Algunas intrigantes paradojas en Lógica y Probabilidad

Algunas intrigantes paradojas en Lógica y Probabilidad
Actualmente hay varios problemas en probabilidad y lógica relacionados con los presentados hace
más de 120 años por J.L. Bertrand 1
que han originado confusión y discusión incluso entre los
expertos. Estos problemas son fáciles de entender, pero no fáciles de resolver. De hecho, como se
observará, no se requieren profundos conocimientos de probabilidad o lógica para entender los
problemas planteados. La característica que tienen en común todos estos problemas es que
parecen admitir al menos dos soluciones distintas apoyadas por argumentos aparentemente
impecables, esto es lo que ha llevado a llamarles Paradojas. La idea que pretendo defender aquí
es que, en los casos discutidos aquí, también hay una única solución correcta, o al menos, hay
una más plausible que las alternativas, aunque con frecuencia las falacias involucradas en las
seudo soluciones son mucho más sutiles y más difíciles de detectar que en los ejemplos más
simples. Antes de presentar un polémico problema abierto, voy a exponer algunos problemas
conocidos más simples cuya solución sí es aceptada en forma unánime por los expertos.
El primer problema se atribuye a Francis Galton:
Si se lanzan tres monedas iguales al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener tres caras o tres
cruces?
Respuesta 1: es claro que dos de las tres monedas van a mostrar el mismo resultado, así que de
seguro habrá dos caras o dos cruces. La tercera moneda tiene la misma probabilidad de salir cara
o cruz, así que la mitad de las veces saldrá el mismo resultado que las otras dos y la otra mitad
saldrá distinto resultado. Por lo tanto, la probabilidad de que las tres sean iguales es ½.
Respuesta 2: los ocho resultados posibles son [ccc, cc+, c+c, +cc, c++, +c+, ++c,+++]. De los ocho,
sólo dos son favorables, así que la probabilidad es 2/8=1/4.
Si se admite que la respuesta correcta es la 2 (como es el caso), se tiene que señalar el error en la
primera. John Haigh (2003, p.20) señala que el error tiene que ver con “la tercera moneda”. ¿Cuál es
la tercera moneda? Si en dos de las tres monedas salió cara, la tercera moneda será la otra, de la
cual se sabe con seguridad que ha salido cruz, por lo cual, en este caso, no es cierto que la tercera
moneda tenga la misma probabilidad de salir cara o cruz. Ahora bien, si las tres monedas salieron
cara cualquiera que sea la tercera cayó cara, así que otra vez, la probabilidad de salir cara o cruz
no es la misma.
Mi respuesta es la siguiente: pongamos un nombre a cada moneda, digamos que son la moneda
1, 2 y 3. La probabilidad de que la moneda 1 caiga cara es ½, lo mismo es cierto para la moneda
2 y la 3, así que la probabilidad de que las 3 monedas caigan cara es (½)(½)(½)=1/8.
Análogamente, la probabilidad de que las tres monedas caigan cruz es 1/8. Por lo tanto, la
probabilidad de que todas caigan cara o todas caigan cruz es 1/8 + 1/8=2/8=1/4. Así, la
respuesta dos es la correcta.
Una grafica puede ilustrar mejor los casos considerados.
Si se toman dos monedas cualesquiera de entre las 3, los resultados pueden ser los mismos que
en el lanzamiento de dos monedas:
1 De hecho, parece que la gran mayoría de los problemas modernos se inspiran en los problemas que presentó Bertrand o incluso
son versiones modificadas de ellos. Con la diferencia de que en el caso de los problemas modernos, como veremos, no hay una
solución que tenga la aceptación general de los expertos.
1

1) cc
2) c+
3) ++
4) +c
Ahora bien, la otra moneda puede combinarse con estos 4 resultados de dos formas distintas:
agregando una c o una +.
En el caso (1) la probabilidad de que el resultado de la otra moneda haga las tres iguales es ½, es
la probabilidad de que la tercera moneda caiga c.
