Tema 1

Tema 1
Cuantificación y Codificación
de Señales

1.1. Secuencias y Sistemas Discretos
Secuencias discretas:
Secuencias de números (precisión infinita o finita)
Eje adimensional n
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.2

1.1. Secuencias y Sistemas Discretos
Generalmente, para nosotros:
Secuencias procedentes de muestreo
Eje n se corresponde con los instantes de muestreo
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.3

1.1. Secuencias y Sistemas Discretos
Sinusoides con frecuencias indistinguibles
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.4

1.1. Secuencias y Sistemas Discretos
Sistemas lineales invariantes (LTI)
Un sistema lineal quedará completamente
caracterizado por su respuesta al impulso:
[ − ] ⇔ [ ]
δ n k h n
⎧ ∞
⎫
⇒ yn [ ] = T{ xn [ ] } = T⎨ ∑ xk [ ] ⋅δ[ n− k]
⎬ =
⎩k
=−∞
⎭
∞
k
∑xk [ ] T{ δ[
n k] } ∑xk
[ ] h[ n]
= ⋅ − = ⋅
k=−∞
∞
k =−∞
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.5
k
Por
superposición

1.1. Secuencias y Sistemas Discretos
Si imponemos además la condición de invarianza
en el tiempo:
δ[ n] ⇔ h[ n]
δ[ n−k] ⇔ h[ n−k] ∞
[ ] ∑ [ ] [ ] [ ] [ ]
⇒ yn = xk⋅hn− k = xn∗hn k
=−∞
⇒ esta expresión se conoce como suma de convolución,
o convolución lineal de dos secuencias.
⇒ un sistema LTI queda totalmente caracterizado por
su respuesta al impulso h[n].
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.6

1.1. Secuencias y Sistemas Discretos
Ejemplo nº 1: descomponemos la señal de entrada en
una suma de deltas desplazadas y ponderadas, y
calculamos la salida como suma de las respuestas
individuales a cada una de las entradas.
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.7

1.1. Secuencias y Sistemas Discretos
Ejemplo nº 2: desarrollamos la suma de convolución
para cada valor de ‘n’. Podemos ver:
(a) - (c): Secuencias x[k] y h[n-k] como función de
k para distintos valores de n
(d): Secuencia de salida.
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.8

1.1. Secuencias y Sistemas Discretos
Ejemplo nº 3: Programación de la operación de
N 1
n-N 2
convolución: yn [ ] = ∑ xk [ ] ⋅hn [ − k]
h[n]
x[n]
h[n-k]
n
N 2
M 1 M 2 n
n-N 1
n
k
∞
k =−∞
-N 2
M 1 +N 1
h[-k]
Algoritmo de programación:
(para n, desde N 1 +M 1 hasta N 2 +M 2 )
suma=0
(para k, desde n-N 2 hasta n-N 1 )
suma=suma+x[k]h[n-k]
fin_para_k
y[n]=suma
fin_para_n
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.9
-N 1
y[n]
k
M 2 +N 2
n

1.1. Secuencias y Sistemas Discretos
Propiedades de los sistemas LTI
Como h[n] caracteriza el comportamiento del un
sistema LTI, podemos estudiar las características de
los sistemas LTI a partir de las propiedades de la
operación de convolución:
1. Conmutativa: x[n] * h[n] = h[n] * x[n]
x[n]
h[n]
h[n]
x[n]
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.10

1.1. Secuencias y Sistemas Discretos
2. Distributiva respecto de la suma (paralelo):
x[n] * (h1[n] + h2[n]) = (x[n] * h1[n]) + (x[n] * h2[n])
h1 [n]
x[n] +
x[n]
h1 [n]+ h2 [n]
h 2 [n]
3. Sistemas en cascada:
(x[n] * h1[n]) * h2[n] = (x[n] * h2[n]) * h1[n] =
= x[n] * (h1[n] * h2[n])
x[n] x[n]
x[n]
h1 [n] h2 [n] h2 [n] h1 [n]
h 1 [n]∗h 2 [n]
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.11

1.1. Secuencias y Sistemas Discretos
Estabilidad y causalidad serán condiciones
adicionales.
Un sist. LTI será:
Estable si la rpta. impulsiva es absolutamente sumable:
Causal si: h[n] = 0, n < 0
Los sistemas:
∞
∑
[ ]
S = h k < ∞
k =−∞
FIR (Respuesta finita al impulso) ⇒ siempre estables
IIR (Respuesta infinita al impulso) ⇒ estable / inestable
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.12

