Newton y las leyes de Kepler ¤

Newton y las leyes de K epler ¤
s e r r d o B a s s a
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h t t p m a z o n o m r / b a s s a e a b a s s a m a z o n o m r
Jo Ma ³a Fila lo
D F³s ic la U FP A -9 le , ,
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1. Introduccion
Para m³, y probablemente para algunos lectores, debido
a una interpretacion equivocada sobre las lecturas
hechas en algunos textos didacticos y de divulgacion
cient³¯ca, parec³a un hecho historico incuestionable
que el f³sico y matematico ingles Sir
Isaac Newton (1642{1717) hab³a demostrado las Leyes
de Kepler usando un nuevo metodo matematico,
el metodo de las °uxiones (hoy conocido como
el Calculo Diferencial), que el mismo hab³a creado
(vea, por ejemplo, [3] p. 85). No obstante, esto no
es cierto, conforme mostraremos en este art³culo. Pero,
primero haremos una revision historica de dichas
Leyes.
2. Antecedentes historicos
Entre los a~nos 151 y 157 de nuestra era, el astronomo
griego Claudio Ptolomeo (85{165) retomo y sistematizo
los modelos planetarios geocentricos, tales como
el delas esferas concentricas, formulado por los
astronomos griegos Eudoxo de Cnido (c. 408{c. 355)
y Calipo de C³sico (c. 370{c. 300), y el modelo de
epiciclo{deferente{excentrica{ecuante que hab³a sido
desarrollado por los griegos, el matematico Apolonio
de Perga (c. 261{c. 190) y el astronomo Hiparco
de Nicea (c. 190{c. 120). Esa sistematizacion fue presentada
por Ptolomeo en su celebre He Mathematike
Syntaxis (Una Compilacion Matematica), para poder
explicar el movimiento de los planetas y sus irregularidades.
Esa obra, compuesta de 13 libros, fue
traducida a la vuelta del siglo IX por los arabes, recibiendo
entonces el nombre de Almagesto, que es una
corruptela del nombre hispano{arabe Al{Magesti (El
Gran Tratado).
El modelo de Ptolomeo se mantuvo aceptado durante
muchos a~nos, hasta que fue cuestionado y rechazado
por el astronomo polaco Nicolas Copernico (1473{
1543) en el famoso libro De Revolutionibus Orbium
Coelestium (Las Revoluciones de los Cuerpos Celestes),
publicado en 1543, en el que consolido el modelo
eliocentrico para nuestro sistema planetario, aunque
debemos comentar que su primera formulacion
¤ T r ad u ccion : J u lio S ol³s, Dep to. d e Matem aticas, U A M{I.
33
fuera presentada por el astronomo griego Aristarco
de Samos (c. 320{c. 250).
El heliocentrismo de Copernico tuvo seguidores y detractores,
y entre estos ultimos destaco el astronomo
danes Tycho Brahe (1546{1601). Partiendo de la observacion
de que los planetas giraban en torno al Sol
y, ademas, al no observar los paralajes estelares, Tycho
Brahe formulo su propio modelo. En este modelo,
los planetas giraban en torno al Sol, y este, en
conjunto con la Luna y todo el manto de las estrellas
¯jas, giraban en torno a la Tierra inmovil. A pesar
de esta concepcion erronea del sistema solar, Tycho
Brahe hizo grandes contribuciones a la astronom³a,
principalmente con sus observaciones sobre
las orbitas de los planetas, y en particular la del planeta
Marte.
Dentro de los seguidores de Copernico, se encontraba
el astronomo aleman Johannes Kepler (1571{1630)
quien, al aprender sobre el heliocentrismo copernicano
de su maestro, el astronomo Michael Maestlin,
proporciono una demostracion matematica para
el mismo. Esa prueba la obtuvo en virtud de que
era un buen conocedor de toda la obra del gran matematico
griego Euclides de Alejandr³a (323{285),
que se halla reunida en su famoso libro de geometr³a
intitulado Elementos.
Con base en el modelo copernicano, con el Sol en el
centro, Kepler coloco entre los espacios de las esferas
que conten³an a los seis planetas entonces conocidos
(Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Jupiter y Saturno),
los cinco \solidos perfectos"de la antigÄuedad
(solidos que tienen todas sus caras iguales: tetraedro,
hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro),
cada uno encajado dentro del siguiente. As³, disponiendo
de dichos solidos en el orden correcto, los
diametros de las esferas acabar³an por presentar casi
las mismas proporciones que las orbitas de los planetas.
Ese primer modelo planetario de Kepler fue publicado
en el libro intitulado Mysterium Cosmographicum
(Misterio Cosmogra¯co), editado en 1596.
