Resolución de las ecuaciones de Poisson y Laplace

Apéndice A
Resolución de las ecuaciones de
Poisson y Laplace
A.1. Introducción
Este capítulo trata de la solución de las ecuaciones de Poisson y Laplace con diversas
técnicas. Sus contenidos pueden abordarse desde cualquier punto de este texto, en
particular, parte del mismo puede estudiarse una vez introducidas dichas ecuaciones en
los primeros capítulos.
A.2. Solución analítica de la ecuación de Poisson
A.2.1. Ejemplos del uso de las ecuaciones de Poisson y Laplace
Ya vimos que los campos F que son irrotacionales en una cierta región del espacio,
cumplen en ella una ecuación de tipo Poisson.
y
Si en V
∇ · F(r) = D(r)
∇∧ F(r) = 0
⎫
⎬
La ecuación homogénea, ecuación de Laplace
⎭ ⇒ F(r) = −∇ f(r)
∇ 2 f(r) = −D(r) (A.1)
∇ 2 f(r) = 0 (A.2)
que será válida en regiones donde F sea solenoidal.
El problema que se plantea es la búsqueda de la solución de estas ecuaciones en
un cierto volumen y bajo unas ciertas condiciones de contorno. Se ha visto que las
condiciones de Dirichlet, o las mixtas, en las cuales se fija el valor de f en al menos
parte de la superficie del contorno, aseguran la unicidad del potencial, mientras que las
condiciones de Neumann, en las que se fija solamente la componente normal del campo
Fn, implican la unicidad de este último.
a-1

a-2
La resolución de la ecuación de Poisson puede llevarse a cabo sumando a la solución
general de la ecuación de Laplace una solución particular de la de Poisson y ajustando
los coeficientes de esta suma para cumplimentar las condiciones de contorno.
Muchos problemas importantes de campos electrostáticos, campos magnetostáticos
y corrientes estacionarias responden a este tipo de ecuaciones.
Para medios no conductores de clase A, el campo electrostático cumple las ecua-
ciones
y
y
∇ · E(r) = 1
ε ρ(r)
∇∧ E(r) = 0
⎫
⎪⎬
⎪⎭ ⇒ E(r) = −∇ V (r)
∇ 2 V (r) = − 1
ρ(r) (A.3)
ε
En condiciones estáticas y ausencia de corrientes de conducción, el campo H cumple
∇ · H(r) = ρM(r)
∇∧ H(r) = 0
⎫
⎬
⎭ ⇒ H(r) = −∇ U(r)
∇ 2 U(r) = −ρM(r) (A.4)
Para corrientes estacionarias, supuesta la presencia de campos electromotores conocidos
E ′
j = σ ET = σ ( E + E ′ ) , ∇ · j (r) = 0
∇ · E(r) = −∇ · E ′ (r)
∇∧ ⎫
⎬
⎭
E(r) = 0
⇒ E(r) = −∇ V (r)
y
∇ 2 V (r) = ∇ · E ′ (r) (A.5)
En este planteamiento del problema 1
ε ρ(r), ρM(r) y ∇ · E ′ (r) se suponen conocidos
y fijos en todo el volumen V dentro del cual queremos hallar la solución.
A.2.2. Principio de superposición
En algunos casos es útil el uso del principio de superposición que se deduce de la
linealidad de la ecuación de Poisson.
Si fi(r) es una solución de la ecuación
∇ 2 fi(r) = −Di(r)
que cumple una de las condiciones de contorno
[fi] S = fiS ó
∂ fi
∂ n
S
= −FinS

entonces
es una solución de ∇ 2 f = −D, donde
con la condición de contorno
fS =
N
i=1
f =
D =
N
i=1
N
i=1
λi fi
λi Di
λi fiS ó FnS =
lo que puede comprobarse por simple substitución.
N
i=1
λi FinS
Esto permite, a veces, descomponer un problema complejo en otros más sencillos,
como ilustraremos más adelante.
A.2.3. Expresión integral de la ecuación de Poisson
Antes de exponer el método de Green de solución de la ecuación de Poisson veremos
como ésta puede ser puesta en forma integral. Para ello haremos uso de las identidades
de Green.
Identidades de Green :
Si h y g son dos funciones definidas en V. Por el teorema de la divergencia
V
∇ · (h ∇ g)dv =
S
h ∇ g · n ds
Desarrollando la divergencia y escribiendo la derivada direccional de la forma ∇ g ·
∂ g
n ≡ ∂ n
(h ∇ 2
g + ∇ h · ∇ g)dv =
∂ g
h ds
∂ n
(A.6)
que es la primera identidad de Green.
Cambiando g ↔ h y restando, obtenemos
V
(h ∇
V
2 g − g ∇ 2 h)dv =
la cual es la segunda identidad de Green.
S
(h
S
∂ g
∂ n
a-3
∂ h
− g )ds (A.7)
∂ n

a-4
V f
Volumen
que contiene
a todas las
fuentes
D=0
D (r ’)
V=V’
Volumen
problema
Figura A.1:
Expresión integral de la ecuación de Poisson :
Para obtener una ecuación integral que nos exprese el valor del potencial f(r) en un
punto r ∈ V, integraremos A.7 sobre un V ′ = V que no tiene por que incluir a todas las
fuentes y haremos g = f(r ′ ) y h = 1
R . Reordenando los términos
−
V ′
f(r ′ ) ∇ ′2
1
dv
R
′
=
(A)
−
V ′
1
R ∇′2 f(r ′ )dv ′
(B)
n
S’
1
R
· n ′ ds ′
+
S ′
1
R ∇′ f(r ′ ) · n ′ ds ′
−
S
(C)
′
f(r ′ ) ∇ ′
(D)
Puesto que, como ya se ha visto, ∇2 (1/R) = −4πδ( R)
(A) = 4π f(r ′ )
= 4π f(r) para r ∈ V
r ′ =r
Teniendo en cuenta que ∇ ′2 f(r ′ ) = −D(r ′ ), podemos escribir
(B) =
V ′
D(r ′ )
R dv′
expresión que, multiplicada por 1
4π y extendiendo V ′ a todas las fuentes, nos daría por
si sola f(r). Sin embargo tomaremos V ′ como un volumen arbitrario que podrá contener
a una parte de las fuentes, a ninguna o todas.
Por último, substituyendo ∇ ′ f(r ′ ) = − F(r ′ ) en (C) y ∇ ′ (1/R) = R/R 3 en (D),
tenemos
f(r) = 1
4π
V ′
D(r ′ )
R dv′ − 1
4π
S ′
f(r ′ )(n ′ · R)
R3 + F(r ′ ) · n ′
ds
R
′
(A.8)

