Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos)

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8.3. Junio 2007 - Opción A ⎜ Problema 8.3.1 (2 puntos) Estudiar el rango de la matriz ⎝ según los valores del parámetro m. Solución: |A| = m(m − 2) = 0 =⇒ m = 0, m = 2 Si m = 0 y m = 2 =⇒ |A| = 0 =⇒ Rango(A) = 3. Si m = 0: ⎛ ⎜ ⎝ 0 −1 0 0 1 0 0 1 −1 ⎞ Luego en este caso el Rango(A) = 2. Si m = 2: ⎛ ⎜ ⎝ 2 1 2 2 1 2 2 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ =⇒ |A| = 0 y Luego en este caso el Rango(A) = 2. ⎟ ⎠ =⇒ |A| = 0 y 1 2 1 1 Problema 8.3.2 (2 puntos) Sean las matrices A = 2 0 0 −1 B = Hallar una matriz X tal que XAX −1 = B Solución: 2a −b 2c −d a b c d = 1 0 1 −1 ⎛ = 0 (dos filas iguales) 8 −9 6 −7 XAX −1 = B =⇒ XA = BX 2 · 0 0 8 = −1 6 −9 a · −7 c b d 8a − 9c 9b − 9d 6a − 9c b − d X = a b 2/3a b =⇒ , p.e X = 182 m m − 1 m(m − 1) m 1 m m 1 m − 1 =⇒ 6a − 9c = 0 b − d = 0 =⇒ 3 1 −2 1 b = d c = 2/3a ⎞ ⎟ ⎠
Problema 8.3.3 (3 puntos) Dados el punto A(1, −2, −3), la recta r : y el plano π : x − 2y − 3z + 1 = 0, se pide: a) (1,5 puntos) Ecuación del plano que pasa por A, es paralelo a r y perpendicular a π. b) (1,5 puntos) Ecuación de la recta que pasa por A, corta a r y es paralela a π. Solución: a) r : x + y + 1 = 0 z = 0 ⎧ ⎪⎨ x = −1 − λ =⇒ y = λ ⎪⎩ z = 0 =⇒ r : −→ur = (−1, 1, 0) Pr(−1, 0, 0) π : x − 2y − 3z + 1 = 0 =⇒ −→ uπ = (1, −2, −3) π ′ −1 : 1 0 1 −2 −3 x − 1 y + 2 = 0 =⇒ π z + 3 ′ : 3x + 3y − z = 0 b) Construyo un plano π ′ paralelo a π que contenga a A: x − 2y − 3z + λ = 0 =⇒ 1 + 4 + 9 + λ = 0 =⇒ λ = −14 π ′ : x − 2y − 3z − 14 = 0 183 x + y + 1 = 0 z = 0
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Problemas de Selectividad de Matem
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5. Año 2004 107 5.1. Modelo 2004 -
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Capítulo 1 Año 2000 1.1. Modelo 2
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⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ d(P, A) = | −
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a) (1 punto) Discutir la compatibil
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(x0, y0) = ( √ a, a) y la posici
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Solución: a) |A| = (λ − 1)(3λ
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) (1 punto) Comprobar que T raza(A
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Buscamos los puntos de corte de amb
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Para cualquier valor de a el sistem
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función es siempre creciente y no
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) t : −→ut = (0, 1, 0) Pt(3, 3
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∞, 1 − √ √ 10 10 2 1
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) Ahora tenemos |A| = ⎛
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) Resolver el sistema A · Solució
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c) f ′ (x) = 2x (4 − x2 = 0 =
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) (1,5 puntos) Si el rango de la ma
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a) A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 1 2 2 2 −1 3
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El punto de corte será Q 1, 1 2 1
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a) (0,5 puntos) Razonar si la funci
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a) (1 punto) Discutirlo según los
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t : −→ut = (1, 1, 0) Pr(5/4, 7
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c) El área buscada sería: 2 S =
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) x = 0 =⇒ A = −1 x = 1 =⇒ B
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Con el eje OY : Hacemos x = 0 y ten
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Problema 3.1.3 (3 puntos) Sea A una
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= x3 3 − x2 1 + x =
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) Para encontrar el punto hacemos x
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Curvatura: f ′′ (x) = 3e 3x (3x
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A3 = ⎛ ⎜ ⎝ 2 a 2 −1 −1 3
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⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ −4 = c 0 = 9a+
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3.4. Junio 2002 - Opción B Problem
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0, y0 = 2 z0 = 2, el punto será D(
