Campos Multipolares estáticos

Capítulo 5
Campos Multipolares estáticos
5.1. Expansión multipolar de una distribución estática de
carga
Supongamos [Lorrain y Corson, Reitz et al., Jackson, Landau y Lifchitz FT] que,
como se indica en la figura 5.1, se requiere calcular el campo que una distribución
acotada de carga ρ(r ′ ), encerrada en un volumen V ′ finito y a distancia finita del origen
de coordenadas, produce en un punto externo a la distribución.
x ^
O
z^
r ’
dv’
ρ (r ’)
r ’ max
V’
Figura 5.1:
Hemos elegido el origen de coordenadas O de forma que r > r ′ max, siendo r ′ max la
máxima distancia de la distribución V ′ al origen. El cálculo riguroso del potencial nos
llevaría a resolver la integral
R
V (r) = 1
4πε0 V ′
ρ(r ′ )
R dv′
r
y^
P
(5.1)
La expansión multipolar del potencial electrostático, válida para puntos tales que
r > r ′ max, la obtendremos realizando el desarrollo en serie de Taylor de la función R −1
alrededor del origen (r ′ = 0). En lo que sigue, haremos uso del convenio de Einstein de
suma sobre índices repetidos, por lo que este desarrollo puede escribirse de las formas
169

170
1
R
1
R =
1
=
r + x ′
∂
i
∂ x ′ i
1
r
(M)
∂
−x ′ i
∂ xi
1
R r ′ +
=0
1
2 x ′ j x ′
k
1
+ 1 ∂2 r
(D)
donde se ha tenido en cuenta que ∂
∂ x ′ i
∂2 ∂ x ′ j x ′
1
2 R
k
r ′ + · · ·
=0
2 x ′ j x ′ k
∂ xj xk 2
1 r ′ 3
+Re O
r r
(C)
1 ∂
R = −∂ xi
1
R y que r = (R)r ′ =0 .
(5.2)
El término (M) dará lugar al potencial monopolar, el (D) al dipolar y el (C) al
cuadripolar, lo que permite expresar al potencial como suma de una serie de potenciales
multipolares
V (r) = Vm(r) + Vd(r) + Vc(r) + · · ·
Momento monopolar :
Substituyendo el término (M) de 5.2 en 5.1, se obtiene el potencial monpolar
Vm = Q
4πε0
1
r
, Q =
V ′
ρ(r ′ ) dv ′
(5.3)
Q es la carga neta o momento monopolar eléctrico de la distribución. El potencial
monopolar es equivalente al que crearía toda la carga del sistema concentrada en el
origen.
Momento dipolar :
Dado que
el potencial dipolar eléctrico es
en el que
∂
∂ xi
1
= −
r
xi
r3 Vd(r) = 1
4πε0
p =
V ′
r ′ ρ(r ′ ) dv ′
1
p · r (5.4)
r2 (5.5)
recibe el nombre de momento dipolar eléctrico del sistema. Es fácil demostrar que, si
Q = 0, el momento dipolar del sistema de cargas es independiente del origen. Sólo en
este caso puede hablarse, pués, del momento dipolar sin hacer referencia al origen.
Es notable que, si bien el potencial monopolar decrece con la distancia según r −1 ,
como el potencial de una carga puntual, del dipolar decrece como r −2 .

Momentos cuadripolares :
El potencial cuadripolar se obtiene introduciendo el término (C) del desarrollo de
R−1 en 5.1. Derivando
∂2
1
=
∂xj∂xk r
1
r5 (3xj xk − r 2 δjk)
y podemos escribir
siendo los coeficientes
Vc = 1
8πε0
Pjk =
171
1
r 5 Pjk (3xj xk − r 2 δjk) (5.6)
V ′
x ′ jx ′ k ρ(r ′ ) dv ′
los momentos de segundo orden de la densidad de carga de la distribución o momentos
cudripolares. Estos constituyen una matriz simétrica que, como tal, puede ser diagonalizada,
lo que permitiría expresar a todos los elementos en función de tres de ellos.
Siguiendo la misma pauta se obtienen los momentos y potenciales 2 n -polares para
n = 3, · · ·.
En el caso que nos ocupa, el cudripolar, puede obtenerse una expresión más conveniente
en la que se pone en evidencia que sólo dos de estos momentos son realmente
independientes. Ello implicará la redefinición de los momentos cuadripolares.
es solución de la ecuación de Laplace para r = 0 1
Con este fin, dado que 1
r
por lo que podemos restar 1
donde
∇ 2
1 ∂
= δjk
r
2
1
= 0
∂xj∂xk r
∂2
1
= 0 a (C), ecuación 5.2, sin alterarlo
∂xj∂xk r
6 r′2 δjk
(C) = 1
6 (3x′ j x ′ k − r′2 δjk)(3xj xk − r 2 δjk)
Substituyendo en la integral del potencial, obtenemos
Vc = 1
24πε0
Qjk =
1
r 5 (3xj xk − r 2 δjk)Qjk
V ′
(3x ′ j x ′ k − r′2 δjk)ρ(r ′ ) dv ′
(5.7)
Q = (Qjk) es el tensor momento cuadripolar y Qjk sus componentes o momentos
cudripolares 2 .
Sumando los momentos de la diagonal Qxx + Qyy + Qzz se comprueba que
1 δjk es la delta de Cronecker.
2 Aunque son diferentes de los Pjk, le daremos el mismo nombre.
Qjj = 0 (5.8)