Esta ecuación no constituye una solución porque, según hemos visto en la sección
9.1.2.1, no es posible fijar al mismo tiempo el potencial y la componente normal del
campo en un mismo punto del contorno.
Claramente los términos (C) y (D) aparecen en compensación de las fuentes no
incluidas en V ′ y que, por lo tanto, no han sido tenidas en cuenta. (C) tiene la forma
de integral de potencial monopolar y (D) de potencial dipolar. Así, pués, las cargas
eléctricas o polos magnéticos no tenidos en cuenta al integrar sobre V ′ se substituyen
por unas distribuciones superficiales de polos y dipolos, eléctricos o magnéticos en su
caso, situados en el contorno.
En la solución de la ecuación de Laplace, ya que D(r ′ ) = 0 en r ′ ∈ V ′ , la integral
sobre el contorno representa a las fuentes que necesariamente debe haber fuera del
volumen problema puesto que dentro de él no las hay. En caso contrario el campo en
V ′ sería nulo por carecer de fuentes.
A.2.4. Método de Green
Con objeto de introducirnos en el uso del método de Green para resolver ecuaciones
diferenciales, ilustraremos su aplicación a la solución del problema de Poisson
con condiciones de Dirichlet.
Para ello definiremos como funciones de Green a las soluciones generales de las
ecuaciones
∇ 2 G(r, r ′ ) = −δ( R) = −δ(r − r ′ ) (A.9)
a-5
∇ ′2 G ′ (r ′ , r) = −δ( R) (A.10)
donde se ha tenido en cuenta que δ( R) = δ(− R).
Como puede verse en A.9, G(r, r ′ ) es el potencial que se mediría en r debido a una
fuente puntual situada en r ′ ( q
ε = 1 en el caso electrostático) 1 .
De la misma forma, G ′ (r ′ , r) es el potencial que una fuente puntual colocada en
r produce en r ′ . Una solución particular para A.9 y A.10 es la solución con simetría
esférica
Gp = 1
4π R =
1
4π |r − r ′ | = G ′ p
Si a esta le añadimos la solución general de la ecuación de Laplace
GL(r, r ′ ) , G ′ L (r ′ , r) tenemos
G(r, r ′ ) = 1
4π R + GL(r, r ′ )
G ′ (r ′ , r) = 1
4π R + G ′ L(r ′ , r) (A.11)
Esta última será la expresión general de la función de Green correspondiente a una
fuente puntual en r observada en r ′ .
1 Téngase en cuenta que ∇ opera sobre r por lo que en esta ecuación r ′ =
cte.

a-6
Volviendo a hacer uso de la segunda identidad de Green, con h = G ′ (r ′ , r) y g =
f(r ′ ) y r ∈ V ′
f(r) =
V ′
G ′ (r ′ , r) D(r ′ )dv ′
+
S ′
G ′ (r ′ , r) ∂ f(r ′ )
∂ n ′ − f(r ′ ) ∂ G ′ (r ′ , r)
∂ n ′
ds ′
(A.12)
que puede ser convertida en solución para un problema con condiciones de contorno
de Dirichlet definiendo la función de Green para condiciones de Dirichlet GD, solución
particular que cumple la condición de contorno
GD(r, r ′ )
S
= 0 (A.13)
es decir eligiendo las constantes indeterminadas de la función de Green de manera que
ésta se anule en el contorno.
En este caso, la función de Green es simétrica, como demostraremos más adelante,
GD(r, r ′ ) = G ′ D(r ′ , r) = GD
Substituyendo esta función en A.12, obtenemos la solución del potencial en V que
corresponde a la condición de Dirichlet [f(r ′ )] S ′ = fs(r ′ )
f(r) =
V ′
G ′ D D dv ′
−
S ′
fs
∂ G ′ D ds′
∂ n ′
(A.14)
que es una verdadera solución del problema de Dirichlet porque, al ser [GD]S ′ = 0,
nos desaparece la integral asociada a la componente normal del campo. Algo parecido
podemos hacer para condiciones de Neumann [Jackson].
, luego
Para el potencial electrostático, f = V y D = ρ
ε
V (r) = 1
ε
V ′
GD ρ dv ′ −
S ′
Vs
∂ GD
ds′
∂ n ′
(A.15)
Como todos los métodos generales de solución, en casos concretos éste puede presentar
dificultades insalvables. La utilidad del método de Green es, sin embargo, considerable.
El problema de Dirichlet en el que se especifican las fuentes D(r ′ ) en V ′ y se fija el
valor fs(r ′ ) del potencial en el contorno, se desdobla en dos:
Busqueda del potencial producido por una fuente puntual unitaria en V ′ cuando
todos los puntos del contorno están a potencial nulo 2 .
Realización de las integrales de A.15 3 .
Por otra parte, es interesante resaltar que una misma función de Green sirve para el
cálculo del potencial en un mismo volumen pero con fuentes y condiciones de contorno
distintas.
2 Este problema es más sencillo que el planteado por un potencial fs(r ′ ) arbitrario.
3 Como último recurso, estas integrales pueden llevarse a cabo numéricamente.

