propósitos Contenidos Actividades 

Marzo 

Reconocer.y.usar.números.naturales. 

Explicar.las.características.del.sistema. 

decimal.de.numeración.en.situaciones. 

problemáticas. 

Reconocer.y.usar.operaciones.entre. 

números.naturales. 

Explicar.las.propiedades.de.los. 

números.naturales.en.situaciones. 


Lectura.y.escritura.de.números. 

Problemas.para.aplicar.diferentes. 

formas.de.multiplicar. 

Estrategias.de.cálculo. 

Estrategias.para.dividir. 

Múltiplos.y.divisores. 

Criterios.de.divisibilidad. 

Leer,.escribir.y.ordenar.números.naturales..(Páginas.6.y.7) 

Resolver.problemas.aplicando.las.propiedades.de.la.multiplicación.. 

(Páginas.8.y.9) 

Resolver.problemas.empleando.diversas.estrategias.de.cálculo.. 

(Páginas.10.a.19) 

Encontrar.múltiplos.y.divisores.de.distintos.números.naturales.. 


Resolver.problemas.aplicando.diferentes.criterios.de.divisibilidad.. 


Resolver.con.la.calculadora..(Páginas.24.y.25) 

Resolver.con.la.computadora,.en.MATI.net..(Página.26) 

Resolver.actividades.de.integración..(Páginas.27.y.28) 

Abril 

Reconocer,.producir.y.analizar. 

figuras.geométricas.a.partir.de.sus. 

características. 

Analizar.afirmaciones.acerca.de. 

las.propiedades.de.las.figuras.y. 

argumentar.sobre.su.validez. 

Copiado.y.dictado.de.figuras. 

Triángulos:.técnicas.de. 

construcción. 

Puntos.a.igual.distancia. 

Construcción.de.la.mediatriz. 

Copiar.figuras.geométricas.usando.regla,.escuadra,.transportador.y. 

compás..(Páginas.30.y.31) 

Dar.y.recibir.instrucciones.sobre.el.armado.de.figuras..(Páginas.32. 

y.33) 

Construir.triángulos,.a.partir.de.los.datos.indicados,.usando.regla.y. 

transportador..(Páginas.34.y.35) 

Dibujar.puntos.a.igual.distancia.de.los.puntos.dados,.y.construir. 

mediatrices.en.segmentos.y.figuras..(Páginas.36.y.37) 

Construir.mediatrices.y.marcar.puntos.en.segmentos.y.en.el.plano. 

dado..(Páginas.38.y.39) 



Mayo 

Reconocer.y.usar.números. 

fraccionarios.en.situaciones. 


Identificar.y.utilizar.las.operaciones. 

matemáticas.entre.números. 

fraccionarios. 

Argumentar.sobre.la.equivalencia. 

de.distintas.representaciones.y. 

descomposiciones.de.un.número. 

Comparar.fracciones.y.expresiones. 

decimales.a.través.de.distintos. 

procedimientos,.incluyendo.la. 

representación.en.la.recta.numérica. 

e.intercalando.fracciones.entre.otros. 

números. 

Números.fraccionarios:.reparto.y. 

medida. 

Fracciones:.identificación.de.las. 

partes.de.una.fracción,.fracción. 

de.una.cantidad,.equivalencia.de. 

fracciones. 

Números.fraccionarios.y.división. 

Ubicación.en.la.recta.numérica. 

Comparación.y.ordenamiento.de. 

números. 

Resolver.problemas.de.reparto..(Páginas.44.y.45) 

Resolver.problemas.de.unidades.de.medida..(Páginas.46.y.47) 

Resolver.problemas.con.fracciones..(Páginas.48.y.49) 

Resolver.problemas.con.fracciones.equivalentes..(Páginas.50.y.51) 

Dividir.números.enteros.y.fracciones,.y.ubicar.números.en.las.rectas. 

numéricas.dadas..(Páginas.52.y.53) 

Comparar.y.ordenar.fracciones..(Páginas.54.y.55) 



Junio 

Reconocer.figuras.y.cuerpos. 

geométricos. 

Producir.y.analizar.construcciones. 

considerando.las.propiedades. 

involucradas.en.situaciones. 


Describir,.comparar.y.clasificar. 

cuadriláteros.sobre.la.base.de.saberes. 

previos.acerca.de.sus.propiedades. 

Analizar.afirmaciones.acerca.de. 

las.propiedades.de.las.figuras,.y. 

argumentar.sobre.su.validez. 

Construcción.de.cuadriláteros. 

Paralelogramos:.técnicas.de. 


Construcción.con.diagonales. 

Propiedades.de.las.diagonales. 

Paralelogramos:.ángulos. 

interiores,.altura.y.propiedades. 

constitutivas. 

Trapecios. 

Polígonos. 

Ángulos.interiores.de.los. 

polígonos. 

Aplicación.de.las.propiedades.de. 

los.polígonos. 

Dibujar.cuadriláteros.y.justificar.la.validez.o.invalidez.de.las. 

proposiciones.dadas..(Páginas.60.y.61) 

Construir.paralelogramos.y.redactar.instrucciones.para.dibujarlos.. 


Construir.figuras.a.partir.de.sus.diagonales..(Páginas.64.y.65) 

Aplicar.la.propiedad.de.las.diagonales.para.la.construcción.de. 

paralelogramos..(Páginas.66.y.67) 

Construir.paralelogramos.aplicando.las.propiedades.de.sus.ángulos. 

interiores..(Páginas.68.y.69) 

Construir.paralelogramos.integrando.los.conocimientos.sobre.sus. 

propiedades.constitutivas..(Páginas.70.y.71) 

Construir.trapecios.de.acuerdo.con.los.datos.dados..(Páginas.72.. 

y.73) 

Dibujar.polígonos.a.partir.de.los.datos.dados..(Páginas.74.y.75) 

Analizar.polígonos.de.acuerdo.con.sus.ángulos.interiores..(Páginas. 

76.y.77) 

Resolver.problemas.aplicando.las.propiedades.de.los.polígonos.. 



Resolver.actividades.de.integración..(Páginas.81.a.84) 


5 

Propósitos Contenidos Actividades 

Julio 

Reconocer.y.usar.números.fraccionarios.y. 

explicar.sus.características.en.situaciones. 


Identificar.y.utilizar.las.operaciones. 

matemáticas.entre.números.fraccionarios. 

Suma.y.resta.de.números. 

fraccionarios. 

Multiplicación.y.división.por. 

un.número.natural. 

Multiplicación.y.división. 

entre.números.fraccionarios. 

Fracciones.y. 

proporcionalidad. 

Cálculo.mental. 

Sumar.y.restar.fracciones..(Páginas.86.y.87) 

Multiplicar.y.dividir.fracciones.y.números.naturales..(Páginas.88.y.89) 

Multiplicar.fracciones..(Páginas.90.y.91) 

Dividir.fracciones..(Páginas.92.y.93) 

Resolver.problemas.de.relaciones.de.proporcionalidad.directa.. 


Resolver.problemas.aplicando.diversas.estrategias.de.cálculo. 

mental..(Páginas.96.y.97) 

Resolver.con.la.calculadora..(Página.98) 


Agosto 

Identificar.puntos.en.el.plano.y.en.tablas. 

Reconocer.figuras.y.cuerpos.geométricos. 

Producir.y.analizar.construcciones. 

considerando.las.propiedades. 

involucradas.en.situaciones. 


Producir.y.comparar.desarrollos.planos.de. 

cuerpos.argumentando.su.pertinencia. 

Ubicación.en.el.plano. 

Cuerpos.geométricos. 

Características.de.los.cuerpos. 

geométricos. 

Desarrollos.planos. 

Prismas.y.pirámides. 

Ubicar.en.planos.y.tablas.utilizando.sistemas.de.referencia..(Páginas. 

104.y.105) 

Construir.y.clasificar.diversos.cuerpos.geométricos..(Páginas.106.a. 

109) 

Construir.cuerpos.geométricos.a.partir.de.sus.desarrollos.planos. 

respectivos..(Páginas.110.a.113) 



Septiembre 

Reconocer.y.utilizar.números.decimales. 

Identificar.la.organización.del.sistema. 

decimal.de.numeración.y.explicar. 

sus.características.en.situaciones. 


Analizar.afirmaciones.sobre.las.relaciones. 

y.propiedades.que.diferencian.los. 

números.naturales.de.las.fracciones.y. 

expresiones.decimales. 

Comparar.expesiones.decimales.a.través. 

de.diversos.procedimientos,.incluyendo. 

la.representación.en.la.recta.numérica.e. 

intercalando.fracciones.decimales.entre. 

otros.números. 

Fracciones.decimales.y. 


Pasaje.de.fracción.decimal.a. 

número.decimal.y.viceversa. 

Estrategias.de.multiplicación. 

y.división. 

Estrategias.de.cálculo.mental. 

Expresiones.decimales.y. 

medida. 

Números.decimales.y. 


Representación.en.la.recta. 

numérica. 

Comparación.y. 

ordenamiento.de. 


Resolver.problemas.con.fracciones.y.expresiones.decimales.. 


Escribir.números.decimales.como.fracciones.y.viceversa,.utilizando. 

distintos.procedimientos..(Páginas.120.y.121) 

Multiplicar.fracciones.y.expresiones.decimales..(Páginas.122.y.123) 

Dividir.fracciones.y.expresiones.decimales..(Páginas.124.y.125) 

Resolver.cálculos.con.fracciones.y.números.decimales.aplicando. 

diversas.estrategias.de.cálculo.mental..(Páginas.126.y.127) 

Resolver.problemas.que.relacionan.unidades.de.medida.con. 

expresiones.decimales..(Páginas.128.y.129) 



Representar.números.decimales.y.fracciones.en.la.recta.numérica.. 

(Página.132) 

Resolver.con.la.computadora,.en.MATI.net..(Páginas.133) 

Comparar.y.ordenar.expresiones.decimales..(Páginas.134.y.135) 

Resolver.con.la.calculadora..(Páginas.136.y.137) 


Octubre 

Reconocer.y.utilizar.las.operaciones. 

entre.números.naturales,.fracciones. 

y.expresiones.decimales,.y.explicar. 

sus.procedimientos.en.situaciones. 


Explicar.las.características.de.las.relaciones. 

de.proporcionalidad.directa. 

Analizar.las.relaciones.entre.cantidades. 

y.números.para.determinar.y.describir. 

regularidades.en.el.caso.de.la. 


Relaciones.de. 

proporcionalidad.directa:. 

situaciones.problemáticas. 

Proporcionalidad.directa. 

Porcentaje. 

Diferentes.formas.de. 

representación.de.las. 

proporcionalidades. 

Estrategias.de.cálculo.mental. 


(Páginas.144.a.147) 

Aplicar.el.porcentaje.para.resolver.problemas..(Páginas.148.y.149) 

Representar.las.relaciones.de.proporcionalidad.directa.a.través.de. 

diferentes.tipos.de.gráficos..(Páginas.150.y.151) 

Resolver.problemas.de.porcentaje.aplicando.diversas.estrategias.de. 

cálculo.mental..(Página.152) 

Resolver.con.la.calculadora..(Página.153) 



Noviembre - Diciembre 

Comprender.el.proceso.de.la.medición. 

en.situaciones.problemáticas.utilizando. 

diferentes.expresiones.para.una.misma. 

cantidad. 

Analizar.y.usar.reflexivamente.distintos. 

procedimientos.para.estimar.y.calcular. 

medidas.en.situaciones.problemáticas. 

Elaborar.y.comparar.distintos. 

procedimientos.para.calcular.áreas.de. 

polígonos,.estableciendo.equivalencias. 

entre.figuras.de.diferente.forma. 

Analizar.la.variación.del.perímetro.y.el. 

área.de.una.figura.ante.una.variación.en.la. 

longitud.de.sus.lados. 

Mediciones.y.unidades.de. 

medida. 

Comparación.de.medidas. 

Perímetro.y.áreas. 

Comparación.de.perímetro. 

y.áreas. 

Áreas.de.figuras. 

Áreas.de.rectángulos.y. 

triángulos. 

Cálculo.de.áreas. 

Áreas.de.paralelogramos.y. 

trapecios.isósceles. 

Resolver.problemas.con.diversas.unidades.de.medida..(Páginas.158. 

y.159) 

Comparar.varias.unidades.de.medida..(Páginas.160.y.161) 

Calcular.el.perímetro.y.el.área.de.distintos.polígonos..(Páginas.162. 

y.163) 

Comparar.los.perímetros.y.las.áreas.de.diversos.polígonos..(Páginas. 

164.y.165) 

Calcular.y.comparar.las.áreas.de.triángulos.y.rectángulos..(Páginas. 

166.a.171) 

Calcular.el.área.de.paralelogramos.y.trapecios.isósceles..(Páginas. 

172.y.173) 



Planificación anual 


El enfoque didáctico 

Cuando.pensamos.en.qué.queremos.que.nuestros.alumnos.se. 

lleven.de.las.clases.de.matemática.aparecen.varias.preguntas.. 

¿Qué.significa.saber.sumar,.restar,.multiplicar.y.dividir?.¿Alcanza. 

con.conocer.los.algoritmos.de.las.operaciones.para.decir. 

que.los.niños.saben.operar?.¿Saber.matemática.es.saber.las. 

operaciones?.¿Qué.queremos.que.nuestros.alumnos.sepan. 

de.geometría?.¿Para.qué.es.necesaria.la.geometría?.¿Para.qué. 

queremos.que.aprendan.las.propiedades.de.las.figuras.y.los. 

cuerpos? 

Antiguamente.se.consideraba.que.una.persona.no.era. 

analfabeta.si.sabía.leer,.escribir.y.operar..Hoy.en.día.sabemos. 

que.eso.no.alcanza..El.mundo.que.nos.rodea.es.lógica,. 

razonamiento,.deducción.y.creación..Lo.que.alcanzaba.hasta. 

ayer,.hoy.no.es.suficientes..Un.nuevo.programa,.una.nueva. 

estrategia,.el.mundo.cambia.a.nuestro.alrededor.mucho.más. 

rápido.que.cuando.nosotros.íbamos.a.la.escuela. 

Uno.de.los.objetivos.centrales.de.nuestra.enseñanza.debe. 

ser,.entonces,.que.nuestros.alumnos.sean.capaces.de.razonar,. 

deducir.y.crear..Que.puedan.adaptarse.satisfactoriamente.a. 

las.circunstancias.cada.vez.más.cambiantes..Queremos.educar. 

niños.pensantes,.capaces.de.analizar,.de.resolver.situaciones,. 

de.buscar.estrategias.innovadoras,.en.síntesis,.niños.preparados. 

para.afrontar,.cuando.crezcan,.el.mundo.que.los.rodea..Pero,. 

¿cómo.lograrlo? 

La.propuesta.didáctica.de.nuestra.serie.se.basa.en.la. 

perspectiva.constructivista.e.interaccionista..Queremos.generar. 

en.el.aula.una.actividad.de.producción.de.conocimiento. 

semejante.al.quehacer.matemático,.es.decir.que,.a.medida.que. 

los.alumnos.se.apropian.de.los.saberes,.se.apropian.también.de. 

los.modos.de.producir.esos.saberes.. 

Construir.el.sentido.de.un.conocimiento.no.es.solo.reconocer. 

las.situaciones.para.las.cuales.es.útil,.sino.también.conocer.los. 

límites.de.su.empleo,.es.decir,.en.qué.condiciones.se.cumplen. 

ciertas.propiedades,.en.qué.casos.es.necesario.apelar.a.otra. 

técnica.o.a.otro.concepto,.cómo.se.relacionan.los.conceptos. 

entre.sí,.cuáles.son.las.formas.de.representación.más.útiles.para. 

obtener.más.información,.cómo.se.controla.la.coherencia.de.la. 

respuesta,.cómo.se.recomienza.desde.el.error. 

En.los.siete.libros.de.la.serie,.estudiar.y.aprender.matemática.es. 

fundamentalmente.“hacer.matemática”,.construirla,.fabricarla.y. 

producirla,.como.hacen.los.matemáticos. 

Es.cierto.que.ellos.tienen.muchos.conocimientos.y.recursos,. 

sin.embargo,.cuando.se.les.plantea.un.problema,.en.primera. 

instancia.no.saben.cuáles.de.todos.los.conocimientos.y. 

recursos.les.conviene.usar,.y.deben.seleccionarlos.entre.los. 

muchos.que.están.a.su.disposición..Esto.es.lo.que.proponemos. 

que.hagan.los.alumnos. 

Esta.serie.plantea.problemas,.muchos.de.los.cuales.no.son.de. 

aplicación.sino.que.fueron.pensados.para.enseñar.contenidos,. 

6 

lo.cual.puede.producir.sorpresa..Muchos.se.preguntarán. 

cómo.es.posible.que.los.alumnos.resuelvan.si.antes.no.se.les. 

explica.cómo.hacerlo..Esta.es.una.de.las.riquezas.del.modelo.de. 

enseñanza.y.aprendizaje.al.que.adherimos. 

¿Qué es un problema? 

Un.problema.es.una.situación.que.el.alumno,.en.principio,.no. 

sabe.con.qué.herramienta.puede.resolver.pero.tiene.recursos. 

para.empezar.a.hacerlo. 

Para.ser.considerado.un.problema,.una.situación.tiene.que.ser. 

un.desafío.para.el.alumno.y.permitir.diversas.estrategias.de. 

resolución.. 

A.veces.los.problemas.permiten.resolver.situaciones.externas.a. 

la.matemática,.como.por.ejemplo: 

Y.otras,.para.resolver.problemas.internos.de.la.matemática. 

Por.lo.tanto,.una.situación.no.es.un.problema.por.el.solo.hecho. 

de.tener.un.texto. 

Cuando.nos.referimos.a.problemas.usados.para.enseñar. 

contenidos,.no.esperamos.que.los.alumnos.los.resuelvan. 

completamente,.ni.con.la.estrategia.más.económica.o. 

convencional,.ya.que,.si.fuese.así,.o.ya.sabían.el.contenido.que. 

se.pretende.que.aprendan.o.alguien.les.dijo.previamente.cómo. 



hacerlo..Sin.embargo,.es.esperable.que.establezcan.relaciones. 

que.el.docente.luego.retomará.en.una.instancia.colectiva.. 

Para.que.esta.actividad.sea.llevada.a.cabo.con.éxito.es. 

necesario.estructurar.la.clase.pensando.esencialmente.en. 

cuatro.momentos.diferenciados. 

La gestión de la clase 

Proponemos.una.primera.instancia.de.actividad.individual.por. 

parte.del.alumno..En.este.momento.cada.uno.se.enfrenta.con. 

la.situación.y.esboza.sus.primeras.ideas..Puede.ser.que.sean. 

escasas,.cortas.y.muy.poco.claras;.pero.les.damos.el.momento. 

para.que.se.enfrenten.con.la.situación.de.análisis.y.. 

la.confronten. 

La.segunda.instancia.es.el.de.trabajo.en.pequeños.grupos..En. 

él,.los.alumnos.confrontan.sus.ideas,.comienzan.las.discusiones. 

y.llegan.a.los.primeros.acuerdos. 

Es.muy.importante.que,.en.este.momento,.no.seamos.nosotros,. 

los.docentes,.los.que.determinemos.si.un.razonamiento.es. 

correcto.o.no..Permitamos.que.piensen.solos.aunque.sus. 

razonamientos.sean.erróneos.. 

Esta.interacción.entre.ellos.permite.que: 

●.confronten.las.respuestas.elaboradas.individualmente, 

●.comprendan.las.divergencias.en.las.estrategias.para.llegar.a. 

una.respuesta, 

●.comuniquen.su.método.o.su.solución.y.lo.defiendan, 

●.comprendan.otros.procesos,.los.cuestionen.e.interpreten, 

●.identifiquen.los.procesos.trabajados,.a.menudo.de.modo.no. 

convencional.. 

Los.alumnos.saben.que.nosotros.tenemos.más.conocimientos. 

que.ellos,.por.eso.a.nosotros.no.nos.discutirán.tanto.como.a.sus. 

pares..Es.por.ello.que,.en.este.momento,.es.importante.que.nos. 

mantengamos.al.margen..Ante.las.consultas.de.los.alumnos,. 

es.aconsejable.contestar.con.otras.preguntas.que.los.hagan. 

reflexionar..Por.ejemplo:.“¿pero.el.enunciado.dice…?”,.“¿te. 

acordás.cuando.vimos…?”,.“¿viste.lo.que.hizo…?”,.etcétera. 

La.tercera.instancia.es.la.de.la.discusión.colectiva..Cada. 

pequeño.grupo.llega.a.él.con.una.idea,.un.acuerdo.entre.los. 

integrantes.del.pequeño.grupo..Ese.acuerdo.vuelve.a.ponerse. 

en.discusión..Se.genera.entonces.un.debate..Debatir.no. 

consiste.en.oponer.una.opinión.a.otra.sino.que.exige.a.todos. 

aportar.argumentos.basados.en.hechos.que.los.demás.puedan. 

constatar..El.objetivo.de.este.debate.entonces.es.confrontar. 

procedimientos.y.producir.conclusiones.colectivas.. 

La.cuarta.instancia.es.aquella.en.la.que.el.docente.sintetiza.lo. 

aprendido.y.pone.nombre.a.las.propiedades..En.este.momento. 

se.establecen.las.relaciones.entre.el.conocimiento.que.ha. 

circulado.en.clase.y.el.que.se.pretendía.enseñar.. 

En.todo.este.proceso.el.docente.tiene.un.rol.fundamental..Sus. 

funciones.son: 

●.elegir.y.proporcionar.los.problemas, 

●.organizar.las.actividades.de.los.alumnos, 

●.ayudar.a.que.se.hagan.cargo.de.la.situación, 

●.plantear.preguntas, 

●.enseñar.a.debatir.y.a.justificar, 

●.moderar.en.el.debate, 

●.sacar.a.la.luz.los.razonamientos.que.pudo.ver.en.los.diferentes. 

grupos,.mientras.pasaba.a.mirar.lo.que.iban.haciendo, 

●.gestionar.el.estudio.de.los.alumnos, 

●.definir.finalmente.los.nuevos.conceptos.que.los.alumnos. 

fueron.construyendo. 

El tratamiento del error 

Consideramos.que.se.aprende.tanto.del.error.como.de.un. 

procedimiento.correcto..Cometer.errores.y.frustrarse.es.parte. 

del.aprendizaje..El.error,.en.general,.no.es.falta.de.estudio. 

o.de.atención,.sino.que.revela.una.forma.de.pensar.y.unos. 

conceptos.implícitos.que.es.necesario.explicitar.para.que. 

se.pueda.reflexionar.sobre.ellos.para.entender.por.qué.se. 

cometieron..Si.se.tachan.y.no.se.vuelve.sobre.ellos,.el.alumno. 

no.sabrá.si.su.error.es.casual.o.si.sus.conocimientos.no.eran. 

suficientes.o.fueron.mal.aplicados.y,.seguramente,.volverá. 

a.cometerlos..Es.necesario.explicitar.y.debatir.acerca.de.los. 

errores..Cuando.en.la.clase.se.analiza.por.qué.y.dónde.se. 

cometió.algún.error,.se.intenta.que.dicho.error.no.se.repita. 

La guía docente 

Pensamos.esta.guía.para.ayudar.a.los.docentes.a.transitar.todos. 

los.momentos.de.la.clase..Aquí.encontrarán.el.análisis.de.todos. 

los.problemas.planteados.en.los.libros.con.posibles.estrategias. 

de.los.alumnos,.sugerencias.de.intervenciones.docentes.a.partir. 

de.ellas.y.las.sistematizaciones.. 

“[el.maestro].es.aquel.que.ayuda.al.alumno.a.adquirir.un.poder. 

aprendiendo.a.forjar,.a.comprender.y.a.utilizar.instrumentos. 

matemáticos”.. 1 . 

Esperamos.que.los.ayude.en.el.desafío.diario.de.enseñar.y. 

aprender. 

1 R. Bkouche (1991). 

Enfoque didáctico 

7

Capítulo 1 

Los números naturales 

y las operaciones 

Objetivos: 

Que los alumnos: 

● Operen con números naturales seleccionando el tipo de 

cálculo y la forma de expresar los números. 

● Argumenten sobre la validez de un procedimiento usando 

propiedades de las operaciones. 

NAP: 

El reconocimiento y uso de la organización del sistema decimal de 

numeración. 

Problemas 1 a 4 

Comience la clase pidiendo que resuelvan los problemas 

1 y 2. Plantee luego una puesta en común con 

preguntas que provean medios para controlar la escritura de los 

números; por ejemplo: ¿Qué miraron para escribir los números? 

¿Cuántas cifras tiene el número 2,1 millones? 

Arme con los alumnos una lista de las conclusiones para que 

quede registrada en las carpetas. 

La escritura de las conclusiones es un trabajo valioso, ya que 

recoge lo que merece recordarse de un problema y ayuda a 

organizar el estudio posterior de los alumnos. Ellos no saben 

hacerlo solos, por eso usted debe ayudarlos a aprender a 

estudiar, y una de las herramientas necesarias en esta tarea es el 

cuaderno o la carpeta. No es posible estudiar con un cuaderno 

hermético, lleno de números, sin explicaciones, sin conclusiones 

ni ideas para recordar. 

Entre las conclusiones deben estar: 

● Un millón se escribe 1.000.000 y es el primer número que se 

escribe con siete cifras. El último es 9.999.999. 

● El primer número que se escribe con 8 cifras es diez millones, 

10.000.000 y el último es 99.999.999. 

● 2,1 millones es 2 millones + 0,1 millones, que es 

2.000.000 + 0,1 millones. Como 0,1 millones es la décima parte 

de un millón, es igual a 100.000, la potencia anterior de 10. Por lo 

tanto, 2,1 millones se escribe 2.100.000. 

● Para ordenar números es conveniente que estén escritos de la 

misma forma. 4,1 millones = 4.100.000; 4 × 1.000.001 = 4.000.004. 

Pida que resuelvan los problemas 3 y 4 que son aplicaciones 

de los anteriores. Haga una breve puesta en común solo si lo 

considera necesario. 

1. a. Treinta y seis millones doscientos sesenta mil 

ciento treinta. 

b. 81.000.000 c. 3.450.000 

2. 4 × 1.000.001; 4,1 millones; 4.101.000; 4.110.000. 

3. 2.100.000 

4. a. Santa Fé tiene más habitantes con 2,79 millones. Entre Ríos 

tiene menos habitantes con 1,02 millones. 

8 

b. Córdoba: 2.700.000; Entre Ríos: 1.020.000; Mendoza: 

1.410.000; Santa Fe: 2.790.000. 

Problemas 5 y 6 

Pida que resuelvan el problema 5 sin hacer las 

cuentas. En la puesta en común proponga un 

intercambio basado en el análisis de algunos de los cálculos 

propuestos, ya que su lectura y no el resultado da información 

sobre el número. Por ejemplo: 

● 34 × 1.000 + 650 se basa en la cantidad de miles de 34.650. 

● 346 × 100 + 50 muestra que el número tiene 346 cienes y 50 

unidades. 

Solicite que encuentren otros cálculos que den 34.650 y puedan 

leerse del número; por ejemplo, 3 × 10.000 + 46 × 100 + 50. 

El problema 6 es una aplicación del anterior, por lo que solo 

registre formas de escribir el mismo número. Por ejemplo: 

● 573.048 = 5 × 100.000 + 7 × 10.000 + 3 × 1.000 + 4 × 10 + 8 

● 573.048 = 573 × 1.000 + 48 = 5.730 × 100 + 48 

● 573.048 = 57 × 10.000 + 3.048, etcétera. 

5. 34.000 + 600 + 50; 34 × 1.000 + 650; 34.000 + 

6 × 10 + 5; 3 × 10.000 + 4 × 1.000 + 6 × 100 + 5 × 10; 

346 × 100 + 50. 

6. a. Está resuelto. 

b. 2 × 100 + 7 × 10 + 6; 27 × 10 + 6; 2 × 100 + 76. 

c. 4 × 1.000 + 8 × 100 + 7 × 10 + 4; 48 × 100 + 74; 487 × 10 + 4. 

d. 2.356 × 10 + 9; 235 × 100 + 69; 23 × 1.000 + 569. 

e. 573 × 1.000 + 48; 57 × 10.000 + 3.048; 5 × 100.000 + 73.048. 

f. 307 × 1.000 + 216; 30 × 10.000 + 7.216; 3 × 100.000 + 7.216. 



Problema 7 

Antes de que resuelvan el problema aclare la notación 

de las potencias de 10 en términos de exponentes. Pida que lean 

el lateral y registre en las carpetas varios casos. Por ejemplo: 

10 3 = 1.000, 10 2 = 100, etc. Resuelva con la clase cada ítem, 

registre las resoluciones y agregue estas conclusiones a la lista 

que comenzó a armar en los problemas anteriores. 

● Mirando el número se lo puede descomponer en potencias de 10 

porque las cifras son los números que multiplican cada potencia. 

● Los exponentes van disminuyendo de izquierda a derecha, hasta 

llegar al dígito que ocupa el lugar de las unidades que no queda 

multiplicado por ninguna potencia de 10. 

7. a. 10 5 

; 5; 10 2 

; 10; 3. 

c. 2; 10 

3 

b. 10 ; 0. 

6 

; 10 5 

; 4; 0; 103; 10. 

Problema 8 

En la puesta en común pregunte cómo hicieron 

para darse cuenta cuál de los números es el mayor. 

Registre por ejemplo: 

● Como 13 × 10 2 

+ 4 × 10 + 7 tiene 13 cienes y 1.420 tiene 14 cienes 

entonces el segundo es el mayor. 

8. 1.420; 43 × 1.000 + 5 × 100 + 8 × 10 + 9; 

5 × 10 3 

+ 2 × 10 2 

+ 3 × 10 + 4. 

Capítulo 1 

Problema 9 

Pida que lean el problema y luego proponga que 

analicen lo que hicieron Tatiana y Lazlo. Este tipo de estrategias 

deben estar disponibles en los alumnos para operar. Por eso es 

imprescindible que las comprendan y escriban en la carpeta las 

conclusiones. 

● Tatiana se basa en la multiplicación como la suma de varias 

veces el mismo número, es decir que 350 × 24 puede pensarse 

como la suma de 24 veces 350. Esta suma puede calcularse como 

20 veces 350 más 4 veces 350, o sea, 350 × 24 = 350 × 20 + 350 × 4. 

● Lazlo descompone 24 en 4 × 6 y, a partir de esto plantea que 

350 × 24 = 350 × 4 × 6. Una manera de hacer este último cálculo 

es secuencialmente de izquierda a derecha, primero 350 × 4 y el 

resultado por 6. 

9. Respuesta personal. 

Problemas 10, 11 y 12 

Estos problemas aplican las conclusiones elaboradas 

en el problema 9. En la puesta en común revise las 

diferentes estrategias de resolución y sus explicaciones. Registre 

las conclusiones, por ejemplo: 

● Multiplicar un número por 7 es lo mismo que sumar ese número 

7 veces y, por ejemplo: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 puede resolverse 

agrupando los 7 cuatros de diferentes formas, una de esas es: 

7 × 4 = (4 + 4) + (4 + 4 + 4 + 4 + 4) = 4 × 2 + 4 × 5 

Esta resolución no cambia si se pone otro número en lugar de 4 

y entonces la tabla del 7 puede obtenerse sumando la tabla del 

2 y la del 5. También como la suma de la tabla del 6 y del 1 o la 

del 3 y del 4. 

Observe que esta es una manera de deducir algunas tablas a 

partir de otras que ya se saben. 

● El método de Lazlo tiene sentido cuando el factor que se quiere 

descomponer no es primo. Por ejemplo, para resolver 23 × 19 conviene 

el método de Tatiana y no el de Lazlo porque ni 23 ni 19 pueden 

descomponerse de otra manera que usando los mismos números. 

● 38 × 50 = 38 × 5 × 10 

● 254 × 11 = 254 × 10 + 254 × 1 

● 15 × 124 = 124 × 15 = 124 × 10 + 124 × 5 

● 120 × 10 + 120 × 5 + 4 × 10 + 4 × 5 = 

120 × 15 + 4 × 15 = 124 × 15 

10. Sí, porque un resultado de la tabla del 2 es un 

número multiplicado por 2, al sumarle el 

correspondiente de la tabla del 5, se suma el mismo número de 

antes multiplicado por 5, lo que da ese número 7 veces, por lo 

tanto es múltiplo de 7. 

11. a. 437 b. 1.900 c. 2.794 

12. 124 × 10 + 124 × 5; 15 × 124; 

120 × 10 + 120 × 5 + 4 × 10 + 4 × 5. 

9

Problema 13 

Este problema aplica lo desarrollado en los 

anteriores. Plantee una puesta en común donde se 

compartan y discutan las estrategias y explicaciones. 

Observe que para resolver 35 × 21, los egipcios 

descompusieron el 21 como 21 = 16 + 4 + 1. De esta manera 

podría resolverse cualquier multiplicación donde el otro factor 

sea una suma o resta de 1, 2, 4, 8 o 16. Por ejemplo: 

● 35 × 31 = 35 × 16 + 35 × 8 + 35 × 4 + 35 × 2 + 35 × 1 o; 

35 × 12 = 35 × 16 – 35 × 4. 

13. a. 35 × 21 = 35 × ( 16 + 4 + 1 ) = 

35 × 16 + 35 × 4 + 35 × 1 

b. Por ejemplo: 35 × 20; 35 × 31; 35 × 7; 35 × 40. 


Solicite que resuelvan los problemas y que los 

comparen con el 9. Haga una puesta en común. 

Pregunte en qué casos conviene usar cada método. 

● 520 × 24 = 520 × 20 + 520 × 4 = 52 × 10 × 2 × 10 + 52 × 10 × 4 = 

52 × 2 × 10 × 10 + 52 × 4 × 10 = 104 × 10 × 10 + 208 × 10 

● 340 × 21 = 340 × 20 + 340 = 34 × 10 × 2 × 10 + 340 = 

680 × 10 × 10 + 340 

● 24 × 198 = 24 × 200 – 24 × 2 = 4.800 – 48 = 4.752 

● 52 × 19 = 52 × 20 – 52 × 1 = 1.040 – 52 = 988 

10 

14. a. 12.480 b. 18.240 c. 7.140 

15. a. 4.752 b. 988 c. 44.910 

Problema 16 

Es una aplicación de los anteriores. En la puesta en 

común pida que registren todas las maneras que 

aparecen. Por ejemplo: 

● 125 × 18 = 125 × 20 – 125 × 2 

● 125 × 18 = 125 × 10 + 125 × 8 

● 125 × 18 = 100 × 18 + 20 × 18 + 5 × 18 



Estos problemas, llamados de combinatoria o conteo, 

constituyen un tipo de situaciones que pueden 

resolverse con una multiplicación. Intentarán enumerar los casos, 

pero es un método engorroso por lo largo y difícil de controlar. 

Otros optarán por agrupar los datos en una tabla o un diagrama 

de árbol. Sin embargo, la vinculación con la multiplicación 

quedará a su cargo. 

● Para el problema 17, un equipo juega con los otros 6 y como hay 

7 equipos, la cantidad total de partidos es 7 × 6 = 42. 

● En el caso del problema 18, como no se pueden repetir las cifras, 

hay 5 posibilidades para el primer dígito del número, 4 para el 

segundo, 3 para el tercero, 2 para el cuarto y 1 para el quinto. Se 

pueden formar, entonces, 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 números. 

● Si los dígitos se pudieran repetir, entonces habría 5 opciones para 

cada dígito y se pueden formar 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 3.125 números. 

17. a. 42 partidos. b. 14 fechas. 

18. a. 5 × 4 × 3 × 2 × 1 

b. 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 3.125 números. 

Problema 19 

Es probable que comiencen a pensar el problema 19 

haciendo un diagrama de árbol. 



Luego de la resolución plantee una puesta en común. Registre 

las conclusiones: 

● La cantidad de conejos se duplica cada medio año, empezando 

con 2. A los 6 meses hay 4; al año, 8; al año y medio, 16 y a los dos 

años, 32 conejos. A los 4 años (8 medios), habrá 512 conejos 

(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2). 

19. a. 2 años = 32 conejos. 4 años = 512 conejos. 

b. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 


Estos problemas pueden resolverse multiplicando. 

Si lo cree conveniente, haga puestas en común 

intermedias. Si no, haga una sola al final y registre las 

conclusiones: 

● Problema 20: Por cada corte, se duplican las partes. La cantidad 

de partes puede obtenerse multiplicando el número 2 tantas veces 

como la cantidad de cortes. 

● Problema 21: La cantidad de números de 3 cifras diferentes que 

se pueden armar a partir de 6 dígitos es 6 × 5 × 4 = 120. 

● Problema 22: Si hay 3 caminos posibles para un tramo y 2 para el 

otro, la cantidad total de recorridos es 3 × 2 = 3 + 3 + 3 = 9. 

● Problema 23: Para armar un número capicúa se pueden elegir 

libremente algunos de sus dígitos porque otros tienen que coincidir 

con los primeros. Los números capicúas de 5 cifras tendrán la 

forma abcba donde a, b y c pueden ser cualquiera de los dígitos 

dados. Habrá entonces 5 × 5 × 5 × 1 × 1 números diferentes. Los 

unos se deben a que solo hay una posibilidad para ese número, 

Capítulo 1 

que tiene que coincidir con otro. 

● Problema 24: La cantidad de posibilidades que hay de elegir 3 

sustancias de 5 disponibles es 5 × 4 × 3. Pero en ese caso la elección 

A, B y C es distinta de la elección B, A y C. Sin embargo al mezclarlas 

se forma la misma sustancia. Como la cantidad de formas de elegir 

a A, B y C es 6 (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA), la cantidad total de 

mezclas será: 

________ 5 × 4 × 3 

6 

20. a. 5 cortes. 

21. 120 números. 

b. 7 cortes. 

22. 3 × 2 

23. 125 números capicúas. 

24. 10 combinaciones. 

Problema 25 

Una de las estrategias útiles para que los alumnos 

incorporen métodos de cálculo mental es restringir las 

posibilidades de uso de algunas técnicas. Recuerde que es 

necesario que usen el cálculo pedido y que no pueden resolver 

de otra manera. En estos momentos de aprendizaje usted 

debe autorizar o desautorizar formas de resolución con fines 

didácticos. Proponga un debate en torno de la resolución 

del problema y la explicación. Luego de acordar una con los 

alumnos, regístrela: 

● 125 × 16 = 125 × 8 × 2 = 1.000 × 2 = 2.000 

● 250 × 16 = 125 × 2 × 8 × 2 = 125 × 8 × 2 × 2 = 1.000 × 2 × 2 = 4.000 

● 125 × 32 = 125 × 8 × 4 = 1.000 × 4 = 4.000 

● 375 × 32 = 125 × 3 × 8 × 4 = 125 × 8 × 3 × 4 = 1.000 × 3 × 4 = 12.000 

● 250 × 8 = 125 × 2 × 8 = 125 × 8 × 2 = 1.000 × 2 = 2.000 

● 1.250 × 80 = 125 × 10 × 8 × 10 = 125 × 8 × 10 × 10 = 

1.000 × 10 × 10 = 100.000 

● En cada caso, los resultados se modifican de la misma forma que 

los factores y los cálculos no resueltos lo muestran. 

El análisis de los cálculos muestra otras relaciones. Por ejemplo: 

● 250 × 16 es el doble de 125 × 16 porque se duplicó uno de los 

factores. 

● 125 × 32 es el doble de 125 × 16 porque 32 es el doble de 16. 

● 250 × 8 da el mismo resultado que 125 × 16 porque se duplicó el 

8 y se tomó la mitad del 250. 

Pida que busquen otras relaciones y regístrelas. 

25. a. 2.000 b. 4.000 c. 4.000 

d. 12.000 e. 2.000 f. 100.000 


Proponga que resuelvan los problemas entre todos 

y, una vez obtenido un acuerdo, registre la resolución en el 

pizarrón: 

● 24 × 3 = 24 × 2 + 24 ● 24 × 4 es el doble de 24 × 2 

● 24 × 5 = 24 × 2 + 24 × 3 ● 24 × 7 = 24 × 3 + 24 × 4 

● 24 × 8 es el doble de 24 × 4 ● 24 × 9 es el triple de 24 × 3 

● 24 × 12 es el doble de 24 × 6 ● 24 × 24 es el doble de 24 × 12 

11

● 290 × 12 = 145 × 2 × 12 = 145 × 24 

● 29 × 120 = 29 × 10 × 12 = 290 × 12 y como, 290 × 12 = 145 × 24, 

entonces, 29 × 120 = 145 × 24. 

26. a. 72; 96; 120; 144; 168; 192. 

b. 216; 288; 432; 480; 576; 1.272. 

27. 145 × 24 = 145 × 2 × 12 = 290 × 120 

290 × 12 = 29 × 10 × 12 = 29 × 120 

29 x 120 = 29 x 5 x 24 = 145 x 24 


Pida que resuelvan los problemas. Haga una puesta en 

común y registre una respuesta con su explicación. 

● Lo que hizo Camilo es correcto porque quería multiplicar por 5 

y multiplicó por 10 que es el doble, entonces para llegar al mismo 

resultado tiene que dividir por 2, es decir, calcular la mitad. 

● 24 × 50 = 24 × 100 : 2 = 24 × 5 × 10 

● 462 × 250 = 462 × 200 + 462 × 50 = 462 × 100 × 2 + 462 × 100 : 2 

● Multiplicar un número por 12 es sumar ese número 12 veces. 

Para eso se puede sumar el número 10 veces, después 2 veces 

y por último sumar los resultados. Entonces, multiplicar por 12 

es lo mismo que multiplicar por 10 y por 2, y después sumar los 

resultados. La afirmación es falsa salvo que el número que se 

quiere multiplicar termine en 1. Por ejemplo: 

121 × 12 = 120 × 10 + 1 × 2 = 120 × 10 + 2, sin embargo, 

123 × 12 = 120 × 10 + 3 × 2 = 120 × 10 + 6. 

● Si en una multiplicación se duplica uno de los factores, el 

resultado también se duplica. Por ejemplo: 8 × 15 = 2 × 4 × 15, 

entonces 8 × 15 es el doble que 4 × 15. 

28. Sí, porque 10 = 5 × 2. 

29. 24 × 100 : 2; 125 × 10 : 2; 52 × 100 : 4; 462 × 1.000 : 4. 

30. a. No. b. Sí. 


Pida que resuelvan los problemas. En la puesta en 

común registre las explicaciones. Por ejemplo: 

● Para resolver el problema 31 hay que hacer 157 : 10 y eso se 

puede leer en el número porque es la cantidad de dieces que tiene, 

es decir, 15 paquetes y sobran 7 caramelos. 

● 48.903 : 1.000 tiene por cociente 48 y resto 903. 

12 

31. 15 paquetes. 32. 45 paquetes. 

33. 

División Cociente Resto 

345 y 10 34 5 

7.689 y 10 768 9 

7.689 y 100 76 89 


48.903 y 10 4.890 3 

48.903 y 100 489 3 

48.903 y 1.000 48 903 

Problema 34 

En una división, el cociente indica la cantidad de veces 

que el divisor está contenido en el dividendo y el resto, lo que 

sobra. Entonces, para hallar el dividendo si, por ejemplo, el divisor 

es 10, el cociente 42 y el resto 9, hay que hacer 42 × 10 + 9 = 429. 

Es decir, el dividendo será 429. Si el divisor fuera 100, el dividendo 

sería 42 × 100 + 9 = 4.209. Al cambiar el divisor se obtienen 

diferentes dividendos, por ejemplo, 42.009, 420.009, etcétera. 

Observe que en este problema el divisor queda a elección de 

los alumnos. Algunos se resistirán a hacerlo por no reconocer la 

elección arbitraria de un número como algo matemáticamente 

aceptable. Si este fuera el caso, aclare que el divisor no es un 

dato del problema y es necesario para encontrar el dividendo, 

entonces hay que proponer un valor para él para encontrar 

todas las posibles soluciones. Es posible que elijan números 

diferentes y todos estarán bien. En este caso, la interacción con 

los compañeros funciona como un medio para darse cuenta de 

que no hay una única respuesta. Pregunte qué pensó cada uno y 

aclare que no es necesario que todos completen el cuadro de la 

misma manera. 



34. Por ejemplo: 


429 y 10 42 9 

3.298 y 10 329 8 

3.298 y 100 32 98 

45.872 y 1.000 45 872 

Problema 35 

El objetivo de este tipo de consignas es detenerse en 

la explicación de los chicos. Si lo considera necesario recuerde 

que dividir por 100 es buscar la cantidad de veces que 100 entra 

en el número. También puede sugerir que usen billetes. 

