Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos)

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t : −→ut = (1, 1, 0) Pr(5/4, 7/4, 1/2) =⇒ ⎧ ⎪⎨ 2.5. Septiembre 2001 - Opción A ⎪⎩ x = 5/4 + λ y = 7/4 + λ z = 1/2 Problema 2.5.1 (2 puntos) Determinar la ecuación cartesiana de los puntos del lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos (0, 0) y (1, 1) es igual a 9. Si se trata de una curva cerrada, calcular el área que encierra. Solución: LLamamos O(0, 0), A(1, 1) y P (x, y): | −→ −→ 2 2 7 OP | = | AP | =⇒ x + y − x − y − Se trata de una circunferencia de centro será: S = πr 2 = 4π u 2 . = 0 2 1 1 , y radio r = 2. Luego el área 2 2 Problema 2.5.2 (2 puntos) Sean A, B y C tres puntos del espacio tridimensional que verifican la relación −→ CB = −3 −→ CA a) (1 punto) Calcular el valor que toma k en la expresión −→ AC = k −→ AB b) (1 punto) Si A(1, 2, −1) y B(3, 6, 9), hallar las coordenadas del punto C que cumple la relación de partida. Solución: a) Como −→ AC = −→ AB + −→ BC y −→ BC = 3 −→ CA = −3 −→ AC tenemos −→ AC = −→ −→ −→ −→ 1 AB − 3AC =⇒ 4AC = AB =⇒ k = 4 b) Volvemos a utilizar la propiedad triangular, para ello cogemos como punto auxiliar el O(0, 0, 0) y el resultado del apatado anterior: −→ OC = −→ OA + −→ AC = −→ OA + 1 −→ AB = (1, 2, −1) + 4 1 4 Luego C 3 3 , 3, 2 2 46 1 2 1 3 , 1, = 2 2 3 , 3, 2
Problema 2.5.3 (3 puntos) Se consideran las funciones f(x) = x 2 −2x+3, g(x) = ax 2 + b a) (1 punto) Calcular a y b para que las gráficas de f y g sean tangentes en el punto de abcisa x = 2. b) (1 punto) Para los valores de a y b calculados en el apartado anterior, dibujar las gráficas de ambas funciones y hallar la ecuación de la recta tangente común. c) (1 punto) Para los mismos valores de a y b, hallar el área limitada por las gráficas de las funciones y el eje vertical. Solución: a) Se tiene que cumplir que f(2) = g(2) y que f ′ (2) = g ′ (2): f(2) = 3 = 4a + b f ′ (x) = 2x − 2 =⇒ f ′ (2) = 2, g ′ (x) = 2ax =⇒ g ′ (2) = 4a luego 4a = 2 =⇒ a = 1 2 y b = 1. Con lo que g(x) = x2 2 b) En ambas funciones la pendiente en x = 2 vale m = f ′ (2) = 2 y el punto de tangencia común a ambas funciones es (2, 3). La recta tangente es y − 3 = 2(x − 2) 47 + 1
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Page 11 and 12: a) (1 punto) Discutir la compatibil
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Page 15 and 16: Solución: a) |A| = (λ − 1)(3λ
Page 17 and 18: ) (1 punto) Comprobar que T raza(A
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Page 25 and 26: ) t : −→ut = (0, 1, 0) Pt(3, 3
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Page 29: ) Ahora tenemos |A| = ⎛
Page 32 and 33: ) Resolver el sistema A · Solució
Page 34 and 35: c) f ′ (x) = 2x (4 − x2 = 0 =
Page 36 and 37: ) (1,5 puntos) Si el rango de la ma
Page 38 and 39: a) A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 1 2 2 2 −1 3
Page 40 and 41: El punto de corte será Q 1, 1 2 1
Page 42 and 43: a) (0,5 puntos) Razonar si la funci
Page 44 and 45: a) (1 punto) Discutirlo según los
Page 48 and 49: c) El área buscada sería: 2 S =
Page 50 and 51: ) x = 0 =⇒ A = −1 x = 1 =⇒ B
Page 52 and 53: Con el eje OY : Hacemos x = 0 y ten
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Page 59 and 60: = x3 3 − x2 1 + x =
Page 61 and 62: ) Para encontrar el punto hacemos x
Page 63 and 64: Curvatura: f ′′ (x) = 3e 3x (3x
Page 65 and 66: A3 = ⎛ ⎜ ⎝ 2 a 2 −1 −1 3
Page 67 and 68: ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ −4 = c 0 = 9a+
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Page 73 and 74: Tenemos A = 1 −1 2 −1 1
Page 75 and 76: ) Asíntotas verticales: Cuando x
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Page 81 and 82: Solución: a) ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ x+
Page 85 and 86: a 2 + b 2 2ab 2ab a 2 + b 2 a 2 + b
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Page 89 and 90: a) Monotonía: b) f ′ (x) = 1 3
Page 91 and 92: ) (1 punto) Estudiar si f tiene alg
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Page 95 and 96: c) (1 punto) Determinar (si existen
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4.5. Septiembre 2003 - Opción A Pr
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Rango(A) = 2 ya que 1 2 1 1 =
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f(x)dx = sin x 1 dx = dt = ln |t|