Para terminar, investigaremos la simetría de GD. Sean las funciones G ′ D (r ′ , r1) y
G ′ D (r ′ , r2), las cuales cumplen
∇ ′2 G ′ D (r ′ , r1) = −δ(r ′ − r1)
∇ ′2 G ′ D (r ′ , r2) = −δ(r ′ − r2)
⎫
⎬
′
G D
⎭ S ′ = 0
Substituyendo h = G ′ D (r ′ , r1) y g = G ′ D (r ′ , r2) en la segunda identidad encontramos
que, efectivamente, es simétrica.
A.2.5. Método de las imágenes
G ′ D(r1, r2) = G ′ D(r2, r1)
El método de las imágenes se basa en el Teorema de Unicidad, según el cual, si una
función f es solución de la ecuación de Poisson ∇ 2 f = −D en todo el volumen problema
y cumple condiciones de contorno adecuadas, ésta f es la única solución de nuestro
problema. Aunque no es un método general, es aplicable a una serie de problemas de
singular importancia, no sólo en el caso de campos estáticos, lo que justifica su interés.
En particular, permitirá el cálculo sencillo de la función de Green para geometrías
simples.
Esencialmente, la solución del problema de contorno se consigue substituyendo dicho
contorno por un espacio imagen, constituido por medios y fuentes imagen y situados
en el exterior del volumen de interés, o volumen problema, de forma tal que sigan
cumpliéndose las condiciones de contorno impuestas y que en el interior no se alteren
las fuentes D especificadas.
I
,ε
S
II ,ε I ,ε
d (r ’) -d (r ’) d (r ’)
ρ ρ ρ
I
ρ =−ρ
I
r ’ r ’
r ’ I
Espacio imagen
(solucion no valida)
Figura A.2:
Espacio problema
(solucion valida)
En la figura A.2 se presenta un caso simple consistente en un sistema de cargas ρ(r ′ )
frente a un plano conductor a potencial nulo.
El volumen de interés es el semiespacio a la derecha del plano conductor y el contorno
del problema es la superficie S. Las condiciones que se cumplen en este problema son
a-7

a-8
de tipo Dirichlet. En el semiespacio de la izquierda no se han especificado ni los medios
ni las fuentes, lo que no nos permite decir nada acerca del potencial existente en dicha
región. Si nosotros nos figuramos ahora a este semiespacio como lleno de un medio con
constante ε y con una distribución de cargas de signo contrario a las especificadas ( ρI
es la imagen especular de ρ)
ρ( d) = −ρI(− d) , εI = ε
por simetría, el potencial VS = 0 y, puesto que no hemos alterado la región (I) ni el
potencial de su contorno, el campo producido en esta nueva situación es el mismo que
existía en el problema primitivo en dicha región. La solución obtenida no es válida para
la región (II) puesto que en ella hemos fijado arbitrariamente los medios y las fuentes.
σ=0
I
,σ 0
+S 2
S=S 1
σ
j = σ E
0
oo
I
V E
V E
II ,σ ,σ
0
I
0
I I
Figura A.3:
En la figura A.3 se plantea un problema típico de electrodos en medios de conductividad
finita. En este caso, un electrodo (conductor ideal con σ → ∞) inyecta una
intensidad I a un medio de conductividad finita σ0, separado por un plano del medio
de la izquierda, que es no conductor (σ = 0). Resolvemos el problema en el medio de
conductividad finita, cuyo contorno es S = S1 + S2, donde S1 es la interfaz con el medio
no conductor y S2 la superficie del electrodo. Dado que la corriente no fluye en el medio
no conductor, en S1 puede imponerse la condición de tipo Neumann (En = 0) . El S1
electrodo es equipotencial, por lo que en su superficie puede imponerse la condición de
tipo Dirichlet (V ) S2 = VE, con lo que, en conjunto, las condiciones son mixtas.
El espacio imagen estaría constituido por un electrodo simétrico con respecto a S1
inmerso en un medio de la misma conductividad σ0.
Algo parecido, figura A.4, podemos hacer con sistemas de corrientes frente a materiales
magnéticos ideales. En virtud de la ley de refracción, las líneas de campo serán
perpendiculares a la superficie externa S1 del medio. Por lo tanto, el potencial magnético
US1 = cte y puede tomarse como nulo. El espacio imagen estaría constituido por un
medio de permeabilidad µ0 y una espira simétrica de la primitiva con respecto a S1,
pero recorrida en sentido contrario.
No abordaremos el tema en extenso [Lorrain y Corson, Reitz et al., Jackson]; nos
limitaremos a describir la aplicación del método al cálculo del potencial electrostático
producido por cargas en presencia de superficies conductoras.
V
E

µ oo
I ,µ
0
S=S +S
1 2
U=cte
H
II ,µ
0
I ,µ
0
I I I
Figura A.4:
A.2.5.1. Imágenes sobre un plano conductor; función de Green
Consideremos a una carga puntual situada en el punto (d, 0, 0) frente al plano
conductor x = 0 que está a potencial nulo.
(-d,0,0)
-q
II
E(0,y,z)
,ε I ,ε
R 2
r
+q
ρ s (y,z)
S
Figura A.5:
(d,0,0)
La carga q atraerá, por influencia, cargas de signo contrario estableciendo en S una
densidad de carga ρs(y, z) que apantalla al campo dentro del conductor.
ρ(y, z) = ε E(0, y, z) · n
Según vemos en la figura A.5, para la región (I) tendremos un campo que será el
resultado de superponer el coulombiano de q con el de su imagen −q.
E = q
4πε
R1
R 3 1
− R2
R 3 2
, V = q
4πε
R 1
1
R1
x^
− 1
R2
a-9

a-10
donde
R1 = (x − d, y, z) , R2 = (x + d, y, z)
La fuerza que la carga ejerce sobre el plano, o la que el plano ejerce sobre el conductor,
será la de atracción entre q y su imagen.
F = q E−q = − q2
4πε
1
x
(2d) 2
Es interesante resaltar que el trabajo necesario para traer a la carga q desde el
infinito a su posición final no puede obtenerse como producto de dicha carga por el
potencial V−q( d) que produce la imagen en d porque al mover q se mueve también su
imagen.
q’= −ε
r ’ I
R 2
Figura A.6:
r
r ’
R 1
q= ε
Para obtener la función de Green GD(r,r ′ ) = G ′ D (r ′ ,r) colocaríamos una carga
q = ε en r ′ y calcularíamos el potencial en r. Si, como se muestra en la figura A.6,
colocamos al plano en el plano yz y la carga a una distancia x del mismo
Luego
r = (x, y, z) , r ′ = (x ′ , y ′ , z ′ ) , R1 = r − r ′
GD(r, r ′ ) = 1
4π
A.2.5.2. Imágenes sobre una esfera
^
x
r ′ I = (−x′ , y ′ , z ′ ) , R1 = r − r ′ I
1
|r − r ′ | −
1
|r − r ′ I |
Podemos también demostrar que la imagen de una carga q, frente a una esfera con
potencial nulo, es otra carga q ′ de signo contrario y de distinta magnitud. Si la esfera
estuviese a un potencial no nulo, bastaría con hacer uso de una segunda imagen q” y
situarla en el centro de la esfera.

