Fractales, potencias, álgebra
Fractales, potencias, álgebra
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©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913<br />
1. El segmento de la figura está<br />
dividido en tercios. Utilízalo<br />
como segmento inicial para<br />
construir las etapas 1 y 2 del<br />
fractal, usando regla y compás.<br />
<strong>Fractales</strong>, <strong>potencias</strong>, <strong>álgebra</strong><br />
2<br />
Mi nombre es Benoît Mandelbrot, nací en Polonia en 1924 y soy considerado el<br />
principal creador de la geometría fractal. Esta geometría es ideal para modelar diferentes<br />
objetos naturales que, como ustedes saben, no siguen patrones básicos:<br />
las nubes no son esféricas, ni las montañas cónicas, ni las costas circulares,<br />
ni la corteza es suave, ni tampoco el rayo es rectilíneo.<br />
Estudiaremos a continuación el fractal conocido como Curva de Koch, pues a partir de él<br />
puede obtenerse un modelo de un copo de nieve como puede verse en la figura.<br />
El fractal conocido como la Curva de Koch puede ser creado a través de la repetición de<br />
un proceso geométrico. Para generarlo, partimos de un segmento y lo dividimos en<br />
tres partes iguales. Como primer paso se construye un triángulo equilátero sobre el<br />
segmento central y se suprime el lado que está incluido en el segmento inicial. Se<br />
obtiene así la etapa 1 del fractal que tiene cuatro lados. Repitiendo la operación en<br />
Segmento inicial:<br />
cada uno de los cuatro lados, se obtiene la etapa 2 de dieciséis lados. Procediendo<br />
de de la misma forma se obtiene la etapa 3 de sesenta y cuatro cuatro lados. Etapa Si repetimos repetimos 0 este<br />
proceso infinitas veces, se obtiene una curva que es la llamada Curva de de Koch. Así, los<br />
fractales fractales pueden ser considerados considerados como el resultado resultado de la repetición infinita de un proceso<br />
geométrico bien bien determinado.<br />
Segmento inicial:<br />
Etapa 0<br />
Etapa 1<br />
Etapa 2<br />
Etapa 3<br />
2. Considerando que el segmento<br />
inicial tiene longitud 1, calcula la<br />
longitud de la poligonal de la etapa<br />
Etapa 4<br />
1, la etapa 2 y la etapa 3; y exprésalas<br />
como <strong>potencias</strong> de igual base.<br />
3. ¿Cómo expresarías la suma de<br />
las longitudes de los segmentos<br />
de la etapa n del proceso?<br />
Segmento inicial:<br />
Etapa 0<br />
Etapa 1<br />
Etapa 2<br />
Etapa 3<br />
Etapa 4<br />
Etapa 1<br />
Etapa 2<br />
Etapa 3<br />
Etapa 4<br />
4. Si consideramos el segmento<br />
inicial como poligonal de la<br />
etapa cero, ¿qué valor asignarías<br />
a la potencia de exponente cero<br />
para que la expresión que permite<br />
obtener la longitud de cada<br />
poligonal sea válida en cualquiera<br />
de los pasos del proceso?
18<br />
Teniendo en cuenta que la longitud del segmento inicial es 1, seguramente<br />
4<br />
habrás calculado que la longitud de la poligonal de la etapa 1 es<br />
3 .<br />
Para calcular la longitud de la poligonal de la etapa 2 podemos pensar que cada<br />
segmento de esta poligonal es<br />
1<br />
9<br />
del inicial, por tanto tenemos<br />
1<br />
9<br />
× 4 × 4 =<br />
De la misma forma podemos calcular la longitud de la poligonal de la etapa 3<br />
considerando que cada segmento de ella es<br />
su longitud será<br />
1<br />
× 4 ×16 =<br />
27<br />
64<br />
27 .<br />
1<br />
27<br />
16<br />
9 .<br />
del segmento inicial, por lo tanto<br />
Expresar la suma de las longitudes de los segmentos de la etapa n del proceso<br />
es sencillo si podemos detectar un patrón que permita obtener la longitud de la<br />
poligonal en cualquier etapa del proceso.<br />
En primer lugar observamos que<br />
Resumiendo, tenemos que:<br />
Segmento inicial:<br />
Segmento Etapa inicial: 0<br />
Etapa 0<br />
Segmento Etapa inicial: 1<br />
Etapa 10<br />
Segmento inicial:<br />
Etapa 2<br />
Etapa<br />
21<br />
0<br />
Etapa 3<br />
Etapa<br />
32<br />
1<br />
Etapa 4<br />
Etapa<br />
43<br />
2<br />
Etapa 43<br />
Etapa 4<br />
16<br />
9 =<br />
4<br />
3 ×<br />
4<br />
3 =<br />
⎛ 4⎞<br />
⎝<br />
⎜<br />
3⎠<br />
⎟<br />
2<br />
y<br />
tiene longitud 1<br />
tiene longitud<br />
tiene longitud<br />
tiene longitud<br />
64<br />
27 =<br />
4<br />
3<br />
⎛ 4⎞<br />
⎝<br />
⎜<br />
3⎠<br />
⎟<br />
⎛ 4⎞<br />
⎝<br />
⎜<br />
3⎠<br />
⎟<br />
2<br />
3<br />
4<br />
3 ×<br />
4<br />
3 ×<br />
4<br />
3 =<br />
3<br />
⎛ 4⎞<br />
⎝<br />
⎜<br />
3⎠<br />
⎟ .<br />
La longitud de cada poligonal queda entonces expresada como una potencia de<br />
4<br />
base y exponente igual al lugar que ocupa la poligonal en el proceso iterativo.<br />
3<br />
En el caso de la poligonal de la etapa 1 es válido lo antedicho, en virtud de que<br />
1<br />
⎛ 4⎞<br />
⎝<br />
⎜<br />
3⎠<br />
⎟ = 4<br />
3 .
