grafica de regiones convexas y solución por método gráfico de un ...
grafica de regiones convexas y solución por método gráfico de un ...
grafica de regiones convexas y solución por método gráfico de un ...
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE NICARAGUA<br />
UNAN-MANAGUA<br />
FAREM - CARAZO<br />
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES<br />
Laboratorio #1<br />
GRAFICA DE REGIONES CONVEXAS Y SOLUCIÓN POR MÉTODO GRÁFICO<br />
DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL<br />
Profesor: MSc. Ing. Julio Rito Vargas Avilés. Fecha: Agosto 2010<br />
Objetivos <strong>de</strong>l laboratorio:<br />
Determinar <strong>regiones</strong> <strong>convexas</strong> acotadas y no acotadas, haciendo uso <strong>de</strong> herramientas <strong>de</strong><br />
software que permitan visualizar los vértices <strong>de</strong> las <strong>regiones</strong> <strong>convexas</strong>.<br />
Obtener los p<strong>un</strong>tos críticos <strong>de</strong> las <strong>regiones</strong> <strong>convexas</strong> obtenidas, resolviendo los sistemas <strong>de</strong><br />
ecuaciones con el apoyo <strong>de</strong>l software.<br />
Hacer uso <strong>de</strong> los siete pasos para la <strong>solución</strong> <strong>de</strong> <strong>un</strong> problema <strong>de</strong> programación lineal (PPL) y<br />
resolver los problemas <strong>de</strong> programación lineal <strong>por</strong> <strong>método</strong>s <strong>gráfico</strong>s.<br />
Obtener la <strong>solución</strong> óptima <strong>de</strong> <strong>un</strong> problema <strong>de</strong> programación lineal (PPL) <strong>por</strong> el <strong>método</strong> <strong>gráfico</strong>.,<br />
haciendo uso <strong>de</strong> la herramienta <strong>de</strong> software WINQSB.<br />
Resolver problemas <strong>de</strong> programación lineal con más <strong>de</strong> dos restricciones a través <strong>de</strong>l Método<br />
Gráfico.<br />
Introducción<br />
Si su Derive no está configurado para <strong>un</strong>ir los p<strong>un</strong>tos con líneas, configúrelo antes, <strong>de</strong> la siguiente<br />
manera. Haga clic en el menú <strong>de</strong> opciones<br />
1. Dentro <strong>de</strong>l menú <strong>de</strong> opciones haga clic en el submenú pantalla<br />
2. En la ventana emergente “Mostrar opciones”, haga clic en la ceja P<strong>un</strong>tos<br />
3. En el botón <strong>de</strong> opciones <strong>de</strong> conectar haga clic en “Si”<br />
I. Gráfica los siguientes p<strong>un</strong>tos y únalos.<br />
a. (0,2), (0,0), (2,0),(2,2), (0,2)<br />
Para <strong>grafica</strong>r usar Derive en modo gráfica 2D.<br />
Ingrese los datos <strong>de</strong> la forma siguiente [[0,2],[0,0],[2,0],[2,2],[0,2]]<br />
Luego haga clic en el icono <strong>de</strong> representación gráfica.<br />
II. Gráfica las siguientes <strong>regiones</strong> x≤2,y≤2,x≥0,y≥0.<br />
Para <strong>grafica</strong>r use Derive en modo <strong>gráfico</strong> 2D<br />
Ingrese los datos <strong>de</strong> la forma siguiente x≤2∧y≤2∧x≥0∧y≥0.<br />
Observe la región que se obtuvo.<br />
Podrá observar que los <strong>gráfico</strong>s obtenidos en (I) y (II) son los siguientes.
