Campos Multipolares estáticos

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Energía potencial :
Efectivamente, podemos ver que la energía potencial de un dipolo m, definida en el
sentido de la sección 2.2.3, puede expresarse como
Wd = −m · B (5.39)
Para obtener este resultado deberemos calcular el trabajo realizado por el campo B
en una transformación reversible que nos lleve al dipolo, desde la posición r y formando
un ángulo θ con B, hasta el infinito, donde la interacción será nula. Se supone que la
magnitud |m| del dipolo permanece fija en la transformación o, de otra forma, que el
dipolo es rígido, y que el campo magnético converge a cero en el infinito. En la figura
5.14 se proponen dos formas de realizar esta transformación. En la primera, 5.14-a, el
dipolo se transporta a lo largo de camino L manteniendo constante el ángulo θ que forma
el dipolo con el campo. En la segunda, primero se rota al dipolo, en su posición inicial,
hasta formar un ángulo recto con el campo y, a continuación, se le transporta a lo largo
de L manteniendo su última orientación con respecto al campo. Si la transformación
es reversible, el resultado será independiente del camino elegido y de la orientación del
dipolo a lo largo del mismo.
m
θ
(a)
B
lineas
de
campo
L
oo
Figura 5.14:
En la opción (a) se mantiene fijo el ángulo que forma el dipolo con el campo, por lo
que el par no trabaja. El trabajo realizado debe ser imputado a la fuerza
⎧ ⎫
⎨ θ = cte ⎬
⎩ ⎭
mcosθ = cte
⇒ Wd
∞
= ∇(m ·
r,(θ=cte)
B) · dr = m · ∞ B
r = −m · B(r)
puesto que B(∞) = 0.
En la opción (b), figura 5.15, primero rotamos al dipolo de la posición θ a la π/2 y
después lo desplazamos con θ = π/2. En el desplazamiento, m · B = 0, luego la fuerza
es nula. En este caso el trabajo se realiza en el giro inicial y es imputable al par
Wd =
π
2
θ,(r=cte)
T · d θ = −
π
2
θ
π /2
m
θ
(b)
mB sen θ dθ = −mB cosθ
resultado idéntico al anterior que confirma la expresión dada en 5.39 a la energía potencial.
oo