x - Medellín

MÉTODOS NUMÉRICOS Iván F. Asmar Ch.
TALLER Nº 5
⎛ ⎞
Problema 1. Use la regla de los Trapecios y Simpson ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
cuarta parte de la longitud del arco de la elipse:
2
x
+ y
4
1 con 10 subintervalos para aproximar la
Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín 1
2
= 1
Solución: La elipse es como se indica en la siguiente figura:
2
x
4
2
Como + y = 1,
entonces
x 1
y −
4 2
2
= 1− = 4
2
x ;
dy
dx
la longitud del arco de la curva, usando coordenadas cartesianas, es
Como = +∞
2
⎛
x
1
2 2
( − 2x)
= y por tanto
4 − x
2
= −
2
16 − 3x
2
x
L = ∫ 1+
⎜ ⎟
⎜
−
⎟
dx = ∫ 1+
dx =
2 2
4(
4 − x ) ∫ 2 4 −
0
⎝
2
4 − x
lim−
x→2
2
16 − 3x
2
4 − x
⎛ 1 ⎞
Trapecios, ni la regla de Simpson ⎜ ⎟ para aproximar el valor de L (
⎝ 3 ⎠
() 2 = ?
⎞
⎠
2
2
0
x
2
1
y =
4 − x
2
2
0
1
2
x
4 − x
(L es una integral impropia), no se pueden aplicar las reglas de los
2
dx
f ); y ya que el único punto
2

INTEGRACIÓN NUMÉRICA
16 − 3x
4 − x
de discontinuidad de la función f definida por () 2
f
2 Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
x
1
2
2
= para ∈[
0,
2]
2
1 16 − 3x
(pendiente infinita!), un intento de aproximar L es calculando dx 2
2 4 − x
∫ − 2 ε
0
x , está en x = 2
con ε > 0 pequeño.
Haciendo los cálculos de esta integral para distintos valores de ε , aplicando las reglas de los Trapecios y
⎛ 1 ⎞
con N = 10 , se obtienen los resultados que aparecen en la siguiente tabla:
Simpson ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
b = 2 − ε Trapecios
⎛ 1 ⎞
Simpson ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
1. 9 2. 10730 2. 09374
1. 99 2. 57033 2. 45433
1. 999 3. 66209 3. 18809
1. 9999 7. 08111 5. 46804
Las instrucciones en DERIVE para los cálculos anteriores, son:
Trapecio ( f () x , x,
a,
b,
10)
; ( f () x , x,
a,
b,
10)
Simpson : approX.
Estos resultados indican que no es una estrategia apropiada la que se intentó para aproximar la longitud
−
L (Por qué? Observe que f () b → +∞ cuando b → 2 ).
Otra forma de resolver el problema planteado es parametrizando la elipse:
2 2
x y ⎛ x ⎞ ⎛ y ⎞
+ = 1 ⇔ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1
4 1 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎠
Una parametrización de la cuarta parte de la longitud de la elipse indicada en el dibujo es
En este caso la longitud L viene dada por
L =
=
π
2
∫
0
π
2
∫
0
⎛ dx ⎞
⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
4
2
⎛ dy ⎞
+ ⎜ ⎟
⎝ dt ⎠
2 ( 1−
cos t)
2
+ cos
dt =
2
⎧x
= 2cost π
⎨ , 0 ≤ t ≤
⎩y
= sent
2
π
2
∫
0
t dt =
2 ( − 2sent
) + ( cost
)
π
2
∫
0
2
4 − 3cos
2
2
2
t dt =
dt =
π
π
2
∫
0
4sen
t + cos
2
3 2
∫ 2 1−
cos tdt
4
0 $ ! ! # ! !
"
integral elíptica de segunda clase
2
2
t
dt