172
Es decir, la traza de Q es nula y sólo dos elementos son independientes entre si.
Puesto que el término
r 2 δjkQjk = r 2 Qjj = 0
podemos eliminarlo de la expresión dada anteriormente para el potencial y escribir
Vc = 1
8πε0
1
r 5 xj xk Qjk
Si el sistema tiene un eje de simetría, por ejemplo el eje z,
Qxx = Qyy , Qzz = −2Qxx = Q
Q será el momento cuadripolar del sistema y, en coordenadas polares
Vc =
Q
16πε0r 3(3cos2 θ − 1)
(5.9)
5.1.1. Expansión multipolar de la energía de interacción de un sistema
de carga con un campo externo
De acuerdo con los resultados obtenidos en el párrafo 2.2.3, la energía de interacción
de un sistema de cargas, ρ(r ′ ), definido en V ′ , con un campo que derive de un potencial
V (r ′ ) creado por cargas externas a V ′ , puede escribirse como
W = ρ(r ′ )V (r ′ ) dv ′
(5.10)
V ′
Si V (r ′ ) varía lentamente dentro de V ′ , podemos desarrollarlo en serie de Taylor
alrededor de un origen situado en el interior de la distribución 3 .
V (r ′ ) = V (0) + x ′ i
∂
Teniendo en cuenta que Exi
∂ x ′ i
V (r ′
)
r ′ +
=0
1
2 x ′ j x ′
k
∂ = −∂ x ′ V (r
i
′ )
V (r ′ ) = V (0) − r ′ · E(0) − 1
2 x ′ j x ′ k
∂ 2
∂ x ′ j x ′ 2
k
V (r ′ )
∂ Ek
∂ x ′ (0) + · · ·
j
r ′ =0
Dado que E es externo y, por lo tanto, (∇ ′ · E)r ′ =0 = 0, podemos restar
1
6 r′2 δjk
∂ Ek
∂ x ′ (0), con lo que
j
V (r ′ ) = V (0) − r ′ · E(0) − 1
6 (3x′ j x ′ k − r′2 ∂ Ek
δjk)
∂ x ′ (0) + ...
j
3 V (r ′ ) se debe a cargas externas a V ′ , luego no tiene singularidades en su interior.
+ · · ·

y
W = QV (0) − p · E(0) − 1
6 Qjk
173
∂ Ek
∂ x ′ (0) + · · · (5.11)
j
Vemos, pués, que la interacción de un sistema de cargas con un campo externo,
excluyendo la energía de interacción de las cargas del sistema entre si, o autoenergía,
puede descomponerse en sumandos independientes asociados a los sucesivos momentos
multipolares.
W = Wm + Wd + Wc + ...
En particular, la energía de interacción de un dipolo con un campo externo es
Wd = −p · E(0) (5.12)
Esta energía está asociada al campo eléctrico y no al potencial.
Para el momento cuadripolar
Wc = − 1
6 Qjk
∂ Ek
∂ x ′ (0)
j
energía asociada a la dependencia espacial de las componentes de los campos. De esta
manera se da lugar al desdoblamiento de niveles de energía nuclear por interacción del
momento cuadripolar del núcleo con el campo molecular cristalino.
5.1.2. Multipolos puntuales
Los multipolos puntuales de orden 2 n son distribuciones constituidas por 2 n cargas
puntuales que presentan momentos multipolares nulos hasta el orden 2 n−1 , siendo el 2 n
el primero distinto de cero. Aunque pueden tener momentos de orden superior, vistos a
distancias r ≫ r ′ max producen un potencial con estructura 2 n –polar.
Hemos visto que una carga puntual, como la de la figura 5.2, puede ser descrita por
la densidad de carga
ρ(r ′ ) = qδ(r ′ − l)
x ^
z^
l
V’
Figura 5.2:
q
^ y