I ,ε
a
II ,ε
r
q’’
b
θ
R 2
q’
d
Figura A.7:
R 1
q
z
^
a-11
Empezaremos considerando el primer caso. Supongamos, figura A.7, un par de cargas
q y q ′ situadas en z = d y z = b respectivamente. El potencial creado en un punto de la
esfera será
donde A = 0 y
V (a) = 1
4πε
q q′
+ = 0
R1(a) R2(a)
A
R1(a) = a 2 + d 2 − 2ad cosθ , R2(a) = a 2 + b 2 − 2abcosθ
Elevando (A) al cuadrado y agrupando términos, tenemos que
q ′2 (a 2 + d 2 ) − q 2 (a 2 + b 2 )
B
+2a(bq 2 − dq ′2 ) cosθ = 0
C
Para que esto sea cierto en toda la superficie de la esfera, es decir, para cualquier
θ, será necesario que B = 0 , C = 0. Dado que, para que el potencial de la esfera sea
nulo, es preciso que las cargas sean de signo contrario y que la imagen debe estar en el
interior de la esfera, b < a, los parámetros de la imagen son
q ′ = −q a
d
, b = a2
d
(A.16)
Estas relaciones siguen siendo válidas si intercambiamos la región (I) por la (II) y
q por q ′ . Es decir, son válidas para cargas q en el interior de una esfera (d < a).
Podemos calcular el potencial producido por una carga q frente a una esfera conductora,
a potencial V0 sin más que añadir una carga en el origen de magnitud
q ′′ = V0 4π εa , V (r) = 1
4πε
q
|r − d z| +
q ′
q′′
+
|r − b z| r
(A.17)

a-12
V 0
a
y
y
c
R
2
−λ
x
P=(x, y)
a
d
Figura A.8:
R0
A.2.5.3. Imágenes sobre superficies cilíndricas
Por último, investigaremos el potencial creado por una línea cargada uniformemente,
con densidad lineal de carga λ, en presencia de un cilíndo conductor a potencial V0,
paralelo a la anterior y de radio a. Suponemos que, como se muestra en la figura A.8,
dicha línea se encuentra a una distancia d del centro del cilíndro.
Probaremos el uso de una línea imagen con densidad lineal −λ. Nos planteamos por
lo tanto, el cálculo de la distancia c del origen a la que deberá colocarse esta imagen.
Dado que en este caso no es posible tomar como origen de potenciales al infinito,
lo tomaremos en una línea equidistante R0 de la línea y de su imagen. El potencial
producido por la línea con carga λ a una distancia R de la misma es
V (R) = λ
2π ε ln(R0/R)
y, si el potencial del cilindro es V0, en cualquier punto de este
donde
R 1
V0 = λ
2π ε ln(R2/R1) (A.18)
R1 = (d − x) 2 + y 2 , R2 = (x − c) 2 + y 2
por lo que invirtiendo la ecuación y elvándola al cuadrado, tenemos que
R 2 2 = A R 2 4π ε V0/λ
1 , A = e
Operando, se obtiene el siguiente resultado
x 2 + y 2 +
2x(c − A d)
1 − A
= A d2 − c 2
1 − A
si queremos que la circunferencia esté centrada en el origen, el término proporcional a
x debe anularse, luego
λ
x

A = dfcd
a-13
Teniendo en cuenta este resultado y que el radio de dicha circunferencia es a, tenemos
que A = a 2 /d 2 y
c = a2
d
(A.19)
Luego, la imagen de la primera línea sobre el cilíndro de radio a está situada en c y
tiene la misma densidad lineal con signo opuesto.
El potencial del cilíndo es V0. Paticularizando A.18 al punto r = (a, 0) se llega a lo
conclusión de que
V0 = λ
ln(d/a) (A.20)
2π ε
A.3. Resolución analítica de la ecuación de Laplace; método
de separación de variables
A.3.1. Introducción
Aunque la solución analítica completa de la ecuación de Laplace sólo es factible en un
número de casos, si es posible la obtención de soluciones generales, en diversos sistemas
coordenados, para medios lineales homogéneos e isótropos. Veremos a continuación como
pueden llenarse las condiciones de contorno en simetría cartesiana, cilíndrica o esférica,
trabajando sobre ejemplos concretos. También apuntaremos brevemente el uso de
métodos especiales, como los basados en las variables complejas, para la resolución de
problemas bidimensionales.
De nuevo se pretende solamente introducir el tema, por lo que la presentación
no será completa ni rigurosa. Tratamientos más amplios pueden
encontrarse en prácticamente toda la bibliografía previamente citada y en
[Morse y Feshbach, Abramowitz y Stegun, Arfken y Weber, Wylie, Jackson,
Panofsky y Phillips, Konopinski, Weisstein, Tijonov].
Para la obtención de soluciones generales haremos uso del método de separación de
variables, el cual permite la expresión de dicha solución como producto de funciones
de una variable. Se puede demostrar, aunque nosotros no lo haremos, que la solución
así obtenida es completa, por lo que la solución particular a cualquier problema físico
bien planteado se obtiene dando valores adecuados a las constantes indeterminadas de
dicha solución general.
A.3.2. Solución en coordenadas cartesianas
La ecuación
∇ 2 f = ∂2 f
∂ x 2 + ∂2 f
∂ y2 + ∂2 f
= 0
∂ z2

a-14
admite soluciones del tipo
f(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z)
Substituyendo más arriba, excluyendo la solución trivial f = 0 y dividiendo por
f(x, y, z), obtenemos
1 d
X
2 X
dx2 +
u(x)
1 d
Y
2 Y
dy2 +
v(y)
1 d
Z
2 Z
dz2 = 0
w(z)
La ecuación anterior puede escribirse como suma de tres funciones, cada una de las
cuales depende de una variable independiente distinta. Esto sólo es posible si cada una
de ellas es igual a una constante. La suma de estas tres constantes ha de ser igual a
cero. Anotaremos estas constantes de la forma u(x) = −k 2 x, v(y) = −k 2 y, w(z) = −k 2 z,
con lo que
k 2 x + k 2 y + k 2 z = 0 (A.21)
Esto conduce a las tres ecuaciones unidimensionales de segundo orden
d 2 X
dx 2 = −k2 x X (A.22a)
d 2 Y
dy 2 = −k2 y Y (A.22b)
d 2 Z
dz 2 = −k2 z Z (A.22c)
Así, pués, para cada valor kx, las soluciones posibles de la ecuación de X(x) tienen
la forma
⎧
⎪⎨
Xk(x) = A1 x + A2
⎪⎩
A1k e jkx x + A2k e −jkx x , para k 2 x > 0
, para kx = 0
A1k e κx x + A2k e −κx x , para κ 2 x ≡ −k 2 x > 0
Haciendo uso de las relaciones de Euler
e jα = cosα + j sen α , e α = coshα + senhα
(A.23)
pueden ponerse las anteriores expresiones en función de senos y cosenos, circulares o
hiperbólicos.
La solución general de la ecuación de Laplace será, por lo tanto,
fG =
∀kx,ky
Xkx (x)Yky (y)Zkz (z) , kz =
−k 2 x − k 2 y
(A.24)