● Encontrar el cociente de 2.761 : 100 equivale a buscar la cantidad 

de billetes de $100 que se necesitan como máximo para pagar 

$2.761.Plantee un debate para que los alumnos intenten 

expresar con sus palabras una posible explicación. Concluya 

que: 

● Dividir por 100 es buscar la cantidad de veces que 100 entra en el 

dividendo, o sea, cuántos cienes tiene. Como 2.761 tiene 27 cienes 

y 61 unidades, el cociente es 27 y el resto 61. 

● El cociente y el resto de dividir un número por 100 pueden leerse 

en el número. 


Capítulo 1 


Estos problemas se resuelven con una división. 

Puede hacer una puesta en común al finalizar todos 

o luego de cada uno. En todos los casos, pida que brinden 

explicaciones. Finalmente, registre las conclusiones. 

● Problema 36: Como el resto de la división de 478 por 46 no es cero, 

hay personas que no podrían viajar sentadas, por lo que es necesario 

agregar un micro que no irá lleno. Es decir, se necesitan 11 micros. 

● Problema 37: El cociente y el resto de 549 : 12 son 45 y 9, 

respectivamente; entonces, para completar una caja más hay que 

agregar 3 huevos más a los 9 que sobran. 

● Problema 38: Los años bisiestos hasta 2099 son los múltiplos de 4. 

Un año es bisiesto si el resto al dividirlo por 4 es cero. Entonces 2096 es 

bisiesto y 2075 no. 

36. 11 micros. 

37. 3 huevos. 

38. a. El año 2096 será bisiesto y el 2075 no. 

b. Dividir por 4 y ver si el resto es 0 o no. 


Pida que resuelvan el problema 39 y realice una 

puesta en común. Concluya que: 

● La cantidad de palomas que Horacio ubicó en las jaulas es 27 × 5 y 

como le sobraron 4 palomas, en total tiene 27 × 5 + 4 palomas. 

Los problemas 40 y 41 son una aplicación del anterior. Pida que 

los resuelvan y registre: 

● La cantidad de perlitas que tiene Tatiana es 25 × 12 + 10. 

● La cantidad de asistentes al espectáculo es 27 × 24 + 8. 

39. 27 × 5 + 4 

40. 310 perlas. 

41. 656 espectadores. 


En la puesta en común proponga intercambiar 

respuestas y explicaciones. Es necesario que los 

alumnos comprendan que el cociente indica la cantidad de 

veces que el divisor entra en el dividendo, mientras que el resto 

es la cantidad de unidades que se pasa de ese múltiplo del 

divisor. Registre, por ejemplo: 

● 15 entra 21 veces en el dividendo y sobran 8 unidades, entonces 

el dividendo es 15 × 21 + 8. En general resulta que cociente × 

divisor + resto = dividendo. 

● Si a 553 se le resta 13, que es el resto, queda el producto entre el 

cociente y el divisor. Al dividir este resultado por el cociente se obtiene 

el divisor. Por lo tanto, divisor = (553 – 13) : 36 = 15. En general, divisor 

= (dividendo – resto) : cociente. 

● Una división puede pensarse como un cálculo horizontal. Por 

ejemplo, el cálculo 20 × 12 + 8 = 248 significa que al dividir 248 por 20, 

el cociente es 12 y el resto 8 o que, al dividir 248 por 12, el cociente es 20 

y el resto 8. Esto es así porque 8 es menor que 12 y que 20. 

13

14 

42. 323. Hay una sola posibilidad. 

43. 15. Hay una sola posibilidad. 

Problema 44 

Este problema es una aplicación de los anteriores. En la 

puesta en común, tenga presente que: 

● Como el resto de dividir 1.740 por 24 es 12, 1.740 supera a un 

múltiplo de 24 por 12 unidades. Entonces, si a 1.740 se le resta 12 o se 

le suma 12 (lo que le falta para llegar al próximo múltiplo de 24), el 

resto de la división de ese número por 24 es 0. Así, 1.740 – 12 = 1.728 

y 1.740 + 12 = 1.752 tienen resto 0 al ser divididos por 12. 

● La recta numérica permite visualizar lo recién descripto: 

24 × 72 24 × 72 + 12 24 × 73 múltiplo 

de 24 siguiente a 

24 × 72 

● Si se extiende la recta numérica en ambos sentidos puede verse 

que si a 1.752 se le suma 24, 48 o cualquier múltiplo de 24, se 

obtiene otro múltiplo de 24. Lo mismo sucede si a 1.728 se le resta 

un múltiplo de 24. 

44. a. Sí. b. No. c. Sí. d. Sí. 


Algunos alumnos tal vez usen la relación entre los 

elementos de la división, pero es posible que otros 

intenten resolverlo por ensayo y error. Haga una puesta en 

común y registre: 

● Problema 45: 

D d 

5 12 

Como el resto debe ser menor que el divisor, d tiene que ser mayor que 

5. Para cada uno de los valores posibles se puede calcular el dividendo 

a partir de la relación cociente × divisor + resto = dividendo. Por 

ejemplo, si el divisor es 6, el dividendo es 6 × 12 + 5. Si es 7, el dividendo 

es 7 × 12 + 5. Hay infinitas divisiones con ese cociente y ese resto. Se 

pueden inventar infinitas cuentas con estas características. 

● Problema 46: 

D 12 

10 21 

En este caso hay un solo valor posible para el dividendo, 

D = 12 × 21 + 10 y, por lo tanto, una sola división. 

45. Por ejemplo: 77 dividido 6 o 125 dividido 10. Hay 

infinitas posibilidades. 

46. 262 dividido 12. 


Pida que resuelvan los problemas. Comience por 

explicar el problema 47 y luego pida que resuelvan el 

problema 48 que es muy similar al 44. Registre las conclusiones: 

● Al escribir la división entre 315 y 25 como un cálculo horizontal 

resulta 315 = 25 × 12 + 15. Si el divisor fuera 12, el resto no puede ser 15 

porque es mayor que 12 y es necesario encontrar el nuevo resto: 

315 = 25 × 12 + 15 = 25 × 12 + 12 + 3. El primer término indica que 

hay 25 doces, al que se le suma un 12 más y quedan en total 26 doces. 

Luego, 315 = 25 × 12 + 15 = 25 × 12 + 12 + 3 = 26 × 12 + 3. Como 15 

contiene 1 vez a 12, el cociente aumenta en 1 y las 3 unidades que 

sobran constituyen el resto. 

● Cuando se divide 308 por 25, o por 12, el resto 8 no cambia. Esto 

se debe a que 8 es menor que 25 y que 12. 

● Hay infinitas divisiones que tienen cociente 25 y resto 12. Para 

buscarlas basta poner un divisor cualquiera mayor que 12 y calcular el 

dividendo a partir de la relación cociente × divisor + resto = dividendo. 

Por ejemplo: 25 × 13 + 12; 25 × 14 + 12, etcétera. 

47. a. El 300 viene de hacer 20 × 15. El 75 viene de 

hacer 5 × 15. 

b. Por ejemplo, 2.512 dividido 100. 

c. Sí, hay infinitas posibilidades. 

48. Porque en el primer par de cuentas, el cociente y el divisor 

de la primera cuenta son mayores que el resto. En cambio, en 

el segundo par de cuentas, el resto es mayor que el cociente, 

entonces, al intercambiar divisor con cociente, ese número ya 

no sirve como resto. 



Problema 49 

Los alumnos tienen que tener disponibles distintos 

modos de resolver para poder elegir el que les convenga 

realizar de acuerdo a los números involucrados. Por ello es 

imprescindible que realice un debate respecto a ellos. 

Pida que lean las resoluciones de los chicos y que escriban con 

sus palabras los pasos que hizo cada uno. Después solicite que 

lean lo que escribieron para que sean los compañeros los que 

indiquen que les pareció. Finalmente, pida que expliquen los 

pasos y que contesten a las preguntas. Por ejemplo: 

● Los procedimientos de Tatiana y Juan son similares salvo que 

Juan resumió algunas cuentas. Por ejemplo: Tatiana hizo 43 × 50, 

43 × 20 y 43 × 10 y Juan hizo directamente 43 × 80. 

● Lazlo hizo menos cuentas escritas pero tuvo que haberlas 

pensado 181 × 43 = 7.783. 

49. a. Sí, porque Juan hace 43 × 80 y eso es lo mismo 

que 43 × 50 + 43 × 20 + 43 × 10 = 2.150 + 860 + 430 

que es lo que hace Tatiana. 

b. Porque Juan puso 80, que los incluye. 

c. El 7.783 es el resultado de 181 × 43. 

Capítulo 1 

Problema 50 

Uno de los errores comunes que comenten los 

alumnos cuando resuelven divisiones es que suelen olvidarse 

de los ceros que aparecen en el medio de los cocientes. Para 

analizar estos errores y poder generar en ellos herramientas de 

control es necesario analizar problemas como este. Pida que 

lean el problema y que indiquen quién tiene razón. Someta 

a discusión el argumento de Tatiana. Observe que para que 

este tipo de controles estén disponibles, es necesario que la 

multiplicación por la unidad seguida de ceros sea algo habitual. 

Concluya que Tatiana tiene razón porque 45 × 23 es 45 veces el 23 

que tiene que dar menor que si se consideran 100 veces el 23. Pero 

según la cuenta de Lazlo 45 × 23 debería dar 5 menos que 9.320 

y eso es imposible porque esa cuenta da menos que 2.300. 

Pregunte luego cómo harían para encontrar la cantidad de 

cifras que tiene el cociente. Registre que: 

● 23 × 100 = 2.300 y 23 × 1.000 = 23.000. Como 9.320 está entre 

2.300 y 23.000, entonces el cociente debe estar entre 100 y 1.000 y 

por lo tanto es un número de 3 cifras. 

50. Tatiana tiene razón. 

a. Observa que el dividendo tiene que ser 5 más que 

el resultado de la multiplicación entre el cociente y el divisor, 

pero ese resultado es menor que otro que es mucho menor que 

el dividendo. 

b. 3 cifras. 


Para generar alumnos autónomos conviene que 

construyan varias estrategias de control. Por ejemplo, 

si pueden analizar cuántas cifras debe tener un cociente antes 

de realizar la cuenta, podrán determinar que si en una división 

el cociente tenía que tener 3 cifras y les dio 2, cometieron 

un error. Pida que resuelvan los problemas. Si lo considera 

necesario sugiera que lean el lateral. Registre las conclusiones 

luego de la puesta en común. 

● Problema 51: El cociente es la cantidad de veces que entra el 

divisor en el dividendo. Como 12 × 1.000 = 12.000 y 12 × 10.000 = 

120.000, entonces 13.845 está entre 12 × 1.000 y 12 × 10.000. Por lo 

tanto, el cociente de 13.845 : 12 está entre 1.000 y 10.000 y tiene 4 

cifras. Para la parte b., como 456.987 está entre 1.200 × 100 y 

1.200 × 1.000, el cociente está entre 100 y 1.000 y tiene 3 cifras. 

● Problema 52: Juliana descompone el dividendo como suma 

de números que son divisibles por 25 y cuyos cocientes se pueden 

calcular fácilmente. La suma de todos los cocientes es el cociente 

final y el sumando que no llega a 25 es el resto. 

51. a. 4 cifras. b. 3 cifras 

52. a. Producción personal. 

b. Producción personal. 

15


Pida que resuelvan los problemas. Para el 53, 

sugiera que usen una recta numérica como en el 44. 

Finalmente registre los aspectos que merecen ser retenidos. 

● Si 350 : 25 tiene cociente 14 y resto 0, entonces 14 × 25 + 0 = 350, 

o sea que 14 × 25 = 350. Por lo tanto, 370 = 350 + 20 = 14 × 25 + 

20. Como 20 es menor que 25, este último cálculo horizontal puede 

interpretarse como una división: al dividir 370 por 25, el cociente es 14 

y el resto 20. 

16 

14 × 25 14 × 25 + 20 

15 × 25 

● 359 = 350 + 9 = 14 × 25 + 9, luego, al dividir 359 por 25, el 

cociente es 14 y el resto 9. 

● Como 14 × 25 + 25 = 375 y 14 × 25 + 25 puede interpretarse como la 

suma de 15 veces el número 25, la igualdad puede reescribirse como 

15 × 25 = 375. Luego, el resto de dividir a 375 por 25 es 0 y el cociente 15. 

● Si la calculadora da 30,48 como resultado de la división 762 : 25, 

entonces 25 entra 30 veces enteras en 762. Una forma de calcular 

el resto es a través de la cuenta 762 – 30 × 25 = 12. En general, 

resto = dividendo – cociente × divisor. 

● Para hacer 1.414 : 14 puede descomponerse el dividendo como 

1.414 = 1.400 + 14. Como 1.400 : 14 = 100 y 14 : 14 = 1, el cociente de 

1.414 : 14 es 100 + 1 = 101. Cuando Carlos dice que el resultado es 11 

porque cada uno de los 14 dividido 14 es 1, comete el error de pensar 

que el “primer 14” es un 14, cuando en realidad es 1.400. 

● Otra forma de pensar el último problema es que como 

14 × 100 = 1.400 y 14 × 1.000 = 14.000, el cociente de la división 

debe tener 3 cifras y entonces no puede ser 11. 

55. No. 

53. 20; 9 y 0. 

54. 762 – 25 × 30 

Problema 56 

Importa analizar por qué difieren los resultados 

obtenidos cuando las dos resoluciones aparentan ser correctas. 

La resolución y la explicación quedarán a su cargo. 

● A partir de las dos divisiones es posible escribir los cálculos 

horizontales 700 = 9 × 77 + 7 y 47 = 9 × 5 + 2. Con lo cual 

747 = 700 + 47 = 9 × 77 + 7 + 9 × 5 + 2 = 9 × 77 + 9 × 5 + 9. 

Pero 9 × 77 es la suma de 77 nueves y 9 × 5 la suma de 5 nueves. La 

cantidad total de nueves que se suman es 77 + 5 + 1 = 83, o sea que: 

9 × 77 + 9 × 5 + 9 = 9 × 83. Por lo tanto, 747 = 9 × 83 y puede leerse 

como la división entre 747 y 9, que tiene cociente 83 y resto 0. 

El resultado no era correcto porque no se tuvieron en cuenta los 

restos. Al sumarlos, se obtiene 9, que es el valor del divisor, lo que 

aumenta en 1 al cociente. 

56. Le falta sumar los restos, para obtener 9, que 

permite dividir el dividendo una vez más por el 

divisor y entonces, así, el cociente aumenta en 1. 

Problema 57 

En la puesta en común pregunte por qué en la parte 

a. puede dividirse dos veces por 3 y en la parte b. no. 

Registre que esta propiedad es válida cuando las divisiones tienen 

resto 0. 

● En este caso: 2.120 3 

706 3 

2 706 

1 235 

2.120 = 3 × 706 + 2 y, 706 = 3 × 235 + 1. Si en la primera igualdad se 

reemplaza 706 por lo que indica la segunda igualdad, resulta que: 

2.120 = 3 × (3 × 235 + 1) + 2 = 3 × 3 × 235 + 3 + 2 = 9 × 235 + 5 

A partir de la última igualdad se puede decir que al dividir 2.120 

por 9, el cociente es 235 y el resto 5, que resulta de multiplicar por 3 

el resto de la división 706 : 3 y sumarle el resto de 2.120 : 3. 

57. a. Sí. b. No. 

Problema 58 

Pida que resuelvan el problema y autorice el uso de 

la calculadora. En la puesta en común verifique si se 

dieron cuenta de que la diferencia entre los cálculos está en el 

orden. Lazlo primero resolvió 128 : 4 y Tatiana primero calculó 4 : 2. 

Aclare y registre que cuando se tiene una serie de multiplicaciones y 

divisiones hay que resolverlas siempre de izquierda a derecha. 

58. No. 




Solicite que resuelvan los problemas. Puede hacer 

una puesta en común una vez que los hayan 

finalizardo todos, o en otro momento que lo considere 

necesario. Registre las conclusiones: 

● 48 = 2 × 8 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 

● Si se cuenta de 4 en 4 empezando de 0 solo se pasa por los 

múltiplos de 4, que son todos pares. Se pasa por 124 porque 

124 = 100 + 24, que son dos múltiplos de 4 y, por lo tanto, también su 

suma. No se pasa por 453 porque es impar. 

● Si se cuenta de 6 en 6 empezando de 0 se pasa por todos los 

múltiplos de 6. 

● Como 168 es múltiplo de 12, el resto de la división entre 168 y 12 

es 0 y la relación entre los valores es 168 = 12 × cociente + 0 = 12 × 

cociente. Luego, 168 es el producto entre 12 y un número natural. 

● A partir de la escritura 168 = 12 × 14 puede afirmarse que 168 es 

múltiplo de 12 y de 14. Otra forma de decir esto es que el resto de la 

división entre 168 y 14 es 0, al igual que el resto de 168 : 12. 

● Como 168 = 12 × 14 = 2 × 6 × 14, 168 es múltiplo de 2, de 6 y de 

14. Si se escribe a 14 como 2 × 7 y a 6 como 2 × 3, también puede 

decirse que 168 es múltiplo de 7 y de 3. 

● Todos los números que son múltiplos de 12 también son 

múltiplos de 3 porque como pueden escribirse como el producto 

entre 12 y un número entero, si se escribe 12 como 3 × 4, también 

pueden escribirse como el producto entre 3 y un número entero. 

Entonces, el número es múltiplo de 3. Por la misma razón esos 

números también serán múltiplos de 4, de 6 y de 2. 

59. a. Por ejemplo: 2 × 3 × 8 

Capítulo 1 

b. 2 × 2 × 2 × 2 × 3 

60. a. Se pasa por el 124, pero no por el 453. 

b. No se pasa por el 765, pero sí por el 648. 

61. La única incorrecta es la d.. 

62. No es posible, porque 12 = 3 × 4 y todo múltiplo de 12 es 

12 × ∆, dónde ∆ es un número natural cualquiera. Entonces 

12 × ∆ = 3 × 4 × ∆ y 4 × ∆ es un número natural; por lo tanto el 

número es múltiplo de 3. 

Problema 63 

Proponga discutir sobre cómo resolver este problema. 

Finalmente, registre la solución y la explicación acordada. 

La cantidad de huevos es un número que tiene que verificar que: 

● Es 4 unidades más que un múltiplo de 6. 



A partir de un listado de números que cumplen las tres condiciones 

anteriores se podrá encontrar alguno en común. 

Múltiplos de 6 + 4: 10, 16, 22, 28, 34, 40, 46, 52, 58, 64, 70, 76, 82, 

88, 94, 100… 

Múltiplos de 12 + 4: 16, 28, 40, 52, 64, 76, 88, 100, 112, 124, … 

Múltiplos de 18 + 10: 28, 48, 64, 72, 90 … 

El número buscado puede ser 28 o 64, aunque no son los únicos 

valores posibles. 

63. 28 huevos, 64 huevos, etcétera. 


En la puesta en común de estos problemas céntrese 

en la explicación y su escritura. Pida que un grupo 

escriba su resolución en el pizarrón y que los demás opinen 

sobre ella. Luego registre la versión final. 

● Si un número es múltiplo de 24 entonces puede escribirse como 

el producto entre 24 y un número natural, o sea 24 × ◊, donde el 

símbolo ◊ representa un número natural cualquiera. Pero como 

24 = 6 × 4, 24 × ◊ = 6 × 4 × ◊, que es un múltiplo de 6 porque pudo 

escribirse como el producto entre 6 y 4 × ◊, que es un número natural. 

● Por la misma razón que en el caso anterior, si un número es 

múltiplo de 24, también será múltiplo de todos los divisores de 24, 

o sea de 2, 3, 4, 6, 8 y 12. 

● Si 64 × 35 = 2.240 entonces, 2.240 es múltiplo de 64 y de 35. Además, 

el resto de la división entre 2.240 y 35 es 0. También es 0 el resto de 

2.240 : 64. 

● Como 64 = 8 × 8 y 35 = 7 × 5 entonces 8 × 8 × 7 × 5 =2.240. 

Luego, 2.240 es divisible por 7, por 8, por 5, por 56, etc. y el resto de 

la división entre 2.240 y cada uno de los valores anteriores es 0. 

● Como 24 × 12 + 2 = 8 × 3 × 12 + 2 y 8 × 3 × 12 es múltiplo de 8, 

el número 24 × 12 + 2 es un múltiplo de 8 más 2. Entonces tiene 

resto 2 si se divide por 8. 

● Si el resto de la división entre 364 y 7 es 0, 364 es múltiplo de 7 y puede 

escribirse como el producto entre 7 y un número natural, 364 = 7 × 52. 

● 365 = 7 × 52 + 1, entonces 365 tiene resto 1 al ser dividido por 7. 

17

● 434 = 364 + 70 = 7 × 52 + 70, entonces, 434 es múltiplo de 7 

porque es la suma de dos múltiplos de 7. 

● 364 = 7 × 52 = 7 × 2 × 26 = 14 × 26, entonces, 364 tiene resto 0 al 

ser dividido por 14. 

● Si 364 = 7 × 52, entonces, 3.640 = 70 × 52 y el resto de la división 

entre 3.640 y 70 es 0. 

● 364 + 14 = 7 × 52 + 7 × 2 = 7 × 54 = 7 × 3 × 18 = 21 × 18, 

entonces, el resto de la división entre 364 y 21 es 0. 

● 3.709 = 3.640 + 69. Como 3.640 es múltiplo de 70, entonces el 

resto de la división entre 3.709 y 70 es 69. 

64. a. Sí, porque 24 = 6 × 4. 

b. Por: 2, 3, 4, 8 y 12. 

65. Son todas correctas. 

66. El resto es 2 porque 24 × 12 + 2 = 8 × 3 × 12 + 2. 

67. a.1 b. 0 c. 6 d. 0 e. 0 f. 0 

Problema 68 

Pida que resuelvan el problema y que expliquen 

sin hacer las cuentas. Luego de la puesta en común 

concluya que: 

● Si 48 y 93 son múltiplos de 3, cada uno de ellos es el producto 

de 3 por un número natural o la suma de una cantidad de veces 

3. La suma entre 48 y 93 puede expresarse como la suma de 

varias veces 3, luego, también es múltiplo de 3. 

● Si dos números son múltiplos de otro, su suma también es 

múltiplo de ese número. 

18 

68. a. Sí. b. Sí. 


Pida que lean cada problema y genere un debate. 

Finalmente proponga que redacten las conclusiones y que las 

lean para poder armar una conclusión final que quede clara 

para todos. Por ejemplo: 

● En el problema 69: Un múltiplo de 7 es 7 × ◊, otro múltiplo de 7 

será 7 × •, con ◊ y • números naturales. Al sumar los dos, quedará 

una cantidad de 7 sumados más otra cantidad de 7 sumados, en 

total tenemos una suma larga de muchos 7, y ese resultado es 

múltiplo de 7, (es 7 × (◊ + •)) Lo mismo ocurriría si en lugar de 7 

consideráramos otro número natural y por lo tanto, si se suman 

dos múltiplos de un mismo número, el resultado también es 

múltiplo de ese número. 

● En el problema 70: Como un múltiplo de 7 es 7 × •, dónde • es un 

número natural, si a esa cuenta se la multiplica por otro número 

natural, seguirá siendo 7 por algo y entonces el resultado seguirá 

siendo un número natural. 

● En el problema 71: Como 1.400, 70 y 28 son múltiplos de 7; 1.498 

también es múltiplo de 7 usando las conclusiones del problema 69. 

69. Producción personal. 


71. Tatiana puede analizar si cada sumando es múltiplo de 7 o no. 


Pida que lean lo que dice Juan en el problema 72 

y que contesten las preguntas. Observe que en este caso, se 

usan las conclusiones anteriores dado que Juan descompone 

al número en 3 sumandos, dos de los cuales son múltiplos de 4 

porque 1.000 y 100 lo son. Finalmente, para que esa cuenta dé 

múltiplo de 4 el último término debería serlo porque si no, no 

llega al múltiplo de 4 siguiente. Entonces, Juan podría reescribir 

su cuenta como: 5 × 1.000 + 7 × 100 + 32 + 2 y observar que 

como los 3 primeros sumandos son múltiplos de 4, 5.734 tiene 

resto 2 al dividirlo por 4 y no puede ser múltiplo de 4. 

Pida luego que lean lo que hace Lazlo en el problema 73 que 

permite reinvertir lo anterior pero con los múltiplos de 3. 

Observe en este caso que Lazlo intenta escribir su número con 

una descomposición equivalente que tenga términos que son 

múltiplos de 3. 

Luego del debate, en el momento de la institucionalización, 

haga una exposición que analice los criterios de divisibilidad. 

Por ejemplo: para decidir si un número es par es posible 

descomponerlo analizando la cantidad de dieces que tiene. Por 

ejemplo: 75 = 7 × 10 + 5, como cualquier número multiplicado 

por 10 es par, la paridad del número estará dada por la última 

cifra. Es decir, un número es múltiplo de 2 (par) si termina en 



un número par (0, 2, 4, 6 u 8). En caso contrario, es impar. 

Con la misma descomposición puede analizarse que como 7 × 10 

es múltiplo de 5 porque 10 lo es, entonces un número es múltiplo 

de 5 si la última cifra lo es, es decir si termina en 5 o 0. 

Para analizar si un número es múltiplo de 3 se puede realizar lo 

siguiente. 

4.586 = 4 × 1.000 + 5 × 100 + 8 × 10 + 6 = 4 × 999 + 4 + 5 × 99 + 5 + 8 × 9 + 8 + 6 

1.000 veces 4 es lo mismo que 999 veces 

el 4 y después sumarlo una vez más. 

Como 4 × 999, 5 × 99 y 8 × 9 son múltiplos de 3 porque 999, 99 

y 9 lo son, entonces el número será múltiplo de 3 siempre que 

4 + 5 + 8 + 6 sea múltiplo de 3. Luego: un número es múltiplo de 3 

siempre que la suma de sus cifras sea múltiplo de 3. 

Con la misma demostración podemos analizar que como 

4 × 999, 5 × 99 y 8 × 9 son múltiplos de 9 porque 999, 99 y 9 lo son 

entonces el número será múltiplo de 9 siempre que 4 + 5 + 8 + 6 

sea múltiplo de 9. Luego: un número es múltiplo de 9 siempre que 

la suma de sus cifras sea múltiplo de 9. 

Para analizar si un número es múltiplo de 4 se puede observar 

la misma descomposición anterior: 

7.586 = 7 × 1.000 + 5 × 100 + 8 × 10 + 6 

1.000 veces 7 es múltiplo de 7 porque 

1.000 lo es. 

Como 1.000 y 100 son múltiplos de 4, para que el número 7.586 

Capítulo 1 

sea múltiplo de 4, debe serlo, 8 × 10 + 6 = 86. Esta descomposición 

puede hacerse con cualquier número, entonces, un número 

es múltiplo de 4 si el número de dos cifras formado por los 

dos últimos dígitos del número lo es. Pensemos ahora en la 

siguiente descomposición: 45.235 = 45 × 1.000 + 235. Como 45 

× 1.000 es múltiplo de 8 porque 1.000 lo es, entonces 45.235 

es múltiplo de 8 si 235 lo es. En este caso 235 = 29 × 8 + 3, 

entonces 45.235 no es múltiplo de 8. Un número es múltiplo 

de 8 si el número de tres cifras formado por las últimas cifras 

del número lo es. 

72. a. Sí, porque 1.000 = 4 × 250 y 100 = 4 × 25. 

b. Porque los otros sumandos ya son múltiplos de 4, 

al serlo 1.000 y 100. 

73. a. Sí, porque 999 = 3 × 333, 99 = 3 × 33 y 9 = 3 × 3. 

b. Porque los otros sumandos ya son múltiplos de 3, al serlo 

999, 99 y 9. 

c. Sí, porque 999, 99 y 9 son múltiplos de 9. En este caso, el 

número no es múltiplo de 9 porque 5 + 7 + 3 + 4 = 19. 


Proponga una puesta en común basada en 

la explicación de cada problema. Registre las 

conclusiones, por ejemplo: 

● Si consideramos el número 5.416, cuyas dos últimas cifras forman 

16, que es múltiplo de 4, se puede escribir 5.416 = 54 × 100 + 16. 

Como 100 es múltiplo de 4, 54 × 100 es múltiplo de 4 y 5.416 está 

formado por la suma de dos múltiplos de 4, entonces es múltiplo 

de 4. Luego, el resto de la división entre 5.416 y 4 es 0. El mismo 

razonamiento puede realizarse para cualquier otro número que 

termine en un número de dos cifras que es múltiplo de 4, porque no 

depende de cuáles sean los primeros dígitos. 

● Hay números que terminan en 12 y no son múltiplos de 3, por 

ejemplo 512. También hay números que terminan en 6 y no son 

múltiplos de 6, como 26. 

● Para que un número sea múltiplo de 6 tiene que ser múltiplo de 

2 y de 3, o sea que tiene que terminar en un dígito par y la suma de 

sus cifras tiene que ser múltiplo de 3. 

74. a. Sí. b. No. c. No. 

75. El primero se puede completar con: 2, 5 u 8. 

El segundo no es posible completarlo para que sea múltiplo de 2. 

El tercero puede completarse de muchas maneras: 1 y 0, 0 y 1, 0 

y 4, 4 y 0, 1 y 3, 3 y 1, 2 y 2, 0 y 7, 7 y 0, 1 y 6, 6 y 1, 2 y 5, 5 y 2, 3 y 

4, 4 y 3, 1 y 9, 9 y 1, 2 y 8, 8 y 2, 3 y 7, 7 y 3, 4 y 6, 6 y 4, 5 y 5, 4 y 9, 

9 y 4, 5 y 8, 8 y 5, 6 y 7, 7 y 6, 7 y 9, 9 y 7, 8 y 8. 

Aprender con la calculadora 

La gestión de estos problemas depende de la práctica previa 

de los alumnos con esta herramienta. Haremos una pequeña 

síntesis de las conclusiones de cada uno. 

Recuerde que el objetivo de la calculadora es hacer cálculos 

en problemas donde hay que reflexionar, para lo que muchas 

19

veces es necesario ensayar con varias cuentas. Es imprescindible 

que los cálculos y sus resultados se registren para poder 

reflexionar sobre ellos. 

Problema 1 

Luego de ingresar un número y una operación, cada 

vez que se oprime la tecla igual se repite el cálculo. Por ejemplo, si 

ingresan 1 0 , × e = , aparece 100 porque la calculadora 

multiplica el resultado anterior por 10. Si se sigue apretando = 

seguirá multiplicando por 10. Como consecuencia de esto, los 

resultados que se obtienen siempre terminan en 0 porque resultan 

de haber multiplicado a 10 por sí mismo varias veces. 

1. a. Multiplica por 10. 

b. Para que se lea 10.000.000, 6 veces, y para que se 

lea 1.000.000.000, 8 veces. 

c. No, porque no es una potencia de 10. 


Si el resultado de una división está formado por los 

mismos dígitos del dividendo pero con una coma (si 

antes no la tenía) o con la coma en otro lugar, es porque se dividió 

un número por una potencia de 10. Una manera de ver por qué 

sucede esto es a través de un ejemplo. Para calcular 2.547 : 100 se 

puede descomponer el dividendo de la siguiente manera: 

2.547 : 100 = (2 × 1.000 + 5 × 100 + 4 × 10 + 7) : 100 

= 2 × 1.000 : 100 + 5 × 100 : 100 + 4 × 10 : 100 + 7 : 100 

= 2 × 10 + 5 + 4 × 1 ___ + ____ 7 

= 25,47 

10 100 

Al analizar los valores posicionales puede verse que 2 ocupaba 

la posición de los miles y pasó a la de los dieces, 5 pasó de la 

posición de los cienes a la de las unidades, y así, cada dígito 

disminuyó su valor posicional en 2 lugares, que tienen que ver 

con el número 100, que es 10 2 

y resulta de multiplicar 2 veces 10. 

Pida que resuelvan de tarea el problema 3. 

20 

2. a. Producción personal. b. Producción personal. 

3. : 2; × 4; : 5; × 13; : 1.300. 

Problema 4 

El resto de una división puede encontrarse a partir 

del cálculo dividendo – divisor × cociente. Si la división 

se hace en la calculadora, el cociente es la parte entera del 

resultado que proporciona (lo que aparece antes de la coma). 

4. 3.858 – (321 × 12); 0,5 × 12. 

Problema 5 

El número que completa el cálculo 34 ×… = 408 es 

408 : 34 = 12 porque se busca la cantidad de veces 

que 34 entra en 408. 

El número que completa el cálculo 120 : … = 15 es 120 : 15 = 8 

porque el número que se busca es el que entra 8 veces en 120. 

5. 34 × 12 = 408 porque 408 : 34 = 12. 

35 × 41 = 1.435 porque 1.435 : 35 = 41. 

120 : 8 = 15 porque 120 : 15 = 8. 

5.781 : 47 = 123 porque 5.781 : 123 = 47. 

42 × 75 = 3.150 porque 3.150 : 42 = 75. 

8.820 : 245 = 36 porque 8.820 : 36 = 245. 


Observe que estos problemas apelan a la 

descomposición de las cuentas en otras equivalentes. 

Pida que anticipen las cuentas que van a hacer escribiéndolas 

en la carpeta. Luego pida que verifiquen, por ejemplo: 

● En el problema 6: 45 × 200 = 45 × 100 × 2, entonces falta 

multiplicar por 2. 

● En el problema 7: 325 × 7.00 = 325 × 7.000 : 10, entonces hay que 

dividir por 10. 

● En el problema 8: 1.200 × 30 = 1.200 35 – 1.200 × 5, entonces hay 

que restarle 1.200 × 5. 



6. Multiplicar por 2 el resultado. 

7. Dividir por 10 el resultado. 

8. Restarle 1.200 × 5. 

9. Hay que hacer la división 3.456 : 15, tomar la parte entera de 

ese número, multiplicarlo por 15 y restárselo a 3.456. 

Problemas 10 a13 

Si a un número se le resta de 6 en 6 y se llega a 0 

es porque es múltiplo de 6. Esto se debe a que el 

número contiene una cantidad exacta de veces 6. 

Si se llega a 1 después de restarle 6 todas las veces que se puede a 

un número, es porque el número es 1 unidad más que un múltiplo 

de 6. Es decir, el número tiene resto 1 al ser dividido por 6. 

En general, si se tiene un número y se le resta 6 tantas veces 

como se puede, se llega al resto que tiene ese número al ser 

dividido por 6. Lo mismo sucede si se resta otro número en 

lugar de 6. 

10. a. Respuesta personal. 

b. Los múltiplos de 6. 


b. Los múltiplos de 4. 


b. Los números que son los siguientes de los múltiplos de 5. Es 

decir, terminan en 1 o 6. 

13. a. Un múltiplo de 35. 

b. Hay infinitas posibilidades. 

Capítulo 1 


Estos problemas admiten muchas respuestas 

posibles. En la puesta en común pida que digan 

varias de ellas y regístrelas en el pizarrón. 



Problema 16 

Lazlo quería hacer 5.230 × 50 pero hizo 5.230 × 5.000, 

como 5.000 = 50 × 100 para llegar al resultado sin 

borrar tiene que dividir por 100. 

16. Dividir por 100. 

Respuestas a las actividades de integración 

1. a. 12 

b. $4.250 

2. 132 partidos. 

3. 261 caramelos. 

4. a. Es correcta. 38 × 90 = 38 × (100 - 10) = 38 × 100 - 38 × 10. 

b. Es falsa. Por ejemplo: 2 × 100 = 200; 200 - 1 = 199 y 

2 × 99 = 198. 

c. Es correcta. 

d. Es correcta. 

5. Multiplicar por 7, por 11 y luego por 13, es lo mismo que 

multiplicar por 1.001. Al hacerlo por un número de tres cifras el 

resultado es un número cuyas primeras tres cifras es el primer 

número y las siguientes tres también lo son, ya que 1.001 = 

1.000 + 1. 

6. Son correctas: b., c. y d.. 

7. Por ejemplo: 136, 227 y 2.606. Hay infinitas posibilidades. Se 

elige cualquier número, se lo multiplica por 13 y se le suma 6 y 

ese es el dividendo. 

8. Por ejemplo: 805, 1.085 y 16.005. Hay infinitas posibilidades. 

Se elige cualquier número y se lo multiplica por 8 y se le suma 5 

y ese es el dividendo. 

9. Son correctas: a., b., c., d., f., g. y h.. 

10. a. Es falsa. Por ejemplo, 10 es divisible por 2 y por 5 y no es 

divisible por 7. 

b. Es verdadera. Si un número es divisible por 2 y por 5, también 

es divisible por 10. 

c. Es verdadera porque 12 = 3 × 4. 

d. Es falsa. Por ejemplo 9 es múltiplo de 3 y no de 6. 

e. Es verdadera porque se está sumando una cantidad de veces 

entera el 4. 

21

Capítulo 2 

Ángulos y triángulos 

Objetivo: 

Que los alumnos copien y construyan figuras a partir de diferentes 

informaciones sobre propiedades y medidas, utilizando compás, 

regla, transportador y escuadra, evaluando la adecuación de la 

figura obtenida. 

NAP: 

El reconocimiento de figuras y la producción y el análisis de 

construcciones, considerando las propiedades involucradas. 

Problema 1 

Mientras resuelven el problema, si lo considera 

necesario, sugiera que lean el lateral de la página 34 

donde se recuerda cómo usar el transportador. Debido a las 

dificultades que genera el uso del transportador, proponga que 

anticipen rangos de medida antes de usar el instrumento de 

medición. Por ejemplo, si a simple vista un ángulo es agudo, ante 

la duda entre elegir a 70° o a 110° como su medida tendrán que 

elegir la primera. Señale que no importa la posición del ángulo 

en la hoja, sino la medida. 

22 

1. Copiado. 

Problema 2 

Lea junto con sus alumnos las instrucciones y 

proponga que discutan si lo que dice Lazlo es correcto o no. 

Finalmente explique por qué la construcción es correcta. 

B 

S 

T 

A 

C 

Como los puntos M y N están en la misma 

circunferencia con centro en B, están a la 

misma distancia de B. Luego, el triángulo 

BMN es isósceles. 

Las instrucciones sirven entonces para 

copiar el triángulo y el ángulo TBS mide lo 

mismo que el ABC. 

2. Construcción. Son iguales porque la distancia 

entre dos puntos es la misma. 


Son aplicaciones de los anteriores. En la puesta 

en común pida que cuenten cómo hicieron para 

copiar cada figura y por dónde eligieron empezar. Pregunte si 

tomaron esa decisión al comienzo o si probaron caminos que 

no sirvieron. Analice los intentos fallidos intentando explicar 

por qué no sirvieron. 

En el problema 6 pida a un grupo que lea las instrucciones para 

que la clase opine sobre ellas. Pueden hacer propuestas de 

cambios para discutir hasta acordar un mensaje que registrarán 

luego en las carpetas. 

3. Construcción. 

4. Copiado. 

5. a. Copiado. 

b. Se pueden calcar y superponer las figuras para asegurarse de 

que son iguales. 

6. Tiene que darle instrucciones como las del problema 2. 

Problema 7 

Este problema analiza la posible ambigüedad de las 

__ instrucciones. Como el segmento perpendicular a 

AB y el ángulo pueden hacerse en diferentes sentidos con estas 

instrucciones pueden obtenerse diferentes dibujos, por ejemplo: 

A 

D 

B 

C 

7. a. Construcción. 

b. Podemos dibujar a D a la derecha o a la izquierda 

por lo que quedan varias posibilidades. 

A 

B 

D 

C 




El objetivo de estos problemas es, además de practicar 

el copiado, discutir sobre la escritura de un mensaje que 

permita copiar una figura. Para ello, es necesario que los alumnos 

piensen cuáles son los datos necesarios para definir esta figura. 

Realice la puesta en común al finalizar todos los problemas 

o luego de los primeros, en función de las dificultades que 

observe mientras los alumnos trabajan. Pida que un grupo 

escriba su mensaje en el pizarrón para discutir con todos y 

busque un mensaje acordado a partir de los aportes. 

Observe que para aprender a escribir instrucciones conviene 

empezar copiando la figura y anotando los pasos realizados. 

El problema 12 es inverso a los anteriores, o sea que hay que 

analizar si un mensaje es suficiente para copiar una figura. 

En este caso, el mensaje da datos para copiar segmentos, sin 

mencionar los ángulos entre ellos, que es un dato necesario. 

Pida que lo completen y que lo registren en la carpeta. 

8. Copiado. 


Trazar la diagonal ___ 

AC . 

Copiar el segmento AC con regla y compás y llamarlo ___ 

MP . 

Trazar una circunferencia con centro en M y radio ___ 

AD . 

Trazar una circunferencia con centro en P y radio ___ 

DC . 

Llamar N a uno de los puntos de intersección de las 

circunferencias. 

Trazar una circunferencia con centro en M y radio ___ 

BA . 

Trazar una circunferencia con centro en P y radio ___ 

BC . 

Llamar Q al punto de intersección de las circunferencias que 

Capítulo 2 

está más alejado de N. 

Unir M con N, N con P, P con Q y Q con M. MNPQ es la figura 

buscada. 

10. Copiado. 11. Copiado. 

12. Falta analizar los ángulos o copiar los triángulos que 

quedan al trazar una diagonal. 


Si es necesario, antes de comenzar, recuérdeles cómo 

construir un triángulo usando transportador, regla 

y compás. Pida que resuelvan el problema 13. En la puesta en 

común, recuerde y registre: 

● No se puede construir un triángulo que tenga un ángulo de 80° 

y otro de 120°, porque 80° + 120° = 200° y la suma de los 3 ángulos 

de un triángulo es 180°. 

Pida que lean el problema 14, discútalo con ellos y registre: 

● Como 30° + 120° + 30° = 180°, entonces se puede construir un 

triángulo con ángulos de las medidas dadas. 

● Como 70° + 20° + 40° = 130°, faltan 50° para poder construir un 

triángulo. Ellos pueden distribuirse de diferentes maneras. 

● En el tercer caso sobran 5°, que pueden sacarse de distintas formas. 


b. Sí, porque 120 + 80 = 200. 

14. a. Solo con el primero, porque es el único en el que los 

ángulos sí suman 180°. 

b. Hay infinitas maneras de hacerlo. La suma de los ángulos 

tiene que dar 180°. 

Problema 15 

En la puesta en común recuérdeles que armar una lista 

de conclusiones es una de las herramientas necesarias 

para estudiar. Priorice la discusión sobre cuándo se puede 

construir un solo triángulo, cuándo infinitos y cuándo no puede 

construirse ninguno. Registre las conclusiones: 

● No se puede construir un triángulo de lados 5 cm, 2 cm y 3 cm 

porque no se cumple que la suma de dos de sus lados es siempre 

mayor que el tercero, 2 + 3 = 5. 

● Si se tiene como dato las medidas de los tres ángulos de un 

triángulo y sumados dan 180° o de dos que suman menos de 180°, 

porque el tercero queda determinado, se pueden dibujar infinitos. Esto 

se debe a que los lados que forman los ángulos no son segmentos 

sino semirrectas. Como no es posible dibujar una semirrecta 

porque es infinita, se dibujan segmentos, pero suponiendo que son 

semirrectas. Los triángulos que se obtienen tienen la misma forma y 

puede decirse que son ampliaciones o reducciones uno del otro. 

● Se puede construir un solo triángulo cuando los datos son, por 

ejemplo: 

- Tres lados que verifiquen que la suma de dos cualesquiera de ellos 

es mayor que el tercero. 

- Un lado y las medidas de los ángulos que se apoyan sobre él, 

siempre que sumen menos de 180º. 

- Dos lados y el ángulo que forman. 

23

15. Se puede construir un solo triángulo en a. y f.. 

Se pueden construir infinitos triángulos en b. y e. 

porque no se da la medida de ningún lado. 

No se puede construir el triángulo en c. (porque 5 = 2 + 3 y 

entonces no se verifica la propiedad triangular) y en d. (porque 

los tres ángulos no suman 180). 


Nuevamente se intenta construir triángulos a partir 

de diferentes datos. En la puesta en común pregunte 

cuántos triángulos se pudieron construir y por qué. Analice que 

en los tres casos se puede construir uno solo y que en el problema 

18 se obtiene un triángulo isósceles por tener dos ángulos iguales. 

Como además cada uno mide 45° y 45° + 45° = 90°, el ángulo 

restante tiene que medir 180° – 90° = 90°, por eso el triángulo es, 

además, rectángulo. 


b. No. porque queda definido un solo triángulo. 

17. Se puede construir uno solo. 


b. Es un triángulo rectángulo, porque si dos ángulos miden 45° 

entonces el tercero mide 90° para completar los 180°. 

Problema 19 

Antes de que comiencen a resolver el problema, 

recuerde que no se puede medir con regla, 

transportador ni otro instrumento de medición. Solicite que 

escriban la explicación de cada paso. 

