Teor_a del Control Optimo: Horizonte infinito - Cinve

Teoría del Control Optimo: Horizonte in…nito 

Diego Aboal 

Economía Matemática. Año 2011 

Diego Aboal (FCEA, UdelaR) TCOIn…nito 1 / 23

Principio del máximo 

En el caso de T …jo teníamos que: 

∂J 

jε = 0 = 

∂ε 

TZ 

0 

( ∂H 

∂y 

+ λ)q(t) + ∂H 

∂u p(t) dt + [H] t=T ∆T 

λ(T )∆yT = 0 (1) 

Cuando t ! ∞, tenemos 

∂J 

jε = 0 = 

∂ε 

limλ(t)∆yT 

t!∞ 

| {z } 

(3) 

∞Z 

0 

( ∂H 

| 

∂H 

+ λ)q(t) + p(t) dt + lim [H] ∆T 

∂y ∂u t!∞ 

| {z } 

{z } (2) 

(1) 

= 0 (2) 


Principio del máximo 

Los tres componentes tienen diferentes cosas arbitrarias: la integral 

contiene curvas de perturbación p(t) y q(t), mientras que los otros 

dos involucran ∆T y ∆yT ; de este modo, se deben igualar cada uno 

de los términos que multiplican a estas cosas arbitrarias a 0 para 

asegurarnos que estamos en un . 

Igualando el término dentro de la integral a cero, podemos deducir 2 

condiciones: 

∂H 

∂y 

∂H 

∂u 

= λ (3) 

= 0 (4) 

Estas condiciones son iguales al caso de T …jo que habíamos visto 

antes. 


Principio del máximo. Condiciones terminales alternativas. 

T ahora no es …jo, entonces para que (2) sea cero: 

Con respecto a (3) pueden pasar 2 cosas, 

lim [H] = 0. (5) 

t!∞ 

Primero que el estado (yT ) sea libre entonces en este caso: 

limλ(t) 

= 0. (6) 

t!∞ 

En caso contrario, es decir en que existe un estado terminal …jo, en 

ese caso ∆yT = 0 y por tanto no deberemos imponer ninguna 

condición adicional. 


El Modelo Neoclásico del Crecimiento 

max U(0) = 

(a) Acumulación de capital : 

(b) Condición inicial : k(0) = 1 

∞Z 

e ρt log[c(t)]dt (7) 

0 

s.a. 

. 

k(t) = [y(t) c(t) δ.k(t)] 

(c) Función de producción : y(t) = k(t) α donde 0 < α < 1 

k libre. 

. 

A partir de (a) y (b) tenemos: k(t) = [k(t) α c(t) δ.k(t)] 

Para resolver el problema de Optimización, planteamos el 

Hamiltoneano: 

H(c, k, t, λ) = e ρt log(c) + λ(k α 

c δk) (8) 



Condiciones de primer orden: 

Condiciones de transversalidad: 

Hc = e ρt (1/c) λ = 0 (9) 

α 1 

Hk = λ(αk 

δ) = . 

λ (10) 

lim H(t) 

t!∞ 

= 0 (11) 

lim λ(t) 

t!∞ 

= 0 (12) 



Si despejamos λ de (9), tomamos logaritmos, y derivamos con 

respecto a t, tenemos: 

Sustituimos en (10): 

Además tenemos que: 

ρ 

. 

α 1 

c/c = (αk 

. 

k = [k α 

. 

c/c = . 

λ/λ (13) 

ρ δ) (14) 

c δ.k] (15) 



Equilibrio de estado estacionario: c y k/ . c = . 

k = 0. 

Entonces imponemos esta condición de equlibrio sobre la ecuaciones 

anteriores: 

. α 

c = (αk 

1 

ρ δ)c = 0 (16) 

. 

k = k α 

c δk = 0 (17) 

Dejando de lado los equilibrios que surgen cuando c = 0, 

tenemos que el equilibrio es (a partir de αk α 1 ρ δ = 0 y 

k α c δk = 0): 

1/(1 α) 

k = [α/(ρ + δ)] 

c = k α 

(18) 

δk (19) 



El grá…co de (16) es, . c/c = (αk α 1 ρ δ): 



El grá…co de (17) es, . 

k = k α c δk: 



El grá…co de (16) y (17) es, . c/c = (αk α 1 ρ δ); 

. 

k = k α c δk: 



El grá…co de (16) y (17) es: 


Condiciones de transversalidad 

Lo que vamos a mostrar ahora es que en el equilibrio tambien se 

cumplen las condiciones de transversalidad. 

Notar que el Hamiltoneano en el equilibrio se puede escribir como: 

H(c , k , t, λ) = e ρt log(c ) + λ(k α 

c δk ) (20) 

Pero sabemos a partir de (18) y (19) que log(c ) =constante y que 

k α c δk = 0. Entonces 

lim H = lim 

t!∞ t!∞ e ρt log(c ) + lim 

= lim 

t!∞ 

t!∞ λ(k α 

ya que 1 

! 0 y log(c ) = constante 

eρt c δk ) = 

| {z } 

=0 

log(c ) 

= 0 (21) 

eρt Diego Aboal (FCEA, UdelaR) TCOIn…nito 13 / 23


Ahora notar que a partir de (10) tenemos que 

. 