a
a-15
Expresión en la que la sumatoria se extiende a todos los valores posibles de kx, ky, kz.
La solución particular de un problema determinado implica el calculo de las infinitas
constantes A1k, A2k, B1k, B2k, C1k, C2k, así como el de los posibles valores de kx, ky, kz
que son compatibles con las condiciones de contorno establecidas.
Para el cálculo de los coeficientes de la solución general suele ser conveniente el uso
de las propiedades de ortogonalidad de los conjuntos de funciones {e jα }, {cosα, sen α},
y {coshα, senhα}.
A veces es útil el recurso al principio de superposición. Así, pués, el problema de
contorno de la figura, en el que las cuatro caras de la caja están a distinto potencial,
puede descomponerse en dos problemas equivalentes al que acabamos de describir, según
se muestra en la figura A.9,
x
V 0
V a
V(x,y)
V c
V
b
y
b
V 0
V (x,y)
1
Figura A.9:
A.3.3. Solución en coordenadas cilíndricas
La ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas toma la forma
∇ 2 f = 1
ρ
∂
∂ ρ
ρ
∂ f
∂ ρ
la cual admite soluciones separables del tipo
+ 1
ρ 2
V b
f(ρ, ϕ, z) = R(ρ)Φ(ϕ)Z(z)
∂2 f
∂ ϕ2 + ∂2 f
= 0
∂ z2 V a
V (x,y)
2
Operando de forma análoga a la utilizada en la sección anterior, obtenemos
1
R ρ
d
d ρ
ρ
d R
d ρ
+ 1
ρ 2
1
Φ
d 2 Φ
dϕ
d2 Z
dz2
w(z)=k2 =−κ2 1
+ 2 Z
donde aparece ya separada la función w(z).
La solución Z(z) es, pués, del mismo tipo que en cartesianas 4
⎧
⎪⎨
Zk(z) = C1 z + C2
⎪⎩
4 En general, k 2 puede ser complejo.
C1k e k z + C2k e −k z , para k 2 > 0
, para k = 0
= 0
C1k e jκ z + C2k e −jκ z , para κ 2 ≡ −k 2 > 0
Vc
(A.25)

a-16
Si excluimos el origen y multiplicamos por ρ 2
ρ
R
d
ρ
d ρ
d R
d ρ
+ k 2 ρ 2 + 1
Φ
d 2 Φ
dϕ 2
v(ϕ)=−n 2
De esta foma separamos la función v(ϕ), por lo que la dependencia según ϕ puede ser
escrita como
Φn(ϕ) = B1n cosnϕ + B2n sen nϕ (A.26)
donde n deberá ser entero si el rango de variación de ϕ cubre todo el intervalo [0, 2π]
puesto que, para que la solución sea única deberá cumplirse Φ(ϕ) = Φ(ϕ + 2π).
En caso contrario son admisibles las soluciones
Φ0(ϕ) = B1 ϕ + B2
= 0
, n = 0
Φν(ϕ) = B1ν e νϕ + B2ν e −νϕ , ν 2 = −n 2
La ecuación radial resultante ya no es tan simple. Multiplicando por R
ρ d
d ρ
ρ
d R
d ρ
+ k 2 ρ 2 − n 2 R = 0
Ecuación que para k = n = 0 admite la solución sencilla
(A.27)
R00(ρ) = A1 ln ρ + A2 , k = n = 0 (A.28)
Para k = 0, n = 0, ensayando soluciones del tipo R = A ρ m , se obtienen dos soluciones
independientes para m = ±n
R0n(ρ) = A1n ρ n + A2n ρ −n , k = 0 (A.29)
En el caso de que k = 0, haciendo el cambio de variables p = kρ, la ecuación radial
queda de la forma
p d
p
d p
d R
+ (p
d p
2 − n 2 )R = 0 (A.30)
que es la ecuación de Bessel.
Para k y n reales, admite soluciones polinómicas [Wylie, Arfken y Weber]
Rkn(p) = Rn(p) = A1n Jn(p) + A2n J−n(p) (A.31)
donde Jn(p) y J−n(p) son las funciones de Bessel de primera especie y de orden ±n.
Estas funciones, que son linealmente independientes para n no entero, se expresan como
suma de una serie infinita
Jn(p) =
p
n ∞
2
i=0
(−1) i
i! Γ (i + n + 1)
p
2i 2

a-17
donde Γ es la función gamma. En el caso en que n es entero Γ(i + n + 1) = (n + i)!, de
donde se deduce que
J−n(p) = (−1) n Jn(p)
Se hace necesario, en consecuencia, buscar nuevas soluciónes linealmente independientes
de éstas. Las funciones de Bessel de segunda especie, o funciones de Neumann, se definen
como
Nn(p) = Jn(p)cosnπ − J−n(p)
sen nπ
Puede demostrarse que éstas son independientes de las Jn(p) incluso en el límite
n → entero.
(p) (p)
n
1
N P
n
P
o
0.5
-0.5
-1
P 1
N o N 1
P 2
2 4 6 8 10 12
N 2
Figura A.10:
p=k r
Las funciones de Bessel, véase la figura A.10, se califican de regulares porque son
finitas en el origen
lím
p→0 Jn(p) → pn
2n n!
mientras que a las de Neumann se les califica de irregulares porque son singulares en
dicho punto
limp→0 N0(p) → 2
ln p
π
límp→0 Nn≥1(p) → − 2n (n − 1)!
π p n