174
El momento monopolar será pues,
Q = q
y el momento dipolar
V ′ ⊃q
δ(r ′ − l) dv ′ = q
p = q
V ′ r
⊃q
′ δ(r ′ −l) dv ′ = ql que, evidentemente, depende del origen.
Los multipolos puntuales de orden 2 n se obtienen, a partir de los de orden 2 n−1 ,
desplazando el multipolo original a una distancia dn y situando en la posición de partida
a un multipolo de signo opuesto, véase la figura 5.3. 4
x ^
z^
l
q
y^
x ^
z^
l
Monopolo Dipolo Cuadrupolo
d 1
-q
+q
y^
x ^
z^
Figura 5.3:
l
d 1
+q
-q
d 2
y^
-q
+q
x ^
z^
l
d 1
Octupolo
-q
d 3
+q
d 2
y^
-q +q
De esta forma, del monopolo se pasa a una estructura cuyo momento monopolar es
Q = q − q = 0 y, por lo tanto, su primer momento no nulo es dipolar p. Así pues, el
momento dipolar del dipolo puntual será
p = q
= q d1
v ′ →∞
′
r δ(r ′ − d1 −l) − δ(r ′ −
l)
dv ′
= q d1 + l −
l
momento que, por corresponder a una distribución neutra, es independiente del origen.
Repitiendo la operación con el dipolo, la distribución resultante tendrá un momento
dipolar pc = p − p = 0, siendo su primer momento el cuadripolar Q, etc..
Visto desde lejos, (l, dn ≪ r), el multipolo de orden 2 n genera el potencial
correspondiente a dos multipolos de orden 2 n−1 , iguales, de signo contrario y situados
a la distancia relativa dn.
4 Véase [Panofsky y Phillips].
V2n(r) = V2n−1(r, l + dn)
(a)
−V 2 n−1(r, l) , l, dn ≪ r
+q
-q
-q

Substituyendo l por r ′ y teniendo en cuenta que dn ≪ r, podemos aproximar el
potencial (a), de la forma
V 2 n−1(r,r ′ + dn) ≃ V 2 n−1(r,r ′ ) + ∇ ′ V 2 n−1(r,r ′ ) · dn
Si ahora situamos al dipolo en el origen, haciendo l = r ′ = 0
V2 n(r) = ∇′ V 2 n−1(r,r ′ )
r ′ =0 · dn
175
(5.13)
Este resultado, obtenido apoyándonos en la representación de dipolos puntuales es
válido, naturalmente, para cualquier tipo de multipolos.
5.1.3. El dipolo eléctrico
Dada la importancia del dipolo, es conveniente detenernos en su estudio. A partir
del potencial 5.4 podemos hallar el campo que produce
Ed(r) = −∇Vd = 1
4πε0
1
[3(p · r) r − p ] (5.14)
r3 que, como ya habíamos anunciado, decrece globalmente con la distancia según r −3 y
no, como el monopolar, según r −2 .
Si elegimos el eje z en la dirección del dipolo, p = p z, y escribimos la expresión del
campo y del potencial en coordenadas esféricas
Vd(r) =
Ed =
p cosθ
4πε0 r2 p
4πε0r3
2 cosθ r + sen θ
θ
Las superficies equipotenciales vendrán dadas por la ecuación
y las líneas de campo por 5
dr
2 cosθ
= r dθ
sen θ
⇒ dr
r
(5.15)
(5.16)
r 2 = A cosθ (5.17)
d sen θ
= 2
sen θ ⇒
⎧
⎨
⎩
r = B sen 2 θ
ϕ = cte
La figura 5.4 representa a las líneas de campo y a las superficies equipotenciales.
(5.18)
5 Este es uno de los casos en que la ecuación de las líneas es fácilmente integrable. En concreto, debido
a que puede escribirse de forma separable f(x) dx = g(y) dy.

176
p
z ^
Figura 5.4:
V=cte
5.1.3.1. Energía, par y fuerza de un dipolo
La energía de interacción de un dipolo en un campo externo, según hemos visto, es
Wd = −p · E
luego, sus valores extremos serán
⎧
⎨ Wmin = −pE ⇒ p ↑↑ E
⎩
E
Wmax = pE ⇒ p ↑↓ E
lo que implica que el dipolo tratará de alinearse con el campo aplicado.
Razonando sobre dipolos puntuales no es difícil comprobar que este alineamiento es
inducido por un par
T = p ∧ E (5.19)
Para ello, despreciaremos la pequeña variación del campo en las inmediaciones de r,
es decir, tomamos E(r + dr) ≃ E(r). Según la figura 5.5
T = ri ∧ Fi = r ∧ (−q E) + (r + dr) ∧ q E = p ∧ E
Además de este par que tiende a alinear los dipolos con el campo aplicado, éstos
sentirán una fuerza
Desarrollando Ex alrededor de r
F = Fi = F+ + F− = q E(r + dr) − q E(r)
Fx = qEx(r) + q dr · [∇ Ex(r)] − qEx(r) = (p · ∇)Ex