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Tenemos A = 1 −1 2 −1 1
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) Asíntotas verticales: Cuando x
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Problema 3.5.2 (2 puntos) Se consid
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Problema 3.5.4 (3 puntos) Se consid
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Solución: a) ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ x+
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a 2 + b 2 2ab 2ab a 2 + b 2 a 2 + b
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Problema 4.2.2 (2 puntos) Para cada
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a) Monotonía: b) f ′ (x) = 1 3
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) (1 punto) Estudiar si f tiene alg
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Problema 4.3.4 (3 puntos) Dadas las
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c) (1 punto) Determinar (si existen
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4.5. Septiembre 2003 - Opción A Pr
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Rango(A) = 2 ya que 1 2 1 1 =
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f(x)dx = sin x 1 dx = dt = ln |t|
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z = precio de un billete con intern
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) Para dibujar el recinto estudiamo
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única. Si λ = 1: 6 4
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) La recta h que une estos puntos:
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Solución: a) 1 + sin 2 x = 0 siemp
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|A3| = |A1| = |A| = 0, |A2|
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) = 1 0 (2x − 1) 2 4x2 4x2 −
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Tenemos que |A| = 0 y como 2 3 1
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a) Sea la matriz A = ⎛ ⎜ ⎝ 2
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d(A, P ) = 2d(B, P ) =⇒ a 1 + 4a
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) π ′ ⎧ ⎪⎨ −→uπ = (1,
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a) (1,5 puntos) Hallar el conjunto
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Horizontales: lím x−→+∞ 2x +
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Page 133 and 134: ) (1 punto) Resolver el sistema ant
Page 135 and 136: 6.2. Modelo 2005 - Opción B Proble
Page 137 and 138: ) A n = 2 n−1 A 2 2 ⎛ 1 ⎜ ⎝
Page 139 and 140: ) Si m = 0 las dos rectas se cortan
Page 141 and 142: Luego en este caso Rango(A) =Rango(
Page 143 and 144: ) Para que el sistema siga siendo c
Page 145 and 146: ) Construimos la recta como interse
Page 147 and 148: a) t : −→ ut = i j k 1 1
Page 149 and 150: 6.6. Septiembre 2005 - Opción B Pr
Page 151 and 152: Los vectores (m, m − 2, 3m + 3) y
Page 155 and 156: a) b) A = ⎛ ⎜ ⎝ 2 3 −1 k 1
Page 157 and 158: ) Tangente a f(x): f ′ (x) = −
Page 159 and 160: Problema 7.2.4 (3 puntos) Se consid
Page 161 and 162: Asíntotas: a) Verticales: x = −1
Page 163 and 164: 7.4. Junio 2006 - Opción B Problem
Page 165 and 166: Si a = −1 ⎛ M = ⎜ ⎝ 2 1 1
Page 167 and 168: 7.5. Septiembre 2006 - Opción A 2
Page 169 and 170: c) M = a c b = ad − cb,
Page 171 and 172: ) −5 + 8λ + 5 − 5λ + λ = 4 =
Page 173 and 174: La integral xe 2x dx se resuelve p
Page 177 and 178: a) b) A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 k k 2 1 1 k
Page 179 and 180: Solución: Luego 3k = 2 =⇒ k = 2
Page 181: Problema 8.2.4 (3 puntos) Dada la m
Page 185 and 186: F (x) = x2 − 12 x2 dx = + 4 1 1
Page 187 and 188: ) Luego: B 1 = B 3 = A 10 = ⎛ ⎜
Page 189 and 190: −→ ur × −→ us = i j
Page 191 and 192: 8.6. Septiembre 2007 - Opción B Pr
Page 193 and 194: ) Elejimos un punto de la recta s p
Page 197 and 198: Problema 9.1.3 (3 puntos) Dado el s
Page 199 and 200: P (λ, −3 − λ, −2λ), π : 3
Page 201 and 202: a) f(x) = ax 2 + b si |x| < 2 1/x
Page 203 and 204: ) Si a = 1 A = 1 −1 2 1 −1 2 E
Page 205 and 206: Solución: f ′ (x) = (ln(x)) 2 +
Page 207 and 208: ) S ′ (c) = 3c2 √ − 5 5 = 0 =
Page 209 and 210: ) Horizontales: lím f(x) = 0 x−
Page 211 and 212: ) (1 punto) Hallar todos los puntos
Page 213 and 214: ) x = e t − e −t =⇒ dx = (e t
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Page 217 and 218: Capítulo 10 Año 2009 10.1. Modelo
Page 219 and 220: t : −→ut = (3, −2, −1) P (
Page 221 and 222: ) Estudiamos su representación gr
