INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Cálculo II ( MATE 2252)
Preparado por: Prof. Evelyn Dávila DOCUMENTOS DE REFERENCIA PARA CÁLCULO II
ENERO 2009
Funciones Trigonometricas Elementales
Derivadas Integrales
D u
D u
D u
D x
D x
D x
[ sen(
u)]
[tan( u)]
[sec( u)]
du
cos( u)
dx
[cos( u)]
sen(
u)
[cot ( u)]
[csc ( u)]
sec
2
du
( u)
dx
du
dx
du
sec( u)
tan( u)
dx
csc
2
( u)
du
dx
sen u du cos
cos u du
sen u
u
C
C
tan u du ln | cos u | C ln | sec u |
sec 2
u du tan
u
C
sec u du ln | sec u tan u |
sec u tan u du sec u
cot u du ln | sin u |
csc u du cot
2
du
csc ( u)
cot ( u)
csc u du ln | csc u cot u |
dx
C
C
csc u cot u du csc u
u
C
C
C
C
C
Funciones Trigonometricas Inversas
Derivadas Integrales
D u
[ sen
[cos 1
Du D u
D x
D x
D x
[tan
[sec
[cot
[csc
1
1
( u)]
( u)]
1
( u)]
( u)]
1
1
( u)]
( u)]
1
1
| u |
1
| u |
1
u'
u
u'
u'
u
2
2
u'
u
2
u'
u
u'
u
2
2
u
2
1
1
a
u
a
2
2
1 1
u
u
2
du
du
sen
1 1
u
2
a
1
tan
a
du
u
( )
a
u
( )
a
1 1
2
2
1
sec
a
C
C
| u |
a
C

Funciones Hiperbólicas
Derivadas Integrales
Du [ senh(
u)]
cosh( u)
u'
senh u du cosh u C
Du [cosh( u)]
senh ( u)
u'
cosh u du senh u C
D u
D x
D x
D x
[tanh( u)]
[sec h(
u)]
[cot h(
u)]
[csc h ( u)]
2 du
sec h ( u)
dx
du
sec h(
u)
tanh( u)
dx
2 du
csc h ( u)
dx
du
csc h ( u)
coth ( u)
dx
Revisado AGOSTO 2009
tanh u du ln | cosh u |
sec 2
h u du tanh
u
C
1
sec h u du tan | senh u ||
sec h u tanh u du sec h u
cot hu du ln | sinh u |
csc 2
h u du coth u
u
csc h u du ln | tanh |
2
C
C
C
C
C
csc h u coth u du csc h u
C
C
Funciones Inversas de las Hiperbólicas
Derivadas Integrales
D u
D u
D u
D x
D x
D x
[ senh
[cosh
[tanh
[sec h
[coth
[csc h
1
1
( u)]
1
1
1
( u)]
( u)]
( u)]
( u)]
1
( u)]
1
1
u
u
u'
u'
u
u
| u |
2
u'
2
u'
1
2
u
2
1
u'
u'
1
1
u
u
2
2
u
u
a
2
2
a
1 2 2
1
1
2
a
u
2
2
u
2
du
du
du
ln( u
1
ln
2a
a
a
1 a
ln
a
u
u
u
a
2
a
| u |
C
)
u
2
C
C

FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Definición de funciones hiperbólicas
cosh u = senh u = tanh u = =
Funciones Hiperbólicas
Derivadas e Integrales de funciones hiperbólicas
Revisado AGOSTO 2009

Funciones hiperbólicas inversas
Revisado AGOSTO 2009
)
Derivación e integración que comprenden funciones hiperbólicas inversas

IDENTIDADES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTALES
Identidades Pitagóricas ( Ecuación del círculo unitario )
sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 tan 2 (x) + 1 = sec 2 (x) cot 2 (x) + 1 = csc 2 (x)
Identidades para la Reducción de Exponente
Ángulo doble
IDENTIDADES DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Identidades Pitagóricas
Suma de ángulos
Identidades para la Reducción de Exponentes
Ángulo doble
Revisado AGOSTO 2009

y = sin(x)
Dominio Reales
Recorrido [ -1 , 1 ]
Dominio Restringido para
hacer la function 1-1
Dominio [
Reales [
y
Dominio
Reales [
Revisado AGOSTO 2009
2
1,
1]
arcsin( x)
[
,
2
1,
1]
,
2
2
2
1
f(x)=SIN(X)
f(x)=sin(x)
-4 -3 -2 - 2 3 4
-1
-2
3π/4
π/2
π/4
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5
-π/4
-π/2
-3π/4
y
y
x
x

y
y
cos( x)
Do min io Reales
Recorrido [ -1,
1 ]
Dominio Restringido
para hacer la function
1-1
Do min io [ 0, ]
Recorrido [ -1,
1 ]
arccos ine(
x)
Do min io
Re corrido
Revisado AGOSTO 2009
[
1,
1]
[ 0,
]
1.5
1
0.5
-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2
3π/2
π
π/2
-0.5
-1
-1.5
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2
-π/2
-π
y
y
x
x

y
tan( x)
Do min io x
2
n
Re corrido Re ales
Revisado AGOSTO 2009
; n
Dominio Restringido para hacer la function 1-1
Dominio
2
,
2
Recorrido Reales
y
arctan( x)
Do min io
Re corrido
Re ales
(
2
, )
2
W
-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2
π/2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-π/2
y
15
10
5
-5
-10
-15
y
x
x

y
csc( x)
Do min io
Re corrido
Dominio
Do min io
Re corrido
y
Restringid
2
y
, 0)
Revisado AGOSTO 2009
[
arccsc(x)
Do
min io
Re corrido
x
[
x
y
2
1 o
o
U
1 o y
1 o x
, 0)
n
y
( 0,
U
; n
]
2
1
1
( 0,
2
1
N
3
2
1
-3 -2 - 2 3
-1
-2
-3
π/2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-π/2
y
y
x
x

-3π -2π -π π 2π 3π
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
Revisado AGOSTO 2009
π
π/2
-π/2
y
3
2
1
-1
-2
-3
y
x
y
Do min
sec ( x)
io
Re corrido
x
y
[ 0,
) U (
2 2
{ x 1
sec( x)
Do min io
Re corrido
,
U
]
x
x
{ x
1}
2
1
n
;
U
n
x
N
1}

y
y
Do min
cot( x)
Do min io
Re corrido
arc cot( x)
io
Re corrido
{ x
Re ales
( 0,
Re ales
Revisado AGOSTO 2009
)
n
; n
N}
3
2
1
-3 -2 - 2 3
Do min io
Re corrido
-1
-2
-3
Do min io Re stringido 1
y
( 0,
)
Re ales
/2
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-/2
-
y
1
x
x