1.1. Secuencias y Sistemas Discretos
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
[ ]
h[n] = u[n] ⇒ S = u n = ∞ ⇒ inestable
h[n] = a n ⋅u[n] , |a| < 1 ⇒
⇒ estable
El sistema inverso de un sistema LTI, h[n], si
existe, vendrá dado por:
n=
h[n] * h i [n] = h i [n] * h[n] = δ[n]
∞
∑ 0
n 1
S = ∑ a =
1−
a
n=
0

1.1. Secuencias y Sistemas Discretos
Ecuaciones en diferencias
Una subclase importante de sistemas LTI son aquellos cuya
entrada x[n] y su salida y[n] satisfacen una ecuación en
diferencias lineal de orden N de la forma:
N
∑a ⋅y[ n − k] = ∑b
⋅x[ n − k]
k
k = 0 k = 0
Si el sistema está en reposo inicial, entonces el sistema
será lineal, causal e invariante.
M
k
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.14

1.1. Secuencias y Sistemas Discretos
Ejemplo: Exprese un sistema ‘acumulador’ en forma de
ecuación en diferencias
n
[ ] = ∑ [ ]
yn xk
k =−∞
Comprobamos:
n
h n ∑ δ k u n
ac
[ ] = [ ] = [ ]
k =−∞
Vamos a hacer uso de su sistema inverso, conocido como
‘primera diferencia’:
x[n] +
+
-
y[n]
R
x[n-1]
y[n] = x[n]
- x[n-1] ⇒
⇒ h 1dif [n] =
δ[n] - δ[n-1]
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.15

1.1. Secuencias y Sistemas Discretos
Comprobamos que son sistemas inversos:
h[n] = h ac[n] * h 1dif[n] = u[n] * (δ[n] − δ[n-1]) =
= u[n] − u[n-1] = δ[n]
Por tanto, podemos representar:
x[n] y[n] x[n]
Acumulador 1ª diferencia
Del dibujo, vemos que:
x[n] = y[n] * h 1dif[n] = y[n] − y[n-1]
por lo que la ec. en difs. (con coef. ctes.) queda:
y[n] = x[n] + y[n-1]
de donde podemos obtener:
h ac [n] h 1dif [n]
x[n]
y[n-1]
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.16
+
R
y[n]

x[n]
x[n-1]
x[n-2]
x[n-L]
1.1. Secuencias y Sistemas Discretos
Programación de un filtro
Si tenemos un filtro dado por:
A 0
A 1
A 2
A L
R
R
R
a 0
a 1
a L-
1
a 2
a L
+
+
+
+
C B 0
+
+
+
+
b 1
b N-
1
b 2
b N
R
R
R
B 1
B 2
B N
y[n]
y[n-1]
y[n-2]
y[n-N]
[ ] = ∑ ⋅ [ − ] + ∑ ⋅ [ − ]
y n a x n k b x n k
A 0
leer x[n]
C a0⋅A0 + a1⋅A1 + ... + aL⋅AL B0 C + b1⋅B1 + b2⋅B2 +... + bN⋅BN escribir B0 en y[n]
AL AL-1 A1 BN B1 k
k = 0 k = 1
Su diagrama de bloques sería: Y el programa que lo realizaría, sería:
AL-1 AL-2 A0 BN-1 B0 Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.17
L
N
k

1.1. Secuencias y Sistemas Discretos
Transformada de Fourier de secuencias
La Transformada de Fourier (FT) de una secuencia x[n] es una función
X (ejω ), continua y periódica, de período 2⋅π que se obtiene
aplicando la expresión:
∞
jω − jωn ∑
La Transformada Inversa de Fourier (IFT) permitirá obtener
nuevamente la secuencia original, por lo que a su expresión se le
denomina ecuación de síntesis:
1 + π jω jωn xn [ ] = ∫ Xe ( )
e dω
2π −π
[ ]
Xe ( ) = xne
n =−∞
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.18

1.1. Secuencias y Sistemas Discretos
X (e jω ) constituirá por lo general una señal compleja, que podemos
expresar como:
X(e jω ) = X R(e jω ) + jX I(e jω )
o, de forma equivalente, mediante la descomposición en módulo y
fase:
j
Xe
j j X e
Xe e
j
ω
( ) =
ω
ω ( )
( ) ⋅ ∠
Las relaciones entre la respuesta al impulso de un sistema LTI y su
correspondiente resp. en frec. se pueden expresar análogamente:
1 + π jω jωn hn [ ] = ∫ He ( ) e dω
2π −π
∞
jω − jωn ∑
[ ]
He ( ) = hne
n =−∞
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.19