En la puesta en común pida a un grupo que escriba la resolución 

con la explicación en el pizarrón para que la clase la discuta. Procure 

hacer pasar a aquellos grupos que en sus resoluciones tengan algo 

discutible, ya sea porque es un error o porque sea una idea original. 

Sin embargo, tenga cuidado de que los que expongan no sean 

alumnos que gocen del respeto “matemático” de sus compañeros, 

porque de esa forma se cierra la discusión en lugar de abrirse. La 

puesta en común es el momento del debate, de la confrontación y 

es usted el que tiene que procurar que esa discusión se genere. 

Finalmente, registre lo que hayan acordado. Por ejemplo: 

● Como la figura ABCD es un cuadrado, las medidas de los lados 

___ 

AB y ___ 

BC son iguales y, por lo tanto, el triángulo ABC es isósceles. 

Como el ángulo B ^ mide 90° y los otros dos son iguales, cada uno 

mide (180° – 90°) : 2 = 45°. 

● En el rectángulo PQRS, como T es el punto medio de ___ 

PQ , __ 

PT mide 

3 cm. Pero, además, ___ 

PR = 3 cm y P 

^ = 90°, por lo tanto, el triángulo 

PTR es isósceles y rectángulo. Sus ángulos agudos miden 45° cada 

uno. Por otro lado, los ángulos PT 

^ R y QT 

^ R suman 180° y uno mide 

45°, entonces el otro mide 180° – 45° = 135°. 

24 

19. AC ^ B = 45°, PR ^ T = 45°, RT ^ Q = 135°. 

Problema 20 

Pida que resuelvan la parte a.. Es esperable que algunos 

alumnos marquen puntos a 2 cm de A, pero que no 

reconozcan que hay infinitos. En la puesta en común muestre 

cómo encontrar puntos a 2 cm de A. Luego recuerde la definición 

de circunferencia: Hay infinitos puntos que están a una distancia 

determinada del punto A. Estos puntos determinan una circunferencia 

cuyo centro es A y su radio la distancia que se consideró. 

Pida que resuelvan las partes b. y c. y luego registre las 

conclusiones: 

● Todos los puntos que están a 1,5 cm de B forman una 

circunferencia con centro B y radio 1,5 cm. 

● Los puntos que están a 2 cm de A y a 1,5 cm de B son los que 

están donde las dos circunferencias se cruzan. Esto se debe a que si 

pertenece a la circunferencia de centro A y radio 2 cm, están a 2 cm 

de A y si están en la circunferencia de centro B, están a 1,5 cm de B. 

20. a. Circunferencia con centro en A y radio de 2 cm. 

b. Circunferencia de centro en B y radio de 1,5 cm. 

c. Son los dos puntos de intersección entre la circunferencia de 

centro en A y radio de 2 cm y la circunferencia de centro en B y 

radio de 1,5 cm. 

Problemas 21a 23 

En la puesta en común pregunte cómo hicieron para 

encontrar 3 puntos que estén a la misma distancia 

de A y B. Luego de discutir las diferentes estrategias, registre la 

conclusión: 

● Si se elige una distancia, por ejemplo, 3 cm, los puntos que están a 

3 cm de A y de B son aquellos donde las dos circunferencias se cortan. 

Si se elige otra distancia, el procedimiento es el mismo y como hay 

infinitas distancias, habrá infinitos puntos a la misma distancia de 

A y B. Esos puntos forman una recta que pasa por el punto medio 

del segmento AB. 

A B 

A B 

El problema 22 es una aplicación del 21. Solo haga una puesta en 

común en caso de considerarlo necesario. 

El problema 23 permite reinvertir lo analizado en los anteriores. 

Antes de que lo resuelvan, pida que lean la definición del 

lateral y defina mediatriz como la recta que contiene a todos los 

puntos que están a la misma distancia de A y B. 

21. a. y b. Hay que construir una circunferencia con 

centro en A con un radio que sea mayor que la mitad 

de la distancia entre A y B, y otra circunferencia con el mismo 

radio y con centro en B. Los puntos de intersección de las 

circunferencias están a la misma distancia de A que de B. 

Cambiando los radios se obtienen infinitos puntos a igual 

distancia de A que de B. 



22. Haciendo la misma construcción que en el problema 21 y 

uniendo los puntos con una línea. 

23. Se procede como en los problemas anteriores. 


Pida que resuelvan el problema 24. Insista en que las 

justificaciones en geometría no pueden ser desde lo 

perceptivo o visual, sino desde las propiedades. Por ejemplo: 

● Si ABC es un triángulo isósceles no equilátero y ___ 

AB es el lado 

distinto, entonces ___ 

AC = ___ 

BC por lo tanto C está a la misma distancia 

de A que de B y entonces está en la mediatriz de ___ 

AB . 

● En un triángulo equilátero, cualquier vértice está a la misma 

distancia que los otros dos y, entonces, está en la mediatriz del 

segmento opuesto. 

Para el problema 25 pida que luego del debate registren: 

● Cada diagonal de un cuadrado lo divide en dos triángulos 

isósceles. Por ejemplo, la diagonal ___ 

DB define los triángulos ADB y 

DBC. Luego, la mediatriz del segmento DB pasa por los puntos A y C, 

ya que se encuentran a la misma distancia de ellos. 

● La diagonal de un rectángulo no necesariamente lo divide en dos 

triángulos isósceles, por eso la mediatriz no pasa siempre por el vértice 

opuesto. Si eso ocurriera, el rectángulo sería, además, un cuadrado. 


b. Sí, porque el vértice opuesto está a la misma 

distancia de los extremos. 

c. Sí, porque el vértice opuesto está a la misma distancia de los 

extremos. 

25. a. Correcta. b. Falsa. 


Pida que lean el problema 26 y explique lo que no les 

quede claro. Finalmente registre una lista de pasos 

que permitan dibujar la mediatriz de un segmento. 

Solicite luego que resuelvan el problemas 27. Haga una puesta 

en común sobre cómo debe ser la medida del segmento ___ 

AB 

para que haya uno, ninguno o dos puntos que estén a 3 cm de 

A y B. Registre las conclusiones: 

● Para encontrar un punto que esté a 3 cm de A y de B pueden 

dibujarse dos circunferencias de radio 3 cm, una con centro en A y otra 

con centro en B. El o los puntos en común son los que están a 3 cm de 

cada punto. Las circunferencias pueden coincidir en 2 puntos, uno o 

ninguno, según la medida de ___ 

AB . 

P Si 

A B 

___ 

AB mide 6 cm, hay un solo punto 

a 3 cm de A y de B y es el punto 

medio del segmento. 

A B 

Si ___ 

AB mide más de 6 cm, 

no hay ningún punto que 

esté a 3 cm de A y B. 

P 

A B 

Q 

Capítulo 2 

Si ___ 

AB mide menos de 6 cm, 

hay dos puntos que están a 3 cm de 

A y B. 


27. a. Construcción. Dos puntos. 

b. 6 cm, porque las circunferencias se cruzan una sola vez. 

Problema 28 

En la puesta en común destaque las siguientes 

conclusiones. 

Todos los puntos 

de esta recta 

están a la misma 

distancia de 

la fábrica y la 

escuela. 

Fábrica Escuela 

● En un plano donde están 

representadas una fábrica y una 

escuela a través de puntos, los 

lugares que están a la misma 

distancia de ambos son los que están 

en la mediatriz del segmento que 

determinan los puntos. 

● Los puntos que están a la 

izquierda de la recta están más 

cerca de la fábrica que de la escuela, 

mientras que los que están a la 

derecha de la mediatriz están más 

cerca de la escuela. 

28. a. Construcción. b. Producción personal. 

c. Producción personal. d. Construcción. 

e. No, porque hay muchos puntos que cumplen esas 

características. f. Construcción. 


1. a. Construcción. b. No. c. Equilátero. 

2. Se construye la mediatriz del segmento ___ 

AB . 

3. Copiado. 

4. Copiado. 

5. a. Construcción. b. Sí. c. Sí, porque está en las 3 mediatrices. 

d. Trazar la circunferencia cuyo centro es la intersección de las 

mediatrices y que pasa por uno de los vértices. 

6. a. Escaleno, obtusángulo. Escaleno acutángulo. No existe 

porque 115 + 75 es más que 180. Escaleno, obtusángulo. . 

b. Por ejemplo, se puede cambiar el ángulo de 75° por uno de 55°. 

7. Copiado. 

8. a. Construcción. b. Trazar un segmento ___ 

AB de 5 cm. 

Con vértice en A, trazar , con el transportador, un ángulo de 50° 

que tenga a AB por lado. 

Con vértice en B, trazar , con el transportador, un ángulo de 50° 

que tenga a BA por lado. 

Llamar C al punto dónde se intersecan los otros dos lados de los 

ángulos. 

c. 180 – 50 × 2 

25

Capítulo 3 

Los números racionales 

fraccionarios 

Objetivo: 

Que los alumnos analicen los números racionales fraccionarios y el 

orden entre ellos. 

NAP: 

El reconocimiento y uso de los números fraccionarios 

y la explicitación de sus características, en situaciones 

problemáticas que requieran: 

● Interpretar, registrar, comunicar y comparar cantidades. 

● Argumentar sobre la equivalencia de distintas 

representaciones y descomposiciones de un número. 

Problema 1 

Pida que resuelvan el problema y en la puesta en 

común pregunte por qué el procedimiento de 

Tatiana es correcto. Se espera que respondan que 5 veces 1 __ 

3 

son 5 __ . 

3 

Revise las respuestas que obtienen al repartir las 3 tartas entre 

4 y registre: 

● Cada tarta se reparte en 4 partes iguales y a cada uno le 

corresponde 1 __ . Como son 3 tartas, cada chico recibe 

4 3 __ . 

4 

26 

1. 3 __ a cada uno. 

4 

Problema 2 

Pregunte qué representa cada número de la división 

que está escrita en el pizarrón y registre: 

● Si se divididen11 tartas entre 4 personas, cada una recibe 2 

tartas y sobran 3. Las tartas que sobran se pueden repartir en 4 

partes y entonces cada uno recibe 3 __ . En total, cada persona come 

4 

2 tartas y 3 __ . 

4 

2. Sí. 

Problema 3 

En la puesta en común discuta sobre la validez de 

cada enunciado y su explicación. Luego, registre las 

conclusiones. 

● Daniela repartió sus chocolates entre 5 personas, que es el 

divisor de la cuenta. 

● El dividendo, 38, representa la cantidad de chocolates que había 

para repartir. 

● El cociente indica la cantidad de chocolates enteros que 

recibe cada uno, que en este caso es 7. Los 3 que sobran hay que 

repartirlos entre las 5 personas: reciben 1 __ de cada chocolate y, 

5 

como hay 3, a cada uno le tocan 3 __ . Cada uno recibió 7 chocolates 

5 

enteros y 3 __ . 

5 

3. a. Entre 5. 

b. 38 chocolates. 

c. 7 3 __ de chocolate. 

5 


Para resolver estos problemas es necesario usar lo 

desarrollado en el 3. Plantee una puesta en común 

para discutir sobre ellos y concluya: 

● Si cada persona recibió 2 tartas enteras y 3 __ , al hacer la división 

4 

entre la cantidad de tartas y las personas, el cociente tiene que ser 2. 

● La parte fraccionaria que cada uno recibe, 3 __ , puede 

4 

interpretarse como 3 veces 1 __ . Esto último puede significar que 

4 

cada una de las 3 tartas fue repartida en 4 partes, el resto de la 

división es 3 y el divisor, 4. 

● Si se conocen el divisor, el cociente y el resto de una división es 

posible calcular el dividendo como dividendo = divisor × cociente 

+ resto. 

En este caso el dividendo es 4 × 2 + 3 = 11. 

● Como 4 __ = 4 : 5, un reparto posible es de 4 tartas entre 5 

5 

personas. Pero 4 __ = 

5 8 __ = 8 : 10, que puede representar el reparto 

10 

de 8 tartas entre 10 personas. Para cada fracción equivalente a 4 __ 

5 

es posible encontrar un reparto que tenga el mismo resultado que 

si se reparten 4 tartas entre 5 personas. 



4. a. La primera. 

b. 11 tartas. 

c. 4 personas. 



Pida que los resuelvan juntos. En la puesta en común 

pregunte cuántas respuestas encontraron para el 

problema 6 y por qué. Luego del debate, concluya que: 

● La cantidad entera de alfajores que recibe cada uno no está 

indicada, por lo que puede ser cualquier valor. Si cada uno recibe 

1 alfajor entero, entonces se repartieron 5 × 1 + 3 = 8 alfajores en 

total. Si cada uno recibe 2 alfajores enteros, se repartieron 

5 × 2 + 3 = 13 alfajores en total, etc. Para cada cantidad de 

alfajores enteros que se elija habrá una cantidad total de alfajores 

que se reparten, por lo que hay infinitas posibilidades. 

● La cantidad total de tartas se puede obtener sumando las partes 

que recibió cada persona. 

En este caso, 2 + 1 __ + 2 + 

3 1 __ +2 + 

3 1 __ = 6 + 

3 3 __ = 7 es la cantidad de 

3 

tartas que se repartieron. 

6. a. Por ejemplo, que el dividendo sea 43 y el 

cociente sea 8. 

b. Hay muchas maneras de resolverlo. Dividendo = 5 x cociente + 3. 

c. En el cociente se puede poner cualquier número natural, y así 

queda determinado el dividendo, multiplicando ese número 

por el divisor y sumándole 3 al resultado para obtenerlo. 

7. 7 tartas. 

Capítulo 3 


Pida que resuelvan los problemas y, en la instancia 

colectiva, solicite que expliquen cómo lo pensaron. 

Registre la conclusión: 

● Son necesarias 4 tiras de 1 __ para armar un entero. Si se tiene 

4 1 __ 

4 

como dato, hay que agregar 3 partes iguales a esa para completar 

el entero. 

● Si el dato es 1 __ , hacen falta 4 partes más para armar el entero. Es 

5 

decir, 5 partes en total. 

8. Tira de 12 cm. 



En un intercambio colectivo pida a un grupo que 

cuente y registre su solución. Solicite a toda la clase que 

opine sobre ella, que proponga cambios o aclaraciones en caso de 

considerarlo necesario. Como parte de las conclusiones registre: 

● Si la tira mide 3 __ de la tira unidad, la tercera parte es 

2 1 __ y 2 

2 

veces 1 __ es 1 entero. 

2 

● Con 3 veces 1 __ se arma el entero. Si se lo divide en 4 partes 

3 

iguales, cada una es 1 __ y tomando 3 de ellas se obtiene 

4 3 __ . 

4 



Problema 12 

Pregunte qué medidas tomaron para resolver. 

Concluya que la tira roja mide 2 cm de largo, la verde 7 

cm y la negra 1 __ cm. Por lo tanto: 

2 

● Se necesitan 3 tiras y 1 __ rojas para formar la verde. 

2 

● La tira negra es 1 __ de la roja. 

4 

● Hacen falta 14 tiras negras para armar la verde. 

● La tira negra mide 1 __ de la verde. 

14 

12. a. 3 1 __ . b. 

2 1 __ . c. 14. d. 

4 1 __ 

14 . 


Pida que resuelvan los problemas. Si lo considera 

necesario, haga puestas en común intermedias. Si no, 

haga una sola al final. Solicite que expliquen sus estrategias de 

resolución y registre las conclusiones más importantes. 

● Si una figura representa 3 __ de un entero, su tercera parte es 

4 1 __ y 

4 

es lo que hay que agregarle para completar la unidad. Es decir, la 

tercera parte de 3 __ es 

4 1 __ . Como hay diferentes formas de sombrear 

4 1 __ 

3 

y no hay un lugar en particular donde agregar la cuarta parte, se 

obtienen diferentes enteros para la misma parte sombreada. 

● Si una figura representa 4 __ de un entero, su cuarta parte es 

3 1 __ , y 

3 

reproduciéndola 3 veces se obtiene el entero. 

27

● La parte pintada de la tira es 1 __ del total si con 3 de ellas se cubre 

3 

toda la tira. No es necesario cortarla en 3 partes iguales para saber 

qué fracción representa. 

● El rectángulo ABCD entra 8 veces en el entero, por lo que 

representa 1 __ . El triángulo EFG entra 4 veces en el entero y es 

8 1 __ . 

4 

Como 1 __ + 

8 1 __ = 

4 1 __ + 

8 2 __ = 

8 3 __ , se logrará sombrear esta fracción con el 

8 

rectángulo ABCD y el triángulo EFG. 

28 

A B E F 

D C G 

A B E F 

D C G 

13. Construcción personal. Hay muchas 

posibilidades. Se puede dividir la figura en 3 figuras 

iguales, para encontrar lo que es 1 __ de la unidad, replicarla 4 

4 

veces y formar la unidad. 

14. Construcción personal. Hay muchas posibilidades. Se puede 

dividir la figura en 4 figuras iguales para encontrar lo que es 1 __ 

3 

de la unidad, replicarla 3 veces y formar la unidad. 

15. Tatiana, porque aunque no se marque la división entre los 

otros 2 __ , lo que está pintado es 

3 1 __ de la tira. 

3 

16. Hay varias maneras de pintar. Una de ellas es, por ejemplo, 

pintar un rectángulo chico y un triángulo. 


Pida que resuelvan los problemas y haga una puesta 

en común. El objetivo del problema 17 es discutir 

que hay diferentes formas de pintar la misma fracción, siempre 

y cuando las partes en que se divida el entero sean iguales. 

Pregunte si en el siguiente gráfico está pintado 1 __ : 

4 

Registre que en este caso: 

● La parte sombreada no representa 1 __ del 

4 

total porque las partes en que se dividió el 

círculo no son todas iguales. 

En el problema 18, para determinar qué parte del rectángulo 

está sombreada es necesario encontrar una unidad de medida: 

● El triángulo sombreado entra 16 veces en el 

rectángulo, por lo que representa 1 __ de ese 

16 

entero. 

● Cada cuadradito entra 8 veces en el 

rectángulo y hay 3 sombreados, por lo que 

representa 3 __ . 

8 

● Cada triangulito entra 8 veces en el 

rectángulo grande, por lo que es 3 __ de él. 

8 

18. a. 1 __ 

16 

d. 3 __ 

10 


3 

b. __ 

8 

1 

e. __ 

4 

c. 3 __ 

8 

f. 1 __ 

20 


Pida que resuelvan los problemas. Después haga una 

puesta en común para que los grupos propongan 

varias estrategias de resolución. Registre las conclusiones: 

● Las dos zonas sombreadas en el problema 19 

representan 1 __ del rectángulo aunque tengan 

4 

formas diferentes. Esto se debe a que cada una 

de ellas entra 4 veces en el rectángulo grande. 

● En el rectángulo de la derecha del problema 20, la zona 

sombreada es 3 __ . Para el rectángulo de la izquierda, pueden 

8 

hacerse divisiones que permitan analizarlo mejor: 



Es posible observar que hay tres triángulos rectángulos 

sombreados y 8 de esos triángulos cubren el rectángulo grande. 

Por lo tanto la región sombreada representa 3 __ del rectángulo. 

8 

● En el problema 21, pida diferentes dibujos con la misma fracción 

sombreada. Puede mostrar algunos casos como los siguientes: 

19. Cada una de las dos partes representan 1 __ del 

4 

rectángulo. 

20. Sí. 

21. Hay muchas maneras de hacerlo. Por ejemplo: 

Problema 22 

En la puesta en común proponga un intercambio 

sobre las estrategias de resolución y la escritura de las 

conclusiones, entre las que no deben faltar las siguientes: 

● 1 __ de 18 es 6 porque 3 veces 6 es 18. 

3 

● 1 __ de 18 = 

3 1 __ × 18 = 18 : 3 = 6. 

3 


2 

● 1 __ de 18 = 

2 1 __ × 18 = 18 : 2 = 9. 

2 


6 

● 1 __ de 18 = 

6 1 __ × 18 = 18 : 6 = 3. 

6 

Capítulo 3 

22. Hay 6 de papa, 9 de arroz y 3 de verdura. 


Luego de que los alumnos intenten resolver los 

problemas, proponga discutir sobre las estrategias de 

resolución, aunque éstas no sean completas. Si así lo considera, 

haga puestas en común después de cada problema. Entre las 

conclusiones registradas deben estar: 

● Para el problema 24, tres veces 20 minutos forman 1 hora, 

entonces 20 minutos es 1 __ de hora. Cinco veces 12 minutos es 1 

3 

hora, por lo tanto, 12 minutos representan 1 __ de hora. 

5 

● En el problema 25, 1 __ de 25 son 5, porque 25 : 5 y 

5 1 __ de 20 es 4, 

5 

que es 20 : 4. Por lo tanto quedan 16 m de tela. 

● En el problema 26, 7 __ es lo mismo que 7 × 

5 1 __ . Entonces, 

5 7 __ de 

5 

120 puede calcularse como 1 __ de 120, que es 120 : 5 = 24, y 

5 

luego se multiplica el resultado por 7. 

● En el problema 28, la parte del dinero que Ana gastó es 

1 __ + 

2 1 __ + 

5 1 __ = __ 10 4 

+ 

20 20 __ 1 

+ 

20 __ = __ 15 

5 

, por lo que le quedan 

20 20 __ 

20 que 

representan $200. Como 5 __ = __ 1 

, que son $200, entonces Ana tenía 

20 4 

$200 × 4 = $800. 

Proponga puestas en común cuando lo considere necesario. 

Como conclusión de estos problemas escriba cómo calcular una 

fracción de un número entero. 

23. $320 

24. 20 minutos es 1 __ de hora; 12 minutos es 

3 1 __ de hora. 

5 

25. 16 metros. 

26. a. 15 b. 45 c. 72 d. 168 e. 60 f. 135. 

27. Sí, es correcto porque 2 __ es 2 × 

5 1 __ . 

5 

28. $800 


Pida que resuelvan los dos problemas. Es probable 

que los alumnos hagan dibujos para comparar, pero 

también pida que expliquen las respuestas en términos de 

relaciones conocidas. Por ejemplo, 

● 6 __ de un entero es tomar 6 tiras que midan 

4 1 __ del entero, por lo 

4 

tanto es el doble que una que mide 3 __ . 

4 

● Como 1 __ es la mitad de __ 1 

, 

10 5 2 __ = __ 1 

por lo que una tira que mida 

10 5 2 __ 

10 

es igual a una que mide 1 __ . 

5 

29. Más corta, es la mitad. 

30. Las dos tiras pedidas miden igual que la original. 

29


Pida que resuelvan todos los problemas antes de 

hacer una puesta en común para compartir las 

resoluciones y explicaciones. Registre las conclusiones. 

● Como 1 __ es la mitad de 

4 1 __ , 

2 2 __ = 

4 1 __ . Se necesitan 2 de 

2 1 __ para tener 

4 1 __ . 

2 

● Como 1 __ = 

4 2 __ , entonces 5 de 

8 1 __ = 5 de 

4 2 __ y por lo tanto 

8 5 __ = 

4 10 __ 

8 . 

● 1 __ es la quinta parte de __ 1 

, entonces 

15 3 5 __ 

1 

son 5 veces 

15 __ y forman __ 1 

. 

15 3 

● 1 __ es la octava parte de __ 1 

, luego 

24 3 8 __ = __ 1 

. Pero 

24 3 15 __ 8 

= 

24 __ 7 

+ 

24 __ = __ 1 

+ 

24 3 7 __ 

24 . 

● Como 7 __ no puede escribirse con denominador 3, __ 15 

24 24 tampoco. 

● Como 1 __ es la mitad de __ 1 

, 

10 5 2 __ = __ 1 

y 

10 5 2 __ = 

5 4 ___ . Se necesitan 2 

10 

décimos para obtener 1 __ y e décimos para obtener 

5 2 __ . 

5 

● 5 __ 5 

+ 

10 __ = __ 10 

5 

= 1, luego si 2 veces 

10 10 __ 

5 

es 1, entonces 

10 __ 

10 es 

equivalente a 1 __ . 

2 

● Hay infinitos números fraccionarios equivalentes a 3 __ , pero solo 

4 

uno con denominador 12, 9 __ 

12 . 

30 

31. 1 __ = 

2 2 __ , 

4 3 __ = 

2 6 __ 

4 

32. Sí. 

33. a. 1 __ . b. No existe. 

3 

34. a. 2 b. 4 c. 5 

35. a. Infinitos. b. 9 __ 

12 


Después de que los alumnos hayan resuelto los 

problemas, haga una puesta en común y asegúrese 

de que las conclusiones más relevantes queden escritas en el 

pizarrón. Por ejemplo: 

● En el problema 36, si bien los cocientes son iguales y un resto 

es mayor que el otro, si se escribe el resultado de cada división 

como fracción queda 3 6 __ 5 

y 3 

12 __ 6 

. Pero 

10 __ 5 

= 

12 __ = __ 1 

, entonces los 

10 2 

resultados de las dos divisiones son iguales. 

● Si las dos números fraccionarios son equivalentes a un tercero, 

entonces son equivalentes entre sí. Por ejemplo, 6 __ y 

4 9 __ son 

6 

equivalentes a 3 __ , entonces 

2 6 __ es equivalente a 

4 9 __ . 

6 

● Un número fraccionario es el resultado de una división. 

Entonces 11 __ es el resultado de dividir 11 por 4 y __ 22 

es el resultado de 

4 8 

dividir 22 por 8. Pero 11 __ = __ 22 

, entonces el resultado de dividir 22 por 

4 8 

8 es 11 __ 

4 . 

36. Tiene razón Juan, porque 6 __ = __ 1 

y 

12 2 5 __ = __ 1 

. 

10 2 

37. Hay infinitas, por ejemplo: 22 dividido por 8, 33 

dividido por 12. 

38. Sí. 


El problema 39 no debe plantear dificultades. 

Muestre que hay infinitas divisiones que dan por 

resultado 5. Lo mismo sucede con cualquier número, ya sea 

natural o fraccionario. O sea, hay infinitas divisiones que dan 

por resultado 3 __ . Proponga que relaten sus estrategias de 

4 

resolución del problema 40 y luego registre las conclusiones: 

● Una fracción es el resultado de una división. En particular, 

3 __ = 3 : 4 y para cada fracción equivalente a 

4 3 __ es posible encontrar 

4 

una división diferente que tenga el mismo resultado. O sea, como 3 __ 

4 

= 6 __ entonces 6 : 8 = 

8 3 __ . Pero 9 : 12, 12 : 16, etc., también dan 

4 3 __ . 

4 

Hay infinitas divisiones con el mismo resultado. 

Pida que resuelvan el problema 41, que es una aplicación del 40. 

39. 10 y 2; 40 y 8. 

40. a. 6 dividido 8. b. Sí. c. Hay infinitos. 

41. a. 10 dividido 8, 50 dividido 40, 100 dividido 80. 

b. Sí, hay infinitos. 

Problema 42 

Proponga una puesta en común para discutir sobre 

las respuestas y sus explicaciones. Registre: 

La división entre 48 y 5 tiene cociente 9 y resto 3. Entonces: 

● 5 entra 9 veces en 48 y sobran 3 unidades. 

● 5 entra 9 veces en 48 y las 3 unidades que sobran, divididas por 5 

dan 3 __ . 

5 



● El resultado de la división es 9 3 __ . 

5 

● El resultado de la división es 48 __ 

5 . 

● De todo esto se puede deducir que: 48 __ = 9 __ 3 

= 9 + 

5 5 3 __ > 9. 

5 

42. a. Es verdadera porque 48 __ = 9 + __ 3 

> 9. 

5 5 

b. Es verdadero. 

c. Es falsa porque 3 __ < 1. 

5 

d. Es falsa porque 5 __ > 

3 3 __ . 

5 

e. Es verdadera porque 3 __ > 

5 1 __ . 

2 

f. Es falso porque 3 + 9 __ __ 45 

= 5. 

9 9 


Estos problemas ponen en juego la representación 

de números fraccionarios en la recta numérica. Antes 

de que comiencen a resolverlos, recuerde que para que sea 

posible representar números en una recta es necesario disponer 

de una unidad, la cual queda determinada a partir de conocer la 

ubicación de dos números cualesquiera. 

Proponga que resuelvan los problemas 43, 44 y 45. En la puesta 

en común pregunte cómo hicieron para ubicar los números y 

registre las conclusiones. 

● La distancia entre 0 y 1 en el problema 43 es de 8 cm. 8 : 4 = 2 

es entonces la medida de 1 __ del segmento. Para ubicar el número 

4 1 __ 

4 

hay que medir 2 cm desde 0. 

Capítulo 3 

● En el problema 44 como 1 __ entra 4 veces en 2, basta con trasladar 

2 

el segmento de 0 a 1 __ , 3 veces a partir de 

2 1 __ para ubicar el número 2. 

2 

● En el problema 45, si se divide el segmento que va de 0 a 4 __ en 4 

3 

partes iguales, cada una representa 1 __ y su mitad es 

3 1 __ . Para ubicar 

6 

2 y 3 __ basta tener en cuenta que 2 = 

2 6 __ y 

3 3 __ = 

2 9 __ . 

6 

Pida que resuelvan el problema 46. Registre las conclusiones 

que sirven para saber qué números representan las letras. 

● A es la mitad de 1 __ , o sea 

3 1 __ . B, C, D y E están a 

6 1 __ uno de otro, 

6 

por lo que representan los números 3 __ = 

6 1 __ , 

2 4 __ = 

6 2 __ , 

3 5 __ , 

6 6 __ = 1, 

6 

respectivamente. 

● La distancia entre 32 y 33 es de 9 cm. Si se divide ese segmento en 

3 partes iguales, cada una representa 1 __ . A está ubicado a 

3 1 __ de 32; 

3 

entonces representa el número 32 1 __ . Si se divide el segmento en 

3 

18 partes iguales, B representa 32 10 __ y C, 32 

18 15 __ 

18 . 

Después de que los alumnos resuelvan los problemas 47 y 48, 

proponga un debate y anote las conclusiones: 

● Si el segmento que va de 2 a 4 se divide en 4 partes iguales, cada 

una mide 2 __ = 

4 1 __ y su mitad mide 

2 1 __ . Para representar 

4 11 __ hay que tener 

3 

en cuenta que es equivalente a 22 __ y que __ 1 

es la tercera parte de 

6 6 1 __ . 

2 

3 __ = 

2 6 __ 

4 

7 

__ 

4 

2 1 __ = 

2 5 __ 

2 11 __ 

3 

2 3 3 4 

1 __ 

2 

3 1 __ = 

2 7 __ = 

2 21 __ 

6 11 __ = __ 22 

= __ 21 

+ __ 1 

3 6 6 6 

● Como 26 __ = 5 __ 1 

y 

5 5 27 __ = 5 __ 2 

, entonces la distancia entre estos 

5 5 

números es 1 __ . Teniendo en cuenta que 1 = 

5 5 __ , pueden ubicarse el 

5 

5 y el 6. 

44. 

45. 

43. 

0 1 _ 

2 

0 1 

1 _ 

4 3 _ 

4 

0 4 _ 

2 

3 

3 _ 

2 

__ __ __ 

46. a. A = 1 __ , B = 

6 3 

, C = 

6 4 

, D = 

6 5 

, E = 1. 

6 

b. A = 32 1 __ , B = 32 

3 5 __ , C = 32 

9 5 __ . 

6 

47. 

2 5 _ 

4 11 __ 

3 

2 

4 

31

48. 

32 

__ 

__ 

26 

5 6 

5 

27 

5 

Problema 49 

Proponga resolver este problema en interacción con 

sus alumnos. Centre sus intervenciones sobre lo siguiente: 

● Para representar cuartos, medios y quintos, las unidades tienen 

que partirse al mismo tiempo en 2, 4 y 5 partes iguales, por lo que 

hay que elegir la medida de esa unidad de manera conveniente. 

● Como en un medio hay dos cuartos, para representar medios y 

cuartos conviene partir las unidades en 4 partes iguales. Como el 

mínimo múltiplo común entre 4 y 5 es 20, al partir cada entero en 

20 partes iguales pueden ubicarse fácilmente las tres fracciones si 

se las escribe como 3 __ = 

2 30 __ , __ 3 

= 

20 4 15 __ y __ 3 

= 

20 5 12 __ . Si se toman 20 cm como 

20 

la distancia entre 0 y 1, entonces una medida de 1 __ será de 1 cm. 

20 

Pero si se toma 1 cm, 1 __ se representa como medio centímetro que 

20 

no es complicado de marcar. 



Estas situaciones plantean una ocasión de uso de 

fracciones equivalentes: para ordenar fracciones de 

denominadores diferentes y para intercalar fracciones entre 

otras dos. Pida que resuelvan los problemas y en la instancia 

colectiva pregunte cómo los pensaron. Registre las conclusiones: 

● El mínimo común múltiplo entre 15, 45, 180 y 30 es 180, entonces 

todas las fracciones pueden expresarse con este denominador: 

4 __ = ___ 48 5 

, 

15 180 __ = ___ 60 6 

, 

15 180 __ = ___ 72 7 

, 

15 180 __ = ___ 84 8 

, 

15 180 __ = ___ 96 9 

, 

15 180 __ = ____ 108 

15 180 

14 __ = ___ 56 

, __ 13 

= ___ 78 

45 180 30 180 

De esta manera, alcanza con ordenar los numeradores para que 

las fracciones queden ordenadas. 

● Si dos fracciones tienen el mismo denominador y sus 

numeradores son dos números naturales consecutivos, se dificulta 

encontrar un número entre ellas. Por ejemplo, dados los números 2 __ 

7 

y 3 __ , no hay ninguna fracción de denominador 7 entre ellas. Si se las 

7 

expresa de manera equivalente como por ejemplo, 4 __ 6 

y 

14 __ , resulta 

14 

que 5 __ está entre ellas. 

14 

● Si las fracciones tienen diferente denominador, al escribirlas con 

el mismo denominador es más simple encontrar una entre ellas. 

Por ejemplo, dados 4 __ y 

5 5 __ , como 

6 4 __ = 

5 24 __ = __ 48 

y __ 5 

= 

30 60 6 25 __ , = __ 50 

; no es 

30 60 

posible encontrar ningún número con denominador 30 entre ellas 

pero 49 __ está entre ellos. 

60 

50. 7 ___ 

4 

es menor que 

180 __ , __ 14 4 

entre el 

15 45 __ 5 

y el 

15 __ , __ 13 

15 30 

entre 6 __ 7 

y 

15 __ 

15 . 

51. Por ejemplo: a. 3 __ 5 

b. 

10 

__ c. __ 5 

d. 

14 8 

49 __ 5 

e. 

60 

__ 

12 


Estos problemas procuran que se generalice qué 

ocurre si se buscan fracciones entre otras dos. 

Una estrategia posible es buscar fracciones equivalentes dado que 

permite encontrar fracciones intermedias. Por ejemplo, 2 __ = 

5 4 __ y __ 3 

10 5 

= 6 __ 

5 

, entonces, 

10 __ está entre ellas. Pero también __ 2 

= 

10 5 6 __ y __ 3 

= 

15 5 9 __ 

15 , 

de modo que se pueden encontrar 2 fracciones más entre ellas. 

Registre: 

● A medida que aumenta el denominador elegido para 

representar dos fracciones, más se podrán encontrar entre ellas. 

Como hay infinitos denominadores posibles también son infinitas 

las fracciones que se pueden encontrar entre ellas. 

● Si se quiere encontrar fracciones con un denominador 

determinado, la cantidad siempre es finita. Por ejemplo, entre 2 __ 

8 

y 4 __ está 

8 3 __ y es la única fracción de denominador 8 entre ellas. Si los 

8 

numeradores hubiesen sido 2 y 3, entonces no había ninguna. 

52. Se pueden escribir infinitos. 

53. 5 __ . Es la única porque 

8 1 __ = 

2 4 __ y 

8 3 __ = 

4 6 __ . 

8 



Problema 54 

En la puesta en común pregunte cómo hicieron para 

comparar las fracciones. Algunas posibilidades son: 

● Buscar fracciones equivalentes a cada una con el mismo 

denominador. 

● Como 4 __ < 1 y 

7 5 __ > 1, entonces 

4 4 __ < 

7 5 __ . 

4 

Note que en esta segunda estrategia no es necesario saber 

cuánto vale cada uno de los números sino que solo se los 

comparó con otro, en este caso 1. 

54. 5 __ 

4 


Pida que lean lo que dice Tatiana y discuta con 

sus alumnos por qué es correcto. Acompañe la 

explicación con un gráfico como el siguiente: 

0 3 __ 

4 4 __ 

5 

1 

__ 

4 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

Con respecto a la afirmación de Lazlo, proponga que piensen la 

fracción como el resultado de un reparto. Entonces 2 __ y 

5 2 __ serían 

7 

el resultado de repartir equitativamente 2 tortas entre 5 y el de 

repartir equitativamente 2 tortas entre 7. Si se reparten entre más 

personas, cada uno recibe menos. 

55. a. 2 __ < 

3 3 __ 

4 

56. Sí, es correcto. 

b. 7 __ < 

8 11 __ 

12 

1 __ 

5 

1 

4 

c. __ < 

5 8 __ 

9 

d. 15 __ 

16 

28 

< __ 

29 


Pida que resuelvan los problemas. Como parte de 

la instancia colectiva proponga discutir sobre las 

explicaciones, que debe acordar con la clase y registrar: 

● Si en una fracción el numerador y el denominador son iguales, 

entonces representa el número 1. Si el numerador es menor que el 

denominador, la fracción es menor que 1 y, en caso contrario, es 

mayor que 1. Una fracción mayor que 1 siempre es mayor que una 

que es menor que 1. 

● Como 9 __ = 1 + 

5 4 __ , 

5 5 __ = 1 + 

4 1 __ y 

4 4 __ > 

5 1 __ . Entonces 

4 9 __ > 

5 5 __ . 

4 

● Otra forma de compararlas consiste en analizar que a 9 __ le falta 

5 1 __ 

5 

para llegar a 2, mientras que a 5 __ le faltan 

4 3 __ . Como a la segunda 

4 

fracción le falta más, entonces la primera es mayor. 

Capítulo 3 

57. Sí, porque la primera es mayor que 1 y la segunda 

es menor que 1. 


- 9 __ = 

5 36 __ y __ 5 

= 

20 4 25 __ entonces __ 9 

> 

20 5 5 __ . 

4 

- A 9 __ el falta 

5 1 __ para llegar a 2 enteros y a 

5 5 __ le faltan 

4 3 __ para llegar 

4 

a 2 enteros. Como a 9 __ le falta menos, es mayor. 

5 

Problema 59 

Pida que resuelvan el problema 59 que es una 

aplicación de los anteriores. 

59. 1 __ , 

2 3 __ , 

5 9 __ 

10 

4 

, __ 

, 

3 3 __ , 

2 9 __ . 

2 


1. Por ejemplo: 6 entre 14, 30 entre 70 y 39 entre 91. 

2. Entre 4 personas. 

3. Hay infinitas posibilidades. Por ejemplo: 4 chocolates entre 5 

personas, 8 chocolates entre 10 personas, 40 chocolates entre 

50 personas, 20 chocolates entre 25 personas. 

4. Sí, porque 26 __ = __ 39 

4 6 . 

5. Es mayor, porque 3 __ es mayor que 

4 1 __ . 

2 

6. $50 

7. a. 1 __ 

b. 

4 

1 __ 

8 

8. Por ejemplo: 5 entre 7, 10 entre 14, 25 entre 35 y 50 entre 70. 

9. a. 10 __ 

b. __ 9 

45 

6 

c. No hay porque 12 __ = __ 3 

y no hay ningún número natural que 

8 2 

multiplicado por 2 dé 7. 

10. Faltaron 8 personas. 

11. $2.000 

12. 10 autitos. 

13. 3 __ 

4 

14. Mide 1,5 cm. 

33

Capítulo 4 

Cuadriláteros y polígonos 

Objetivo: 

Que los alumnos describan, comparen y clasifiquen cuadriláteros 

y polígonos. 

NAP: 

Reconocimiento de figuras geométricas y la producción y 

el análisis de construcciones, considerando las propiedades 

involucradas. 

Problema 1 

En la puesta en común pida que escriban 

instrucciones para dibujar el rectángulo en las partes 

a. y b.. Aclare cómo se puede dibujar un ángulo recto con regla 

y compás. En caso de dificultad mande a los alumnos a leer las 

conclusiones que escribieron en el capítulo 2 sobre la mediatriz 

de un segmento. Recuerde que la mediatriz de un segmento 

es la recta que pasa por el punto medio del segmento y es 

perpendicular a él. Para dibujar el rectángulo hay que trazar un 

ángulo recto en cada extremo del segmento. Registre los pasos: 

34 

A B 

A B 

D C 

A B 

1. Dibujar un segmento que mida el doble 

de uno de los lados, en este caso 12 cm. 

2. Dibujar la mediatriz. Esta determina un 

ángulo recto en el punto medio del segmento, 

que es uno de los vértices del rectángulo. 

3. Duplicar la medida del segmento 

AB para el otro lado y trazar la 

mediatriz del nuevo segmento. Se 

obtiene un ángulo recto en B. 

4. Trazar dos circunferencias de 4 cm 

de radio, una con centro en A y otra 

con centro en B. 

5. Llamar C y D a los puntos donde 

esas circunferencias intersecan las 

mediatrices anteriores. 

6. Unir A, con B, C y D. Queda 

armado el rectángulo. 




En la puesta en común pregunte qué tuvieron en 

cuenta para dibujar el cuadrado y el rombo. Escriban 

entre todos instrucciones para realizar las construcciones y registre 

las conclusiones más importantes: 

● Los lados del cuadrado, como los del 

rombo, tienen la misma medida. Si se traza 

una circunferencia con centro en uno de los 

vértices y como radio la medida de los lados, tiene que pasar por 

otros dos vértices. 

● Una vez que se determina un vértice más de las figuras, teniendo 

en cuenta que los dos lados 

faltantes miden lo mismo, pueden 

ubicarse a partir de circunferencias. 

● En cada caso, la construcción 

determina una única figura. 



b. Infinitos rombos, porque no está determinado el largo de los 

lados. 


Luego de que resuelvan los problemas, proponga 

un debate en torno de la veracidad de las afirmaciones y las 

explicaciones. Registre las conclusiones: 

● Un rectángulo con dos lados iguales no necesariamente es un 

cuadrado porque los lados iguales pueden ser los opuestos. Si los lados 

iguales son consecutivos, entonces el rectángulo es cuadrado y rombo. 

● Los ángulos opuestos de un rombo son iguales y suman 180°. Si 

los ángulos rectos son opuestos, suman 180°, los otros dos deben 

sumar 180° y como son iguales, cada uno tiene que medir 90º y es 

un cuadrado. Si los dos ángulos rectos no son opuestos, entonces 

los cuatro son rectos y también se trata de un cuadrado. 

● Se puede construir un único cuadrado si se conoce la medida de un 

lado porque los demás miden lo mismo y los ángulos son de 90°. 



4. a. Es falso porque los lados iguales pueden ser los 

opuestos. 

b. Es verdadero porque los ángulos opuestos del rombo son 

iguales y la suma de los 4 ángulos es 360°. 

c. Es verdadero porque es un cuadrado. 

5. a. Sí, porque se conocen los cuatro lados y los ángulos. 

b. Sí, porque el otro puede tener cualquier medida. 

c. Sí, porque los ángulos pueden ser distintos. 

Problema 6 

En el debate colectivo, pregunte cómo hicieron para 

copiar la figura. No es simple explicar la respuesta b. y 

es posible que tenga que hacerlo usted. Base su exposición en: 

● Las diagonales del cuadrilátero de EFGH están incluidas en las 

del rectángulo ABCD. Si EFGH es un cuadrado, sus diagonales son 

perpendiculares y, por lo tanto, también las del rectángulo exterior. 

Si las diagonales de un rectángulo son perpendiculares, entonces 

es un cuadrado. 

● Para construir el cuadrilátero LIJK se tomaron los puntos medios 

de los lados del rectángulo exterior, por lo tanto, los triángulos DIL, 

ICJ, JBK, KLA son iguales. Entonces __ 

IL = __ 

IJ = __ 

JK = __ 

KL y por lo tanto 

IJKL es un rombo. Para que los ángulos sean de 90°, los triángulos 

anteriores deberían ser isósceles y, para que eso pase, ABCD debe 

ser un cuadrado. 

6. a. Copiado. b. Cuadrado. c. Cuadrado. 

Capítulo 4 


Pida que resuelvan los problemas. Si nota 

dificultades para trazar paralelas con escuadra y 

regla sugiérales que lean el lateral. Durante la puesta en común, 

pida que escriban instrucciones que permitan copiar la figura, 

intentando que no esté expresado con frases del estilo “pinchar 

el compás en …”, sino en las razones por las que se dibuja una 

circunferencia. Esto es para que la escritura no funcione como 

un algoritmo sino que contenga todo lo necesario para poder 

reconstruir el razonamiento que llevó a la construcción y que, 

por lo tanto, permite reutilizarlo. 