por lo que F podrá expresarse como
F =
px
x ^
z^ F -
r
^ y
d r
Figura 5.5:
E(r )
∂ ∂ ∂
+ py + pz Ex
∂x ∂y ∂z
i + Eyj + Ez
k
Dado que el campo es estático ∇ ∧ E = 0 y
5.1.4. Densidades dipolares
F +
⇒
177
F = (p · ∇) E (5.20)
F = ∇(p · E) = −∇(Wd) (5.21)
Por último, mencionaremos que, de la misma forma que se han definido densidades
de carga, se define la densidad de momento dipolar eléctrico P o vector de polarización
eléctrica. De forma genérica
P = dp
(5.22)
dv
A nivel microscópico puede definirse como
P(r, t) =
N
pi δ(r − ri(t)) (5.23)
i=1
donde pi es el momento dipolar eléctrico de cada una de las partículas y N el número
de partículas del sistema. Esta densidad de polarización jugará un papel fundamental
en la descripción de los dieléctricos.
También es útil la definición de la densidad superficial de momento dipolar; con
la que pueden ser descritas eléctricamente estructuras tan importantes como las membranas
celulares.
El potencial eléctrico producido por una distribución de dipolos en un punto, r,
externo a la misma, es decir en un punto en el que la polarización P(r) es nula, se

178
obtiene por integración de las contribuciones de los momentos dp = P dv ′ contenidos
en los elementos de volumen dv ′ .
V (r) = 1
4πε0 V ′
P(r ′ ) · R
Esta integral es singular para puntos internos, pero ya hemos visto que la descripción
de sistemas de carga por sus momentos multipolares sólo es válida para puntos externos.
S’
r ’
P s
r
R
-R
P
R 3
V(x)
dv ′
-
-
-
-
-
-
-
∆ x
(a) (b)
Figura 5.6:
Una distribución superficial de dipolos interesante es la doble capa, constituida por
dos distribuciones monopolares superficiales, muy próximas, con densidades de carga
de igual magnitud y distinto signo en cada punto de la superficie. Se describen adecuadamente,
como se muestra en la figura 5.6 mediante una distribución superficial de
momento dipolar
Ps = dp
ds = Ps n
donde n es la normal a la superficie en el sentido de los dipolos.
Podemos comprobar que al pasar de un lado a otro de la superficie el potencial es discontinuo:
como se ilustra en la figura 5.6-a, el potencial producido por una distribución
dipolar extensa será
V (r) = 1
4πε0 S ′
n ·
Ps
R
R3 ds′ = − 1
4πε0 S ′
(−
Ps
R) · ds ′
R3 = − 1
Ps dΩ
4πε0 S
donde se ha substituido R por (− R), que es el vector que sitúa a un punto de la superficie
con respecto al punto P, y se ha hecho uso de la definición de elemento de ángulo sólido
visto desde dicho punto P.
dΩ = (− R) · ds ′
R 3
+
+
+
+
+
+
+
P s
x

En el límite en que P tiende a situarse sobre la superficie, casi toda la contribución
al potencial se deberá a los dipolos cercanos, por lo que podremos considerar a Ps ≃ cte.
Luego
Ps
lím V (r) = − Ω
R→0 4πε0
donde Ω es el ángulo sólido subtendido por la superficie desde un punto próximo P Al
pasar desde justamente debajo hasta justamente arriba de la superficie, el ángulo sólido
sufre una discontinuidad ∆Ω = −4π, y
∆V = Ps/ε0
En la figura 5.6-b se ilustra este salto de potencial en una doble capa de espesor ∆x.
5.2. Desarrollo multipolar de una distribución de corriente
estacionaria
Para distribuciones de corrientes estacionarias aplicaremos [Jackson,
Panofsky y Phillips] un tratamiento bastante similar al que acabamos de utilizar
para las distribuciones estáticas de cargas. No obstante, por ser la estructura del campo
magnético más compleja que la del eléctrico, detendremos nuestro desarrollo en el
término dipolar.
x ^
O
z^
r ’
dv’
r ’ max
j (r ’)
V’
Figura 5.7:
Supondremos que, como se indica en la figura 5.7, se desea observar una distribución
de corrientes estacionarias
∇ ′ ·j = 0
desde una distancia r > r ′ max. Para ello introducimos el desarrollo
1 1
=
R r − x ′ i
∂
∂ xi
R
r
y^
1
+ · · ·
r
en la integral del potencial vector
A(r) = µ0
4π V ′
j(r ′ )
R dv′
P
179