Al recibir ese libro de manos de Kepler, Tycho Brahe
quedo impresionado con el contenido matematico del
mismo, aun cuando no estuviera de acuerdo con el

34 ContactoS 31, 33{37 (1999)
modelo heliocentrico ah³ presentado. As³ mismo, invito
a Kepler a trabajar con el en Praga, donde entonces
resid³a. Al llegar a esa ciudad, en enero de
1600, Kepler recibio de Tycho la tarea de calcular
la orbita de Marte. Al analizar las observaciones
que Tycho hiciera de ese planeta, penso que en poco
tiempo hallar³a la forma de la orbita marciana.
No obstante, le tomar³an varios a~nos de arduo trabajo
para encontrarla, como veremos a continuacion.
En sustitucion de Tycho Brahe, que murio repentinamente
el 24 de octubre de 1601, Kepler consiguio
en 1602 ser designado matematico imperial
de Rodolfo II (1552{1612), Rey de Hungr³a y Bohemia,
y Emperador del Sacro Imperio Romano, con
sede en Praga. En vista de eso, y con algunas di¯cultades,
Kepler consiguio \arrancar"de los herederos
de Tycho los preciosos datos que este hab³a recopilado
del sistema planetario, primero en el observatorio
de Uraniborg, en la isla de Hveen (hoy
Ven) en Dinamarca, y despues en Praga. Un primer
analisis de las observaciones de Tycho llevaron a Kepler,
en 1602, a enunciar su hoy conocida:
Ley de las areas: El rayo vector que liga un
planeta al Sol describe areas iguales en tiempos
iguales.
Por otra parte, las observaciones de la orbita de Marte
realizadas por Tycho indicaban que en cuanto
mas lejos ese planeta se encontraba del Sol, mas lento
era su movimiento y, por tanto, menor era su velocidad,
ademas de indicar una peque~na excentricidad
en su orbita. En virtud de esto, Kepler intento,
inicialmente, una serie de combinaciones de
c³rculos para la orbita de ese planeta. Pero, como en-
contro una diferencia de 8 minutos de arco y bajo el
supuesto de que su maestro no hubiera cometido tal
error, Kepler paso a considerar orbitas ovaladas, despues
de experimentar, sin exito, que cada esfera caracter³stica
de un planeta era en realidad un cascaron
esferico de espesura su¯ciente como para explicar
la excentricidad orbital. Despues de realizar setenta
ensayos para ajustar los datos de Tycho al modelo
de Copernico y del mismo Tycho, Kepler llego ¯nalmente
a concebir la orbita el³ptica. (Cabe mencionar
que la idea de una orbita el³ptica no era completamente
nueva, dado que ya hab³a sido sugerida
por el astronomo arabe{espa~nol Azarquiel (Al{
Zarqali) de Toledo (c. 1029{1100), en 1081, para explicar
los movimientos de Mercurio.) As³, en el libro
intitulado Astronomia Nova (Una Nueva Astronom³a),
publicado en 1609, ademas de enunciar su
Ley de las areas, obtenida en 1602, conforme ya vimos,
Kepler enuncio tambien la:
Ley de las Orbitas: Los planetas se mueven
en torno del Sol en orbitas el³pticas, teniendo
al Sol como uno de sus focos.
Al descubrir las leyes que rigen los movimientos de
los planetas, Kepler se dispuso a determinar la relacion
entre las distancias y los periodos de tales movimientos.
Despues de algunas tentativas que relacionaban
potencias de las distancias y los periodos,
Kepler llego ¯nalmente a su tercera ley, presentada
en el libro Harmonices Mundi (Armon³a del Mundo),
publicado en 1619, y que enunciamos a continuacion:
Ley de los Periodos: La relacion entre el cuadrado
del periodo de revolucion de un planeta
y el cubo de su distancia media al Sol es
una constante.
El ultimo trabajo de Kepler fue el libro Tabuloe Rudolphine
(Tablas Rudol¯nas), publicado en 1627, en
homenaje de su antiguo protector, el Emperador Rodolfo
II, y dedicado a la memoria de Tycho Brahe.
Ese libro, que conten³a las observaciones de Tycho
Brahe y del mismo Kepler sobre los movimientos
planetarios, fue durante un siglo un clasico y, para
su confeccion, Kepler uso un nuevo metodo de
calculo matematico {los logaritmos{ que hab³an sido
inventados por el matematico escoces John Napier
(1550{1617), en 1614.