En el problema 8, revise cuáles son los datos que los alumnos 

usan como determinantes para copiar la figura. Muchos 

consideran que alcanza con las medidas de los lados 

consecutivos, pero es necesario algún dato más, como el 

ángulo entre ellos, la medida de alguna de las diagonales, la 

medida de alguna altura, etcétera. 

En el problema 9, como solo se puede usar regla y compás, no 

es posible trazar paralelas, por lo que hay que pensar en otra 

propiedad de los paralelogramos. En este caso, que los lados 

opuestos tienen la misma medida. 

El vértice D debe estar a una distancia ___ 

AB del punto C, por lo que 

pertenece a la circunferencia con centro C y radio ___ 

AB . También 

tiene que pertenecer a la circunferencia de centro A y radio ___ 

BC . 

B 

C 

Concluya que: 

● Si un cuadrilátero tiene sus lados opuestos de igual medida, 

entonces es un paralelogramo. La propiedad recíproca también es 

verdadera. 

7. Copiado. 

8. Poner nombre a los vértices del paralelogramo 

(ABCD). Trazar con regla y compás un segmento igual que ___ 

AD y 

llamarlo ___ 

___ MN . Trazar una circunferencia con centro en M y radio 

AB . Trazar una circunferencia con centro en N y radio ___ 

BD . Llamar 

P a uno de los puntos donde se intersecan 

las circunferencias. Trazar, con regla y 

escuadra, una recta paralela a MN que pase 

por P. Trazar una circunferencia con centro en 

N y radio ___ 

DC . Llamar Q al punto donde se interseca esta última 

circunferencia con la recta paralela. MPQN es la figura buscada. 


b. Trazar una circunferencia con centro en A y radio ___ 

BC . Trazar 

una circunferencia con centro en C y radio ___ 

B 

A 

D 

C 

AB . Llamar 

D al punto donde se intersecan las circunferencias. 

B 

ABCD es la figura buscada. 

A 

D 

A 

C 

35


Pida que resuelvan los problemas y, en la instancia 

colectiva, pregunte cómo hicieron las construcciones. 

Luego registre un listado de pasos acordados entre todos. 

10. Construcción. Es posible en: b., d. y e.. 

11. Construcción. Hay que trasladar de modo 

paralelo los segmentos que forman los lados. 

Problema 12 

Solicite que intenten construir el paralelogramo de 

la parte a. con los datos proporcionados. Pida que 

comparen los dibujos y pregunte si son iguales. Registre que no 

hay un único paralelogramo que tenga lados de 6 cm y 4 cm. 

Pregunte qué dato o datos agregarían para que se pueda 

construir uno solo. Ese dato podrá ser el ángulo entre los lados. 

Pida luego que resuelvan b. y c.. Focalice un intercambio sobre 

c.. Pregunte cómo hicieron la construcción y proponga una 

posible. Por ejemplo: trazar un segmento AB de 5 cm. Trazar una 

recta paralela a AB a 2 cm de distancia (para hacerlo es necesario 

construir primero un segmento de 2 cm, perpendicular a AB y 

con un vértice en la recta que contiene a AB. Es posible usar la 

construcción de la mediatriz) Trazar una circunferencia con centro 

A y radio 3 cm. Llamar D al punto en que esta circunferencia 

interseca a la recta paralela. Trazar una circunferencia con centro 

B y radio 3 cm. Llamar C al punto en que esta circunferencia 

interseca a la recta paralela. ABCD es la figura pedida. 

36 

12. a. Infinitos. b. Uno solo. c. Dos. 


Pida que resuelvan los problemas. Para eso tienen 

que tener en cuenta las características de los rectángulos y 

los cuadrados. En ambos casos, la diagonal forma con dos 

lados consecutivos un triángulo rectángulo que, en el caso 

del cuadrado, es además isósceles. Concluya que según 

los instrumentos que se pueden usar, hay que apoyarse en 

determinadas propiedades. Registre: 

● Si solo se puede usar regla y escuadra, hay que 

tratar de ubicarla de manera que la diagonal 

del rectángulo constituya la hipotenusa de un 

triángulo rectángulo. 

● Si solo se puede usar compás y regla, hay que 

tener en cuenta que las diagonales de un rectángulo tienen la 

misma medida y se cortan en su punto medio. Pueden pensarse 

como diámetros de la misma circunferencia, por lo que pueden 

obtenerse infinitos rectángulos diferentes. 

● Las diagonales de un cuadrado son además 

perpendiculares. Si se traza un diámetro 

cualquiera, su mediatriz contiene otro diámetro 

perpendicular. 


b. En la forma con que se trazan los ángulos rectos. 


Problema 15 

Los dos problemas anteriores constituyen un apoyo 

para resolver este. Como las diagonales de los 

rectángulos son iguales y se cortan en su punto medio, este está a 

la misma distancia de los cuatro vértices. Luego, la circunferencia 

que tiene este punto como centro y radio igual 

a media diagonal, pasa por todos ellos. No es 

necesario hacer el dibujo para tener la certeza de 

que la circunferencia pasa por los cuatro vértices. 

15. El centro tiene que ser el punto donde se cruzan 

las diagonales y el radio debe ser la medida de 

media diagonal. 

Problema 16 

Las diagonales de un rombo no necesariamente son 

iguales, aunque sí son perpendiculares y se cortan en el punto 

medio de cada una. Si se conocen las medidas de cada una, es 

posible dibujar un solo rombo. 

16. a. Construcción. b. Uno solo. 




Luego de que resuelvan estos problemas, pida 

que hagan un listado a modo de clasificación de 

los cuadriláteros a partir de sus diagonales. Recuerde que si 

queremos que la carpeta sea una herramienta de estudio tenemos 

que generar los momentos de sistematización de los contenidos. 

A partir de sus respuestas, arme un cuadro similar al siguiente: 

Cuadriláteros 

que 

tienen 

diagonales 

iguales. 

Rectángulos 

Cuadrados 


que tienen 

diagonales perpendiculares. 

Cuadrados 

Rombos 


que tienen 

diagonales 

iguales y perpendiculares. 

Cuadrados 

Además de los cuadrados hay otros cuadriláteros 

que tienen diagonales iguales y perpendiculares, 

pero no son cuadrados porque las diagonales no 

se cortan en el punto medio. Por ejemplo: 

También hay cuadriláteros que tienen 

diagonales iguales y no son 

rectángulos ni cuadrados, como: 


que tienen 

diagonales 

que se cortan 

en su punto 

medio. 

Rectángulos 

Cuadrados 

Rombos 

17. a. Construcción. Se pueden construir infinitos 

cuadriláteros con las diagonales perpendiculares. 

b. Construcción. Se pueden construir infinitos cuadriláteros. 

18. Construcción. Se pueden construir infinitos. 

19. Sí, por ejemplo: rectángulos. 

Problema 20 

Pida que piensen en la veracidad de las afirmaciones 

y sus explicaciones. Luego, en un espacio colectivo, 

proponga un debate sobre las mismas. Es importante que se 

registren las razones de por qué una afirmación es verdadera o 

no. Si es necesario, sugiera que lean lo que dicen Matías y Lazlo 

en el lateral. 

20. Son verdaderas todas salvo la segunda. 

a. Como los lados del cuadrado tienen la misma 

medida, el punto B está a la misma distancia de A y de C, por 

lo que pertenece a la mediatriz del segmento ___ 

AC . Luego, el 

segmento que pasa por B es perpendicular a ___ 

AC y pasa por 

su punto medio, y entonces las diagonales del cuadrado son 

perpendiculares. 

b. Aunque hay rectángulos cuyas diagonales son perpendiculares 

(los cuadrados), para que la afirmación sea verdadera tiene que 

serlo para todos los rectángulos y esto no ocurre. 

Capítulo 4 

c. Un rombo tiene los lados iguales. Para decidir si es o no un 

cuadrado, es necesario averiguar si sus ángulos son rectos. Las 

diagonales de los rombos son perpendiculares y se cortan en el 

punto medio. Si además son iguales, entonces ___ 

OB = ___ 

OA y por lo 

tanto, OBA es un triángulo rectángulo isósceles. Entonces 

OB ^ A = BA ^ O = 45°. Además los cuatro triángulos son iguales. 

Entonces CB ^ A = 90°. Lo mismo ocurre con los otros ángulos, es un 

cuadrado. 

d. Si las diagonales de un rectángulo se cortan 

perpendicularmente, los triángulos que quedan 

son iguales porque tienen dos lados iguales y 

el ángulo comprendido entre ellos igual. Por lo 

tanto, el otro lado debe ser igual y entonces es un 

cuadrado. 

e. El punto B está a la misma distancia de A 

y C, por lo que pertenece a la mediatriz del 

segmento ___ 

AC y O es su punto medio. De la 

misma manera, A está a la misma distancia 

de los puntos B y D, por lo que pertenece a 

la mediatriz del segmento ___ 

BD y ___ 

AC pasa por 

el punto medio de ___ 

A 

B 

C 

B 

BD . Por lo tanto, cada 

diagonal corta a la otra en el punto medio. 

A 

O 

D 

C 


Pida que resuelvan cada problema y proponga una 

puesta en común luego de cada uno. Registre las 

conclusiones más importantes: 

● Una diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos 

iguales. Si éste triángulo se puede construir, entonces el paralelogramo 

también. O sea, tiene que verificarse la desigualdad triangular. 

● Se pueden construir infinitos triángulos si se conocen las medidas de 

sus diagonales porque al variar el ángulo entre ellas, varía la figura. 

21. Construcción. Hay que construir un triángulo y 

duplicarlo. 

22. a. Ninguno, porque no se puede construir el triángulo 

porque 5 + 2 es menor que 8. 

b. Infinitos. 

c. Infinitos. 

d. Uno solo. 

23. a. Las diagonales tienen que ser iguales. 

b. Agregar que las diagonales tienen que ser perpendiculares. 

c. Agregar que las diagonales tienen que ser iguales y 

perpendiculares. 


Haga la puesta en común luego de terminar el 25 

porque puede aportar datos para cambiar la resolución 

del 24. En la instancia colectiva, pida a un grupo que dicte las 

instrucciones para que usted dibuje la figura en el pizarrón. Si fuera 

necesario, hagan las correcciones o agregados necesarios. 

En el problema 25, es necesario analizar si cada descripción 

define una única figura, que es la pregunta sobre la que tiene 

37

que girar la discusión. Registre la conclusión: 

● Hay infinitos rombos que tienen lados de 2 cm. Para que haya 

uno solo hay que fijar los ángulos entre ellos o las medidas de las 

diagonales. 

● Un paralelogramo con diagonales perpendiculares es un rombo, 

aclarando las medidas de los lados se obtiene una figura similar 

a la dada, aunque faltaría aclarar que las diagonales son iguales. 

Ningún chico aclara que hay que dibujar una diagonal. Como la 

figura puede rotarse, no importa cuál es la que se dibuje. 


25. No. Tatiana debería agregar que los ángulos 

miden 90°. 

Problema 26 

Proponga un debate sobre cada afirmación y acuerde 

una explicación para cada una. Registre, por ejemplo: 

● Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto 

medio. Si además son perpendiculares, entonces es un rombo y si 

son iguales, además es un cuadrado. 

● Si un paralelogramo tiene sus diagonales iguales, es un 

rectángulo. Si además son perpendiculares, es un cuadrado. 

● Un paralelogramo con diagonales perpendiculares no 

necesariamente es un rectángulo, porque además deben ser iguales. 

Observe que si la actividad hubiera dicho perpendiculares e 

iguales, sería un rectángulo porque además sería un cuadrado. 

38 

26. La única falsa es la d.. Para que sea rectángulo las 

diagonales deben ser iguales. 

Problema 27 

Como parte de la discusión pregunte por qué en un 

caso pudo construirse el paralelogramo y en el otro 

no, y si esto está relacionado con las medidas de los ángulos. 

Los dibujos permiten verificar si las construcciones se pueden 

hacer o no, pero no se puede acceder a las razones. Hágase 

cargo de explicarlo: 

● La diagonal ___ 

DB divide al paralelogramo en dos triángulos iguales, 

de los que se han marcado los ángulos que son congruentes. Como 

los tres ángulos del triángulo suman 180°, ^ F + ^ G + ^ H = 180°. 

A 

H 

B 

G 

G 

F 

H 

E 

D C M 

● Como además ^ G + ^ H = ^ D 

entonces, ^ F + ^ D = 180°. 

Luego, dos ángulos 

no opuestos de un 

paralelogramo suman 180°. 

27. a. Es posible. 

b. No es posible porque 30 + 170 da más que 180. 

Problema 28 

Solicite que resuelvan la parte a. en la que no habrá 

inconvenientes. Como cada ángulo del rectángulo mide 90°, la 

suma será 360°. Lean entre todos lo que hace Tatiana en la parte 

b. y pida que lo comenten con otras palabras. Intente que la 

utilización de las letras griegas no sea un conflicto en el debate. 

Si es necesario cambie por otras letras o por símbolos que 

representen los ángulos. Luego de un análisis exhaustivo de los 

pasos seguidos pida que contesten las preguntas y concluya 

que la suma de los ángulos interiores de los paralelogramos es 

de 360°. Pregunte qué ocurriría en un cuadrilátero cualquiera. 

Analice las explicaciones y registre una, por ejemplo: Si ABCD es 

un cuadrilátero cualquiera es posible cubrirlo con 2 triángulos. 

B 

C 

A D 

La suma de los ángulos interiores de los dos 

triángulos coincide con la suma de los 

ángulos del cuadrilátero: 

BA 

^ D + AB 

^ D + BD 

^ A + DB 

^ C + BC 

^ D + CD 

^ B = 180º + 180º. 

Pero AB 

^ D + DB 

^ C = AB 

^ C y CD 

^ B + BD 

^ A = CD 

^ A, entonces, 

reemplazando esto en el la primera suma queda: 

BA 

^ D + CD 

^ A + AB 

^ C + BC 

^ D = 360º. 

La suma de los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero es 360º. 

28. a. 360° b. i. Sí. ii. 360° 

Problema 29 

Use los razonamientos anteriores para que respondan 

este problema. Agregue algunos pasos en el razonamiento. Por 

ejemplo, los ángulos ^ F y ^ E de la figura anterior son adyacentes y 

entonces suman 180°, ^ F + ^ E = 180º. A partir de las dos igualdades 

^ 

F + ^ E = 180° 

^ 

F + ^ H + ^ G = 180° 

^ E = ^ H + ^ G. 

Pero, ^ H + ^ G = ^ D , luego: 

E = ^ D. 

Como además los ángulos opuestos de un paralelogramo son 

iguales: 

^ 

E = ^ D = ^ B. 

Proponga discutir cada afirmación con su respectiva explicación 

y regístrela. 

29. Son todas correctas salvo la primera. 


En estos problemas se analizan las alturas de los 

paralelogramos. Luego de que resuelvan el problema 

33 escriba la definición: 

● Una altura de un paralelogramo es un segmento que es 

perpendicular a un lado, tiene un extremo sobre él y el otro 

extremo en el lado opuesto. No hay un solo segmento con estas 

propiedades, pero todos ellos tienen las mismas medidas. En el 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

= 



siguiente dibujo, todos los segmentos dibujados son alturas de un 

lado del paralelogramo. 

● La medida de la altura marca la distancia 

4 cm 

que hay entre las rectas paralelas que 

5 cm 

incluyen los 

lados 

A B 

opuestos del paralelogramo. 

Para el problema 32, pregunte cuántas 

soluciones hay en cada caso: 

C D 

● El lado opuesto al que mide 5 cm está sobre la recta paralela al 

segmento que está a 4 cm de él, pero faltan datos para completar 

el dibujo. Por lo tanto, se pueden construir muchos paralelogramos 

con esos datos. 

● La circunferencia con centro en un extremo del segmento elegido 

como base determina uno de los vértices del cuadrilátero, en su 

intersección con la recta paralela a 

él. Marcando los otros dos lados se 

determina el paralelogramo. Como 

la circunferencia tiene un solo punto 

de intersección con la paralela, la 

altura coincide con la medida de uno 

de los lados y el paralelogramo es un 

rectángulo. 

5 cm 

7 cm 

Capítulo 4 

● Como no hay ningún punto de intersección entre la circunferencia 

y la recta paralela al segmento tomado como base, no es posible 

construir el paralelogramo. 

Registre: 

5 cm 

3 cm ⎧ 

4 cm 

⎪⎨ 

⎪ 

⎩ 

● Los paralelogramos en los que una de las alturas tiene la misma 

medida que uno de los lados son los cuadrados y los rectángulos. 



32. a. Infinitos. b. Infinitos. c. Uno solo. 

d. No hay. e. Dos. 

33. Sí, porque para que la altura coincida con un lado, los lados 

deben ser perpendiculares. 


Pida que resuelvan y ubique las puestas en común 

cuando las considere necesarias. En ellas, asegúrese 

de que queden registradas las explicaciones de por qué los 

valores encontrados tienen que ser esos. 

● En el problema 34 a., si llaman M al ángulo opuesto a N, se verifica 

que: la diagonal divide el paralelogramo en dos triángulos iguales y los 

ángulos M ^ y N ^ tienen la misma medida: N ^ = M ^ = 180º – 70º – 40º = 70º 

● En el problema 34 b., dos ángulos consecutivos de un 

paralelogramo suman 180°, entonces N ^ = 180° – 105° = 75° 

● En el problema 35, el ángulo B ^ es adyacente al de 25°, 

^ ^ ^ ^ 

B = 180° – 25° = 155°. Pero A y B también suman 180°, entonces A 

= 25°. 

Si es necesario, defina ángulos adyacentes y pida que escriban 

en la carpeta la definición. 

● En el problema 26, R ^ es el tercer ángulo del triángulo NSR, luego 

^ ^ ^ 

R = 180° – 60° – 40° = 80°. M y R tienen la misma medida porque son 

opuestos, entonces M ^ = 80°. 

● Los únicos paralelogramos que tienen los cuatro ángulos iguales 

son los rectángulos y los cuadrados. 

● Si un ángulo de un paralelogramo es de 40°, el opuesto a él 

también mide 40°. La suma de los cuatro ángulos es 360°, los dos 

desconocidos suman 360° – 40° × 2 = 280° y cada uno de ellos mide 

280° : 2 = 140°. 

34. a. 70°. b. 75°. 

35. A ^ = 25°. 36. 80°. 

37. a. Sí. Es un rectángulo. b. 140°, 40° y 140°. 

39


Una vez que resuelvan los dos problemas, proponga 

un intercambio. Elija un representante de un grupo 

para que pase a resolver uno de los problemas en el pizarrón. 

Tenga presente que el alumno elegido no puede ser ni el que 

sabe más, porque lo que haga será considerado correcto, ni el 

que sabe menos, porque no se le dará crédito. 

38. a. 50° b. 65° c. 100° d. 70° 

39. Sí, porque el triángulo ABE es equilátero, 

entonces BE ^ A = 60°. Por lo tanto D ^ = 60°. 

Problema 40 

Como parte de la puesta en común, proponga escribir 

instrucciones que permitan copiar la figura. Luego pida 

que lean y copien la definición de trapecio isósceles que aparece 

en el lateral. Muestre y registre las siguientes características: 

● Si se prolongan los lados no paralelos, se obtiene 

un triángulo isósceles. 

40 

40. Copiado. 

● Un trapecio isósceles puede formase con 

un rectángulo y dos triángulos rectángulos 

iguales a ambos lados. 


Proponga que resuelvan los problemas y, en la 

puesta en común. Haga hincapié en la frase: solo dos lados 

paralelos. Explique que la palabra solo indica que los otros lados 

no son paralelos. Registre las conclusiones: 

● Hay infinitos trapecios isósceles cuyos lados paralelos miden 4 cm 

y 2 cm. Para cada valor que se elija para la medida de la altura, se 

obtiene uno diferente. 

● Hay infinitos trapecios isósceles cuyas diagonales miden 4 cm. 



Problema 43 

Pida a los alumnos que piensen la solución durante 

10 minutos aproximadamente. Si es necesario sugiera 

que lean lo que dice Tatiana en el lateral. Luego discútalo con 

ellos en un intercambio y registre las conclusiones: 

● El lado ___ 

AB es común a los triángulos ABD y ABC; ___ 

AD y ___ 

BC tienen 

las mismas medidas porque son los lados iguales del trapecio 

isósceles. ___ 

BD y ___ 

AC son las diagonales del trapecio isósceles, que 

tienen la misma medida. Por lo tanto, como los triángulos tienen 

sus lados iguales, entonces son iguales. 

43. Porque ___ 

AB es lado compartido, ___ 

AD = ___ 

BC porque 

son los lados iguales del triángulo isósceles. ___ 

BD = ___ 

AC 

porque son las diagonales del trapecio. 

Problema 44 

Luego de que los alumnos hayan resuelto completa 

o parcialmente el problema, proponga un debate 

sobre cómo hacer las construcciones. Pregunte si los datos 

proporcionados alcanzan para definir una sola figura o no. 

Insista en que dos figuras son iguales si al superponerse y 

mirarlas a trasluz se ve una sola figura. 

44. a. Construcción. Se puede construir uno solo. 

b. Construcción. Se puede construir uno solo. 

c. Construcción. Se puede construir uno solo. 


Haga una breve puesta en común del problema 45 

centrada en que se pueden construir infinitas figuras 

cerradas de 5 lados. Solicite que lean el lateral y registre en la 

carpeta las definiciones de polígono y polígono regular, y pida 

que dibujen varias figuras de 5 lados. 

En el problema 46, discuta cada afirmación para decidir sobre 

su veracidad y la explicación correspondiente. Registre luego 

las conclusiones: 

● No se puede saber de qué figura se trata si solo se dice cuántos 

lados tiene. Tampoco alcanza con decir la cantidad de diagonales 



porque todos los polígonos que tienen la misma cantidad de lados 

tienen también la misma cantidad de diagonales. 

● Si el dato es que los lados opuestos son paralelos, entonces sirven 

los cuadrados, rombos y rectángulos. 


b. Se pueden construir infinitos. 

46. a. Hay más de uno. b. Hay uno solo. 

c. Hay uno solo. d. Hay uno solo. e. Hay más de uno. 

f. Hay uno solo. g. Hay más de uno. 

h. Uno solo. i. Hay más de uno. 

Problema 47 

En la instancia colectiva solicite que un grupo lea sus 

instrucciones para que el resto opine y proponga 

cambios. Luego de debatir, registre el mensaje. Concluya que 

una manera de estar seguros si la copia está bien hecha es 

superponiendo las figuras para ver si coinciden. 


b. Si al superponerlos y ponerlos a trasluz se ve una 

única figura. Los lados y los ángulos son iguales. 

Problema 48 

Pida que propongan dibujos de cuadriláteros y un 

polígono de 6 lados a partir de triángulos, por ejemplo: 

como se puede observar no hay una única posibilidad para el 

cuadrilátero, aunque sí hay una sola para el hexágono. 

En el caso del rombo, como el triángulo que hay que usar no es 

isósceles pero sí rectángulo, hay una sola manera de ubicarlo, 

formando las diagonales que tienen que ser perpendiculares. 

Pregunte cómo tiene que ser el triángulo para que 

se pueda construir el rombo. Concluya que si el 

triángulo es isósceles no equilátero, se puede armar un 

rombo uniendo dos de ellos por el lado distinto. Si el 

triángulo es equilátero se puede armar un rombo 

uniendo dos de ellos por cualquiera de sus lados. Si el 

triángulo es escaleno, la única forma de armar el 

rombo es si el triángulo es rectángulo como en el 

problema 48 b.. 

48. a. Hay muchas. 

b. Se necesitan 4 triángulos. 

Capítulo 4 



común pregunte cómo cubrieron cada polígono con 

triángulos y registre la conclusión: 

● Hay muchas maneras de cubrir un polígono con triángulos: 

Para cubrirlo con la menor cantidad de triángulos hay que 

trazar todas las diagonales desde un vértice. 

Pida que completen la tabla del problema 51 y que luego 

resuelvan el problema 52. Registre: 

● La cantidad mínima de triángulos que cubren un polígono de 98 

lados es 98 – 2 = 96. Si el polígono es de 120 lados, se necesitan 

120 – 2 = 198 triángulos. 

Finalmente concluya: 

● Para averiguar la cantidad mínima de triángulos que cubren un 

polígono se puede elegir un vértice y trazar todos los segmentos 

que unen ese vértice con los demás, excepto los dos que ya están 

dibujados y son lados del polígono. Esos segmentos dibujados 

son las diagonales del polígono que tienen un extremo en el 

vértice elegido. Por lo tanto, la cantidad de diagonales que se 

pueden dibujar desde un vértice es igual a la cantidad de lados del 

polígono menos 2. Esa es la cantidad mínima de triángulos que 

cubren el polígono. Por ejemplo: un polígono de 4 lados puede 

cubrirse con 2 triángulos, uno de 5 con 3, etcétera. 


b. Sí, trazando todas las diagonales desde un vértice. 


51. 

Polígono 

Número de 

lados 

Cantidad mínima de triángulos 

que lo cubren sin superponerse 

4 2 

5 3 

6 4 

7 5 

8 6 

52. a. 23 

b. Para 98 lados, 96 triángulos. Para 120 lados, 118 triángulos. 

c. Cantidad mínima de triángulos que cubren el polígono = 

cantidad de lados – 2. 

41


Pida que resuelvan los dos problemas juntos. 

Apóyese en un dibujo y trate de que no sea un hexágono 

regular para que el planteo sea más general. 

Concluya y registre que: 

● La cantidad mínima de triángulos que cubren un polígono es igual 

a la cantidad de lados menos 2. Para sumar los ángulos interiores 

del polígono se puede sumar todos los ángulos interiores de los 

triángulos, por lo tanto, el valor buscado es: 180° + 180° + … + 180° 

que es igual al producto entre 180° y n – 2, 180° × (n – 2), donde n 

representa la cantidad de lados del polígono. 

● Un pentágono (5 lados) puede cubrirse con 3 triángulos, 

entonces la suma de sus ángulos interiores es 3 × 180° = 540°. 

53. Sí. En general hay que calcular 180° × (n – 2), 

donde n representa la cantidad de lados del polígono. 

54. 180 × 3 


En la puesta en común proponga un intercambio 

sobre las estrategias de resolución y sus 

explicaciones. Registre las conclusiones: 

● La fórmula 180º × (n – 2), permite calcular el valor de la suma de 

los ángulos interiores de cualquier polígono, regular o no. Para el 

pentágono (n = 5) es 540° y para el hexágono (n = 6) es 720°. 

● Si se conoce la cantidad de lados de un polígono y las medidas 

de todos los ángulos excepto uno, se puede encontrar el ángulo 

faltante. Por ejemplo, en el caso a. del problema 56 como se trata 

de un pentágono la suma de los ángulos debe ser 540° y 4 de los 

ángulos miden 110º, 130º, 80º y 90º, entonces el ángulo faltante 

mide 540º – 110º – 130º – 80º – 90º = 130º. 

● En el problema 56 b. M ^ = 360° – 60° – 80° – 100° = 120°. 

● Si un polígono es regular, todos sus lados y sus ángulos son 

iguales. La suma de los ángulos interiores de un octógono es: 

180º × (8 – 2) = 1.080º y sus 8 ángulos son iguales, entonces 

cada uno mide 1.080º : 8 = 135º. 

● Si un polígono es regular y tiene n lados, cada uno de ellos mide 

180º × (n – 2) : n. Si el polígono no es regular, con el dato de la cantidad 

de lados no se puede saber la medida de cada ángulo. 

57. 135° 

42 

55. a. 540° b. 720° 

56. a. 130° b. 120° 


El problema 58 es una aplicación de la fórmula 

desarrollada en los anteriores. Solo plantee una breve 

puesta en común para intercambiar resultados. 

En el problema 59, registre una explicación, por ejemplo: 

● La suma de los ángulos interiores tiene que ser igual a 1.800°, o sea, 

180° × (n – 2) = 1.800°. Para que el producto entre 180 y otro número 

dé 1.800, hay que multiplicarlo por 10. Entonces, la cantidad de lados 

menos 2 es 10 y por lo tanto el polígono tiene 12 lados. 

58. a. 900° b. 900° 

c. 1.080° d. 1.080° 

59. a. 12 lados. 

b. 1.800 : 18 = 10. La respuesta es dos más que 10. 


El problema 60 es una aplicación del 59. Para 

encontrar la cantidad de lados del polígono hay 

que resolver 180º × (n – 2) = 1.080°. Con lo cual n – 2 será un 

número que multiplicado por 180° dé 1.080°. Es decir, 

n – 2 = 1.080 : 180 = 6. Si n – 2 = 6, entonces n = 8. 

En cuanto al problema 61, registre las conclusiones: 

● La suma de los ángulos interiores de un polígono es un múltiplo 

de 180°. 

● Si se conoce la suma de los ángulos interiores de un polígono 

regular y se quiere encontrar la cantidad de lados, hay que dividir 

la suma por 180º y al resultado sumarle 2, o sea: “suma : 180 + 2”. 

60. 8 lados. 

61. a. No porque 910 no es múltiplo de 180. 

b. Sí, porque 1.080 es múltiplo de 180. El polígono tiene 10 lados. 

Problema 62 

Luego de la puesta en común de este problema, pida 

que registren: 

● Como la figura está formada por tres rombos iguales y dos cuadrados 

iguales, los dos ángulos agudos del rombo miden lo mismo, B 

^ . Los dos 

ángulos B 

^ junto al ángulo recto del cuadrado suman 180º, luego dos 

veces B 

^ mide 180° – 90° = 90° y B 

^ = 45°. 

El ángulo A 

^ es suplementario de B 

^ porque son ángulos no opuestos 

de un paralelogramo, entonces A 

^ = 180° – 45° = 135°. 

B 

B 

62. A = 135°, B = 45°. 

A 




Pida que resuelvan el problema 63 y pregunte lo 

que pensaron. Hágase cargo de desarrollar luego la resolución. 

Analice primero el paralelogramo donde está el dato. 

Si considera el paralelogramo ABCD y traza la diagonal ___ 

BD 

quedan dos triángulos iguales ABD y BDC. 

B 

130° 

A 

Como los triángulos son iguales entonces los ángulos también 

lo son, por lo tanto ^ C = ^ A = 130° y, además, A ^ BD = C ^ DB y A ^ DB 

= C ^ BD, entonces, A ^ BC = A ^ DC. Pero la suma de los ángulos 

interiores del cuadrilátero es 360° y dos de los ángulos miden 

130°, entonces, los otros dos deben medir 50° cada uno. En la 

figura queda entonces: 

50° 

130° 

M 

50° 

50° 

130° 

130° 

130° 

C 

130° 

130° 

50° 

50° 

además, 130° + 130° + M ^ = 360° entonces M ^ = 100° y todos los 

ángulos del rombo miden 100°, 100°, 80° y 80°. 

Solicite que resuelvan los problemas 64 y 65 y luego plantee otro 

debate colectivo en el que justifiquen las propiedades que usaron. 

63. 

100° 

50° 

80° 

130° 

100° 

130° 

80° 

50° 

50° 

130° 

130° 

64. OA ^ B = 30°, DO ^ A = 60°, DO ^ C = 120°. 

50° 

50° 

50° 

80° 

130° 

130° 

100° 

80° 

50° 

D 

100° 

65. H G 

120° 60° 

A 

120° 

B 60° 

120° 

F 

120° 

120° 

120° 

120° 

C 

120° 

E 

D 

Capítulo 4 



b. Trazando las mediatrices para construir ángulos rectos. 


3. a. Construcción. b. Infinitos. 


b. Con regla y escuadra se construye el rombo a partir de las 

diagonales porque son perpendiculares, con regla y compás 

se construye el rombo a partir de los lados que son iguales 

trazando circunferencias o trazando perpendiculares a partir de 

la mediatriz. 


6. a. Construcción. b. No, es único. 


8. Copiado. 

9. En los dos casos hay que trazar la circunferencia con centro 

en el punto donde se cruzan las diagonales y radio de la medida 

de media diagonal. 


b. Sí. Si se cortaran en el punto medio sería, además, un rombo. 

Pero no tiene porque serlo. 



13. No, porque 150 + 50 = 200. 

14. No es posible porque no existe un triángulo con esos lados. 


b. Infinitos, porque no está determinado el ángulo entre ellas. 

16. Construcción. Sí, es posible. 

17. Son verdaderas: b., c., d. y e.. 

18. Por ejemplo: las diagonales son iguales, perpendiculares y 

se cortan en el punto medio. 

19. Matías tiene razón porque no se puede construir el triángulo. 

20. a. Construcción. b. No. 

21. a. Construcción. Infinitos. b. Infinitos. 

22. A ^ =50°, B ^ = 100°. 

23. a. 30° b. 55° c. 77° 

24. a. Construcción. Uno solo. 

b. Ninguno porque no hay un triángulo rectángulo que tenga 

el lado opuesto al ángulo recto (hipotenusa) igual a uno de los 

otros lados (cateto). 

25. No, porque los cuadrados son paralelogramos. 


27. No, podría no ser rectángulo. Es necesario que, además, las 

diagonales sean iguales. 

28. No. Los rombos no cuadrados no pueden inscribirse. 

29. Son correctas a. y d.. 


31. Sí. Por ejemplo, en el caudrado coinciden y en cualquier 

paralelogramo, no. 

32. a. Sí. b. Sí. 

33. a. 360° b. 360°. c. 720° d. 1.080° 

34. No, porque los triángulos isósceles no equilátero pueden 

tener cualquier medida de ángulos. 

35. 85° 

43

Capítulo 5 

Operaciones 

con números 

fraccionarios 

Objetivo: 

Que los alumnos operen 

seleccionando el tipo de 

cálculo y la forma de expresar 

los números involucrados que 

resulten más convenientes en 

función de la situación. 

NAP: 

El reconocimiento y el uso 

de las operaciones entre 

fracciones, y la explicitación 

de sus propiedades en 

situaciones problemáticas. 

Problema 1 

Pida que resuelvan el problema. Seguramente los 

alumnos sumaron números fraccionarios los años anteriores 

pero eso no significa que tengan internalizados los cálculos. 

Luego de la puesta en común pida que registren las estrategias. 

Por ejemplo: 

● Como 2 __ es más que 

3 1 __ , entonces Lazlo quiere repartir más que 

2 1 __ + 

2 1 __ = 1 y eso no es posible. 

2 

● 1 __ + 

2 2 __ = 

3 3 __ + 

6 4 __ = 

6 7 __ que es más que un chocolate entero. 

6 

● Si de un chocolate corto 1 __ , queda: 

2 1 _ . 

2 

● Si del mismo chocolate corto 2 __ queda: 

3 1 _ . 

3 

Es probable que algunos alumnos hagan 1 __ + 

2 2 __ = 

3 3 __ sumando 

5 

numeradores y denominadores por separado. Si este error 

aparece, confronte las respuestas con las otras y pregunte cómo 

pueden hacer para repartir el chocolate. Intente que sean ellos 

los que se den cuenta del problema. 

44 

1. No, porque 1 __ + 

2 2 __ = 

3 7 __ que es mayor que un entero. 

6 

Problema 2 

Pida que lean las resoluciones de Liz y Ana, y que 

escriban en la carpeta lo que hicieron. Solicite que 

lean lo que escribieron y que juntos armen una lista de los 

pasos seguidos por cada una. Finalmente pida que respondan a 

las preguntas y concluya que: 

● Para sumar o restar números fraccionarios, es necesario 

escribirlos todos con el mismo denominador. 

pag 30-31 

2. a. Porque 4 __ = __ 2 

. 

10 5 

b. Porque 5 × 10 = 50. 

c. Sí, 5 __ 1 

= 

50 __ 

10 . 


Pida que resuelvan el problema 3. Observe que 

en él se pone en duda el denominador elegido. Luego del 

debate colectivo registre que para sumar o restar números 

fraccionarios hay que elegir un denominador que sea múltiplo 

de todos los denominadores. Se puede elegir el múltiplo común 

menor o cualquier múltiplo de él. 

Solicite que resuelvan el problema 4 que reinvierte lo analizado 

en el anterior. 

3. Hay infinitas opciones. Puede usar cualquier 

múltiplo de 20, por ejemplo: 20, 40, 60. 

4. Falta 1 __ kg. 

4 


Solicite que, mientras resuelven los problemas, 

escriban una conclusión que sirva para resolver cálculos 

similares a los dados. En la puesta en común pida que lean esas 

conclusiones y acuerden una para que quede registrada. Para el 

problema 5, por ejemplo: 

● Una fracción representa el número 1 si el numerador es igual al 

denominador. Por ejemplo, a 4 __ le faltan 

7 3 __ para llegar a 1 porque 

7 4 __ + 

7 3 __ = 

7 7 __ = 1. 

7 



Para el problema 6, registre: 

● Para sumar o restar 1, conviene escribir 1 como una fracción 

cuyo denominador sea igual al denominador de la otra fracción. 

Por ejemplo, 5 __ – 1 = 

3 5 __ – 

3 3 __ = 

3 2 __ . 

3 

● El número 2 puede escribirse como una fracción cuyo numerador 

sea el doble del denominador. Por ejemplo, 6 __ ; 

3 8 __ , etc. Para sumar o 

4 

restar 2, conviene escribirlo como una fracción que tenga el mismo 

denominador que la otra fracción. Por ejemplo: 11 __ – 2 = __ 11 

– __ 6 

= 

3 3 3 5 __ . 

3 

● Para sumar dos fracciones cualesquiera se puede buscar alguna 

relación entre ellas. Por ejemplo, como 1 __ es la mitad de 

6 1 __ , 

3 1 __ = 

3 2 __ y 

6 5 __ + 

6 1 __ = 

3 5 __ + 

6 2 __ = 

6 7 __ . 

6 

g. 5 __ 

3 

5. a. 3 __ 

4 

6. a. 7 __ 

4 

h. 15 __ 

2 

b. 1 __ 

4 

b. 15 __ 

4 

65 

i. __ 

18 

c. 3 __ 

5 

5 

c. __ 

4 

d. 1 __ 

6 

d. 2 __ 

7 

e. 3 __ 

7 

e. 5 __ 

3 

f. 1 __ 

10 

f. 7 __ 

6 


En el problema 7 insista en que no pueden resolver 

la cuenta para contestar. Proponga analizar todas las 

explicaciones. Registre una para cada ítem. Por ejemplo: 

● 2 + 11 __ > 3 porque __ 11 

> 1. 

5 5 

● 9 – 5 __ < 8 porque a 9 se le resta un número mayor que 1. 

4 

● 3 __ – 

4 1 __ < 1 porque 

2 3 __ < 1. 

4 

● 3 __ + 1 < 1 + 1 = 2 

4 

● 1 __ + 

3 7 __ > 

4 1 __ + 1 > 1 

3 

● 3 + 5 __ > 3 + 

3 3 __ = 4 

3 

Para el problema 8, pregunte cómo puede hacerse para escribir 

un número fraccionario como la suma de un entero y una 

fracción menor que 1. Registre la conclusión: 

● Una fracción representa un número entero cuando el numerador 

es múltiplo del denominador, por ejemplo, 5 __ , 

5 10 __ , __ 15 

, etc., son 

5 5 

números enteros. Luego, hay que encontrar el mayor múltiplo del 

denominador que sea menor o igual que el numerador. Por ejemplo, 

17 __ = __ 12 

+ __ 5 

= 2 + 

6 6 6 5 __ . 

6 

7. Son correctas: c. y f.. 

8. a. 1 + 4 __ 

5 

d. 2 + 3 __ 

4 

b. 3 + 1 __ 

2 

e. 2 + 5 __ 

6 

c. 6 + 1 __ 

3 

f. 1 + 7 __ 

8 

Problema 9 

Pida que lean el problema y que lo piensen en parejas 

durante 5 minutos. Se trata de una situación de proporcionalidad 

directa donde el contexto, el perímetro de un cuadrado, permite 

encontrar valores desconocidos. Si se conoce la medida del lado 

de un cuadrado, su perímetro se obtiene multiplicándolo por 4. Si 

se conoce el perímetro de un cuadrado, la medida de su lado se 

obtiene dividiéndolo por 4. Pero a medida que se va completando 

Capítulo 5 

la tabla, hay valores que pueden encontrarse a partir de las 

propiedades de la proporcionalidad. Por ejemplo: 

● Si el lado del cuadrado mide 4 cm, el perímetro es de 4 × 4 cm = 16 cm. 

● Si el lado mide 3 __ cm, el perímetro es: 

4 

4 × 3 __ cm = 

4 3 __ cm + 

4 3 __ cm + 

4 3 __ cm + 

4 3 __ cm = 

4 12 __ cm = 3 cm. 

4 

Recuérdeles que el producto también puede calcularse 

multiplicando el numerador por el factor entero: 

4 × 3 __ cm = ____ 4 × 3 

cm = __ 12 

cm = 3 cm. 

4 4 4 

● Si el perímetro es 18 cm, entonces cada lado mide: 18 : 4 = 18 __ = __ 9 

cm. 

4 2 

● Si el perímetro es 3 __ cm, para calcular la medida de cada lado hay 

2 

que resolver 3 __ : 4. Para ello se puede pensar que 

2 3 __ es equivalente 

2 

a 12 __ y su cuarta parte es __ 3 

. Entonces 

8 8 3 __ : 4 = 

2 3 __ . 

8 

9. 

Longitud del lado (en cm) 5 4 3 __ 

4 9 __ 

2 3 __ 

8 

Perímetro (en cm) 20 16 3 18 3 __ 

2 


Pida que resuelvan los problemas 10 y 11. Luego 

haga una puesta en común, registre diferentes 

formas de calcular los valores pedidos y las conclusiones: 

● La cantidad de jugo se calcula multiplicando el peso de las 

naranjas por 2 __ , mientras que el peso de las naranjas se obtiene 

3 

dividiendo la cantidad de jugo por 2 __ . 

3 

● Si 7 monedas forman una pila de 14 __ cm de altura, la altura de 

5 

una es 14 __ : 7 cm = __ 2 

cm. 

5 5 

Pida que resuelvan el problema 12, explicando por qué eligen cada 

cálculo. En la puesta en común proponga que intercambien sus 

respuestas y explicaciones. Registre, por ejemplo: 

● 3 __ : 8 = 

4 3 __ es la cantidad de arroz por cada taza de agua. 

32 

● Como 4 es la mitad de 8, el valor correspondiente a 4 es la mitad 

del de 8, 3 __ : 2 = 

4 3 __ . 

8 

● 16 es el doble de 8, por lo tanto el valor correspondiente de 16 es 

el doble del de 8, 3 __ × 2 = 

4 6 __ = 

4 3 __ . También es el cuádruple de 4 por 

2 

lo que puede calcularse como 3 __ × 4 = 

8 3 __ . De esta última relación 

2 

puede encontrarse el correspondiente de 4 como la cuarta parte 

del de 16, 3 __ : 4 = 

2 3 __ . 

8 

● El correspondiente de 12, que es el triple de 4, es 3 __ × 3 = 

8 9 __ . 

8 

● El valor que corresponde a 3 puede encontrarse como la cuarta parte 

del de 12, 9 __ : 4 = 

8 9 __ 

3 

, o como el triple del correspondiente a 1, 

32 __ × 3. 

32 

45

46 

10. 

Cantidad de naranjas (en kg) 1 2 3 1 

__ 

2 

Cantidad de jugo (en litros) 2 __ 

3 4 __ 2 

3 1 __ 

3 10 __ 

3 

11. a. 2 __ cm b. 

5 12 __ 

35 cm 

12. 

Cantidad de 

tazas de agua 

Arroz (en 

kilos) 

3 4 8 12 16 

9 __ : 4 = 

8 9 __ 

32 3 __ : 2 = 

4 3 __ 

8 3 __ 

4 3 __ × 3 = __ 9 

8 8 3 __ × 4 = 

8 3 __ 

2 

Problema 13 

El objetivo de este problema es analizar que siempre 

es posible obtener un número natural como 

resultado de un producto cuando uno de los factores es una 

fracción. En la instancia colectiva concluya: 

● La definición de fracción indica la cantidad de veces que se 

necesita una fracción de numerador 1 para formar 1. Por ejemplo, 

4 veces 1 __ es 1, o sea 

4 1 __ × 4 = 1. 

4 

● Como 1 __ × 9 = 1 , 

9 1 __ × 18 = 2. Entonces, el factor necesario para que 

9 

el producto dé 2 es el doble del factor que hace que el producto sea 1. 

● Cada factor que se quiere encontrar puede calcularse por 


13. 4; 18; 12; 24; 7; 10; 8; 20; 3; 33; 21; 8. 

Problema 14 

Pregunte qué número entero multiplicado por 3 __ 

5 

da 3. Probando con sumas, podrán encontrar que 3 __ × 5 = 3. 