180
lo que nos llevará a la expansión multipolar
A(r) = Ad + Ac + · · ·
en la que falta el término monopolar porque éste es nulo para corrientes estacionarias.
Ausencia de monopolos :
Efectivamente
pero, si
Am = µ0
4πr V ′
j(r ′ ) dv ′
∇ ′ ·j(r ′
) = 0 ⇒
V ′
j dv ′ = 0 (5.24)
Para demostrarlo, basta con tener en cuenta que la integral sobre el volumen V ′ que
contiene a toda la distribución de corriente
V ′
∇ ′ · (x ′ i j) dv ′
=
V ′
x ′ i ∇ ′ ·j dv
=0
′
+
V ′
j · ∇ ′ x ′ i dv ′
=
V ′
ji dv ′
Pero, haciendo uso del teorema de la divergencia para el primer miembro de la
ecuación anterior,
∇ ′ · (x ′ i j) dv ′
= x ′ i j
· ds = 0 ⇒ ji dv ′ = 0
V ′
S ′
porque, como S ′ contiene a todas las corrientes estacionarias, el flujo de corriente a
través de cada elemento de superficie ds ′ debe ser nulo y (j · ds)S ′ = 0. De esta forma
se comprueba 5.24 y la nulidad del momento monopolar.
Momento dipolar :
Para obtener la expresión del potencial dipolar, introduciremos el segundo término
del desarrollo de R−1 en la integral. Ya hemos visto que
∂
−x ′ i
∂ xi
1
r
= x ′ i xi
r3 = r ′ · r
r3 luego
Ad = µ0 1
4π r3
V ′
(r · r ′ )j dv ′
I
expresión que, aún siendo muy compacta, no es la más conveniente.
Podemos demostrar que
Ad(r) = µ0
m ∧ r
1
= −µ0 m ∧ ∇
4π r3 4π r
donde
m = 1
2 V ′
r ′ ∧j dv ′
V ′
(5.25)
(5.26)
(5.27)

es el momento dipolar magnético de la distribución.
Para demostrar lo anterior, volvamos a la expresión 5.25 y analicemos la integral
I = xi
V ′
x ′ i j dv ′
= xi
V ′
x ′ i jj dv ′
ej
La integral Iij puede decomponerse en una simétrica y otra antisimétrica sumándole
y restándole el término 1
2 x ′ j ji
Iij = 1
2
V ′
Iij
(x ′ i jj + x ′ j ji) + (x ′ i jj − x ′ j ji) dv ′
Para corrientes estacionarias, la integral simétrica
Is =
V ′
(x ′ i jj + x ′ j ji) dv ′
se anula, ya que puede ser escrita como
Is = j · ∇ ′ (x ′ i x ′ j) dv ′
y, teniendo en cuenta que ∇ · (fa) = f∇a +a · ∇f
Is =
V ′
⎡
V ′
⎣∇ ′ · (x ′ i x ′ j j) − x ′ i x ′ j ∇ ′ ·j ⎦ dv
=0
′ = 0
⎤
181
(5.28)
donde se ha anulado el segundo término dado que ∇ ′ ·j(r ′ ) = 0 para corrientes estacionarias
y el primero al integrarlo sobre la superficie del tubo de corriente.
Queda, por tanto
Iij = 1
2 V ′
(x ′ i jj − x ′ j ji) dv ′
e
I = 1
2 V ′
(x ′ i jj − x ′ j ji) dv ′
xi ej = 1
2 V ′
r ′ ∧j dv ′
∧ r
lo que puede comprobarse desarrollando el triple producto vectorial.
5.2.1. La espira plana como dipolo magnético
El término dipolar aparece, según hemos visto, como el primero significativo en el
desarrollo multipolar del potencial externo producido por una distribución de corriente
estacionaria.
De la misma forma que la carga puntual nos servía en el tema anterior como arquetipo
del monopolo eléctrico a partir del cual, por un simple proceso de diferenciación,

182
O
a
O’
r ’
ds ’
r ’’
I
Figura 5.8:
se obtenían los arquetipos multipolares, podemos utilizar como representante del dipolo
magnético a una pequeña espira plana.
En la figura 5.8 se representa a una espira plana contenida en el plano Π cuya
normal es n. El sentido de la normal ha sido elegido según la referencia de la circulación
de la intensidad I. Si observamos esta espira desde una distancia r ≫ r ′ max, el potencial
resultante será del tipo dipolar y podrá ser expresado en función del momento dipolar
m
m = 1
2 I
r ′ ∧ dl ′ = 1
2 I
ds ’
(a + r ′′ ) ∧ d l ′ = 1
2
El primer término se ha anulado porque
en cuenta que 1
2 r ′′ ∧ d l ′ = ds ′ n, toma la forma
dl ’
Π
d l ′ = ei
Ia ∧
n
d l ′
=0
+ 1
2 I
r ′′ ∧ d l ′
dxi = 0. El segundo, teniendo
m = I S n (5.29)
expresión análoga a la del momento dipolar de un dipolo eléctrico puntual.
Como es fácil comprender, podemos generar multipolos de orden superior por el
mismo mecanismo de diferenciación empleado para los dipolos puntuales: desplazando
el dipolo elemental y colocando en la posición original, como se muestra en la figura 5.9,
al mismo dipolo cambiado de signo.
5.2.2. El dipolo magnético
En cuanto al campo creado por un dipolo magnético, podemos demostrar que tiene
la misma estructura que el campo dipolar eléctrico.
Como sabemos
Bd = ∇ ∧ Ad = − µ0
1
∇ ∧ m ∧ ∇
4π r

