Programación Lineal Entera - OCW Usal

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106 Investigación Operativa Cuando se nos presente la resolución de un Problema de Programación Entera, lo resolvemos como un problema de Programación Lineal. Si sus soluciones son enteras, ésta es la solución para el problema de programación lineal entera. En cualquier problema se verifica que la solución óptima z op (PL) z op (PLE) Ésta relación se cumple siempre porque cualquier solución factible para un problema de PLE es también una solución factible para la su relajación lineal (PL). Definición 4.1. El problema de programación lineal que se obtiene al omitir todas las restricciones enteras ó variables 0-1 se llama relajación de programación lineal para la programación entera. Definición 4.2. Criterio de optimalidad en un problema de PLE: Una solución entera factible xF es óptima para el problema de PLE si es solución óptima de una relajación lineal. En tal caso se cumple que z op (PL) = z op (PLE)=zF Un problema de programación entera en el cual solamente algunas de las variables tienen que ser números enteros, se llama un problema de programación entera mixta. Por ejemplo max z 3 x1 2 x2 st x1 x2 5 x x 0 ; x entero 1, 2 1 Un problema de programación entera en el cual todas las variables toman valores 0 ó 1, se denomina problema de programación entera 0-1 (programación lineal binaria). La relajación de programación lineal para la programación mixta del ejemplo anterior es: max z 3 x1 2 x2 st x1 x2 5 x , x 0 Por lo tanto, la relajación programación lineal es una versión menos restringida, o más relajada, de la programación entera. Esto significa que la región factible para cualquier programación entera tiene que estar incluida en la región factible de la relajación programación lineal correspondiente. 1 2
Programación Lineal Entera 107 4.2. Restricciones A menudo, cuando tenemos que plantear un problema de programación matemática, se nos presentan enunciados en los que figura la condición: i) “o bien” (una o la otra). Esto supone una formulación del tipo f(x1, x2,…, xn) 0 ó g(x1, x2,…, xn) 0 Para implementar esta condición, se toma una variable binaria, 0-1, y un valor M suficientemente grande para asegurar el cumplimiento de las restricciones f(x1, x2,…, xn) M y g(x1, x2,…, xn) M, además de las otras restricciones del problema. f(x1, x2,…, xn) My g(x1, x2,…, xn) M(1-y) y = 0, 1 Podemos ver que si y = 0, la restricción f(x1, x2,…, xn) 0, se cumple. La restricción g(x1, x2,…, xn) M puede cumplirse, pero no lo sabemos. Para y= 1, la restricción f(x1, x2,…, xn) M puede cumplirse y g(x1, x2,…, xn) 0 se cumple. ii) “si entonces”(condicional) En este tipo de restricciones se desea estar seguro de que se satisface la restricción g(x1, x2,…, xn) 0 si se satisface la restricción f(x1, x2,…, xn) > 0. Para implementar el caso anterior, tomando un valor M suficientemente grande, introducimos una variable binaria, 0-1, y cambiamos los signos en las desigualdades, dando como resultado la formulación siguiente: f(x1, x2,…, xn) M(1-y) (es un artificio esta formulación) - g(x1, x2,…, xn) My y = 0, 1 Para f(x1, x2,…, xn) > 0, y = 0, tenemos
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