Campos Multipolares estáticos

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Es decir, la traza de Q es nula y sólo dos elementos son independientes entre si.
Puesto que el término
r 2 δjkQjk = r 2 Qjj = 0
podemos eliminarlo de la expresión dada anteriormente para el potencial y escribir
Vc = 1
8πε0
1
r 5 xj xk Qjk
Si el sistema tiene un eje de simetría, por ejemplo el eje z,
Qxx = Qyy , Qzz = −2Qxx = Q
Q será el momento cuadripolar del sistema y, en coordenadas polares
Vc =
Q
16πε0r 3(3cos2 θ − 1)
(5.9)
5.1.1. Expansión multipolar de la energía de interacción de un sistema
de carga con un campo externo
De acuerdo con los resultados obtenidos en el párrafo 2.2.3, la energía de interacción
de un sistema de cargas, ρ(r ′ ), definido en V ′ , con un campo que derive de un potencial
V (r ′ ) creado por cargas externas a V ′ , puede escribirse como
W = ρ(r ′ )V (r ′ ) dv ′
(5.10)
V ′
Si V (r ′ ) varía lentamente dentro de V ′ , podemos desarrollarlo en serie de Taylor
alrededor de un origen situado en el interior de la distribución 3 .
V (r ′ ) = V (0) + x ′ i
∂
Teniendo en cuenta que Exi
∂ x ′ i
V (r ′
)
r ′ +
=0
1
2 x ′ j x ′
k
∂ = −∂ x ′ V (r
i
′ )
V (r ′ ) = V (0) − r ′ · E(0) − 1
2 x ′ j x ′ k
∂ 2
∂ x ′ j x ′ 2
k
V (r ′ )
∂ Ek
∂ x ′ (0) + · · ·
j
r ′ =0
Dado que E es externo y, por lo tanto, (∇ ′ · E)r ′ =0 = 0, podemos restar
1
6 r′2 δjk
∂ Ek
∂ x ′ (0), con lo que
j
V (r ′ ) = V (0) − r ′ · E(0) − 1
6 (3x′ j x ′ k − r′2 ∂ Ek
δjk)
∂ x ′ (0) + ...
j
3 V (r ′ ) se debe a cargas externas a V ′ , luego no tiene singularidades en su interior.
+ · · ·