5 

Escriba la explicación de la relación, 3 __ × 5 = 3 × 

5 1 __ × 5 = 3 × 1 = 3. 

5 

Generalice y registre: 

● Si una fracción se multiplica por el número natural que está en el 

denominador, el resultado es el numerador. 

Pida que, a partir del cálculo 3 __ × 5 = 3, busquen el número que 

5 

multiplicado por 3 __ da 1. Como 

5 3 __ × 5 = 3 y 1 es la tercera parte 

5 

de 3, para saber que número multiplicado por 3 __ da 1, hay que 

5 

buscar la tercera parte de 5, es decir, 5 : 3 = 5 __ . Entonces, 

3 3 __ × 5 = 3, podemos decir que: 

5 3 __ × 5 × 

5 1 __ = 3 × 

3 1 __ = 1; 

3 3 __ × 

5 5 __ = 1. 

3 

Es importante señalar que no es casual que el factor buscado 

tenga intercambiados el numerador y denominador. Si se tiene 

una fracción cualquiera, por ejemplo 8 __ 8 

, 

17 __ × 17 = 8 (este primer 

17 

producto da siempre el numerador) y 8 __ × 17 × __ 1 

= 

17 8 8 __ × __ 17 

= 1. 

17 8 

Concluya que para cualquier fracción puede encontrarse otra 

de manera que al multiplicarlas da 1. Esas fracciones se llaman 

inversas. 

5 

14. 5 __ ; 

3 7 __ 

; 

3 21 __ 

2 

4 

; __ ; 

5 3 __ ; 

2 9 __ . 

4 


Pida que lean lo que hizo Tatiana y que escriban 

en la carpeta la explicación de cada paso. A partir 

de estos problemas se puede concluir que es posible pasar 

multiplicativamente de una fracción cualquiera a un número 

natural. También es posible pasar multiplicativamente de un 

número natural a cualquier otro. 

Solicite que resuelvan los dos problemas. En la puesta en común 

proponga un intercambio y registre las conclusiones: 

● Para calcular el número faltante en 3 __ × ... = 5 podemos pensar 

8 

que: 3 __ × 

8 8 __ = 1, entonces 

3 3 __ × 

8 8 __ × 5 = 1 × 5 = 5; 

3 3 __ × 

8 40 __ = 5. 

3 

● El procedimiento anterior es el mismo si se cambia la fracción y el 

número natural al cual se quiere llegar. 

● El valor que se busca en 8 × … = 5 es el producto entre 5 y el inverso 

de 8, o sea 5 × 1 __ . Porque: 8 × 

8 1 __ = 1, entonces 8 × 

8 1 __ × 5 = 1 × 5 = 5 ; 

8 

8 × 5 __ = 5. 

8 

● Si se cambian el 8 y el 5 por otros valores, el cálculo es el mismo. 

15. a. De 4 __ × 5 = 

3 20 __ 

3 . 

b. 28 __ ; __ 10 

; __ 15 

; __ 27 

; __ 40 

; __ 10 

3 3 4 2 3 11 . 

16. 1 __ ; 

2 3 __ ; 

2 5 __ ; 

3 2 __ ; 

7 5 __ ; 

8 9 __ . 

8 



Problema 17 

Este problema es una primera aproximación al 

producto de fracciones y se basa en que el área de un 

rectángulo se calcula como el producto entre su base y su altura. 

Luego de la puesta en común registre: 

● Al dividir la base en cuartos y la altura en tercios, el rectángulo 

queda dividido en 3 × 4 = 12 partes iguales, cada una de las cuales 

es 1 __ del rectángulo. Se toman 3 partes de la base y 2 de la altura, o 

12 

sea un total de 3 × 2 = 6 cuadraditos, por lo que la zona sombreada 

es 6 __ o __ 1 

del terreno. 

12 2 

● Si se divide la base en quintos y la altura en medios, hay 5 × 2 = 10 

partes iguales y se toman 3 × 1 = 3, que representan 3 __ del total. 

10 

17. a. 1 __ 

2 

b. 3 __ 

10 

Problema 18 

En la instancia colectiva discuta con el grupo su 

resolución y escriba en el pizarrón las conclusiones que emanen 

de ellos: 

● Si la base se parte en tercios y se toman 2 y la altura se parte en 

quintos y se toman 3, queda determinado un rectángulo cuya área 

se calcula multiplicando la base por la altura: 3 __ × 

5 2 __ . 

3 

● Un rectángulo que permita representar 1 __ × 

3 2 __ puede ser uno donde 

5 

se toma la tercera parte de la base y dos quintos de su altura o al revés. 

● La cantidad de partes en que queda dividido el rectángulo es 

el producto entre las partes que se toman de la base y la altura, 

o sea de los denominadores de las dos fracciones. Las partes que 

se toman es el producto entre las partes que se toman de cada 

lado, es decir, el producto entre los numeradores. Por lo tanto, 

si se multiplican dos fracciones se obtiene otra fracción cuyo 

numerador es el producto de los numeradores de las fracciones 

que se multiplicaron y el denominador es el producto de los 

denominadores. Por ejemplo: 3 __ × 

5 2 __ = ____ 3 × 2 6 

= 

3 5 × 3 __ 

15 . 

18. a. 3 __ × 

5 2 __ 

3 

b. 2 __ 

15 


Estos problemas de proporcionalidad permiten 

utilizar las propiedades y el producto de números 

fraccionarios. En la puesta en común analice las maneras 

de calcular cada uno de los números faltantes. Registre las 

conclusiones más importantes, por ejemplo: 

Capítulo 5 

● Si por cada medio kilo de azúcar se usa 3 __ kg de fruta, por un kilo 

8 

de azúcar se usa el doble de fruta, 3 __ × 2 = 

8 6 __ = 

8 3 __ . 

4 

● La cantidad de fruta puede calcularse como 3 __ × la cantidad de 

4 

azúcar. 

● Si 1 __ kg de cacao necesita 

4 5 __ kg de harina, entonces 1 kg de cacao, 

8 

que es 4 veces 1 __ , necesita 

4 5 __ × 4 = 

8 20 __ = __ 5 

kg de harina. 

8 2 

● La cantidad de harina puede calcularse como 5 __ × cacao. 

2 

19. 

Cantidad de azúcar (en kg) 1 __ 

4 1 __ 

2 3 __ 

4 

Cantidad de fruta (en kg) 3 __ 

16 3 __ 

8 9 __ 

20. 

2 1 __ 

2 

__ 

3 1 __ 

4 

__ 

5 3 __ 

4 

__ 

16 

16 15 

8 39 

16 69 

Cacao (en kg) 1 __ 

8 1 __ 

4 3 __ 

8 2 __ 

5 5 __ 

12 

Harina (en kg) 5 __ 

16 5 __ 

8 15 __ 

16 

25 

1 __ 

24 

Problema 21 

Este problema cuestiona una propiedad válida en 

los números naturales pero no de los racionales: “el producto 

de dos números racionales no siempre es mayor o igual que los 

factores”. Esta discusión es fundamental porque no es fácil 

que los alumnos acepten que el producto puede ser menor 

que los factores porque va en contra de una propiedad que 

construyeron durante varios años de su escolaridad. 

Explique y escriba las ideas más importantes, por ejemplo: 

● 3 __ × 5 puede pensarse como las 

4 3 __ partes de 5, que es menor que 

4 

5 porque 3 __ es menor que 1. 

4 

● 7 __ × 3 es mayor que 3 porque la parte de 3 que se considera es 

4 

mayor que 1. 

● 12 × 1 __ es la cuarta parte de 12, que es menor que 12. 

4 

21. a. Menor. b. Mayor. c. Menor. 

Problema 22 

Este problema es una extensión del anterior, donde 

los dos factores pueden ser fracciones. Luego de 

debatir entre todos los alumnos registre: 

● Cuando a un número (entero o fraccionario) se lo multiplica por 

otro menor que 1, el resultado es menor que el número. Si se lo 

multiplica por un número mayor que 1, el resultado es mayor que 

el número. 

22. a. Menor. b. Mayor. c. Menor. 

d. Igual. e. Mayor. f. Mayor. 

47

Problema 23 

Es muy posible que los alumnos ensayen buscando 

números, pero que tengan dificultades para 

generalizar. Si observa dificultades pida que lean las relaciones 

de los problemas anteriores. Concluya que, por ejemplo: 

● Como 3 __ × 

5 5 __ = 1, entonces 

3 3 __ × 

5 5 __ × 8 = 8, luego: 

3 3 __ × 

5 40 __ = 8. 

3 

48 

23. Por ejemplo, 15 __ o __ 40 

. Hay infinitas posibilidades. 

3 3 


Solicite que resuelvan el problema 24 y haga una 

primera puesta en común. Registre: 

● Como 3 __ = 3 × 

4 1 __ , entonces 

4 3 __ : 

4 1 __ = 3 y se pueden armar 3 paquetitos. 

4 

● Como 3 __ = 

4 6 __ = 6 × 

8 1 __ , luego 

8 3 __ : 

4 1 __ = 6 y se pueden armar 6 paquetitos. 

8 

Pida que resuelvan el problema 25 y en la instancia colectiva escriba: 

● 6 __ tiene que ser el producto entre la parte de la base y de la altura 

15 

que se considere. Por ejemplo, 2 __ × 

3 3 __ = 

5 1 __ × 

3 6 __ = 

5 3 __ × 

3 2 __ = 1 × 

5 2 __ = 

5 6 __ 

15 . 

El segundo producto no sirve porque no puede tomarse más de un 

lado del rectángulo ( 6 __ >1). Hay infinitas opciones que cumplen la 

5 

condición pedida pero no cualquier producto la cumple. 

24. 3 paquetes de 1 __ kg; 6 paquetes de 

4 1 __ kg. 

8 

25. a. Por ejemplo, 3 __ y 

5 2 __ . b. Sí. 

3 

Problema 26 

La resolución de este problema queda a su cargo, 

interactuando con los alumnos. Por ejemplo: 

Para resolver 10 ___ : __ 5 

hay que encontrar un número que multiplicado 

15 3 

por 5 _ dé 

3 10 __ . Como __ 5 

× 

15 3 3 __ = 1, entonces 

5 5 __ × 

3 3 __ × 

5 10 __ = __ 10 

y el número 

15 15 

buscado es 3 __ × 

5 10 __ , que es el inverso del divisor por el dividendo. 

15 

26. Para hacer la división hay que multiplicar el 

dividendo por el inverso del divisor. 



común registre las conclusiones: 

● 4 1 __ : 

2 3 __ = (4 + 

4 1 __ ) : 

2 3 __ = 

4 9 __ : 

2 3 __ = 

4 9 __ × 

2 4 __ = 

3 36 __ = 6. 

6 

● El número que multiplicado por 3 __ da 

5 9 __ es el resultado de 

20 9 __ : __ 3 

= 

20 5 9 ___ × __ 3 

= 

20 5 27 ___ 

100 . 

● Dividir un número por 3 __ es lo mismo que multiplicarlo por 

4 4 __ . 

3 

● Si 1 __ : ... = 

5 2 __ , entonces __ 1 

= 

15 5 2 __ × ... por lo tanto, el número 

15 

buscado es 1 __ : 

5 2 __ = __ 1 

× 

15 5 15 __ = __ 15 

= __ 3 

. 

2 10 2 

27. 6 botellitas. No sobra. 

28. 3 __ 

4 

29. 

1 __ 

3 

2 3 __ 

4 3 __ 

2 9 __ 

4 3 __ 

8 

4 __ 

9 8 __ 

3 

1 2 3 1 __ 

2 

30. 2 __ 

3 

Problema 31 

A partir de la interacción con los alumnos, resuelva 

el problema. El objetivo es buscar la máxima cantidad de veces 

enteras que 3 __ entra en 

8 35 __ . Si no se necesitara encontrar un 

4 

número entero, el valor podría hallarse a través de la división 

__ 35 

: __ 3 

= 

4 8 35 __ × __ 8 

= 

4 3 280 ___ = __ 70 

. Como __ 70 

= ___ 69 

+ __ 1 

= 23 + 

12 3 3 3 3 1 __ , es posible 

3 

dar 23 saltos enteros. Para saber a qué número llega puede 

usarse el cálculo: 35 __ − 23 × __ 3 

= 

4 8 70 __ − __ 69 

= __ 1 

. 

8 8 8 

31. a. 23 saltos. b. 14 saltos. 


Pida que resuelvan los problemas. En la puesta 

en común del problema 32 pregunte por la 

decisión respecto del valor de verdad de las afirmaciones y las 

explicaciones. Registre, por ejemplo: 

● Como 6 __ = 

4 3 __ y 

2 5 __ : 

4 3 __ = 

2 5 __ , entonces también es cierto que 

6 5 __ : 

4 6 __ = 

4 5 __ . 

6 

● La división 5 __ : 

4 3 __ = 

2 5 __ indica que 

6 3 __ entra 

2 5 __ veces en 

6 5 __ , o sea que 

4 5 __ × 

6 3 __ = 

2 5 __ . Si se cambian las fracciones de la última igualdad por otras 

4 

equivalentes a ellas, la igualdad sigue valiendo, por ejemplo, 10 __ × __ 6 

= 

12 4 5 __ . 

4 

Las razones por las que el resultado de una división puede 

ser mayor que el dividendo no resultan evidentes a los 

alumnos, por lo que es posible que tenga que hacerse cargo de 

explicarlo. Puede apoyarse en los siguientes hechos: 

● El resultado de 35 : 7 es 5 porque 7 × 5 = 35. El resultado no podría 

ser mayor que 35 porque, al tratarse de números naturales, los dos 

números que multiplicados dan 35 tienen que ser menores que 35. 

● Para calcular 35 : 1 __ hay que analizar la cantidad de veces que 

2 1 __ 

2 

entra en 35. Como 1 __ entra 2 veces en 1, entrará 35 × 2 = 70 veces 

2 

en 35. El resultado de este cálculo no son 70 unidades, sino la 

cantidad de 1 __ necesarios para armar 35 unidades. 

2 

● Si se divide por una fracción menor que 1, el resultado es siempre 

mayor que el dividendo y cuanto menor sea, mayor será el cociente. 

32. Son correctas: a. y c.. 


b. Hay muchas posibilidades, por ejemplo: 7 __ : 3. 

5 




Pida que resuelvan los problemas. Según las 

dificultades que surjan, decida en qué momentos 

ubicará las puestas en común. 

Teniendo en cuenta que la carpeta debe ser un documento 

de estudio, es necesario registrar las conclusiones así como las 

anotaciones personales de los alumnos. Para estos problemas, 

algunas de las conclusiones deben ser: 

● Una forma de comparar los consumos de combustible de los autos 

es para la misma cantidad de kilómetros, no importa cuál sea. El de 

Claudio consume 3 1 __ litros cada 20 km, entonces consume 

4 

3 1 __ × 3 = 9 

4 3 __ litros cada 60 km. El de Tami, en cambio, consume 

4 

5 1 __ litros cada 30 km, y 5 

8 1 __ × 2 = 10 

8 2 __ litros cada 60 km. Por lo 

8 

tanto, Claudio gasta menos. 

● Para expresar una velocidad dada en km/min, en km/h, puede 

pensarse de la siguiente forma. 2 km/min significa que se recorren 

2 km en 1 minuto, entonces en 1 hora o 60 minutos se recorre 

2 × 60 km = 120 km y 2 km/min es equivalente a 120 km/h. 

● Para realizar una ampliación de una figura, cada lado se 

multiplica por un mismo número. Si un lado que mide 8 cm tiene 

que pasar a medir 10 cm, entonces el número por el que hay que 

multiplicar es 10 : 8 = 10 __ = __ 5 

. El largo medirá 12 × 

8 4 5 __ = 15 cm. 

4 

● Si Laura da 8 vueltas cuando María da 6, entonces cuando Laura da 

1, María da 6 : 8 = 6 __ = 

8 3 __ de vuelta. Entonces, cuando Laura da 

4 

5 vueltas, María da 3 __ × 5 = 

4 15 __ de vuelta. 

4 

34. El de Tami. 

35. No, no funciona bien porque si gastó 57 l para 

300 km, para 25 km gastó 57 __ = __ 19 

12 4 l. 

36. Van a la misma velocidad porque Pedro en 60 minutos hace 

2 × 60 = 120 km. 

37. 15 cm. 

38. a. 3 __ vueltas. b. 

2 5 __ vueltas. c. 

2 26 __ 

7 vueltas. 


Pida que resuelvan los problemas. En función de las 

dificultades que surjan, decida en qué momentos ubicará las 

puestas en común. Entre las conclusiones, cite: 

● En el problema 39, además de aplicar propiedades de la 

proporcionalidad, es posible calcular la constante de proporcionalidad 

como 16 __ : 2 = __ 16 

× __ 1 

= 

9 9 2 16 __ = __ 8 

y usar que el valor de B es igual al valor 

18 9 

de A multiplicado por 8 __ . 

9 

● En el problema 40, la constante es 3 __ : 

4 1 __ = 

2 3 __ × 2 = 

4 3 __ y agua = 

2 3 __ × 

2 

cal. También puede decirse que al dividir la cantidad de agua por 3 __ 

2 

se obtiene los kilogramos de cal. 

● En el problema 41, sugiera que completen la tabla que Matías 

plantea en el lateral. 

● En el problema 42, si hay 16 aprobados y 24 alumnos en total, la 

fracción de aprobados es 16 __ 

24 . 

Capítulo 5 

Los demás problemas son aplicaciones de los anteriores. 

39. 

A 1 __ 

2 

2 3 __ 

4 

4 6 1 __ 

2 

11 

B 4 __ 

9 16 __ 

9 2 __ 

3 32 __ 

9 52 __ 

9 88 __ 

9 

40. 

Cal (en kg) 1 __ 

2 1 __ 

4 3 __ 

4 3 __ 

8 5 __ 

6 

Agua (en litros) 3 __ 

4 3 __ 

8 9 __ 

8 9 __ 

16 5 __ 

4 

41. a. 20 __ l. b. __ 21 

l. 42. __ 16 

3 4 24 . 

43. 6° A: 16 __ = __ 2 

= 

40 5 14 __ ; 6° B: __ 13 

. 6° A tiene un mejor rendimiento. 

35 35 

44. $91,5. 

45. 

A 3 __ 

4 9 __ 

16 9 __ 

8 27 __ 

20 32 __ 

5 1 __ 

3 

B 1 __ 

3 1 __ 

4 1 __ 

2 3 __ 

5 128 ___ 

45 4 __ 

27 


Pida que resuelvan el problema 46. Recuerde a sus 

alumnos que los cálculos mentales no se refieren a que hay 

que resolverlos “en la cabeza”, sino que se trata de cálculos 

reflexionados, donde se transforma el cálculo original en 

otro más simple que sí puede resolverse en la mente. Las 

transformaciones tienen que ser escritas y explicitadas para 

que resulte posible reconstruir el razonamiento que permitió 

encontrar el resultado. 

En este caso, una traducción coloquial del cálculo ayuda a 

resolverlo. Por ejemplo, 

● 36 × 

49 

1 __ es la mitad de 36, que es 36 : 2 = 18. 

2 

● 24 × 1 __ es la cuarta parte de 24, 24 : 4 = 6. 

4 

● 40 × 1 1 __ es 1 vez y media 40. Como la mitad de 40 es 20, el total 

2 

es 40 + 20 = 60. 

● 39 × 2 __ es lo mismo que 39 × 

3 1 __ × 2 . La tercera parte de 39 es 13 y 

3 

su doble es 26. 

● En general, para multiplicar un número entero por una fracción 

de numerador 1 puede dividirse el número por el denominador de 

la fracción. 

A partir del problema 47 se busca encontrar una forma de 

dividir un número entero por una fracción de numerador 1. 

En la puesta en común pida que expliquen cómo encontraron 

las respuestas y por qué. Registre las conclusiones más 

importantes. Por ejemplo: 

● 4 : 1 __ es la cantidad de veces que 

8 1 __ entra en 4. Como hay 8 octavos 

8 

en 1, hay 8 × 4 = 32 octavos en 4. 4 : 1 __ es el doble de 4 : 

8 1 __ y el 

4 

cuádruple de 4 : 1 __ . 

2 

● En 1 hay 3 tercios, 6 sextos y 9 novenos, entonces en 30 hay 90 

tercios, 180 sextos y 270 novenos. Por lo tanto, 30 : 1 __ = 90, 

3 

30 : 1 __ = 180 y 30 : 

6 1 __ = 270. 

9

● Dividir por una fracción de numerador 1 es lo mismo que 

multiplicar por el denominador. 

50 

46. a. 18 b. 6 c. 60 d. 14 e. 5 

f. 6 3 __ 

4 

g. 21 h. 7 i. 26 

47. a. 8 b. 16 c. 32 d. 90 e. 180 

f. 270 g. 36 h. 200 i. 60 


En la puesta en común pregunte qué les parece que 

tendría que quedar escrito para tener en cuenta 

cuando se resuelven problemas similares a estos. Por ejemplo: 

● Para calcular el doble de una fracción puede multiplicarse su 

numerador por 2, sin cambiar el denominador. 

● Una forma de calcular la mitad de una fracción consiste en 

multiplicar su denominador por 2, sin cambiar el numerador. 

● Una manera de dividir una fracción por un número entero 

es multiplicar el denominador por ese número, sin cambiar el 

numerador. 

● Hay infinitas multiplicaciones que dan 10. Para cada factor que 

se quiera, por ejemplo 17, el otro factor se obtiene dividiendo 

10 : 17 = 10 __ . Luego, 17 × __ 10 

= 10. 

17 17 

48. 2 __ ; 

5 2 __ ; 

9 14 __ ; __ 9 

; 

15 2 16 __ 

3 . 

49. 1 __ ; 

8 1 __ ; __ 1 

; 

10 6 1 __ ; __ 1 

; 

18 7 5 __ ; 

6 3 __ 1 

; 

10 __ 3 

; 

12 __ 1 

; 

16 __ 9 

; 

20 __ ; __ 9 

. 

22 8 

50. a. 1 __ b. 

4 

1 __ 1 

c. 

18 

__ 1 

d. 

20 

__ 2 

e. 

18 

__ 3 

f. 

15 

__ 

28 

g. 9 __ 8 

h. 

10 

__ i. __ 9 

21 8 

51. Hay infinitas multiplicaciones posibles, por ejemplo: 

1 __ × 100, __ 3 

× 

10 7 70 __ , ___ 123 

× _____ 2.560 

3 256 123 . 


Plantee una puesta en común después de que 

resuelvan cada uno de los problemas. 

Para el problema 52, pida que intercambien sus respuestas y 

explicaciones. Luego registre las conclusiones: 

● Si se multiplican dos números fraccionarios distintos de 1, el 

resultado puede ser mayor o menor que los factores. Por ejemplo, 

4 __ × 

5 1 __ < 

3 4 __ y 

5 4 __ × 

5 7 __ > 

6 4 __ . 

5 

● Si se multiplica un número por otro menor que 1, el producto es 

menor que el primero. Si se multiplica por un número mayor que 1, 

el resultado es mayor que el primer número. 

● Si se divide un número por otro menor que 1, el resultado es 

mayor que el primero. Si el divisor es mayor que 1, el cociente es 

menor que el número. 

Para el problema 53, pida que determinen cuáles son los cálculos 

equivalentes y que lo justifiquen sin resolver la cuenta. Registre: 

● 1 __ × 

2 5 __ = 

9 1 __ × 

2 1 __ × 5. 

9 

● 5 __ × 

6 4 __ = 

3 1 __ × 

6 1 __ × 5 × 4. 

3 

● 3 __ × 

4 2 __ = 

5 1 __ × 3 × 

4 1 __ × 2 = 

5 1 __ × 

4 1 __ × 3 × 2. 

5 

● 3 __ × 

5 2 __ = 

3 1 __ × 

5 1 __ × 3 × 2 = 

3 1 __ × 6. 

15 

● 2 __ × 

9 5 __ = 

2 1 __ × 2 × 

9 1 __ × 5 = 

2 1 __ × 

9 1 __ × 2 × 5. 

2 

Para el problema 54 registre: 

● Hay infinitas divisiones que dan 3 __ . Como el cociente indica la 

4 

cantidad de veces que el dividendo entra en el divisor, el dividendo 

es 3 __ × divisor. Para cada valor que se otorgue al divisor (que no sea 

4 

0), se puede calcular el dividendo. 

52. Son verdaderas: a. y e.. 

53. La primera de la primera columna con la segunda 

de la segunda columna; la segunda con la primera; la tercera 

con la cuarta; la cuarta con la quinta y la quinta con la tercera. 

54. Hay infinitos pares. Por ejemplo: 15 y 4, 3 __ y 

2 1 __ 

, 

2 21 __ 

20 

5 

y __ . 

7 


Organice las puestas en común según las necesidades y 

dificultades que presente el grupo. 

En varios de los problemas, se trata de encontrar cálculos con un 

resultado determinado y se plantea la necesidad de “inventar” 

uno de los valores que intervienen para poder encontrar el otro. 

Los alumnos no suelen considerar que es posible inventar un 

valor, por lo que usted debe aclararles que esto se puede hacer. 

También deben tener en cuenta que hay que usar las relaciones 

entre las operaciones. Registre, por ejemplo: 

● Para buscar sumas que den 1, se inventa uno de los valores con 

la condición de que sea menor que 1 y el otro se calcula restándole 

este número a 1. Por ejemplo, si uno de los números es 5 __ , el otro 

18 

número es 1 − 5 __ = __ 13 

18 18 . 



● Si se quiere encontrar una resta que de 1 y uno de los valores 

es 6 __ , entonces el número que falta en ... − 

7 6 __ = 1 es 1 + 

7 6 __ = 

7 13 __ . Si se 

7 

intentara buscar el número que falta en 15 __ − ... = 1 sería __ 15 

− 1 = __ 11 

4 4 4 . 

● Para que un producto dé 3, se propone uno de los valores y el 

otro se calcula como 3 dividido el número. 

● Para calcular la mitad de una fracción puede dividírsela por 2 o 

multiplicar su denominador por 2. 

3. Hay infinitas. 

1. Hay infinitas. Por ejemplo 1 __ + 

2 1 __ . 

2 

2. Hay infinitas. 

4. Dividiendo por 2 el número fraccionario. 

a. 3 __ b. 

8 

4 __ c. 

3 

9 __ 5 

d. 

10 

__ 

18 

5. 7 __ = 

3 3 __ + 

3 4 __ = 1 + 

3 4 __ . Hay que sumarle 

3 4 __ . 

3 

6. a. 5 __ b. 

4 3 __ c. 

4 

13 __ d. __ 13 

e. ___ 11 

10 12 10 

7. 6 __ , 

9 16 __ y __ 12 

24 18 . 

8. a. 6. b. 9 __ c. 

4 

25 __ d. __ 1 

e. 

28 9 

9 __ 

16 

9. Sí, porque 2 es mayor que 8 __ . 

5 

32 

f. __ 

35 

6 

f. __ 

7 

Respuestas de actividades de integración 

1. 7 

2. a. Hay infinitas, por ejemplo: 5 × 1 __ , 1 + 

4 1 __ , 2 – 

4 3 __ . 

4 

b. Hay infinitas, por ejemplo: 6 × 1 __ , 1 + 

4 2 __ , 2 – 

4 2 __ . 

4 

3. a. 60 b. 25 c. 15 d. 35 e. 150 f. 405 

4. a. 3 __ b. 2 c. 

8 2 __ d. __ 2 

25 9 

5. 80 litros. 

6. Construcción. 3 __ . 

5 

7. 2 __ × 

3 1 __ . 

4 

8. 3 __ 

5 

9. Hay infinitos. Por ejemplo: 3 __ × 

5 5 __ , 

3 156 ___ × ___ 58 

58 156 . 

10. Hay infinitos. Por ejemplo: 3 __ × 

5 10 __ , ___ 156 

× ___ 116 

3 58 156 . 

11. Hay infinitos. Por ejemplo: 5 × 1 __ 1 

, 10 × 

12 __ , __ 3 

× 

24 4 5 __ . 

9 

12. Hay infinitos. Por ejemplo: 3 : 3, 12 __ : __ 12 

, __ 3 

: 

5 5 7 3 __ . 

7 

13. Hay infinitos. Por ejemplo: 6 : 3, 24 __ : __ 12 

, __ 6 

: 

5 5 7 3 __ . 

7 

14. a. 5 b. 4 c. 28 d. 12 e. 10 f. 55 

15. a. 1 __ b. 

4 

5 __ c. 

9 

9 __ d. 

4 

1 __ 

2 

16. 22 botellas. 

17. 3 __ litro. 

4 

18. 16 2 __ baldes. 

3 

19. Sí. Queda 1 __ litro en la botella. 

4 

Capítulo 5 

20. 11 botellas. 

21. a. 47 __ cm . b. No. 

35 

22. 1 __ 

20 m. 

23. La de la izquierda, porque 1 __ es mayor que __ 1 

. 

3 4 

24. a. 2 ___ litro. b. ___ 24 

litro. c. ___ 125 

25 125 16 km. 

25. a. 3 kg; 9 __ kg. b. 

4 7 __ 

6 litros. 

26. 7 __ cm. 

2 

27. 

Frutillas (en kg) 2 __ 

6 2 __ 

3 

1 1 1 __ 

3 

Duraznos (en kg) 5 __ 

21 10 __ 

21 5 __ 

7 20 __ 

28. 

Cantidad total de café 

(en kg) 

Cantidad de café en 

cada frasco (en kg) 

29. a. 1 __ 

9 

30. a. 21 __ 

5 

31. 

b. 1 __ 

4 

25 

vueltas. b. __ 

3 vueltas. 

2 1 __ 

2 

21 25 __ 

14 

3 __ 

2 3 __ 12 7 

4 1 __ 15 

2 90 __ 

4 

1 __ 

2 1 __ 4 2 

4 1 __ 5 

2 30 __ 

4 

Latas de blanco (cada una de 1 litro) 3 8 10 15 18 

Latas de rojo (cada una de 1 litro) 9 __ 3 

8 15 __ 

4 45 __ 

8 27 __ 

4 

32. Es más oscura porque 2 __ < 

3 3 __ . 

4 

33. Mujeres: 30 __ 

6 

, varones: 

36 __ 

36 . 

34. El 5 __ está a 1,5 cm a la izquierda del __ 1 

. El 

12 2 7 __ está a 1,5 cm a la 

12 

derecha del 1 __ . 

2 

35. B = 17 __ , C = __ 26 

9 

. Cada cuadradito mide 

20 20 __ 

80 . 

36. A = 1 __ , B = __ 1 

, C = 

12 3 1 __ , D = 

2 5 __ 

1 

. Cada cuadradito mide 

12 __ 

24 . 

37. El 3 __ a 2,5 cm a la derecha del 

2 5 __ y el 1 a 2,5 cm a la izquierda 

4 

de el 5 __ . 

4 

38. a. Hay infinitos, por ejemplo: 7 __ , ___ 77 

, __ 17 

10 100 25 . 

b. Sí, hay infinitos. 

39. Hay infinitos en todos los casos. Por ejemplo: 

a. 3 __ 5 

b. 

10 

__ c. __ 5 

d. 

14 8 

49 __ 5 

e. 

60 

__ f. __ 5 

12 6 

40. 13 __ y 2 + __ 3 

. 

5 5 

41. a. > b. < c. > d. < e. < f. < 

42. Sí, es cierto, porque debería poder escribirse como fracción 

equivalente con denominador 10 y no se puede. 

43. No, no es cierto, porque 15 __ = _____ 1.875 

8 1.000 . 

51

Capítulo 6 

Planos 

y cuerpos 

Objetivo: 

Que los alumnos 

reconozcan y armen cuerpos 

geométricos, identificando 

el número de caras, aristas y 

vértices. 

NAP: 

El reconocimiento de 

cuerpos y la producción y el 

análisis de construcciones. 


Pida que resuelvan uno a uno los tres problemas y gestione 

puestas en común al finalizar cada ejercicio. Luego concluya 

que para comunicar lugares y espacios, en planos, es 

imprescindible formular acuerdos. Por ejemplo, el gráfico de la 

actividad 2 sería distinto si en lugar de poner los pisos en el eje 

horizontal se hubieran puesto en el vertical. 

1. a. Marcado. b. Marcado. 

c. Están en el mismo piso de la cochera. 

d. Están una arriba de la otra. 

2. a. 10 b. 25 c. Marcado. d. Marcado. 

e. No, porque el piso y la cochera se ubican en distintos ejes. 

3. a. Marcado. b. C6. c. C2, D2, E2, E3, E4, E5, E6, D6, C6. 

d., e. y f. Producción personal. 

Problema 4 

Proponga un debate para acordar qué características 

ayudan a identificar cada cuerpo. Más allá de las particularidades, 

registre que la diferencia entre los prismas y las pirámides es que, 

en los prismas, hay dos bases de la misma forma unidas con 

rectángulos, mientras que en las pirámides, cada vértice de la base 

se une con un mismo vértice. 

4. a. Tiene 2 caras cuadradas, las otras 4 son 

rectangulares, 8 vértices y 12 aristas. 

b. Tiene 2 caras pentagonales, las otras 5 son rectangulares, 10 

vértices y 15 aristas. 

c. Tiene 2 caras triangulares, las otras 3 son rectangulares, 6 

vértices y 9 aristas. 

52 

pag 30-31 

d. Tiene punta, 4 caras triangulares, 3 iguales y una distinta, 6 

aristas y 4 vértices. 

Problema 5 

Pida que resuelvan esta actividad de tarea. No 

presenta dificultades, por lo que pueden resolverla solos. Haga 

una puesta en común solo si lo considera necesario. 

5. 5 bolitas, 4 bombillas cortas y 4 bombillas largas. 


En la puesta en común generalice los resultados que 

deben quedar registrados: 

● La cantidad de bolitas coincide con la cantidad de vértices, y la 

cantidad de palitos, con la de aristas. 

● La cantidad de bolitas y palitos en las bases de un prisma 

coinciden, o sea que es el doble de las necesarias para una de ellas. 

● La cantidad de palitos necesarios para los laterales de un prisma 

o una pirámide coincide con la cantidad de vértices o lados que 

tiene su base. 

Pirámide de 

base cuadrada 

Prisma de 

base cuadrada 

Vértices Aristas Vértices Aristas 

4 + 1 = 5 4 × 2 = 8 4 × 2 = 8 4 × 3 = 12 

El problema 8 es una aplicación del anterior. 



6. a. 12 bolitas y 18 palitos. b. 7 bolitas y 12 palitos. 

7. Por ejemplo, que el prisma de base cuadrada tiene 

dos caras cuadradas y las otras rectangulares, mientras que la 

pirámide de base cuadrada tiene una sola cara cuadrada y las 

otras triangulares. Además, una tiene punta y la otra no. 

8. Hay que elegir 8 bombillas iguales entre sí y otras 4 bombillas 

iguales entre sí. 


En la instancia colectiva registre las conclusiones: 

● En una pirámide: 

- la cantidad de vértices es la cantidad que hay en la base más 1. Si 

la base es un pentágono, hay 5 + 1 = 6 vértices; 

- la cantidad de aristas es el doble de la cantidad de lados que tiene 

la base. Si la base es un pentágono, hay 5 × 2 = 10 aristas; 

- la cantidad de caras es igual a la cantidad de lados de la base 

más 1. 

● En un prisma: 

- la cantidad de aristas es el triple de la cantidad de lados de la base; 

- la cantidad de vértices es el doble de la cantidad de vértices de la base; 

- la cantidad de caras es la cantidad de lados de la base más 2. 

9. 3 aristas, 1 vértice y 2 caras. 

10. a. 4 caras. b. 2 vértices y 5 aristas. 

Problema 11 

Proponga que discutan sobre la veracidad de las 

afirmaciones, con sus respectivas explicaciones. Luego elijan 

una y registre, por ejemplo: 

● Un prisma siempre tiene una cantidad par de vértices, porque es 

el doble de los vértices que hay en una de las bases. 

● Una pirámide no siempre tiene una cantidad impar de vértices: si 

la base tiene una cantidad impar de vértices, la pirámide tiene una 

cantidad par de vértices, mientras que si la base tiene una cantidad 

par de vértices, en total habrá una cantidad impar. 

11. Son correctas: a y c. 


Estos problemas son una aplicación de los anteriores. 

Haga una puesta en común solo si lo cree necesario. 

12. a. 6 caras laterales. b. 10 caras laterales. 

13. a. 8 caras laterales. b. 12 caras laterales. 


Problema 15 

Los alumnos deberán explorar cuál puede ser 

cada cuerpo. Para esto, necesitan apoyarse en las 

relaciones que se han desarrollado en los problemas anteriores. 

Capítulo 6 

Por ejemplo: si un cuerpo tiene 8 vértices, 6 caras y 12 aristas, 

no puede ser una pirámide porque, en ese caso, como hay 12 

aristas, la base debe tener 6 lados; por lo tanto, el cuerpo tendrá 

7 vértices y no 8. Para analizar si es un prisma, como tiene 12 

aristas, debe tener 4 lados en la base y, por lo tanto, tendrá 

4 + 2 = 6 caras y 4 × 2 = 8 vértices. El cuerpo buscado es, 

entonces, un prisma cuya base es un cuadrilátero. 

15. a. Prisma cuya base es un cuadrilátero. 

b. Pirámide cuya base es un cuadrilátero. 

c. Prisma de base triangular. 


Discuta con los alumnos acerca de la 

resolución del problema 16. Con respecto a la parte 

a., aclare que la base de un cuerpo tiene que ser 

una figura plana, que tiene al menos 3 lados. En 

el único caso en que se obtiene un cuerpo con 4 

vértices es con una pirámide de base triangular. 

El cuerpo no podría ser un prisma, porque la 

cantidad de vértices es el doble de la cantidad de lados de la 

base. Para que sea 4, la base debería tener 2 lados, lo cual no 

constituye una figura. 

Para la actividad 17, pregunte cómo se dan cuenta de cuál es el 

prisma con la menor cantidad de vértices. Concluya que como 

la cantidad de vértices de un prisma es el doble de la cantidad de 

vértices de la base, y la base puede tener como mínimo 3 vértices, 

el prisma con la menor cantidad de vértices posibles es el prisma 

de base triangular y tiene 6 vértices. 

16. a. Producción personal. b. Sí. 

c. La pirámide de base triangular, que tiene 4 vértices. 



El objetivo de estos problemas es estudiar el 

desarrollo plano de los cuerpos. Pida que copien los 

dibujos en papel, los recorten y traten de armar los cuerpos. 

Esto permitirá analizar cuál de los desarrollos permite armar los 

cuerpos. No proponemos usar mucho tiempo en este tipo de 

trabajo, debido a que su único objetivo es usarlo para pensar 

cuál sirve. Tenga presente que, analizando el cuerpo, muchas 

veces es posible descartar algunos desarrollos sin necesidad de 

probar el armado del cuerpo. 

20. B. 

18. C. 

19. B. 


En la puesta en común del problema 21, registre 

que la cantidad de rectángulos que se necesitan para 

53

construir una pirámide coincide con la cantidad de lados que tiene 

la base. 

La actividad 22 es una aplicación de los anteriores. Pida que la 

resuelvan de tarea. 

54 

21. a. 6 rectángulos. b. 10 rectángulos. 


Problema 23 

Luego de resolver este problema, gestione una 

puesta en común y pregunte cómo se dieron 

cuenta de la cantidad de triángulos necesarios y acompañe el 

razonamiento con un dibujo. 

23. 10 triángulos. 

Problema 24 

Luego de que resuelvan este problema, pregunte 

cómo lo pensaron. Finalmente, registre una solución 

acordada: La cantidad de aristas para dibujar una pirámide es el 

doble de la cantidad de lados que tiene la base. Si la base tiene 3 

lados, se necesitan 6 aristas. 

24. 6 aristas. 


En la puesta en común registre las conclusiones más 

importantes de estos problemas: 

● Si el desarrollo plano de un cuerpo está formado por 7 rectángulos 

iguales y otras dos figuras, estas tienen que tener 7 lados. Se obtiene 

un prisma de base heptagonal. 

● Si en lugar de rectángulos se usan triángulos, entonces se arma 

una pirámide de base heptagonal. 

● Para armar el desarrollo plano de un prisma se necesitan tantos 

rectángulos como lados tiene la base. 

25. Pirámide de base heptagonal. 

26. Prisma de base heptagonal. 

27. Pirámide cuya base es una figura de 9 lados. 

28. 20. 


Pida que resuelvan los dos problemas juntos. Haga 

una breve puesta en común luego del ejercicio 29 

solo para verificar respuestas. Para la actividad 30, pregunte 

cómo hicieron para saber dónde ubicar los puntitos. 

29. A, C y J. 


Problema 31 

Pida a sus alumnos que piensen en parejas las 

afirmaciones durante 5 o 10 minutos. Luego proponga un 

intercambio y registre las conclusiones: 

● La cantidad total de vértices de una pirámide es uno más que la 

cantidad de vértices de la base. Si una pirámide tiene 6 vértices, su 

base tiene 5 y, por lo tanto, es un pentágono. Si tiene 8 vértices, su 

base es un polígono de 7 lados. 

● La cantidad de aristas de una pirámide es el doble de la cantidad 

de lados de su base y el doble de un número es siempre par. 

● La cantidad de aristas de un prisma es el triple de la cantidad de 

lados de su base. Si la base tiene una cantidad par de lados, entonces 

el prisma tiene una cantidad par de aristas; si la cantidad de lados de 

la base es impar, la cantidad de aristas también lo es. 

31. a. Es correcta, porque en una pirámide queda un 

vértice que no es vértice de la base. 

b. Falsa. La pirámide de base heptagonal tiene 8 vértices. 

c. Es correcta, porque la cantidad de aristas de una pirámide es 

el doble de la cantidad de lados de la base. 

d. Es falsa. El cubo, por ejemplo, tiene 12 aristas. 


Pida que resuelvan los problemas y luego gestione una 

puesta en común. Los ejercicios 32 y 33 no deberían 

plantear dificultades, por lo que solo haga un breve intercambio. 

Para la actividad 34, luego del debate asegúrese de que quede 

registrada la conclusión: La cantidad de varillas de igual medida 



que deben comprarse es 4 + 4 + 4 = 4 × 3 = 12 (4 para cada base 

y 4 para el lateral), o sea, 12 × 4 cm = 48 cm. Si se duplican las 

longitudes de las varillas, se necesitarán 12 × 8 cm = 96 cm, que es 

el doble de 48, debido a que se duplicó uno de los factores. 

En el problema 35, pregunte a los alumnos cómo hicieron para 

darse cuenta de la cantidad de pirámides que entran y anote la 

conclusión: Entran 6 pirámides, una apoyada sobre cada una de 

las caras. 

32. El tercer dibujo, el de color anaranjado. 

33. 

34. a. 48 cm. 

b. Sí, porque para calcular la cantidad de madera hay que 

multiplicar la medida de la arista por 12. Si se duplica la arista, la 

cuenta da el doble. 

35. 3 más. 


1. a. Producción personal. 

b. i. 18 palitos y 12 bolitas. ii. 10 palitos y 6 bolitas. 

c. Producción personal. d. Producción personal. 

2. Un pentágono. 

3. Un pentágono. 

Capítulo 6 

4. a. Falso. Una pirámide de base cuadrada tiene 5 vértices. 

b. Falso. La pirámide de base hexagonal tiene 7 vértices. 

c. Falso. La cantidad de aristas de una pirámide es el doble de 

la cantidad de lados de la base y, por lo tanto, es siempre un 

número par. 

d. Falso. La cantidad de aristas de un prisma es el triple de la 

cantidad de lados de la base. Si la figura tiene 3 lados, entonces 

tendrá 9 aristas, que es un número impar. 


6. 

Todas las caras 

son triángulos. 

Tiene todas las caras 

iguales menos una. 

Pirámide de base 

pentagonal 


triangular 

No Sí 

Sí Sí 

Tiene 6 vértices. Sí No 

Tiene una cara que 

es un cuadrado. 

7. a. 

No No 

Tiene 6 aristas. No Sí 

b. En el prisma de base rectangular: no se ven 1 vértice y 3 

aristas. En el prisma de base pentagonal: no se ven 2 vértices y 

5 aristas. La pirámide se puede completar como una pirámide 

de base triangular (con lo cual se verían todos los vértices y no 

se vería 1 arista) o de base cuadrada (no se verían 1 vértice y 3 

aristas). 

8. 

Desarrollo plano 

Cuerpo 

Prisma de base 

cuadrada 


rectangular 


triangular 


hexagonal 


rectangular 


pentagonal 

Cantidad de 

triángulos 

Cantidad de 

rectángulos 

0 6 

0 6 

2 3 

4 1 

4 1 

5 0 

55

Capítulo 7 

Los números 

racionales 

decimales 

Objetivo: 

Que los alumnos interpreten, 

registren y comparen números 

decimales, y argumenten 

sobre la equivalencia de 

distintas representaciones y 

descomposiciones. 