Dado que
tomando a = m,
1
b = ∇
r
( ∀r = 0), podemos escribir
x ^
z^
l
m
y^
Dipolo Cuadrupolo
Figura 5.9:
x ^
z^
l
d 1
∇ ∧ (a ∧ b) = a(∇ · b) − b(∇ ·a) + ( b · ∇)a − (a · ∇) b
Desarrollando lo anterior, se tiene que
Bd = µ0
4π
m
-m
y teniendo en cuenta que m =
cte y ∇ 2
Bd = µ0
1
(m · ∇)∇
4π r
1
µ0m
[3(m · r) r − m] =
r3 4π
1
r 3
2 cosθ r + sen θ
θ
y^
1
= 0
r
183
(5.30)
La última igualdad se obtiene situando al dipolo en el origen, orientándolo en la dirección
z.
Este campo que coincide formalmente con Ed si substituimos m ↔ p y µ0 ↔ (1/ε0).
5.2.2.1. Potencial magnético escalar
La analogía puesta de manifiesto en el párrafo anterior nos sugiere la posibilidad de
hacer uso de un potencial escalar para el campo producido por distribuciones dipolares
magnéticas. Análogamente al potencial dipolar eléctrico 5.4 tendríamos un potencial
dipolar magnético escalar del que derivaría, mediante la aplicación de gradiente, el campo
dipolar magnético.
Ud(r) = 1
4π
1
r 2 m · r, Bd = −µ0 ∇ Ud (5.31)

184
Este potencial no tiene el carácter fundamental de la función potencial escalar preconizada
por el teorema de Helmholtz, puesto que sólo es válido en la zona externa a
los dipolos. Diremos que el potencial magnético escalar es un pseudopotencial.
Así pues, en general, el campo magnético no es irrotacional
∇ ∧ B = µ0 j = 0
Podemos imaginar, de acuerdo con la figura 5.10, una situación en la que todas las
fuentes estén en un volumen V ′ y que en V sea j = 0.
luego
En V
x^
z^
r ’
V’
j (r ’)
R
r
Figura 5.10:
∇ · B = 0 , ∇ ∧ B = 0
B = −µ0∇ Ud , ∇ 2 Ud = 0
y^
j ( r ) =0
A pesar de las limitaciones impuestas, vemos que el potencial magnético escalar
puede ser de gran utilidad para resolver problemas magnetostáticos, ya que permite
abordarlos con las mismas técnicas utilizadas en electrostática.
El carácter de pseudopotencial lleva consigo la necesidad de tomar precauciones en
la elección de volumen V, lo que puede ser puesto en evidencia extendiendo el concepto
de potencial magnético a espiras finitas.
Como se indica en la figuras 5.11-a, podemos substituir una espira, recorrida por una
intensidad I, por una distribución superficial de dipolos magnéticos. Sea S una superficie
que se apoya sobre la espira L y hagamos una partición de la misma en elementos ds
que, si la superficie es suave, podrán ser considerados planos. Si asociamos al contorno
de cada elemento de superficie una espira elemental, recorrida por la corriente I, éstas
tendrán un momento dipolar
dm = I ds
Puesto que todas las espiras están recorridas por la misma corriente, las contribuciones
de espiras contiguas se anulan, salvo en el contorno L, por lo que este conjunto de espiras
V

L
S
I
dm=I d s
r ’
(a) (b)
S’
Figura 5.11:
M s=I
n
elementales equivale a la espira macroscópica L. Podemos, pués, substituirla por una
distribución superficial de dipolos de densidad,
Ms = dm
ds
= I n
Para un punto de observación r, externo a los dipolos, tendríamos un potencial
escalar
Ud(r) = 1
4π S ′
Ms · R
R2 ds ′ = I
4π S ′
R · n
R2 ds′
Substituyendo al vector R por R1 = − R, como ya se hizo en la sección 5.1.4,
Ud(r) = − I
dΩ
4π
S ′
Ud(r) = − IΩ
4π
r
R
-R
P
185
(5.32)
donde Ω es el ángulo sólido con que la espira L se ve desde P.
De lo dicho anteriormente se deduce que Ud no es función de punto y, por lo tanto,
dUd = ∇Ud · dr = − B
no tiene validez general.
Efectivamente, si aplicamos la ley de Ampère sobre los caminos que unen a los puntos
A y B de la figura 5.12,
(a+c)
B · d l = µ0 I = 0 ⇒
B
A (a)
µ0
· dr
dUd =
lo que no es de extrañar, puesto que la expresión B = −µ0 ∇ Ud no es válida para el
camino (b) ya que éste se introduce en la distribución de dipolos [Velayos].
B
A (b)
dUd

