TEMA 4: MULTIPOLOS

ELECTROMAGNETISMO (3º FÍSICA) TEMA 4: MULTIPOLOS
TEMA 4: MULTIPOLOS
1. Expansión multipolar de una distribución estática de carga
a) Momentos monopolar, dipolar, cuadrupolar
b) Multipolos puntuales
c) Energía de interacción con un campo externo
d) Dipolo: fuerza y momento en un campo externo
e) Polarización
2. Expansión multipolar de una distribución de corriente estacionaria
a) Momentos monopolar, dipolar
b) Dipolo puntual
c) Energía, Fuerza y momento en un campo externo
d) Potencial magnético escalar
e) Imanación
3. Fuerzas y momentos sobre dipolos eléctrico y magnético
Capítulo 5 de
http://maxwell.ugr.es/salvador/tercero/Fundamentos-em-06.pdf
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ELECTROMAGNETISMO (3º FÍSICA) TEMA 4: MULTIPOLOS
EXPANSIÓN MULTIPOLAR ELÉCTRICA
c.i.r. (convenio índices repetidos) &
Serie de Taylor multidimensional
2

ELECTROMAGNETISMO (3º FÍSICA) TEMA 4: MULTIPOLOS
MOMENTOS MONOPOLAR y DIPOLAR
1 1
E ˆˆ
d Vd pr rp 3
4
r
0
3( )
E V
m m
Q rˆ
4
r
0
2
3

ELECTROMAGNETISMO (3º FÍSICA) TEMA 4: MULTIPOLOS
Manipulando... (ver BGO)
MOMENTO CUADRUPOLAR
delta de Kronecker
E V
c c
...
4

ELECTROMAGNETISMO (3º FÍSICA) TEMA 4: MULTIPOLOS
MULTIPOLOS PUNTUALES
Carga neta nula
M. dipolar nulo
M. cuadrupolar nulo
p q ,
,
, ,
r ( r d1l) ( r l) dv qd1ll
qd1
,
v
El potencial dipolar de una
distribución neutra es el de un
dipolo puntual con toda la carga
positiva en el el centro de cargas
positivo y la negativa en el centro
de cargas negativo
'
( ') '
V '
r rdv rcdq
( ') '
V '
r dv
q ( r') dv' q
V '
' p ( r') r dv' qrcdq
( q) rcdq
qd
V '
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ELECTROMAGNETISMO (3º FÍSICA) TEMA 4: MULTIPOLOS
INTERACCIÓN CON CAMPOS EXTERNOS
Energía de la carga neta
supuesta situada en el origen
Energía de interacción de un
dipolo en un campo externo.
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ELECTROMAGNETISMO (3º FÍSICA) TEMA 4: MULTIPOLOS
DIPOLO ELÉCTRICO EN CAMPO EXTERNO
Taylor orden cero: rotación
El dipolo rota
hasta alinearse con
el campo externo
Taylor primer orden: traslación
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DIPOLO EN CAMPO EXTERNO: ENERGÍA
La energía potencial coincide con el trabajo hecho en una
traslación al infinito (asumiendo campo externo nulo ahí), se
calcule como trabajo de rotación o traslación pura
/2 /2
U Td pE d
rcte
sin
,
pE cos pEWd( )
/2
W
d ˆ
d
ˆ W
d
T W i i
i d
U Fdr pEdr
r r, cte
pE( ) pE( r) pE W ( r)
W
d
xˆidr
r i xi
F W
Ecuaciones de Lagrange
para sistemas conservativos.
Fuerzas en coordenadas
generalizadas
d
d
U
Fi
q
i
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DENSIDADES DE DIPOLOS: POLARIZACIÓN
Q=0
1 q 1 dq
Vm dVm
4 0 r 4
0 R
1 prˆ 1 dpRˆ V dV
d 2 d
2
4 0 r 4
0 R
Volúmica
Superficial
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EXPANSIÓN MULTIPOLAR MAGNÉTICA
Corrientes estacionarias
contenidas en V’
J 0 , J nˆS
Término monopolar NULO
xˆ
i
'
Serie de Taylor multidimensional
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ELECTROMAGNETISMO (3º FÍSICA) TEMA 4: MULTIPOLOS
TÉRMINO DIPOLAR MAGNÉTICO
Momento dipolar magnético
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DIPOLO MAGNÉTIC0: ESPIRA PLANA
1 1 1
m r 'J dV ' r 'J dl' I r 'dl '
2 2 2
l
S' S' S'
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DIPOLO MAGNÉTICO EN CAMPO EXTERNO
Taylor primer orden: traslación
Lagrange (idéntico al
caso eléctrico):
Taylor orden cero: rotación
El dipolo rota
hasta alinearse con
el campo externo
T W , F W , W mB
d d d
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ELECTROMAGNETISMO (3º FÍSICA) TEMA 4: MULTIPOLOS
POTENCIAL MAGNÉTICO ESCALAR
B
d
0
1 1
Ed Vd pr rp 3
4
r
0
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3( ˆˆ )
Espira extensa Dipolo puntual

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DENSIDADES DE DIPOLOS: IMANACIÓN
Volúmica
Superficial
0 mrˆ
ˆ
0 mR Ad dA
2 d
2
4 r 4
R
1 mr ˆ
1 dmR ˆ
Ud dU
2 d
2
4r 4R
SISTEMA DIPOLAR EXTENSO!
0
M( r') R Ad dv ' 3
4 R
,
1 M( r') R
Ud
dv '
3
4
R
Bdl
dU 0!!!?!
Pues las corrientes contiguas se cancelan en
el interior y solo contribuyen en el borde
d
15