Etapa 1<br />
Etapa 2<br />
De esta forma podemos llegar a generalizar que, en cualquier paso del proceso<br />
iterativo, la longitud de la poligonal de la etapa n es 4<br />
Etapa 3<br />
n<br />
Etapa 4<br />
⎛ ⎞<br />
⎝<br />
⎜<br />
3⎠<br />
⎟ .<br />
Si convenimos en considerar el segmento inicial como poligonal de la etapa 0,<br />
para que el patrón que permite obtener la longitud de cada poligonal en cual-<br />
0<br />
⎛ 4⎞<br />
quiera de los pasos del proceso iterativo sea válido, deberá ser<br />
⎝<br />
⎜<br />
3⎠<br />
⎟ = 1.<br />
A partir del trabajo realizado recordaremos la definición de potencia de base real<br />
y exponente natural. Como vimos, la potencia de exponente 0 se define como 1 y<br />
la potencia de exponente 1 es igual a la base. Para el caso de exponente natural<br />
mayor o igual que 2, la potencia es igual al producto de tantos factores iguales a<br />
la base como indique el exponente.<br />
Si realizamos el proceso anterior pero ahora sobre los lados de un triángulo<br />
equilátero, obtenemos el fractal copo de nieve.<br />
Etapa 0 Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3<br />
a. Calcula el perímetro de las figuras en la etapa 1, la etapa 2 y la etapa 3,<br />
considerando que el lado del triángulo es 1.<br />
b. ¿Cómo expresarías el perímetro de la figura de la etapa n del proceso?<br />
⎛ 7⎞<br />
a. ¿Es lo mismo<br />
⎝<br />
⎜<br />
5⎠<br />
⎟<br />
2<br />
que<br />
7<br />
5<br />
× 2? Fundamenta tu respuesta.<br />
b. ¿Es cierto que 23 0 = 1 y (–23) 0 = –1? Explica tu respuesta.<br />
c. Utilizando <strong>potencias</strong> de bases diferentes, escribe el número 1 de tres formas<br />
distintas.<br />
d. ¿Es cierto que p0 = 3,14? ¿Por qué?<br />
19
20<br />
Expresa en lenguaje simbólico.<br />
a. El cuadrado de un número real cualquiera.<br />
b. La diferencia de los cuadrados de dos números reales cualesquiera.<br />
c. El cuadrado de la diferencia de dos números reales cualesquiera.<br />
d. El cubo de un número real cualquiera.<br />
Potencia de base real y exponente natural<br />
En el curso anterior ya estudiaste que:<br />
a 0 = 1 donde a representa un número real cualquiera distinto de 0.<br />
a1 = a donde a representa un número real cualquiera.<br />
an = a ∙ a ∙ a ∙ a …. a donde a representa un número real cualquiera y n<br />
un número natural mayor o igual que dos.<br />
an n factores<br />
Potencia<br />
Propiedades de la potenciación<br />
a es la base de la potencia<br />
n es el exponente<br />
Cuenta la leyenda que el hijo de un rey llamado Yadava murió en una batalla y<br />
el rey se retiró inconsolable.<br />
Cierto día, un joven llamado Lahur Sessa mostró al rey un juego que simulaba<br />
una batalla: era el ajedrez.<br />
Yadava recobró su alegría y accedió a conceder a Lahur lo que deseara:<br />
“Quiero: un grano de trigo para la primera casilla; dos granos para la segunda;<br />
el doble de la cantidad anterior (cuatro granos) para la tercera casilla; otra vez<br />
el doble de la cantidad anterior (ocho granos) para la cuarta casilla; y así hasta<br />
la 64ª casilla”.<br />
Creyendo que era muy poco, los contadores del rey iniciaron los cálculos para<br />
saber cuánto se debía pagar. El total de granos que se debían entregar a Lahur<br />
era 1 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + … + 2 63 es decir: ¡18 446 744 073 709 551 615 granos de trigo!<br />
Si contáramos los granos de a uno, contando un grano por segundo, tardaríamos<br />
cerca de 6 billones de siglos. Si colocáramos uno por centímetro cuadrado<br />
cubriríamos toda la superficie de la Tierra, incluidos los mares. Si todos los<br />