NAP: 

El reconocimiento y uso de 

las expresiones decimales, de 

la organización del sistema 

decimal de numeración, 

y la explicitación de sus 

características en situaciones 



El primer problema no debería traer dificultades. Observe 

que, para resolverlo, es necesario hacer un reparto. En 

la puesta en común, pregunte cómo hicieron para saber cuál es la 

cantidad que cada uno debe pagar y registre las conclusiones: 

● El resultado de repartir $15 entre 10 es menor que 15, por lo que 

se descartan $150 y $15. 

● Para repartir $15 entre 10 puede resolverse la división 15 : 10, 

cuyo resultado es 15 ___ 

10 . 

● Repartir $15 entre 10 puede pensarse como repartir primero $10 

entre 10, que es $1, y luego repartir los $5 restantes entre las 10 

personas, que son 50 centavos. Cada uno recibe $1,50 = $1,5. 

● Otra forma de saber si uno de los resultados dados es correcto 

es si sumándolo 10 veces el resultado da $15, la cantidad inicial de 

dinero. Por ejemplo: 1,5 × 10 = 15. 

56 

1. 10 botellitas. 

2. $1,5 y $ 15 __ 

10 . 

Problema 3 

En la puesta en común deben discutir varias 

cuestiones. 

● El resultado de 7: 4 es 7 __ . Las siguientes relaciones muestran por 

4 

qué algunos de los resultados son iguales: 

7 __ = 

4 4 __ + 

4 3 __ = 1 + 

4 3 __ = 1 + 

4 75 ____ = 1 + 0,75 = 1,75 = ____ 175 

100 100 

● 13 : 4 = 13 ___ = 

4 12 ___ + 

4 1 __ = 3 + 0,25 = 3,25. Por otro lado, sin necesidad 

4 

de hacer cálculos es posible decir que el resultado de la división no 

puede ser 13,4, porque 4 no entra más de 13 veces en 13. 

3. a. Todos. 

b. No, Matías y Lazlo tienen razón. 

Problemas 4, 5, 6 y 7 

Estos problemas plantean una reinversión del 

ejercicio 3, donde se buscan diferentes escrituras 

para una fracción que expresa el resultado de una división. 

Haga una puesta en común después de las actividades 4 y 5. Para 

el problema 4, pida que escriban diferentes respuestas posibles 

para 45 : 10 y para 45 : 100. Por ejemplo: 45 ___ , 4,5, etcétera. 

10 

Para el ejercicio 5, como 8 __ y 

5 16 ___ son fracciones equivalentes y 1,6 

10 

es un número decimal equivalente a ellas, las divisiones 8 : 5, 16 : 

10 o cualquier otra equivalente son respuestas posibles. 

Solicite que resuelvan los problemas 6 y 7. En la puesta en 

común, luego de debatir sobre las diferentes respuestas, registre: 

Como hay infinitos números fraccionarios equivalentes a otro, 

entonces hay infinitas divisiones de las cuales una fracción puede 

ser el resultado. 

4. a. Hay muchas posibles respuestas, por ejemplo: 

45 __ ; 4,5; ___ 450 

10 100 . 

b. Hay muchas posibles respuestas, por ejemplo: 45 ___ ; 0,45; _____ 450 

100 1.000 . 

5. 5 

6. Por ejemplo: primer número: 3, segundo número: 4, o el 

primero 75 y el segundo 100. Hay muchas posibilidades. 

7. Por ejemplo: 75 : 10; 15 : 2; 750 : 100. 



Problema 8 

Como parte de la puesta en común registre: 

● 3 : 10 = 3 ___ = 0,3 

10 

● 3 : 100 = ____ 3 

= 0,03 

100 

● 18 : 10 = 18 ___ = ___ 10 

+ ___ 8 

= 1,8 

10 10 10 

● 99 : 10 = ___ 99 

= 9,9 

10 

8. a. 0,3 b. 1,8 c. 0,03 d. 9,9 


Discuta con sus alumnos la resolución de Tatiana, en 

especial tratando de dar sentido a cada paso que desarrolla. 

Pida que resuelvan el problema y, en la puesta en común, 

proponga que cada grupo escriba una resolución. Registre la 

acordada. Por ejemplo: 

● 7 __ 

= 7 × 

5 1 __ = 7 × 

5 2 ___ = ___ 14 

= 1,4 

10 10 

9 

● 

__ = 

4 225 ____ = 2,25 

100 

__ = 

8 375 _____ = 0,375 

1.000 

12 

● 

___ = 12 × ____ 4 

= ____ 48 

= 0,48 

25 100 100 

● 3 

El ejercicio 10 es una aplicación del 9; pida que lo resuelvan 

solos y haga una puesta en común si lo considera necesario. 

9. a. 1,4 b. 2,25 c. 0,375 d. 0,48 

10. 15 __ = 0,6; ___ 1 

= 0,04; __ 4 

= 0,8; 

25 25 5 9 __ = 0,5625; __ 18 

= 4,5. 

16 4 

Problema 11 

Pida que lean el procedimiento de Ana y explique 

lo que no quede claro. Para ello, recurra a la traducción entre lo 

Capítulo 7 

coloquial y lo numérico: 6,125 son 6 enteros, 1 décimo, 2 centésimos 

y 5 milésimos, que numéricamente puede escribirse como: 

6 + 1 ___ + ____ 2 

+ _____ 5 

= _____ 6.000 

+ _____ 100 

+ _____ 20 

+ _____ 5 

= _____ 6.125 

10 100 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 

Solicite que resuelvan el problema y en la puesta en común 

registre las escrituras que llevan a expresar un número decimal 

de forma fraccionaria. 

11. a. 6.358 _____ 

1.000 

e. 75 _____ 

1.000 

102 

b. ___ 

100 

2.001 

f. _____ 

1.000 

1.101 

c. _____ 

1.000 

35 

g. __ 

10 

35 

d. __ 

10 

5.019 

h. _____ 

1.000 


El problema 11 sirve para resolver estas dos 

actividades. Si los alumnos tienen dificultades, 

solicite que relean las soluciones anteriores. 

En la puesta en común, pida que escriban cómo hacer para 

pasar una suma de fracciones decimales a expresión decimal, y 

un número decimal escrito coloquialmente, a fracción. 

12. a. 0,374 b. 5,498 c. 1,151 

d. 3,451 e. 8,123 f. 5,308 

13. a. 2,001 b. 4,301 c. 30,30 

d. 0,040 e. 10,1 f. 11,1 


Pida que resuelvan los dos problemas. En la puesta en 

común plantee las siguientes preguntas: ¿Siempre es 

posible escribir una fracción como otra equivalente que tenga por 

denominador una potencia de 10? ¿La expresión decimal de una 

fracción tiene siempre una cantidad determinada de dígitos? 

Luego de debatir sobre estas cuestiones, registre las conclusiones: 

● Si una fracción está simplificada y los únicos divisores primos 

del denominador son 2 y 5 (es decir, el denominador es el 

producto entre uno o varios 2 y/o uno o varios 5), entonces puede 

encontrarse una fracción equivalente a ella con denominador 

que sea una potencia de 10, y su expresión decimal tiene una 

cantidad determinada de dígitos. En el caso contrario, la expresión 

decimal tiene infinitos dígitos, algunos de los cuales se repiten de 

manera recurrente, periódica. Defina como número periódico al 

número fraccionario que no tiene una fracción equivalente cuyo 

denominador sea una potencia de 10. 

14. a. 125 ___ 

100 

f. 4 __ 

10 

4 

b. No c. __ 

10 

125 

d. ___ 

100 

5 

e. ___ 

10 

_____ 

1.000 

625 

. g. No h. No i. No j. 

15. En todas las que no se pudo encontrar una fracción 

equivalente con denominador 10, 100, 1.000, etcétera. 

Problema 16 

Pida que lean el problema y lo discutan durante un 

rato. Luego proponga un debate, del cual deberán surgir las 

siguientes conclusiones: 

57

Si un número fraccionario: 

● no tiene una fracción decimal equivalente, entonces tiene 

infinitas cifras decimales. 

● tiene una fracción decimal equivalente, entonces puede escribirse 

con una cantidad determinada de cifras. Por ejemplo: 2.543 _____ 

1.000 

puede escribirse como 2.000 _____ + _____ 543 

= 2 + 0,543 = 2,543. Si el 

1.000 1.000 

denominador es 1.000, es imposible obtener más de 3 cifras 

decimales, porque se trata de milésimos que se escriben con 3 

cifras después de la coma. 

58 

16. Sí, es correcto. 


Pida que resuelvan los dos problemas y proponga 

una puesta en común al final. Luego del debate, 

asegúrese de registrar las siguientes conclusiones: 

● 9 × 25 representa la cantidad total de dinero en centavos. 

● Como 25 centavos puede expresarse como $ 25 ____ o como $0,25, 

100 

el total de dinero en pesos también puede calcularse como 9 × 

$ 25 ____ o 9 × $0,25. 

100 

17. 9 × 25 ___ , 9 × 0,25 y 9 25 

100 

18. $18,75 


En la puesta en común del problema 19 pregunte 

a los alumnos por qué el método de Marcos es útil 

para multiplicar fracciones y registre que los números racionales 

pueden expresarse como fracciones o con decimales. Una forma 

de multiplicar números expresados en forma decimal es pasarlos a 

fracciones y usar los métodos conocidos para multiplicarlas. 

Para la actividad 20, pídales que expliquen por qué el cuadrado 

pintado permite encontrar el resultado del producto. Luego de 

debatir sobre la respuesta, concluya que el producto entre dos 

números positivos siempre puede pensarse como el resultado de 

un área. El cuadrado fue dividido en 100 cuadraditos, cada uno 

de los cuales representa 0,01 cm² del grande. La zona sombreada 

ocupa 32 de ellos, por lo cual es: 32 × 0,01 cm² = 0,32 cm² = 32 ____ 

100 cm². 

19. a. Lectura. 

b. 1,45 = 1 + 4 __ + ___ 5 

= + ___ 100 

+ ___ 40 

+ ___ 5 

10 100 100 100 100 

c. Sí, porque 3,2 = 3 + 2 __ = __ 30 2 

+ 

10 10 __ = __ 32 

10 10 . 

d. 145 × 32 = 4.640 y 100 × 10 = 1.000 

e. 4.640 _____ = _____ 4.000 

+ _____ 600 

+ _____ 40 6 

= 4 + 

1.000 1.000 1.000 1.000 __ + ___ 4 

10 100 

f. 8,1 × 3,21 = 81 __ × ___ 321 

= _____ 26.001 

= 26,001 

10 100 1.000 

20. 32 ___ cm² y 0,32 cm² 

100 

145 

= ___ 

100 

Problema 21 

Explique por qué el procedimiento de Matías es 

correcto, basándose en el siguiente razonamiento: 

Si se quiere hallar el resultado de 3,12 × 2,4, puede intentarse 

primero multiplicar por potencias convenientes de 10, de modo de 

eliminar los decimales. Por ejemplo: 

3,12 ×100 × 2,4 × 10 = 312 × 24, y este resultado es a su vez igual a 

3,12 × 2,4 × 1.000. O sea que, si se quiere saber cuánto es 3,12 × 2,4, 

hay que dividir el resultado de 312 × 24 por 1.000. 

Este método consiste en intentar multiplicar por números naturales, 

para lo cual primero hay que multiplicar por potencias convenientes 

de 10. Como esto altera el resultado, después hay que dividir por los 

números por los que se multiplicó. 

Pida que resuelvan los cálculos propuestos y escriba en el 

pizarrón cada paso. 

21. a. Para que queden números naturales. 

b. Sí, porque también quedaría una cuenta entre 

números naturales. 

c. No, porque la cuenta seguiría teniendo números decimales. 

d. Porque multiplica la cuenta por 1.000 (100 × 10). 

e. 10.000.000 (10.000 × 1.000) 

f. i. 6,825 ii. 2,115 iii. 0,0484 

Problema 22 

Después de que resuelvan el problema, pida a los 

alumnos que analicen los resultados que obtuvieron. 



No solo están formados por los mismos dígitos, sino que la 

coma se “corrió” un lugar hacia la izquierda. Es probable que 

usted tenga que explicar por qué pasa esto: 

Multiplicar un número por 0,1 es lo mismo que multiplicarlo por 1 ___ 

10 

y que dividirlo por 10. Por eso, los resultados que se obtienen son la 

décima parte de cada número. 

Multiplicar por 0,01 es lo mismo que hacerlo por 1 ____ y que calcular 

100 

la centésima parte de un número. 

22. a. 0,8; 4,5; 20,4; 3,35; 9,99; 10,43. 

b. Porque se multiplica por un número menor que 1. 

Multiplicar por 0, 1 = 1 __ es tomar la décima parte. 

10 

c. La cifra que ocupaba el lugar de los enteros pasará a ocupar la 

de los centésimos; la que ocupaba el lugar de los décimos, pasará 

al de los milésimos, etc. El primero, por ejemplo, va a dar 0,08. 


Revise con sus alumnos que 1 cm puede escribirse 

como 1 ____ m o 0,01 m. Luego solicite que resuelvan 

100 

estos dos problemas y concluya: 

● Si se tiene una medida en centímetros y se la quiere expresar en 

metros, hay que dividirla por 100. 

● Si una medida está expresada en metros y se la multiplica por 

100, queda expresada en centímetros. 

23. 1 cm, 0,01 m y 1 ___ 

100 m. 

24. 

Centímetros 10 25 100 150 250 450 975 

Metros 0,1 0,25 1 1,5 2,5 4,5 9,75 


En estos problemas se pide que hagan los cálculos 

mentales a partir de uno dado. Recurra al lenguaje 

coloquial para que los alumnos tengan registro de las razones a 

las que se deben los resultados. Por ejemplo: 

● De la igualdad 4,5 × 10 = 45 puede “leerse” que 4,5 entra 10 veces en 

45 o que 10 entra 4,5 veces en 45. Luego, 45 : 4,5 = 10, y 45 : 10 = 4,5. 

● Como 0,385 × 100 = 38,5, entonces 38,5 : 100 = 0,385, y 

38,5 : 0,385 = 100. 

● Una forma rápida de dividir un número por 10 es corriendo la 

coma un lugar para la izquierda; mientras que, si se lo multiplica 

por 10, la coma se corre un lugar hacia la derecha. 

● Si se divide o multiplica por 100, la coma se corre 2 lugares hacia 

la izquierda o hacia la derecha, respectivamente. 

Este tipo de cálculos mentales deben estar disponibles para que 

sea más sencillo realizar otros. 

25. a. 4,5 b. 10 

26. a. 0,385 b. 100 

27. a. 4,58 b. 0,458 

Capítulo 7 

Problema 28 

Proponga discutir entre todos cómo hacer para 

encontrar divisiones que den 2,4. Concluya que a partir de 

24 : 10 = 2,4 y teniendo en cuenta que 24 : 10 = 24 ___ , cualquier 

10 

fracción equivalente a 24 ___ define una división cuyo resultado es 2,4. 

10 

Por ejemplo: 48 : 20; 72 : 30, etcétera. 

28. Es cierto lo que dice Tatiana. Por ejemplo, 48 : 20 

y 240 : 100. 

Problema 29 

En la puesta en común, concluya que las fracciones 

equivalentes pueden obtenerse multiplicando el 

numerador y el denominador por el mismo número; por lo tanto, 

si se quiere hallar el resultado de una división y se multiplican el 

dividendo y el divisor por un mismo número, el cociente no cambia. 

Por ejemplo, 11,9 : 2,8 = (11,9 × 10) : (2,8 × 10) = 119 : 28, y de esta 

manera se logra resolver una división entre decimales como una 

división entre números enteros. 

29. Por ejemplo: a. 119 : 28 y 1.190 : 280 

b. 1.002 : 15 y 10.020 : 150 c. 25 : 160 y 250 : 1.600 

Problema 30 

Pida que lean el problema y lo piensen durante un 

rato. Luego, base su exposición en lo siguiente: 

● 3,375 : 2,25 = (3,375 × 100) : ( 2,25 × 100) = 337,5 : 225 

● 225 × 15 = 225 × 10 + 225 × 5 = 2.250 + 1.125. Este cálculo nunca 

puede dar como resultado un número decimal; por lo tanto, 15 no 

puede ser el cociente de la división. 

● Otra forma de razonar es: como 225 × 10 = 2.250 y 2.250 es 

mayor que 337,5, el cociente de la división tiene que ser menor que 

10, y en este caso es 15. 

30. No está bien. El resultado final es 1,5 y no 15. 

Problema 31 

Pida que lean lo que hizo Gustavo para resolver la 

cuenta y que escriban los pasos en la carpeta. Luego, 

solicite que comenten lo que escribieron para armar un texto 

consensuado. Por ejemplo: Gustavo multiplica el numerador y el 

denominador por 100 porque la cuenta no cambia el resultado, y la 

transforma en una división de números naturales. Los 175 enteros 

que le sobran los escribe como décimos, 1.750 décimos, y se fija 

cuántos décimos tiene la división. 

Pida luego que respondan a las preguntas. 

31. a. Porque no cambia el resultado de la división y 

transforma la cuenta en una división de números 

naturales. 

59

. Sí, porque lograría el mismo objetivo. 

c. No, porque seguiría teniendo una cuenta con decimales. 

d. Porque los convierte en décimos. 

e. Porque quiere saber cuántos décimos tiene el cociente. 

f. Suma enteros y décimos. 


Antes de que resuelvan estos problemas, recuérdeles 

que es necesario que expliciten los pasos realizados 

para llegar al resultado. Si bien pueden hacer directamente 

la cuenta que se les pide, tienen que aclarar cómo lo hacen. 

De esta manera, la lectura posterior les permitirá reconstruir 

el razonamiento. Registre algunos de ellos en el pizarrón. Por 

ejemplo: 

● 1,5 + 1 __ + 

4 1 __ = 

2 3 __ + 

2 1 __ + 

4 1 __ = 2 + 

2 1 __ = 

4 9 __ 

4 

● 1 __ + 

4 5 __ + 2,75 = 0,25 + 1,25 + 2,75 = 1,25 + 3 = 4,25 

4 

● 3 enteros, 1 décimo es 3,1 o 3,100, y como 3,075 + 0,025 = 3,1, 

entonces a 3,075 le falta 0,025 para llegar a 3,1. 

Para el problema 34, pregunte cómo puede estimarse el 

resultado de cada cálculo sin necesidad de hacerlo, y registre 

una explicación para uno. 

60 

32. a. 9 __ = 2,25 b. __ 19 

= 3,8 

4 5 

c. 469 ___ = 23,45 d. __ 17 

= 4,25 

20 4 

33. a. 0,05 b. 0,095 c. 0,925 d. 0,025 

34. a. 0,18 b. 3,01 c. 3,5 d. 100 


Solicite que lean el método de Lazlo e intenten 

explicarlo. Registre: 

12 × 1,5 = 12 × 1 + 12 × 0,5 = 12 + 6 

La mitad de 12 

Luego, pida que resuelvan los tres ítems del problema 35. 

Señale que el cálculo c. puede resolverse como 4,5 × 20 = 

4 × 20 + 0,5 × 20, pero en este caso resulta más simple hallar el 

resultado a través de 4,5 × 20 = 4,5 × 2 × 10 = 9 × 10 = 90. 

Luego de que resuelvan la actividad 36, haga una puesta en 

común y pregunte cómo se multiplica y divide por 0,1. Registre: 

● Multiplicar por 0,1 es calcular la décima parte de un número y se 

puede hacer “corriendo la coma” un lugar hacia la izquierda. 

● Dividir por 0,1 es buscar la cantidad de veces que 0,1 entra en 

un número y es 10 veces el número. Puede decirse, entonces, que 

dividir por 0,1 es lo mismo que multiplicar por 10. 

35. a. 63 b. 45 c. 90 

36. a. i. 4,2 ii. 340 iii. 80 



Pida que resuelvan los dos problemas. Insista en que 

no pueden hacer cuentas. En la puesta en común 

registre las conclusiones: 

● Si a un número se lo multiplica por otro mayor que 1, el resultado 

es mayor que el primer número. 

● Si a un número se lo multiplica por otro menor que 1, el resultado 

es menor que el primer número. 

37. Hay infinitas respuestas posibles: todos los 

números mayores que 1. 

38. Hay infinitas respuestas posibles: todos los números 

menores que 1. 


Estos dos problemas muestran si un alumno ha 

logrado entender de qué se trata realmente el 

cálculo mental. Para que funcionen como un punto de apoyo 

para pensar otros problemas, es conveniente registrar las 

explicaciones en detalle. 

Pida que resuelvan el problema 39 y sugiera que se apoyen 

en las explicaciones dadas por Juan. En la instancia colectiva, 

acuerden explicaciones y anótenlas. Por ejemplo: 

● 12 × 0,5 es la mitad de 12, o sea, 6. 

● 24 × 0,5 es el doble de 12 × 0,5; entonces, 12. 

● 48 × 0,25 = 24 × 2 × 0,25 = 24 × 0,5 = 12. 

● 80 × 0,75 = 80 × 3 __ , que puede calcularse como la cuarta parte de 

4 

de 80, y luego multiplicar el resultado por 3, o sea, 20 × 3 = 30. 

● 12 : 0,5 es la cantidad de veces que 0,5 entra en 12. Como 0,5 entra 

2 veces en 1, entonces en 12 entra 24 veces. Luego, 12 : 0,5 = 24. Si se 

divide por 0,5, se duplica el dividendo. 

● Como 4 × 0,25 = 1; 0,25 entra 4 × 48 =192 veces en 48, lo 

que significa que 48 : 0,25 = 192. Cuando se divide por 0,25, se 

cuadruplica el dividendo. 

● 64 : 0,5 = 64 × 2 =128 

● 80 : 0,25 = 80 × 4 = 320 

● Como 0,75 es el triple de 0,25, entonces el resultado de 80 : 0,75 

es la tercera parte de 80 : 0,25 = 320, que es 320 : 3 = 320 ____ 

3 . 

En la puesta en común del problema 40 insista en las explicaciones 

y registre aquellas que considere importantes. Por ejemplo: 

● 0,4 × 7 = 0,1× 4 × 7 = 0,1 × 28 = 2,8 

● 3 × 0,8 = 3 × 8 × 0,1 = 24 × 0,1 = 2,4 

● 4,5 × 3 = 4 × 3 + 0,5 × 3 = 12 + 1,5 =13,5 

● 1,9 × 2 = 2 × 2 – 0,1 × 2 = 4 – 0,2 = 3,8 

● 8,45 : 10 = 8,45 × 0,1 = 0,845 

● 3,75 : 10 = 0,375 

● 17,34 : 0,1 = 17,34 × 10 = 173,4 

● 93,25 × 0,1 = 93,25 × 1 ___ = 9,325 

10 

39. a. 6 b. 12 c. 12 d. 24 e. 192 f. 320 

40. a. 2,8 b. 2,4 c. 13,5 d. 3,8 

e. 0,845 f. 0,375 g. 173,4 h. 932,5 




Pida que resuelvan los tres problemas juntos. 

Salvo que lo considere necesario, haga una puesta 

en común al finalizar. En todos los casos, céntrese en las 

explicaciones que tienen que quedar registradas. Por ejemplo: 

● Si se conoce el resultado de un producto y uno de los factores 

se multiplica o divide por un número diferente de 0, entonces el 

resultado se multiplica o divide por ese mismo número. Por ejemplo: 

32 × 24,5 = 3,2 × 24,5 × 10 = 78,4 × 10 = 784. 

● Para hacer un cálculo de manera aproximada hay que elegir cuál 

de los números conviene cambiar por otro cercano, de manera de 

obtener un cálculo más simple y tener una idea del resultado. Por 

ejemplo, 1,002 × 3,75 puede aproximarse a través de 1× 3,75 = 3,75. 

● El resultado de un producto puede ser menor, mayor o igual que 

uno de los factores. Todo depende de que el otro factor sea menor, 

mayor o igual que 1. En el primer caso, el producto es menor que el 

factor, mientras que en el segundo caso es mayor que él. 

● Como 0,89 × 36,25 = 0,89 × 36 + 0,89 × 0,25; 0,89 × 36 es menor 

que 0,9 × 36 = 36 – 0,1 × 36 = 36 – 3,6 = 32,4, y 0,89 × 0,25 es menor 

que 0,9 × 0,25 = 0,25 – 0,25 × 0,1 = 0,25 – 0,025 = 0,225, entonces 

0,89 × 36,25 es menor que 32,4 + 0,225, que es menor que 36. 

41. a. 784 b. 7,84 c. 7,84 

d. 7,84 e. 78,4 f. 784 

42. a. 3,75 b. 7.800 c. 4.750 

d. 300 e. 4,732 f. 1 

43. Son correctas a. y b. 

Capítulo 7 


Aclare las dudas y haga una puesta en común solo en 

caso de que lo considere necesario. 


45. a. No, mide 58 mm. b. Producción personal. 


Las expresiones decimales encuentran un uso en 

las unidades de medida, que es el objetivo de estos 

problemas. Después de que intenten resolver las tres actividades, 

proponga un momento de discusión y registre, por ejemplo: 

● 1 mm = 1 _____ m = 0,001 m y 1.000 mm = 1 m 

1.000 

● 1 cm = 1 ____ m = 0,01 m y 100 cm = 1 m 

100 

● 1 m + 3 cm + 4 mm = 1 m + 0,03 m + 0,004 m = 1,034 m 

● 2,5 m es 2 metros más medio metro y 5 mm no es medio metro sino 5 

milésimos de metro. Otra forma de analizarlo es: 

2 m + 5 mm = 2 m + 0,005 mm = 2,005 m, que no es lo mismo que 2,5 m. 

46. a. 55 ___ m 

100 

5 

b. _____ m 

1.000 

55 

c. _____ 

1.000 m 

d. 505 ___ m 

100 

5.005 

e. _____ 

1.000 m 

47. A la primera. 

48. a. 1,034 m b. No, es de 2,005 m. 


Luego de que resuelvan los dos problemas, 

proponga un debate sobre las diferentes respuestas 

y sus razones. Registre: 

● 4,15 m = 4 m + 1 ___ m + ____ 5 

m = 4 m + ____ 15 

10 100 100 m 

● Como la hoja tiene 21 cm = 0,21 m de ancho, los segmentos 

que pueden dibujarse tienen que tener una medida menor. Ellos 

medirán: 0,21 m, 125 _____ m y 0,135 m. 

1.000 

49. Las dos primeras. 

50. 125 _____ m y 0,135 m. 

1.000 


Estos problemas permiten profundizar las relaciones 

entre las unidades de medida y, al mismo tiempo, las 

relaciones entre números decimales y fraccionarios. 

Proponga debates cuando así lo considere y, al terminar todos 

los problemas, pregunte qué les parece que habría que dejar 

escrito como conclusión. Por ejemplo: 

● Para pasar de kilos a gramos hay que multiplicar por 1.000, 

mientras que para pasar de gramos a kilos hay que dividir por 1.000. 

● 1 gramo es 1 milésimo de kilogramo, 10 gramos son 1 centésimo 

de kilogramo y 100 gramos son 1 décimo de kilogramo. 

● Si el robot tiene que recorrer 4,5 m = 450 cm haciendo pasos de 30 

cm cada uno, deberá dar 450 : 30 = 15 pasos. 

61

62 

51. 

Kilogramos 0,01 0,1 1 1,05 1,1 2,5 0,0045 

Gramos 10 100 1.000 1.050 1.100 2.500 4,5 

52. 3.400 pesas. 

53. 10 g 

54. 3,25 g 

55. 3,1 kg y 2,5 kg. 

56. 15 pasos. 


Pregunte, en la instancia colectiva, qué relaciones 

usaron para resolver cada uno de los problemas. 

Registre, por ejemplo: 

● Si se conoce el precio de 3 paquetes de figuritas, el precio de 

9 paquetes es el triple y el precio de 1 paquete es la tercera parte. 

● En una tabla de proporcionalidad directa, si se conoce el 

precio de 1 kg de papas, para calcular el precio de venta, hay que 

multiplicar ese valor por la cantidad de kilos que se vendan. 

57. 9 paquetes cuestan $15,75, y 10 paquetes 

cuestan $17,5. 

58. $6,3 

59. 

Cantidad de 

papas (en kg) 

1 2 3 5 5,5 6 6,5 7 

Precio (en $) 2,5 5 7,5 12,5 13,75 15 16,25 17,5 


Resuelva estos problemas en interacción con sus 

alumnos. Base su explicación en: 

● como 5 litros = 20 ___ litros = 20 × 

4 1 __ litros, entonces para obtener 

4 

5 litros de jugo se necesitan 20 kilos de naranjas. 

● 8,5 litros = 8 + 1 __ litros = 

2 34 ___ litros, por lo que son necesarios 

4 

34 kilos de naranjas para tener 8,5 litros de jugo. 

Para la actividad 61, la única manera de comparar los precios es 

para una misma cantidad de queso. Por ejemplo: 

1.500 g = 6 × 250 g y 1.500 g = 5 × 300 g; luego, para calcular el 

precio de 1.500 g en cada caso basta con multiplicar por 6 y 5, 

respectivamente, los precios de cada negocio. El precio de 1.500 g en 

el supermercado Sur es 6 × $3,50 = $21, y el precio en Gigante es 

5 × $4,50 = $22,50, por lo que conviene comprar en el primer negocio. 

Es importante tener en cuenta que, si bien este problema es de 

proporcionalidad, la respuesta está vinculada a la constante de 


60. Para 5 litros se necesitan 20 kg, para 8,5 litros se 

necesitan 34 kg. 

61. En el supermercado Sur. 


Estos problemas aplican los conceptos relacionados 

con la proporcionalidad, como los anteriores. Pueden resolverse 

como tarea o en la clase, con una breve puesta en común. 

62. $31,50 

63. 7,5 kg de fruta. 

64. $42 

65. 197 km 


Los tres problemas son aplicaciones de la 

proporcionalidad directa. Si lo considera necesario, 

gestione una breve puesta en común para intercambiar formas 

de encontrar los resultados. 

Tela (en 

metros) 

66. 

2,5 5 12,5 15 17,5 20 21,5 

Precio (en $) 8,25 16,5 41,25 49,5 57,75 66 70,95 

67. 157,165 calorías. 



68. 

Litros de nafta que 

se utilizan 

Kilómetros que se 

recorren 

0,1 0,2 0,6 0,8 1,2 0,16 

0,75 1,5 4,5 6 9 1,2 


Luego de que resuelvan el primer problema, lea 

junto con ellos el lateral. 

Pida luego que resuelvan los otros y, cuando terminen, proponga 

un intercambio. Pregunte qué les parece que tendría que quedar 

anotado para estudiar. No debería faltar: 

● En el problema 70, la distancia entre 0,8 y 1 es 0,2. La mitad de 

esa distancia es 0,1, lo cual permite marcar cualquier número con 

un dígito después de la coma. 

● Cuando los datos están expresados en fracciones y decimales, 

conviene elegir una única forma de escribirlos a todos. 

● Una forma de representar, en una misma recta, números 

decimales con 1 dígito después de la coma y con 2 dígitos después 

de la coma que terminan en 5, es con una escala de a 0,05. 

70. 

71. 

72. 

73. 

69. 

0,2 

0 0,5 1 1,5 2 

2 cm 2 cm 

0 1 

__ 

10 

0,8 1 1,8 2 

1 cm 

2,5 cm 


Para poder determinar qué número representa cada 

letra, es necesario tener en cuenta las distancias entre los datos. 

Por ejemplo, conociendo la distancia entre 0 y 1, cualquier otra 

distancia puede representarse de manera proporcional a ella. 

Como en la recta a. la distancia entre 0 y 1 es de 10 cm, y A se 

encuentra a 1 cm del 0, entonces A representa el número 0,1. 

La dificultad que plantea el problema 75 es la elección de una 

escala apropiada que permita representar todos los números 

decimales dados. Plantee varias posibilidades y elijan una 

adecuada, teniendo en cuenta que no hay una única posibilidad. 

74. a. A = 0,1; B = 0,35. b. A = 2,5; B = 3,2. 

c. A = 3,45; B = 3,475. 


0,2 

1 cm 

1 __ 

5 4 __ 

5 0,9 

0 0,2 0,5 0,75 1 1,1 

2 cm 

2,5 cm 1 cm 

5 cm 

Capítulo 7 

Problema 76 

Proponga una discusión sobre este problema. 

Recuerde que, cuanto mayor es un número, más a la 

derecha está ubicado en la recta numérica. No es difícil saber 

que 7,6 está a la derecha de 7,5 y que 8,25 está a la derecha de 

7,6; luego, 7,6 está más cerca de 7,5 que 8,25. 

76. 7,6 


Para estos problemas es necesario desplegar estrategias 

para comparar números expresados como fracciones o 

decimales. Luego de que hayan resuelto cada uno, proponga una 

puesta en común con la consigna de escribir conclusiones que 

sirvan para ordenar números racionales. Por ejemplo: 

● Es más simple ordenar números decimales que fracciones si 

tienen denominadores diferentes. 

● No siempre los números “más largos” son los más grandes. Por 

ejemplo, 39,1 se escribe con menos dígitos que 39,01 pero 39,1 

> 39,01. Para compararlos, como tienen la misma parte entera, 

alcanza con comparar su parte decimal: como 0,1 = 1 ___ y 0,01 = ____ 1 

10 100 , 

entonces 0,1 > 0,01. 

● Los “0” que aparecen al final de un número decimal pueden 

sacarse sin que el número cambie. Por ejemplo: 

6,300 = 6 + 300 _____ = 6 + ___ 3 

= 6 + 0,3 = 6,3 

1.000 10 

77. 825 _____ ; 8,1; 8,150; 8,25; __ 85 

1.000 10 . 

78. a. = b. > c. > d. < 

79. Por ejemplo: a. 1,3 

80. 6,25; 6,5; 6,61; 7,2; 8. 

b. 20 c. 0,4 d. 0,43 

81. 305 ___ ; 3,07; 3,28; 3,295; 3,4; __ 35 

; 3,7; __ 39 

; 3,92; ____ 395 

100 10 10 100 . 

Problema 82 

Pida que resuelvan el problema pensando en las 

razones de sus decisiones, para compartir en la puesta 

en común. Durante el intercambio, registre los razonamientos: 

● 0,25 > 0,099, porque 0,25 tiene 2 décimos y 0,099 tiene menos de 

1 décimo. 

● 3,21 = 3 + 2 ___ + ____ 1 

; 3,211 = 3 + ___ 2 

+ ____ 1 

+ _____ 1 

y 3,3 = 3 + ___ 3 

10 100 10 100 1.000 10 

3,3 es el mayor de los tres números porque tiene 3 décimos, 

mientras que los demás tienen 2 décimos. Entre 3,21 y 3,211, 

ambos tienen 2 décimos y 1 centésimo, pero 3,211 tiene 1 milésimo 

más que 3,21. Entonces, el orden correcto es 3,21 < 3,211 < 3,300. 

82. Es verdadera la b.. 

63


El objetivo de estos problemas es que construyan la 

idea de densidad, es decir, que entre dos números 

racionales siempre se puede encontrar otro. Una consecuencia de 

esta propiedad es que, en el conjunto de los números racionales, 

no existe el siguiente de un número. Recuerde que los números 

racionales son todos los que pueden escribirse como una fracción 

o un decimal con una cantidad de cifras finita o infinita y periódica 

después de la coma, y que esto incluye los números enteros. 

Pida que resuelvan el problema 83. Es probable que los 

alumnos digan que no hay números entre 4,8 y 4,9. Sugiera 

que revisen los problemas de la página 54 y que escriban los 

números como fracciones. Por ejemplo: 4,8 = 48 __ = ___ 480 

10 100 y 

4,9 = 49 __ = ___ 490 

. Entre ellos está ___ 481 

, ___ 482 

, etcétera. 

10 100 100 100 

Pregunte qué pasaría si el denominador fuera 1.000. 

Como parte de la puesta en común del ejercicio 84 proponga 

un debate sobre los dichos de Juan y Lazlo. En caso de ser 

necesario, diga números que invaliden los razonamientos de 

ambos. Por ejemplo, 2,501 y 2,50254 están entre 2,5 y 2,6 y no 

es posible encontrar el siguiente de 2,5. 

Luego de que resuelvan el problema 85, concluya que: 

● Si se divide el intervalo que va de 3,4 a 3,5 en 10 partes iguales, 

cada una mide 0,01 (la décima parte de la distancia entre 3,4 y 3,5). 

Esto permite representar los números con dos cifras decimales del 

3,41 al 3,49. 

● Para ubicar el número 3,401 se necesitan 3 decimales, con lo que 

hay que tomar el intervalo entre 3,4 y 3,41 y dividirlo en 10 partes 

iguales. Cada una mide la décima parte de 0,01, o sea 0,001. La 

primera marca después de 3,4 es, entonces, 3,401. 

Finalmente, pida que resulevan los otros problemas, que 

permiten reinvertir lo hecho. 

85. a. 

64 

83. Infinitos números. Por ejemplo, 4,81 o 4,8375. 

84. Ninguno, no hay siguiente. 

3,4 3,41 3,5 

1 cm 

b. Sí, por ejemplo 3,4001. Hay infinitos números posibles. 

86. a. Por ejemplo, 9,91. b. Hay infinitos. 

87. Por ejemplo: 32,51; 32,52; 32,513 y 32,54102. Hay infinitos 

números. 

88. a. 3,3 b. 2 c. 0 d. 12 e. 7,1 f. 78 


El objetivo del uso de la calculadora es hacer cálculos en problemas 

donde hay que reflexionar, para lo que muchas veces es necesario 

ensayar con varios cálculos. La calculadora no se usa para hacer 

cuentas, sino para ensayar cálculos y, de esa manera, tener 

numerosos ejemplos sobre los cuales sacar conclusiones. 

Para que el uso de esta herramienta sea productivo, es 

fundamental que los cálculos y sus resultados se registren, 

además de la reflexión que provoquen y la conclusión final. 

Por ejemplo, el problema 15 requiere hacer cálculos que no 

entran en el visor de la calculadora, por lo que es necesario que 

los alumnos busquen formas de desarmar los números. 

Pida que resuelvan la actividad, y en la puesta en común solicite 

que cuenten cómo usaron la calculadora para encontrar los 

resultados de cada uno de los cálculos. Registre algunas de las 

estrategias en el pizarrón. Por ejemplo: 

● 29.459,0125 + 2.345,08762 = 29.459 + 2.345 + 0,0125 + 0,08762 

= 31.804 + 0,10012 = 31.804,10012. Es decir, en la calculadora se 

realizaron 29.459 + 2.345 por un lado y 0,0125 + 0,08762 por el 

otro. La última operación no requiere el uso de la calculadora. 

● Observe que el ítem b. no da un número positivo. Si lo realiza en 

la calculadora que está en la computadora obtendrá un número 

negativo. Pregunte por qué consideran que esto ocurre y cuándo 

usarían números negativos. Tenga presente que hay números 

negativos que ellos ya conocen, como los de la línea de tiempo. 

● 9.908,04 × 97.804,95 = 97.804,95 × 9.000 + 97.804,95 × 900 + 

97.804,95 × 8 + 97.804,95 × 0,04 = 97.804,95 × 9 × 1.000 + 97.804,95 

× 9 × 100 + 97.804,95 × 8 + 97.804,95 × 4 : 100. Observe que las 

cuentas que se hacen con la calculadora son las de multiplicar por 9, 8 

o 4 que sí entran; las demás son sencillas de realizar a mano. 

1. 0,2 = 0,1 + 0,1; 0,03 = 0,01 + 0,01 + 0,01; 

0.004 = 0,001 + 0,001 + 0,001 + 0,001; 1,25 = 1 + 0,1 + 

0,1 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01. 

2. 3,456 × 10 = 34,56; 34,56 : 100 = 0,3456; 0,3456 × 10.000 = 3.456. 

3. 1,25 × 10 = 12,5; 12,5 – 0,5 = 12; 12 + 0,40 = 12,40. 

4. 250 

5. 0,0056 

6. a. 50 b. 6,25 c. 25 d. 3,125 e. 12,5 f. 1,5625 

7. a. 1 __ b. 

2 1 __ c. 

4 1 __ d. 

8 1 __ 

16 

3 

e. __ 

16 

15 

f. __ 

16 

8. a. Por ejemplo, 1 : 10. b. Infinitos. 

c. Sí, las fracciones son equivalentes. 

9. Hay infinitos cálculos posibles. Por ejemplo: 1 : 100 = 0,01; 

1 : 1.000 = 0,001; 1 : 2 = 0,5. 

10. 2,375; 2,275; 2,175; 2,075; 1,975; etcétera. 

11. 30 veces. Llega a 0,05. 

12. 6,75; 7,75; 6,25. 


14. a. Por ejemplo: 10.000. b. Por ejemplo: 2,00001. 

c. Depende de la cantidad de dígitos de la calculadora, pero es 

un número que empieza con 0,000111 y tiene tantos unos a la 

derecha como para completar el visor. 

15. a. 0,10012 + 31.804 b. 12.445 + 2,4769 

c. 969055356,8 d. 429.147.530,2 

16. 9 veces. 

17. Ninguna. 

18. a. Sumar 0,01 o 0,02, por ejemplo. 

b. Sumar 0,1 hasta 3 veces, o restar 0,1 hasta 6 veces. 

c. Sumar 0,001. 

19. : 10 

20. × 10 




1. Hay infinitos. Por ejemplo, 8 : 10. 

2. 25 __ y 2,5. 

10 

3. 25 : 10 o 3 : 4, etcétera. Hay muchas posibilidades. 

4. a. 0,9 b. 0,47 c. 1,7 d. 0,015 

5. a. i. 35 : 10 

b. Sí. 

ii. 175 : 100 iii. 205 : 100 

c. Son fracciones equivalentes. 

6. a. 92 __ 

10 

d. 

125 

b. ___ 

100 

1.025 

c. _____ 

1.000 

75 ___ 

100 

38 

e. __ 

10 

5.003 

f. _____ 

1.000 

7. a. 0,804 b. 5,901 c. 0,403 

8. a. 0,03 b. 0,7 c. 0,025 

d. 0,21 e. 0,009 f. 80,5 

9. Las expresiones b., c. y d.. 

10. Por ejemplo: 3.225 _____ ; 3 + ____ 225 2 

; 32 + 

100 100 __ + ___ 5 

10 100 . 

11. a. 9,831 

12. 35,125 

b. 1,109 c. 4,114 d. 1,782 

13. a. 8 enteros, 3 décimos y 1 milésimo. 

b. 12 enteros, 402 milésimos. 

c. 25 milésimos. 

d. 7 décimos, 5 centésimos. 

e. 4 enteros, 3 décimos y 2 centésimos. 

f. 53 enteros, 106 milésimos. 

14. 0,045. 

15. a., b., d., g., i.. 

16. c., e., f. y h.. 

17. a. 4 ___ 

25 

4 

b. ___ 

100 

4 

c. __ 

50 

Capítulo 7 

4 

d. ___ 

125 

18. Infinitas soluciones. Por ejemplo, 4,5 × 0,83. 

19. a. 6 × 2; 3 × 4; 12 × 1. 

b. Por ejemplo, las respuestas de a. y 1 __ × 12; __ 5 

× 

12 4 48 __ , etcétera. 

15 

Hay infinitas soluciones. 

c. Por ejemplo, 2,5 × 4,8. Hay infinitas soluciones. 

20. 627,5 km; 1.004 km. 

21. a. $10,2 b. $25,5 c. 2,5 kg 

22. $0,85 

23. Hay que comprar 10 botellas. 

24. $82,60 

25. a. 56,25 b. 93,75 

26. 

Gramos 5 200 250 600 1.500 3.250 

Kilogramos 0,005 0,2 0,25 0,6 1,5 3,25 

27. 3 centésimos. 

28. 8 milésimos. 

29. a. 12,8 b. 8,4 c. 1,24 

d. 0,05 e. 2,84 f. 10 

30. a. 120 b. 440 c. 1.080 

d. 37,5 

31. El a.. 

32. 120,5 

e. 36.800 f. 5,48 

33. a. 4,8 b. 19,2 c. 28,8 

d. 0,24 e. 0,024 f. 0,024 

34. a. 27,2 b. 54,4 c. 27,2 

d. 13,6 e. 108,8 f. 54,4 

35. a. 34,25 b. 40 c. 100 d. 4 e. 6 f. 26 

36. Las cuentas b. y d.. 

37. a. 200 b. 4.000 c. 40 d. 6.000 e. 8 f. 1.500 

38. a. < b. < c. > d. < 

39. a. 10,15 m = 10 + 1 __ + ___ 5 

10 100 

4 

b. 1 + __ 

c. 1 + 

+ ____ 5 

10 100 

5 ___ 

1 

d. 

100 

__ + ___ 5 

10 100 

40. 4,023 m. 

