Taller No. 7 de Cálculo Diferencial. Semestre 01-2010 A partir de la ...

Taller No. 7 de Cálculo Diferencial.
Semestre 01-2010
Apartirdelagráfica de la función f mostrada a continuación resuelva los siguientes 4 ejercicios.
1. Taller A. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
(a) La función f es continua a la izquierda en x = −3.
(b) La función f es continua a la derecha en x = −3.
(c) La función f es continua en x =0, pues lim
x→0−f (x) = lim
x→0 +f
(x) .
(d) La función f tiene una discontinuidad infinita en x =0.
(e) La función f no es continua en x =3, ya que lim
x→3−f (x) 6= lim
x→3 +f
(x) .
(f) La función f es continua en x = −3, ya que f (−3) = lim
x→−3 +f
(x) .
(g) La discontinuidad de f en x = −3 es infinita.
(h) La única discontinuidad removible está en x =3.
2. Taller B. Para la función f de la figura podemos afirmar que:
(a) lim f(x) =f (−3) = 0
x→−3
(b) f es continua a la izquierda de x =3.
(c) lim f(x) no existe.
x→−3− (d) La función f es continua en el intervalo [3, +∞).
(e) Nada de lo anterior se puede afirmar.
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3. Taller A. Con respecto a la función f de la gráfica, ¿cuál de los siguientes enunciados es verdadero?
(a) f es continua en el intervalo (∞, −3].
(b) f es continua en el intervalo [−3, 0]
(c) f es continua en el intervalo [1, 6]
(d) f es continua en el intervalo [−3, 0).
4. Taller B. Sean g la función definida por g (x) =x +2y f la función de la gráfica. ¿Cuáles de
las siguientes afirmaciones son falsas?
(a) f ◦ g es discontinua en x =0.
(b) g ◦ f es discontinua en x =0.
(c) f ◦ g es discontinua en x =3.
(d) g ◦ f es discontinua en x =3.
(e) g ◦ f es continua a la derecha de x = −3.
(f) f ◦ g es continua a la derecha de x = −3.
(g) f ◦ g es continua en x =6.
(h) g ◦ f es continua en x =6.
5. Taller A. Si f es una función continua en [−1, 1] . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones podría
ser falsa?
(a) Si lim f (x) existe, entonces es igual a f (−1) .
x→−1 +
(b) Si lim
x→1− f (x) existe, entonces es igual a f (1) .
(c) Si lim f (x) existe, entonces es igual a f (−1) .
x→−1− (d) lim f (x) =f (0)
x→0
6. Taller B. Explique por qué la función f dada a continuación es discontinua en el punto x =2.
⎧
⎪⎨
x
f (x) =
⎪⎩
2 + x − 6
si x 6= 2
x − 2
7 si x =2
⎧
⎨ x +4 si x ≤−1
7. Taller A. Sea f (x) = mx + b si −1 1
Encuentre los valores de m y b, para que la función f seacontinuaentodoslosreales.
(a) Haga el procedimiento en forma analítica, buscando ecuaciones al utilizar la definición de
continuidad y determinando con estas ecuaciones los valores de m y b.
(b) Haga el procedimiento de la siguiente forma: dibuje la gráfica de la función en los intervalos
(−∞, −1] yen[1, ∞) y luego busque la ecuación de la recta que empata bien con los dos
tramos dibujados. Compare su respuesta con la respuesta encontrada analíticamente.
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8. Taller B. Sea g la función cuya gráfica se muestra a continuación.
Para la función g, complete la siguiente información.
lim g (x) =_____, lim
x→∞ x→−∞
g (x) =_____, lim g (x) =_____,
x→−4− lim g (x) =_____,
x→−4 +
lim g (x) =_____,
x→1− lim g (x) =_____,
x→1 +
lim g (x) =_____,
x→−2 +
lim g (x) =_____,
x→−2− lim g (x) =_____,
x→0
g (−4) = _____, g (−2) = _____, g (1) = _____,
(a) El dominio de g es:________
(b) La(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s) vértical(es) es(son):________
(c) La(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s) horizontal(es) es(son):________
(d) La función g tiene discontinuidad removible (evitable) en los siguientes valores de x:________
(e) La función g tiene discontinuidad esencial finita o infinita (no evitable, no removible o por
salto) en los siguientes valores de x:________
9. Taller A. Para la función g del problema anterior indique si es verdadero (V) ofalso(F) cada
uno de los siguientes enunciados.
(a) g es continua en x =1._____
(b) g es continua en x =0._____
(c) La discontinuidad a la izquierda de x =1es removible._____
(d) La discontinuidad a la derecha de x = −2 es removible._____
(e) g tiene una discontinuidad por salto en x = −2._____
(f) g tiene una discontinuidad por salto en x = −4._____
(g) g tiene una discontinuidad infinita a la derecha de x = −4._____
(h) La discontinuidad a la izquierda en x = −4 es removible._____
(i) Podemos afirmar que g tiene una asíntota vértical en x = −4, porquegtiene discontinuidad
esencial (no removible) en x = −4._____
(j) g tiene una asíntota vértical en x = −4 ya que lim g (x) =−∞._____
x→−4 +
3