campos de la India se sembraran, pasarían más de 2000 siglos para producir el<br />
trigo necesario.<br />
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913<br />
El rey, asombrado, ante este gran número entendió la apariencia engañadora<br />
de los números (y de los hombres) y nombró a Lahur gran visir. (Fuente: El hombre<br />
que calculaba de Malba Tahan.)<br />
a. Expresa, utilizando una potencia, la cantidad de granos de trigo que corresponderían<br />
a las casillas número 5, 6, 7, 8 y 10.<br />
b. ¿Qué potencia permite expresar la cantidad de granos de trigo que corresponden<br />
a la primera casilla?<br />
c. Expresa, con tus palabras, qué relación existe entre el exponente de la<br />
potencia que indica la cantidad de granos de trigo y el número de la casilla<br />
correspondiente.<br />
d. ¿Cómo expresarías, mediante una potencia, la cantidad de granos de trigo<br />
de la casilla número n?<br />
e. Completa las siguientes oraciones utilizando una potencia de base 2:<br />
• Si multiplicamos la cantidad de granos de trigo que corresponden a la<br />
casilla 5 por obtenemos la cantidad de granos de trigo que corresponden<br />
a la casilla 8.<br />
• Si multiplicamos la cantidad de granos de trigo que corresponden a<br />
la casilla 10 por obtenemos la cantidad de granos de trigo que<br />
corresponden a la casilla 17.<br />
• Si dividimos la cantidad de granos de trigo que corresponden a la casilla<br />
7 por obtenemos la cantidad de granos de trigo que corresponden<br />
a la casilla 3.<br />
• Si dividimos la cantidad de granos de trigo que corresponden a la casilla<br />
15 por obtenemos la cantidad de granos de trigo que corresponden<br />
a la casilla 9.<br />
f. Escribe cada una de las oraciones de la parte e. utilizando únicamente <strong>potencias</strong><br />
y las operaciones multiplicación y división.<br />
21
22<br />
Expresa mediante una única potencia los siguientes números reales:<br />
a. ((-3) 4 ) 5 =<br />
2<br />
3<br />
⎛⎛4<br />
⎞ ⎞<br />
b. ⎜<br />
⎜⎜<br />
⎝⎜<br />
⎝⎜<br />
7⎠⎟<br />
=<br />
⎠⎟<br />
( ( )3 ) 6<br />
( ) 0<br />
c. π p<br />
En las actividades anteriores trabajaste con <strong>potencias</strong> de base real y exponente<br />
natural. Las situaciones que abordaste seguramente te permitieron recordar las<br />
siguientes propiedades de la potenciación:<br />
1) am ∙ ap m + p = a<br />
2) a m : a p = a m – p (a ≠ 0 y m ≥ p)<br />
3) (am ) p m ∙ p = a<br />
¿Por qué en la propiedad 2) se indica que a ≠ 0 y m ≥ p?<br />
Potencia de base real y exponente entero negativo<br />
Completa con el número que corresponde en cada línea punteada.<br />
:3<br />
:3<br />
:3<br />
:3<br />
:3<br />
:3<br />
:3<br />
3 4 = 81<br />
3 3 = 27<br />
3 2 = 9<br />
3 1 = 3<br />
3 0 = 1<br />
3 –1 =<br />
3 –2 =<br />
3 –3 =<br />
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913<br />
¿Qué potencia está escrita debajo de cada papelito?<br />
3<br />
A partir de lo trabajado anteriormente habrás visto que la potencia de base real<br />
y exponente entero negativo se define de la siguiente forma:<br />
a –n = 1<br />
a n<br />
a ≠ 0<br />
–n es un entero negativo<br />
a. ¿Qué números están escritos debajo de los papelitos? Ten en cuenta que,<br />
en el caso de los papeles amarillos, dichos números están expresados en forma<br />
de potencia.<br />
b. La definición de potencia de exponente entero negativo permite justificar la<br />
igualdad I , ¿qué propiedad permite justificar la igualdad II ?<br />
c. ¿7 –3 ∙ 7 5 es igual a 7 –3 + 5 ? Justifica tu respuesta.<br />
1<br />
− 2<br />
− 1<br />
= 7 =<br />
−<br />