Ahora usted podrá resolver <strong>de</strong> manera in<strong>de</strong>pendiente lo que se le pi<strong>de</strong>, esto es encontrar los vértices<br />
<strong>de</strong> la región convexa formada <strong>por</strong> la intersección <strong>de</strong> las inecuaciones indicadas.<br />
III. 2x+y≤22 , x + y ≤13, 2x+5y ≤50 , x≥0, y≥0<br />
Graficar la región convexa y muestre los vértices con sus valores.<br />
Hacerlo paso a paso.<br />
1. Primero ingrese 2x+y≤22 (asegúrese <strong>de</strong> cambiar el mínimo y máximo <strong>de</strong> los rangos)<br />
Visualice la región que se generó.<br />
2. Ahora x + y ≤13, verá que la región ha cambiado con respecto a vista en (1)<br />
3. Como pue<strong>de</strong> ver las <strong>regiones</strong> se interceptan gráficamente se pue<strong>de</strong> ver el p<strong>un</strong>to don<strong>de</strong><br />
lo hacen, pero se pue<strong>de</strong> calcular algebraicamente usando, el sistema <strong>de</strong> ecuaciones,<br />
para lo cual nos vamos a la ventana Algebra.<br />
4. Hacemos clic en el menú Resolver, don<strong>de</strong> elegimos sistema haciendo clic en dicha<br />
opción, mostrándose <strong>un</strong>a ventana emergente, que nos pedirá cuantas ecuaciones tiene<br />
el sistema y <strong>de</strong> digitaremos 2. A continuación se nos mostrará otra ventana don<strong>de</strong><br />
ingresaremos las ecuaciones a resolver.<br />
2x+y=22<br />
x + y =13<br />
5. Una vez ingresada las ecuaciones cuyas variables son x e y. presionamos el botón <strong>de</strong><br />
resolver y nos mostrará los resultados x=9 , y=4.<br />
6. Para que solo se muestre la región acotada con las dos inecuaciones <strong>grafica</strong>s en 1 y 2.<br />
para lo cual proce<strong>de</strong>mos a ingresarlas <strong>de</strong> la siguiente manera: 2x + y ≤ 22 ∧ x + y ≤ 13<br />
7. Graficamos la tercer inecuación 2x+5y≤50. Pue<strong>de</strong> verse que al introducir esta nueva<br />
inecuación se produce <strong>un</strong> acotamiento en la parte superior, al cortar la región formada<br />
en el paso 6, que tiene como frontera superior a x+y=13. Para conocer don<strong>de</strong> es el<br />
p<strong>un</strong>to <strong>de</strong> intersección resolvemos el sistema <strong>de</strong> ecuaciones.<br />
2x+5y=50<br />
x + y =13<br />
8. Una vez ingresada las ecuaciones cuyas variables son x e y. presionamos el botón <strong>de</strong><br />
resolver y nos mostrará los resultados x=5 , y=8.
9. Solo nos queda <strong>grafica</strong>r las inecuaciones x≥0 y y≥0. Las que po<strong>de</strong>mos hacer en este<br />
momento. 2·x + y ≤ 22 ∧ x + y ≤ 13 ∧ 2·x + 5·y ≤ 50 ∧ x≥0 ∧ y≥0<br />
10. La gráfica que se mostrará es la siguiente.<br />
(0,0)<br />
(0,10)<br />
IV. Haga <strong>de</strong> forma similar como en el caso III y encuentre las <strong>regiones</strong> con sus vértices en los<br />
cuatro problemas planteados a continuación.<br />
a) 5x+y ≥20<br />
X+y ≥12<br />
X+3y≥18<br />
x≥0<br />
y≥0<br />
b) 2x+y≤8<br />
X+3y≤12<br />
x≥0<br />
y≥0<br />
(5,8)<br />
(9,4)<br />
(11,0)
c) 3x+y≤21<br />
X+y≤9<br />
X+3y≤21<br />
x≥0<br />
y≥0<br />
d) X+2y≤10<br />
3x+y≤15<br />
x≥0<br />
y≥0
Parte II: Resuelva los siguientes problemas <strong>por</strong> el <strong>método</strong> grafico.<br />
Problema 1:<br />
La compañía INTEL produce dos dispositivos para computadoras, (producto 1 y producto 2) y requiere partes <strong>de</strong><br />
metal y componentes eléctricos. La administración <strong>de</strong>sea <strong>de</strong>terminar cuantas <strong>un</strong>ida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> cada producto fabricar<br />
para maximizar la ganancia. Por cada <strong>un</strong>idad <strong>de</strong>l producto 1 se requiere 1 <strong>un</strong>idad <strong>de</strong> partes <strong>de</strong> metal y 2 <strong>un</strong>ida<strong>de</strong>s<br />
<strong>de</strong> componentes eléctricos. Por cada <strong>un</strong>idad <strong>de</strong>l producto 2 se necesitan 3 <strong>un</strong>ida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> partes <strong>de</strong> metal y 2<br />
<strong>un</strong>ida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> componentes eléctricos. La compañía tiene 200 <strong>un</strong>ida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> partes <strong>de</strong> metal y 300 componentes<br />
eléctricos. Cada <strong>un</strong>idad <strong>de</strong>l producto 1 da <strong>un</strong>a ganancia <strong>de</strong> $ 2 y cada <strong>un</strong>idad <strong>de</strong>l producto 2 da <strong>un</strong>a ganancia <strong>de</strong><br />
$3.00<br />
a) formule <strong>un</strong> mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> programación lineal.<br />
b) Utilice el <strong>método</strong> grafico para resolver este mo<strong>de</strong>lo.<br />
c) ¿Cuál es la ganancia total que resulta?<br />
