x - Medellín
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA<br />
N Trapecios Simpson ⎟<br />
⎝ 3 ⎠<br />
2. 2. 42211<br />
2. 2. 42211<br />
6 2. 42211 2. 42215<br />
2. 2. 42283<br />
10 42211<br />
20 42211<br />
4 42210<br />
Problema 2. a) Utilice el método de los coeficientes indeterminados para generar una fórmula de<br />
integración numérica del tipo<br />
1<br />
∫<br />
0<br />
f<br />
n<br />
() x dx ≈ ∑ A j f ( x j )<br />
6 Universidad Nacional de Colombia - Sede <strong>Medellín</strong><br />
j=<br />
1<br />
⎛ 1 ⎞<br />
⎜<br />
que sea exacta para todos los polinomios de grado menor o igual que cuatro.<br />
Solución: De acuerdo con ele método de los coeficientes indeterminados, la fórmula buscada es del tipo:<br />
∫<br />
1<br />
0<br />
() x dx ≈ A f () 0 + B f ( 1 / 4)<br />
+ C f ( 1 / 2)<br />
+ D f ( 3 4)<br />
+ E f () 1<br />
f<br />
$ ! ! ! ! ! ! ! ! ! # ! ! ! ! ! !<br />
/<br />
! ! !<br />
"<br />
Formula<br />
donde A , B,<br />
C y D son coeficientes por determinar. Ahora bien, la fórmula buscada será exacta para<br />
todos los polinomios de grado ≤ 4 si y solamente si es exacta para las funciones polinómicas básicas de<br />
2 3 4<br />
grado ≤ 4 : 1, x , x , x y x .<br />
Luego las siguientes ecuaciones permitirán determinar los coeficientes A , B,<br />
C,<br />
D y E :<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
T<br />
T<br />
T<br />
T<br />
T<br />
1<br />
⎛ ⎞<br />
() 1 = 0 ⇔ A⋅1<br />
+ B ⋅1+<br />
C ⋅1+<br />
D ⋅1+<br />
E ⋅1<br />
= 1 ⎜ ⎟<br />
⎜<br />
=<br />
↑<br />
∫1dx<br />
⎟<br />
f ( x)<br />
≡1<br />
⎝ 0 ⎠<br />
1<br />
1 1 3 1 ⎛ ⎞<br />
() x = 0 ⇔ A⋅<br />
0 + B ⋅ + C ⋅ + D ⋅ + E ⋅1<br />
= ⎜ ⎟<br />
⎜<br />
=<br />
↑<br />
4 2 4 2 ∫ xdx<br />
⎟<br />
f ( x)<br />
= x<br />
⎝ 0 ⎠<br />
2 ( x )<br />
3 ( x )<br />
4 ( x )<br />
1<br />
1 1 9 1 ⎛ ⎞ 2<br />
= 0 ⇔ A⋅<br />
0 + B ⋅ + C ⋅ + D ⋅ + E ⋅1<br />
= ⎜ ⎟<br />
⎜<br />
=<br />
↑<br />
16 4 16 3 ∫ x dx<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠<br />
f ( x)<br />
= x2<br />
1<br />
1 1 27 1 ⎛ ⎞ 3<br />
= 0 ⇔ A⋅<br />
0 + B ⋅ + C ⋅ + D ⋅ + E ⋅1<br />
= ⎜ ⎟<br />
⎜<br />
=<br />
↑<br />
64 8 64 4 ∫ x dx<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠<br />
f ( x)<br />
= x3<br />
1<br />
1 1 81 1 ⎛ ⎞ 4<br />
= 0 ⇔ A⋅<br />
0 + B ⋅ + C ⋅ + D ⋅ + E ⋅1<br />
= ⎜ ⎟<br />
⎜<br />
=<br />
↑<br />
256 16 256 5 ∫ x dx<br />
⎟<br />
⎝ 0 ⎠<br />
f ( x)<br />
= x4<br />
El sistema lineal resultante de 5 ecuaciones en las 5 incógnitas A , B,<br />
C,<br />
D y E tiene solución única.