10. Taller B. Para la ecuación ln x =2x − 3 se puede afirmar que:
(a) Tiene una raíz en el intervalo (0,e).
(b) Tiene una raíz en el intervalo (1,e).
(c) Tiene una raíz en el intervalo (1, 3
2 ).
(d) No tiene soluciones.
11. Taller A. Si g (t) =3t3− t +1, demuestre que existe un número c en el intervalo (−1, 1) tal que
g (c) =0.
½
2 cos(π/x) x e si x 6= 0
12. Taller B. Si f (x) =
entonces podemos afirmar que:
0 si x =0
(a) lim
x→0 x 2 e cos(π/x) no existe.
(b) f es continua en x =0.
(c) f es discontinua en x =0.
(d) lim
x→0 x 2 e cos(π/x) no se puede calcular.
13. Taller A. Si f es continua en todos los reales y f(5) = 2,f(4) = 4 y lim g(x) =5. El valor de
x→4
lim f(g(x)) es:
x→4
(a) 4 (b) 10 (c) 2 (d) No se puede calcular
14. Calcular si existen los siguientes límites (Taller B. literales (a);(c);(e);(g) e (i). El resto de
literales en Taller A):
(a) lim
x→3 + ln ¡ x 2 − 9 ¢
(d) lim
(g) lim
x→−∞
(b) lim
x→−∞ x4 + x5 (e) lim
x→2
√
x2 + x + x (h) lim
x→∞
x→( π
2 )+ etan x (c) lim
µ µ
cos tan−1 µ 2 x − 4
3x2
− 6x
2
√
x2 + x − x
tan
x→2 −1
µ 2 x − 4
3x2
− 6x
4x − 3
(f) lim √
x→−∞ x2 +1
(i) lim
x→∞
√ x 2 − x 3
5
15. Taller A. Sea f una función tal que para todo x>1,
√ x
√

18. Taller B. Para la función g, derivable en los reales y cuya gráfica se da a continuación, disponga
los números siguientes en orden creciente y explique su razonamiento:
0; g 0 (−6); g 0 (−5); g 0 (−3); g 0 (−1); g 0 (0); g 0 (1); g 0 (3); g 0 (5).
19. Taller A. Trace la gráfica de una función g para la cual
g(1) = g 0 (1) = 0, g 0 (−2) = −1, g 0 (2) = 2, g 0 (5) = 1
20. Taller B. Una partícula se mueve en línea recta con función de posición dada por s (t) =3t 2 −t+1.
Halle la velocidad instantánea v de la partícula después de t segundos. ¿Cuál es el valor de v (3)?
(Use la definición de derivada.).
21. Usando la definición de derivada, halle f 0 (x) para cada una de las siguientes funciones. Además
halle si es posible la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto indicado. Dibuje
la gráfica de cada una de las funciones y observe qué ocurre.
(a) Taller A. g(x) =x2 , (1,g(1)),
½
2 x si
(b) Taller A. f (x) =
2x − 1 si
h(x) =2x− 1, (1,h(1)).
x