3. Las contribuciones de Newton
A partir de ahora, trataremos las contribuciones
de Newton. Nacido el 25 de diciembre de 1642 en
Woolsthorpe, perteneciente a la aldea de Colsterworth,
cerca de 11 km al sur de Grantham, Licolnshire,
en Inglaterra. Hijo de una peque~na familia
de hacendarios y huerfano de padre a los dos meses
de edad, Newton estaba destinado a seguir la vocacion
agr³cola. Empero, en la Escola Real de Grant-

Newton y las leyes de Kepler. Jose Mar³a Filardo Bassalo. 35
ham fue un infante extra~no, pues su mayor interes
se centraba en los intrumentos mecanicos que el mismo
fabricaba. El director de esa escuela, quien era
ademas su t³o materno, el Reverendo William Ayscough,
y miembro del Trinity College, en Cambridge,
convencio a la madre de Newton que este deb³a
estudiar en aquella universidad. Llego a dicha universidad
el 5 de junio de 1661, donde obtuvo el grado
de Bachiller en Letras, sin distincion, en 1665.
No obstante, cuando se preparaba para defender su
maestr³a, tuvo que abandonar Cambridge por dos
a~nos (1665{1666), y regresar a Woolsthorpe, debido
a la peste bubonica que azotaba entonces en Londres.
Durante ese periodo, Newton elaboro los fundamentos
de su obra en Matematicas, optica y Astronom³a.
(Vea, para la vida de Newton [4].)
Segun su misma a¯rmacion ([4] p. 39), Newton invento
los metodos directo e indirecto de °uxiones,
entre noviembre de 1665 y mayo de 1666.
Esa nueva tecnica matematica era el modo de afrontar
con grandes variaciones, como las que ocurren
en el caso de las velocidades variables de los planetas,
conforme indica la Ley de las areas, enunciada
por Kepler. Newton no empleo dicha tecnica matematica
para llegar a su Ley de Gravitacion Universal,
sino basicamente uso la Ley de los Periodos
de Kepler, como el mismo expresa : \[. . . ] en
el mismo a~no (1666), comence a pensar en la gravedad
como la que mantiene atada la orbita de la
Luna (despues de descubrir como calcular la fuerza
con que un globo que gira dentro de una esfera
presiona la super¯cie de la misma) a partir de
la regla de Kepler de que los periodos de los planetas
estan en una proporcion sesquialtera con sus distancias
al centro de sus orbitas, deduje que las fuerzas
que mantienen los planetas en sus orbitas deb³an
variar, en forma rec³proca, con el cuadrado de su distancia
al centro en torno al cual giran: y a partir
de eso, compare la fuerza necesaria para mantener
la Luna en su orbita con la fuerza de gravedad
en la super¯cie terrestre, y descubr³ que embonan
perfectamente"([4] p. 39).
Esos primeros calculos realizados por Newton le permitieron
pensar en la hipotesis de una ley universal
que rigiera el movimiento de los planetas en torno
del Sol. Empero, todav³a quedaba mucho trabajo
por hacer para que esa hipotesis se transformase
en una realidad. En efecto, a comienzos de
la decada de 1680, un grupo de f³sicos estaba interesado
en el desarrollo de las novedosas ciencias
matematico{experimentales; y se reun³an para relatar
sus propios hallazgos y proponer nuevos problemas.
As³, para tres de los f³sicos de ese grupo, los ingleses
Robert Hooke (1635{1703), Sir Christopher
Wren (1632{1723) y Edmundo Halley (1656{1742),
entre los problemas que discut³an, uno les resultaba
particularmente intrigante: \>Que tipo de fuerza
lleva a un planeta a describir una orbita el³ptica
en torno al Sol?".
A pesar de que Kepler hab³a sugerido que una fuerza
de tipo magnetica (anima motrix) e inversamente
lineal, que emanada del Sol, era la responsable del
movimiento planetario, esta no era aceptada por los
tres f³sicos ingleses referidos anteriormente. As³, en
una reunion de la Royal Society of London, en enero
de 1684, Halley llego a la conclusion de que la fuerza
que actua sobre los planetas var³a en una razon inversa
al cuadrado de su distancia, pero no fue capaz
de deducir de esa hipotesis las Leyes de Kepler, principalmente
la Ley de las orbitas. En febrero de 1684,
Halley, Sir Wren y Hooke se reunieron y concordaron
en tal hipotesis. Hooke llego a decir en esa ocasion
que ya hab³a considerado el que se demostrara
con la misma todas las leyes del movimiento celeste.
En virtud de esto, Sir Wren ofrecio un premio para
que Hooke, Halley o cualquier otro f³sico escribiera
un libro sobre ese tema.