( −5)<br />
=<br />
1<br />
3 3<br />
−4<br />
⎛ ⎞<br />
⎝<br />
⎜<br />
4⎠<br />
⎟ =<br />
5<br />
−3 5 1 5 7 5−<br />
7 ⋅ 7 = ⋅ 7 = = 7 7 = 7<br />
7<br />
I<br />
II<br />
1<br />
1<br />
23
24<br />
Notación científica<br />
Realiza la lectura del siguiente fragmento extraído de Álgebra recreativa, de Y.<br />
Perelman, y luego contesta las preguntas.<br />
Es probable que nadie haga tanto uso de la potenciación como los astrónomos. Los exploradores<br />
del firmamento manejan sin cesar cantidades formadas por una o dos cifras significativas<br />
seguidas de una larga fila de ceros. Sería muy incómodo expresar con los medios<br />
ordinarios tales cantidades, llamadas con razón astronómicas y, sobre todo, operar con ellas.<br />
Los kilómetros que nos separan de la nebulosa de Andrómeda se representan con la siguiente<br />
cifra:<br />
95 000 000 000 000 000 000.<br />
Por añadidura, al efectuar cálculos astronómicos, muchas veces hay que operar no con kilómetros<br />
u otras unidades aun mayores, sino con centímetros. En este caso, la distancia antes<br />
referida lleva cinco ceros más:<br />
9 500 000 000 000 000 000 000 000.<br />
La masa de las estrellas viene expresada en cifras todavía más considerables, sobre todo si<br />
hemos de registrarla en gramos, como exigen muchos cálculos. La masa del Sol, en gramos,<br />
es igual a:<br />
1 983 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.<br />
Está de más decir los inconvenientes que representaría operar con números tan desmesurados<br />
y lo fácil que sería incurrir en error en tales casos. Además, las cantidades referidas están<br />
muy lejos de ser las mayores en la astronomía.<br />
La potenciación aligera los cálculos. La unidad seguida de varios ceros se expresa con el<br />
número 10 elevado a una determinada potencia<br />
100 = 10 2 ; 1000 = 10 3 ; 10 000 = 10 4 ; etcétera.<br />
Los enormes números citados anteriormente pueden representarse como sigue:<br />
el segundo 95 ∙ 10 23 ; el tercero 1983 ∙ 10 30 .<br />
Se expresan así no solo para economizar espacio, sino también para facilitar los cálculos.<br />
Si hubiera, por ejemplo, que multiplicar ambos números entre sí, bastaría hallar el<br />
producto de 95 × 1983 = 188 385 y tras él colocar el factor 10 23+30 de la forma siguiente:<br />
95 ∙ 10 23 × 1983 ∙ 10 30 = 188 385 ∙ 10 53 .<br />
Es evidente que esto resulta más cómodo que escribir un número seguido de 23 ceros, otro<br />
de 30 ceros y, por último, un tercero acompañado de 53 ceros. Y no solo más sencillo sino<br />
también más seguro, por cuanto al escribir tal fila de ceros puede ser omitido alguno, lo que<br />
arrojaría un resultado erróneo.<br />
a. ¿Por qué se recurre a las <strong>potencias</strong> de base 10 para expresar los números<br />
que aparecen en el texto?<br />
b. Para expresar 95 ∙ 1023 × 1983 ∙ 1030 como 188 385 ∙ 1053 , ¿qué propiedades se<br />
aplicaron?<br />
c. El número 95 ∙ 1023 también puede escribirse como 9,5 ∙ 1024 . Explica por qué.<br />
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913<br />
d. ¿Es correcto?<br />
1983 ∙ 10 30 = 1,983 ∙ 10 33<br />
1983 ∙ 10 30 = 19,83 ∙ 10 31<br />
1983 ∙ 10 30 = 198,3 ∙ 10 31<br />
Como observaste anteriormente, el número 95 ∙ 10 23 puede escribirse también<br />
como 9,5 ∙ 10 24 . Esta última notación recibe el nombre de notación científica.<br />
Para escribir un número utilizando notación científica, dicho número<br />
debe expresarse de la forma a ∙ 10 b donde a representa un número real<br />
mayor o igual que 1 y menor que 10, y b representa un número entero.<br />
a. Indica si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:<br />