Unida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> Material para cada<br />
Materiales<br />
dispositivo<br />
Producto 1 Producto 2<br />
Ganancias <strong>por</strong> <strong>un</strong>idad<br />
1. Variables <strong>de</strong> <strong>de</strong>cisión<br />
2. F<strong>un</strong>ción Objetivo<br />
3. Restricciones<br />
Total <strong>de</strong> <strong>un</strong>ida<strong>de</strong>s<br />
disponibles <strong>de</strong> cada<br />
material<br />
4. Formule el mo<strong>de</strong>lo matemático <strong>de</strong>l PPL.<br />
Ahora se pue<strong>de</strong> formular el mo<strong>de</strong>lo matemático <strong>de</strong>l problema para lo cual <strong>de</strong>finimos la<br />
f<strong>un</strong>ción objetivo a maximizar, sujeta a las restricciones que se señalan.<br />
Forma estándar <strong>de</strong>l mo<strong>de</strong>lo:
5. Con la forma estándar <strong>de</strong>l mo<strong>de</strong>lo, <strong>grafica</strong>mos para encontrar la región factible.<br />
6. Soluciones factibles.<br />
Valores permitidos , x <br />
la región factible<br />
x <strong>de</strong><br />
7. Solución(es) óptima(s):<br />
Problema 2:<br />
1<br />
2<br />
F<strong>un</strong>ción Objetivo Soluciones factibles<br />
(SBF)<br />
Una fábrica produce y ven<strong>de</strong> dos productos. Dicha compañía obtiene U$12 <strong>de</strong> ganancia <strong>por</strong> cada <strong>un</strong>idad<br />
que ven<strong>de</strong> <strong>de</strong>l producto 1, y <strong>de</strong> U$4 <strong>por</strong> cada <strong>un</strong>idad <strong>de</strong> su producto 2. Los requerimientos en términos<br />
<strong>de</strong> horas <strong>de</strong> trabajo para la fabricación <strong>de</strong> estos productos en los tres <strong>de</strong>partamentos <strong>de</strong> producción se<br />
enumeran <strong>de</strong> manera resumida en la siguiente tabla. Los supervisores <strong>de</strong> estos <strong>de</strong>partamentos han<br />
estimado que tendrán las siguientes disponibilida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> horas <strong>de</strong> trabajo durante el próximo mes: 800<br />
horas en el <strong>de</strong>partamento A, 600 horas en el <strong>de</strong>partamento B y 2000 horas en el <strong>de</strong>partamento C.<br />
Suponiendo que la compañía esté interesada en maximizar las ganancias, <strong>de</strong>sarrolle el mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong><br />
programación lineal correspondiente
Producto 1 Producto 2 Horas disponibles<br />
Departamento A 1 1<br />
Departamento B 2 1<br />
Departamento C 3 2<br />
Utilida<strong>de</strong>s netas U$12 U$4<br />
1. Variables <strong>de</strong> <strong>de</strong>cisión<br />
2. F<strong>un</strong>ción Objetivo<br />
3. Restricciones<br />
4. Formule el mo<strong>de</strong>lo matemático <strong>de</strong>l PPL.<br />
Ahora se pue<strong>de</strong> formular el mo<strong>de</strong>lo matemático <strong>de</strong>l problema para lo cual <strong>de</strong>finimos la<br />
f<strong>un</strong>ción objetivo a maximizar, sujeta a las restricciones que se señalan.
6. Soluciones factibles.<br />
Valores permitidos , x <br />
la región factible<br />
x <strong>de</strong><br />
7. Soluciones óptimas:<br />
Problema 3:<br />
1<br />
2<br />
F<strong>un</strong>ción Objetivo Soluciones factibles<br />
(SBF)<br />
Un laboratorio <strong>de</strong> Cómputos, almacena, al menos 300 Computadoras <strong>de</strong> <strong>un</strong> tamaño y 400 <strong>de</strong> <strong>un</strong><br />
seg<strong>un</strong>do tamaño. Se ha <strong>de</strong>cidido que el número total <strong>de</strong> computadoras almacenadas no <strong>de</strong>be exce<strong>de</strong>r<br />
<strong>de</strong> 1200. Determine las cantida<strong>de</strong>s posibles <strong>de</strong> estos dos tipos <strong>de</strong> computadoras que pue<strong>de</strong>n<br />
almacenarse.<br />
Restricciones<br />
Tipos <strong>de</strong> Computadoras<br />
1. Variables <strong>de</strong> <strong>de</strong>cisión<br />
2. F<strong>un</strong>ción Objetivo<br />
3. Restricciones<br />
Tipo <strong>de</strong> Computadoras Total Computadoras<br />
Computadora 1 Computadora 2
4. Formule el mo<strong>de</strong>lo matemático <strong>de</strong>l PPL.<br />
Ahora se pue<strong>de</strong> formular el mo<strong>de</strong>lo matemático <strong>de</strong>l problema para lo cual <strong>de</strong>finimos la<br />
f<strong>un</strong>ción objetivo a maximizar, sujeta a las restricciones que se señalan.<br />
Forma estándar <strong>de</strong>l mo<strong>de</strong>lo:<br />
5. Con la forma estándar <strong>de</strong>l mo<strong>de</strong>lo, <strong>grafica</strong>mos para encontrar la región factible.<br />
6. Soluciones factibles.<br />
Valores permitidos 1 , x2<br />
x<br />
<strong>de</strong> la región factible<br />
7. Soluciones óptimas:<br />
F<strong>un</strong>ción Objetivo Soluciones factibles<br />
(SBF)