1.1. Secuencias y Sistemas Discretos
Propiedades de simetría de la transformada
de Fourier de señales reales
X(
e
X
X
R
I
( e
( e
X(
e
∠
X(
e
jω
∗ − jω
)
=
X
( e
)
jω
− jω
) = XR
( e
jω
− jω
) = −XI
( e
jω
− jω
)
=
)
X(
e
jω
− jω
)
= −∠ X(
e
)
)
)
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.20

1.1. Secuencias y Sistemas Discretos
Teoremas de la Transformada de Fourier
Linealidad
Si x n X e y
j
← ⎯ → ( )
ω
entonces
Desplazamiento temporal y frecuencial
Si
entonces
y
[ ]
F
1 1
[ ]
F
[ ] [ ]
[ ]
F
2 2
x n X e j
← ⎯ → ( )
ω
F
jωjω 1 2 1 2
a⋅ x n + b⋅x n ← ⎯→ a⋅ X ( e ) + b⋅X ( e )
xn Xe j
← ⎯ → ( )
ω
[ ]
[ ]
j
xn−n← ⎯→Xe⋅e −
F
( )
ω
0
( − )
jωn F j ω ω
xn ⋅e 0 0
← ⎯→Xe
( )
jωn Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.21
0

1.1. Secuencias y Sistemas Discretos
Invertibilidad Temporal
Si xn Xe e invertimos la secuencia
j
← ⎯ → ( )
ω
temporal, se tiene:
Si x[n] es real, entonces:
Diferenciación en frecuencia
Si
[ ]
[ ]
entonces
F
F
x
xn Xe j
← ⎯ → ( )
ω
n ⋅
x
[ n]
F − jω
[ − n]
←⎯→X
( e )
F dX(
e
←⎯→
j
dω
[ ]
x n X e j
− ← ⎯→
∗
( )
ω
jω
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.22
)
F

1.1. Secuencias y Sistemas Discretos
Teorema de Parseval
Si
[ ]
F
xn Xe j
← ⎯ → ( )
ω
entonces la energía E de la señal se puede calcular como:
∞
2 1 + π jω
2
E = ∑ x[
n]
= ∫ X(
e ) dω
2π
−π
n=
−∞
Xe jω
2
( )
La función se denomina densidad espectral de
energía, y sólo se define para señales de energía finita.
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.23

1.1. Secuencias y Sistemas Discretos
Teorema de Convolución
Si
y
[ ]
xn Xe j
← ⎯ → ( )
ω
[ ]
y, además:
entonces:
F
F
hn He j
← ⎯ → ( )
ω
∞
[ ] = ∑ [ ] ⋅ [ − ] = [ ] ∗ [ ]
yn xk hn k xn hn
k=−∞
jωjωjω Y( e ) = X( e ) ⋅H(
e )
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.24

1.1. Secuencias y Sistemas Discretos
Teorema de Modulación o Enventanado
Si
y
[ ]
F
xn Xe j
← ⎯ → ( )
ω
[ ]
F
wn W e j
← ⎯ → ( )
ω
y, si hacemos:
yn [ ] = xn [ ] ⋅ wn [ ]
jω 1 + π jΦ j(
ω−Φ)
entonces: Ye ( ) = Xe ( ) ⋅We
( ) d
π ∫
Φ
2 −π
relación denominada convolución periódica.
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.25

1.2. Muestreo Periódico
Introducción
El método clásico de obtención de una representación discreta
x[n] a partir de la señal continua x c(t) es el muestreo periódico
por medio del conversor continuo/discreto (C/D), de forma que:
[ n]
= x ( nT ) − ∞ < n < ∞
x c ,
donde T es el período de muestreo, y f s=1/T la frecuencia de
muestreo.
xc (t) x[n]
C/D
T
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.26

1.2. Muestreo Periódico
Representación espectral del proceso de muestreo
Este proceso puede ser visto como una modulación en amplitud de
un tren de impulsos s(t) mediante la señal continua xc(t), siendo:
de esta forma, formaríamos la señal xs(t) de manera que:
∞
x () t = x () t ⋅ s() t = x () t ⋅ ∑ δ(
t −nT)
expresión equivalente a:
∞
st () = ∑ δ(
t−nT) n =−∞
s c c
∞
∑
n=−∞
x () t = x ( nT) ⋅δ( t −nT)
s c
n=−∞
La transf. de Fourier de esta expresión, teniendo en cuenta que:
1
Xs( Ω) = Xc( Ω) ∗S(
Ω)
2π
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.27