186
L
I
(b)
(c)
A
Figura 5.12:
5.2.2.2. Relación entre el momento magnético y el momento angular
Sabemos que la carga tiene inercia, es decir, que tiene una masa no nula. Esto implica
también que el momento dipolar magnético debe estar asociado a un momento angular.
Trataremos esta cuestión de forma simplificada suponiendo que todas las partículas son
del mismo tipo, con carga q y masa M.
Las densidades de carga y de masa serán, respectivamente,
B
ρ = n q , ρM = n M
donde n es la densidad de partículas.
Por definición, el momento dipolar de una distribución de carga en movimiento,
encerrada en un volumen V, es
m = 1
2
V
(a)
r ∧j dv = 1
2 q
nr ∧ u dv
V
donde ρ es la densidad de portadores de carga y u su velocidad de arrastre.
Para el momento angular,
L = ρM r ∧ u dv = M nr ∧ u dv
V
lo que permite escribir
m = q
2M L
expresión que es válida, por ejemplo, para el electrón orbital.
Para sistemas de carga más generales, aquellos que estén compuestos de varias especies
o aquellos en los que se consideren contribuciones de espín, escribiremos
m = Γ L , Γ = g q
2M
V
(5.33)
donde Γ es la razón giromagnética y g el factor de Landé.
En general, incluso para un sistema clásico, Γ tendrá carácter tensorial, puesto que m
y L no tienen por qué tener la misma dirección. Aunque al electrón orbital le corresponde
g = 1, de acuerdo con los cálculos simples que acabamos de realizar, para el momento
angular de espín g = 2.

5.2.2.3. Fuerza, par y energía potencial sobre un dipolo magnético en campo
externo
x ^
z^
r ’
V’
r ’ max
Figura 5.13:
j (r ’)
Trataremos ahora la interacción de un dipolo magnético estacionario en el seno de
un campo externo, es decir, en el seno de un campo cuyas fuentes residen fuera de la
zona donde están las corrientes que constituyen el dipolo. Supondremos, figura 5.13,
que el dipolo corresponde a un pequeño tubo de corriente estacionaria
∇ ′ ·j(r ′ ) = 0
cercano al origen, y que interacciona con un campo externo que varía lentamente dentro
de la esfera de radio igual a r ′ max.
Por ser B externo, en la zona de interés
∇ ′ ∧ B = 0
y por ser lentamente variable, cualquiera de sus componentes podrá desarrollarse alrededor
del origen
Bx = Bx(0) + r ′ · (∇ ′ Bx)r ′ =0 + · · ·
lo que nos permite escribir, simplificando la notación, las siguientes aproximaciones
B(r ′ ⎧
⎨ B0
(a)
) ≃
⎩
B0 + (r ′ · ∇0) B0 (b)
y^
187
(5.34)
donde ∇0 sería un operador que actuaría sólo sobre B, reduciendo después el resultado
al origen, y que, por lo tanto, tomaría como constantes a las coordenadas r ′ .
Si nos quedamos con la aproximación 5.34-a veremos que el campo externo interacciona
primariamente con el dipolo ejerciendo un par. Para que el dipolo sienta una
fuerza neta será necesario que el segundo término de la aproximación 5.34-b sea distinto
de cero. Veremos que, tanto de la expresión del par como de la de la fuerza, podemos
deducir la energía de interacción de un dipolo rígido con un campo externo.

188
Par :
El par vendrá dado por
T =
que, con la aproximación B(r ′ ) ≃ B0,
T = r ′
∧ j(r ′ ) ∧
B0 dv ′
=
V ′
A continuación comprobaremos que
(A) =
V ′
V ′
r ′ ∧ d F
dv′
dv ′
V ′
j(r ′ )(r ′ · B0) dv ′ −
B0
V ′
r ′ ·j dv ′
(A)=0
r ′ ·j dv ′ = 0
para corrientes estacionarias: haciendo uso del teorema de la divergencia
I =
V ′
∇ ′ ′
· (r
2j) dv
(B)
′
=
S ′
r ′ 2j · ds = 0
puesto que, como hemos visto en secciones anteriores, la componente normal de la
densidad de corriente es nula en S ′ .
Por otra parte, desarrollando (B),
I =
V ′
De acuerdo con ésto
r ′ 2 ∇ ′ ·j
=0
dv ′ +
V ′
T =
y, por analogía con la integral 5.25 6
Fuerza :
Para calcular la fuerza
F =
V ′
∇ ′ (r ′ 2 ) ·j dv ′ = 2
V ′
r ′ ·j dv ′
= 0
(A)
V ′
( B0 · r ′ )j dv ′
T = m ∧ B (5.35)
j(r ′ ) ∧ B(r ′ ) dv ′
haremos uso de la aproximación 5.34-b
F ≃
V ′
j ∧ B0 dv ′
+
=0
V ′
j ∧ (r ′ · ∇0)
B0
6 Donde en 5.25 figura r aquí aparece B0. Ninguno de estos vectores depende de las coordenadas de
integración y pueden, en consecuencia, sacarse fuera de las integrales.
dv ′

