¿Qué es una lógica?

¿Qué es una lógica?
Simposio de Filosofía de la Lógica
(Logicidad)
Mtra. Cecilia Chávez Aguilera
(ceciliachvz@gmail.com)
Resumen. Desde que Tarski formalizó el operador de consecuencia mediante las propiedades de
reflexividad, transitividad y monotonía, se ha estudiado si éstas se cumplen en cualquier sistema
lógico. Estas propiedades se han generalizado y se han modificado de manera que han dado lugar
a una definición categórica de lo que es una lógica. La idea base de esta definición fue
desarrollada por Goguen en 1984, es la noción de institución que trata la parte semántica de una
lógica. Unos años más tarde surgió la contraparte sintáctica, desarrollada por Fiaderio y Sernadas,
llamada π-instituciones. En esta plática presentaremos ejemplos de cómo surgió esta definición y
de cómo se han generalizado las propiedades mencionadas.
Palabras clave: Instituciones, Lógica Categórica, Lógicas subestructurales.
Institutions, Categorical Logic, Substructural Logics.
La pregunta que da título a este trabajo no es nueva. Tal vez sea más
conocida por el famoso libro de Dov Gabbay (1994) What is a logical system?,
libro en el que se reunieron esfuerzos muy diversos en torno a este problema.
Resulta interesante mencionar que este título fue fruto de la discusión que suscitó
este libro, ya que, originalmente, los autores fueron convocados a escribir un
artículo bajo la pregunta ¿Qué es una lógica?, pregunta que, dada la controversia
ocasionada, fue modficada y tomó la forma que dio título finalmente a la
recopilación de Gabbay.
Sin embargo, esta pregunta también ha sido puesta en boga recientemente
dentro del ámbito de las ciencias de la computación, por el trabajo que ha hecho
Joseph Goguen para formalizar una idea general de sistema lógico que permita un
manejo computacional en el que se puedan usar diversas lógicas para algún

lenguaje de programación sin muchas complicaciones técnicas (ver Goguen
2000).
La tradición en la que se inserta la pregunta de Goguen es la tradición de la
lógica algebraica, en donde el problema de delimitar lo que es un sistema lógico
surgió por la naturaleza misma de esta disciplina. La lógica algebraica puede ser
dividida en dos partes: una parte que estudia álgebras que puedan ser relevantes
para ciertos sistemas lógicos, o que puedan ser obtenidas de ciertos sistemas
lógicos, por lo que es una parte más propiamente algebraica, y otra parte que trata
de los vínculos y puentes que pueden establecerse entre el ámbito de la lógica y el
algebraico. Es aquí en donde se vuelve necesaria una idea general de lo que es
un sistema lógico. Si queremos traducir un problema lógico a uno algebraico en el
cual podamos encontrar una solución y después traerlo de vuelta a la lógica, o
viceversa, entonces debemos tener una idea clara del objeto al que estamos
llegando y del que estamos partiendo (ver Andreka 1991). 1
Ahora bien, la pregunta como tal surge en un ámbito propiamente lógico: la
teoría de modelos abstracta. Es con Barwise en sus “Axioms for abstract model
theory” (Barwise 1974), que surge esta pregunta en su esfuerzo por dar un marco
general para poder trabajar con todas la lógicas que extienden la lógica clásica de
primer orden . Sin embargo, podemos decir que todos estos ejemplos, se nutren o
han tomado como fundamento el trabajo que inició Traski cuando propuso su
operador de consecuencia lógica.
1 Es decir podemos tener una definición muy precisa de lo que es un anillo conmutativo
con unidad, pero cómo podemos decir que eso corresponde a un objeto formal que es un sistema
lógico sin tener una definición de lo que éste es.