MÉTODOS NUMÉRICOS Iván F. Asmar Ch.
3 2
⎡ ⎤
Si f () t = 2 1−
cos t , entonces f es continua en el intervalo finito
4
⎢0
⎥
⎣ 2 ⎦
π
⎛ 1 ⎞
las reglas de los Trapecios y Simpson ⎜ ⎟ para aproximar la longitud L.
⎝ 3 ⎠
Si N = 10 , entonces el tamaño de paso es
b − a π
= =
N 20
⎡ ⎤
intervalo ⎢0
⎥
⎣ 2 ⎦
π
, son: x 0 = 0 , x 1
π
= , x 2
20
2π
= ,
20
3π
3 =
20
7π
x 7 = , x 8
20
8π
= , x 9
20
9π
= y x 10
20
10π
π
= = .
20 2
Al aplicar la regla de los Trapecios, se obtiene:
h ⎧
L ≈ ⎨ f
2 ⎩
() 0
= 2.
42211
⎛ ⎞
Al aplicar la regla de Simpson ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
h ⎧
L ≈ ⎨ f
3 ⎩
() 0
= 2.
42211
, , así que se pueden aplicar
h , así que los puntos de la partición en el
x ,
⎛ ⎛ π ⎞ ⎞
⎜Trapecio
⎜ f () t , t,
0,
, 10⎟
⎟
⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠
4π
=
20
x ,
Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín 3
4
5
5π
=
20
x ,
⎛ 6π
⎞ ⎛ 7π
⎞ ⎛ 8π
⎞ ⎛ 9π
⎞⎤
⎫
f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟⎥
⎬
⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠⎦
⎭
6
6π
=
20
x ,
⎛π
⎞ ⎡ ⎛ π ⎞ ⎛ 2π
⎞ ⎛ 3π
⎞ ⎛ 4π
⎞ ⎛ 5π
⎞
+ f ⎜ ⎟ + 2 ⎢ f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎣ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠
+ 2
⎡
⎢
⎣
1 , se obtiene:
⎛π
⎞ ⎡ ⎛ π ⎞ ⎛ 3π
⎞ ⎛ 5π
⎞ ⎛ 7π
⎞ ⎛ 9π
⎞⎤
+ f ⎜ ⎟ + 4 ⎢ f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟⎥
⎝ 2 ⎠ ⎣ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠⎦
⎛ 2π
⎞ ⎛ 4π
⎞ ⎛ 6π
⎞ ⎛ 8π
⎞⎤
⎫
f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟ + f ⎜ ⎟⎥
⎬
⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠⎦
⎭
⎛ ⎛ π ⎞ ⎞
⎜ Simpson ⎜ f () t , t,
0,
, 10⎟
⎟
⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠
3
2 1 cos
4
2
En DERIVE para producir la tabla de valores de la función f () t = − t , ejecutamos la
⎛ ⎡
⎞
⎜
3 ⎤ π π
⎟
⎜ ⎢ , 2 1−
cos ⎥ , t , 0,
,
⎟
⎝ ⎣ 4 ⎦ 2 20
⎠
2
instrucción VECTOR t
t
:approX.
(Con DERIVE: Calculus-Integrate:approX, aplicado a la integral en consideración, produce el valor
aproximado L ≈ 2. 42211)

INTEGRACIÓN NUMÉRICA
ANÁLISIS TEÓRICO DEL ERROR EN LA APROXIMACIÓN
I. Regla de los Trapecios: El error total al aplicar la regla de los Trapecios para aproximar el valor
de la longitud del arco L de la elipse es
E T
3
h
= −
12
Nf
′
b − a
12
2 () ξ = −h
f ′′ () ξ
⎛ ⎞
con ∈ ⎜0
⎟
⎝ 2 ⎠
π
ξ ,
=
es decir, el error al aproximar L mediante la regla de los Trapecios con N 10 , es
3
4
E T
π
2
⎛ π ⎞
= −⎜
⎟
2 f ′
⎝ 20 ⎠ 12
2
Como f () t = 2 1−
cos t , entonces f ′′ () t
y f ′
() t
() ξ
= es como se indica en la siguiente figura:
=
⎛ ⎞
con ∈ ⎜0
⎟
⎝ 2 ⎠
π
3cos
ξ , ( h = )
3sen
4 Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
2
t
−
π
20
3
2
2 ( 3sen
t + 1)
2 3sen
t + 1
De acuerdo con la gráfica se tiene que Max f () t = f () 0 = 3 , así que
E T
⎡ π ⎤
t∈⎢0,
2
⎥
⎣ ⎦
2
′
⎛ π ⎞ π
≤ ⎜ ⎟ 3 = 0.
0096...
< 0.
05 = 5×
10
⎝ 20 ⎠ 24
′
2
t
−2
. La gráfica de la función
lo que garantiza, despreciando errores de redondeo, que el número 42211
2. aproxima al valor exacto de
L con una precisión de por lo menos una cifra decimal exacta.