41. Los números b. y c.. 

42. Hay infinitas posibilidades. Por ejemplo: 4 + 75 ___ 

100 . 

43. En el supermercado Noche. 

44. 

Cantidad de 

personas 

10 8 5 6 2 4 

Leche necesaria 

(en litros) 

45. $24 

0,625 0,5 0,3125 0,375 0,125 0,25 

46. a. A = 7,45; B = 7,48. b. A = 6,6; B = 6,75. 

47. 4 __ o 0,8. 

5 

48. 3,105; 3 + 1 __ + ____ 34 

8 

= 3,44; 3,75; 3 + 

10 100 __ + ____ 3 

= 3,83; 3,9. 

10 100 

49. 9,75 

65

Capítulo 8 

Relaciones de 

proporcionalidad 

directa 

Objetivos: 


● Expliciten las características 

de las relaciones de 

proporcionalidad directa. 

● Analicen relaciones 

proporcionales entre variables. 

NAP: 

El reconocimiento y uso 

de las operaciones entre 

números naturales, fracciones 

y expresiones decimales, 

y la explicitación de sus 

propiedades en situaciones de 


Si bien los alumnos resuelven problemas de proporcionalidad 

desde los primeros grados de manera implícita, a medida que 

avanzan en la escolaridad es necesario que identifiquen sus 

propiedades, relaciones y los tipos de problemas que permite 

resolver. En este capítulo se profundizará y reflexionará sobre 

estos aspectos. 


Pida que resuelvan los problemas y luego proponga 

un espacio de discusión para escribir cómo pensaron 

cada uno. Registre las conclusiones: 

● Si se conoce el precio de un artículo, se puede calcular el precio de 

cualquier cantidad de artículos a través de una multiplicación. Por 

ejemplo, si una cubierta sale $98, 4 cuestan 4 × $98. El precio de 8 

artículos puede hallarse mediante el cálculo $98 × 8 o, teniendo en 

cuenta que 8 es el doble de 4, 8 cubiertas costarán el doble de lo que 

cuestan 4, o sea $98 × 4 × 2. 

● Si se conoce el precio de 8 cajas, el precio de 1 caja se puede 

calcular dividiendo el precio total por 8. El precio de una caja se 

llama constante de proporcionalidad. 

● Para preparar una receta para 3 personas en lugar de prepararla 

para 6, hay que usar la mitad de los ingredientes. 

1. a. $1.400 b. 350 × 8 y 350 × 4 × 2. 

2. 12 

3. a. 1 __ kg de harina, 2 huevos, 

8 1 __ cucharadita de sal y 

2 1 __ 

2 

cucharadita de aceite. 

b. 1 __ kg de harina, 8 huevos, 2 cucharaditas de sal y 2 

2 

cucharaditas de aceite. 

4. a. 70 × 3,40 (rojo) y 100 × 3,40 (azul). b. 10 litros. 

66 

pag 30-31 

Problema 5 

● Si 1 kilo cuesta $12,50, 1,5 kilos cuesta $12,50 más la 

mitad de $12,50 o 1,5 ×12,50. 

● Para completar la tabla, además de usar las propiedades de la 

proporcionalidad, puede considerarse que la cantidad de azúcar 

es el triple que la cantidad de harina, mientras que la cantidad de 

harina es la tercera parte de la cantidad de azúcar. 

5. 

Harina (en kilogramos) 0,5 1 2 2,5 3 3,25 5,05 

Azúcar (en kilogramos) 1,5 3 6 7,5 9 9,75 15,15 

Problema 6 

Solicite que completen la tabla de proporcionalidad. 

Es probable que usen las propiedades que conocen 

para hacerlo. Como parte de las conclusiones registre que 

otra forma de encontrar los números es a través de cálculos: para 

averiguar la distancia recorrida hay que multiplicar la cantidad de 

combustible por 4,5. Si se conoce la distancia recorrida, se puede 

obtener la cantidad de combustible usado dividiéndola por 4,5. 

6. 

Combustible (en litros) 1 2 3 4 5 10 12 

Distancia que recorre 

(en kilómetros) 

4,5 9 13,5 18 22,5 45 54 




Pida que resuelvan los problemas. Luego de la puesta 

en común, registre diferentes maneras de resolverlos. 

Por ejemplo: 

● Como 0,25 litro es equivalente a 1 __ litro y en 1 litro hay 4 de 

4 1 __ , 

4 

entonces 1 1 __ litros costará 4 × $6,25 + $6,25 = $31,25. También, 

4 

1 1 __ = 

4 5 __ y su precio es de 5 × $6,25 = $ 31,25. 

4 

● El precio de 1 litro es 4 × $6,25 = $25. El precio de 0,800 es 

0,800 × $25 = $20. 

Para la puesta en común de la actividad 8, plantee las siguientes 

preguntas: ¿Es posible que el precio de 3 __ kg sea igual al precio de 

4 

3,4 kg? ¿Por qué el precio de 2 1 __ kg es igual al del 2,5 kg? 

2 

7. 0,800 litro cuestan $20; 1 1 

__ 

4 litro cuesta $31,25; con 

$62,5 compran 2,5 litros. 

8. $4,8; $21,76; $9,6; $16. 


Estas situaciones proponen diversas ocasiones de 

uso de la división entre expresiones decimales. La 

dificultad no está puesta en admitir que pueden resolverse 

dividiendo, sino en cómo resolverla. 

Haga una breve puesta en común de cada problema, vinculada 

a por qué la división es una herramienta adecuada de resolución; 

luego resuelva las actividades con los alumnos y sugiérales que 

escriban en la carpeta las indicaciones que consideren necesarias. 

Concluya: 

● El costo de 1 litro es 5,25 : 3,5 = 525 : 350 = 350 : 350 + 175 : 350 = 

1 + 0,5 = 1,5. El precio de 7,5 litros es 7,5 × 1,5 = $11,25. 

Capítulo 8 

● La cantidad de combustible que se puede comprar con $6,75 es 

6,75 : 1,5 = 675 : 150 = 600 : 150 + 75 : 150 = 4 + 0,5 = 4,5. 

● 1,5 : 4 = 15 : 40 = (15 × 25) : (40 × 25) = 375 : 1.000 = 375 _____ = 0,375. 

1.000 

● 43,75 : 2,5 = 4.375 : 250 = 2.500 : 250 + 1.250 : 250 + 500 : 250 + 

125 : 250 = 10 + 5 + 2 + 0,5 = 17,5. 

9. a. $11,25 b. 4,5 litros. 

10. 0,375 litro. 

11. a. 17 botellas. b. Quedan 1,25 litros sin envasar. 

Problema 12 

Pida que resuelvan el problema. En la puesta en 

común pregunte por dos formas de resolver: con la 

constante de proporcionalidad y con las propiedades. Registre 

diferentes maneras de completar las tablas a partir de las 

propiedades. Concluya: 

● La constante de proporcionalidad puede calcularse dividiendo 

la cantidad de metros cuadrados que se pintan por la cantidad 

de pintura, 40 : 4 = 10. Los metros se calculan multiplicando la 

cantidad de pintura por 10, mientras que la cantidad de pintura es 

la cantidad de metros dividido 10. 

● En la segunda tabla, la constante de proporcionalidad es 12; 

entonces, para calcular la cantidad de kilómetros si se conoce la 

cantidad de litros, hay que multiplicar por 12, y para calcular los 

litros conociendo los kilómetros recorridos, hay que dividir por 12. 

12. 

Litros de pintura 4 8 20 1,5 1 0,1 

Metros cuadrados 

que se pintan 

40 80 200 15 10 1 


Para resolver estos problemas, la constante de 

proporcionalidad es una herramienta útil. 

En la puesta en común, pregunte cómo los resolvieron y por 

qué. Registre las conclusiones: 

● Una forma de comparar dos variables es a través de sus 

constantes de proporcionalidad. Dicha constante es el valor de una 

de las variables correspondiente a 1 unidad de la otra, y esa unidad 

no tiene por qué ser 1 sino que puede ser otro valor conveniente. 

Por ejemplo, en el problema 13, si 250 g de salame cuestan $2,40, 

entonces 100 g cuestan $0,96; tomando 100 g como unidad, en el 

segundo almacén es más barato. 

● Si Camilo hizo 12 puntos en 25 partidos en un torneo y 23 puntos 

en 50 partidos en otro torneo, tomando 50 partidos como unidad, 

en el primer torneo hizo 24 puntos y en el segundo 23. Luego, tuvo 

mejor rendimiento en el primer campeonato. 

13. En el segundo. 

14. En el primero. 

15. No es una oferta. 

67

68 

Problema 16 

Proponga que resuelvan el problema y haga una 

breve puesta en común solo en caso de ser necesario. 

16. $21 llevando 28 cuadernos, porque si llevan 27 

cuadernos pagan lo mismo. 

Problema 17 

En un primer momento pida que lean el problema 

e intenten decidir cuáles representan situaciones de 

proporcionalidad y cuáles no. En la puesta en común registre que: 

● No alcanza con que las dos cantidades aumenten o 

disminuyan al mismo tiempo para que se trate de una relación 

de proporcionalidad directa, sino que esto tiene que mantenerse 

indefinidamente y siempre en la misma proporción. 

● Las relaciones de proporcionalidad directa son e., f. y g.. 

● No son relaciones de proporcionalidad directa: a., c., d. y h.. 

● En cuanto a b. podría tratarse de una proporcionalidad directa 

si al problema se le agregaran datos como que la velocidad es 

siempre la misma o que el consumo depende linealmente de los 

kilómetros recorridos. 

● En el caso del área del cuadrado, al duplicar la longitud de sus 

lados su área se cuadruplica en lugar de duplicarse. Luego, no es 

una relación de proporcionalidad directa. 

Solicite que lean el lateral entre todos y ejemplifiquen cada 

propiedad a partir de uno de los ejemplos del problema 10. 

Pida luego que lo copien en la carpeta. 

17. a. No. b. Sí. c. No. d. No. 

e. Sí. f. Sí. g. Sí. h. No. 


Pida que resuelvan los problemas y luego de debatir 

sobre ellos, registre las conclusiones. 

● Para que un problema que relaciona distancia recorrida y 

tiempo sea de proporcionalidad directa, la velocidad tiene que ser 

constante, es decir, no variar en ningún momento. 

● Cuando se relacionan la distancia recorrida y el tiempo, 

la constante de proporcionalidad se obtiene dividiendo distancia ________ 

tiempo , 

que es la velocidad. 

18. Si la velocidad es constante. 

19. El micro. 

Problema 20 

Proponga que resuelvan este problema en conjunto 

y escriba las conclusiones en el pizarrón. 

● En la escuela de Tatiana, si 20 de cada 50 chicos son hinchas 

de Argentinos Juniors, entonces 10 de cada 25 y 40 de cada 100 

también lo son. Esta última relación se lee “40 por ciento” y se 

escribe 40%. 

● En la escuela de Lazlo, si 40 de cada 100 chicos son hinchas de 

Argentinos Juniors, entonces el 40% lo es, y además, 4 (la décima 

parte de 40) de cada 10 (la décima parte de 100) y 2 de cada 5 

también lo son. 

Lea junto con sus alumnos el lateral y explique lo que no 

quede claro. 

20. Son todas correctas. 


Pida que resuelvan los problemas y en la puesta en 

común registre las conclusiones. 

● Los porcentajes pueden expresarse como fracciones. El 10% de 

una cantidad equivale a calcular 10 ____ = ___ 1 

de esa cantidad, que es 

100 10 

su décima parte. 

● El equipo de Matías ganó 6 partidos de 10, que es equivalente 

a decir que ganó 18 de 30. El equipo de Tatiana ganó 9 partidos 

de 14, que es equivalente a decir que ganó 18 partidos de 28. 

Como los dos ganaron la misma cantidad de partidos, el equipo 

de Tatiana tuvo mejor rendimiento por haberlo hecho en una 

cantidad menor de partidos. 

21. Sí. 

22. Matías ganó el 60% de los partidos, en cambio, 

Tatiana ganó el 50%. 




Pida que resuelvan el problema 23. En la puesta en 

común pregunte cómo hicieron para agregar el 10% 

y luego tome la palabra para sistematizar algunas cuestiones: 

● Para aumentar un 10% de un número hay que agregarle 1 ___ 

10 

de su valor. Pero si el número entero es 10 ___ , al agregarle ___ 1 

10 10 se 

obtiene 11 ___ del valor. Entonces, para agregar 10% a un número se 

10 

lo puede multiplicar por 11 ___ o por 1,1 o calcular su 110%. 

10 

Solicite que resuelvan el problema 24 y que intenten escribir una 

conclusión similar a la del 23. Luego de acordarla, regístrela. 

● Para disminuir un número en 15% hay que restarle 15 ____ de su valor. 

100 

Pero si el número entero es 100 ____ , al restarle ____ 15 

se obtiene ____ 85 

100 100 100 

del valor. Entonces, para sacar el 15% de un número se lo puede 

multiplicar por 85 ____ , o por 0,85 o calcular el 85%. 

100 

Precios 

viejos 

Precios 

nuevos 

23. 

10 100 12 1 36 48 24 0,50 0,75 18 

11 110 13,2 1,1 39,1 52,8 26,4 0,55 0,825 19,8 

Capítulo 8 

24. 

Precios 

100 20 

viejos 

35 48 24 35 0,50 0,75 1 3 

Precios 

85 

nuevos 

17 29,75 40,8 20,4 29,75 0,425 0,6375 0,85 2,55 


Como parte de la puesta en común proponga que 

discutan sobre las maneras de calcular el 15% de 120 

y regístrelas. 

El 15% de 120 puede calcularse como 15 ____ × 120 = _______ 15 × 20 

100 100 . 

Pida que lean lo que hace Juan en el problema 26. Concluya 

que como 15 ____ es equivalente a 0,15, para calcular el 15% de 120, 

100 

puede resolverse 0,15 × 120. 

25. 15 × 120 y 15× 120 ___ 

100 


Problema 27 

Pida que resuelvan la parte a. del problema y luego 

gestione una puesta en común. Observe que si el precio de 

la lista disminuye a la mitad (de 100 a 50), el precio a pagar 

también disminuye a la mitad (de 75 a 3,75). Pregunte qué otras 

relaciones entre los datos de la tabla permiten analizar que la 

relación con el precio a pagar es directamente proporcional. 

Pida que escriban las conclusiones y que resuelvan los demás 

puntos del problema. Luego de la puesta en común concluya 

que calcular un porcentaje es lo mismo que dividir el entero 

en 100 partes y tomar algunas de ellas. En este caso se divide 

el dinero en 100 partes y se eligen 25 que es el descuento, 

entonces se pagan 75 partes, es decir, el 75%. 

27. a. 

Precio de lista ($) 100 50 20 15 70 65 

Descuento ($) 25 12,50 5 3,75 17,5 16,25 

Precio a pagar ($) 75 37,5 15 11,25 52,5 48,75 

b. Sí. Porque Precio a pagar = 75 ____ x Precio de lista. 

100 

c. 0,75 × precio de lista. 

d. Sí, por c.. 

Problema 28 

La gestión de este problema debe apuntar a qué 

y cómo mirar los gráficos. Pida que piensen en el problema 

durante un rato y luego proponga un debate. Registre las 

conclusiones. 

69

● El tren va más rápido que el auto porque tarda menos tiempo en 

recorrer una misma distancia. Por ejemplo, el tren tarda 3 horas en 

recorrer 300 km y el auto tarda 4 horas. 

● En dos horas el auto recorre una distancia mayor que 100 km y 

menor que 200 km, mientras que el tren recorre exactamente 200 km 

en 2 horas. 

● En los dos gráficos puede verse que a las 0 horas de viaje, que 

coincide con el inicio, el tren y el auto no habían recorrido ninguna 

distancia. En el gráfico esto se evidencia por iniciarse donde se 

cruzan los ejes de distancia y tiempo. 

● Como los dos gráficos son porciones de rectas que se 

inician donde se cruzan los ejes, representan relaciones de 


70 

28. Son correctas: a., c., d. y e.. 

Problema 29 

Es una aplicación del problema anterior. Luego de 

que los alumnos lo resuelvan haga una puesta en 

común y registre: 

● El tercer gráfico no representa una proporcionalidad directa 

porque para 0 m 3 de gas no corresponde pagar $0. Tanto el 

primero como el segundo gráfico son de proporcionalidad directa. 

● El primero se descarta porque el precio de 1 m 3 de gas es de $1, 

luego el gráfico elegido es el segundo. 

29. El gráfico del medio. 

Problema 30 

Este problema profundiza la relación entre los 

números fraccionarios y los porcentajes. Pida 

que resuelvan y luego de la puesta en común registre las 

conclusiones: 

1 __ = 50% 

2 3 __ = 75% 

4 1 __ = 25% 

4 1 __ = 12,5% 

8 

Tenga en cuenta que en realidad las igualdades representan 

escrituras diferentes y no son exactamente lo mismo. 

El porcentaje es una manera de escribir una fracción con 

denominador 100. 

30. a. 50% b. 75% c. 25% d. 12,5% 


Mientras resuelven los problemas pida que anoten 

cómo pensaron cada parte. En un intercambio 

colectivo proponga que discutan sobre las formas de resolución 

y registre las respuestas. 

● El total de porcentajes tiene que ser 100%, entonces el porcentaje 

que corresponde a los votos anulados es 100 – 40 – 20 – 15 – 10 = 15%. 

● El 15% de 3.560 puede calcularse como 15 ____ o 0,15 × 3.560 = 534. 

100 

● Para calcular el ángulo del diagrama circular que corresponde 

a los votos de cada intendente hay que calcular el porcentaje del 

ángulo de 360º. Por ejemplo, a Seoane le corresponde el 40% de 

360º, o sea 40 ____ × 360° = 0,40 × 360° = 144°. 

100 

31. a. Construcción. Seoane: 144°, Capuano: 72°, 

Fusco: 54°, En blanco: 36°, Anulados: 54°. 

b. 534 anulados. 

32. a. Álvarez: 50%, Bermúdez: 25%, Rodríguez: 12,5%, Ibáñez: 

12,5%. 

b. Álvarez: 180°, Bermúdez: 90°, Rodríguez: 45°, Ibáñez: 45°. 


Pida que resuelvan los problemas. Es posible que 

muchos alumnos resuelvan los cálculos por separado 

sin advertir la relación que hay entre ellos. Analice esto en la 

puesta en común. 

● El cálculo de porcentajes de un mismo número es una relación de 

proporcionalidad, luego: 

● El 20% de 480 es el doble del 10% de 480. 

● El 1% de 480 es la décima parte del 10% de 480. 

● El 90% de 240 puede calcularse sumando el 80% de 240 y el 10% 

de 240. 

33. a. 96 b. 24 c. 4,8 d. 100,8 

34. a. 96 b. 192 c. 24 d. 216 




Pida que resuelvan los problemas y luego haga una 

puesta en común. Registre: 

● Para calcular el 20% de 240 se puede hacer: 

0,20 × 240 = 0,10 × 2 × 240 = 0,10 × 480 

que es el 10% de 480. Es decir que el 20% de 240 coincide con el 

10% de 480. 

● Si 10% de una cantidad es 52, entonces 1 ___ de esa cantidad es 52 

10 

y la cantidad entera, que son 10 ___ , es 10 veces 52, o sea 520. 

10 

● 25% es 1 __ de una cantidad, 75%, 

4 3 __ y 20% es 

4 20 ____ = __ 1 

. 

100 5 

35. 0,20 × 240 = (0,20 : 20) × (240 × 2) 

36. 520 

37. El 25% es 1 __ del total; el 75% es 

4 3 __ del total; 20% es 

4 1 __ del total. 

5 


Estos problemas son aplicaciones de los anteriores 

por lo que no deberían generar dificultades. Registre: 

● El porcentaje es una relación de proporcionalidad directa. 

● El 15% de 3.600 es 0,15 × 3.600 = 0,10 × 3.600 + 0,05 × 3.600, que 

es la suma entre el 10% de 3.600 y el 5% de 3.600. 

38. Son correctas: a. y c.. 

39. Sí. 


Capítulo 8 

Antes de que los alumnos comiencen a resolver los problemas 

muéstreles y registre cómo calcular porcentajes con la 

calculadora. Por ejemplo: 

● Para calcular el 35% de 90 es posible resolver 0,35 × 90 o puede 

usarse la tecla % de la calculadora, tecleando 

9 0 × 3 5 % = . 

● Para agregar el 50% a 80, podría hacerse a través de diferentes 

cálculos: 

● Sumarle a 80 su 50%, que es 80 + 0,50 × 80. 

● Calcular 150% de 80 a través de 1,50 × 80. 

● Usar la tecla % de la calculadora a través de la secuencia 

8 0 × 1 5 0 % = . 

No todas las calculadoras funcionan de la misma manera. 

Algunas realizan el cálculo como se indicó, mientras que en 

otras hay que escribir 8 0 + 5 0 % = , que 

significa que a 80 se le agrega el 50%. Hay otros modelos en los 

que hay que variar algunas de las teclas usadas: 

8 0 × 5 0 % + = . 

3. a. 

1. a. 240 × 10 % b. 24,5 c. 12,25 

2. a. 149,4 b. 99,09 c. 848,39 

Precio original $12 $24 $50 $120 $150 $34 

Precio con 

descuento 

$9,12 $18,24 $38 $91,20 $114 $25,84 

b. 120 × 0,76 c. Sí. d. Sí. 

4. a. 52 × 1,20 b. 60 × 1,50 c. Sí. 


b. 

Precio viejo $230 $540 $360 

Precio nuevo $285,2 $669,6 $446,4 

c. Porque al multiplicar por 1,15, está multiplicando por 115 

____ 

100 

que es calcular el 115%, es decir, calcular el valor luego de un 

aumento del 15%. 


1. 1,875 kg a $25,5. 

2. a. 2 litros. b. 15 litros. 

3. $1.655 

4. $486 

5. En la de Juan. 

6. $174,25 

7. Es igual. 

8. 0,24 × 56 = 24 × 56 : 100 y 0,56 × 24 = 24 × 56 : 100 

9. Sí. 

10. a. No. b. Paga $7,2. 

11. En 6°A. 

12. a. $29 b. $23,40 c. 100kwh d. Sí. 

71

Capítulo 9 

Medidas 

Objetivos: 


● Estimen y midan 

cantidades. 

● Argumenten sobre la 

equivalencia de medidas. 

● Analicen la variación 

del perímetro y el área de 

una figura cuando varía la 

longitud de sus lados. 

NAP: 

La comprensión del proceso 

de medir, considerando 

diferentes expresiones posibles 

para una misma cantidad en 

situaciones problemáticas. 


Estos problemas ponen en juego las unidades de 

medida al servicio de las fracciones y los decimales. 

Pida que los resuelvan y haga puestas en común cuando lo 

considere necesario. Si bien son unidades que los alumnos 

conocen, registre las relaciones más importantes, por ejemplo: 

● Las capacidades o volúmenes de líquidos pueden medirse en 

litros. También pueden usarse mililitros (ml), centilitros (cl), 

decilitros (dl) y hectolitros (hl) que verifican: 

1 l =1.000 ml 1 ml = 1 ____ l = 0,001 l 

1.000 

1 l =100 cl 1 cl = 1 ___ l = 0,01 l 

100 

1 l =10 dl 1 dl = 1 __ l = 0,1 l 10 

1 l = 1 ___ hl = 0,01 hl 1 hl = 100 l 

100 

● Para pesar objetos pueden usarse kilos, gramos, centigramos o 

miligramos, entre otras. Las relaciones entre ellas son similares a 

las que hay entre las medidas de capacidad: 

1 g = 1 _____ kg = 0,001 kg 1 kg =1.000 g 

1.000 

1 g = 100 cg 1 cg = 1 ___ g = 0,01 g 

100 

1 g = 1.000 mg 1 mg = 1 _____ g = 0,001 g 

72 

1.000 

● Para medir longitudes de objetos pueden usarse metros, 

kilometros, centimetros o milimetros, entre otras. Las relaciones 

entre ellas son similares a las medidas anteriores. 

1 m = 1 _____ km = 0,001 km 1 km =1.000 m 

1.000 

1 m = 100 cm 1 cm = 1 ___ m = 0,01 m 

100 

1 m = 1.000 mm 1 mm = 1 _____ m = 0,001 m 

1.000 

pag 30-31 

1. a. Kilómetro. b. Kilogramo o tonelada. c. Gramo. 

d. Miligramo. e. Kilómetro o metro. f. Milímetro. 

2. a. Sí, y sobran 4 litros. b. 20 botellitas. 

3. 

Medida en milímetros 1.000 5.600 11.120 500 

Medidas en kilómetros 1 5,6 11,12 0,5 

4. a. 1.500 g b. 14,5 g c. 200 g d. 3.250 g 

5. 80 l + 500 cl; 8.500 cl y 0,085 kl. 

6. 3,5 m; 3 m + 50 cm y 3 m + 50 ____ 

100 m. 

7. 

Medida en kilogramos 1 33 150 0,1 2,5 

Medida en gramos 1.000 33.000 150.000 100 2.500 

8. El segundo. 

9. 5 listones de 200 cm, desperdiciando 5 pedazos de 25 cm, es 

decir, 125 cm de madera. 

10. Sí. 

11. Es más pesada la de 1,6 kg pesa 617 g más. 


13. a. 12,50 g b. 2.500,0 hl c. 1.800,00 km 

14. Longitud del río Uruguay: 1.700 km. Longitud de la línea del 

Ecuador terrestre: 40.000 km. Longitud de una cuadra: 100 m. 

Longitud de una fila de 6 automóviles: 30 m. 

15. a. 1.200 b. 6 

16. a. 1.200 m b. 56 m c. 8,75 m 

d. 0,31 m e. 0,00012 m f. 230 m 



pag 86 


Para resolver estos problemas es necesario usar las 

relaciones anteriores. Proponga una discusión acerca 

de cómo puede encontrar el número faltante en cada uno y 

registre las respuestas: 

● Como 100 cm = 1 m, 650 cm = 6,50 m, entonces la igualdad 

4 m + … = 650 cm es equivalente a 4 m + … = 6,50 m. El número 

que falta puede encontrarse mentalmente o resolviendo la 

diferencia entre 6,50 y 4, es decir 6,50 – 4 = 2,50 m. 

● Como 1,2 m = 120 cm, entonces en la operación 

1,2 m + ... = 150 cm, el dato faltante es 30 cm = 0,30 m. 

● Si 1 dam = 10 m y 1 m = 10 dm, entonces 1 dam = 100 dm y 

3,5 dam = 350 dm. La igualdad 3,5 dam + … = 700 dm es 

equivalente a 350 dm + … = 700 dm y el valor que falta es 350 dm. 

● Como 9,5 m = 95 dm ,entonces 13 dm + 82 dm = 9,5 m. 

● Como 1 cm = 10 dm, entonces 10 dm + 10 dm = 2 dm. 

● 5 hm = 500 m = 50.000 cm 

17. a. 2,5 m b. 182 km c. 0,3 m 

d. 3,5 dam e. 13 dm f. 1,9 dm 

18. Por ejemplo: 500 m y 50.000 cm. 


El problema 19 muestra la relación entre las 

diferentes escrituras de una medida en metros. En la 

puesta en común registre las relaciones: 

● 3 m + 25 cm = 3 m + 25 ___ m = 3 m + 0,25 m = 3,25 m 

100 

● 3 m + 2 dm + 5 cm = 3 m + 2 __ m + ___ 5 

m = 3 m + ___ 25 

m = 3,25 m 

10 100 100 

Indique que resuelvan los otros problemas como tarea y haga 

una puesta en común solo si lo considera necesario. 

Capítulo 9 

19. Todas menos la segunda. 

20. 3,5 cg = 3 1 __ cg; 3.200 g = 3 

2 1 __ kg; 15 hg = 1.500 g; 

5 

750 mg = 3 __ g. 

4 

21. a. A – B – C – E, A – B – C – F – E, A – F – E, A – F – C – E y A – 

G – D – E 

b. 90 km, 140 km, 95 km, 95 km, 90km, respectivamente. 

c. 70 km = 70.000 m 


Pida que resuelvan los problemas, en los que no 

deberían encontrar demasiadas dificultades. En la puesta 

en común registre las conclusiones, entre las que tienen que estar: 

● Si se sabe la cantidad de cuadraditos que entran en la base y la 

cantidad que entran en la altura, la cantidad total que cubre el 

rectángulo se obtiene multiplicando los valores anteriores. 

● Hay varios rectángulos que tienen igual área y diferente 

perímetro. Por ejemplo uno de 6 cm de base y 4 cm de altura o uno 

de 12 cm de base y 2 cm de altura. O sea que las figuras que tienen 

igual área no tienen por qué tener el mismo perímetro. 

● El perímetro se calcula sumando las medidas de los lados de la figura. 

22. a. 48 cuadraditos 

b. 32 

c. Por ejemplo, un rectángulo de 8 cuadraditos por 6 

cuadraditos, que también tiene área de 48 cuadraditos, pero 

tiene un perímetro de 28 lados de cuadradito. 

23. De izquierda a derecha: 11 cm, 7 cm, 9,5 cm, 5 cm. 

24. a. Construcción. b. Respuesta personal. 

73

Problema 25 

Pida que resuelvan el problema y luego haga una 

breve puesta en común. Lea junto con sus alumnos 

el lateral para establecer que el área de una figura puede ser un 

número natural o racional. 

74 

25. a. 9 b. 54 c. 53,5 d. 48 

Problema 26 

Luego de que resuelvan el problema proponga un 

intercambio sobre él y registre la conclusión: 

● Para calcular el área de una figura, a veces se la puede pensar 

como la suma de otras figuras más simples. 

● Recortando y ubicando las partes recortadas en otros lugares se 

obtiene una figura con igual área y distinta forma. 

26. a. Figura A: 21 cm. Figura B: 19 cm. 

b. Figura A: 11 cm 2 . Figura B: 13,25 cm 2 . 

c. Construcción. 


En el problema 27, si bien la tabla proporciona 

ejemplos de que al duplicar el lado del cuadrado 

también se duplica el perímetro, no alcanza para mostrar que 

se cumple en todos los casos. Después de que resuelvan los 

problemas, proponga una puesta en común. Tome a su cargo la 

siguiente explicación: 

● Si el lado de un cuadrado mide L, su perímetro es 4 × L. Si 

se duplica el lado, el nuevo lado mide 2 × L y el perímetro del 

cuadrado que resulta es 4 × 2 × L, que también puede escribirse 

como 2 × 4 × L, que es el doble del perímetro del cuadrado inicial. 

Para el problema 28, pregunte cómo hicieron para llenar la 

tabla y escriba las explicaciones: 

● Para armar rectángulos de área 36 alcanza con buscar números 

que multiplicados den 36. 

● Las medidas de los lados no tienen por qué ser números enteros. 

Pueden ser fracciones o decimales. Por ejemplo: 1 __ × 1.296, 

36 1 _ 

2 

× 72; 5 __ × 

3 108 ___ ; etcétera. 

5 

● Hay infinitos rectángulos cuya área es de 36. 

27. a. 

Longitud del lado de 

Perímetro (en cm) 

un cuadrado (en cm) 

3 12 

4 16 

6 24 

12 48 

40 160 

b. Sí. 

28. a. 

Medida de 

un lado 

Medida de 

otro lado 

Perímetro 

Cuadraditos 

que entran 

4 9 4 + 4 + 9 + 9 = 26 4 × 9 = 36 

3 12 3 + 3 + 12 + 12 = 30 3 × 12 = 36 

2 18 40 2 × 18 = 36 

1 36 74 1 × 36 = 36 

1 __ 

3 

108 650 ___ 

3 1 __ × 108 = 36 

3 1 __ 

2 

72 72 + 72 + 1 __ + 

2 1 __ = 145 

2 1 __ × 72 = 36 

2 

b. Respuesta personal. 

Problema 29 

Luego de la puesta en común deberían surgir las 

siguientes conclusiones: 

● En la parte a., las dos figuras están formadas por dos triángulos 

rectángulos. Todos son iguales porque tienen sus tres lados iguales, 

entonces las dos figuras tienen igual área. 

● Para la parte b., es posible mostrar cómo la primera figura puede 

“transformarse” en la segunda: 

29. a. Igual. 

b. El área de A es mayor que el área de B. 


Pida que resuelvan los dos problemas. En la puesta en 

común pregunte si es cierto que el área se duplica y por 

qué. No es fácil encontrar una explicación convincente, más allá de 

los ejemplos, por lo que debe quedar a su cargo. Una posibilidad 

es apoyarse en un gráfico, como en la siguiente explicación: 

● Si se tiene el cuadrado anterior y se duplican 

sus lados, queda la siguiente figura: 

Se obtienen 4 cuadrados iguales al original, por lo que el área se 

cuadruplica. 

También se puede mostrar numéricamente: 

● Si se considera un cuadrado cuyo lado mide, por ejemplo, 

16 cm, su área es de 16 ×16 cm 2 . Si sus lados se duplican, miden 

2 × 16 cm y el área del nuevo cuadrado es: 

2 × 16 cm × 2 × 16 cm = 2 × 2 × 16 × 16 cm 2 = 4 × 16 × 16 cm 2 , 

que es el cuádruple del área del cuadrado de lado 16 cm. Como la 

medida del lado fue elegida arbitrariamente, el razonamiento es 

válido para cualquier otra medida. 



● Si se quiere que el área se duplique, habría que duplicar uno solo 

de los lados, como lo muestra el siguiente dibujo: 

30. a. No b. Sí 

31. Un lado. 

Problema 32 

Tome a su cargo la resolución de este problema, 

interactuando con sus alumnos. Como el dibujo en este caso es 

engorroso, conviene trabajar numéricamente: 

● Si uno de los lados del rectángulo mide 5 cm y el otro mide 8 cm, su 

área es de 5 × 8 cm 2 . Si se triplica uno de los lados y cuadruplica el otro, 

el área del nuevo rectángulo es 3 × 5 × 4 × 8 cm 2 = 12 × 5 × 8 cm 2 que 

es 12 veces el área del rectángulo inicial. 

● Como las medidas del primer rectángulo fueron elegidas al azar, el 

razonamiento es válido para cualquier otra medida y siempre el área 

del nuevo rectángulo es 12 veces mayor que el área del primero. 

32. Sí. 



común proponga un debate sobre varias formas de 

resolver y registre las conclusiones: 

● Cuando cambia la unidad de medida que se considera, cambia 

el número que representa la medida del objeto pero no cambia 

la medida. Si una unidad es la mitad de otra, un objeto medirá el 

doble de esta unidad que de la otra. 

● En el problema 34 los dos chicos tienen razón pues consideraron 

diferentes unidades de medidas. 

33. a. Triángulo: 7,5. Rombo verde: 15. Rombo azul: 

14. Trapecio: 10,8. 

b. No. c. El doble. 

34. Depende de la unidad. 

Problemas 35, 36, 37 y 38 

Estos problemas son aplicaciones de los anteriores. 

Proponga una breve puesta en común al finalizar la 

resolución y registre las conclusiones: 

● Si en 1 metro hay 100 centímetros, en un cuadrado de 1 metro 

de lado entran 100 × 100 = 10.000 cuadraditos de 1 cm de lado. 

Luego, 1 m 2 equivale a 10.000 cm 2 . 

● Si en 1 hectómetro hay 100 metros, en un cuadrado de 1 hectómetro 

de lado entran 100 × 100 = 10.000 cuadrados de 1 m de lado. Luego, 

1 hm 2 equivale a 10.000 m 2 . 

35. a. 6 m × 4 m. b. 24 m 2 . 

36. Olimpo. 

37. a. 100 b. 10.000 



Capítulo 9 

Problema 40 

Luego de que los alumnos hayan resuelto este 

problema, la conclusión que debe quedar registrada 

es que el área de un rectángulo o un cuadrado es el producto de dos 

lados no paralelos. Si sus medidas son iguales, se trata de un cuadrado, 

mientras que si son diferentes, es un rectángulo no cuadrado. 

40. a. 48 cm 2 b. 16 cm 2 c. a × b 


Pida que resuelvan el problema 41 y en la puesta 

en común registre que el lado de un cuadrado queda 

determinado si se conoce su perímetro, pero esto no sucede así en el 

caso de un rectángulo. Como los lados del cuadrado son iguales, basta 

dividir el perímetro por 4 para obtener la medida de su lado. En el caso 

del rectángulo, hay infinitos con el mismo perímetro. 

Para el problema 42 registre: 

● Una diagonal de un rectángulo lo divide en dos triángulos iguales, 

por lo tanto, el área de cada uno es la mitad del área del rectángulo. 

41. a. 484 cm 2 

b. No, porque hay muchos rectángulos que tienen 20 

cm de perímetro y todos tienen diferente área. 

42. Sí, es cierto. 

Problema 43 

Este problema se trata de una aplicación directa del 

problema 42. Solo haga una puesta en común si lo 

considera necesario. 

43. a. 4 cm 2 b. 4,5 cm 2 

Problema 44 

Lea con sus alumnos cada una de las resoluciones 

propuestas, analícelas y escriba una explicación. 

● Para Lazlo el triángulo pintado es la mitad del rectángulo. Esto se 

debe a que al trazar el segmento paralelo al lado de 2 cm quedan 

determinados dos rectángulos con sus respectivas diagonales, que 

definen dos triángulos iguales. Luego, el área del triángulo es la 

mitad del área del rectángulo. 

75

76 

A 

A B 

● Matías calcula el área de cada uno de los rectángulos que 

quedan después de trazar la paralela al lado de 2 cm. Calcula 

el área de cada rectángulo, calcula su mitad, que es el área del 

triángulo y luego suma los resultados. 



Estos problemas proponen aplicaciones del cálculo 

de áreas de rectángulos, cuadrados y triángulos y 

el análisis de algunas de sus propiedades. Realice puestas en 

común a medida que lo considere necesario y, en cada caso, 

registre las conclusiones: 

● 1 m2 equivale a 10.000 cm2 . 

● 1 hectárea equivale a 10.000 m2 y el campo mide 3.000.000 m2 . 

● Si se duplica la base o la altura de un triángulo, se duplica su 

área. El área del triángulo puede calcularse como 1 __ × b × h. Si se 

2 

duplica, por ejemplo, su base, el área del nuevo triángulo es: 

1 _ 

2 

× 2 × b × h =2 × 1 __ × b × h, 

2 

que es el doble del área del triángulo original. El mismo razonamiento 

puede aplicarse para el caso en que se duplica la altura. 

● Si la base se reduce a la mitad, el área del nuevo triángulo es: 

__ 1 × 

2 1 __ × b × h 

2 

que es la mitad del área del triángulo original. 

● En general, si la base o la altura se multiplican por un número, el 

área del triángulo se multiplica por el mismo número. 

● Si la altura se triplica y la base se reduce a la tercera parte, el área 

resulta 1 __ × 

2 1 __ × b × 3 × h = 

3 1 __ × 

2 1 __ × 3 × b × h = 

3 1 __ × b × h, que es igual 

2 

al área del triángulo original. 

45. El de dos ambientes. 

46. 10.000 cm 2 

47. 3.000.000 m 2 

48. 160.000 personas. 

49. La única incorrecta es la c.. 


Pida que resuelvan los problemas 50 y 51 y haga 

una puesta en común. Luego de plantear un 

debate acerca de las estrategias de resolución, escriban las 

conclusiones: 

B 

● Si un rectángulo tiene área 24 cm2 , entonces el producto entre 

su base y su altura tiene que ser 24. Como hay infinitos pares de 

números que cumplen esta condición, pueden buscarse valores 

enteros a través de los divisores de 24 o valores cualesquiera 

inventando uno de ellos, por ejemplo 1 __ y calculando el otro como 

2 

el cociente entre 24 y 1 __ , o sea 48. Luego, una posibilidad es un 

2 

rectángulo de lados 48 cm y 1 __ cm. 

2 

● Como el área de un triángulo es la mitad del área de un 

rectángulo, buscar un triángulo de área 12 cm2 es equivalente a 

buscar un rectángulo de área 24 cm2 . 

● Como el área de un rectángulo se calcula multiplicando un lado de 

3 cm por el otro lado y el resultado es 21 cm2 , entonces el lado faltante 

es el cociente entre 21 y 3, o sea 7 cm. Esto se debe que a partir de 

3 × … = 21 se interpreta que lo que se busca es la cantidad de veces 

que 3 entra en 21, que es el cociente de la división entre 21 y 3. 

Pida que resuelvan el problema 52 y luego, en una instancia 

colectiva, proponga un intercambio sobre las formas de 

resolución. Registre las que considere más importantes: 

● En el ítem a. una forma de hallar el área consiste en darse cuenta 

de que el triángulo pintado es 1 __ de la mitad del rectángulo, que es 

4 

un cuadrado de lado 3 cm. Por lo tanto, el área es: 

1 __ × 3 × 3 = 

4 9 __ cm 

4 2 = 2,25 cm3 Otra manera consiste en tomar como base del triángulo el lado __ 

EF 

que mide 3 cm y entonces su altura mide la mitad del lado ___ 

AE , 1,5 cm. 

Su área es 1 __ × 3 × 1,5 cm 

2 2 = 2,25 cm2 . 

En el ítem b. también hay dos formas de resolverlo: 



● El área pintada es 1 __ del área del rectángulo, luego es 

8 

__ 1 × 8 × 4 cm 

8 2 = 4 cm2 ● La base del triángulo es ___ 

AE de 4 cm y la altura ___ 

EO , es de 2 cm, 

entonces el área es de 1 __ × 4 × 2 cm 

2 2 = 4 cm2 . 

50. Hay infinitas posibilidades, por ejemplo, lados de: 

1 cm y 24 cm, 2 cm y 12 cm, 37 cm y 24 __ 

37 cm. 

51. 7 cm 

52. a. 2,25 cm2 b. 4 cm2 Problema 53 

Pida que resuelvan el problema y haga una puesta en 

común si lo considera necesario. 



Después de que resuelvan, proponga un intercambio 

y registre las conclusiones: 

● El rombo puede pensarse formado por dos triángulos de base 7 cm 

y altura 2 cm o dos triángulos de base 4 cm y altura 3,5 cm. Su área 

es el doble del área de uno de los triángulos, que es lo mismo que 

hallar el área del rectángulo cuyos lados son una de las diagonales 

del rombo y la mitad de la otra. Por ejemplo, si las diagonales miden 

7 cm y 4 cm, el área del rombo es 2 × 7 cm × 2 cm = 28 cm 2 . 

Todos los trapecios isósceles pueden transformarse en un 

rectángulo de la siguiente manera: 

Su área es, entonces, 4 × 3 cm 2 + 1 × 3 cm 2 = 15 cm 2 

4 cm 

● Todos los paralelogramos pueden transformarse en un 

rectángulo de la siguiente manera: 

a 

b b 

(6 cm – 4 cm) : 2 

⎧ 

⎨ 

⎩ 

3 cm 

La base del nuevo rectángulo mide (a + b) y la altura c, luego su área 

es (a + b) × c. Analizando el paralelogramo podemos ver que a + b es 

su base, luego, su área es el producto entre su base y su altura. 

54. 14 cm 2 

55. 27 cm 2 

56. 12 cm 2 

c 

Capítulo 9 


Estos problemas son aplicaciones de los anteriores, 

por lo que solo haga una puesta en común en caso de 

considerarlo necesario. 

57. 12 cm 2 

58. 37,5 cm 2 


Los problemas que siguen son aplicaciones de lo 

realizado en los anteriores. Registre las conclusiones: 

● Si el área del rectángulo es 20 cm2 y un lado mide 4 cm, el otro 

tiene que medir 5 cm. El rectángulo que queda determinado a la 

derecha de A tiene una base de 3 cm y una altura de 5 cm, por lo 

que su área es de 15 cm2 . Entonces, el área del paralelogramo es de 

20 cm2 + 15 cm2 = 35 cm2 . 

● El área de la zona celeste puede calcularse restando el área del 

rombo al área del rectángulo. 

● Para saber qué parte de una figura está sombreada, puede 

buscarse cuántas veces entra la parte sombreada en la figura. Por 

ejemplo, como en la figura de la izquierda se necesitan 4 veces el 

triángulo para cubrir el rectángulo, entonces el área del triángulo 

es 1 __ del área del rectángulo. En la figura de la derecha, el área del 

4 

rectangulito es 1 __ del área del rectángulo. 

8 

59. 35 cm2 60. 12 cm2 61. 1 __ 

2 del cuadrado, 1 cm __ 1 

del cuadrado, 0,5 cm 

4 8 2 


1. a. 

Medida en l 1 1 __ 

5 

3,54 1 __ 

2 

150 1 __ 

4 

Medida en ml 1.000 200 3.540 500 150.000 250 

b. Multiplicar por 1.000. 

c. Porque 

77 

1 __ es el doble de 

2 1 __ . 