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Tarski
En 1928, Tarski formuló por primera vez un operador que capturaba de manera
abstracta la relación de consecuencia sin importar la lógica de la estuviéramos
hablando. Originalmente, Tarski inició su “On some fundamental concepts of
Metamathematics” (ver Tarski 1928), tomando como primitiva la noción de
consecuencia, dando sólo una caracterización de ésta última mediante los
axiomas propuestos:
Para un conjunto de fórmulas S se tiene que Cn cumple que , para cualquier X⊆ S
1.- X ⊆ Cn(X)
2.- Cn(Cn(X)) ⊆ Cn(X)
3.- Cn(X) = ∪ {Y | Y ⊆ X y Y< ℵ}
4.- Existe x є X tal que Cn(x)= X
Estas propiedades han sentado la base de la cual se parte para dar una idea
general de lo que es un sistema lógico. Se han ido generalizando y modificando en
diversos sentidos. La primer modificación que se hizo a este conjunto de axiomas,
es la omisión del axioma 4 propuesto por Tarski. Observemos además que la
condición 3 implica la propiedad de monotonía:
5.- Si X⊆Y entonces Cn(X) ⊆ Cn(Y)
que generalmente es la que se retoma en diversas caracterizaciones del operador
Cn. En particular, a estas propiedades (1,2 y 3), Łos y Susko añadieron la
propiedad de invariancia bajo sustitución (ver Łos y Susko 1958). Este conjunto
específico de axiomas ha dado un marco para una definición más o menos
generalizada y estándar de lo que puede ser un sistema lógico. Podemos entender
3

de manera más general estas propiedades si vemos cómo se heredan a una
relación ⊢ que dependa de Cn, de la siguiente manera:
Decimos que X ⊢ a si y sólo si a є Cn(X)
Entonces podemos definir una lógica como un par L = (Fm, ⊢), donde Fm es el
conjunto de fórmulas de L y ⊢ es una relación de consecuencia invariante bajo
sustituciones, es decir, es una relación que satisface, para cualquier X, Y ⊆ Fm:
1.- Si a є X, entonces X ⊢ a
2.- Si Y ⊢ a para toda a є X, y X ⊢ b, entonces Y ⊢ b
3.- Si X ⊢ a y X ⊆ Y, entonces Y ⊢ a
además de la condición de invariancia:
4.- Si X ⊢ a, entonces para toda sustitución s, s(X)⊢ s(a)
es decir tenemos una lógica cuya relación ⊢ cumple con ser reflexiva, transitiva y
monótona.
Generalizaciones
Cómo es que estas propiedades pueden generalizarse con el fin de lograr
una idea más o menos abarcante de lo que es una lógica. Es claro que, por
ejemplo, la lógica proposicional clásica tiene una relación de derivabilidad que
cumple con esos axiomas. Sin embargo, existen ciertos sistemas lógicos que
claramente no los cumplen. El ejemplo más conocido y que más prontamente
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puede saltar a la mente es el de los sistemas lógicos que trabajan con
razonamiento no-monótono.
Queremos además que este tipo de propiedades se cumplan
independientemente del cálculo de pruebas que se utilice o elija para generar la
relación ⊢. Un punto que tal vez no se tiene en mente generalmente, es el hecho
de que queremos que estas propiedades no se vean afectadas, por ejemplo, por la
presentación que elijamos para una lógica dada. Es decir, sabemos que existen
por ejemplo diferentes conjuntos completos de conectivas para la lógica clásica.
Entonces querríamos que las propiedades por las cuales caracterizamos una
lógica se sigan cumpliendo independientemente de cuál conjunto elijamos para
presentar nuestra lógica, o bien independientemente de qué tipo de cálculo de
prueba elijamos para la lógica con la que estemos trabajando.
El primer punto a aclara para entender la generalidad de una π-institución,
que retoma estas propiedades para caracterizar la relación ⊢, es que son
propiedades que no dependen del cálculo de pruebas que se elija para generar ⊢.
Deben ser entendidas como propiedades abstractas de ⊢. Si por ejemplo,
tomamos un cálculo de secuentes 2
, entonces debemos entender reflexividad como
un esquema de axiomas, monotonía como una regla de debilitamiento y
transitividad como regla de corte, es decir, tendremos que
1.- Esquema de axiomas (Reflexividad)
A ⇒ A
2
Recordemos que Γ⇒∆, donde Γ = {A1, ..., An} y ∆= {B1,....., Bm} son secuencias finitas de
fórmulas, significa que:
A1 y ....y An implican B1 o ...., o Bm
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2.- Debilitamiento (Monotonía)
3.- Corte (Transitividad)
Γ⇒∆ Γ⇒∆
Γ⇒A, ∆ Γ,A⇒∆
Γ⇒∆,A A, Γ’⇒∆’
Γ, Γ’ ⇒ ∆, ∆’
El segundo punto es el que corresponde a la categoría Sign, que es la
categoría de las signaturas. El papel que juega esta categoría, es el permitir que
diferentes presentaciones de una misma lógica puedan ser tomadas como
representando justamente, a una misma lógica. Sign tiene como clase de objetos
todas las signaturas, como morfismos, morfismos de signaturas que nos permiten
cambiar o “traducir” una lógica de signatura S en una de signatura S’. Por ejemplo
para la lógica proposicional clásica, una signatura es un par S=(F,P) donde
F={Fa1, ......, Fin} donde cada Fji es un símbolo de función de índice o número de
argumentos i, y P={Pa0, ...., Pi0} donde cada Pj0 es un símbolo de predicado de
índice cero ya que no hay individuos. Los morfismos de signaturas en este caso
son funciones que preservan el índice entre símbolos de predicados y funciones.
