x - Medellín

INTEGRACIÓN NUMÉRICA
ANÁLISIS TEÓRICO DEL ERROR EN LA APROXIMACIÓN
I. Regla de los Trapecios: El error total al aplicar la regla de los Trapecios para aproximar el valor
de la longitud del arco L de la elipse es
E T
3
h
= −
12
Nf
′
b − a
12
2 () ξ = −h
f ′′ () ξ
⎛ ⎞
con ∈ ⎜0
⎟
⎝ 2 ⎠
π
ξ ,
=
es decir, el error al aproximar L mediante la regla de los Trapecios con N 10 , es
3
4
E T
π
2
⎛ π ⎞
= −⎜
⎟
2 f ′
⎝ 20 ⎠ 12
2
Como f () t = 2 1−
cos t , entonces f ′′ () t
y f ′
() t
() ξ
= es como se indica en la siguiente figura:
=
⎛ ⎞
con ∈ ⎜0
⎟
⎝ 2 ⎠
π
3cos
ξ , ( h = )
3sen
4 Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
2
t
−
π
20
3
2
2 ( 3sen
t + 1)
2 3sen
t + 1
De acuerdo con la gráfica se tiene que Max f () t = f () 0 = 3 , así que
E T
⎡ π ⎤
t∈⎢0,
2
⎥
⎣ ⎦
2
′
⎛ π ⎞ π
≤ ⎜ ⎟ 3 = 0.
0096...
< 0.
05 = 5×
10
⎝ 20 ⎠ 24
′
2
t
−2
. La gráfica de la función
lo que garantiza, despreciando errores de redondeo, que el número 42211
2. aproxima al valor exacto de
L con una precisión de por lo menos una cifra decimal exacta.