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z = precio de un billete con intern
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) Para dibujar el recinto estudiamo
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Capítulo 5 Año 2004 5.1. Modelo 2
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única. Si λ = 1: 6 4
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) La recta h que une estos puntos:
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Solución: a) 1 + sin 2 x = 0 siemp
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|A3| = |A1| = |A| = 0, |A2|
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) = 1 0 (2x − 1) 2 4x2 4x2 −
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Tenemos que |A| = 0 y como 2 3 1
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a) Sea la matriz A = ⎛ ⎜ ⎝ 2
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d(A, P ) = 2d(B, P ) =⇒ a 1 + 4a
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) π ′ ⎧ ⎪⎨ −→uπ = (1,
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a) (1,5 puntos) Hallar el conjunto
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Horizontales: lím x−→+∞ 2x +
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) (1 punto) Resolver el sistema ant
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6.2. Modelo 2005 - Opción B Proble
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) A n = 2 n−1 A 2 2 ⎛ 1 ⎜ ⎝
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) Si m = 0 las dos rectas se cortan
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Luego en este caso Rango(A) =Rango(
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) Para que el sistema siga siendo c
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) Construimos la recta como interse
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a) t : −→ ut = i j k 1 1
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6.6. Septiembre 2005 - Opción B Pr
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Los vectores (m, m − 2, 3m + 3) y
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a) b) A = ⎛ ⎜ ⎝ 2 3 −1 k 1
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) Tangente a f(x): f ′ (x) = −
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Problema 7.2.4 (3 puntos) Se consid
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Asíntotas: a) Verticales: x = −1
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7.4. Junio 2006 - Opción B Problem
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Si a = −1 ⎛ M = ⎜ ⎝ 2 1 1
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7.5. Septiembre 2006 - Opción A 2
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c) M = a c b = ad − cb,
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) −5 + 8λ + 5 − 5λ + λ = 4 =
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La integral xe 2x dx se resuelve p
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a) b) A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 k k 2 1 1 k
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Solución: Luego 3k = 2 =⇒ k = 2
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Problema 8.2.4 (3 puntos) Dada la m
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Problema 8.3.3 (3 puntos) Dados el
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F (x) = x2 − 12 x2 dx = + 4 1 1
Page 187 and 188:
) Luego: B 1 = B 3 = A 10 = ⎛ ⎜
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−→ ur × −→ us = i j
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8.6. Septiembre 2007 - Opción B Pr
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) Elejimos un punto de la recta s p
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Problema 9.1.3 (3 puntos) Dado el s
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P (λ, −3 − λ, −2λ), π : 3
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a) f(x) = ax 2 + b si |x| < 2 1/x
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) Si a = 1 A = 1 −1 2 1 −1 2 E
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Solución: f ′ (x) = (ln(x)) 2 +
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) S ′ (c) = 3c2 √ − 5 5 = 0 =
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) Horizontales: lím f(x) = 0 x−
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) (1 punto) Hallar todos los puntos
