Semejanza de Triángulos

Semejanza de Triángulos:
El concepto de semejanza corresponde a figuras de igual forma, pero no
necesariamente de igual tamaño.
Ejemplo: Se obtienen triángulos semejantes al:
i) Al trazar paralelas a lados del triángulo: ii) Al ampliar o reducir un triángulo:
Dos triángulos serán semejantes, si sus ángulos son iguales y sus lados
homólogos proporcionales; donde los lados homólogos son los opuestos a ángulos
iguales, indicándose la semejanza por el símbolo ∼.
b
α
C
γ
Ejemplo:
C
A B
c
A B
A’ B’
α = α’
β = β’
γ = γ’ ⇔ ABC ∼ A’B’C’
a b c
= =
a' b' c'
En base al ABC y A’B’C’ de la figura se tiene que:
A
53º c=10
A’
53º c’ =5
Los ángulos son iguales, vea si son
proporcionales los lados homólogos;
lados opuestos a ángulos iguales:
a=6
C
b=8
___ = ___ = ___
Luego ABC A'B'C'; debiendo existir una correspondencia entre los vértices, a
los que les debe corresponder ángulos iguales.
Ejercicio:
Si ABC ∼ RST ; luego "x" e "y" valen:
x+1
C
C’
a b’
γ’ a’
β
37º
y+2
B
a’ =3
C’
α’ β’
c’
37º
b’ =4
T
B’
y-1 x-1
A 16 B
S 12 R
Teoremas de semejanza:
Teorema 1: Dos triángulos son semejantes si poseen dos pares de ángulos iguales;
es decir:
b
α
A
C
γ
a
c
β
B
C’
b’
γ’
α’
A’ c’
a’
β’
B’
Si
α = α’ ∨ α = α’ ∨ γ = γ’
β = β’ γ = γ’ β = β’
luego ABC ∼ A’B’C’
(1)
A
C
B

Teorema 2: Dos triángulos son semejantes si poseen dos pares de lados homólogos
proporcionales e igual el ángulo comprendido entre tales lados; es decir:
A B
Si
a b b c a c
= ∨ = ∨ =
a' b' b' c' a' c'
γ = γ’ α = α’ β = β’
luego ABC ∼ A’B’C’
Teorema 3: Dos triángulos son semejantes si poseen sus tres lados homólogos
respectivamente proporcionales:
Si
a b c
= =
a' b' c'
luego ABC ∼ A’B’C’
Teorema 4: Dos triángulos son semejantes si poseen dos pares de lados homólogos
proporcionales e igual el ángulo opuesto al mayor de estos lados.
Ejercicio:
Si
a b
=
a' b'
b c
∨ =
b' c'
a c
∨ =
a' c'
(a y a’ l. mayor) (c y c’ l. mayor) (c y c’ l. mayor)
α = α’ γ = γ’ γ = γ’
luego ABC ∼ A’B’C’
Verifique si ABC ∼ A’B’C’ en c/u de los siguientes casos:
(a)
(c)
b
α
b
α
C
γ
C
γ
c
c
A B
b
α
C
γ
A B
C
70º
c
C’
a b’
γ’ a’
β
α’ β’
c’
A’ B’
C’
a b’
γ’ a’
β
α’ β’
c’
A’ B’
C’
a b’
γ’ a’
β
α’ β’
c’
80º 30º
A
B A’
6
C
A 12 B
C’
70º
C’
9 4 6
A’ B’
B’
A’ 8 B’
(2)
(b)
(d)
9
C
40º
A 12 B
6
C
3
C’
65º
75º
A’ 4 B’
A’ 5
B’
A 10 B
C’
4

Notar que al trazar una paralela a
un lado del triángulo , resulta un
nuevo triángulo que es semejante
al anterior.
Ejemplos:
1) Si ABCD paralelogramo; x = ?
F
A
3) Si AB//DE; luego el perímetro de la
figura es:
Teoremas:
Si DE//AC ⇒ DBE ∼ ABC
C
2) En base a la figura, se tiene que x = ?
4) Si AC//BD ; el área de la figura es:
1) Si los triángulos son semejantes, sus lados homólogos son proporcionales a
b
α
x+5
B
x+7
D x+3 E
A
B
x+2
x+12
elementos lineales homólogos.
C
A B
Si ABC ∼ A’B’C’ ⇒
a b c h b t
= = = = =
a' b' c' h b t
a β c
a' β ' c'
2) Si los triángulos son semejantes, sus áreas son entre si como el cuadrado de
b
α
C
γ
dos elementos lineales homólogos.
C
γ
c
c
A B
x
x-2
C
x+4
E
x+1
D
x+1
C’
a b’ γ’ a’
β
α’
A’ B’
C’
c’
A D
B
β’
a b’
γ’ a’
β
α’ β’
c’
A’ B’
(3)
C
x+4
D
E
x-2
E
x
A x+8 B
A E
x-10
D
C
x+9 x-5
x-3
Si ABC ∼ A’B’C’ ⇒
B
Area ABC a b
= = = =
Area A'B'C' a' h b t
2 2
hb 2
β
2
tc
2 2 2 2
b' β ' c'

Ejemplos:
1) Si ABC ∼ A’B’C’ con AD y A'D'
transversales; luego A'D' mide:
C
C’
Ejercicios Propuestos:
1) Si AC//DE y BC//DA ; se tiene que el
valor de x es:
A) 3/7
B) 3
C) 4
D) 9
E) 13
3) Si AB diámetro; el valor de x es:
A) 1
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
12
5) Si ABC ∼ A'B'C' ; el área ABC =
16cm 2 con CD y C'D' alturas. ¿El área
del A'B'C' es?
A) 20 cm 2
B) 27 cm 2
C) 40 cm 2
D) 100 cm 2
E) Otro valor.
D
A 20 B
C
x-1 x+3
A
x
E
x-3
D
B
A B
x+2
C
2
x
A’
x+1
D
A D B
x
C
15
C’
D’
5
A’ D’
B’
B’
(4)
2) Si ABC ∼ A’B’C’ y área ABC =
72cm2 ; el área del A´B´C´ es:
C
C’
A
2) Se tiene que el valor de x es:
A) 5
B) 7
C) 9
D) 12
E) Otro valor
4) Si ABC ∼ RST ; luego h = ?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 9
18 15
C
6) Se puede conocer el perímetro del
ABC si:
(1) AC//DE
(2) AC:DE=3:2
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
x-2
C) Ambas juntas, (1) y (2)
8
A D x-6 B
D) Cada una por sí sola, (1) 2)
E) Se requiere información adicional.
B
C
A’
R
x-8
A 12 B
C
E x+3
T
4
h
B’
9 S
E
6
A D 8 B