4 

d. A partir del dato de la segunda columna, por ejemplo. 

e. Sí. 

2. a. 112 km b. 7,5 cm c. Son el doble de las anteriores. 

3. Área del ABCD = 144 cm2 . Área del MNPQ = 72 cm2 . 

4. La única correcta es 200 cg = 0,02 hg 

5. Rectángulo celeste: 9,6 cm2. Rectángulo azul: 4,8 cm2 . 

Trapecio: 10,5 cm2 . Rombo: 8 cm2 . Figura violeta: 45,5625 cm2 . 

6. a. Hay infinitas posibilidades. Por ejemplo: 12 cm y 1 __ cm, o 

8 3 __ cm y 2 cm. 

4 

b. 1 __ cm 

2 

c. El área es 15 __ 

8 cm2 y el perímetro es 5,5 cm.

¿Por qué ? 

En el siglo XVIII era común que la gente no supiera leer 

ni escribir. Hoy en día, un adulto analfabeto tiene pocas 

posibilidades de ser incluido socialmente. Por eso es 

necesario que todos los niños aprendan a leer y escribir. 

Por otra parte advertimos que los avances tecnológicos de 

nuestro tiempo son vertiginosos y, en poco tiempo más, los 

niños serán “analfabetos informáticos” si no los conocen. Los 

adultos, padres y docentes, nos acostumbramos a ellos, aunque 

no los conocimos en la escuela. Encendemos un televisor, 

operamos en un cajero automático, usamos un teléfono 

celular, ingresamos en él los teléfonos que queremos registrar, 

tomamos fotografías digitales y muchas cosas más. 

A veces pensamos que nuestros hijos o alumnos usan estas 

tecnologías más, y mejor, que nosotros porque nacieron y 

conviven con ellas. Los chicos de hoy, por ejemplo, no tienen 

idea de lo que es ver “La pantera rosa” en blanco y negro; y, para 

ellos, la música se baja de Internet y no compran discos grandes 

y negros. 

Vivimos hoy una nueva revolución que puede compararse a la 

revolución industrial. Estamos en la era de la información y la 

comunicación. 

Los niños deben aprender a conocer este nuevo mundo 

tecnológico, pero deben hacerlo con nuestro acompañamiento. 

Necesitamos generar escenarios en la red adaptados a la 

escolaridad cuyas funciones sean básicamente educativas. En 

la web, como en la calle, hay peligros que debemos advertir 

y lo mejor para hacerlo es proveer herramientas, juegos, 

actividades, que sean atractivas y a la vez, permitan a los niños 

transitar por este nuevo espacio social. 

Entonces ¿cómo usamos la computadora con nuestros alumnos 

y sin que sea una mera diversión o pasatiempo?, ¿qué aporta 

esta tecnología a la enseñanza y al aprendizaje escolar? ¿Cómo 

les enseñamos a usar este nuevo entorno virtual? 

¿Qué es y cómo se usa ? 

Entre desde www.tintafresca.com.ar a Mati.net, 6°año. 

Allí verán siete medias colgadas. Apoyando el mouse sobre cada 

una de ellas y haciendo clic aparecerán siete opciones: 

● Números Naturales: contiene todos los juegos relacionados 

con el sistema de numeración y las operaciones con números 

naturales. 

● Calculadoras: contiene diferentes calculadoras para usar. 

● Números racionales: aparecen allí todos los juegos 

relacionados con los números fraccionarios y decimales. 

● Geometría 

● Medida 

● Proporcionalidad 

● Integración: es una trivia que integra los contenidos 

estudiados en el año. 

78 

Para comenzar a contestar estas preguntas armamos el sitio 

Mati.net. En él encontrarán: 

● Actividades y juegos relacionados con los contenidos de 1°. 

El juego es una herramienta útil para enseñar y aprender 

matemática si, además de jugar, se reflexiona sobre lo hecho. 

Por eso, en el libro, hay actividades para después de jugar. 

● Actividades para reforzar el aprendizaje de los contenidos, 

por ejemplo, tablas para completar con el anterior y el 

siguiente, el doble y la mitad, cálculo mental, rompecabezas, 

etcétera. 

● Explicaciones sobre enfoque didáctico para los padres con 

ejemplos que ayudarán a comprometerlos con el aprendizaje. 

● Foro de discusión docente en el que pretendemos armar 

una comunidad de docentes comprometidos que compartan 

experiencias, problemas y aprendizajes. 

Animémonos a entrar en el mundo virtual... 



NÚMEROS 

NATURALES 

GEOMETRÍA 

¿Cómo se usa ? 

NÚMEROS 

RACIONALES 

INTEGRACIÓN 

CALCULADORAS PROPORCIONALIDA 

Armado de números 

El objetivo de este juego es que el jugador logre componer un 

número a partir de los dígitos que lo integran y las potencias 

de diez de la descomposición polinómica que le dan sus 

respectivas posiciones en el número dado. 

Cuando comience el juego aparecerán fichas que caerán y el 

jugador tendrá que ubicar en los casilleros correspondientes 

para armar, así, el número que está a la izquierda. Para correrlas 

de lugar, se usan las teclas . 

Luego de jugar, pregunte cómo hicieron para identificar en qué 

lugar había que poner cada cifra. Es esperable que, si el número 

era 4.386.537 digan que hay que ubicar el 5 en el lugar de los 

cienes (centenas). Pregunte, en ese caso, cuántas centenas tiene 

ese número. Es muy común que los niños contesten que tiene 

5 centenas. Si ese es el caso, proponga el siguiente problema: 

Matías tiene que pagar justo $4.386.537, y solo tiene billetes de 

$100 y $10 y monedas de $1. Si quiere usar la menor cantidad de 

billetes, ¿cuántos billetes de $100 debe usar? 

En este caso, Matías deberá usar 43.865 billetes de $100. 

Luego de que lo resuelvan, en la puesta en común, relacione el 

problema de los billetes con el anterior. Concluya y registre que: 

● El número 4.386.537 tiene 43.865 centenas y que 5 es el número 

que ocupa el lugar de la centena. 

En el juego pueden aparecer también dos cifras juntas. Por 

ejemplo, en el caso anterior puede aparecer el número 86. 

En esta sección encontrarán actividades para 

enriquecer e integrar los contenidos sobre el 

sistema de numeración. 

Armado de números Mayor y menor con condiciones Composición 

Dividir por 10, 100, 1.000... 

Proporcionalidad 

Trivia 

Pregunte dónde ubicarían ese número y registre que: 

● 4.386.537 se puede descomponer, por ejemplo como: 

4.300.536 + 86 × 1.000. 

Mayor y menor con condiciones 

Este juego consiste en encontrar el mayor o el menor número 

que puede armarse con ciertos dígitos y verificando ciertas 

condiciones. Por ejemplo: Armar el número par de 3 cifras más 

grande que se pueda con las cifras 7, 8 y 9. 

Para jugar hay que arrastrar los números usando el mouse 

y ubicarlos en el orden deseado. Al hacer clic en el botón 

“comprobar”, el programa indica si el número es el correcto y, 

según lo sea o no, se suma como “acierto” o como “error”. 

Luego de jugar, pregunte cómo hicieron para encontrar el número 

más grande o el más chico. Registre en las carpetas, por ejemplo: 

● Para armar el mayor número de tres cifras con los dígitos 

7, 8 y 9 que sea par, alcanza con que la última cifra lo sea porque, 

por ejemplo: 798 = 790 + 8 = 79 × 10 + 8. Como 10 es un número 

par, 79 × 10 también lo es y, la paridad, dependerá solo del 8. Lo 

mismo pasa si queremos un número impar. Con lo cual para armar 

números pares o impares conviene comenzar ubicando la última 

cifra. 

79

● Si queremos que un número sea múltiplo de 5 podemos 

analizarlo de la misma manera: 4.568 = 4.560 + 8 = 456 × 10 + 8. 

Como 10 es múltiplo de 5, entonces 456 × 10 es múltiplo de 5 y, por 

lo tanto, todo el número será múltiplo de 5, siempre y cuando la 

unidad lo sea. Es decir, si termina en 0 o 5. 

● Si queremos que un número sea múltiplo de 10 podemos 

analizarlo de manera similar: 45.268 = 45.260 + 8 = 4.526 × 10 + 8. 

Como 10 es múltiplo de 10, entonces 4.526 × 10 es múltiplo de 10 y, 

por lo tanto, todo el número será múltiplo de 10, siempre y cuando 

no tenga unidades. Es decir, si termina en 0. 

● Para que un número sea múltiplo de 50 debe ser múliplo de 10 y, 

además, el cociente de la división del número por 10 tiene que ser 

múltiplo de 5. Por ejempo, 45.850 = 458 × 100 + 50 . Como 100 es 

múltiplo de 50, para que el número sea múltiplo de 50, el número 

formado por las dos últimas cifras debe serlo. Es decir, un número 

es múliplo de 50 si termina en 50 o en 00. 

Composición 

El objetivo de este juego es componer y descomponer números 

de varias maneras. Para completar la tabla se aprieta el botón 

izquierdo del mouse sobre la celda que se quiere completar y luego 

se escribe el número usando el teclado. Observe que no hay una 

única manera de componer un número. Por ejemplo: el 23.645 

puede pensarse como 2 de diez mil, 3 de 1.000, 6 de 100, 4 de 10 y 

5 de 1 o como 23 de 1.000 y 645 de 1 o 2 de 10.000, 36 de 100 y 45 

de 1, etcétera. 

Divisiones por 10, 100, 1.000... 

Este juego posee tablas para completar. En todos los casos 

pregunte si la forma de completar la tabla es única y cómo 

pueden resolverse estas operaciones sin hacer las cuentas. 

Concluya que: 

● Pensar en dividir por 10 es lo mismo que analizar cuántos billetes 

de $10 se necesitan para pagar esa cuenta y, entonces, la última 

cifra del número coincide con el resto. 

Si se quiere pagar con billetes de $100, lo que quedará será un 

número de dos cifras y, si se quiere pagar con $1.000, quedará un 

número de 3 cifras. Entonces: 

80 

Dividendo Divisor Cociente Resto 

43.685 10 4.368 5 

43.685 100 436 85 

43.685 1.000 43 685 

Relacione el contexto del dinero con la descomposición de los 

números. Pregunte, por ejemplo: cuántos dieces hay en 435.238. 

Es probable que los niños digan que en 435.238 hay 3 dieces 

porque ese es el número que ocupa en lugar de las decenas. Si 

ese es el caso, relaciónelo con el problema anterior. Descubrir 

cuantos dieces tiene el número es lo mismo que hallar el cociente 

de la división de 435.238 por 10 y es lo mismo que hallar cuántos 

billetes de $10 son necesarios como máximo para pagar justo 

$435.238. Concluya que: 

● No es lo mismo preguntar cuántas decenas tiene un número 

que analizar cuál es la cifra que ocupa el lugar de las decenas en la 

escritura decimal del número. 


En esta sección encontrará tablas para completar con dobles, 

triples, mitades, tercios etc. Es fundamental que los niños adquieran 

estos contenidos para tenerlos disponibles en otras ocasiones. 

Registre que: 

● Calcular el doble de un número es multiplicarlo por 2; el triple, por 3; 

etcétera. 

Observe que estas tablas son de proporcionalidad directa porque 

existe un número (la constante de proporcionalidad) que permite 

completar la tabla, multiplicando todos los elementos de la primera 

fila por ese número, para obtener los correspondientes en la 

segunda fila. 

Pregunte cómo hicieron para calcular la mitad de un número. Es 

probable que contesten que dividen por 2. Proponga que realicen 

el mismo juego pero solo con multiplicaciones. Concluya que: 

● Para calcular la mitad se puede multiplicar por 1 __ . 

2 

Trivia 

Este es un juego de preguntas de opción múltiple que permiten 

incorporar y analizar los criterios de divisibilidad. 

Luego de jugar un rato pregunte qué aspectos tuvieron en 

cuenta para contestar. 

Recuerde nuevamente los criterios de divisibilidad con su 

correspondiente justificación. Por ejemplo: 

542.316 = 5.423 × 100 + 16 

Como 100 es múltiplo de 4, 542.316 es múltiplo de 4 si 16 lo es. 

Analice también preguntas como la siguiente: 

“Como el resto de la división de 364 por 7 es 0, entonces el resto de 

la división de 365 por 7 es: 

a. 1 

b. 0 

c. No puede saberse sin hacer las cuentas.” 

Concluya que: 

● Como 364 = 7 × algún número natural, entonces: 365 = 364 + 1 

= 7 × algún número natural + 1. Por lo tanto, el resto de dividir 365 

por 7 es 1. 

● A partir de conocer el cociente y el resto de una división entera 

pueden conocerse otras. Por ejemplo, usando el caso anterior; 

434 = 364 + 70 y 364 y 70 son múltiplos de 7, entonces 434 es 

múltiplo de 7. 




CALCULADORAS PROPORCIONAL 

Como ya se analizó, la calculadora es un buen recurso para 

indagar las propiedades de los números y sus operaciones. 

Recuerde que la calculadora sirve siempre y cuando haya un 

registro de lo que se hace. Pida que escriban previamente la 

cuenta propuesta y luego anoten lo que apareció en el visor. 

Esta estrategia servirá para indagar luego, qué se hizo, y tratar 

de entender por qué se cometió algún error. 

Por ejemplo, si pensamos en el siguiente problema: Matías tiene 

el número 315.142 en el visor de la calculadora y quiere que aparezca 

el 310.142 sin borrar lo que estaba, ¿qué cuenta tiene que hacer? Es 

probable que los niños prueben restar 5 con lo cuál les quedará 

315.137 y no lo que se imaginaban. Si no les queda registro de 

esto, volverán a cometer el mismo error en un problema similar. 

Programar la calculadora 

Pida que resuelvan los problemas de la página 136. 

Problema 1 

En esta actividad deberán programar la calculadora para que 

no funcione la tecla 2 . Para eso siga las instrucciones que 

aparecen en el CD. 

Pregunte luego cómo hicieron para resolver las cuentas con 

esta calculadora. Registre que para lograrlo es necesario recurrir 

a diferentes descomposiciones del número y permita distintas 

resoluciones. Por ejemplo: 

● 24 × 12 = (13 + 11) × 12 = 13 × 12 + 11 × 12 = 13 × 3 × 4 + 11 × 3 × 4 = 

6 × 4 × 3 × 4 

● 22 × 22 = 11 × 2 × 11 × 2 = 11 × 11 × 4 = 10 × 22 + 10 × 22 + 22 + 22 = 

10 × 19 + 10 × 3 + 10 × 19 + 10 × 3 + 19 + 3 + 19 + 3 

● 114 × 21 = 114 × 19 + 114 + 114 = 114 × 11 + 114 × 10 = 

114 × 30 – 114 × 9 

● 32 × 24 = 8 × 4 × 6 × 4 = 30 × 24 + 24 + 24 = 

30 × 30 – 30 × 6 + 30 – 6 + 30 – 6 

Problema 2 

Como solo pueden usarse las teclas 3 , 7 , × e = 

es necesario buscar descomposiciones multiplicativas de los 

números. Por ejemplo: 

● 37 × 21 = 37 × 7 × 3 

● 73 × 63 = 73 × 3 × 3 × 7 

Problema 3 

La calculadora científica no se comporta de la misma manera que 

una calculadora común. Al resolver 2 × 5 + 8 : 2 en la calculadora 

común se obtiene 9 y en la científica 14. Pregunte cuál es el 

resultado correcto. Concluya que: 

● La calculadora científica jerarquiza las operaciones, es decir, 

separa en términos, por lo cual resolvió primero 2 × 5 y 8 : 2, y 

después sumó los resultados. En cambio, la calculadora común 

no jerarquiza las operaciones. Por lo tanto, lo que hizo fue 2 × 5, el 

resultado + 8 y luego todo dividido 2. 

Registre que: 

● Cuando se usa una calculadora común hay que tener más 

cuidado al ingresar un cálculo combinado y usar la tecla = en 

caso necesario. 

La calculadora científica realiza el cálculo correcto. 

La calculadora con fracciones 

Pida que resuelvan los problemas de la página 133. 


Pida que resuelvan los problemas con la calculadora y concluya: 

● 1 ___ + ___ 1 

= ___ 2 

= 0,2. 

10 10 10 

● Hay infinitas restas de fracciones decimales que dan por 

resultado 0,2, por ejemplo: 3 ___ – ___ 1 

, ___ 5 

– ___ 3 

, etcétera. 

10 10 10 10 


Pida que resuelvan los tres problemas juntos y concluya que 

para resolverlos se puede hacer una división. Por ejemplo: 

● 1 : 0,1 = 10, entonces 0,1 × 10 = 1. 

● 1 : 10 = 0,1, entonces 10 × 0,1 = 1. 

● 0,01 : 1 ___ = 0,1, entonces ___ 1 

× 0,1 = 0,01. 

10 10 

Problema 6 

Pida que resuelvan el problema que pone de manifiesto la 

densidad de los números racionales. Registre que: 

● Se puede seguir sumando fracciones decimales sin llegar a 10. 

Por ejemplo: 9,8 + 

81 

1 ___ + ____ 1 

+ _____ 1 

10 100 1.000 +...

82 

NÚMEROS 

RACIONALES 

INTEGRACIÓN 

Guerra de fracciones Pintemos parte de la unidad Completar la unidad 

Los números racionales fraccionarios 

Guerra de fracciones 

El objetivo de este juego es quedarse con la mayor cantidad 

posible de cartas. Para eso cada niño juega contra Matías. Para 

comenzar se escribe el nombre con el teclado y se aprieta 

PROPORCIONALIDAD 

el botón izquierdo del mouse donde dice “jugar”. Luego se 

aprieta el botón izquierdo del mouse sobre el casillero que 

dice “repartir”. Después se aprieta con el botón izquierdo del 

mouse la carta que tenga mayor puntaje. Si el jugador aprieta 

correctamente, gana un punto; en caso contrario, gana Matías. 

El juego termina luego de 10 aciertos consecutivos. 

Después de que los chicos jueguen, pida que resuelvan las 

actividades de la página 98. 

Plantee una puesta en común en la que ponga especial 

importancia en las justificaciones. Por ejemplo: 

● Como 1 __ es un número tal que con 5 de ellos se arma el entero, 

5 

entonces 4 __ < 1. Por otro lado, 

5 3 __ = 1 + 

2 1 __ , por lo tanto 

2 4 __ < 

5 3 __ . 

2 

● Si dos números tienen el mismo denominador, es mayor el que 

tenga mayor numerador. Entonces 2 ___ < ___ 6 

. Como ___ 27 

> ___ 24 

= 3 y __ 4 

15 15 8 8 3 

< 6 __ = 2, entonces 

2 4 __ < 

3 27 ___ 

8 . 

● Si dos números tienen el mismo numerados es mayor el que tiene 

el denominador menor. 

Pintemos parte de la unidad 

El objetivo de este juego es sombrear el tablero con la parte 

de la unidad que indica el dado. El que sombrea todo, gana. 

Para tirar el dado, apoye el mouse sobre él y apriete el botón 

izquierdo. Observe que aparece una unidad a la izquierda de la 

pantalla. Ella cambiará aleatoriamente; por eso la tirada de dado 

no representa siempre lo mismo. Por ejemplo: si la unidad fuera 

y el dado marca 1 

, hay que pintar un rectangulito; en 

cambio, con el mismo dado habría que pintar dos rectangulitos si 

la unidad fuera . 

__ 

2 

En esta sección encontrarán actividades para enriquecer e 

integrar los contenidos referidos a los números fraccionarios 

y decimales. 

Contando monedas Cajero automático 

Se trata de que los alumnos comprendan que una parte 

depende del todo. 

Fracciones equivalentes 

En este juego hay que identificar fracciones equivalentes a una 

dada. Luego de que jueguen concluya que: 

● Dos fracciones son equivalentes si representan la misma parte 

del mismo entero. Para verificar si dos fracciones son equivalentes 

se pueden simplificar ambas fracciones dividiendo numerador y 

denominador por el mismo número y verificando si se obtiene la 

misma fracción irreducible. 

Partes y total 

En este juego aparecen tablas para completar con cantidades y 

partes. Es una actividad útil si se piensa en el cálculo mental. Por 

ejemplo, si se extrae 1 __ de los 500 tornillos que hay en una caja, en 

2 

total se extraen 250 tornillos. Pregunte, en la puesta en común, si 

se puede extraer 1 __ de los tornillos de la caja. Concluya que: 

3 

● Para poder hacerlo habría que partir un tornillo y eso no es 

factible. 

Completar la unidad 

Nuevamente en esta sección aparecen actividades que permiten 

conceptualizar los números fraccionarios y poner en juego 

el cálculo mental. Hay tablas para completar con distintas 

operaciones. Podrá observar que no se pide el resultado de la 

operación sino alguno de los miembros que la componen. 




En esta sección aparecen nuevamente cálculos de dobles, 

triples, medios y tercios. Pregunte si es posible calcular siempre 

lo pedido o solo para algunos números determinados. Concluya 

que: 

● En los números naturales hay algunos que no tienen mitades o 

tercios. En cambio, en los números racionales siempre es posible 

encontrar la mitad, el tercio, la cuarta parte etc. Esta es una de las 

razones por las cuales el concepto de múltiplos o divisores pierde 

importancia en este conjunto numérico. 

Los números racionales decimales 

En esta sección aparecen juegos que ya habían aparecido, 

pero ahora se incorpora el uso de los números decimales. Por 

ejemplo: divisiones por 10, 100, 1.000 o proporcionalidad. 


En este juego aparecen tablas para completar con la décima 

parte, la centésima parte etc., y poder así interpretar el valor 

posicional de cada cifra. 

También se pide hallar dobles, mitades etc., pero con números 

expresados de manera decimal. 

El cajero automático 

Nuevamente aparece, en este juego, la calculadora para deducir 

propiedades de los números. En este caso, los números decimales. 

Pida que resuelvan la primera actividad de la página 138 y 

luego haga una puesta en común. Concluya que: 

● Hay muchas formas de obtener 234,002. 

En el problema 2 para poder entregar 85 centavos sin monedas de 

10 centavos, deberá usar monedas de 1 y 5 centavos. 


En el problema 3 pida que anoten varias cantidades. Por ejemplo, 

para $34,231 puede entregar 3 billetes de $10, 4 monedas $1, 2 de 

10 centavos y 3 de 1 centavo y una de 0,1 centavo. Pero también 

puede entregar 34 monedas de $1 y 231 de 0,1 centavo, etcétera. 

En el problema 4 como Juan le entregó 10 centavos, el cajero debe 

darle $25,25, y eso puede hacerlo con 2 billetes de $10, uno de $5 y 

una moneda de 25 centavos. 

Como el cajero de Martina no tiene monedas de 10 centavos, para 

poder retirar $25,65 ella debería introducir primero, por ejemplo, 

35 centavos y el cajero deberá darle $26. 

Si Lisandro le dio al cajero $0,15 y este le entregó $2,40; lo que 

quería sacar era $2,25. 

Si Camilo quiere sacar $25,10 y el cajero no tiene monedas de 

10 centavos, es posible que Camilo ponga 15 centavos, para 

que le dé $25,25, pero tambien podría poner 40 centavos para 

que le dé $25,50 o 90 centavos para que le dé $26. 

Contando monedas 

En este juego hay una alcancía llena de monedas y una rueda. 

Haga girar la rueda y caerán un montón de monedas. El jugador 

debe calcular cuánta plata sacó y cuánta plata queda en la 

alcancía. Luego de que jueguen un rato pregunte: 

¿Puede ser que obtenga $100 con las monedas que hay en la 

alcancía? ¿Cuántas monedas son necesarias? ¿Cuántas monedas 

de 50 centavos se necesitan para pagar justo $15,50? ¿Si se sabe 

que para pagar una determinada suma de dinero se necesita 

una cantidad de monedas de 50 centavos, cuántas monedas 

se necesitarán si se usan monedas de 25 centavos? ¿Y si se usan 

monedas de $1? 

83

ETRÍA 

84 

MEDIDAS 

NÚMEROS 

RACIONALES 

Equivalencias 

INTEGRACIÓN 

Áreas 

INTEGRACIÓN 



El programa FW 

Perímetro 

En esta sección encontrará actividades para enriquecer e 

integrar los contenidos referidos a medidas, perímetros y áreas. 

Equivalencias 

En este juego hay tablas para completar con equivalencias de 

medidas. Luego de que jueguen pregunte qué pensaron para 

contestar. Concluya que: 

● Las tablas son de proporcionalidad directa y 0,001 km = 1 m = 

100 cm = 1.000 mm. 

También encontrará un memotest con equivalencias de 

medidas. 

Perímetro 

Este es un juego de correspondencias. El objetivo es buscar 

figuras que tengan igual perímetro y distinta forma, o distinto 

perímetro pero la misma forma. 

Área 

Este es otro juego de correspondencias. El objetivo es buscar 

figuras que tengan igual área y distinta forma, o distinta área 

pero la misma forma. 

En esta sección encontrará actividades para 

analizar el concepto de proporcionalidad 

directa y un programa graficador que le 

permitirá representar gráficamente la relación. 

Proporciones con números naturales y racionales 

En esta sección aparecen tablas de proporcionalidad directa para completar 

calculando previamente la constante de proporcionalidad. 

En la puesta en común analice cada caso y busque la constante. Concluya que: 

● No alcanza con que al aumentar una de las variables, la otra aumente, para decir que 

una relación es de proporcionalidad directa. Es necesario que además se mantenga una 

proporción que está dada por la constante. 

El programa FW 

Este es un programa que permite graficar relaciones entre variables. Cuando abra 

el programa aparecerá una pantalla para introducir las relaciones. Una vez escritas 

apriete aceptar y verá el gráfico deseado. 

Pida que resuelvan las actividades de la página 154. 

En el problema 1 deberá programar F(x) = 4 · x; G(x) = x y H(x)= 1 __ · x. 

4 

Observe que 4, 1 y 1 __ son las constantes de proporcionalidad de cada relación. 

4 

En el problema 2 la relación es F(x) = 3 · x; en el 3 es F(x) = 15 · x y en el 4, F(x) = 2 · x+4. 



GEOMETRÍA 

Triángulos 

Correspondencia 

El objetivo de este juego es reconocer los triángulos por su 

clasificación, sus propiedades y sus posibles medidas. 

Para jugar, lea el nombre del triángulo que aparece a la 

izquierda y apriete el botón izquierdo del mouse sobre la figura 

correspondiente que está a la derecha. 

Memotest 

Este juego es el típico memotest cuyo objetivo es identificar 

las tarjetas que representan lo mismo. Para eso apoye el 

mouse sobre la tarjeta que quiere observar y apriete el botón 

izquierdo. 

MEDIDAS 

Ángulos interiores 

En este juego encontrarán tablas para completar con medidas 

de ángulos que permitan armar triángulos y luego clasificarlos 

según sus lados o sus ángulos. Luego de que jueguen un rato 

pregunte qué tuvieron en cuenta para resolver el juego. Concluya 

que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180° y que un 

triángulo escaleno tiene todos sus ángulos diferentes, uno isósceles no 

equilátero tiene dos ángulos iguales y uno diferente, y uno equilátero 

tiene 3 ángulos iguales de 60° cada uno. 

Polígonos 

Aparecen aquí tablas para completar con las características de 

los polígonos: cantidad de lados, cantidad de triángulos que los 

cubren sin superponerse, etcétera. 

Trivia 

Este es un juego de preguntas con opción múltiple que se 

refieren a las propiedades de las figuras geométricas analizadas 

en el libro. 

Guardas 

Las guardas son secuencias de figuras regulares que se 

completan siguiendo la misma estructura de forma y color. 

Para completarlas, apriete el botón izquierdo del mouse sobre 

la figura que quiere ubicar y luego, con el botón apretado, 

INTEGRACIÓN 

En esta sección encontrarán actividades para 

enriquecer e integrar los contenidos de geometría. 

Cubo Todas sus caras son cuadrados iguales. 

Cilindro Tiene 2 caras circulares. 


triangular 


cuadrada 


rectangular 


pentagonal 


Regla y compás o Geogebra Tangram Triángulos Cuerpos Trivia 

arrástrela hasta el lugar definitivo. 

El juego tiene varios niveles de dificultad y para comenzar hay 

que elegir con qué nivel se desea jugar. 

Tángram 

El Tángram es un juego chino muy antiguo, consistente en 

formar siluetas de figuras con siete piezas que juntas forman un 

cuadrado. Las piezas son 5 triángulos de diferentes tamaños, un 

cuadrado y un paralelogramo. Hay que usar todas las piezas. 

Para armar las figuras que aparecen hay que arrastrarlas con 

el mouse hasta el lugar donde se las desea colocar. También es 

posible girar las fichas apoyándose sobre ellas y apretando el 

botón derecho del mouse. 

Cuerpos 

Memotest 

El objetivo es identificar las tarjetas que representan lo mismo. 

Para eso apoye el mouse sobre la tarjeta que quiere observar y 

apriete el botón izquierdo. 

Este juego tiene una variante respecto del original. Las 

tarjetas que hay que buscar no siempre se corresponden con 

las mismas figuras o nombres con figuras. Muchas veces la 

correspondencia es la figura con sus propiedades. Por ejemplo: 

Tiene dos caras que son triángulos 

y las otras, rectángulos. 

Tiene una cara que es un cuadrado 

y las otras caras son triángulos. 

Tiene seis caras que son rectángulos 

y ninguna es un cuadrado. 

Tiene dos caras que son figuras de 

5 lados y las otras, rectángulos. 

85

Geometría dinámica: Regla y Compás o GeoGebra 

Los programas Regla y Compás y GeoGebra son programas de la llamada Geometría dinámica. Ellos permiten 

realizar, analizar y comprender construcciones geométricas dinámicas. Con ellos es posible utilizar el hacer y 

deshacer con el fin de pensar y demostrar propiedades geométricas; mover algunos objetos libres para analizar 

con qué propiedades se construyeron las figuras, etcétera. 

Regla y Compás 

Regla y Compás es un programa gratuito y se pueden encontrar actualizaciones en www.rene-grothmann.de. 

En esta pantalla principal se pueden distinguir diferentes aspectos. 

Ventana principal: es la parte en blanco donde se realizará la 


Con el comando ZOOM o con las teclas +/- se puede acercar o 

alejar el dibujo. 

Barra de título: es donde aparece el nombre del archivo con el 

que se graba la construcción. 

Barra de herramientas: es la barra donde aparecen todos los 

íconos que se pueden utilizar en la construcción. Si se apoya 

el mouse sobre cada ícono y se lo sostiene unos segundos 

aparecerá el nombre de la herramienta. 

Normalmente la barra de herramientas aparece en dos líneas: 

● la línea superior contiene las herramientas de aspecto 

y configuración como la cuadrícula o mostrar los objetos 

ocultos, el color y la forma de los objetos; 

86 

Menú 

Barra de macros 

Línea de estado 

Barra de Windows 

Barra de título 

Barra de herramientas 

Hoja de trabajo 

● la línea inferior contiene las herramientas de construcción, 

como el punto, el segmento, etcétera. 

Las herramientas que no aparecen en la pantalla pueden 

utilizarse de todas maneras con las combinaciones de teclas o 

con el menú. 

Barra de macros: es una barra con herramientas especiales, 

pensada para abreviar construcciones muy conocidas y 

utilizadas. Conviene explorarla después de conocer el uso de las 

otras herramientas sencillas. 

Línea de estado: es donde aparece información importante y 

generalmente se encuentra debajo de la ventana principal. Esta 

línea sirve para escribir los comandos. 

Menú: contiene otras opciones, como guardar o abrir archivos, y 

las combinaciones de teclas de cada herramienta. Por ejemplo: 



Descripción permanente: muestra 

una ventana donde aparece la lista de 

instrucciones y nuevos objetos. 

Modo Escolar – Modo Principiante: 

prepara las herramientas para ayudar a 

aprender en distintas etapas del aprendizaje. 

Nueva Construcción: borra la construcción 

anterior y prepara para una construcción 

nueva y sin nombre. 

Abrir Construcción - abre un archivo 

almacenado bajo un nombre que contiene la 

construcción elegida. 

Abrir Ejercicio - Abrir Construcción 

Descriptiva: abren construcciones 

especialmente preparadas para aprender. 

Guardar Construcción – Guardar 

Construcción Como: graba la construcción 

con el nombre que uno elija, en una carpeta 

determinada por el programa, a menos que se 

le indique otra carpeta. 

Imprimir: presenta las opciones para imprimir. 

Aquí aparecen las herramientas para construir 

objetos sencillos. 

También aparecen herramientas que ofrecen 

opciones: ocultar, mostrar, editar comentario, 

hacer dibujo libre, mover, dejar rastro, etcétera. 

El comando Ayuda otorga información 

sobre el último objeto que se utilizó y 

lo relaciona con otros temas. 


87

Herramientas para construir 

88 

Punto 

Recta 

Semirrecta 

Segmento 

Círculo 

Compás 

Círculo de radio fijo 

Recta paralela 

Recta perpendicular 

Punto medio 

Ángulos 

Ángulo de amplitud fija 

Mover 

Construye un punto libre, que se puede mover. Si se presiona la tecla sHIFt 

al crear el punto, se abrirá la ventana de propiedades para fijar la posición. 

Al marcar dos puntos con este comando se dibuja una recta. Las herramientas recta 

perpendicular, recta paralela y ángulo fijo también producen rectas o semirrectas. 

Cuado se marcan dos puntos con este comando se dibuja 

una semirrecta cuyo origen es el primer punto marcado. 

Esta herramienta sirve para construir un segmento dados dos puntos 

que son sus extremos. Si al marcar el segundo punto se presiona la tecla sHIFt 

se fija la longitud del segmento. 

Para construir un círculo con este comando hay que marcar dos puntos. 

El primero será el centro y el segundo dará la medida del radio. 

La herramienta Compás necesita que se seleccionen tres puntos. Con los dos primeros se 

indica qué longitud tendrá el radio, y con el tercero se fija el centro. 

La herramienta Círculo de radio fijo abre automáticamente la ventana 

de propiedades para definir la longitud del radio. 

Para construir una recta paralela hay que seguir los siguientes pasos: 

1. Se señala una recta, segmento o semirrecta a la que será paralela. 

2. Se señala un punto exterior por donde pasará la paralela. 

Para construir una recta perpendicular hay que seguir los siguientes pasos: 

1. Se señala una recta, segmento o semirrecta a la que será perpendicular. 

2. Se señala un punto por donde pasará la perpendicular. 

Para marcar el punto medio entre dos puntos hay que apretar este ícono y luego señalar 

dos puntos. 

Para construir un ángulo hay que señalar tres puntos, el del medio es el vértice. Los 

ángulos que construye el programa son siempre menores que 180°. 

Con esta herramienta se abre el cuadro de propiedades para que se pueda elegir una 

medida de amplitud. 

Esta herramienta mueve puntos y texto, como alternativa al botón derecho del mouse. 

Al seleccionarla o al oprimir EsC , todos los puntos movibles aparecerán en rojo. 

Con la tecla sHIFt pueden moverse varios puntos juntos. 

Traza (rastro) La herramienta traza hace que el punto deje una huella mientras se mueve. 

Fórmulas 

Texto 

Oculta objeto 

Esta herramienta sirve para escribir fórmulas en la pantalla. 

Para mover las fórmulas hay que apretar el botón derecho del mouse. 

Esta herramienta sirve para escribir un texto en la construcción. 

Este texto puede ser editado con un editor interno. 

Con esta herramienta se ocultan objetos. Si está activada la herramienta 

Mostrar Objetos ocultos, un segundo clic sobre el objeto lo vuelve a mostrar. 

También, si se oculta con CtRL y el botón derecho del mouse, los círculos y las rectas 

se vuelven truncadas y se ocultan apretando nuevamente el botón derecho del mouse. 

Para ocultarlo “para siempre”, además, hay que apretar la tecla sHIFt . 

En ese caso solo se puede recuperar en la descripción. 



GeoGebra 

GeoGebra es un programa gratuito y se pueden encontrar en www.geogebra.org. 

En esta pantalla principal se pueden distinguir diferentes aspectos. 

Menú 

Línea de estado 

Barra de Windows 

Vista 

algebraica 

Ejes cartesianos 

Ventana principal: es la parte en blanco donde se realizará la 


Barra de título: es donde aparece el nombre del archivo con el 

que se graba la construcción. 

Barra de herramientas: es la barra donde aparecen todos los 

íconos que se pueden utilizar en la construcción. Si se apoya 

el mouse sobre cada ícono y se lo sostiene unos segundos 

aparecerá el nombre de la herramienta. 

Vista algebraica: Es dónde aparecen las coordenadas 

y fórmulas que permiten ubicar los puntos en el plano. 

Hoja de trabajo 


Barra de título 

Barra de herramientas 

Generalmente, en este ciclo no es de utilidad, por lo que puede 

sacarla haciendo clic en la cruz superior derecha. 

En la barra de herramientas puede observar las herramientas 

de construcción, como el punto, el segmento, etcétera. Para 

visualizar todas las herramientas de construcción debe pararse 

en el borde inferior izquierdo de cada ícono y hacer clic con el 

mouse. Se desplegarán todas las herramientas de construcción. 

Nueva ventana: comienza una construcción nueva en otra ventana sin 

borrar la actual. 

Nueva: cierra la ventana actual para comenzar una nueva construcción. 

Guarda - Guarda Como: guarda los archivos en extensión ggb. 

Exporta: permite exportar los archivos a una página web o como 

imagen en las extensiones png, pdf, eps, svg o emf. 

Previsualizar impresión: permite visualizar la imagen previa a la 

impresión 

89

90 

Permite hacer y deshacer partes de las 

construcciones y copiar al portapapeles 

para pegar en un procesador de textos. 

Parándose con el mouse en el borde inferior derecho 

se abrirán todas las funciones. Por ejemplo: 

Permite visualizar o anular en la pantalla los 

distintos modos de trabajo como ejes, vista 

algebraica, planilla de cálculo, etcétera. 

Permite modificar la apariencia, escala, 

cantidad de decimales que se consideran, 

etcétera. 



Las primeras construcciones 

Construcción de un punto con Regla y Compás 

Para construir un punto hay que apretar el botón izquierdo del 

mouse sobre el ícono correspondiente y luego volver a apretar 

el botón izquierdo del mouse donde se quiere poner el punto. 

Una vez construido observe que cuando pasa el mouse por él 

cambia de color. 

Para ponerle nombre al punto, una vez que cambió de color, 

hay que apretar el botón derecho del mouse y se desplegará la 

siguiente pantalla: 

Complétela con el nombre deseado y luego apriete el ícono 

que tiene una A para que el nombre aparezca en la pantalla. 

Luego apriete OK. 

Observe que en esta pantalla aparecen además otros íconos. 

Con ellos puede cambiar la letra, el color, el trazo, ocultar los 

objetos, etcétera. 


Construcción de un segmento con GeoGebra 

Para construir un segmento primero marque dos puntos 

diferentes como se explicó anteriormente. Luego apriete el 

botón izquierdo del mouse sobre el ícono segmento y marque 

con el mouse los puntos que serán sus vértices. Quedará así 

marcado el segmento. 

Puede modificar las propiedades del segmento parándose 

sobre el mismo, haciendo clic con el botón derecho y luego 

marcando propiedades. 

91

Construcción de una circunferencia con GeoGebra 

Se pueden construir circunferencias con GeoGebra dados 

distintos datos. 

- Con el ícono Circunferencia dados el centro y un punto se hace 

clic en el centro y luego en un punto de la circunferencia. 

- Con el ícono Circunferencia dados el centro y el radio, se hace 

clic en el centro y pide el valor de la medida del radio. 

- Con el ícono Compás se puede marcar un segmento que será 

la medida del radio y luego el centro de la circunferencia. 

- Con el ícono Circunferencia dados 3 puntos es necesario 

marcar 3 puntos pertenecientes a la circunferencia y se marcará 

la misma. 

Construcción de una recta paralela y una perpendicular a otra 

Para construir una recta paralela a otra que pase por un punto, 

primero hay que apretar el botón izquierdo del mouse sobre el 

ícono correspondiente, luego sobre la recta que está dibujada y, 

por último, sobre el punto donde se pretende dibujar la 

nueva recta. 

Para dibujar una recta perpendicular se procede de la misma 

manera pero con otro ícono. 

92 

Construcción de la mediatriz de un segmento con Regla y 

Compás 

Para construir la mediatriz de un segmento dado siga estos 

pasos: 

1. Marcar el punto medio del segmento apretando el botón 

izquierdo del mouse en el ícono correspondiente y apretándolo 

luego en los extremos del segmento. 

2. Trazar la recta perpendicular al segmento que pasa por ese 

punto medio como se explicó anteriormente. 

Construcción de un ángulo con GeoGebra 

Para construir un ángulo con GeoGebra hay dos posibilidades. 

- Marcar 3 puntos del ángulo. El del medio será el vértice. 

- Marcar 2 puntos y la medida del mismo. 

En los dos casos es necesario tener en cuenta la orientación que 

se pretende: horaria o antihoraria. 

Parándose con el mouse en el ángulo y haciendo clic con el 

botón derecho se abren las propiedades. 



RACIONALES 

INTEGRACIÓN 

El juego consiste en tirar un bingo. En los casilleros hay prendas 

que llevan al alumno a resolver los distintos juegos de Mati.net. 

Pida que jueguen y que vayan anotando cuántas prendas 

tuvieron que pasar. 

Luego pida que anoten las estrategias utilizadas para ganar 

cada prenda. Realice un debate posterior, en él saldrán todos 

los temas que se analizaron durante el año. Este es un buen 

trabajo de integración anterior a la evaluación final. 


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Matemática- D.E.P., Prov. Bs. As. 

● Documento Nº 1 /99. Gabinete Pedagógico Curricular – 

Matemática- D.E.P., Prov. Bs. As. 

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Matemática- D.E.P., Prov. Bs. As. Orientaciones Didácticas para la 

Enseñanza de la División en los tres ciclos de la EGB. 


Matemática- D.E.P. ,Prov. Bs. As. Orientaciones Didácticas para la 

Enseñanza de la Multiplicación en los tres ciclos de la EGB. 


Matemática- D.E.P., Prov. Bs. As. Orientaciones didácticas para el 

trabajo con los números en los primeros años. 

● Lerner, D.; Sadovsky, P. y Wolman, S. (1994). “El sistema de 

numeración: un problema didáctico” en Parra Cecilia, Saiz, 

Irma: Didáctica de las matemáticas: Aportes y reflexiones, Paidós, 

Buenos Aires. 

● Parra, C. (1994). “El cálculo mental en la escuela Primaria” en 

Parra Cecilia, Saiz, Irma: Didáctica de las matemáticas: Aportes y 

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● Sadovsky, P. (2005) “La Teoría de Situaciones Didácticas: un 

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● Saiz, I.,“Dividir con dificultad o la dificultad de dividir”, en 

Parra Cecilia, Saiz, Irma: Didáctica de las matemáticas: Aportes y 

reflexiones, Paidós, Buenos Aires. 

93

Notas 

94 



Notas 

95

Guía docente 

Matimática 6 Esta guía docente desarrolla la 

propuesta didáctica de Matimática 6. 

Gerente general 

Leandro De Sagastizábal 

Directora editorial 

Susana Pironio 

Vicedirectora 

Alina Baruj 

Directora de la serie 

Liliana Kurzrok 

Autora 

Andrea Novembre 

Editora 

Marcela Baccarelli 

Jefa de arte 

Eugenia Escamez 

Coordinación de arte y 

diseño gráfico 

Diego Lucero 

Diagramación 

Celeste Maratea 

Federico Gómez 

Asistente editorial 

Carolina Pizze 

Producción editorial 

Nora Manrique 

La reproducción total o parcial de este libro en cualquier forma que sea, idéntica 

o modificada, y por cualquier medio o procedimiento, sea mecánico, electrónico, 

informático o magnético y sobre cualquier tipo de soporte, no autorizada por los 

editores, viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito. 

En español, el género masculino en singular y plural incluye ambos géneros. Esta 

forma propia de la lengua oculta la mención de lo femenino. Pero, como el uso 

explícito de ambos géneros dificulta la lectura, los responsables de esta publicación 

emplean el masculino inclusor en todos los casos. 

© Tinta fresca ediciones S.A. 

Corrientes 526 

(C1043AAS) Ciudad de Buenos Aires 

Hecho el depósito que establece la Ley N° 11.723. 

Libro de edición argentina. Impreso en la Argentina. 

Printed in Argentina. 

ISBN: 978-987-576-440-8 

Novembre, Andrea 

Guía docente Matimática 6. - 2da ed. - Buenos 

Aires : Tinta Fresca, 2011. 

96 p. ; 28x21 cm. 

ISBN 978-987-576-440-8 

1. Matemática . 2. Guía docente. I. Título. 

CDD 371.1

Guía Docente - Tinta Fresca

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