Page 223 and 224: 10.2. Modelo 2009 - Opción B Probl
Page 225 and 226: Solución: a) |A 3 | = |A| · |A|
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Page 229 and 230: Solución: ⎛ ⎜ A = ⎝ 4 λ 4λ
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f(0) = 0 + C = 0 =⇒ C = 0 f(x) =
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a) (1,25 puntos) Determinar los val
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Problema 10.5.4 (2 puntos) Dado el
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Calculamos el punto simétrico P
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a) (1 punto) Determinar para qué v
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10.8. Septiembre 2009 - Opción B (
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Problema 10.8.3 (2 puntos) Sabiendo
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Capítulo 11 Año 2010 11.1. Modelo
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2 S = (e 0 x + a e −x ) dx = e x
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Si k = −2 Tenemos: A = ⎛ ⎜
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Si λ = 2 ⎛ A = ⎜ ⎝ 1 0 1 2 1
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La función tiene un máximo en el
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) −−→ PsPr = (0, 1, −4) |[
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a) Para que la función sea continu
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) −−→ PrPs = (3, 3, 1) =⇒ l
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2 4 6 1 2 3 = 2α 2β
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x = −5: lím x−→ −5− ln(x
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3 V = 2π (9−x −3 2 ) 2 3 dx =
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Solución: A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 a 1 0
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Solución: a) b) ⎧ ⎪⎨ x = λ
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c) (1 punto). Para a = 4 y b = −2
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) Se elige una ecuación linealment
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Problema 11.9.2 (3 puntos) El siste
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16 a) (0,5 puntos). (x − 15) 14 8
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Horizontales: No hay 3x lím x−
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Page 285 and 286:
• Oblicuas: No hay al haber horiz
Page 287 and 288:
12.2. Modelo 2011 - Opción B Probl
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a) b) lím x−→0 + xe1/x = [0 ·
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A = ⎛ ⎜ ⎝ 4 −2 4 2 −1 2
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) El dominio de la función viene d
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) Si a = 1: Asíntotas: Verticales:
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) Si m = 0 Si m = 1 ⎧ ⎪⎨ ⎪
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c) x 2 + 9x + 14 ≥ 0 =⇒ Dom(f)
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Solución: a) b) c) |M| = M
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Si k = 2: ⎛ ⎜ A = ⎝ 2 −8 4
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Page 307 and 308:
) Para m = 1: ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ x+
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a) (1,5 puntos). Discutir el sistem
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) Como las dos rectas son paralelas
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) 7 = 1 6 | a − 1 −1 1 0
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Solución: −→ ur1 = (3, −5,
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) c) f ′′ (x) = −2 cos 2x = 0
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) 2x − y + λ = 0, 2 · 1 − 1
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) 2 Solución: a)
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13.7. Septiembre 2012 - Opción A P
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|3λ + 2| = 3 =⇒ |2(4 + 2λ) + (1
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a) x 2 = 0 en (π/2, π) y sin x =
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Problema 14.1.2 (3 puntos) Dado el
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) ⎧ ⎪⎨ −→ ur = (−6, 1,
Page 335 and 336:
) c) F (x) = ln x dx = u = ln x =
Page 337:
) ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ A + B = A − B
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