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) x = e t − e −t =⇒ dx = (e t
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Solución: x: n o de billetes de 50
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Capítulo 10 Año 2009 10.1. Modelo
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t : −→ut = (3, −2, −1) P (
Page 221 and 222:
) Estudiamos su representación gr
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10.2. Modelo 2009 - Opción B Probl
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Solución: a) |A 3 | = |A| · |A|
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Calculamos los puntos de corte de f
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Solución: ⎛ ⎜ A = ⎝ 4 λ 4λ
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10.4. Junio 2009 - Opción B Proble
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f(0) = 0 + C = 0 =⇒ C = 0 f(x) =
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a) (1,25 puntos) Determinar los val
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Problema 10.5.4 (2 puntos) Dado el
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Calculamos el punto simétrico P
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a) (1 punto) Determinar para qué v
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10.8. Septiembre 2009 - Opción B (
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Problema 10.8.3 (2 puntos) Sabiendo
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2 S = (e 0 x + a e −x ) dx = e x
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Si k = −2 Tenemos: A = ⎛ ⎜
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Si λ = 2 ⎛ A = ⎜ ⎝ 1 0 1 2 1
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La función tiene un máximo en el
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) −−→ PsPr = (0, 1, −4) |[
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a) Para que la función sea continu
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) −−→ PrPs = (3, 3, 1) =⇒ l
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2 4 6 1 2 3 = 2α 2β
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x = −5: lím x−→ −5− ln(x
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3 V = 2π (9−x −3 2 ) 2 3 dx =
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Solución: A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 a 1 0
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Solución: a) b) ⎧ ⎪⎨ x = λ
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c) (1 punto). Para a = 4 y b = −2
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) Se elige una ecuación linealment
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Problema 11.9.2 (3 puntos) El siste
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16 a) (0,5 puntos). (x − 15) 14 8
Page 281 and 282:
Horizontales: No hay 3x lím x−
Page 283 and 284:
Page 285 and 286:
• Oblicuas: No hay al haber horiz
Page 287 and 288:
12.2. Modelo 2011 - Opción B Probl
Page 289 and 290:
a) b) lím x−→0 + xe1/x = [0 ·
Page 291 and 292:
A = ⎛ ⎜ ⎝ 4 −2 4 2 −1 2
Page 293 and 294:
) El dominio de la función viene d
Page 295 and 296:
) Si a = 1: Asíntotas: Verticales:
Page 297 and 298:
) Si m = 0 Si m = 1 ⎧ ⎪⎨ ⎪
Page 299 and 300:
c) x 2 + 9x + 14 ≥ 0 =⇒ Dom(f)
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Solución: a) b) c) |M| = M
Page 303 and 304:
Si k = 2: ⎛ ⎜ A = ⎝ 2 −8 4
Page 305 and 306:
Page 307 and 308:
) Para m = 1: ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ x+
Page 309 and 310:
a) (1,5 puntos). Discutir el sistem
Page 311 and 312:
) Como las dos rectas son paralelas
Page 313 and 314:
) 7 = 1 6 | a − 1 −1 1 0
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Solución: −→ ur1 = (3, −5,
Page 317 and 318:
) c) f ′′ (x) = −2 cos 2x = 0
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) 2x − y + λ = 0, 2 · 1 − 1
Page 321 and 322:
) 2 Solución: a)
Page 323 and 324:
13.7. Septiembre 2012 - Opción A P
Page 325 and 326:
|3λ + 2| = 3 =⇒ |2(4 + 2λ) + (1
Page 327 and 328:
a) x 2 = 0 en (π/2, π) y sin x =
Page 329 and 330:
Page 331 and 332:
Problema 14.1.2 (3 puntos) Dado el
Page 333 and 334:
) ⎧ ⎪⎨ −→ ur = (−6, 1,
Page 335 and 336:
) c) F (x) = ln x dx = u = ln x =
Page 337:
) ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ A + B = A − B
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