a-18
Para valores grandes de p, estas funciones toman los valores asintóticos
lím |p|→∞ Jn(p) →
lím |p|→∞ Nn(p) →
2
π p cos
2
π p sen
p − n + 1
2
p − n + 1
2
π
2
π
2
Para el estudio de la propagación de ondas es usual la utilización de las funciones
de Hankel de primera y segunda especie, definidas, respectivamente, como
de forma que
H (1)
n (p) = Jn(p) + j Nn(p)
H (2)
n (p) = Jn(p) − j Nn(p)
Rn(p) = A H (1)
n (p) + B H (2)
n (p)
y que son conjugadas entre sí.
La dependencia de esta función para puntos lejanos es del tipo
lím
p→∞ Hn(p) (1), (2)
2
π
±j [p−(n+1 )
→ e 2 2
π p ]
Más detalles pueden encontrarse en la bibliografía.
A.3.4. Solución en coordenadas esféricas
La ecuación de Laplace puede escribirse en coordenadas esféricas
1
r 2
∂
r
∂ r
2 ∂ f
∂ r
+
1
r 2 sen θ
∂
sen θ
∂ θ
∂ f
+
∂ θ
1
r 2 sen 2 θ
En éste caso ensayamos la separación de variables en la forma
f(r, θ, ϕ) = R(r)Θ(θ)Φ(ϕ)
∂2 f
= 0
∂ ϕ2 Substituyendo y multiplicando por (r 2 sen 2 θ)/f, tenemos, excluyendo los puntos
para los que r = 0, ó θ = 0
r 2 sen 2 θ
1
R r 2
d
r
d r
2 d R
+
d r
1 1
Θ r2
d d Θ
sen θ +
sen θ d θ d θ
1 d
Φ
2 Φ
d ϕ2
=−n2 donde nos aparece separada la variable ϕ de la misma forma que en cilíndricas. Para no
recargar la exposición supondremos que el intervalo de ϕ es [0, 2π] y que, por lo tanto
n es real y entero.
= 0
Φn(ϕ) = C1n cosnϕ + C2n sen nϕ , ϕ ∈ [0, 2π] (A.32)

La separación de las variables r y θ se logra dividiendo por sen 2 θ.
1 d 2 d R
r +
R d r d r
=l(l+1))
1
1 d d Θ
sen θ −
Θ sen θ d θ d θ
n2
sen2 θ
= 0
a-19
donde, se ha escrito la constante de separación radial como l(l + 1). La ecuación correspondiente
toma la forma
d 2 d R
r − l(l + 1)R = 0
d r d r
Ensayando soluciones del tipo f = A r a se obtiene la ecuación a(a + 1) = l (l + 1)
cuyas soluciones son a = l, −(l + 1). La función radial es, por lo tanto
La ecuación polar resultante es
1
sen θ
d
sen θ
d θ
Rl(r) = A1l r l + A2l r −(l+1)
d Θ
+ l(l + 1) −
d θ
n2
sen2
Θ = 0
θ
(A.33)
que, haciendo el cambio ξ = cosθ, pone de manifiesto que sus soluciones son función de
cosθ
d
(1 − ξ
d ξ
2
d Θ
) + l(l + 1) −
d ξ
n2
1 − ξ2
Θ = 0 (A.34)
Ésta es la ecuación asociada o generalizada de Legendre. Admite soluciones polinómicas
del tipo
Θ n l = B1nl P n
l (ξ) + B2nl Q n l (ξ) (A.35)
donde P n
l y Qn l son los polinomios asociados de Legendre de primera y segunda especie
y de orden (n, l) [Wylie].
Para problemas con simetría azimutal 5 ∂ f
, f = f(r, θ), ∂ ϕ = 0 y n = 0. La ecuación
generalizada se reduce en este caso a la de Legendre
d
(1 − ξ
d ξ
2 )
d Θ
+ l(l + 1)Θ = 0 (A.36)
d ξ
cuyas soluciones Pl = Ql = Pl(ξ) son polinomiales de orden l, polinomios de Legendre.
Efectivamente, substituyendo en la ecuación de Legendre los polinomios
Pl(ξ) =
l
i=0
ai ξ i
5 Los problemas propuestos más adelate se limitan a esta simetría.

a-20
e igualando a cero los coeficientes de las potencias de ξ, comprobamos que [Wylie]
L (−1)
Pl(ξ) =
i=0
i (2l − 2i)!
2l i!(l − i)! (l − 2i)! ξl−2i ,
⎧
⎪⎨
L =
⎪⎩
l
2
l − 1
L =
2
para l par
para l impar
Los primeros polinomios son
P0 = 1
P1 = ξ
P2 = 1
2 (3ξ2 − 1)
P3 = 1
2 (5ξ3 − 3 ξ)
P4 = 1
8 (35ξ4 − 30 ξ 2 + 3)
-1 -0.5 0.5 1
θ=π
P 3
P( ξ)
1
0.5
-0.5
-1
P 0
P 4
P 2
θ= π /2
Figura A.11:
De entre las propiedades de estos polinomios resaltaremos sólo las principales:
P
1
P 5
θ=0
ξ
(A.37)
En la versión que aquí se presenta, figura A.11, los polinomios se han normalizado
de manera que
Pl(ξ = 1) = 1 , ∀l

Es fácil comprobar que Pl tiene la misma paridad que el índice
Como puede verse en la figura A.11
a-21
Pl(ξ) = (−1) l Pl(−ξ) (A.38)
Pl(ξ = 0) = 0 , l impar , Pl(ξ = 0) = 0 , l par
Por inspección puede comprobarse que los polinomios son generados por la fórmula
de Rodrigues:
Pl(ξ) = 1
2l d
l!
l
dξl(ξ2 − 1) l
(A.39)
Los polinomios así definidos son ortogonales, en el intervalo ξ ∈ [−1, +1]
+1
−1
Pl ′ Pl dξ = 2
2l + 1 δl l ′ (A.40)
La ortogonalidad puede demostrarse multiplicando la ecuación de Legendre por
Pl ′ y por Pl sucesivamente, restando e integrando. El valor de la norma puede
calcularse haciendo uso de la fórmula de Rodrigues e integrando por partes l veces
la integral de más arriba. Para obtener polinomios ortonormales en el intervalo de
2l + 1
θ ∈ [0, π], habría que multiplicar Pl por .
2
Para problemas con simetría azimutal, la solución general queda de la forma
f(r, θ) =
∞
0
Al r l + Bl r −(l+1)
Pl(ξ) (A.41)
A.4. Solución de la ecuación de Laplace en dos dimensiones
mediante el uso de transformaciones complejas
Muchos problemas de potencial interesantes pueden aproximarse como uniformes en
una dirección determinada, lo que permite resolverlos en el plano transversal a dicha
dirección. Existe un cierto número de procedimientos simplificados especialmente indicados
para este tipo de problemas. Unos son versiones más simples de métodos aplicables
en tres dimensiones y otros tienen un carácter específico para potenciales bidimensionales.
No abordaremos en detalle estos métodos de los cuales puede encontrarse cumplida
exposición en la bibliografía 6 .
Como introducción al tema, nos limitaremos a la búsqueda de una expresión especifica
de la solución general de la ecuación de Laplace en dos dimensiones.
6 Véase Smythe y Jackson