Análogamente, la probabilidad de que la otra moneda haga iguales los 3 resultados en el caso (3)
es ½. Pero en los casos 2 y 4 tal probabilidad es cero, ya que se tienen de antemano dos
resultados distintos y es ya imposible que los tres sean iguales.
cc
c+
++
+c
C
+
¿Cuál es el error en la respuesta 1? Puesto que la probabilidad de que las tres den el mismo
resultado es ¼, la probabilidad de que no den el mismo resultado es 1-¼=¾. Cuando se lanzan
las tres monedas sólo hay dos opciones que las tres den el mismo resultado o que sólo dos den
el mismo resultado, como la probabilidad de la primera opción es ¼ y la de la segunda opción es
¾, no es igualmente probable que las tres den el mismo resultado a que sólo dos den el mismo
resultado. 2
Por consiguiente, en este problema otra vez observamos el error de suponer igualmente
probables eventos que no lo son.
El segundo problema se llama comúnmente el “problema de Monty Hall”. Monty Hall es el nombre
del presentador de un programa de televisión estadounidense llamado Let's Make a Deal
(Hagamos un trato). Se tienen 3 puertas cerradas y el concursante debe elegir una de ellas. Detrás
de una de las puertas hay un automóvil nuevo y detrás de cada una de las otras dos puertas hay
una cabra. El concursante gana el premio que está detrás de la puerta que escoja. Después que el
concursante hace pública su elección, el presentador abre una de las otras dos puertas donde él
sabe que hay una cabra. En ese momento, al concursante se le da la opción de cambiar de puerta
o quedarse con la puerta que eligió. ¿Qué es más conveniente para el concursante: cambiar de
puerta o mantener su elección original? 3
¿Es más probable ganar el auto si cambia de puerta?
Es muy común pensar que la probabilidad de ganar el auto es la misma si el concursante cambia
de puerta que si se queda con la ya elegida. Se piensa que la probabilidad de ganar si cambia de
puerta es de cualquier forma 1\2 porque después de que el presentador abre una puerta donde
2
Esto es razonable porque hay 3 formas de agrupar dos de las tres monedas (la 1 con la 2, la 2 con 3 y la 1 con la 3) mientras que
hay sólo una forma de agrupar las tres monedas. Así que la probabilidad de que sólo dos monedas muestren cara es el triple de la
probabilidad de que las tres muestren cara. Lo mismo sucede con la opción de mostrar cruz, de lo cual se concluye que, en
términos generales, de cada 4 ocasiones que se lancen las monedas, en una saldrán todas iguales y en tres no.
3 Cabe aclarar que, aunque el problema ésta inspirado en el concurso televisivo señalado, en ese concurso no se le permitía al
participante cambiar de puerta.
2

hay una cabra, ya sólo quedan dos posibilidades (la puerta elegida inicialmente y la otra que
todavía está cerrada) y detrás de una de esas dos puertas está el auto. Así que da lo mismo
cambiar de puerta que mantener la puerta elegida originalmente.
Sin embargo, este razonamiento es erróneo. Resulta que la probabilidad de ganar el auto si se
cambia de puerta es el doble que la probabilidad de ganarlo quedándose con la opción original.
Al cambiar de puerta la probabilidad de ganar el auto es 2\3, mientras que manteniendo la
elección inicial es sólo de 1\3.
El siguiente razonamiento permite ver que esa es la respuesta correcta. Llamemos puerta E a la
puerta elegida inicialmente y puerta C a la que permanece cerrada después que el presentador
abre la otra. Entonces son verdaderas las siguientes proposiciones:
i) Si la puerta E tiene el auto, la puerta C tiene una cabra; y viceversa.
ii) La probabilidad de que el auto esté detrás de la puerta E es 1\3.
La proposición (i) es obvia. En cuanto a la proposición (ii), sólo hay que notar que cuando se eligió
originalmente la puerta el auto estaba en una de las tres posibilidades y al no cambiar de puerta
la probabilidad de 1\3 se mantiene. 4
Por lo tanto, de (i) y (ii) se sigue que si la probabilidad de ganar el auto con la puerta E es 1\3,
entonces la probabilidad de ganarlo con la puerta C es 2\3 (la probabilidad del suceso
complementario de A es: 1-P(A)).
