Soluciones Taller 3 - Universidad Nacional de Colombia

Ahora con el propósito de llegar a la conclusión deseada, consideramos la
diferencia
(m 2 + mn) − (x 2 − xy) = (m 2 − x 2 ) + (mn − xy).
Para el primer témino tenemos que
m 2 − x 2 = (m − x)(m + x) = (kℓ1)(m + x) = k(ℓ1(m + x)).
Para el segundo término tenemos que, sumando y restando xn,
mn−xy = mn−xn+xn−xy = n(m−x)+x(n−y) = nkℓ1+xkℓ2 = k(nℓ1+xℓ2).
Entonces
(m 2 +mn)−(x 2 −xy) = k(ℓ1(m+x))+k(nℓ1+xℓ2) = k(ℓ1(m+x)+nℓ1+xℓ2).
Puesto que el factor multiplicando k en el último término es entero, entonces
por definición
m 2 + mn = x 2 + xy (modk).
8. Si a y b son números reales, se define max{a, b} como el máximo de a y b
ó el valor común si son iguales. Esto se puede escribir como
a si a ≥ b
max{a, b} =
b si b > a
Probar que: Para todo los números reales x1, x2, m, y, se tiene que
si m = max{x1, x2} y y ≥ m, entonces y ≥ x1 y y ≥ x2
Solución: Primero veamos que m ≥ x1 y m ≥ x2 considerando los dos
casos:
x1 ≥ x2: Entonces m = x1. Por lo tanto m ≥ x1. Por otra parte m = x1 y
x1 ≥ x2 implican m ≥ x2.
x1 < x2: Entonces m = x2. Por lo tanto m ≥ x2. Por otra parte m = x2 y
x2 > x1 implican m ≥ x1.
Ahora, asumimos y ≥ m. Puesto que m ≥ x1 y m ≥ x2 entonces y ≥ x1 y
y ≥ x2 por transitividad de ≥.
9. Use prueba por casos para demostrar que
max{x, y} =
Solución: Consideramos dos casos:
4
x + y + |x − y|
.
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