λ 

= 

λ 

α 

(αk 

1 

A partir de (16) sabemos que en equilibrio (αk α 1 δ) = ρ, entonces 

. 

λ 

λ 

= ρ ) 

λ = λ(0)e ρt 

A partir de acá es fácil veri…car que también se cumple la segunda 

condición de transversalidad 

δ) 

(22) 

lim λ = lim 

t!∞ t!∞ λ(0)e ρt = 0. (23) 


Solución analítica del Modelo Neoclásico del Crecimiento 

Nuestro modelo esta resumido en el siguiente sistema de ecuaciones 

diferenciales: . 

k = k α 

c δk (24) 

. α 1 

c = (αk 

ρ δ)c (25) 

Si conocemos el valor de los distintos parametros podríamos 

encontrar una solución analítica. 

Supongamos que α = 0, 3, δ = 0, y ρ = 0, 06. Entonces tenemos, 

. 

k = k 0,3 

. 

c = (0, 3k 0,7 

Es fácil ver que en equilibrio, c = 2 y k = 10. 

c (26) 

0, 06)c (27) 


Linealizando el sistema 

Nuestro modelo esta resumido en el siguiente sistema de ecuaciones 

diferenciales: . 

k = 0, 3k 

. 

c = 0, 021c k 

0.7 (k k ) (c c ) (28) 

1,7 (k k ) + (0, 3k 

0,7 

0, 06)(c c ) (29) 

Notar que (0, 3k 0,7 0, 06) = 0 en equilibrio, entonces el sistema 

queda como: 

. 

k = 0, 06k c + 1, 4 (30) 

. 

c = 0, 008k + 0, 08 (31) 


Solución sistema de ecuaciones diferenciales 

Sistema de ec. diferenciales en notación matricial: 

1 

0 

0 

1 

. 

k 

.c 

! 

+ 

0.06 

0.008 

1 

0 

k 

c 

= 

o 

Donde I 

y 

k 

c 

1 0 

0 1 

y C 

, M 

1, 4 

0, 08 

1, 4 

0, 08 

(32) 

I . y + My = C (33) 

0.06 1 

, 

0.008 0 

. . ! 

k 

y .c , 

. 

Solución particular. El equilibrio que encontramos antes, c = 2 y 

k = 10, no es otra cosa que la solución particular del sistema 

(veri…carlo). 



Solución Homogenea. 

Pruebo con y 

Entonces tendre: 

m 

n 

e rt , . y 

I . y + My = 0 (34) 

(rI + M) m 

n 

m 

n 

re rt . 

e rt = 0 (35) 



Para una solución no trivial, impongo 

Entonces 

jrI + Mj = 

r1, r2 = 0, 06 p 0, 06 2 + 4 0.008 

2 

Es fácil veri…car que el vector 

m1 

0, 065m1 

r 0.06 1 

0.008 r 

m 

n 

(mostrarlo como ejercicio). 

Mientras que el asociado con r2 = 0, 065 es 

(mostrarlo como ejercicio). 

= 0 (36) 

) r1 = 0, 125, r2 = 0, 065 

asociado con r1 = 0, 125 es 

m2 

0, 125m2 

(37) 



Por tanto la solución homogenea es: 

k 

c 

= 

m1 

0, 065m1 

Por tanto la solución general es: 

k 

c 

= 

m1 

0, 065m1 

e 0,125t + 

e 0,125t + 

m2 

0, 125m2 

m2 

0, 125m2 

e 0,065t 

(38) 

e 0,065t + 10 

2 

(39) 

Al ser r1 > 0 y r2 < 0, estamos ante un punto de silla, esto signi…ca 

que con excepción de si estamos en el camino de ensilladura (o brazo 

estable), en los demás puntos tendemos a diverger del equilibrio. 

Sobre el camino de ensilladura el sistema tiende a converger. 



El camino de ensilladura podemos encontrarlo haciendo m1=0 y 

suponiendo m2 6=0. En ese caso tendremos: 

k 

c 

= 

m2 

0, 125m2 

e 0,065t + 10 

2 

(40) 

y por tanto (encontrando la relación implicita entre k y c, a partir del 

sistema de ecuaciones anteriores), el camino de ensilladura es: 

c = 0.125k + 0.75 (41) 

Notar que en general el camino de ensilladura no es lineal, pero en un 

entorno del equilibrio podemos aproximarlo por la ecuación lineal 

anterior. 

Por supuesto que nada nos garantiza a priori que estaremos en una 

situación donde m1=0. Esto podra suceder si tenemos condiciones 

iniciales (o terminales) adecuadas que nos lleven a concluir eso. En 

general en los modelos económicos hacemos supuestos (razonables) 

que nos permitan partir de un punto sobre el camino de ensilladura. 



El camino de ensilladura (como se puede ver no esta dibujado como 

lineal, pero se puede aproximar por función lineal cerca del equilibrio): 


El porque del nombre camino de ensilladura 

Unicamente si una bolilla cae sobre la parabola que está dibujada con 

linea negra, tendera al equilibrio que esta en el centro de la silla de 

montar.

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