Sin embargo, a juzgar por las reacciones que encontrado al presentar esta solución, no es tan
intuitivamente claro y convincente que ésta sea la respuesta correcta. Se puede obtener evidencia
adicional en apoyo de esta solución mediante establecer el espacio muestral de resultados
posibles y examinar los casos.
Puerta 1 Puerta 2 Puerta 3
Caso 1 Auto Cabra Cabra
Caso 2 Cabra Auto Cabra
Caso 3 Cabra Cabra Auto
Supongamos que el concursante elige la Puerta 1, entonces si no cambia de puerta, gana en el
caso 1 y pierde en los otros dos casos. Análogamente, si elige la Puerta 2, gana en el caso 2 y
pierde en los otros dos casos, y si elige la Puerta 3, sólo gana en el caso 3, pero pierde en los otros
dos casos. Por consiguiente, sin importar qué puerta elija, si el concursante no cambia de puerta, la
probabilidad de que gane el auto es 1/3. Por lo tanto, la probabilidad de que gane el auto si
cambia de puerta es 2/3.
El otro problema es el quinto de los Pillow Problems de Lewis Carroll: En una bolsa hay una bola
que puede ser blanca o negra con la misma probabilidad. Se añade a la bolsa una bola blanca,
4 Con el afán de convencer a los escépticos, a veces se modifica el problema considerando 100 puertas en vez de 3. Ahora, la
probabilidad de atinarle al auto es de 1\100. Si el presentador abre 98 y deja una como posibilidad de cambio, queda claro que si
el concursante se queda con la puerta original sólo tendrá el auto si desde el principio acertó (cuya probabilidad es 1\100) y si
cambia lo tendrá con una probabilidad de 99\100. Por consiguiente, le conviene cambiar.
3

se agita la bolsa, y se extrae al azar una bola que resulta ser blanca. ¿Cuál es la probabilidad de
que la bola que queda en la bolsa también sea blanca?
Nuevamente la intuición que sugiere que la respuesta es 1/2 está equivocada. Carroll demuestra
mediante una prueba algo complicada que la respuesta correcta es 2\3. A continuación se
muestra una versión de una solución más simple presentada por Martin Gardner (1983, pp. 220-
221). Llamemos B 2 a la bola blanca añadida y B 1 a la bola original si es blanca o N si es negra,
entonces después de extraer la bola blanca hay tres estados igualmente probables:
Casos Dentro de la Fuera de la
bolsa bolsa
1
2
3
N
B1 B2 B2 B2 B1 Puesto que en dos de los tres casos queda dentro de la bolsa una bola blanca, la probabilidad
buscada es 2/3.
Los 3 problemas presentados antes, al igual que la paradoja de las cajas de Bertrand, tienen una
respuesta correcta única aunque a primera vista exista una solución alternativa que conduce a una
probabilidad distinta. Después de un examen más profundo se concluye que las soluciones en
competencia no eran igualmente plausibles y sólo una de ellas puede ser admitida como la
solución legítima al problema planteado. Sin embargo, actualmente hay algunos problemas que
también parecen admitir varias soluciones y que, a diferencia de los anteriores, no hay acuerdo ni
siquiera entre los expertos acerca de cuál es la solución correcta si acaso hay alguna. La idea que
pretendo defender a continuación es que al igual que los problemas expuestos antes, en estos
otros casos también hay una única solución correcta, o al menos, hay una más plausible que las
alternativas, aunque con frecuencia las falacias involucradas en las seudo soluciones son mucho
más sutiles y más difíciles de detectar que en los ejemplos anteriores.