1.2. Muestreo Periódico
y que la transf. de Fourier de un tren de impulsos periódicos, donde
Ωs = 2π T es la pulsación continua en rad/s., es otro tren de
impulsos periódicos:
∞
2π
S(
Ω) = ∑ δ(
Ω−kΩs) T
k =−∞
resultará ser,
1 ∞
Xs(
Ω) = ∑ Xc( Ω−kΩs) T
k =−∞
La transf. de Fourier de una señal
continua muestreada
periódicamente x s(t) consiste en
la repetición periódica, a
múltiplos enteros de la f s, de la
transf. de la señal continua x c(t).
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.28

1.2. Muestreo Periódico
Solapamiento espectral y frecuencia de Nyquist
Si xc(t) tiene un contenido espectral limitado en banda cuya
componente frecuencial más elevada es ΩN, y siendo Ωs la pulsación
de muestreo, para que no exista solapamiento entre las sucesivas
réplicas de Xc(Ω) se debe cumplir que:
Ωs − ΩN > ΩN
o lo que es lo mismo (criterio de Nyquist):
Ω > 2 ⋅ Ω
s N
⇒ si no se cumple esta condición,
se producirá un efecto de
solapamiento (aliasing) espectral
entre réplicas sucesivas, que
impide la recuperación exacta de
las señales
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.29

1.2. Muestreo Periódico
Si buscamos obtener X(e jω ) en función de X s(Ω) y X c(Ω), tenemos:
Recordando que:
y
∞
F
∑ ( ) δ(
) ( Ω)
∑ ( )
x ()= t x nT ⋅ t −nT ← ⎯ →X
= x nT ⋅e
s c
n =−∞
( )
δ t −t ← ⎯→e
obtenemos la relación buscada:
0
j t − F Ω
s c
n =−∞
∞
∞
ω ω − jωn ( j ) − j n
∑ [ ] ∑ ( )
Xe = xn⋅ e = xnT⋅e n = −∞
− jΩnT Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.30
0
n =−∞
( ) ( jω
) ( jΩ⋅T Ω = = )
X X e X e
s
ω
= Ω⋅T
∞

1.2. Muestreo Periódico
y, como teníamos que:
X
1
Ω = ⋅ ∑ X ( Ω− k⋅Ω
) con Ω
T
s
obtenemos entonces (fórmula de Poisson):
( jΩ⋅T Xe ) Xe ( jω)
1 ⎛ 2⋅π⎞
= = ⋅ ∑ Xc⎜Ω− k⋅ ⎟ =
ω = Ω⋅T
T ⎝ T ⎠
o también:
∞
( )
= ⋅ −
∑ x nT e
c
n =−∞
∞
k =−∞
jΩnT ( j ) ⎛ ⎞
= ⋅ ∑ c ⎜ − ⋅ ∑ c ( )
Xe
( )
∞
s c s
k =−∞
∞
∞
ω − jωn 1 ω 2⋅π
X k ⎟ = x nT ⋅e
T ⎝T
T ⎠
k =−∞
n =−∞
=
T
⋅ 2 π
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.31

1.2. Muestreo Periódico
Recuperación de la señal continua a partir de sus
muestras
Para la recuperación de la señal muestreada se deberá aplicar un
filtro cuya respuesta en frecuencia Hr(Ω) cumpla que:
X ( Ω) = H ( Ω) ⋅ X ( Ω)
Hr(Ω) será un filtro paso bajo ideal de ganancia T y frecuencia de
corte c tal que:
Ω < Ω < ( Ω − Ω )
de forma que:
r r s
N c s N
X ( Ω) =
X ( Ω)
r c
denominándose a H r(Ω) filtro recuperador.
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.32

1.2. Muestreo Periódico
Gráficamente:
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.33

1.2. Muestreo Periódico
En el dominio del tiempo, este proceso puede ser contemplado de
manera equivalente si tenemos en cuenta la respuesta al impulso del
filtro recuperador:
donde:
y por tanto:
1
T
x
r
( ) = ∑ [ ] ⋅ δ(
− )
x t x n t nT
s
n
( t ) = xs
( t ) ∗ hr
( t ) = ∑ x[
n]
⋅ hr
( t − nT )
∞
jΩ⋅t
() t = ⋅ H ( Ω)
⋅e
⋅dΩ
⇒ h ( t )
∫
hr r
r
−∞
n
( πt
/ T )
sen
πt
/ T
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.34
=
( π(
t − nT) T)
( t − nT) / T
sen /
xr( t) = ∑ x[ n]
⋅
π
n