MÉTODOS NUMÉRICOS Iván F. Asmar Ch.
⎛ 1 ⎞
⎛ ⎞
II. Regla de Simpson ⎜ ⎟ : El error total al aplicar la regla de Simpson ⎜ ⎟⎠
⎝ 3 ⎠
⎝ 3
es decir,
valor de la longitud del arco L de la elipse es
2
Como f () t = − t , y
E
T
3
2 1 cos
4
indica en figura siguiente:
entonces
Max
⎡ π ⎤
t∈⎢0,
2
⎥
⎣ ⎦
f
5
h N ( iv)
4 b − a ( iv)
⎛ ⎞
= − f () ξ = −h
f () ξ con ∈ ⎜0
⎟
90 2
180
⎝ 2 ⎠
π
ξ ,
E
T
4
⎛ π ⎞ π ( iv)
⎛ ⎞
= −⎜
⎟ f () ξ con ∈ ⎜0
⎟
⎝ 20 ⎠ 360
⎝ 2 ⎠
π
ξ ,
( iv)
f () t
( iv)
( iv)
() t = f () 0 = 39 , así que
ET
4
1 para aproximar el
es una función muy complicada, pero su gráfica es como se
⎛ π ⎞ π
≤ ⎜ ⎟ 39 = 2.
07...
× 10
⎝ 20 ⎠ 360
Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín 5
−4
< 5×
10
lo que garantiza, despreciando los errores de redondeo, que el número 2. 42211 aproxima al valor
exacto de L con una precisión de por lo menos tres cifras decimales exactas (4, 2, 2).
⎛ 1 ⎞
para distintos valores
Otros resultados obtenidos utilizando las reglas de los Trapecios y Simpson ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
de N son
( iv )
y =
f () t
−4

INTEGRACIÓN NUMÉRICA
N Trapecios Simpson ⎟
⎝ 3 ⎠
2. 2. 42211
2. 2. 42211
6 2. 42211 2. 42215
2. 2. 42283
10 42211
20 42211
4 42210
Problema 2. a) Utilice el método de los coeficientes indeterminados para generar una fórmula de
integración numérica del tipo
1
∫
0
f
n
() x dx ≈ ∑ A j f ( x j )
6 Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
j=
1
⎛ 1 ⎞
⎜
que sea exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que cuatro.
Solución: De acuerdo con ele método de los coeficientes indeterminados, la fórmula buscada es del tipo:
∫
1
0
() x dx ≈ A f () 0 + B f ( 1 / 4)
+ C f ( 1 / 2)
+ D f ( 3 4)
+ E f () 1
f
$ ! ! ! ! ! ! ! ! ! # ! ! ! ! ! !
/
! ! !
"
Formula
donde A , B,
C y D son coeficientes por determinar. Ahora bien, la fórmula buscada será exacta para
todos los polinomios de grado ≤ 4 si y solamente si es exacta para las funciones polinómicas básicas de
2 3 4
grado ≤ 4 : 1, x , x , x y x .
Luego las siguientes ecuaciones permitirán determinar los coeficientes A , B,
C,
D y E :
E
E
E
E
E
T
T
T
T
T
1
⎛ ⎞
() 1 = 0 ⇔ A⋅1
+ B ⋅1+
C ⋅1+
D ⋅1+
E ⋅1
= 1 ⎜ ⎟
⎜
=
↑
∫1dx
⎟
f ( x)
≡1
⎝ 0 ⎠
1
1 1 3 1 ⎛ ⎞
() x = 0 ⇔ A⋅
0 + B ⋅ + C ⋅ + D ⋅ + E ⋅1
= ⎜ ⎟
⎜
=
↑
4 2 4 2 ∫ xdx
⎟
f ( x)
= x
⎝ 0 ⎠
2 ( x )
3 ( x )
4 ( x )
1
1 1 9 1 ⎛ ⎞ 2
= 0 ⇔ A⋅
0 + B ⋅ + C ⋅ + D ⋅ + E ⋅1
= ⎜ ⎟
⎜
=
↑
16 4 16 3 ∫ x dx
⎟
⎝ 0 ⎠
f ( x)
= x2
1
1 1 27 1 ⎛ ⎞ 3
= 0 ⇔ A⋅
0 + B ⋅ + C ⋅ + D ⋅ + E ⋅1
= ⎜ ⎟
⎜
=
↑
64 8 64 4 ∫ x dx
⎟
⎝ 0 ⎠
f ( x)
= x3
1
1 1 81 1 ⎛ ⎞ 4
= 0 ⇔ A⋅
0 + B ⋅ + C ⋅ + D ⋅ + E ⋅1
= ⎜ ⎟
⎜
=
↑
256 16 256 5 ∫ x dx
⎟
⎝ 0 ⎠
f ( x)
= x4
El sistema lineal resultante de 5 ecuaciones en las 5 incógnitas A , B,
C,
D y E tiene solución única.