a-22
donde
Sea f(z) una función analítica de la variable compleja z
z = x + j y , f(z) = u(x, y) + j v(x, y)
x = Re[z] , y = Im[z]
u = Re[f] , v = Im[f]
Veremos que tanto u(x, y) como v(x, y) son soluciones de la ecuación de Laplace.
Efectivamente, figura A.12, al desplazarnos en el plano z desde el punto z al z + dz nos
desplazamos en el plano f desde el punto f al f + df.
jy
z
dx
z+dz
jdy
La derivada de f con respecto a z es
d f
d z
jv
du
f
x u
(a) (b)
= du + j dv
dx + j dy =
Figura A.12:
∂ u
∂ x
+ j ∂ v
∂ x
∂ v dx + ∂ y
dx + j dy
f+df
jdv
∂ u − j ∂ y j dy
y, para una función analítica, por definición, debe ser independiente de la dirección del
desplazamiento dz. En particular para
dz = dx ⇒
d f
d z
∂ u ∂ v
= + j
∂ x ∂ x
(A.42)
y para
d f ∂ u ∂ v
dz = j dy ⇒ = −j + (A.43)
d z ∂ y ∂ y
de forma que, si la derivada ha de ser única, deberán ser iguales las partes reales y las
imaginarias de A.42 y de A.43
∂ u ∂ v
=
∂ x ∂ y
, ∂ v
∂ y
= −∂ u
∂ y
(A.44)
Estas son las ecuaciones de Cauchy-Riemann o condiciones de analiticidad de f(z)
de las que es fácil deducir que
⎧
⎨ ∇
∇ u · ∇ v = 0 ,
⎩
2 u = 0
∇2 v = 0
(A.45)

a-23
Ecuaciones que muestran como, dada una función analítica arbitraria, tanto su parte
real como su parte imaginaria cumplen la ecuación de Laplace, siendo ortogonales entre
sí las curvas u = cte y v = cte. Esto último significa que si u(x, y) cumple unas
condiciones de contorno determinadas, esta función será la solución del problema de
potencial, las curvas u = cte serán las equipotenciales y las v = cte las líneas de
campo. De esta forma, por tanteo, buscando funciones apropiadas, pueden solucionarse
problema interesantes.
3
2
1
y y
3
Re(z)=cte
1 2 3
Im (z)=cte
x
(a) (b)
2
1
Figura A.13:
Im
2
(z ) =cte
1 2
2
Re (z ) =cte
Como ejemplo de funciones analíticas simples podemos citar a las potencias de z
fn(z) = z n = (x + j y) n = r n e j nϕ = r n (cosnϕ + j sen nϕ)
donde r = |z| = x 2 + y 2 y ϕ = /z = artg y
x . Recordemos que rn cosnϕ y r n sen nϕ
eran posibles soluciones de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas. La figura
A.13-a representa, en el plano (x, y), las partes real e imaginaria de z y en A.13-b las
de z 2 . En ambas figuras se muestra como, por ejemplo, las curvas Im[f] = cte pueden
corresponder a las curvas equipotenciales compatibles con los conductores indicados y
las Re[f] = cte a las líneas de campo eléctrico.
También es interesante la función
f(z) =
1 + z
1 − z
que es analítica, salvo en el punto z = 1 (x = 1, y = 0), y está relacionada con la
transformación de impedancias en líneas de transmisión. La representación de las curvas
u = cte v = cte, para esta función, recibe el nombre de diagrama de Smith, el cual se
representa en la figura A.14.
Los puntos donde una función compleja es singular corresponden, consecuentemente,
con singularidades del campo.
3
x

a-24
1
y
v=1
u=1
u=0
v=2
Figura A.14:
A.5. Solución experimental y gráfica de las ecuaciones de
Poisson y Laplace
A.5.1. Introducción
Ya hemos visto que sólo en casos muy específicos, cuando la estructura es simple y
el grado de simetría alto, es posible encontrar solución analítica de los problemas electromagnéticos.
En la práctica es a menudo necesario recurrir a soluciones no analíticas
y de precisión diversa. La disponibilidad creciente de medios de cálculo potentes hace
que la solución numérica, al ser asequible, adquiera cada vez mayor relevancia 7 .
Los métodos experimentales y gráficos fueron importantes en el pasado en la resolución
aproximada de estas ecuaciones. Aunque ésto no es así actualmente, siguen
poseyendo un interés didáctico al poner en evidencia la analogía entre distintas aplicaciones
de las ecuaciones que nos ocupan.
A.5.2. Métodos experimentales
Experimentalmente pueden determinarse las distribuciones de campo bien sea de
forma directa o bien haciendo uso de analogías. No hay que olvidar que no sólo son análogos,
en nuestro contexto, los problemas irrotacionales electrostáticos, magnetostáticos
y de conducción, sino que existen problemas equivalentes en mecánica de fluidos, calor,
gravedad, elasticidad, variables estocásticas, etc., por lo que cualquier problema correspondiente
a un cierto tipo de campo y a unas ciertas condiciones de contorno puede
7 Ya se ha aplicado el cálculo numérico para la solución de algunos problemas y en el apéndice B se
estudiarán los fundamentos de los algunos métodos de este tipo que son de uso común en electromagnetismo.
1
u=oo
v=oo
x