La primera integral es nula para corrientes estacionarias:
V ′
j ∧ B0 dv ′
=
V ′
j dv ′
∧
=0
B0 = 0
de acuerdo con 5.24.
Para la segunda, haremos uso de la expresión
∇(a · b) = (a · ∇) b + ( b · ∇)a +a ∧ (∇ ∧ b) + b ∧ (∇ ∧a) ⇒
∇0(r ′ · B0) = (r ′ · ∇0) B0 + ( B0 · ∇0)r ′
+r
=0
′ ∧ (∇0 ∧ B0) +
=0
B0 ∧ (∇0 ∧ r ′ )
=0
donde se han anulado los términos en los que r ′ aparece a la derecha del operador ∇0
y se ha tenido en cuenta que, por ser B externo, su rotacional es nulo.
La fuerza, por lo tanto, queda expresada de la forma
F = j ∧ ∇0(r ′ ·
B0) dv ′
Por otra parte
V ′
∇ ∧ (fa) = f∇ ∧a + ∇f ∧a ⇒
j ∧ ∇0(r ′ · B0) = (r ′ · B0) ∇0 ∧j((r ′ )
=0
−∇0 ∧ (r ′ ·
B0)j
lo que nos permite, sacando ∇0 fuera de la integral, expresar la fuerza como
F = −∇0 ∧
V ′
( B0 · r ′ )j dv ′
1
= ∇0 ∧ − r
2
′ ∧j dv ′
∧
B0
y, finalmente, como
V ′
189
F = ∇ ∧ ( B ∧ m) = −∇ ∧ T (5.36)
Pero todavía podemos expresar la fuerza de otras formas. Dado que ∇ · B = 0,
m = cte y
∇ ∧ (a ∧b) = ( b · ∇)a − (a · ∇) b + (∇ · b)a − (∇ ·a) b se tiene que
F = (m · ∇) B (5.37)
Por último, dado que el campo B es externo, ∇ ∧ B = 0 ⇒ ∂Bi
F = ∇(m · B) = −∇Wd
∂xj
= ∂Bj
∂xi
y
(5.38)
donde Wd = −m · B es la energía potencial o de interacción del dipolo m en presencia
del campo magnético externo B, como comprobaremos a continuación.

190
Energía potencial :
Efectivamente, podemos ver que la energía potencial de un dipolo m, definida en el
sentido de la sección 2.2.3, puede expresarse como
Wd = −m · B (5.39)
Para obtener este resultado deberemos calcular el trabajo realizado por el campo B
en una transformación reversible que nos lleve al dipolo, desde la posición r y formando
un ángulo θ con B, hasta el infinito, donde la interacción será nula. Se supone que la
magnitud |m| del dipolo permanece fija en la transformación o, de otra forma, que el
dipolo es rígido, y que el campo magnético converge a cero en el infinito. En la figura
5.14 se proponen dos formas de realizar esta transformación. En la primera, 5.14-a, el
dipolo se transporta a lo largo de camino L manteniendo constante el ángulo θ que forma
el dipolo con el campo. En la segunda, primero se rota al dipolo, en su posición inicial,
hasta formar un ángulo recto con el campo y, a continuación, se le transporta a lo largo
de L manteniendo su última orientación con respecto al campo. Si la transformación
es reversible, el resultado será independiente del camino elegido y de la orientación del
dipolo a lo largo del mismo.
m
θ
(a)
B
lineas
de
campo
L
oo
Figura 5.14:
En la opción (a) se mantiene fijo el ángulo que forma el dipolo con el campo, por lo
que el par no trabaja. El trabajo realizado debe ser imputado a la fuerza
⎧ ⎫
⎨ θ = cte ⎬
⎩ ⎭
mcosθ = cte
⇒ Wd
∞
= ∇(m ·
r,(θ=cte)
B) · dr = m · ∞ B
r = −m · B(r)
puesto que B(∞) = 0.
En la opción (b), figura 5.15, primero rotamos al dipolo de la posición θ a la π/2 y
después lo desplazamos con θ = π/2. En el desplazamiento, m · B = 0, luego la fuerza
es nula. En este caso el trabajo se realiza en el giro inicial y es imputable al par
Wd =
π
2
θ,(r=cte)
T · d θ = −
π
2
θ
π /2
m
θ
(b)
mB sen θ dθ = −mB cosθ
resultado idéntico al anterior que confirma la expresión dada en 5.39 a la energía potencial.
oo

T
d θ
B
m
Figura 5.15:
Es fácil comprobar que el par puede también expresarse en función de la energía
potencial
T = −∇θWd
(5.40)
donde
∇θ =
θ
3 ∂
ei
∂θi
i=1
y θi es el ángulo de giro alrededor del eje ei.
Veremos más adelante que, en el caso de los sistemas de espiras, todo ésto se enmarca
en el cálculo de fuerzas y pares a partir de procesos virtuales en los que se mantienen
constantes las intensidades que circulan por dichas espiras. En nuestro caso hemos considerado
m = cte, lo que implica que la densidad de corriente del tubo permanece
invariante en la transformación.
191