357 000 000 = 35,7 ∙ 10 6<br />
740 000 = 74 ∙ 10 4<br />
13 590 000 000 000 = 1,359 ∙ 10 13<br />
2 300 000 = 2,3 ∙ 10 5<br />
540 000 000 = 5,4 ∙ 10 8<br />
18 230 000 = 1,823 ∙ 10 7<br />
2 300 000 = 2,3 ∙ 10 6<br />
171 000 000 000 000 000 000 = 17,1 ∙ 10 16<br />
b. En el caso en que la proposición es verdadera, indica si el número escrito a<br />
la derecha del signo de igual está expresado en notación científica.<br />
Completa con el exponente que falta para que los siguientes números queden<br />
expresados en notación científica.<br />
9 340 000 = 9,34 ∙ 10<br />
0,000125 = 1,25 ∙ 10<br />
789 200 = 7,892 ∙ 10<br />
0,0089 = 8,9 ∙ 10<br />
137 = 1,37 ∙ 10<br />
0,000035 = 3,5 ∙ 10<br />
2 = 2 ∙ 10<br />
25<br />
Sabías que…<br />
El primer intento<br />
de representar<br />
números demasiados<br />
grandes<br />
fue emprendido<br />
por el matemático<br />
griego<br />
Arquímedes<br />
(siglo iii a. de C.).<br />
Evidencia de esto<br />
aparece en su<br />
libro Arenario.<br />
Arquímedes propone<br />
un sistema<br />
capaz de expresar<br />
números hasta<br />
8 × 10 63 pues considera<br />
que este<br />
es un número lo<br />
suficientemente<br />
grande como<br />
para contar<br />
todos los granos<br />
de arena que<br />
podrían caber en<br />
el universo que él<br />
concebía.<br />
Este universo de<br />
Arquímedes era<br />
una esfera limitada<br />
por las estrellas<br />
fijas. Él estimaba<br />
el diámetro<br />
de esta esfera en<br />
10 000 diámetros<br />
terrestres.<br />
(Fuente: Arquímedes.<br />
Alrededor del<br />
círculo, de Torija, R.)
26<br />
Realiza la lectura del siguiente fragmento extraído de Matemática recreativa,<br />
de Y. Perelman, y luego contesta las preguntas.<br />
En el interior del cuerpo humano se ocultan números gigantes. Vamos a<br />
demostrarlo tomando como ejemplo la sangre. Si observamos al microscopio<br />
una gota de sangre, veremos que en ella nada una multitud enorme de<br />
corpúsculos pequeñísimos de color rojo, que son los que dan ese color a la<br />
sangre. Esos corpúsculos sanguíneos, llamados glóbulos rojos, son de forma<br />
circular discoidea, o sea, oval aplanada, hundida en su parte central, como se<br />
observa en la figura.<br />
En todas las personas, los glóbulos rojos son de dimensiones aproximadamente<br />
iguales, de 0,007 milímetros de diámetro y de 0,002 mm de espesor.<br />
Pero su número es fantástico. Una gotita pequeñísima de sangre, de 1 mm<br />
cúbico, contiene 5 millones de glóbulos rojos. ¿Cuál es su número total en<br />
nuestro cuerpo? Por término medio, hay en el cuerpo humano un número<br />
de litros de sangre 14 veces menor que el número de kilogramos que pesa<br />
la persona. Si pesas 40 kg, tu cuerpo contiene aproximadamente 3 litros de<br />
sangre, o lo que es lo mismo, 3 000 000 de mm cúbicos. Dado que en cada<br />
milímetro cúbico hay 5 000 000 de glóbulos rojos, el número total de estos en<br />
tu sangre será:<br />
5 000 000 x 3 000 000 = 15 000 000 000 000.<br />
¡Quince billones de glóbulos rojos!<br />
a. ¿Cómo expresarías cada uno de los números presentes en la siguiente igualdad<br />
utilizando notación científica?<br />
5 000 000 x 3 000 000 = 15 000 000 000 000.<br />
b. ¿Qué longitud se obtendría si se dispusiera en fila esta cantidad de glóbulos<br />
rojos sin dejar espacio entre uno y otro?<br />
c. ¿Cuántas vueltas a la Tierra podrían darse con esa fila?<br />
d. ¿Cómo expresarías el diámetro y el espesor de un glóbulo rojo utilizando<br />
notación científica?<br />
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913<br />