La paradoja de los dos sobres
Se tienen dos sobres cerrados tales que uno de ellos contiene el doble de dinero que el otro, pero
no se sabe cuál de los dos es el que tiene más dinero. Supongamos que estás con un amigo y a
cada quien se le da uno de estos sobres. Cada quien se quedará con el contenido del sobre que
decida aceptar. Como no se sabe cuál tiene el mayor monto, a tu amigo le da igual cuál sobre
reciba, así que te permite que tú elijas el sobre que quieras y él se quedará con el otro. Sin
embargo, una vez que eliges un sobre, se te da la oportunidad de cambiar de sobre, si quieres,
antes de darle el otro sobre a tu amigo. Tú razonas de la siguiente forma: Si en un sobre hay la
cantidad x, entonces en el otro hay x/2 o 2x con la misma probabilidad. Por ejemplo, si en el sobre
elegido hay $1000, en el otro sobre es igualmente probable que haya $500 o $2000. Por lo tanto, si
cambio el sobre elegido por el otro, o bien pierdo $500 o gano $1000. Puesto que lo que puedo
ganar es mayor (el doble) de lo que puedo perder, me conviene cambiar este sobre por el otro. Sin
embargo, la paradoja estriba en que el mismo argumento se puede aplicar al otro sobre. O visto
de otra forma, después de haber cambiado el sobre puedes usar otra vez el mismo argumento
4

para volverlo a cambiar y obtener el sobre original. ¿Cómo es posible que los dos, tú y tu amigo,
puedan ganar más de lo que pierden si intercambian el sobre?
Respecto a este problema, Smullyan (1993, p.190-191) indica que pueden defenderse dos
proposiciones contradictorias.
Proposición 1. El monto que ganarás, si ganas, es mayor que el monto que perderás, si pierdes.
Proposición 2. Los montos son los mismos.
El razonamiento que presenta Smullyan para probar la Proposición 1 es como sigue:
Sea n el número de dólares en el sobre que estás sosteniendo ahora. Entonces el otro sobre tiene
o 2n o n/2 dólares con igual probabilidad. Si ganas en el intercambio ganarás n dólares, pero si
pierdes perderás n/2 dólares. Puesto que n es mayor que n/2, el monto a ganar, si ganas, es
mayor que el monto a perder, si pierdes.
Ahora veamos la prueba de la Proposición 2.
Sea d la diferencia de los montos en los dos sobres, es decir, d es el menor de los dos montos. Si
ganas en el intercambio, ganarás d dólares y si pierdes en el intercambio perderás d dólares. Por
lo tanto, el monto que puedes ganar o perder es el mismo y no hay alguna ventaja en cambiar el
sobre.
A diferencia de otros problemas en los que Smullyan presenta la solución o la respuesta correcta
que él mismo acepta, en este problema, él no se pronuncia a favor de ninguna de las dos
respuestas. 5
De hecho, presenta este problema como una “muy desconcertante paradoja” y titula el
capítulo “¡Algo en qué pensar!”(Something to Think About!). Smullyan menciona que ha presentado
este problema a varios expertos en probabilidad y quedan igualmente desconcertados que él, de
modo que no se compromete con ninguna de las dos alternativas.
Muchos se han confundido por la aparente plausibilidad de los dos razonamientos expuestos
antes. De hecho, hasta ahora sólo se ha presentado una propuesta de solución para este
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problema, aunque la versión probabilística se ha discutido ampliamente.
Al igual que en el caso de la paradoja de Bertrand, yo defenderé que hay una única respuesta
correcta. En esencia mi solución muestra que la Proposición 2 es la correcta y la Proposición 1 es
falaz.
A continuación presento mi solución del problema.
Primero mostraré que la Proposición 1 es falaz. Supongamos que en un sobre hay una cantidad
fija x y en el otro 2x. Entonces si gano en el intercambio es porque tenía originalmente el sobre con
la cantidad menor, es decir, la cantidad x (y no 2x), por lo que gano la cantidad x al hacer el
cambio, pues paso de tener x a tener 2x. Ahora bien, si pierdo en el intercambio es porque tenía
originalmente el sobre con 2x, de modo que al pasar de 2x a x pierdo x. Así que el lenguaje
utilizado en el problema es engañoso cuando dice: “Si ganas en el intercambio ganarás n dólares,
5 De hecho, Smullyan presentó el problema de Monty Hall justo antes de exponer éste y en él sí señala cuál es la respuesta
correcta, aunque reconoce que algunas personas nunca serán convencidas de la solución a pesar de que existe evidencia clara de
su corrección.
