Newton y las leyes de Kepler ¤

36 ContactoS 31, 33{37 (1999)
que dio el nombre de De Motu Corporum (Del Movimiento
de los Cuerpos). En este, se halla la demostracion
de un resultado muy importante para su
teor³a de la gravitacion universal, a saber, que la accion
de una esfera homogenea sobre una part³cula
exterior es la misma que se tendr³a si toda la masa
de la esfera estuviese situada en su centro. As³, para
Newton, todas las part³culas sobre la vasta Tierra
se combinar³an para atraer tanto una manzana
1 situada a unos cuantos pies de su super¯cie, como
a la misma Luna.
Ese tratado se transformo en el famoso Philosophiae
Naturalis Principia Mathematica (Principios
Matematicos de Filosof³a Natural), editado en 1687,
despues de que Newton extendio el principio de gravitacion
universal, inicialmente aplicado al movimiento
de la Luna, a todos los cuerpos celestes. El
Principia esta compuesto de tres libros. En el primer
libro, Newton trata del movimiento de los cuerpos
en el vac³o, incluyendo el de los movimientos
en orbitas el³pticas, parabolicas e hiperbolicas, debido
a fuerzas centrales, ocasion que aprovecha para
probar las Leyes de Kepler. Ademas, al inicio del
Libro I, se dan las formulaciones de las famosas Leyes
de Newton: Ley de Inercia, Ley de la Fuerza y
Ley de Accion y Reaccion. En el Libro II, encontramos
el estudio de los cuerpos en medios resistentes
y la teor³a de las ondas. Ademas, en ese libro, Newton
demostro que, si los movimientos periodicos de
los planetas se desarrollaran en torbellinos (vortices)
de materia °uida, siguiendo la hipotesis presentada
por el matematico y ¯losofo frances Rene du Perron
Descartes (1596{1650), en 1644, esos movimientos
no satisfar³an las Leyes de Kepler.
Por ultimo, en el Libro III, Newton uso algunos resultados
obtenidos en los libros anteriores, principalmente
la Ley de Gravitacion Universal, para demostrar
una \estructura del sistema del mundo". As³,
dentro de las proposiciones demostradas en el Libro
III, destacan: la explicacion del movimiento kepleriano
de los satelites de la Tierra, de Jupiter y de
Saturno; el calculo de la forma de la Tierra (achatada
en los polos y alargada en el ecuador); una explicacion
del fenomeno de las mareas (atraccion gravitacional
del Sol y de la Luna sobre las aguas de
los oceanos); y la precesion de los equinoccios (observada
por primera vez por el astronomo babilo-
S u n v d J n d u d
n r d N d
u n d v d
d d u n v
r r d q u p d
r r u d r u b u n n
u n d d r q u d d
d d q u b r y q u
b v h n p
1 eg la er sion e oh C on itt, esp oso e C ath er i-
e, sob in a e ew ton , este llego a la id ea e la gr av itacion
iv er sal cu an o ob ser o, en 1666, en el m an zan al e su casa
e Lin coln sh ir e, la ca³d a e a m an zan a. De esa ob ser acion
, se le ocu io la id ea e e el od er e la gr av ed ad te-
estr e (q e er m a a m an zan a) o estab a lim itad o a
a cier ta istan cia e la T ier a, sin o e eb er ³a e ex ten -
er se m as alla e lo e se acostu m ab a acep tar , ien sa-
e, tal ez asta la Lu a ([4] . 50).
nio Kiddinu (f.c. 397 a.n.e.) como debido a la diferencia
entre la fuerza de gravitacion solar y lunar actuando
en el plano ecuatorial alargado de la Tierra
[2].
4. Comentarios Finales
A manera de conclusion de este art³culo, haremos
algunos comentarios sobre las demostraciones
geometricas hechas por Newton de las Leyes de Kepler.
Para la demostracion de la Ley de las areas,
Newton considero que el movimiento de un planeta
en torno del Sol es el resultado de una competencia
entre la tendencia del mismo a seguir una
l³nea recta con movimiento uniforme, como si ninguna
fuerza actuase sobre el (Ley de Inercia), y el movimiento
debido a la fuerza central de gravitacion ejercida
por el Sol. De ese modo, mediante algunos teoremas
de geometr³a plana, principalmente los relacionados
con semejanzas y areas de triangulos, llego
a aquella demostracion.
Por otra parte, Newton obtuvo la demostracion de
la Ley de las orbitas en varias etapas, con el uso de
algunas propiedades de las secciones conicas 2 . Inicialmente,
demostro que, cuando un cuerpo se mueve
en una orbita el³ptica bajo la accion de una fuerza
centr³peta dirigida a uno de los focos de esa conica,
dicha fuerza var³a como el inverso del cuadrado de
la distancia. Enseguida, probo que, si el mismo cuerpo
se mueve en una hiperbola o una parabola bajo
la accion de una fuerza centr³peta dirigida a uno
de los focos de la conica considerada, dicha fuerza
tambien var³a como el inverso del cuadrado de
la distancia. Por ultimo, probo el problema inverso,
a saber, si un cuerpo se mueve sujeto a una fuerza
centr³peta que var³a como el inverso del cuadrado
de la distancia, la trayectoria del cuerpo tiene que
ser una conica: elipse, parabola o hiperbola.
Finalmente, como una aportacion de este art³culo,
resulta importante remarcar que la hipotesis de que
una fuerza centr³peta variaba como el inverso del
cuadrado de la distancia, usada por Newton en la
demostracion de la Ley de las orbitas, conforme vimos
antes, le fue sugerida al observar que la Ley de
2 Deb id o a q u e n o p u d o en ten d er b ien esas d em ostr acion
es, el f³sico n or team er ican o Rich ar d P h ilip s Fey n m an (1918{
1988) p r ep ar o en 1964 u n a d em ostr acion geom etr ica d e la Ley
d e las or b itas d e Kep ler . E sa p r u eb a esta m agn ³¯ cam en te \ex -
p licad a"en el lib r o in titu lad o U n a Leccion E sb ozad a d e Fey n -
m an : E l Mov im ien to d e los P lan etas en T or n o d el S ol, d e D.
Good stein y J . Good stein [1]. (A p r ov ech o la op or tu n id ad p ar
a agr ad ecer al P r ofesor J ose A cacio d e B ar r os, d el Dep ar -
tam en to d e F³sica d e la U n iv er sid ad Fed er al d e J u iz d e For
a, p or llam ar m i aten cion p ar a ese lib r o y su ger ir m e la lectu
r a d e ese ar t³cu lo. A gr ad ezco tam b ien al P r ofesor V ³tor
Fa»can h a S er r a, d el Dep ar tam en to d e F³sica d e la U n iv er sid
ad Fed er al d e P ar a, p or h ab er m e ofr ecid o u n ejem p lar d e d ich
o lib r o).