a-25
encontrar una analogía, fácilmente modelable y mesurable experimentalmente, en otro
tipo de campo.
σ
oo
σ
oo
Lamina de
conductividad
finita σ
Figura A.15:
Desde el punto de vista físico, la analogía más utilizada es la existente con los problemas
de conducción. Cuando la geometría del problema es bidimensional se puede
determinar la estructura de curvas equipotenciales haciendo uso de láminas cuya resis-
tencia por cuadrado Rc = 1
σ e
, donde e es el espesor de la lámina, sea uniforme. Estas
láminas pueden ser de papel especial, o de líquido ligeramente conductor, método de la
cuba electrolítica. El dispositivo experimental es el que se muestra esquemáticamente
en la figura A.15.
En el caso del papel conductor, se pintan los electrodos con una pintura altamente
conductora y entre ellos se establece la diferencia de potencial correspondiente. Midiendo
con un voltímetro de alta impedancia el potencial de cada punto de la zona
entre electrodos, podemos establecer experimentalmente la estructura de las superficies
equipotenciales de un problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace.
Este tipo de procedimientos, en las mejores condiciones, proporciona soluciones válidas
dentro de un margen de error de varias unidades por ciento.
A.6. Métodos gráficos
Los métodos gráficos son menos precisos pero pueden ejecutarse con papel y lápiz.
Gráficamente pueden resolverse problemas bidimensionales de Laplace y, con algo más
de dificultad, problemas con simetría axial [Popovic] e incluso problemas de Poisson.
Consideraremos solamente campos laplacianos bidimensionales. Sea un campo
F(x, y) = −∇ f(x, y)
V

a-26
que cumpla la ecuación de Laplace
linea F
ξ
∂2 f
∂ x2 + ∂2 f
= 0
∂ y2 ∆ ξ
∆η
B
A
Plano xy
Figura A.16:
η
f=cte
∆ z=1
Consideremos un tubo elemental de flujo de espesor ∆z = 1. Si ξ es la distancia a lo
largo de las lineas de campo y η la distancia a lo largo de las equipotenciales, el campo
F y el flujo ∆Φ que circula por el tubo, vendrán expresados por
F =≃ ∆f
∆ξ
, ∆Φ ≃ F ∆η
Para ∆ξ y ∆η suficientemente pequeños.
Puesto que el flujo que atraviesa a las secciones (A) y (B) es el mismo
F ∆η = F ′ ∆ ′ η , ∆f
∆ξ ∆η = ∆′ f
∆ ′ ξ ∆′ η
Si dibujamos dos familias de curvas ortogonales, compatibles con las condiciones de
contorno, que formen una cuadrícula curvilínea lo suficientemente tupida y que cumpla
la condición, para cada cuadrado curvilíneo,
tendremos que
∆η
∆ξ ≃ ∆′ η
∆ ′ ξ
≃ 1 (A.46)
∆ Φ = ∆ ′ Φ = ∆ f = ∆ ′ f (A.47)
Hecho esto, habremos dividido el espacio problema en tubos elementales de flujo, de
corriente, de campo eléctrico o de campo magnético, por cada uno de los cuales circula
el mismo flujo ∆Φ, y en zonas separadas por equipotenciales equiespaciadas en ∆f.

a-27
Así, pués, si el medio es un conductor de conductividad σ, habremos dividido el
plano en cuadrados curvilíneos, tanto más próximos a cuadrados rectos cuanto más fina
sea la división, de resistencia
Rc =
∆ V
j ∆ η
= ∆ V
σ E η
= 1
σ
, ∆ z = 1 (A.48)
Si el problema es electrostático, el flujo de D que circula por el tubo puede relacionarse
con la densidad de carga superficial ρs
∆ Φ = D ∆ S = εE η = ρs ∆ η = ∆ Q
y la capacidad equivalente del cuadrado sería
Cc =
∆ Q
∆ V
= εE η
∆ V
= ε , ∆ z = 1 (A.49)
Por el mismo procedimiento podemos comprobar que la reluctancia de un cuadrado
de material magnético es
Rc = 1
µ , ∆ z = 1
Para calcular los parámetros de un macrorectángulo de NΦ tubos y Nf equipotenciales,
basta con tener en cuenta que
Como se deduce de A.48, A.49 y A.50
∆ f
. . .
∆ f
∆ φ
Φ = nΦ ∆ Φ , f = Nf ∆ f (A.50)
Ν φ
RC = τ = ε
σ
φ = Ν φ ∆φ
. . .
∆ φ
Figura A.17:
Ν f
f =Ν ∆ f
f
Para dibujar las familias de líneas de campo y curvas equipotenciales, son útiles
una serie de reglas y, muy especialmente, la experiencia. Existen técnicas aplicables a
regiones con más de un dieléctrico y con fuentes, pero aquí sólo citaremos las reglas
básicas para medios homogéneos sin fuentes.
Fijaremos nuestra atención en un problema de conducción:

a-28
1. Dibujar el contorno del problema.
2. Dibujar un número adecuado de equipotenciales, con ∆V = cte, teniendo en
cuenta que los electrodos son equipotenciales y que las líneas de campo eléctrico
son tangenciales a las superficies de separación con los medios no conductores y,
por tanto, las equipotenciales son perpendiculares a las mismas. Si existen zonas
donde presumiblemente el campo sea uniforme, es aconsejable empezar el dibujo
por esa zona.
3. Tener también en cuenta que, por el poder de las puntas, el campo es más intenso
en las zonas superficiales convexas de la superficie de los conductores, por lo que
las equipotenciales se acercan a estas zonas y se alejan de las cóncavas.
4. Dibujar las líneas de campo procurando guardar, al mismo tiempo, la ortogonalidad
con las equipotenciales y la regla de cuadrado (A.46) ∆ξ ≃ ∆η. Las posibles
fracciones de cuadrado pueden ignorarse en un principio.
5. En las regiones de campo débil pueden aparecer polígonos curvilíneos que difieran
considerablemente del cuadrado por lo que podría ser necesario subdividirlos en
cuadrados menores.
6. Reiterar este proceso hasta que las reglas anteriores se cumplan de la forma más
razonable posible. Para ésto puede utilizarse lápiz y goma de borrar o, mejor aún,
un papel milimetrado para los contornos y papel transparente para las sucesivas
iteraciones.
V
Dielectrico
σ
Dielectrico
Figura A.18:
σ
Dielectrico
En las figuras se muestra la función dual que, en este tipo de problemas, ejercen
las líneas equipotenciales y las de corriente, las superficies electródicas y las interfacies
conductor-dieléctrico.
V