MÉTODOS NUMÉRICOS Iván F. Asmar Ch.
Para trabajar en DERIVE, primero defina f () x : = 1,
y
FORMULA : = A f ( 0) + B f ( 1 / 4)
+ C f ( 1 / 2)
+ D f ( 3 / 4)
+ E f ( 1)
.
Si simplifica la formula para cada una de las funciones polinómicas básicas de grado ≤ 4 : f () x : = 1 ;
() x x
f : = ;
2
f () x : = x ;
3
f () x : = x :
4
f () x : = x , se obtiene la expresión del lado izquierdo de cada
una de las ecuaciones listadas antes.
Se resuelve el sistema lineal resultante en la instrucción:
_ I ( M , [ 1 , 1 1 1 1
2 , 3 , 4 , 5 ] )
Tal solución es:
RESUELVA : Simplify, siendo M la matriz de coeficientes del sistema.
7
=
90
A ,
16 32
= =
45 90
B ,
Luego la fórmula obtenida es:
1
∫
0
f
2 12
= =
15 90
C ,
1
90
16 32
= =
45 90
D ,
7
=
90
E .
() x dx ≈ [ 7 f () 0 + 32 f ( 1 ) + 12 f ( 1 ) + 32 f ( 3 ) + 7 f () 1 ]
que es exacta para todos los polinomios de grado ≤ 4 .
4
b) Verifique que la fórmula obtenida es exacta para todos los polinomios de grado 5.
Solución: Como la fórmula obtenida es exacta para todos los polinomios de grado ≤ 4 , entonces para
verificar que la fórmula es exacta para todos los polinomios de grado 5 es suficiente verificar que la
5
formula es exacta para el polinomio básico de grado 5, x :
0
⎡
⎢
90 ⎢⎣
5
5
5
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞
5 1 ⎡15360⎤
5
() 0 + 32⎜
⎟ + 12⎜
⎟ + 32⎜
⎟ + 7()
1 =
FÓRMULA(
x )
1
5 1 1
x dx = = 7
=
∫
6
⎝ 4 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎝ 4 ⎠
La fórmula NO es exacta para todos los polinomios de grado 6, pues
1
6 1 55
x dx = ≠ =
∫
0
7
384
Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín 7
2
⎤
⎥
⎥⎦
FÓRMULA
4
90 ⎢ 1024 ⎥
⎣ ⎦
6 ( x )
c) Aproxime ln 2 , usando la fórmula obtenida en a) y calcule el error que se comete en la aproximación:
2
1
x
Solución: Como ln 2 = ∫ dx , y la formula obtenida esta definida para integrales en el intervalo [ 0, 1]
,
1
empezamos definiendo el siguiente cambio de variable x = t + 1 , dx = dt , con lo cual
2
1
=
1
90
1
1 1
⎛ 1 ⎞
ln
2 = ∫ dx = ∫ dt ≈ FÓRMULA⎜
⎟
x t + 1
⎝ t + 1⎠
0
⎡
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤
⎢
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎛ 1 ⎞ 1 1 1 ⎛ 1 ⎞⎥
4367
⎢7⎜
⎟ + 32⎜
⎟ + 12⎜
⎟ + 32⎜
⎟ + 7⎜
⎟⎥
= = 0.693174603...
⎢ ⎝ 0 + 1⎠
⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 3 ⎟ 1 1 6300
1 1 1
⎝ + ⎠⎥
⎢
⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟
⎣
⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎥⎦

INTEGRACIÓN NUMÉRICA
El error real es tal que
Error
real
4367
= ln 2 − = 2.
68...
× 10
6300
−5
< 5×
10
con sus primeras 4 cifras decimales exactas, que son 6, 9, 3 y 1.
8 Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
−5
4367
, lo que asegura que aproxima a ln 2
6300