6 La única solución propuesta hasta ahora para esta versión no probabilista de la paradoja se debe a James Chase (2002). Chase
ha dado una solución muy persuasiva en términos de mundos posibles, desafortunadamente, su propuesta no está exenta de
problemas. El problema más serio parece ser que conduce a otra paradoja, por lo que no resuelve realmente el problema. El lector
interesado puede hallar en Hernández (2009) una crítica a la propuesta de Chase y una solución alternativa.
5

pero si pierdes perderás n/2 dólares”. Lo engañoso está en que se da el mismo nombre, a saber
n, a dos cantidades distintas. En la situación en la que gano n dólares, n representa el monto
mínimo (x) y en la situación en la que pierdo n dólares, n representa el monto máximo (2x). Si gano
es porque tengo el sobre con el monto menor, es decir, el de x dólares. De modo que ganar n
dólares es ganar x dólares, pues aquí el valor de n es el del monto mínimo x. Pero si pierdo,
entonces tengo el sobre con 2x dólares, y entonces efectivamente pierdo n/2, pero en este caso, el
valor de n es 2x, y al perder n/2 lo que pierdo es (2x)/2, es decir, pierdo x dólares. Por consiguiente,
la cantidad que puedo ganar o perder es la misma, es x, pero cuando me refiero a ella en función
del monto máximo n, la llamo n/2. Mientras que cuando me refiero a esa misma cantidad en
función del monto mínimo n, la llamo n. En el primer uso le llamo n al monto mínimo y en el
segundo le llamo n al monto máximo. Así que en el argumento se comete una falacia de
ambigüedad llamada equívoco.
Ahora bien, la paradoja misma sirve como un argumento por reducción al absurdo para rechazar
la idea de que gano más de lo que pierdo en el intercambio, pues si así fuera, entonces concluyo
que me conviene cambiar el sobre y al mismo tiempo no me conviene cambiarlo. En conclusión, la
Proposición 1 es falsa, la prueba de su falsedad es un argumento por reducción al absurdo 7
. El
error en la prueba de la Proposición 1 es que se comete una falacia de equívoco, se da el mismo
nombre, a saber, n, a dos cantidades distintas.
Por otra parte, la Proposición 2 es verdadera, la prueba es la presentada arriba, la cual no es falaz.
Por lo tanto, la probabilidad de hallar el monto mayor es la misma si cambio o no el sobre, por lo
que la paradoja desaparece.
Nuevamente nos hemos enfrentado a dos argumentos aparentemente plausibles que conducen a
distintas conclusiones, sólo que uno de ellos comete una sutil falacia, la cual no resulta fácil de
identificar a primera vista.
Referencias
Albers, C. (2005) “Trying to resolve the two envelope problem”, Synthese, 145 (1): 89-109.
Chase, J. (2002) “The non-probabilistic two envelope paradox”, Analysis, 62 (2): 157-160.
Clark, Michael. (2002) Paradoxes from A to Z, Londres y Nueva York, Routledge.
Hernández, H. (2009). Una solución a la paradoja lógica de los dos sobres, Actas del Sexto
Congreso de la Sociedad de Lógica, Metodología y Filosofía de la ciencia de España, Valencia.
Katz, B. y Olin, D. (2007) “A Tale of Two Envelopes”, Mind, 116 (464): 903-926.
Smullyan, R. (1993) Satan, Cantor and Infinity: and other mind boggling puzzles, Oxford, Oxford
University Press.
7 El absurdo se obtiene porque el razonamiento me lleva a concluir que si cambio este sobre, gano más de lo que pierdo, pero al
aplicar el mismo razonamiento al otro sobre concluyo lo contrario: que si cambio este sobre, pierdo más de lo que gano.
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