1.2. Muestreo Periódico
Gráficamente:
Esta respuesta al impulso cumple que:
h y
r ( 0) = 1 h nT n para
r
( ) = 0, = ± 1, ± 2,...
⇒ el efecto que produce la aplicación de H r(Ω) es la interpolación de
los impulsos de x s(t) para obtener la señal continua x r(t), :
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.35

1.2. Muestreo Periódico
Al sistema que permite la reconstrucción ideal de una señal limitada
en banda a partir de una secuencia de muestras se le denomina
conversor discreto/continuo (D/C) ideal, cuyo diagrama de bloques
sería:
x[n] xr (t)
D/C
T
Si en lugar del conversor D/C ideal, tenemos una situación mucho
mas real como la siguiente:
T
n→t h 0 (t) 1/H 0 (Ω)
x[n]=x c (nT) x s (t) z a (t)
Ñ r (Ω)
H
H r (Ω)
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.36

1.2. Muestreo Periódico
Este efecto se puede expresar a partir de:
( ) = ∑ ( ) ⋅ δ(
− )
x t x nT t nT
s c
n
⎧
⎫
za t ⎨∑
xc nT δ t nT ⎬ h0t ⎩ n
⎭
( ) = ( ) ⋅ ( − ) ∗ ( )
resultando que:
H ( Ω)
Za( Ω) = Xs( Ω) ⋅ H ( Ω)
= ⋅ Xc
Ω − n
T
T
⋅
0 ⎛ 2 π
⎞
0 ∑ ⎜ ⋅ ⎟
⎝ ⎠
Conclusión: ⇒ debemos compensar el efecto frecuencial introducido
por el conformador de pulso.
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.37
n

1.2. Muestreo Periódico
Si el conformador de pulso es un ‘mantenedor de orden cero’ (zeroorder
hold), lo cual es la salida habitual de un conversor D/A (digitalanalógico),
la situación sería la siguiente:
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.38

1.3. Proceso de Cuantificación
Hasta ahora, hemos considerado el proceso de conversión C/D con
precisión infinita. Sin embargo, en Procesado Digital de Señales sólo
dispondremos de un número finito de bits para representar cada una
de las muestras ⇒ precisión finita.
El proceso de cuantificación lo podemos representar mediante:
Sample Conversor
xa (t) & Hold x0 (t) A / D xB (t)
T T
⇒ ambos bloques son dispositivos físicos reales.
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.39

1.3. Proceso de Cuantificación
Veamos cada uno de los dos bloques por separado:
Conversor A/D: ante un voltaje o corriente de entrada, asigna un
código binario a la salida, haciendo esta operación de nuevo cada
T segundos bajo el control de un reloj externo. Esta conversión no
es instantánea.
Sample & Hold
(muestreo y retención): la función del S&H será
suministrar una tensión (o corriente) constante a la entrada del
conversor durante un cierto período de tiempo.
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.40

1.3. Proceso de Cuantificación
Un S&H ideal tendrá la siguiente respuesta:
donde:
x
0
Gráficamente:
( t)
x ( nT ) ⋅h
( t − nT )
h
0
= ∑ 0
n
a
() ⎨
⎩ ⎧ 1 0 < t < T
t =
0 resto
-T
0 T 2T
x 0 (t)
x a (t)
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.41
t

1.3. Proceso de Cuantificación
Un S&H ideal tendrá la siguiente respuesta:
donde:
x
0
Gráficamente:
( t)
x ( nT ) ⋅h
( t − nT )
= ∑ 0
h
0
n
a
() ⎨
⎩ ⎧ 1 0 < t < T
t =
0 resto
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.42

1.3. Proceso de Cuantificación
Podemos representar de forma ‘matemática’ el circuito real
anterior mediante:
xa (t)
C/D
T
x[n]
Cuantificador
La operación (no lineal) de cuantificación la representaremos
mediante el operador Q:
T
[ n]
Q{
x[
n]
}
x ˆ
=
x[n]
Codificador
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.43

1.3. Proceso de Cuantificación
En el siguiente cuantificador uniforme, los valores de las
muestras son aproximados por su nivel de cuantificación
mas próximo:
3Δ
2Δ
Δ
-7Δ/2 -3Δ/2 Δ/2
-Δ
3Δ/2 7Δ/2
-2Δ
-3Δ
-4Δ
2⋅X m
Símbolo
Binario
(B+1 bits)
Valor
Numérico
0 1 1 3/4
0 1 0 1/2
0 0 1 1/4
0 0 0 0
1 1 1 -1/4
1 1 0 -1/2
1 0 1 -3/4
1 0 0 -1
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.44

