Problemas Seminario 5 con algunas soluciones - OCW Usal

Álgebra Lineal y Geometría I. Grado en Físicas. Curso 2010/11. D. Hernández Serrano. D. Sánchez Gómez 15
El morfismo E∗ {¯ω1,¯ω2,¯ω3} → E∗ {ω1,ω2,ω3}
(morfismo transpuesto) E {e1,e2,e3} → E {ē1,ē2,ē3} (por reflexividad E∗∗ E y donde {ē1, ē2, ē3}
es la base dual de {¯ω1, ¯ω2, ¯ω3} que buscamos) cuya matriz asociada es Ct .
Por definición de matriz asociada respecto de una pareja de bases, las columnas de la matriz
Ct expresan los vectores ei en función de los ēj, que es justo lo contrario a lo que nos
pide el ejercicio. Por lo tanto nos interesa conocer la matriz de E {ē1,ē2,ē3} → E {e1,e2,e3}, que
precisamente es:
Se concluye entonces que:
(C t ) −1 =
induce un morfismo entre los espacios vectoriales duales
⎛
−2 −1
⎞
3
⎝ 2 1 −2⎠
.
1 0 −1
ē1 = (−2, 2, 1) , ē2 = (−1, 1, 0) , ē3 = (3, −2, −1)
es la base dual de {¯ω1, ¯ω2, ¯ω3}.
c) Las coordenadas del vector u = e1 − e2 + e3 = (1, −1, 1) en la base {ē1, ē2, ē3} son:
E {e1,e2,e3} → E {ē1,ē2,ē3}
u = (1, −1, 1) ↦→ C t ⎛ ⎞
1
⎛
1 1
⎞
1
⎛ ⎞
1
⎛ ⎞
1
· ⎝−1⎠
= ⎝0
1 −2⎠
· ⎝−1⎠
= ⎝−3⎠
.
1 1 1 0 1 0
Se tiene así que u = ē1 − 3ē2, luego:
◦
〈u〉 = {¯ω ∈ E ∗ {¯ω1,¯ω2,¯ω3} | ¯ω(u) = 0} = {¯ω = (α, β, γ) ∈ E∗ {¯ω1,¯ω2,¯ω3} | α − 3β = 0} =
= 〈(3, 1, 0), (0, 0, 1)〉 = 〈3¯ω1 + ¯ω2, ¯ω3〉 .