Realiza la lectura del siguiente fragmento extraído del capítulo 28 de El hombre<br />
que calculaba, de Malba Tahan.<br />
¿Es posible extraer en Matemática una regla falsa de<br />
una propiedad verdadera? Quiero oír tu respuesta, ¡oh,<br />
calculador!, ilustrada con un ejemplo sencillo y perfecto.<br />
Beremís calló durante un rato, reflexivamente. Luego salió<br />
del recogimiento y dijo: —Admitamos que un algebrista<br />
curioso deseara determinar la raíz cuadrada de un número<br />
de cuatro cifras. Sabemos que la raíz cuadrada de un<br />
número es otro número que, multiplicado por sí mismo, da un producto igual<br />
al número dado.<br />
Vamos a suponer aun que el algebrista, tomando libremente tres números a<br />
su gusto, destacase los siguientes números: 2025, 3025, 9801.<br />
Iniciemos la resolución del problema por el número 2025. Hechos los cálculos<br />
para dicho número, el investigador hallaría que la raíz cuadrada es 45. En<br />
efecto: 45 veces 45 es igual a 2025. Pero se puede comprobar que 45 se obtiene<br />
de la suma de 20 + 25, que son partes del número 2025 descompuesto<br />
mediante un punto, de esta manera: 20.25.<br />
Lo mismo podría comprobar el matemático para el número 3025, cuya raíz<br />
cuadrada es 55 y conviene notar que 55 es la suma de 30 + 25, partes ambas<br />
del número 3025. Idéntica propiedad se destaca con relación al número 9801,<br />
cuya raíz cuadrada es 99, es decir, 98 + 01.<br />
Frente a esos tres casos, el inadvertido algebrista podría sentirse inclinado a<br />
enunciar la siguiente regla:<br />
“Para calcular la raíz cuadrada de un número de cuatro cifras, se divide el<br />
número por medio de un punto en dos partes de dos cifras cada una, y se<br />
suman las partes así formadas. La suma obtenida será la raíz cuadrada del<br />
número dado”.<br />
a. Explica por qué la raíz cuadrada de 9801 es 99.<br />
b. ¿Existen otros ejemplos de números naturales de cuatro cifras que cumplan<br />
idéntica propiedad que los que aparecen en el texto? Explica tu respuesta.<br />
c. ¿Recuerdas a qué números se les llama “cuadrados perfectos”?<br />
d. Analiza e investiga si la regla enunciada es válida para cualquier número<br />
natural de cuatro cifras que sea un cuadrado perfecto.<br />
a. ¿Es posible calcular −1521? ¿Por qué?<br />
b. Explica por qué la raíz cuadrada de un número real no negativo es también<br />
no negativa.<br />
Índice<br />
2<br />
27<br />
La raíz cuadrada<br />
de 9801 es 99 porque<br />
99 2 = 9801.<br />
Esto lo expresamos<br />
de la siguiente<br />
manera:<br />
9801<br />
2 = 99 porque<br />
992 = 9801<br />
Usualmente el<br />
índice 2 del radical<br />
se omite y se<br />
escribe simplemente:<br />
9801=99.<br />
Símbolo<br />
radical<br />
9801<br />
Radicando
28<br />
De manera que la raíz cuadrada<br />
de un número real x no negativo es<br />
un número real también no negativo que<br />
elevado al cuadrado es igual a x.<br />
Realiza la lectura del siguiente fragmento extraído del capítulo 18 de El hombre<br />
que calculaba de Malba Tahan.<br />
—Deseamos, ¡oh, calculador! —prosiguió Iezid—, tu ayuda para que podamos<br />
aclarar una duda sugerida por el príncipe Cluzir Schá. ¿Cuál fue la contribución<br />
con que la ciencia de los hindúes enriqueció a la Matemática? ¿Cuáles<br />
fueron los principales geómetras que más se destacaron en la India por sus<br />
estudios e investigaciones?<br />
—¡Jeque generoso! —respondió Beremiz—. Siento que la tarea que acabáis<br />
de lanzar sobre mis hombros es de las que exigen erudición y serenidad.<br />
Erudición para conocer, con todos los detalles, los datos recopilados por la<br />
