4.4. Ejercicios Resueltos. 1. Si de un monte debidamente barajado ...

4.4. Ejercicios Resueltos.
1. Si de un monte debidamente barajado de 52 naipes se extrae una carta, ¿cuál es la
probabilidad de los siguientes eventos?
a) A={un rey rojo}
b) B={3,4,5 ó 6}
c) C={una carta negra}
d) D={un as rojo o una reina negra}
Solución:
Si C=Corazón Rojo, D=Diamante, N=Carozón Negro y T=Trebol, entonces el
espacio Muestral del Experimento es:
Ω={1C,2C,3C ... 13C,1D,2D,3D ... 13D,1N,2N,3N ... 13N, 1T, 2T, 3T ... 13T}
#Ω=52
a) P(A)=P({13C,13D})=2/52.
b) P(B)=P({3C,4C,5C,6C,3D,4D,5D,6D,3N,4N,5N,6N,3T,4T,5T,6T})=16/52.
c) P(C)=P({1N, 2N, 3N ... 13N, 1T, 2T, 3T ... 13T})=26/52.
d) P(D)=P({1C,1D,13N,13T})=4/52.
2. Considere que en el lanzamiento de un par de dados balanceados se definen los
siguientes eventos:
A={La suma 7}, D={Un dado es par}, B={La suma 11}, E={El primer dado es
par} y C={La suma es un Número Primo}
a) Construya el espacio muestral y determine A,B,C,D y E
Determine la probabilidad de
b) A, B, C c , D c
c) A∩B, A∩C; B∩D
d) B∪C, D∪E, B c ∪E
Construya el espacio muestral
Ω={(1,1): (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6); (3,1);
(3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (3,6); (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6); (5,1); (5,2);
(5,3); (5,4); (5,5); (5,6); (6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)}
#Ω=36
A={(1,6);(2,5);(3,4);(4,3);(5,2);(6,1)} #A=6
B={(5,6);(6,5)} #B=2
C={(1,1); (1,2); (1,4); (1,6); (2,1); (2,3); (2,5); (3,2); (3,4);
(4,1); (4,3); (5,2); (5,6); (6,1); (6,5)} #C=15
D={(1,2); (1,4); (1,6); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5);(2,6); (3,2); (3,4); (3,6); (4,1);
(4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6); (5,2); (5,4); (5,6); (6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5);
(6,6)} #D=27

E={(2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6); (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6); (6,1);
(6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)} #E=18
a) P(A)=6/36 P(B)=2/36 P(C c )=1-P(C) =1-15/36=21/36 P(D c ) = 1-P(D) =1-
27/36=9/36
b) P(A∩B)=P(φ)=0 P(A∩C)=P(A)=6/36(porque A ⊂
C)
P(B∩D)=P(B)=2/36 (porque B ⊂ D)
c) P(B∪C)=P(B)+P(C)-P(B∩C)=2/36+15/36-2/36=15/36
P(D∪E)=P(D)=27/36 (porque E ⊂ D)
P(B c ∪E)=35/36
3. En un grupo de 160 estudiantes graduados de ingeniería, 92 se inscriben en un curso
avanzado de estadística; 63 en un curso de investigación de operaciones; y 40 en
ambos. Determine la probabilidad de que un estudiante no se inscribiera en ningún
curso
Solución:
Sea A={El estudiante se inscribe en el curso de Estadística}
Sea B={El estudiante se inscribe en el curso de Investigación de Operaciones}
Entonces: A∩B = {El estudiante se inscribe en ambos cursos}
A∪B = {El estudiante se inscribe en al menos un curso}
(A∪B) c = {El estudiante no se inscribe en ningún curso}
P(A) =92/160 P(B)=63/160 P(A∩B)=40/160
P((A∪B) c )=1- P(A∪B)=1-(P(A)+P(B)-P(A∩B))
=1-(92/160+63/160-40/160)
=1-115/160
=45/160
4. Explique por qué debe haber un error en cada uno de los siguientes enunciados:
a) La probabilidad de que una muestra de minerales contenga plata es de 0.38 y la
probabilidad de que no contenga plata es de 0.52.
b) No se cumple la propiedad P(A)=1-P(A c )
c) La probabilidad de que una operación de perforación sea un éxito es de 0.34 y la
probabilidad de que no lo sea, de –0.66.
d) No se cumple la propiedad P(A)≥0
e) Un técnico en reparación de aire acondicionado afirma que hay 0.82 de
probabilidades de que el compresor se halle en perfectas condiciones, 0.64 de que
el motor del ventilador esté en perfectas condiciones y 0.41 de que ambos estén
en óptimo estado.
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.82+0.64-0.41=1.05>1.0
f) La probabilidad de que un estudiante obtenga A en un curso de geología es de
0.32 y la probabilidad de que obtenga A o B es de 0.27.
Como A ⊂ AUB entonces P(A)≤ P(AUB) (0.32 > 027)

g) Una compañía trabaja en la construcción de dos centros comerciales; la
probabilidad de que el mayor de ellos sea concluido a tiempo es de 0.35 y la
probabilidad de que ambos sean terminados oportunamente es de 0.42.
Como A∩B ⊂ A entonces P(A∩B) ≤ P(A) (0.42 > 0.35)
5. Dados P(A) = 0.50, P(B) = 0.30 y P(A ∩ B) = 0.15, verifique que:
a) P(A⎪B) = P(A);
b) P(A⎪B c ) = P(A);
c) P(B⎪A) = P(B);
d) P(B⎪A c ) = P(B);
Observemos que P(A)*P(B)=0.50*0.30=0.15= P(A∩B) y luego A y B son
Independientes
Luego a), b) c) y d) se cumplen, puesto que si A y B son independientes
entonces A y B c , A c y B, A c y B c también lo son.
6. Se sabe que un Suero de Verdad aplicado a un sospechoso es 90% confiable cuando
la persona es culpable y 99% confiable si la persona es Inocente. Si se selecciona un
individuo de un grupo de sospechosos, de los cuales se sabe que sólo un 5% de ellos
ha cometido un crimen, se le aplica el suero de verdad el cual implica que es
culpable. ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo sea inocente?.
Sea SI={Suero lo encuentra Inocente}
SC=SI c ={Suero lo encuentra Culpable}
I={El sujeto es Inocente}
C=I c ={ El sujeto es Culpable}
P(SC/C)=0.9 P(SI/I)=0.99 P(SC/I)=0.01 P(I)=0.95 P(C)=0.05
P(I/SC)=
P(SC/I) * P(I)
P(SC/I) * P(I) + P(SC/C) * P(C)
=
0.01 * 0.95
0.01 * 0.95 + 0.9 * 0.05
=0.1743
7. El 5% de las unidades producidas por una fábrica se encuentran defectuosas cuando
el proceso se encuentra bajo control. Si el proceso se encuentra fuera de control, se
produce un 30% de unidades defectuosas. La probabilidad de que el proceso se
encuentre bajo control es de 0.92. Si se escoge aleatoriamente una unidad y se
encuentra que es defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que el proceso se encuentre
bajo control?.
Sea C={Proceso bajo control}
F={Proceso fuera de control}
D={Unidad defectuosa}
P(D/C)=0.05 P(D/F)=0.30 P(C)=0.92 P(F)=0.08

P(C/D)=
P(C/D)= 0.657
P(D/C) * P(C)
P(D/C) * P(C) + P(D/F) * P(F)
=
0.05 * 0.92
0.05 * 0.92 + 0.30 * 0.08