Prof. Mercedes Arriojas.

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y sea h : V −→ U la inversa local de g (dada por el teorema de la función inversa).
La variable aleatoria Y puede interpretarse como un cambio de coordenadas aplicado
a X y podemos obtener su función de densidad en vista de que
P (Y ∈ V ) = P (g(X) ∈ V ) = P (X ∈ h(V )) =
Por lo tanto
fY (y1, . . . , yn)) =
h(V )
f(x)dx =
V
f(h(y))|Jh(y)|dy.
f(h1(y1, . . . , yn), . . . , hn(y1, . . . , yn))|Jh(y1, . . . , yn)| si Y ∈ V
0 si Y /∈ V
(3.19)
Ejemplos 3.10 ´
1. Sean X1, X2 variables aleatorias conjuntamente continuas con densidad conjunta
fX1,X2. Sean Y1 = X1 + X2 y Y2 = X1 − X2. Para obtener la densidad conjunta de
(Y1, Y2) procedemos como sigue. Sean
Entonces
y1 = g1(x1, x2) = x1 + x2 y y2 = g2(x1, x2) = x1 − x2.
y1 + y2 = x1 + x2 + x1 − x2 = 2x1 =⇒ x1 = y1 + y2
2
y1 − y2 = x1 + x2 − x1 + x2 = 2x2 =⇒ x2 = y1 − y2
2
Además tenemos que
Por lo tanto
Jh(y1, y2) =
Jg(x1, x2) −1
=
fY1,Y2(y1, y2)) =
δg1
δx1
δg2
δx1
1
2fX1,X2
y1+y2 , 2 y1−y2
2
δg1
−1
δx2
δg2
δx2
= 1 1
1 −1
−1
= h1(y1, y2) y
= h2(y1, y2).
= −1
. (3.20)
2
si y1 = g1(x1, x2) y y2 = g2(x1, x2)
0 en otro caso
(3.21)
En particular si X1 y X2 son independientes y ambas uniformemente distribuidas
sobre (0, 1), tendremos que
fY1,Y2(y1, y2)) =
=
1 si 0 < 2 y1+y2
2
y1−y2
< 1 y 0 < 2
0 en otro caso
< 1
1
2 si 0 < y1 + y2 < 2 y 0 < y1 − y2 < 2
0 en otro caso