1.3. Proceso de Cuantificación
Si llamamos X m al nivel de fondo de escala del conversor
A/D (típicamente 10, 5 ó 1 V), el tamaño del escalón Δ
vendrá dado por:
2 X
1
2
=
⋅
m Δ = B+
La relación entre las muestras cuantificadas y las palabras
código vendrá dada por:
[] n = X ⋅ xˆ
[ n]
-1
≤ xˆ
[ n]
1
X
2
ˆ ≤
x m
B
B
m
B
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.45

1.3. Proceso de Cuantificación
Análisis del error de cuantificación
[ n]
x[
]
xˆ ≠ n
En general, ⇒ la diferencia es lo que se conoce
como error de cuantificación:
[] n xˆ
[ n]
x[
n]
e = − ⇒ − Δ / 2 < e[
n]
≤ Δ / 2
Para un cuantificador de B+1 bits, esto se cumple siempre
que:
⇒ si x[n] está fuera de este rango ⇒
[ n]
≤ ( X − / 2)
( −X m − Δ / 2)
< x
m Δ
[] n
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.46
e
>
Δ
2

1.3. Proceso de Cuantificación
Podemos representar de forma ‘matemática’ el circuito real
anterior mediante:
x [] n Q(
x)
x[]
n
[ n]
Q(
x[
n]
)
x ˆ =
[ ] [ ] [ ]
+ x ˆ n = x n + e n
e[
n]
⇒ podremos suponer que el error de cuantificación es un proceso
tipo ‘ruido blanco’, donde la distribución de probabilidad del
proceso de error es uniforme en el rango del error de
cuantificación (estas suposiciones son especialmente realistas
para voz o música)
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.47

1.3. Proceso de Cuantificación
La función densidad de probabilidad (f.d.p.) de e[n] queda
entonces:
p(e)
-Δ/2
1/Δ
Δ/2
Los estadísticos de este proceso quedarán:
η
=
σ
e
2
e
0
2
Δ
= ⇒ σ
12
2
e
=
X
2
m
⋅ 2
12
−2
B
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.48
e

1.3. Proceso de Cuantificación
Relación señal a ruido de cuantificación (SNR Q )
Señal de voz (a) y error de cuantificación obtenido cuando se cuantifica
con: 3 bits (b), o con 8 bits (c) ((b) ampliada por 5 respecto a (a), (c)
ampliada por 100).
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.49

1.3. Proceso de Cuantificación
Como podemos observar, la SNR Q es mayor para mayor
número de bits (error de cuantificación menor). Si
valoramos matemáticamente esta situación:
SNR
⇒
Q
SNR
= 10log
Q
=
10
6.
02
⎛ σ
⎜
⎝ σ
⋅ B
2
x
2
e
+
⎞
⎟ = 10log
⎠
10.
8
− 20log
B ⎛12⋅ 2 ⋅σ
x
⎜ 2
⎝ X m
( dB)
⇒ la SNR Q aumenta 6 dB por bit introducido, es decir, cada
vez que duplicamos el número de niveles de cuantificación.
10
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.50
10
⎛ X
⎜
⎝ σ x
m
⎞
⎟
⎠
2
⎞
⎟
⎠
⇒

1.3. Proceso de Cuantificación
Ejemplos:
Si x a (t) es un tono puro de amplitud X p ,
σ x
X p
= ⇒ SNRQ
= 6⋅
( B + 1)
+ 1.
8
2
Si la distribución de amplitudes de la señal de entrada es
gaussiana, con p(x>4σx)=0.064%
X m ⇒ σ
x = ⇒ SNRQ
= 6⋅
B −1.
25 = 6⋅
( B + 1)
−
4
(por ejemplo, para 16 bits tendríamos 90∼96 dB)
7.
25
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.51

1.3. Proceso de Cuantificación
Observamos que va a haber una dependencia entre el
grado de ajuste de X m a los márgenes del conversor y la
SNR Q final obtenida. Gráficamente:
Distorsión de
sobrecarga
-20
-10
SNR Q
(dB)
50
30
10
0
256 niveles
16 niveles
10 20
Ruido
granular
(x SC /x max )
(dB)
Tema 1: Cuantificación y codificación de señales T1.52