Como tal libro no fue escrito, en agosto de 1684 Halley
resolvio ir a Cambridge y consultar a Newton.
Al preguntarle sobre cual ser³a la curva descrita por
los planetas sobre los que actua una fuerza de tipo
inverso al cuadrado de la distancia, recibio de
Newton la respuesta de que \era una elipse". Pero,
aunque Newton ya hab³a concebido tal respuesta,
no contaba con una demostracion en ese momento,
por lo que prometio a Halley enviarsela posteriormente.
Estimulado por la visita de Halley, Newton retomo
los calculos que hiciera de las orbitas de los planetas
hac³a 20 a~nos. As³, en oto~no de 1684, Newton
presento una serie de conferencias en la Universidad
de cambridge, en las que fueron abordadas
sus ideas sobre el movimiento de los cuerpos en
general, sobre los conceptos de fuerza, masa, tiempo,
ademas de su famosa ley de la gravitacion universal.
En noviembre de 1685, Newton envio a Halley
un peque~no trabajo intitulado De Motu Corporum
in Gyrum (Del Movimiento de los Cuerpos en
una orbita), en el que reun³a aquellas conferencias,
cumpliendo as³ la promesa que le hiciera en agosto
del a~no anterior. En ese peque~no trabajo de nueve
paginas, Newton hab³a demostrado que una fuerza
inversamente proporcional al cuadrado implicaba
una orbita conica, misma que era una elipse para
velocidades por debajo de cierto l³mite ([4] p. 159).
Incentivado por Halley, Newton comenzo a enriquecer
el De Motu y, a la vuelta de noviembre de 1685,
lo transformo en un tratado de dos volumenes al

36 ContactoS 31, 33{37 (1999)
que dio el nombre de De Motu Corporum (Del Movimiento
de los Cuerpos). En este, se halla la demostracion
de un resultado muy importante para su
teor³a de la gravitacion universal, a saber, que la accion
de una esfera homogenea sobre una part³cula
exterior es la misma que se tendr³a si toda la masa
de la esfera estuviese situada en su centro. As³, para
Newton, todas las part³culas sobre la vasta Tierra
se combinar³an para atraer tanto una manzana
1 situada a unos cuantos pies de su super¯cie, como
a la misma Luna.
Ese tratado se transformo en el famoso Philosophiae
Naturalis Principia Mathematica (Principios
Matematicos de Filosof³a Natural), editado en 1687,
despues de que Newton extendio el principio de gravitacion
universal, inicialmente aplicado al movimiento
de la Luna, a todos los cuerpos celestes. El
Principia esta compuesto de tres libros. En el primer
libro, Newton trata del movimiento de los cuerpos
en el vac³o, incluyendo el de los movimientos
en orbitas el³pticas, parabolicas e hiperbolicas, debido
a fuerzas centrales, ocasion que aprovecha para
probar las Leyes de Kepler. Ademas, al inicio del
Libro I, se dan las formulaciones de las famosas Leyes
de Newton: Ley de Inercia, Ley de la Fuerza y
Ley de Accion y Reaccion. En el Libro II, encontramos
el estudio de los cuerpos en medios resistentes
y la teor³a de las ondas. Ademas, en ese libro, Newton
demostro que, si los movimientos periodicos de
los planetas se desarrollaran en torbellinos (vortices)
de materia °uida, siguiendo la hipotesis presentada
por el matematico y ¯losofo frances Rene du Perron
Descartes (1596{1650), en 1644, esos movimientos
no satisfar³an las Leyes de Kepler.
Por ultimo, en el Libro III, Newton uso algunos resultados
obtenidos en los libros anteriores, principalmente
la Ley de Gravitacion Universal, para demostrar
una \estructura del sistema del mundo". As³,
dentro de las proposiciones demostradas en el Libro
III, destacan: la explicacion del movimiento kepleriano
de los satelites de la Tierra, de Jupiter y de
Saturno; el calculo de la forma de la Tierra (achatada
en los polos y alargada en el ecuador); una explicacion
del fenomeno de las mareas (atraccion gravitacional
del Sol y de la Luna sobre las aguas de
los oceanos); y la precesion de los equinoccios (observada
por primera vez por el astronomo babilo-
S u n v d J n d u d
n r d N d
u n d v d
d d u n v
r r d q u p d
r r u d r u b u n n
u n d d r q u d d
d d q u b r y q u
b v h n p
1 eg la er sion e oh C on itt, esp oso e C ath er i-
e, sob in a e ew ton , este llego a la id ea e la gr av itacion
iv er sal cu an o ob ser o, en 1666, en el m an zan al e su casa
e Lin coln sh ir e, la ca³d a e a m an zan a. De esa ob ser acion
, se le ocu io la id ea e e el od er e la gr av ed ad te-
estr e (q e er m a a m an zan a) o estab a lim itad o a
a cier ta istan cia e la T ier a, sin o e eb er ³a e ex ten -
er se m as alla e lo e se acostu m ab a acep tar , ien sa-
e, tal ez asta la Lu a ([4] . 50).
nio Kiddinu (f.c. 397 a.n.e.) como debido a la diferencia
entre la fuerza de gravitacion solar y lunar actuando
en el plano ecuatorial alargado de la Tierra
[2].