Estas observaciones son suficientes para que sea más natural entender lo
que es una π-institución de manera formal. Entonces, una π-institución (ver
Fiadeiro 1988) es una terna (Sign, SEN, ⊢), donde Sign es la categoría de las
signaturas, SEN es un funtor
3
SEN: Sign → Set que toma una signatura y nos
3 Recordemos que Set es la categoría que tiene como clase de objetos a todos los conjuntos,
como morfismos, funciones entre conjuntos, como identidad la función identidad y cuya
multiplicación es la composición usual de funciones.
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devuelve el conjunto de fórmulas bajo esa signatura. Este funtor es suma
importancia ya que queremos que bajo la traducción que induce preserve la
relación ⊢.
Finalmentem la relación ⊢ que depende de una signatura dada S, y que es
un subconjunto de ℘(SEN(S))X SEN(S) satisface las siguientes propiedades:
1.- Reflexividad: Para toda s є SEN(S), {s}⊢ s
2.- Monotonía: Si Γ ⊢ s y Γ ⊆ Γ’, entonces Γ’⊢ s
3.- Transitividad: Si Γ ⊢ si para i є I un conjunto de
índices, y Γ∪{si}iєI ⊢ s’ entonces Γ ⊢ s’
4.- ⊢-traducibilidad: Si Γ⊢ s entonces para cualquier
H є Mor(Sign), H:S →S’ se tiene que:
donde ⊢ depende de S’.
Logicas subestructurales
SEN(H)(Γ) ⊢ SEN(H)(s)
Ahora bien, el primer contraejemplo que surge cuando se da esta
formalización son las lógicas subestrucutrales. Es curioso ya que la primer
formalización que dio Fiadeiro fue un tanto inocente (ver Fiadeiro 1988) en tanto
que pidió que la relación ⊢ cumpliera los axiomas de Tarski tal cual Tarski los
había estipulado en Tarski 1928. Como Fiadeiro mismo hizo notar en su
artículo,esto dejaba fuera muchas lógica clásicas. La versión que presentamos
aquí tiene el cuidado de generalizar estas propiedades en el sentido ya
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mencionado antes. Sin embargo, generalizadas de esta manera, como reglas
estructurales o propiedades abstractas, tienen comocontraejemplo natural a las ya
mencionadas lógicas subestrucutrales.
Este tipo de lógicas, toman su nombre precisamente del hecho de no cumplir
con una o varias de las propiedades estructurales que hemos mencionado antes,
o alguna otra regla estructural. Cada una de ella pretende dar cuenta de la
relación de consecuencia enfatizando diferentes aspectos de ésta. Podemos
mencionar que han surgido además teniendo en cuenta diferentes intereses.
Desde un ámbito más filosófico podemos mencionar la Lógica Relevante, o bien
desde un ámbito más computacional la Lógica Lineal de Girard. Tomemos el
ejemplo de la Lógica Lineal, que rechaza la el uso de debilitamiento y contracción
(ver Girard 1987).
Entonces, podemos tener A⇒A por esquema de axioma pero no podemos
tener A, A⇒A ya que no tenemos debilitamiento y con ello no cumple monotonía.
¿Esto significa que tenemos un caso de sistema lógico que no puede ser
formalizado mediante la definición anteriormente mencionada? No, es aquí donde
se puede mostrar la generalidad de esta abstracción. El problema está en pensar
que el funtor SEN sólo puede construir fórmulas aisladas. En este caso, debemos
pensar a los elementos de SEN(S) con S una signatura de lógica lineal, como
secuentes y no como fórmulas.
En segundo lugar debemos caracteriza bien lo que debe ser la relación ⊢ en
la lógica lineal. Esta debe ser vista como una forma de generar secuentes de
lógica lineal, esto es, si identificamos ⊢ que depende de una signatura de lógica
lineal, con la barra horizontal que separa nuestros “secuentes premisas” de
nuestro “ secuente conclusión”, entonces ⊢ que depende de una signatura de
lógica líneal sigue siendo una relación que cumple con reflexividad, monotonía y
transitividad.