Historia de las Ciencias y serenidad para analizarlos y juzgarlos con elevación<br />
y discernimiento. Vuestros menores deseos, ¡oh, Jeque!, son, sin embargo,<br />
órdenes para mí. Expondré en esta brillante reunión, como humilde homenaje<br />
al príncipe Cluzir Schá —a quien acabo de tener el honor de conocer—,<br />
las pequeñas nociones que aprendí en los libros sobre el desarrollo de la<br />
Matemática en el país del Ganges.<br />
El hombre que calculaba empezó así:<br />
—Nueve o diez siglos antes de Mahoma, vivió en la India un brahmán ilustre<br />
que se llamaba Apastamba. Con intención de ilustrar a los sacerdotes sobre<br />
los sistemas de construcción de altares y sobre la orientación de los templos,<br />
este sabio escribió una obra llamada Suba-Sultra, que contiene numerosas<br />
enseñanzas matemáticas. Es poco probable que esta obra pudiera recibir la<br />
influencia de los pitagóricos, pues la geometría del sacerdote hindú no sigue<br />
el método de los investigadores griegos. Se encuentran, sin embargo, en las<br />
páginas de Suba-Sultra varios teoremas de Matemáticas y pequeñas reglas<br />
sobre construcción de figuras. Para enseñar la transformación conveniente<br />
de un altar, el sabio Apastamba propone la construcción de un triángulo<br />
rectángulo cuyos lados miden respectivamente 39, 36 y 15 pulgadas. Para la<br />
solución de este curioso problema aplicaba el brahmán un principio que era<br />
atribuido al griego Pitágoras:<br />
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa, es equivalente<br />
a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre<br />
los catetos.<br />
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913<br />
a. Dibuja un triángulo rectángulo e interpreta gráficamente el principio atribuido<br />
a Pitágoras.<br />
b. Expresa algebraicamente este principio.<br />
c. Aplicando este principio, ¿cómo calcularías la medida de la hipotenusa de<br />
un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 36 y 15 respectivamente?<br />
d. ¿Coincide el valor que obtuviste con la medida de la hipotenusa del triángulo<br />
sugerido por Apastamba?<br />
¿Cómo calcularías la medida de la diagonal de un rectángulo cuyos lados<br />
miden 1,5 y 2 respectivamente?<br />
Ahora con raíz cúbica.<br />
a. ¿Es cierto que 8 3 = 2 ? ¿Por qué?<br />
b. ¿Cuál es mayor: 8 3 8 o 3 ?<br />
3<br />
c. ¿Es cierto que −8<br />
Uso de calculadora científica<br />
= −2 ? ¿Por qué?<br />
Para calcular, por ejemplo, 0,8 5 con la calculadora científica, tecleas así:<br />
0 . 8 ^ 5<br />
0 . 8 ^ 5<br />
0 1 . 8. ^2 15<br />
1 . 2 1<br />
3<br />
[ ] 1 3. 42 31<br />
3<br />
[ ]<br />
3<br />
3<br />
4 3<br />
3<br />
[ ]<br />
3 4 3<br />
Para calcular, por ejemplo, 1,21 tecleas así:<br />
Para calcular, por ejemplo, 343<br />
0<br />
.<br />
8<br />
[ ] 0<br />
1<br />
.<br />
8<br />
2<br />
[ ]<br />
4 × 1 0 tan .<br />
28<br />
5 =<br />
4[ ] × 1<br />
tan<br />
. 2<br />
5 =<br />
4 × tan 5 =<br />
tecleas así:<br />
5<br />
5<br />
1<br />
15<br />
1<br />
y obtienes en pantalla: 0,32768.<br />
y obtienes 1,1.<br />
y obtienes en la pantalla 7.<br />
29<br />
Sabías que…<br />
La palabra raíz<br />
proviene del<br />
latín: radix, que<br />
designa la parte<br />
inferior de un<br />
árbol y por generalización<br />
‘base’ o<br />
‘fundamento’.<br />
El símbolo<br />
surge de la inicial<br />
de la palabra<br />
radix (letra r)<br />
que al ser escrita<br />
a mano se fue<br />
transformando en<br />
el símbolo que<br />
hoy utilizamos<br />
con la intención<br />
de abarcar todo<br />
el radicando.