4. Comentarios Finales
A manera de conclusion de este art³culo, haremos
algunos comentarios sobre las demostraciones
geometricas hechas por Newton de las Leyes de Kepler.
Para la demostracion de la Ley de las areas,
Newton considero que el movimiento de un planeta
en torno del Sol es el resultado de una competencia
entre la tendencia del mismo a seguir una
l³nea recta con movimiento uniforme, como si ninguna
fuerza actuase sobre el (Ley de Inercia), y el movimiento
debido a la fuerza central de gravitacion ejercida
por el Sol. De ese modo, mediante algunos teoremas
de geometr³a plana, principalmente los relacionados
con semejanzas y areas de triangulos, llego
a aquella demostracion.
Por otra parte, Newton obtuvo la demostracion de
la Ley de las orbitas en varias etapas, con el uso de
algunas propiedades de las secciones conicas 2 . Inicialmente,
demostro que, cuando un cuerpo se mueve
en una orbita el³ptica bajo la accion de una fuerza
centr³peta dirigida a uno de los focos de esa conica,
dicha fuerza var³a como el inverso del cuadrado de
la distancia. Enseguida, probo que, si el mismo cuerpo
se mueve en una hiperbola o una parabola bajo
la accion de una fuerza centr³peta dirigida a uno
de los focos de la conica considerada, dicha fuerza
tambien var³a como el inverso del cuadrado de
la distancia. Por ultimo, probo el problema inverso,
a saber, si un cuerpo se mueve sujeto a una fuerza
centr³peta que var³a como el inverso del cuadrado
de la distancia, la trayectoria del cuerpo tiene que
ser una conica: elipse, parabola o hiperbola.
Finalmente, como una aportacion de este art³culo,
resulta importante remarcar que la hipotesis de que
una fuerza centr³peta variaba como el inverso del
cuadrado de la distancia, usada por Newton en la
demostracion de la Ley de las orbitas, conforme vimos
antes, le fue sugerida al observar que la Ley de
2 Deb id o a q u e n o p u d o en ten d er b ien esas d em ostr acion
es, el f³sico n or team er ican o Rich ar d P h ilip s Fey n m an (1918{
1988) p r ep ar o en 1964 u n a d em ostr acion geom etr ica d e la Ley
d e las or b itas d e Kep ler . E sa p r u eb a esta m agn ³¯ cam en te \ex -
p licad a"en el lib r o in titu lad o U n a Leccion E sb ozad a d e Fey n -
m an : E l Mov im ien to d e los P lan etas en T or n o d el S ol, d e D.
Good stein y J . Good stein [1]. (A p r ov ech o la op or tu n id ad p ar
a agr ad ecer al P r ofesor J ose A cacio d e B ar r os, d el Dep ar -
tam en to d e F³sica d e la U n iv er sid ad Fed er al d e J u iz d e For
a, p or llam ar m i aten cion p ar a ese lib r o y su ger ir m e la lectu
r a d e ese ar t³cu lo. A gr ad ezco tam b ien al P r ofesor V ³tor
Fa»can h a S er r a, d el Dep ar tam en to d e F³sica d e la U n iv er sid
ad Fed er al d e P ar a, p or h ab er m e ofr ecid o u n ejem p lar d e d ich
o lib r o).

Newton y las leyes de Kepler. Jose Mar³a Filardo Bassalo. 37
los Periodos de Kepler se ajustaba muy bien en el caso
particular de una orbita circular.
Bibliograf³a
1. David L. Goodstein y Judith R. Goodstein. A
Li»c~ao Esquecida de Feynman: O Movimento
dos Planetas em Torno do Sol. Gradiva, (1997).
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Natural. Tecnos, (1987).
3. Colin A. Ronan. Historia Ilustrada da Ci^encia
(III), Jorge Zahar Editor, (1987).
4. Richard Westfall. A Vida de Isaac Newton. Editora
Nova Fronteira, (1995).
cs