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Instituciones
La parte que resta, consiste en ver que la categoría ya definida Sign y el
funtor SEN también preservan la relación de satisfacción. Para ello nos hace falta
definir un funtor que nos ayude a manejar los modelos de las lógicas con las que
trabajemos. Este es el funtor MOD, donde MOD: Sign → Catop 4
y toma una
signatura y nos devuelve la categoría de todos sus modelos, donde como es
usual, un modelo es un par M = (U, f), con U un conjunto universo y f una función
de interpretación.
Entonces, para cada H є Mor(Sign), H: S →S’ tenemos que:
MOD(H): MOD(S’)→MOD(S)
asocia a cada S’-modelo M’=(U’,f’) un modelo de S, M=(U.f) de forma que se
cumpla la siguiente condición:
M’⊨* SEN(H)(s) si y solo si MOD(H)(M’)⊨ s
donde ⊨* es una relación de satisfacción que depende de S’ y ⊨ es una relación
de satisfacción de depende de S. Ahora tenemos los elementos suficientes para
definir lo que es una institución (ver Goguen 1984).
Una institución es una cuádrupla I=(Sign, SEN, MOD, ⊨) donde, Sign es la
categoría de las signaturas, SEN es el funtor de fórmulas, MOD es un funtor de
4
Catop pretende denotar al dual de la categoría de las categorías pequeñas. Usualmente, op es
un supraíndice.
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modelos que preservará la relación ⊨ cumpliendo la condición antes mencionada,
para cualquier H: S →S’.
Lógicas generales
Ahora es muy sencillo ver la definición a la que queríamos llegar que es la
definición de lo que es una lógica general. Esta definición, debida a Meseguer (ver
Meseguer 1987) retoma las dos ideas base que hemos expuesto hasta ahora, y
nos dice que una lógica es una quíntupla L=(Sign, SEN. MOD, ⊢,⊨), donde
1.- (Sign, SEN, ⊢) es una π-institución
2.- (Sign, SEN, MOD, ⊨) es una institución
y para cada S є Ob(Sign), ΓєSEN(S) y s єSEN(S) se cumple que:
Si Γ ⊢ s entonces Γ ⊨ s
que es una condición de correctud. Una lógica es completa si cumple la
contrapuesta. Esta definición es apenas una idea muy básica de lo que es la
formalización de un sistema lógico mediante teoría de categorías. Falta aún ver
cómo se formaliza un cálculo de pruebas para una lógica dada. Mencionemos sin
embargo, que si a la formalización dada aquí le añadimos un cálculo de pruebas,
tenemos lo que Meseguer llama un sistema lógico. Una vez que hemos añadido
todos estos elementos debemos formular las funciones mediante las cuales
podremos comenzar a relacionar lógicas.
El trabajo en esta área es muy extenso, y se han dado múltiples
modificaciones a las ideas base expuestas aquí. Baste mencionar que el trabajo
de Meseguer mismo ha derivado en una formalización que llama Logical
Frameworks que propiamente son lógica dentro de las cuales se pueden rescribir
diferentes lógicas. Sin embargo, los ejemplos dados pueden servir para dar una
idea de cómo se generalizaron este tipo de propiedades.
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Referencias.
Andreka, H., Németi, I., Sain, I., Handbook of Algebraic logic En http://www.renyi.hu/pub/algebraiclogic/handbook.pdf
Barwise. J. (1974) “Axioms for Abstract Model Theory” Annals of Mathematical Logic, 7 .
Fiadeirio, J., Sernadas, A., (1988) “Structiring Theories on Consequence” Recent Trends in Data
Type Specifications Lecture Notes in Computer Science, 388
Gabbay, D. (1994) What is a logical system? Oxford Universitiy Press.
Girard, J.Y. (1987) “Linear Logic” Theoretical Computer Science, No. 50
Goguen, J., Burstall, R., (1984) “Introducing Institutions” Proceedings of the Logic of Programming
Workshop. 164
Goguen, J. (2000) What is a logic? En http://charlotte.ucsd.edu/~goguen/pps/nel05.pdf
Łos, J., Susko, R., (1958) “Remarks on sentential logics” Inda. Math., No. 20
Meseguer, J., (1987) “General Logics” Proceedings Logic Colloquium Elsevier Science Publisher
Tarski, A. (1928) “On some fundamental concepts of metamahtematics” en Tarski, A. Logic
Semantics and Metamathematics. Hackett Publishing Company,.
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