30 Actividades<br />
1) El fractal de Cantor<br />
En 1883, el matemático Georg Cantor construyó este fractal que hoy lleva su nombre. Se<br />
comienza por un segmento cuya longitud consideraremos de 1 unidad. Luego quitamos el<br />
tercio del medio y obtenemos la etapa 1. Después, a cada uno de los tercios restantes les<br />
quitamos el tercio del medio, generando la etapa 2. Repitiendo este proceso infinitamente,<br />
se obtiene un fractal que es llamado Conjunto de Cantor.<br />
Etapa 0<br />
Etapa 1<br />
Etapa 2<br />
Etapa 3<br />
Etapa 4<br />
a. Calcula para cada una de las etapas que aparecen en la figura la suma de las longitudes<br />
de los segmentos de cada una de ellas. (Recuerda que la longitud del segmento de la<br />
etapa 0 es una unidad.)<br />
b. ¿Cuál es la suma de las longitudes de los segmentos de la etapa 7? ¿Y de la 18?<br />
1024<br />
c. ¿En qué etapa la suma de las longitudes de todos los segmentos de la figura es<br />
59049 ?<br />
d. ¿Cómo expresarías la suma de las longitudes de los segmentos de la etapa n del proceso?<br />
©Santillana S.A. Prohibida su su fotocopia. Ley 15.913
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913<br />
2) Un palíndromo es una palabra o frase<br />
que se lee igual de izquierda a derecha<br />
que de derecha a izquierda. Por ejemplo:<br />
ANILINA<br />
¿ACASO HUBO BÚHOS ACÁ?<br />
Aplicaremos también la denominación palíndromo<br />
a números como:<br />
121<br />
64946<br />
a. Eleva al cuadrado los naturales del 1 al<br />
9. Escribe el último dígito de cada uno de<br />
los números obtenidos, uno a continuación<br />
del otro. ¿El número obtenido es un<br />
palíndromo?<br />
b. Eleva al cubo los naturales del 1 al 9.<br />
Escribe el último dígito de cada uno de<br />
los números obtenidos, uno a continuación<br />
del otro. ¿El número obtenido es un<br />
palíndromo?<br />
c. ¿Qué sucede si trabajas ahora con las<br />
<strong>potencias</strong> cuartas?<br />
d. Continúa analizando qué sucede si<br />
consideras todas las <strong>potencias</strong> hasta las<br />
de exponente 10.<br />
e. Indica para qué exponentes de los<br />
analizados en las partes anteriores puedes<br />
encontrar patrones para el último<br />
dígito de las <strong>potencias</strong> obtenidas.<br />
f. Si el último dígito de un número natural<br />
de varias cifras es 6, ¿es posible que su raíz<br />
cuadrada sea un número natural? ¿Y la raíz<br />
cúbica? ¿Y la raíz cuarta? ¿Y la raíz quinta?<br />
g. Si el último dígito de un número natural<br />
de varias cifras es 3, ¿es posible que su<br />
raíz cuadrada sea un número natural? ¿Y<br />
la raíz cúbica? ¿Y la raíz cuarta? ¿Y la raíz<br />
quinta?<br />
3) De acuerdo a la historia griega, cerca del<br />
año 400 a. de C., los habitantes de la isla<br />
de Delos estaban sufriendo una grave<br />
epidemia. Como era de costumbre en<br />
esa época, los líderes de la comunidad<br />
consultaron al oráculo la forma de detener<br />
la epidemia. Este les ordenó duplicar<br />
el tamaño del altar de Apolo (que tenía<br />
forma de cubo) y los habitantes construyeron<br />
un cubo de arista doble pero la<br />
epidemia no cesó.<br />
Altar original Nuevo altar<br />
a. ¿Por qué no cesó la epidemia? ¿Será<br />
que al duplicar la arista no se duplica el<br />
volumen? Investiga.<br />
b. Si el altar original tenía arista 1, su<br />
volumen es 13 que es igual a 1. Por tanto<br />
el nuevo altar debería tener volumen 2.<br />
¿Cuál debía ser la medida de su arista?<br />
4) La máxima distancia d que puede verse<br />
desde lo alto de un edificio está modelada<br />
por la siguiente fórmula: d ≅ 117,7∙ h ,<br />
donde h indica la altura del edificio expresada<br />
en kilómetros.<br />
a. Calcula la distancia máxima que puede<br />
verse desde la azotea de la Torre de las<br />
Telecomunicaciones de antel.<br />
b. La altura del Palacio Municipal es<br />
aproximadamente la mitad de la altura<br />
de la Torre de las Telecomunicaciones. La<br />
distancia máxima que puede verse desde<br />
la azotea del Municipio, ¿es la mitad de la<br />
que calculaste en la parte a?<br />
31
32<br />
Caleidoscopio<br />
El proceso de utilizar fractales para crear arte se llama decalcomanía, y produce obras como<br />
las siguientes:<br />
Obras del artista Max Ernst<br />
El proceso de la decalcomanía consiste en verter acuarela opaca negra diluida en una hoja de<br />
papel blanco que posee una determinada textura. Luego se cubre esta hoja con otra y, a continuación,<br />
se ejerce presión sobre ambas, con el fin de extender la acuarela. De este proceso<br />
resulta una imagen en negro, gris y blanco, donde aparecen fractales y en la que pueden<br />
descubrirse paisajes, perfiles, formas de animales o plantas desconocidas. Posteriormente,<br />
el artista plástico pinta sobre esta imagen con su creatividad, aplicándole colores, texturas y<br />
sombras para generar la obra de arte final.<br />
Extraído de http://www.srbyte.com/2008/12/el-arte-y-los-fractales-arte-fractal.html<br />
©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913